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La Universidad Politécnica de Madrid, comparte en la web, pequeñas historias de las matemáticas que explican y que son muy instructivas.

La historia de hoy:

Métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales

“La búsqueda de soluciones aproximadas a problemas matemáticos en general, es un proceso antiguo. Se puede citar como ejemplo los polinomios de Taylor que aproximan a una función, o los polinomios interpoladores obtenidos por Newton y Lagrange para ajustar una función polinómica a una tabla de n valores, o el método de Newton para hallar una solución aproximada de una ecuación, o por último, el método de Euler para el cálculo de una solución aproximada de una ecuación diferencial.

El método de Euler , que data de 1768, está aún “vivo”, no sólo porque juega un papel excepcional en la enseñanza como base metodológica para explicar métodos más complicados, sino que incluso se sigue utilizando en la actualidad para obtener una primera aproximación en la resolución de ecuaciones.

El mismo Euler en los ejercicios propone métodos de orden superior que son los que hoy se conocen como métodos de Taylor , donde la idea geométrica la proporciona el calcular la segunda derivada, en lugar de utilizar para aproximar la solución por la tangente se hace mediante la parábola que más se aproxima, o en general por el polinomio de grado n que más se aproxima.

Los siguientes métodos se deben a John C. Adams (1819 – 1892). Analizando anomalías en la órbita de Saturno, Adams conjeturó en 1846 la existencia de otro planeta, siendo observado Neptuno en 1846. Fue catedrático en Escocia en St. Andrews, en 1858, y en Cambridge en 1859, siendo nombrado director del Observatorio de Cambridge en 1 861. Los métodos que llevan su nombre, Adams no los publicó (quizás no los considerara suficientemente serios). Aparecen publicados por primera vez por Bashford, en 1883, en un trabajo sobre problemas de capilaridad, tensión superficial, la forma de una gota…, aunque dijo que ya los conocía de Adams desde 1855.

Con el polinomio interpolador más sencillo, una constante, se recupera el método de Euler. Si se usa una recta se obtiene un método de segundo orden, y con esta forma de razonar, aumentando el grado del polinomio y el número de puntos de partida, es posible obtener métodos del orden que se quiera. De esta forma se obtienen los métodos explícitos que se conocen con el nombre de métodos de Adams-Bashford . La cantidad de trabajo en cada paso es la misma que en el método de Euler, pues aunque cada valor se usa varias veces, en cada paso sólo se evalúa una vez la

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

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función. Adams construyó otros métodos, los implícitos, que en la bibliografía se conocen como métodos de Adams-Moulton .

Carl David Tolmé Runge nació en 1856 en Brena. Vivió en La Habana. Estudió hacia 1 876 en Munich y Berlín con Kronecker y Weierstrass, donde se ocupó del estudio de la variable compleja. En 1886 se trasladó a Hannover a la Escuela Técnica Superior donde conoció a Plank, que investigaba en espectroscopia, centrándose en trabajos de matemática aplicada. En 1905 fue llamado a Göttingen por Félix Klein, donde fue nombrado como el primer catedrático de Matemática Aplicada. En 1895 apareció publicado su trabajo en la revista “Mathematische Annalenn”.

Wilhelm Martin Kutta en 1901 utilizó este formato general y describió varios métodos de orden cuatro con cuatro etapas. Uno de ellos es el que ha pasado a los libros como el método de Runge-Kutta , lo cual es inexacto, pues no lo descubrió Runge , sino Kutta , y es uno entre varios, y no precisamente del que se muestra más orgulloso. Aunque bien es cierto que Runge lo mencionó en un libro sobre Matemática Aplicada.

El primer estudio riguroso de la teoría matemática encerrada en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales se debe a Dahlquist que escribió su tesis, ya mayor, en el año 1956, siendo publicada en 1959. Es el primero en escribir una teoría que explique conceptos como estabilidad o el orden alcanzable. Sólo escribió seis o siete artículos, pero son de una importancia excepcional.”

Sistemas de Numeración:

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

Sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.

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Sistema de numeración binario.

Sistema de numeración octal

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Sistema de numeración hexadecimal

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

El código ASCII : (siglas en ingles para American Standard Code for Information Interchange, es decir Código Americano Estándar para el intercambio de Información ) . Fue creado en 1963 por el Comité Estadounidense de Estándares o "ASA", este organismo cambio su nombre en 1969 por "Instituto Estadounidense de Estándares Nacionales" o "ANSI" como se conoce desde entonces. Este código nació a partir de reordenar y expandir el conjunto de símbolos y caracteres ya utilizados en aquel momento en telegrafía por la compañía Bell. En un primer momento solo incluía letras mayúsculas y números, pero en 1967 se agregaron las letras minúsculas y algunos caracteres de control, formando así lo que se conoce como US-ASCII, es decir los caracteres del 0 al 127.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

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Así con este conjunto de solo 128 caracteres fue publicado en 1967 como estándar, conteniendo todos lo necesario para escribir en idioma inglés.

EJERCICIOS

1. Escribe el código ASCII correspondiente, tanto en decimal como en binario, a las letras de tu nombre y apellidos. Distinguir entre mayúsculas/minúsculas, y sin acentos. Ejemplo:

LETRA DECIMAL BINARIO M 77 1001101 A 97 1100001

R 114 1110010

Y 121 1111001 U 117 1110101 R 114 1110010 I 105 1101001

<espacio> 32 0100000 B 66 1000010

O 111 1101111 R 114 1110010 R 114 1110010 E 101 11001011 R 114 1110010 O 111 1101111

Conversión a Binario del número 1077 :

El resultado, siguiendo los restos empezando por el cociente de más a la derecha, nos da el,

resultado final en binario. Es decir: 21001101 .

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Conversión a decimal: En esta conversión cada cifra será multiplicada por la base del sistema de numeración 2b , elevada a una potencia que dependerá de la posición de esa cifra en el

número a convertir. Empezando por la posición de más a la derecha la primera cifra se multiplica

por 02 , la segunda por la derecha se multiplica por 12 , y así sucesivamente.

21001110110 = 456789 212121202021 123 212120

2416326451210011101102

102 6301001110110

2. Realiza la conversión tanto a decimal como a hexadecimal de los siguientes números binarios:

a. 21001110110

b. 2101111010

c. 2111011000

Conversión a hexadecimal:

Para la conversión a hexadecimal el número a convertir se divide en grupos de 4 bits empezando por la derecha. Si el último grupo no tiene 4 bits se le añaden tantos ceros a la izquierda como sea necesario para completar el grupo.

Por lo tanto el número 21001110110 , lo dividimos en 3 grupos de 4 bits cada uno de ellos: 10 ,

0111y 0110 . Como el último grupo no llega a los 4 bits lo rellenamos con ceros a la izquierda, quedando los 3 grupos de 4 bits como: 0010 , 0111 , y 0110 .

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BINARIO DECIMAL HEXADECIMAL

0000 0 0

0001 1 1

0010 2 2

0011 3 3

0100 4 4

0101 5 5

0110 6 6

0111 7 7

1000 8 8

1001 9 9

1010 10 A

1011 11 B

1100 12 C

1101 13 D

1110 14 E

1111 15 F

Después de la división, la conversión es directa (ver tabla) ya que a cada grupo de 4 bits ( 1624 ) posibles valores = los que tiene el alfabeto hexadecimal le corresponde un valor en el alfabeto hexadecimal.

La conversión de cada grupo, si no sabemos la conversión directa entre el binario y el hexadecimal, se haría la siguiente manera.

0123

2 202120200010

1610

1

2 22210010 0123

2 212121200111

1610

012

2 771242121210111 0123

2 202121200110

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1610

012

2 66242021210111 Por lo tanto como se observa en la tabla, al 20010

le corresponde el valor hexadecimal2, al 20111 , el valor hexadecimal 7 y al 200110 , el valor

hexadecimal 6.

Luego el resultado final es:

162 2761001110110

Conversión de binario a octal

A fin de obtener el número binario equivalente para el número octal, escribir el dígito octal individual en su equivalente números binarios de la por debajo de la tabla de conversión que le da el número binario equivalente.

Ejemplo: Convertir el número Hexadecimal (536)8 en su equivalente binario.

1. Realiza la conversión a decimal del número octal 325.

2. Cuál es el siguiente número hexadecimal al 1619F ?

A. 1602A

B. 16200

C. 1601A

ACTIVIDAD

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3. Cuantos bytes tienen 16MB, y cuantos bits?

4. Si tengo 2 módulos de memoria con 512 MB y 1024 MB. Cuantos GB de memoria tengo en total?

5. Tenemos un disco duro con una capacidad total de 20 GB. Si cada bloque en los que ese disco duro se divide en 4 KB. Cuantos bloques hay en total?

6. Elije un refrán y codifíquelo en código Ascci, incluyendo pistas tales como:

- Numero de vocales : a

- Numero de vocales : e

- Numero de vocales : u

- Numero de espacios:

- Numero de consonantes 1

- Numero de consonantes 2

7. Intercambiar el refrán con los demás compañeros, el objetivo es tratar de decodificar el refrán antes de que los compañeros decodifiquen el nuestro.

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Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. ALBERT EINSTEIN