8/14/2019 Sistema Experto en Deduccin Natural

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SISTEMA EXPERTO EN DEDUCCINNATURAL

Gabriel Garduo Soto, 1

David Ren Thierry Garca,2

Rafael Vidal Uribe,1

Hugo Padilla Chacn3

1. Panorama actual del problema de la deduccinnatural

El problema de la deduccin natural ha sido aborda-do desde distintas perspectivas. En la mayor parte de

las investigaciones realizadas hasta la fecha se han

intentado soluciones que, con base en un enfoque

sintctico, tratan de probar la validez de las con clu -

siones propuestas a los diversos grupos de premisas

objeto de investigacin. En dichos enfoques sintcti-

cos, se utilizan tcnicas de recorrido lineal, o arbores-cen te, tal como el backtracking, o bien, bsquedas

heursti cas cuya mayor dificul tad es el enorme gasto

en tiempo y memoria de mquina empleado. Todo

usuario del lenguaje Prolog conoce el constante

riesgo de saturacin de la memoria RAM, a menos de

que se controlen estrictamente la emisin de reglas

de produccin (o transformaciones sintcticas) y el

recorrido global sobre cada una de las premisas

declaradas, mediante los comandos de corte incorpo-

rados enProlog.

De este modo, se han publicado trabajos con resul-

tados alentadores, pero incompletos, para la investi-gacin del problema de la deduccin natural; sirvana manera de ejemplo los enfoques siguientes:

Mtodos grficos de distribucin hiper-

geomtrica (Urquhart 1987).

Mtodos algortmicos de recorrido lineal sobre

todas las clusulas de Horn que se pueden pro-

ducir a partir del conjunto de premisas propues-

to (Arvind 1987) y mtodos de chequeo

clau sular con fuerza bruta, a travs de enfoques

en paralelo (Chen 1987).

Mtodos de bsqueda arborescente (Amir 1987). Mtodos de investigacin matemtica sobre

anillos booleanos (Nakao 1986).

Mtodos de investigacin sobre el tiempo de

mquina requerido para dilucidar la validez de

la conclusin propuesta (Walton 1987).

En el trabajo aqu presentado, se ha implementadouna aritmetizacin comple ta de la lgica bivalenteque bien podra denominarse lgica aritmetizada sinrastreo (backtracking), pues los algoritmos propues-tos permiten un acercamiento directo y prcticamen-te sin gasto de tiempo de mquina en la bsquedaheursti ca, ya que en su indaga cin acerca de la vali-dez de una conclusin, el sistema se dirige infalible-mente al lugar matemtico en donde se produce dichaconclusin, en caso de ser vlida; en el caso contra-rio, el sistema informa acerca de su no-validez.

En la mayor parte de los intentos que se han reali-zado para resolver el problema de la deduccin natu-ral se ha formalizado a la lgica desde distintasperspectivas, pero formalizar no es lo mismo quearitmetizar. Toda aritmetizacin de la lgica es, eoipso, una formali zacin; la inversa no siempre es v-lida. La relacin no es necesariamente simtrica.

2. Breves consideraciones sobre tres aritmetiza-ciones de la lgica

Es bien conocido el recurso fundamental de que se

sirve Gdel para desarrollar su teorema de incomple-tud (1931): aritmetiza el nivel de la lgica. A cada

sig no elemental, a cada frmula y a cada secuen cia

de frmulas de la lgica les asig na un nmero nico

(nmero de Gdel) de manera que la lgica queda

mapeada en la aritmtica. Este mapeo en Gdel no

es un fin en s mismo: es slo un recurso, entre otros,

de que se vale para al canzar el propsito de probar el

teorema. Quiz por ello no fue bice que el mapeo no

resultara biunvoco, es de cir, que mientras a cada

expresin o secuencia de expresiones lgicas les

corresponde un nico nmero (de Gdel), no todo

nmero es un nmero de Gdel y, por lo tanto, notodo nmero representa una expresin o se cuencia de

expresiones lgicas. Por esto la aritmetizacin de

Gdel no permite ir ms all, desde un punto de vista

operativo.

1

1 Facultad de Filosofa y Letras, UNAM. Colegio de Filosofa, Divisin SUAFyL.

2 Facultad de Economa, UNAM. Divisin SUAE.

3 Facultad de Filosofa y Letras, UNAM. Divisin de Estudios de Posgrado.

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En diversos trabajos, ukasiewicz emple recur-sos de aritmetizacin para tratar problemas de lgica.Sin embargo, la aritmetizacin misma tampoco latuvo como fin en sus investigaciones. A diferencia deGdel que estableci un mecanismo estricto paragarantizar la univocidad (aunque no la biunivocidad,como se dijo antes), ukasiewicz siempre estableciconvenciones laxas y coyunturales, de manera quelos nmeros empleados, aunque reflejan ciertas estruc-turas profundas de la lgica, tampoco permiten unaoperatividad sistemtica.

En el mtodo de Quine-Mcklusky para mini-mizar funciones booleanas cannicas, tambinpuede encontrarse una incipiente aritmetizacin.Tampoco es un objetivo en s misma y sloauxilia, dentro del propsito del mtodo, al finde agrupar los sumandos lgicos potencialmenteminimizables.

No hemos encontrado una aritmetizacin igual a laque ahora se expone en sus rasgos generales.

3. Aritmetizacin del clculo proposicional

3.1 La aritmetizacin que hemos desarrollado

est constituida por un grupo de algoritmos

que resuelven como problemas estrictamente

aritmticos los problemas del clculo proposi-

cional.

3.2 Las reglas de correspondencia permiten ga-

rantizar una biunivocidad, en el siguiente

sentido: a toda y a cada frmula del clculoproposicional le corresponde uno y slo un

nmero; a todo y a cada nmero le corres-

ponde una y slo una frmula del clculo

proposicional.

3.3 Los nmeros constituyen los valores que

pueden ser sustituidos por las variables,

parmetros y constantes en los algoritmos.

Los nmeros que resultan de rea li zar las ope-

raciones aritmticas sealadas en los al go rit-

mos representan la solucin par cial o total de

un problema lgico par cial o total.

3.4 Una vez resuelto un problema lgico por

medio de los algoritmos, en virtud de 3.2

(biunivocidad) la solucin aritmtica se

reinterpreta en notacin lgica.

3.5 La validez de los algoritmos fue probada por

medio de la induccin matemtica completa.

Como consecuencia de la aritmetizacin lograda,puede establecerse una conexin con el conocidoteorema de Shannon (1938). El teorema de Shannonestablece una biunivocidad entre las frmulas dellgebra booleana y los circuitos en serie-paralelo:cada frmula del lgebra booleana es realizablecomo un circuito en serie-paralelo; a la inversa, cada

circuito en serie-paralelo es representable como unafrmula del lgebra booleana. Ahora puede postular-se una exten sin de este teorema: a cada nmero lecorresponde una frmula booleana cannica y, pues-to que (por el teorema de Shannon) a cada frmulabooleana le corresponde un circuito en serie-parale-lo, entonces a cada nmero le corresponde un circui-to en serie-paralelo. La inversa es vlida tambin.

4. Sistema para resolver problemas de deduccin

Los algoritmos mencionados conforman un sistema

en el sentido en que grupos y subgrupos de los mis-mos estn destinados a resolver problemas especfi-

cos, pero todos ellos son interrelacionables y, por

esto, permiten resolver problemas con mayor grado

de comple ji dad. De esta manera, el siste ma, al que

denominaremos, SD, puede ser definido como:

SD = < {A1,A2, ... ,An}, {0, 1, 2, ... , n},R>

en donde {A1,A2 , ... ,An} es el conjunto de los algo-

ritmos; {0, 1, 2, ... , n} es el conjunto de los valores

que pueden cobrar las variables y constantes de los

algoritmos, yRes una relacin que permite la inter-

conexin entre los algoritmos.

El sistema que conforman los algoritmos es exper-to en el sentido en que puede simular la conductade un lgico especializado en problemas de deduc-cin dentro del clculo proposicional, aunque tam-bin dentro del clculo cuantificacional bajo ciertasrestricciones. La silogstica aristotlica, por ejemplo,aunque perteneciente por tradicin a una lgica detrminos, es manejable dentro del sistema. El siste -ma es exper to an en el sentido psicolgico en que elsistema puede dar sorpresas, inclusive a sus propios

creadores. A manera de ilustracin: cuando estabasiendo sometido a ensayos y provisto de informacinconcerniente a la silogstica clsica, reportabacomo invlidos varios silogismos incluidos comovlidos en algunos listados estndar: Bamalip ,Darapti, etc. Se pens, en pri mera y ms grave ins-tancia, en un error en los algoritmos; luego, en unerror en la interconexin; luego, en un error en la infor-macin, etc. No haba tal: el sistema estaba bien. Lossilogismos que rechazaba son dubitables en tanto que

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silogismos genuinos, puesto que implican una pre-suncin de existencia no contenida en las premisasuniversales. Para percatarse de esto, hubo necesidadde revisar las discusiones sobre la silogstica clsica.Los creadores del sistema, supuestos expertos, habanolvidado estas cuestiones.

No es posible ofrecer, en la reducida extensin

a que estn constreidos los trabajos que se presentanen una conferencia, los algoritmos que conforman elsistema. Su exposicin y explicacin consumiran untiempo equivalente, por lo menos, al de un curso conduracin de dos semestres acadmicos. No son muynumerosos, son aproximadamente cien. Tampocoson difciles de comprender, slo se requiere el mane -jo de dos teoras elementales, la de la lgica y la de losnmeros. Pero algunos de ellos son extensos y apa-rentemente complejos. No obstante, se destacarn enseguida algunas de sus caractersticas fundamentales:

4.1. Permiten distinguir entre las frmulas bien

formadas (wffs) y las simples expresiones.

4.2. Permiten saber si en un conjunto de wffscon-

sistentes, sintcticamente diferentes, una o

ms frmulas son redundantes, esto es, si son

semnticamente equivalentes; o bien, si la

ltima de las wffses redundante por deducti-

bilidad respecto de las wffsanteriores.

4.3. Permiten transformar cualquier frmula bien

formada, con cualquier nmero y combina-

cin de los operadores lgicos clsicos, en una

frmula cannica (normal disyuntiva).

4.4. Permiten decidir si una frmula determinada

cualquiera, con cualquier nmero y combina-

cin de los operadores lgicos clsicos, es o

no un teorema de un clculo proposicional

axiomatizado.

4.5. Permiten decidir, en deduccin natural, si una

frmula determinada se deduce o no de un

conjunto de premisas dado.

4.6. Permiten obtener, en deduccin natural,todaslas conclusiones semnticamente dis -tintas que se deducen de un conjunto de pre-

misas dado.

4.7. Resuelven un problema inusual dentro de la

lgica. A saber: permiten obtener, en deduc-

cin natural, todoslos conjuntos semntica-mente distintos de premisas de los cuales se

deduce una vez determinado el nmero de

va riables en que se quie ra encuadrar el pro-

blema una frmula cualquiera propuesta a

manera de conclusin.

4.8. Los problemas se pueden plantear con cual-

quier nmero y combinacin de los operado-res lgicos tradicionales; las soluciones, en

los casos 4.6 y 4.7, se obtienen en forma nor-

mal disyuntiva.

Con la adicin de dos subsistemas ms, cuyos algo-

ritmos estn en un avanzado proceso de elaboracin,

en un futuro cercano ser posible: a) obtener las

frmulas cannicas en forma minimizada y b) me-

diante una programacin de grficas, obtener direc -

tamente el diseo del circuito en serie-paralelo

minimizado, que corresponda a un determinado pro-

blema lgico planteado.

5. Sistema y Programacin

Los algoritmos contenidos en el sistema permiten

trabajar, en principio, con cual quier nmero finito de

variables proposicionales, tan grande como se quie-

ra. Sin embargo, las limitaciones propias de los equi-

pos de cmputo personales (PC), restringen su

efectividad, por ahora, a un mximo de cuatro varia-

bles. No obstante esto, se producen resultados intere-

santes: hay planteamientos, en el caso 4.6, en que se

llegan a obtener ms de 30,000 conclusionessemnticamente distintas, a partir de un conjunto de

premisas con cuatro variables.

6. Acotacin terica

La filosofa sub yacen te en el desarrollo de los algo -

ritmos es eminentemente constructivista. Por esto, la

lnea de investigacin se encuen tra cercana a los enfo -

ques del intuicionismo: Krnecker, Poincar, Borel,

Brower, Weyl, Heyting, etc., aunque esto no signifi-

ca que se asuman to das las te sis de esta co rriente.

Mayo de 1990

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Referencias:

Amir A.: Expressive Completeness Failure in

Branching Time Structures.Journal of Computer

and System Sciences34, (1), 27-42, 1987.

Arvind V., Biswas S.: An O(n2) Algorithm for the

Satisfiability Problem of a Subset of PropositionalSentences in CNFthat Includes all Horn Senten-

ces. Information Processing Letters 24, (1),

67-69, 1987.

Chen Wen-Tsuen, Liu Lung-Lung: Parallel

Approach for Theorem Proving in Propositional

Logic.Information Sciences41, (1), 61-76, Feb.

1987.

Nakao Z.: An Extension of Logic Functions on

the Quaternary Boolean Ring. The Transactions

of the IECE of Japan, E69, (11),1169-1172, Nov.

1986.

Urquhart A.: Hard Examples for Resolution.Journal of the Association for Computing Machi-

nery, 34, (1),209-219, 1987.

Walton Purdom P.Jr., Brow A. C.: Poly no-

mial-Average-Time Satisfiability Problems.

Information Sciences41, (1), 23-42, 1987.

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Nota editorial:

Este trabajo fue presentado en elIer . Coloquio en Ciencia Cognitiva. Universidad de Guadalajara y Sociedad

Filosfica Iberoamericana. Facultad de Filosofa y Letras de la Universidad de Guadalajara. Guadalajara. 19y 20 de Julio de 1990. Una versin preliminar de este documento fue publicada en: Va. Confer encia Internacional: Las Computadorasen Instituciones de Educacin y de Investigacin. Cmputo Acadmico UNAM, UNISYS, Mxico. Noviembre14 a Noviembre 16 de 1989.