sistem persamaan linear -...
TRANSCRIPT
![Page 1: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/2.jpg)
Sistem Persamaan Linear
•Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas
Matriks:
nnnnnn
n
n
n
C
C
C
C
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaa
3
2
1
3
2
1
21
33231
22221
11211
nnmnmmm
nn
nn
Cxaxaxaxa
Cxaxaxaxa
Cxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
![Page 3: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/3.jpg)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)
Algoritma Gauss Naif
Algoritma Gauss Jordan
Algoritma Gauss Seidel
Aturan Cramer
![Page 4: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/4.jpg)
Algoritma Gauss Naif
![Page 5: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh Algortima Gauss Naif
•Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2
•Bagaimana penyelesaiannya?
![Page 6: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/6.jpg)
Penyelesaian:
• Matriks yang terbentuk:
• Langkah:
1.
2
1
4
141
113
122
3
2
1
x
x
x
2
1
2
141
1132111
2
1
2
2
1
1
x
x
x
b
![Page 7: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/7.jpg)
Penyelesaian (lanjutan)
2. dan 3.
4. dan 5.
2
5
2
14121402111
3
3
2
1
12
x
x
x
bb
0
5
2
2330
21402111
3
2
1
13
x
x
x
bb
![Page 8: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/8.jpg)
6.
7. dan 8.
045
2
2330
81102111
4
1
3
2
1
2
x
x
x
b
41545
2
81500
81102111
3
3
2
1
23
x
x
x
bb
Penyelesaian (lanjutan)
![Page 9: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/9.jpg)
• Hasil:
2
415
815
3
3
x
x
1281
45
45
81
2
32
x
xx
022112
221
1
321
x
xxx
Penyelesaian (lanjutan)
![Page 10: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/10.jpg)
Algoritma Gauss Jordan
•Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :
diubah menjadi
C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:
CXIA | CXAI 1|
nn C
C
C
C
x
x
x
x
A
3
2
1
3
2
1
1
1000
0100
0010
0001
nn Cx
Cx
Cx
22
11
![Page 11: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/11.jpg)
Algoritma Gauss Jordan
![Page 12: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh Algoritma Gauss Jordan:
•Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2
•Bagaimana penyelesaiannya?
![Page 13: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/13.jpg)
Penyelesian
• Langkah:
1.
2.
2
1
4
100
010
001
1
1
1
4
1
2
1
3
2
3
2
1
x
x
x
2
1
2
100
010
0021
1
121
4
1
1
1
3
1
2
1
3
2
1
1
x
x
x
b
![Page 14: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/14.jpg)
Penyelesaian (lanjutan)
3.
4.
13
12 3
bb
bb
0
5
2
1021
0123
0021
232121
3
4
1
0
0
1
3
2
1
x
x
x
045
2
1021
041
83
0021
238121
3
1
1
0
0
1
4
1
3
2
1
2
x
x
x
b
![Page 15: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/15.jpg)
Penyelesaian (lanjutan)
5.
6.
23
21
3bb
bb
4
154543
143
813
041
83
041
81
8158183
0
1
0
0
0
1
3
2
1
x
x
x
24543
158
156
1513
041
83
041
81
18183
0
1
0
0
0
1
15
8
3
2
1
3
x
x
x
b
![Page 16: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/16.jpg)
Penyelesaian (lanjutan)
7.
Jadi: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2
32
31
81
83
bb
bb
2
1
0
158
156
1513
151
51
154
51
52
521
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
x
x
x
![Page 17: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/17.jpg)
Algoritma Gauss Seidel
• Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan yang berjumlah besar.
•Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan harga awal untuk x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0.
•Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x1, x2, x3, ..., xn.
• Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.
![Page 18: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/18.jpg)
Algoritma Gauss Seidel
1. Beri harga awal x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0
2. Hitung
Karena x2 = x3 = x4 = ... = xn = 0, maka
11
141431321211
a
xaxaxaxaCx nn
11
11a
Cx
![Page 19: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/19.jpg)
Algoritma Gauss Seidel
3. x1 baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk menghitung x2.
Baris 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = C2
22
232312122
a
xaxaxaCx nn
22
12122
a
xaCx
![Page 20: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/20.jpg)
Algoritma Gauss Seidel
4. Menghitung x3
Baris 3 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = C3
a33x3 = C3 – a31x1 – a32x2 – … – a3nxn
33
343423213133
a
xaxaxaxaCx nn
33
23213133
a
xaxaCx
![Page 21: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/21.jpg)
Algoritma Gauss Seidel
5. Cara ini diteruskan sampai ditemukan xn.
6. Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x1, x2, x3, ..., xn baru
nn
nnn
n
nn
nn
a
xaxaxaxaCx
a
xaxaxaCx
a
xaxaxaCx
111313212111
22
232312122
11
131321211
![Page 22: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/22.jpg)
Algoritma Gauss Seidel
7. Mencari kesalahan iterasi |a| dengan cara:
8. Iterasi diteruskan sampai didapat |a| < |s|
%100
%100
)(
)(
barun
lamanbarun
an
barui
lamaibarui
ai
x
xxx
x
xxx
![Page 23: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh Algoritma Gauss Seidel
•Diketahui SPL:
x1 + 7x2 – 3x3 = –51
4x1 – 4x2 + 9x3 = 61
12x1 – x2 + 3x3 = 8
dan a = 5 %
8
61
51
3112
944
371
3
2
1
x
x
x
![Page 24: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/24.jpg)
Penyelesaian:
•Iterasi ke-0
x1 = x2 = x3 = 0
•Iterasi ke-1
511
511
x
25,66
4
51461
4
461 12
xx
58,184
3
25,66518
3
128 213
xxx
![Page 25: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/25.jpg)
Penyelesaian (lanjutan)
•Iterasi ke-2
78,3407
3
55,136649,966128
3
128
55,13664
58,184949,966461
4
9461
49,9661
58,184325,66751
1
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
![Page 26: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/26.jpg)
Penyelesaian (lanjutan)
•Iterasi ke-3
•Perhitungan x1, x2, x3 diteruskan sampai semua |a| < |s|
11,70189
3
94,2752219,19840128
3
128
94,275224
78,3407919,19840461
4
9461
19,198401
78,3407355,1366751
1
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
![Page 27: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/27.jpg)
Penyelesaian (lanjutan)
Iterasi ke- Nilai x a
0
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
1
x1 = 51
x2 = 66,25
x3 = 184,58
2
x1 = 966,49
x2 = 1366,55
x3 = 3407,78
a = 105,28 %
a = 104,85 %
a = 105,42 %
3
x1 = 19840,19
x2 = 27522,94
x3 = 70189,11
a = 104,87 %
a = 104,97 %
a = 104,86 %
![Page 28: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/28.jpg)
Koefisien Relaksasi ()
•Tujuan:Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel. •Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri
berdasarkan masalah yang dihadapi. • Jika SPL tidak konvergen, yang bernilai antara
0 s/d 1 disebut Under Relaksasi.• antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk
mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.
![Page 29: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/29.jpg)
Koefisien Relaksasi ()
•Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan
lama
i
baru
i
baru
i xxx 1
![Page 30: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh Koefisien Relaksasi ()
Iterasi
ke-Nilai x
dengan
(1,5)
0x1 = 0
x2 = 0
1x1 = 10
x2 = 15
2x1 = 6
x2 = 7,5
x1 baru = 4
x2 baru = 3,75
3x1 = 4
x2 = 3,75
Contoh perhitungan :
x1 baru
= 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10
= 9 + (–0,5) . 10
= 4
![Page 31: Sistem Persamaan Linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.idmiftakhurrizal.lecture.ub.ac.id/files/2017/03/SPL-SIMULTAN-2.pdf · cara : diubah menjadi ... 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 -](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050807/5a7a7e427f8b9a2d788bf924/html5/thumbnails/31.jpg)