5

~

SISTEMAS DE PROGRAMACION

PERT

1-3

1-5

3-7

3-9

5-9

7-9

DE ACTIVIDADES

ROY

GANTI

H.T.

H. T.

.11

SISTEMAS O METODOS DE PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES

1.- SISTEMA PERT: Es una técnica de PROGRAMACIÓN basada en la teoría de los GRAFOS.

ACONTECIMIENTO

INICIAL

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL GRAFO

e D

\ \

\

\

\ \ \

B \ \

E l \

Fig. 1

ACONTECIMIENTO

FINAL

La palabra PERT, está constituida por las siglas de (PROGRAM, EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE), TÉCNICAS DE REVISIÓN Y EVALUACIÓN DE PROGRAMAS.

Es un método que sirve para planificar proyectos en los que hace falta coordinar un gran número de actividades.

El método PERT nos permite representar gráficamente las diferentes actividades que componen el proyecto y calcular los tiempos de ejecución

El PERT se creó en EE.UU. en 1958, al mismo tiempo que se estudiaban métodos similares en este País y en EUROPA.

En España se empezó a conocer en los años sesenta, cuando se empiezan nuevas modalidades en el ejercicio de la Construcción de Proyectos, siendo entonces más difícil el control de los tiempos en las actividades de obra.

CARACTERISTICAS

l. Es un grafo, o sea, un conjunto de puntos (nodos) unidos por flechas .

2. Representa las relaciones entre las actividades del proyecto.

3. Las flechas del grafo corresponden a las actividades del proyecto.

4. Los nodos del grafo, representado por círculos, corresponden a instantes del proyecto.

5. Es una herramienta de cálculo, y una representación visual de las dependencias entre las actividades del proyecto

LAS PRINCIPALES VENTAJAS DEL GRAFO PERT SON:

a) Determinar el menor tiempo en que pueda realizarse un proyecto.

b) Producción de Planes realistas que incrementan la probabilidad de alcanzar los objetivos del proyecto.

e) Centra la atención en las partes del proyecto que pueden acelerar o demorar su realización.

d) Informa de la incompleta utilización de los recursos.

e) Posibilita la utilización fácil de alternativas.

f) Proporciona informes completos del estado actual de la realización del proyecto.

Fases del Sistema PERT

a) Conocimiento del Proyecto, relacionando las actividades que integran el proyecto.

b) Actividades que pueden empezar cuando haya terminado la actividad que le precede (actividades en serie).

e) Que actividades pueden realizarse en paralelo, es decir, simultáneamente.

d) Tiempos empleados en realizar cada actividad. Así como los medios necesarios

(Recursos necesarios, humanos, maquinaria y materiales).

e) Establecimiento y resolución de la red.

f) Análisis de la relación coste tiempo de ejecución del proyecto.

g) Revisión del PERT, cada 15 días o cada 30 días.

1.1 Como se Representan las Actividades y Tipo de Actividades

ACTIVIDADES REALES. Ocupan un tiempo, para realizar un determinado trabajo, o bien, el transcurso del tiempo, como ocurre en las esperas necesarias por ejemplo; El Fraguado del Hormigón. ·

Se representan, por una línea continua terminada en punta de flecha, cuya longitud no guarda escala.

ACTIVIDAD REAL (i-j)

Taladrar

10

~ ' ' OlAS DURACION

Fig. 2 y Fig. 3

Se identifica la actividad por medio de dos acontecimientos, primero del que parte (o empieza) y segundo al que llega (o termina).

En la Fig. 3 ACTIVIDAD= (i- j)

La duración de la actividad se representa por un número de unidad de tiempo días, semanas, meses, años, etc. nosotros emplearemos días enteros.

ACTIVIDADES FICTICIAS. Son actividades que no ocupan tiempo ni recursos, se utilizan para poner condiciones entre actividades que pueden terminar en el mismo acontecimiento.

Se representan por una línea discontinua terminada en punta de flecha, cuya longitud no guarda escala.

ACTIVIDAD FICTICIA

-------

Fig. 4

Se identifica la actividad, por medio de dos acontecimientos, el primero del que parte (o empieza) y el segundo al que llega (o termina).

En la Fig. 4. ACTIVIDAD = (i - j)

ACONTECIMIENTO. Es el principio de una actividad, o la terminación de una actividad, no consume tiempo, y se representa por una figura geométrica regular, (EMPLEAREMOS EL CIRCULO).

ACONTECIMIENTO (i)

Fig. 5

IDENTIFICACIÓN DE LOS ACONTECIMIENTOS

Cuando el grafo está terminado y antes de comenzar su cálculo, manual o por ordenador mediante programas adecuados, los acontecimientos deben numerarse para su identificación.

La numeración de los acontecimientos que integran un grafo, se efectúan en orden creciente en el sentido de las flechas y con razón superior a la unidad.

Al ser ordenados siguiendo este método, nos deja lugar para poder intercalar acontecimientos, en caso de nuevas actividades necesarias, y no alterar el orden de acontecimientos en el grafo ya ordenado.

NUMERACIÓN DE LOS ACONTECIMIENTOS

SERA PROGRESIVA EN EL SENTIDO DE LAS FLECHAS,

MAL BIEN

LA NUMERACIÓN TENDRÁ LA RAZÓN MAYOR QUE LA UNIDAD PARA QUE PUEDAN INTERCALARSE OTROS ACONTECIMIENTOS. EN CASO DE NECESIDAD

Fig.6

LAS ACTIVIDADES PUEDEN REALIZARSE EN SERIE Y EN PARALELO

Son actividades en serie, cuando no puede empezar la actividad que sucede sin haber terminado la que le precede, en las actividades en serie, los acontecimientos y las actividades constituyen un solo camino.

Son actividades en paralelo cuando se pueden realizar al mismo tiempo y pueden lerminar en el mismo acontecimiento. En las actividades en paralelo, dos o más actividades se realizan simultáneamente para alcanzar un acontecimiento intermedio o final. Constituyen­do dos o más caminos.

POSICIÓN DE LAS ACTIVIDADES CON RELACIÓN A LOS ACONTECIMIENTOS

LE PRECEDE

LE SUCEDE

POSICIÓN DE ACTIVIDADES ENTRE SI

EN SERIE

CAMINOS EN EL PERT

TALADRAR

~---"7 ~­

/F

PREP. COMPONÉNTES

PARALELO O SIMULTANEAS

SOLDAR

Es una sucesión de flechas que permiten pasar de un acontecimiento a otro. La longitud del camino es el número de actividades que puedan realizarse en serie desde el acontecimiento inicial hasta el acontecimiento final del grafo.

CAMINO

Fig. 8

CALCULO DEL TIEMPO DE LAS ACTIVIDADES EN EL PERT

Conociendo los recursos necesarios para realizar una actividad podemos calcular el tiempo necesario para su realización.

El sistema Pert hace estimaciones de tiempo para una misma actividad. Una OPTI­MISTA, otra MAS PROBABLE y por último otra PESIMISTA, con estas tres estimaciones y con sus respectivos pesos, se halla la media aritmética ponderada, que es la que asignamos como duración de cada actividad respectiva, y la representaremos por t,.

to = TIEMPO OPTIMISTA

tm = TIEMPO MAS PROBABLE

tP = TIEMPO PESIMISTA

Dando el mayor peso al tiempo más probable, la media aritmética ponderada nos da

t + 4 X t + t.;. t = o m ...

e 6

Ejemplo en la Fig. I O

Fig. 10

El te en la actividad 1 -3 = 3+4x5+7 = 5 días 6

El te en la actividad 1-5 = 7 +

4 x

8 +

21 = 10 días 6

CALCULO DE LAS FECHAS LO MAS PRONTO- Fecha lo más pronto de un acontecimiento es aquélla en que pueden iniciarse las actividades que le suceden, coincidiendo con la terminación de todas las actividades que a él conducen.

La fecha lo más pronto del acontecimiento inicial es la fecha cero. Y la de cualquier acontecimiento intermedio y acontecimiento final, será la más lejana que resulte de sumar a la más pronto de cada acontecimiento donde se inician, la duración de la respectiva actividad, de todas las que terminan en el que consideramos.

P~SO DEL CALCUI.D DE IA FECHAS 1.0 MAS PRONTO

- La fecha lo más pronto del acontecimiento inicial, reseñado en el ejemplo con el número uno, ya hemos dicho que es siempre cero. Situamos esta cifra en el lugar próximo al acontecimiento 1 conforme indica el grafo.

La fecha lo más pronto de acontecimiento 3, es 5, porque la única actividad que a él conduce, la (1 -3) parte de cero días y tiene una duración de cinco.

Las actividades que conducen al acontecimiento 5 son la (1 - 5) y la (3 - 5). La actividad (1 - 5), que parte de la fecha cero y tiene una duración de 10 días, lo más pronto que puede terminar es el 10° día. La actividad (3 - 5) es ficticia y no consume tiempo; por tanto su terminación lo más pronto, será igual que su comienzo lo más pronto: 5° día. Por lo que la fecha lo más pronto en que ambas actividades pueden quedar terminadas es el 10° día, correspondiente a la fecha más lejana. Escribimos el número 10 en el acontecimiento 3, como fecha lo más pronto.

Por el mismo procedimiento llegamos a la fecha lo más pronto del acontecimiento final, que es el 30° día.

CALCULO DE LAS FECHAS LO MAS TARDE.- Fecha lo más tarde de un acontecimiento es aquélla hasta la que puede demorarse la terminación de todas las actividades que a él concurren, sin que sufra retraso el acontecimiento final. Por tanto la fecha lo más tarde del acontecimiento fmal será la misma que la fecha lo más pronto de dicho acontecimiento.

Para su cálculo se parte de la fecha del acontecimiento final y procediendo en el sentido inverso a la orientación de las flechas, se van restando de la fecha lo más tarde del acontecimiento en que terminan las duraciones de las actividades que a él conducen, siendo la fecha lo más tarde del acontecimiento del que parten, dicha diferencia, siempre que se inicie en él una solo actividad.

La fecha lo más tarde del acontecimiento del que parten varias actividades, es la fecha más baja que resulte de aplicar la regla anterior referida a cada actividad.

PRCx::::ESO DEL CALCUI.D DE LAS FECHAS 1.0 MAS TARDE.-

a).- En el acontecimiento final hacemos coincidir la fecha lo más pronto ya calculada, con la fecha lo más tarde 30/30, y a partir de este acontecimiento final, iniciamos el cálculo hacia el acontecimiento anterior.

b).- El acontecimiento 7 tendrá como fecha lo más tarde, la diferencia entre la fecha lo más tarde del acontecimiento 9, y la duración de la única actividad que de aquél parte, que es la (7 -9). Esta diferencia es 30 - 1 O = 20.

e).- Por el mismo procedimiento hallamos como fecha lo más tarde del acontecimiento 5. 30- 20= 10.

d).- El acontecimiento 3 tendrá como fecha lo más tarde la que resulte más baja de restar las duraciones de las actividades que de él parten, de la fecha lo más tarde del acontecimiento donde, respectivamente, terminan.

baja.

Con la actividad ( 3 -9) , resulta, 30 - 15 = 15 días Con la actividad ( 3-7), resulta, 20 - 1 O = 1 O días Con la actividad (3 - 5), resulta, 10 - O = 10 días

Por tanto, la fecha lo más tarde del acontecimiento 3, es el 10° día, por ser la más

El mismo procedimiento de cálculo nos lleva a la fecha del acontecimiento inicial, que es cero.

De este cálculo se desprenden las siguientes REGLAS:

1.- La fecha lo más pronto debe ser igual a la fecha lo más tarde, en los acontecimientos inicial y final.

2.- Para cada acontecimiento, la fecha lo más pronto será igual o menor que la fecha lo más tarde.

3.- En el recorrido del origen del grafo al final obtenemos como fecha lo más pronto de cada acontecimiento, la que resulte más alta de todas las posibles.

4.- En el recorrido inverso, del final al origen, la fecha lo más tarde de cada acontecimiento es la que resulte más baja de todas las posibles.

Fig. 11

GRÁFICO CON LAS FECHAS LO MAS PRONTO Y LO MAS TARDE DENTRO DEL ACONTECIMIENTO

FECHAS EN LOS ACONTECIMIENTOS

FECHAS EN LOS ACONTECIMIENfOS

Fecha lo mas pronto

Fecha lo mas tarde

Nº del acontecimiento

Fig. 12

5

CAMINO CRITICO Y FECHA FINAL DEL PROYECTO

Al efectuar el cálculo de los tiempos lo más pronto y lo más tarde de los acontecimientos, nos encontramos que ambas fechas coinciden en algunos de ellos. Dichos acontecimientos reciben el nombre de CRÍTICOS.

Estos acontecimientos críticos están unidos por determinadas actividades que forman uno o varios caminos críticos.

Cuando una actividad parte de un acontecmuento cntlco cuya fecha sumada con la duración de la actividad, coincide con la del acontecimiento critico en el que termina, se denomina actividad critica.

El camino o los caminos formados por los acontecimientos INICIAL Y FINAL QUE SIEMPRE SON CRÍTICOS, Y LAS ACTIVIDADES Y ACONTECIMIENTOS INTERMEDIOS, CRÍTICOS, ES LO QUE RECIBE EL NOMBRE DE CAMINO CRITICÓ.

Pueden existir uno o varios caminos críticos en la misma red, pero no puede existir una red o grafo sin camino crítico.

FECHA FINAL DEL PROYECTO

Es la suma de las duraciones de las actividades que componen el camino CRÍTICO o los CAMINOS CRÍTICOS y que en ambos casos será la misma.

Por ello, las actividades críticas son las que merecen un especial control de obra, puesto que el aumento o mayor duración de cualquiera de ellas, producirá un retraso inexorable en la fecha final.

Por el contrario, las actividades que no son críticas pueden alargarse en su duración dentro de determinados límites, sin que varie la fecha de terminación total. Incluso será aconsejable aumentar la duración de estas actividades no críticas, si ello reduce el coste del PROYECTO, como pudiera ser emplear una mecanización menos intensa o reducir el número de obreros.

La representación gráfica del camino crítico se efectúa con una doble línea en las flechas que lo constituyen o con línea más gruesa o bien con otro color que distinga estas actividades de las demás.

0 10

CAMINO CRITICO

5 110 15 1 20

10 30 1 30

Fig. 13

RECONOCEREMOS EL CAMINO CRITICO POR:

1°.- Es el camino de duración mayor que los demás.

2°.- Los acontecimientos que pertenecen al camino critico tienen la fecha lo más pronto igual que la fecha lo más tarde.

3°.- Las actividades críticas son aquellas cuya fecha lo más pronto del acontecimiento donde se inician más la duración de la actividad, es igual a la fecha del acontecimiento donde termina.

El camino crítico se resalta con una doble línea en las actividades que comprende, o con línea más gruesa, o con otro color.

EN ESTE GRÁFICO EL CAMINO CRITICO COMPRENDE:

Las actividades (1 - 5) y (5 - 9) y los acontecimientos 1 59

HOLGURAS DE TIEMPOS EN LAS ACTIVIDADES

Hemos comprobado que se obtiene en cada acontecimiento no crítico dos fechas: una mínima, correspondiente al tiempo más pronto y otra máximo, correspondiente al tiempo lo más tarde de dicho acontecimiento.

La diferencia entre estas dos fechas representa la HOLGURA O MARGEN DEL ACONTECIMIENTO.

En virtud de estas holguras de los acontecimientos, las actividades que llegan o parten de este acontecimiento, tienen una posibilidad, ampliar su plazo de ejecución dentro de determinados límites.

Para comprender mejor la idea de los márgenes u holguras, vamos a simbolizar las fechas lo más pronto y lo más tarde de los acontecimientos inicial y final de una actividad cualquiera en la forma siguiente:

OO. Fecha lo más pronto del acontecimiento en que se inicia la actividad (i- j).

DA Fecha lo más tarde del acontecimiento en que se inicia la actividad (i- j).

FO. Fecha lo más pronto del acontecimiento en que termina la actividad (i- j) .

FA Fecha lo más tarde de! acontecimiento en que termina la actividad (i- j).

t A la duración de la actividad.

HOLGURA TOTAL o MARGEN TOTAL. Es el margen de tiempo que puede retrasarse una actividad sin afectar al plazo del acontecimiento final.

Puede definirse como la diferencia del tiempo disponible para realizar la actividad (INICIÁNDOSE ESTA LO MAS PRONTO POSIBLE Y TERMINANDO LO MAS TARDE), y la duración de dicha actividad, la representamos por HT.

HT (i- j) =FA- (DO+ t)

HOLGURA LIBRE O MARGEN LIBRE: Es más restringido que la holgura total, y puede definirse como la holgura de tiempo que puede retrasarse una actividad sin afectar a las actividades siguientes para que estas puedan iniciarse lo más pronto posible.

Lo que equivale a decir que, el margen libre no afecta al momento lo más pronto del acontecimiento siguiente.

HL (i - j) = FO - (DO + t)

HOLGURAS: TOTAL-LIBRE

t

H.T+t H.L+t

t=10

Fig. 14

HT (i- j) = 32 - (14 + 10) = 8 DÍAS

HL (i - j) = 28 - (14 + 1 O) = 4 DÍAS

EXPRESIÓN GRÁFICA DE LOS MARGENES __QQLOAI ~r-

10 OlAS

Fig. 15

F

Al estudiar los márgenes u holguras sacamos las siguientes conclusiones:

1.- CUANDO UNA ACTIVIDAD NO CRITICA, TERMINA EN UN ACONTECIMIENTO CRITICO SU HOLGURA TOTAL Y LIBRE SON IGUALES.

2.- CUANDO UNA ACTIVIDAD TIENE LA HOLGURA TOTAL IGUAL A LA HOLGURA LIBRE, EL ACONTECIMIENTO EN QUE TERMINA ES CRITICO.

3.- LA HOLGURA LIBRE DEBE SER IGUAL O MENOR QUE LA HOLGURA TOTAL.

4.- SI UNA ACTIVIDAD ES CRITICA, LA HOLGURA TOTAL Y LA HOLGURA LIBRE SON CERO.

En cuanto a las holguras totales, la modificación del tiempo o duración de una actividad en un grafo, trae como consecuencia:

1.- Si se aumenta la duración de una actividad no crítica, de forma que la ampliación sea inferior a la holgura total de las otras actividades no críticas, el camino crítico no varía y la nueva holgura total queda -aumenta~n la misma cantidad ~M-t-M.\.-

2.- Si se aumenta la duración de una actividad no crítica de forma que se absorba la holgura total, éstas se convierte en crítica y forma un nuevo camino crítico.

3.- Si se aumenta la duración de una actividad no critica, de forma que la ampliación de plazo sea superior a la holgura total, esta actividad se convierte en crítica y modifica el camino crítico anterior.

4.- Si se reduce la duración de una actividad crítica, de forma que la reducción sea inferior a la holgura total de las otras actividades no críticas, el camino crítico no varía y la nueva holgura total queda reducida en la misma cantidad.

5.- Si se reduce la duración de una actividad crítica, de forma que se absorba la holgura total de otro camino, el camino crítico se mantiene y surge uno o más caminos críticos nuevos.

6.- Si se reduce la duración de una actividad crítica en tiempo superior a la holgura total de los otros caminos, el primitivo camino crítico deja de serlo y surgen nuevos caminos críticos.

TÉCNICAS DE PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES

MÉTODOROY

1.1 Principios básicos del método ROY

En el año 1960 el matemático francés Bemard Roy presentó un método de progra­mación y control de proyectos, que difiere en algunos aspectos básicos de los métodos PER T y CPM. El método de Roy, conocido también por el método de los potenciales o método MPM.

La diferencia básica que existe entre el método ROY y los métodos PERT y CPM reside en los principios en que se basa la construcción del grafo. En el PERT y en el CPM los arcos del grafo representan las actividades en que se ha descompuesto el proyecto mientras los vértices representan los sucesos comienzo y fin de las diferentes actividades. Pues bien, por el contrario, en el método ROY las actividades vienen representadas por los vértices del grafo y los arcos del mismo indican el orden en que deben ejecutarse las actividades; es decir, los arcos se emplean para representar en el grafo las prelaciones existentes entre las diferentes actividades.

Vamos a estudiar seguidamente cómo podemos pasar a un grafo ROY los diferentes tipos de prelaciones del grafo PERT. En la figura 1.1 se ha representado el caso de una prelación lineal según el sistema ROY. En efecto, el arco que une los dos vértices del grafo indica que la actividad A es anterior a la actividad B; es decir, para poder iniciar la ejecución de la actividad B es necesario que se haya finalizado previamente la actividad A, como es propio de las prelaciones lineales.

o-A -----+0-B-------..

Figura l. l.

En la figura 1.2. se ha representado el caso de una prelación que origina una convergencia. En efecto, los arcos del grafo indican que las actividades A, B y e son anteriores a la actividad D; es decir, para poder iniciar la ejecución de la actividad D es necesario que se hayan finalizado previamente las actividades A, B y e, como es propio de las prelaciones que originan una convergencia.

D

o~ A

B D

e

Figura 1.2.

En la figura 1.3. se ha representado el caso de una prelación que ongma una divergencia. En efecto, los arcos del grafo indican que la actividad A es anterior a las actividades B, e y D; es decir, para poder iniciar la ejecución de las actividades B, e y D es necesario que se haya finalizado previamente la actividad A, como es propio de las prelaciones que originan una divergencia.

A ------------~~~-------------.

D

Fisura 1.3.

En la figura 1.4. se ha representado el caso de una prelación que origina una convergencia-divergencia. En efecto, los arcos del grafo indican que las actividades A, B y e son anteriores a las actividades D, E y F; es decir, para poder iniciar la ejecución de las actividades D, E y F es necesario que hayan finalizado previamente las actividades A, B y e, como es propio de las prelaciones que originan una convergencia-divergencia.

Figura 1.4.

El caso mixto, que se presenta cuando entre ciertas actividades existe una prelación lineal y de convergencia o divergencia simultáneamente, viene representado en el grafo ROY de la figura 1.5. En efecto, los arcos que salen del vértice que representa la actividad A indican la prelación de divergencia que existe entre esta actividad y las actividades D y e; por el contrario, el arco que sale del vértice que representa la actividad B indica la prelación lineal que existe entre esta actividad y la actividad e; es decir, para poder iniciar la ejecución de la actividad e es necesario que hayan finalizado previamente las actividades A y B, y para poder iniciar la ejecución de la actividad D, que haya finalizado previamente sólo la actividad A, como es propio de una caso mixto en el que existe a la vez prelación lineal y de convergencia.

o~-A -o~-B-o 1 1

0~~-D-0

l__C_;-------~ D

Figura 1.5

Finalmente, en la figura 1.6. hemos representado un caso de actividades en paralelo, en efecto, los arcos que salen del vértice que representa la actividad A indican que para poder iniciar la ejecución de las actividades B, e y D es necesario que haya finalizado previamente la actividad A. Asimismo, los arcos que salen de los vértices que representan las actividades B, e y D indican que para poder iniciar la ejecución de la actividad E es necesario que hayan finalizado previamente las actividades B, e y D.

Del análisis efectuado se desprende que con el método de representación sugerido por ROY no es necesaria la inclusión en el grafo de actividades ficticias . Esta característica es de gran importancia, pues, como veremos más adelante (apartado 1.4) nos permitirá efectuar todo el proceso de cálculo sin necesidad de haber construido previamente el correspondiente grafo, que, como sabemos, resulta imprescindible para poder aplicar los algoritmos del PERT y del ePM.

A 01-_.

A

1.2. Construcción del grafo ROY

E

E

Figura 1.6.

Una vez establecidos los principios básicos en que se basa la representación de actividades y de sus correspondientes prelaciones en el método de los potenciales, vamos a estudiar en este apartado la construcción del grafo ROY de. un proyecto completo. Para ello comenzaremos por introducir, en el conjunto de actividades en que hemos descompuesto el proyecto, dos actividades; las actividades principio y fin del proyecto.

La actividad principio del proyecto es aquella que posee la propiedad de preceder a todas las demás. Por tanto, del vértice que representa esta actividad salen arcos que llegan a todos los vértices que representan las actividades del proyecto que no tienen actividades precedentes. La actividad fin del proyecto es aquella que posee la propiedad de seguir a todas las demás. Por tanto, al vértice que representa esta actividad llegan arcos que proceden de los vértices que representan actividades del proyecto que no tienen actividades siguientes.

o o

Las actividades principio y fin del proyecto son, en realidad, actividades ficticias, pues no consumen tiempo ni recursos y se les asigna un tiempo de ejecución igual a cero. No obstante, el papel de estas actividades en los Grafos ROY es completamente diferente al papel que jugaban las actividades ficticias en los grafos PERT. En efecto, en el ROY, con la introducción de estas actividades, se pretende cerrar el grafo, es decir, conseguir que exista un vértice del que salgan pero al que no lleguen arcos, y otro vértice al que lleguen pero del que no salgan arcos. Como veremos en los apartados siguientes, la introducción de estas dos actividades es aconsejable, pues permite aplicar con más facilidad los correspondientes algoritmos de cálculo. Conviene que se tenga en cuenta que, desde el punto de vista formal. estas dos actividades juegan un papel hasta cierto punto análogo al de los sucesos inicio y fin del proyecto del método PERT.

Ejemplo de paso de grafo PERTa grafo ROY

o 5 5 5 10 15 15 10 25

A e 20 F

30 10 20

o INICIO 15 20

o D 30 30 FINAL o 30

20 30 10 10 E

30

o B 10

¡10

A continuación, y a título de ejemplo, se representa el grafo PERT (figura 1.7.) y el grafo ROY (.FIGURA 1.8.) de un proyecto.

~ G \ \

o 1

"~

1.3.- Calculo de los tiempos más pronto de comienzo cuando se emplea una estructura de grafo.

DO t FO

LIGADURA DE LLEGADA LIGADURA DE SALIDA ... ... A

DA FA

En la figura 1.9 se representa una actividad del grafo ROY mediante un rectángulo en cuyo interior tenemos:

DO Tiempo "más pronto" que una actividad puede dar comienzo.

t Duración necesaria para realizar la actividad.

FO Tiempo "más pronto que puede terminar una actividad".

DA Tiempo "más tarde" que puede dar comienzo una actividad sin que afecte al tiempo final del grafo.

n° Número con el cual se puede identificar una actividad.

FA Tiempo "más tarde" en el cual se puede terminar una actividad sin que afecte al tiempo final del Grafo.

Construido el Grafo de la figura 1.8 y teniendo en cuenta el Grafo de la figura 1.9, habiendo asignado los tiempos t de cada una de las actividades, entramos en la fase algorítmica del método ROY, apoyándonos en las prelaciones de la figura 1.9.

La fecha de partida para el inicio del cálculo es la de la actividad de inicio, que es la actividad cero. Todas las ligaduras que figuran a la izquierda del rectángulo se llaman ligaduras de entrada, y nos indicarán las fechas de comienzo DO.

Si llegase más de una ligadura al rectángulo por su parte izquierda, se tendría en cuenta la mayor de todas ellas.

En el Grafo de la figura 1 . 1 O tenemos ya los tiempos correspondientes a las distintas actividades, por lo que ya podemos calcular los tiempos DO y FO (más pronto de comienzo y más pronto de terminación respectivamente, que son los colocados en la parte superior de cada actividad. '

¡111

DO 3 ~0~------------------1 e

04 FA 1-------------,

.. ' ...... ·1

o J 3~------------------1 11

7 101--------------,

Las actividades A y B inician el proceso, por lo que tanto en la A como en la B su tiempo de comienzo es cero; el DO de la A es igual a cero y el DO de la B es igual a cero; el FO la actividad A es: FO =DO + t =O + 2 = 2, luego el tiempo "más pronto" que puede terminar la actividad es el día 2°; por otra parte elFO de la actividad Bes: FO =DO+ t =O+ 3 = 3, así que el tiempo "más pronto" que puede terminar la actividad Bes el día 3°.

Las actividades D y C suceden a la actividad A; con el criterio de las dos actividades anteriores (FO =DO+ t), y teniendo en cuenta que el DO de la actividad que sucede es elFO de la que precede, podemos calcular los tiempos "más pronto" de comienzo DO, y de terminación FO, de las actividades D y C.

Para la actividad D, DO= 2 y FO = 2 + 8 = 10: el día "más pronto" que puede comenzar es el día 2°, y el día "más pronto" que puede terminar es el día 10°. Análogamente, para la actividad C. DO= 2 y FO = 2 + 7 = 9, así que el día "más pronto" que puede comenzar la actividad Ces el día 2", y el día "más pronto" que puede terminar es el9°.

Con las actividades E y F no sucede lo mismo. Al llegar a la actividad I- dos ligaduras, tendría dos tiempos diferentes de comienzo; en estos casos se tiene en cuenta el mayor tiempo de llegada a dicha actividad. Su cálculo es como sigue: de la actividad O llegaría el día 9° como comienzo de la actividad E. y de la actividad D llegaría el día 3°. predominando el mayor, que es el 9°. Los tiempos "más pronto" de la actividad E son: comienzo el día 9° y terminación (FO = 9 + 3 = 12) el día 12°.

En la actividad F se sigue el mismo procedimiento que en la E. Su tiempo "más pronto" de comienzo es el día 10°, que es el mayor FO de las actividades que preceden, y el de terminación (FO = 10 + 9 = 19) es el día 19°.

Las actividades J y G suceden a la actividad F, por lo que el día "más pronto" en que pueden dar comienzo es cuando haya terminado la actividad F: el día 19°, que corresponde al DO de dichas actividades. La actividad J (tiene que terminar en el día 29° (FO =19+ 10 = 29), y la actividad G (FO = 19 + 8 = 27) tiene que terminar en el día 27°.

La actividad H sucede a la actividad E, por lo que, lo mismo que en las anteriores, no puede dar comienzo sin haber terminado la que le precede; como la E termina el día 12°. es entonces cuando puede dar comienzo la actividad H: DO= 12, y FO = 12 + 2 = 14, de modo que lo más pronto que puede terminar la actividad Hes en el día 14°.

La actividad I sucede a las actividades G y J, luego no podrá comenzar hasta haber terminado la actividad J, que es la que tiene su terminación más larde y que corresponde al día "más pronto" que se puede terminar la obra (figura l. a). .

D.to d& lo oo;+Jv•dod B • 7

AC17V1::MO " .. 1M - o A "' O - v - O

1.4. Calculo de los Tiempos "más tarde" de comienzo y "más tarde" de terminación cuando se emplea una estructura de grafo.

En el apartado anterior hemos obtenido un tiempo final que es la duración total de la obra, representada mediante sus actividades en el Grafo; este tiempo final de 31 días coincide con el tiempo de terminación "más tarde", por lo que partimos de 31 días.

El cálculo lo realizamos en dirección contraria al cálculo de los tiempos "más pronto": del final al comienzo, esto es, de derecha a izquierda. Las actividades que terminan son la I y la H, luego los tiempos "más tarde" de terminación de la actividad H son: FA= 31, y DA= FA- t =31-2=29; yparalaactividadl,FA=31 yDA=31-2=29.

Para la actividad J, su tiempo "más tarde" de terminación es igual al tiempo "más tarde" de comienzo de la actividad que le sucede, que es la I: FA = 29, y el tiempo "más tarde" de comienzo de la actividad J es: DA = 29 - 10 = 19. Empleando el mismo procedimiento para la actividad G, su tiempo "más tarde" de terminación es FA = 29, y su tiempo "más tarde" de comienzo es DA= 29-8 = 21.

Con la actividad F no sucede lo mismo, ya que de dicha actividad parten dos ligaduras, por lo que su tiempo "más tarde" de terminación será el DA de las actividades que le suceden, que son la actividad G y la J. El DA menor es 19, luego el PA de la actividad Fes 19, y DA= 19 - 9 = 10.

Para la actividad E, FA = 29 y DA = 29 - 3 = 26. A la actividad B le suceden dos actividades, la F y la E; el tiempo "más tarde" de terminación de esta actividad será el menor de los dos tiempos "más tarde" de comienzo de aquéllas: FA= 10, correspondiente a la actividad F, y el tiempo "más tarde" de comienzo, por lo tanto, DA= 10- 3 = 7.

A las actividades C y D les sucede lo mismo que a la actividad B. Siguiendo el mismo procedimiento, para la actividad Ces FA= 10 y DA= 1 O -7 = 3. Para la actividad D, FA= 10 y DA= 10-8 = 2.

Por último, nos queda la actividad A. Tomamos el FA de la actividad A igual al menor DA de las actividades D y C, que es 2, y por lo tanto, DA= 2- 2 =O. Se cumple que en el inicio del Grafo sus tiempos de comienzo "más pronto" y "más tarde" coinciden y además tienen que ser cero (figura l. b).

1 F0 de '" o:1iviQod H ~ 14

1 ...._ ____ -co-01 JI 31

j F1'W. r--------cooo,j.) T

1 1 1 1 1 ro ele la l>ctividod 1 .. 31

J1

CALCULO DE HOLGURAS EN EL SISTEMA ROY

DO t FO DO' t FO' HT =DA- DO= FA- FO ·····---... j

DA FA DA' FA' , DO' - (DO + t)

HL = MINIMA DE DO"- (DO+ t)

DO" t FO" -

DN FA"

FO=DO+t FA- FO =DA- DO

FA= DA+ t

DIAGRAMA DE GANTT

DIAGRAMA DE GANTT

Es un gráfico proporcional lineal, que en lugar de representar el crecimiento de un valor por medio de una línea, se efectúa por medio de una barra o rectángulo para darle mayor visualidad.

Basado en estos grafos H.L. GANTI inventó un grafo con el cual se podía representar la organización de la producción de los transportes bélicos de los Estados Unidos durante la primera guerra mundial, tomando así el grafo el nombre de su inventor "Gantt".

El diagrama de Gantt es la representación de un proyecto en un diagrama o cronograma de Barras representando actividades, que describen las secuencias de todas las actividades que componen un proyecto.

REPRESENTACIÓN DE LAS ACTIVIDADES EN EL DIAGRAMA DE GANTT

Se representa la actividad por medio de un rectángulo cuya longitud depende del tiempo que transcurre entre el principio y fin de dicha actividad con arreglo a una escala de tiempos. Figura 1.01.

REPRESENTACIÓN DE LA ACTIVIDAD

H.T.

_______ J

Fig . 1. 01

Las actividades en el Gantt, pueden ser críticas y no críticas.

Las actividades no críticas se representan en el Gantt, mediante rectángulos marcados con línea continua en su duración y línea discontinua durante la duración de la holgura total que le corresponda. Figura 1.02.

ACTIVIDAD ( 1-3 ), DURACIÓN S DÍAS, H. T.= S DÍAS

REPRESENTACIÓN EN EL DIAGRAMA DE GANTT:

Figura 1.02

Actividad crítica en el Gantt, se representa mediante un rectángulo de línea continua regruesado o coloreado. Figura 1.03.

ACTIVIDAD ( 1-S ) DURACIÓN 10 DÍAS, H. T.= O-> CRITICA

REPRESENTACIÓN EN EL DIAGRAMA DE GANTT:

Fig. 1.03

Método constructivo

Para construir un diagrama de Gantt se han de seguir los siguientes pasos: l. Dibujar los ejes horizontal y vertical.

2. Escribir los nombres de las tareas sobre el eje vertical.

3. En primer lugar se dibujan los bloques correspondientes a las tareas que no tienen predecesoras. Se sitúan de manera que el lado izquierdo de los bloques coincida con el instante cero del proyecto (su inicio).

4. A continuación, se dibujan los bloques correspondientes a las tareas que sólo dependen de las tareas ya introducidas en el diagrama. Se repite este punto hasta haber dibujado todas las tareas.

CONVERSIÓN DE UNA RED EN DIAGRAMA DE GANTT

10 10

DIAGRAMA DE GANTT CON LA HOLGURA O MARGEN TOTAL DE CADA ACllVIDAD

1-3

1-5

3-7 H.T.

3-9

5-9

7-9 H.T.

DIAGRAMA DE GANTT CON LAS FECHAS LO MÁS PRONTO POSIBLE

(SE DIBUJA COMENZANDO POR EL PRIMER ACONTECIMIENTO)

1-3

1-5

3-7

3-9

5-9

7-9

DIAGRAMA DE GANTT CON LAS FECHAS LO MAS TARDE

(SE DIBUJA COMENZANDO POR EL ULTIMO ACONTECIMIENTO)

1-3

1-5

3-7

3-9

5-9

7-9

1.- Dado el programa de obra que representa la siguiente red. calcular la fecha de terminación, camino o caminos críticos \holguras libres y totales.

2.- Transformar las redes adjuntas representadas en el sistema PERT por redes del sistema ROY, teniendo en cuenta como ligaduras en este último las de secuencialidad y procedencia, determinando sobre ellos las holguras totales y libres de cada actividad .

O 6-6 -. ·. ' . r---~

~'~------L--7------~·(7\ . -~

3.- Dado el siguiente grafo:

Se pide:

- Dibujar en el impreso que abajo se inserta, un diagrama de GANTT, en el que la duración de cada actividad esté situada en el tiempo "lo más pronto" en que pueda quedar terminada.

- En el mismo diagrama y con líneas de puntos, se marcará la duración de cada actividad con la fecha "lo más tarde" en que debe quedar terminada.

- Se marcará las fechas calendario, teniendo en cuenta que se iniciará la obra el 1 de Julio, Lunes, y que se supone que no existen más festivos que los Domingos.

Días Calendario

Días Laborables ACTIVIDAD

4.- Una empresa tiene en proyecto la construcción de un aparato electrónico, el equipo responsable se reúne y determina las actividades más relevantes del proyecto, así como la duración de las mismas en semanas y el orden de prelación entre ellas. Construir el diagrama de PERT y ROY. Determinar la fecha de finalización del proyecto y las holguras total y libre de cada actividad

Actividades Duración Prelaciones A 10 A Precede a B,C,D B 15 B Precede a E e 6 By C preceden a F,G D 10 D precede a H,I,J E 25 E y F preceden a M F 4 G y H preceden a K, L G 3 N no precede ni es precedida H 8 I 20 J 12 K 10 L 20 M 3 N 24

5.- Dada la siguiente lista de actividades construye una red PERT y ROY indicar cuál sería la duración de proyecto y calcular las holguras

Actividad Actividad Duración sucesora predecesora actividad

A - 3 B A 3 e A 2 D B,e 4 E B 7 F e 2 G E 1 H G,D,F 5 1 F 8 J 1 3 K H 6

6.- Dada la siguiente lista de actividades construye un Diagrama Gantt indicar cuál sería la duración de proyecto e indicar las holguras Totales. Se marcará las fechas calendario, teniendo en cuenta que se iniciará la obra el 12 de Enero, Martes y que se considera como no laborables los Sábados y Domingos.

Actividad Actividad Duración sucesora predecesora actividad

A - 3 B - 1 e A 2 D B 5 E e ,D 2 F B 5