Sistemas de Numeración

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Número y Numeral

Idea que se tiene de cantidad.

Representación de un número por medio de símbolos.

Número:

Numeral:

V

Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios, que se emplean para representar correctamente los números.

Entre estos principios tenemos:

1. Principio de Orden

2. Principio de la Base

¿ Qué es un Sistema de Numeración ?

3. Principio posicional

Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda.Ejemplo:

568

1. Principio de Orden

1er. Orden2do. Orden3er. Orden

No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha.

Observación:

Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la forma como debemos agrupar.

Ejemplo:

2. Principio de la Base

En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos:

23(6)

Grupos Unidades que

sobran

=15

¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ?

40(5)

Grupos Unidades que

sobran

=20

En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.

La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos:

Base

Sistema Cifras que emplea2 Binario 0; 1

3 Ternario 0; 1; 2

4 Cuaternario 0; 1; 2; 3

5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4

6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5

7 Heptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8 Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A

12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B

A = 10

B = 11 …

Descomposición PolinómicaLa representación de un Nº (N) en un sistema de

base (b), puede realizarse de forma polinómica.

Ejemplo:

El Nº 784,6 en (base 10)

7∙102 + 8∙101 + 4∙100 + 6 ∙10-1

Ejemplo:

El Nº 101101,11 en (base 2)

1∙25 + 0∙24+ 1∙23 + 1∙22+ 0∙21 +1∙20+1∙2-1 +1∙2-2

32 +0 +8 +4 +0 +1 +1∙1/2 +1∙1/4 = 45+0,5+0,25 = 45,75

Para pasar un nº decimal a binarioPara representar un número en un sistema

diferente al decimal, se emplea el método de:

“Divisiones Sucesivas”

Ejemplo:

45(10) A binario

45 2

22 2

11 2

5 2

2 2

10

1

1

0

1

101101

Ejemplo:

132,63(10) A binario132 2

66 2

33 2

16 2

8 2

4 2

2 2

10

0

0

0

1

0

0

10000100,101

0,63•2= 1,26

0,26•2= 0,52

0,52•2= 1,04

Hexadecimal (muy empleado en microprocesadores)

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 10,11,12,13,14,15

Binario a hexadecimal:

Se hacen grupos de 4 bits. Si algunoestá incompleto se añaden ceros

Hexadecimal a binario:

10111011101,101101

0101 - 1101 - 1101,1011 - 0100

5 D D , B 4

3 4 A F, D 8

0011–0100–1010–1111,1101–1000

Pasar de hexadecimal a decimal

Ejemplo: El Nº 127F en (base 16) 1∙163 + 2∙162 + 7∙161 + 15 ∙160

=4096+512+112+15= = 4735(10)

Ejemplo:Pasar de decimal a

hexadecimal4735 16

295 16

18 16

12

7

15

127F

183,54

183 16

1107

B7

0,54•16= 8,64

0,64•16=10,24

0,24•16= 3,84

0,8A3

B7,8A3

11∙161 +7∙160+ 8∙16-1 +11∙16-2 +3∙16-3 =

=176+7+0,5+10∙1/256+3∙1/4096= 183,539(10)

B7,8A3

Octal 0,1,2,3,4,5,6,7

Binario a octal:

Se hacen grupos de 3 bits. Si algunoestá incompleto se añaden ceros

Octal a binario:

10111011101,10111

010-111-011-101,101-110

2 7 3 5 , 5 6

5 7, 3 6

101–111, 011–110

4 2 0 1, 1 3

100–010–000–001, 001–011

El Nº 1274,3 en (base 8)

1∙83 + 2∙82 + 7∙81 + 4∙80+ 3∙8-1

=512+128+56+4+0,375= 700,375(10)

Para pasar de decimal a octal Ej. 426(10) =652(8) se hacen divisiones sucesivas entre 8

Decimal

Binario Hexadecimal

Octal

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

X23+X22+X21+X20

Binario:

X8+X4+X2+X1

Ej.

0 1 1 1 4+2+1 = 7

Ej.1 0 0 1 8+1 = 9

Ej.

1 1 1 0 8+4+2 = 14

BIN :2 BIN

DEC OCT :8 OCT DEC (forma polinómica)

HEX :16 HEX

Resumen Conversiones

BIN OCT Agrupar de 3 en 3 dígitos completando con ceros

BIN HEX Agrupar de 4 en 4 dígitos completando con ceros

OCT HEX

Pasar previamente a decimal ó a binario

HEX OCT

- Pasar de binario a decimal

Ejercicios:

a) 110012 b) 10110110112

- Pasar de decimal a binarioa) 86910

b) 842610

- Pasar de binario a octala) 1110101012 b) 11011,012

- Pasar de octal a binario

a) 1068 b) 7428

- Pasar de binario a hexadecimal a) 1100010002 b) 100010,1102

- Pasar de hexadecimal a binarioa) 86BF16 b) 2D5E16

- Pasar de octal a decimal

a) 20668 b) 142768

- Pasar de decimal a octal

a) 23610 b) 5274610

Para representar números enteros (pos. y neg.) se utilizan dos formas VAS (valor absoluto y signo) y C-2 (complemento a 2)VAS: Añade un bit a la izquierda para expresar el signo

Operaciones matemáticas

Nº decimal

Bin. Natural

VAS

5 101 (+5) 0 101

(-5) 1 101

El opuesto de un nº binario en VAS se obtiene

cambiando el bit de signo

14 1110 (+14) 0 1110

(-14) 1 1110

No sirve para sumar nºs negativos pero a simple

vista se reconoce mejor el nº

C-2:

Los Nos positivos se representan igual que en VAS (bit de signo y nº binario)Para representar los Nos negativos se parte de la representación en VAS, y se cambian 0 por 1 y 1 por 0 (complementar) dejando el bit de signo como está y sumando 1.

Ej.–5 en VAS 1 101

1 1011 010

C-2

+11 011

– 14 en VAS 1 11101 0001

C-2

+11 0010

Operaciones matemáticasRegla práctica para hacer el C-2:

Empezando por la dcha. (bit menos significativo), hasta el 1º 1 como estánA partir de ese 1, complementar, dejando el bit de signo como está.

–14 en VAS 1 1110C-2

1 0010

–23 en VAS 1 10111

1 01001

(C-2)

Para Incrementar el nº de bits de un Nº (8,12,ó 16 bits):

Incrementar el nº de bits en VAS y luego complementarlo, añadiendo los cerosnecesarios a la dcha. del bit de signo.

–18 en VAS 1 1 0010 1 0001 0010 1 1110 1110

Ó una vez complementado a 2, repetir a la dcha. Del bit de signo este, las vecesque sea necesario.

–18 en VAS 1 1 0010 (C-2) 1 0 1110 completar 1 1110 1110

C-2

Operaciones matemáticas SUMA Y RESTA

0+0=0

0+1=1

1+1=0 y me llevo 1 “Carry”Ejemplos:

4+5

15

01000101

1001

443+305

1 1011 10111 0011 0001

748 1 0 1110 1100

1 1 1

Parar restar se SUMA al minuendo el C-2 del sustraendo:

37 -22

0 1001011 010110 C-2

0 1001011 101010

1 0 001111

1El 1 obtenido al sumar losBits de signo se desprecia

22 -37

9

-15

0 0101101 100101

0 0101101 011011C-2

1 110001

1111

C-2 1 001111 (-15)

Cuando el resultado es neg. (bit signo=1) hay que volver a complementar

Operaciones matemáticas SUMA Y RESTA

0+0=0

0+1=1

1+1=0 y me llevo 1 “Carry”Ejemplos:

18-25

-37

0 100101 11001

0 100101 00111

1 11001

1 1

Si los dos son neg. Se complementan los dos:

-15 -22

1 011111 10110 C-2

1 1 100011 1 01010

1 00111 (-7)

1

-7

1 1 0 11011

C-2

C-2El 1 obtenido al sumar losBits de signo se desprecia

C-2

VAS: 1 1 00101 (-35)

Al complementar se añade un bit mas = que el bit de signo 1