sistemas de colas
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Tiempoentre
Arribos (t)
Cola
Servicio
Población
SISTEMA DE COLASSISTEMA DE COLAS
Arribos
Tiempo deServicio
Politica deservicio
Un sistema de colas puede ser analizado en función de sus tasas de arribo y de servicio, variables cuyo comportamiento puede ser aleatorio.
Para nuestro estudio consideraremos que los arribos se ajustan a una distribución de Poisson con tasa media o tiempo entre arribos Exponenencial con tasa media 1/.
Los tiempos de servicio son Exponenciales con tasa media μ.
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CONDICIONESINICIALES
LC = LC + 1
GENERAR TA
SUMTA = SUMTA + TA
SERVICIODISPONIBLE ?
COLA =0 ? COLA =0 ?
TOT = TOT + 1 LC = LC - 1TET = TET + LC
GENERAR TS
SE OCUPASERVICIO
SI NO
NOSI
NO
SI
A
C
B
Para t=0arriba el 1er Cliente
Tiempo deArribo
Tiempo deServicio
Longitud dela Cola
Tiempo EsperaTotal
Mecanismo de Control de Mecanismo de Control de Incremento FijoIncremento Fijo
RELOJ = RELOJ + 1
VERIFICARTS
TS =TS - 1 TS = TS - 1
COMPARARRELOJ::SUMTA
TS > 1 TS = 1
SEDESOCUPASERVICIO
TS = 0
A
B C
RELOJ < SUMTA RELOJ = SUMTA
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TS1
TS2
TS3
TS4
TO1
TE3
TE4
TE5
c1
c2
c3
c4
c5
0
TA2 TA3 TA4 TA5 TA6
TS5
TE6
SUMTA2
SUMTA3
SUMTA4
c6
SUMTA1
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Mecanismo de Control de Mecanismo de Control de Incremento VariableIncremento Variable
CONDICIONESINICIALES
GENERAR TA
TA = TA - TE
GENERAR TS
TS = TA ?
TS < TA ?TE = 0
TO = 0TE = 0
TO = TA - TS
TOT = TOT + TO
TO = 0
TE = TS - TA
TET = TET + TE
SI NO
SI NO
Tiempode Arribo
Tiempo deServicio
Tiempo deEspera
TiempoOcioso
TiempoOcioso Total
Tiempo deEspera Total
Para t=0arriba el 1er Cliente
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TS1
TS2
TS3
TS4
TO2=TA2-TS1TE2=0 TE3
TE4
TE5
c1
c2
c3
c4
c5
0
TA2 TA3 TA4 TA5 TA6
TS5
TE6
TA2 =TA2 – TE1
TA3 =TA3 – TE1
TA5=TA5 –TE4
c6
TE3=TS2-TA3T03=0
TA4 =TA4 – TE3
TE4=TS3-TA4T04=0
TE5=TS4-TA5T05=0
Una Compañía de carga recepciona sus camiones que llegan en forma aleatoria en una terminal para descarga. Después de analizar los datos históricos se ha concluído que el número de llegadas diarias de camiones se comporta de acuerdo a una distribución de Poisson con tasa media de 3 camiones por día. El peso de la carga de cada camión es un factor importante en lo referente al tiempo de descarga. Se ha comprobado con los registros pasados que los pesos de la carga estan distribuídos normalmente con media 30 mil lbs. Y una desviación estándar de 5 mil lbs. Para la descarga se cuenta con cuadrillas cuya capacidad de descarga en lbs por hora es variable y función del tipo de carga.
La frecuencia de cada tipo de carga y la velocidad de descarga de las cuadrillas se muestran en la tabla siguiente :
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Una cuadrilla consta de 3 personas: 1operador de elevador de carga a quien se le paga 4$/Hr y dos obreros a quienes se les paga 2.50 $/Hr. La política de la Cia. es descargar en el día todos los camiones que arribaron el día anterior sin importar los costos de tiempo extra implícitos. El contrato del sindicato demanda una bonificación del 50% por horas extras fuera de la jornada de trabajo de 8 Hr diarias.◦ Con base a una simulación de 10 días determine
cuantas cuadrillas se requieren para reducir al mínimo los costos totales de descarga.
◦ Si aplicaramos la política de que los camiones deben descargarse el mismo día de su llegada en lugar del día siguiente, y que la tasa media de llegadas sube a 4 Cam/Día Cuántas cuadrillas se requerirán para reducir al mínimo los costos totales de descarga.
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0 51 152 223 224 175 116 57 3
100
Nro Camiones
Frec
A 40 8000B 35 7000C 25 5000
Veloc.Descarga Lb/hr x Cuadrilla
Tipo Carga
Frec
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Generar NroCamiones (NCM)
Arriban x Día
Generar TipoCarga x Camión
Generar PesoCarga x Camión
Calcular Costo Descarga (CD)
Asignar Nro Cuadrillas (NCD)
NDias=NDias + 1
Ndias=10 ?NO
TotCD=TotCD+CD
Imprimir x DíaValores Generadosy Costo Descarga
Imprimir Ndias,Nro Cuadrillasy Costo Total Descarga
SI
Definir Plan Trabajo
TotCDTotCD
NCDNCD
1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
C1C1
C2C2
C3C3
C5C5
C6C6
Nro arribos ~ Poisson () oTiempo entre arribos ~ Exponencial (1/)
Tiempo de servicio ~ Exponencial (1/ μ) Por lo tanto :
◦ Tasa de arribo y tasa de servicio μ◦ Factor de ocupación del Sistema = (/μ)◦ Probabilidad que el Sistema esté vacio P0 = 1–
(/μ)◦ Porcentaje de Tiempo Ocioso del Servicio 100 P0
(%)
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1cola/1servidor/Población No Finita
1cola/1servidor/Población Finita(k)
1cola/Múltiples Serv.(s)Paralelo/Pobl.No Finita
1cola/MúltiplesServ.(s)Paralelo/Pobl.Finita(k)
1cola/MúltiplesServ.(s)Serie/Pobl.NoFinita
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kk
s1
kk
s2
s1
s2
s1 s2
s
s
s
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ1 μ2 μs
s1
s1
Sea Pn la probabilidad de que existan n usuarios en el sistema al final del tiempo t, uno de ellos siendo atendido y los otros esperando en cola.
La probabilidad de que llegue un (1) usuario en el tiempo t es igual a t
La probabilidad de que un (1) usuario termine de ser atendido en t es igual a μt
Para determinar la probabilidad de que existan n usuarios en el tiempo t+ t, consideramos lo siguiente:◦ Que existan n usuarios al final del tiempo t. que no llegue ni se
vaya nadie en t Pn(t)[1- t][1- μt] ........ (1)◦ Que existan n usuarios al final del tiempo t, que llegue y se vaya
1 en t Pn(t)[t][μt] ..................(2)◦ Que existan n-1 usuarios al final del tiempo t, que llegue 1 y no
se vaya nadie en t Pn-1(t)[t][1- μt] ...........(3)◦ Que existan n+1 usuarios al final del tiempo t, que no llegue
nadie y se vaya 1 en t Pn+1(t)[1- t][μt] ...........(4)
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Luego sumando (1)+(2)+(3)+(4) tenemos: Pn (t+t) = Pn(t)[1- t][1- μt] + Pn(t)[t][μt] +
Pn-1(t)[t][1- μt] . . . . . + Pn+1(t)[1- t][μt] Agrupando términos y eliminando los factores (t)2,
tenemos : Pn (t+t) - Pn (t) = Pn-1(t) – (+μ) Pn(t) + μPn+1(t)
t Pero como el tiempo transcurrido desde la ocurrencia
del último evento no tiene efecto en el tiempo restante hasta que ocurre el evento siguiente (propiedad “del olvido” de la func. exponencial):
Pn (t+t) - Pn (t) = 0 entonces Pn-1 – (+μ) Pn + μPn+1 = 0 Finalmente, agrupando términos obtenemos : Pn+1 = (- /μ)Pn-1 + [ (+μ)/μ ]Pn .................... (β)
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Similarmente para determinar la probabilidad de que exista un usuario en el sistema :◦ No existen usuarios al final del tiempo t y llega uno en t P0 (t)[t](1- μt)◦ Existe 1 usuario al final del tiempo t, no llega nadie y no se
va nadie en t P1 (t)[1- t][1-μt]◦ Existe un usario al final del tiempo t, llega uno y se va uno en
t P1 (t)[t][μt]
Agrupando términos, eliminando los factores (t)2 y aplicando la propiedad “del olvido” tenemos que :◦ P0 + μP1 = 0 entonces P1 = (/μ)P0 ...... (δ)
De (β) y (δ) :◦ para n=1 P2 = (/μ)2 P0
◦ Para n=2 P3 = (/μ)3 P0
◦ Para n=3 P4 = (/μ)4 P0
◦ generalizando Pn = (/μ)n P0
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Probabilidad de que en el stma. existan más de N usuarios:
P(n>N) = PN+1 +PN+2 +PN+3 +PN+4 .......
= (/μ)N+1P0 + (/μ)N+2P0 + (/μ)N+3P0 + ........
= P0 [(/μ)N+1+ (/μ)N+2+ (/μ)N+3+ ........ ]
= P0 [ (/μ)N+1/ [1- (/μ)] ] luego
P(n>N) =(/μ)N+1
Probabilidad de que existan n usuarios en cola :
Pn Cola = Pn+1 Stma entonces Pn cola = (/μ) n+1P0
Probabilidad de que la cola este vacía :
P~ Cola = P0 + P1 entonces P~ Cola = 1 - (/μ)2
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Número esperado de usuarios en el sistema (NEUS):
NEUS = Σ i.Pi = 0P0 +1P1+ 2P2+ 3P3+ 4P4+
5P5+ ....
s.q.
Número esperado de usuarios en la cola (NEUC):
NEUC = 0P0 +1P2+ 2P3+ 3P4+ 4P5+ 5P6+ ....
s.q.
NEUS
2
( )NEUC
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<
<
Tiempo esperado de paso de un usuario en cola (TEPUC): TEPUC = (1/ μ)NEUS
Tiempo esperado de paso de un usuario en el sistema (TEPUS):
TEPUS = TEPUC + Tpo.Servicio = /μ(μ-) + 1/ μ
( )TEPUC
1TEPUS
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Costo Total de Paralización :CTP = (TasaArribo)(TpoTurno)(TpoEsperPasoUsuarioStma)
(CostoParalizxUnidTpo)
CTP = ( λ ) . ( Tpo ) . ( TEPUS ) . ( CPu ) (cl/ut) ( ut ) ( ut/cl ) ( $/ut )
Costo Total de Servicio :CTS = (TasaServicio) (TpoTurno)(CostoServicioxUsuario) (cl/ut) (ut) ($/cl)CTS = (TpoTurno)(CostoServxUnidTpo) (ut) ($/ut)
Costo Total de Atención del Sistema
CTAS = CTP + CTS
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CTAS
CTS
CTP
μμ
CTCT
μμ0
CC00
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Problema de Colas• Fotografías tomadas desde 1 helicóptero mostraron
que en promedio había 80 autos circulando en el carril de alta velocidad sobre un tramo de 1 milla de una vía rápida urbana. En meses recientes habían ocurrido cierto número de accidentes en ese tramo y que han sido atribuidos al manejo a corta distancia del auto delantero. Si para plena seguridad la distancia entre los autos recomendable debería ser de cuando menos 30 pies, en ese tramo y sobre ese carril, que % de los autos corre a una distancia demasiado corta del delantero. Considere que la cantidad de autos sobre el tramo de la vía en cuestión se ajusta a una distribución de Poisson.
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dd11
dd22
= 80 autos/milla 1 milla = 5280 pies
ddi i 30 pies
n ~ Poisson ()
d ~ Expon (1/)P(d < 30) = 0
30(80/5280)e- (80/5280)d dd
= 1 - e- 30/66 = 0.37Ptto. el 37% de los autos van a una distancia no recomendable.
El departamento para caballeros de un gran almacén tiene un sastre para ajustar los trajes adquiridos por los clientes. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de Poisson con una tasa media de llegadas de 24 cli/hora. Los ajustes se realizan del tipo primero en llegar primero en ser atendido. Los clientes siempre desean esperar, ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que se tarda en realizar un ajuste se distribuye exponencialmente con media 2 minutos entre clientes. Calcular:
Número promedio de clientes en la sala de ajustes. Cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la sala de
ajustes. Porcentaje de tiempo que permanece ocioso el sastre. Cual es la probabilidad de que un cliente espere los servicios
del sastre más de 10 minutos. Cuanto tiempo deben esperar los clientes por los servicios del
sastre.
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Tiempo medio entre llegadas: Tiempo medio de servicio: Factor de utilización u ocupación:
◦ Número medio de clientes en la sala:
◦ Tiempo medio de espera en el sistema:
◦ Factor de ocio = 1 – Factor de utilización = 0,2
2
12
1
min
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8,05
4
5
22
p
4
4
541
51
p
p
10
52
21
11
5224 cli
hora
◦ El 80 % del tiempo, el sastre está ocupado, y el 20% está ocioso.
◦ probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre más de 10 minutos.
◦ Tiempo medio de espera en cola:
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29,05
4)10(
)5
2
2
1(10
)(10
eeptP espera
8
21)
541(54
)1(
p
p
Una carnicería es atendida por el propietario de la misma. Aparentemente el patrón de llegada de los clientes durante los sábados se comporta siguiendo una distribución de Poisson con una tasa promedio de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo una política FIFO, y debido al prestigio de la tienda, los clientes siempre están dispuestos a esperar su turno. Se estima que el tiempo que se invierte en atender a un cliente se distribuye exponencialmente con un tiempo de servicio medio de 4 minutos entre clientes. Obtener:
Probabilidad de que se cree una cola de espera. Longitud media de la cola. Tiempo esperado de permanencia en cola por cliente. Probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12
minutos en la tienda.
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Tiempo medio entre llegadas:
Tiempo medio de servicio: Factor de utilización:
◦ Existirá cola cuando en el sistema haya más de 1 cliente.
◦ Probabilidad de 0 clientes en el
sistema:
◦ Probabilidad de 1 cliente en el sistema:
◦ Probabilidad de más de 1 cliente en el sistema:
6
1
6
110
min
persona
hora
personas
4
14
1
min
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)(1)1( 10 PPNP
3
1)1(0
0 ppP
9
2
3
1
3
2)1(1
1 ppP
9
4)
9
2
3
1(1)1( NP
3
2
416
1
p
Longitud media de la cola: NEUC
Tiempo medio de espera en cola: TEPUC
Probabilidad de que un cliente
permanezca menos de 12 minutos en la tienda:
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)12(1)12( esperaespera tPtP
34
321
)32(
1
22
pp
8
41)
321(32
)1(
p
p
1)
6
1
4
1(12
)(12
32
32
)12( eepetP espera
El empleado de una ventanilla observa que de cada 100 veces que cuenta los clientes frente a el, en 64 de las veces hay dos o mas clientes. El tiempo promedio que cada cliente permanece desde que se ubica en la cola hasta que es atendido es de aproximadamente 30 minutos. Calcular la probabilidad de que :◦ Lleguen dos (2) clientes en media hora.◦ Lleguen entre dos(2) y cinco(5) clientes en media hora.◦ Transcurra mas de una (1) hora entre el arribo de un
cliente y el siguiente.
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Ventanilla
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p(n>n0) = 64/100 = (/μ)/μ)nn0+1 +1 , entonces
p(n> 1) = 64/100 = (/μ)2 , entonces
/μ = 8/10 = 4/5 ….… (1)
Luego TEPUS = 1/ (μ- ) = ½ ½ hora/cliente, entonces
1/ (μ-) = 1 media hora/cliente, entonces
μ- = 1 …….... (2)
Resolviendo (1) y (2) : μ- (8/10) μ = 1 , entonces
μ = 5 cl/hor y = 4 cl/horFinalmente :
a. p(x=2) = (4)2e-4/2! = 8e-4
b. p(2<x<5) = p(x=3) + p(x=4) = (4)3e-4/3! + (4)4e-4/4!
c. p(t>2) = 1 - 0
2
(4)e- 4t dt = 1 - [1- e-8] = e-8
El inventario de un almacén se agota y se vuelve a surtir según una distribución de Poisson. Los tiempos medios entre vaciados y resurtidos son iguales a 1/μ y 1/ respectivamente. Suponga que por cada unidad de tiempo que el inventario esta vacío se incurre en un costo de escasez (Ce), y en un costo de almacenamiento (Ca) por cada unidad de tiempo que en el almacén se mantiene un determinado inventario. Si Ce > Ca, determine:◦ Una expresión para el costo total esperado por
unidad de tiempo◦ El valor óptimo de = /μ
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tpo. surtir inventario = 1/ ~ Exp
tpo. agotar inventario = 1/μ ~ Exp
CT inventario = Costo escasez + Costo almacenamiento
= P0 * Ce + Inventario*Ca
= (1- /μ)(Ce) + (NEUS)(Ca)
= (1-)Ce + [ /(μ- )]Ca
= (1- )Ce + [ /(1- )]Ca
= [(1- )2Ce + Ca]/(1- )dCTi = [2(1- )(Ce)(-1)+Ca](1- ) - (-1)[(1- )2Ce+ Ca]
d (1- )2
dCTi = [-2(1- )2(Ce)+Ca(1- ) +(1- )2Ce+ Ca
d (1- )2
dCTi = Ca - (1- )2Ce = Ca - Ce para determinar el óptimo hacemos
d (1- )2 (1- )2
dCTi = 0 entonces Ca - Ce = 0 luego (1- )2 = Ce/Ca = 1 - Ca
d (1-)2 Ce
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En un consultorio médico los pacientes toman asiento en la sala de espera hasta que les corresponda su turno de atención. En promedio llegan 4 pacientes por hora según una distribución de Poisson, y entre cada atención transcurre un tiempo promedio de 12 minutos, según una distribución Exponencial. Cuantas sillas como mínimo serán necesarias en la sala de espera para que se tenga un 90% de probabilidad o más de que todos los pacientes esperen sentados.
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A un cajero automático llegan 3 tipos diferentes de clientes. Clientes de retiro, de deposito y de consulta. Los de retiro se ha determinado llegan 12 cli/hora promedio y son atendidos a razón de 2 min/cli promedio; los clientes de deposito arriban en un tiempo promedio de 5 cli/hora y demoran 3 min/cli en realizar su operación como tiempo promedio. Los clientes de consulta llegan en promedio 8 cli/hora y la realizan en un promedio de 1 min/cli . Si todas las llegadas se ajustan a una distribución de Poisson y todos los tiempos entre servicios a una distribución exponencial, hallar la probabilidad de que no existan usuarios en cola.
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Los automóviles llegan a una caseta de peaje según una distribución de Poisson con media de 90 autos/hora. El tiempo promedio de atención en la caseta es de 38 segundos. Los choferes se quejan por el tiempo de espera y los cobradores están dispuestos a disminuir a 30 segundos el tiempo de atención introduciendo un nuevo mecanismo automático. Los responsables consideran que la introducción de este mecanismo se justificaría si con el sistema anterior el número promedio de autos que esperan excede a 5 y además el tiempo ocioso de la caseta no deberá ser 10% mayor. ¿Se justifica esta mejora?
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PROBLEMA 9Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén esta a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y gasta un promedio de 5 min. Para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares / hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares / hora, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 min. Para atender las solicitudes de herramientas. Supóngase que son exponenciales tanto los tiempo de servicio como el tiempo entre llegadas. Se debe contratar al ayudante?
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Preguntas sobre elsistemas de colas …