sistem jaringan antrian fix

M A T A K U L I A H J A R T E L

BAB II

PENDAHULUAN KE ANTRIAN

2.1. Umum

SISTEM ANTRIAN : SISTEM KOMODITI MENGALIR /

BERGERAK / DIPINDAHKAN DARI SATU TITIK MELALUI

SEBUAH KANAL / BEBERAPA KANAL YANG MEMPUNYAI

KAPASITAS TERBATAS KE TITIK YANG LAIN.

KOMODITI KANAL

Kendaraan Jalan Raya

Barang Kereta api, kapal, dan lain-lain

Air Bendungan

Data Jaringan data

Sinyal Jaringan Telekomunikasi

Panggilan telepon Jaringan Telepon, sentral telepon

KAPASITAS KANAL TERBATAS :

DALAM MENYALURKAN KOMODITI, KANAL MEMPUNYAI

KAPASITAS MENYALURKAN SEJUMLAH KOMODITI PER

SATUAN WAKTU (RATE) TERBATAS.

TEORI ANTRIAN :

SALAH SATU TEORI UNTUK MENGANALISIS SISTEM

ANTRIAN.

SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 1


JENIS-JENIS SISTEM ALIRAN :

1. ALIRAN KONSTAN/DETERMINISTIK

2. ALIRAN TIDAK KONSTAN/STOKASTIK

1) S I S T E M A L I R A N K O N S T A N

ALIRAN BERJALAN DENGAN SIFAT YANG DAPAT

DIRAMALKAN (PREDICTABLE).

- KUANTITAS ALIRAN DIKETAHUI DAN KONSTAN

TERHADAP WAKTU.

- WAKTU SAAT ALIRAN MASUK (DATANG) KE KANAL

DAN BERAPA BESAR KEBUTUHAN ALIRAN ADALAH

DIKETAHUI DAN KONSTAN.

Contoh: Sistem produksi dengan ban berjalan.

Asumsi: - komoditi bergerak dengan rate yang konstan

R = Rate Kedatangan

- Waktu proses (lamanya waktu pelayanan) untuk setiap

komoditi : L (satuan waktu)

Predefinisi : C = Kapasitas = rata pelayanan (maks)

= R/L


Selesai dilayani

Permintaan

Pelayanan


DIINGINKAN : R < C

Harga rata-rata Kapasitas sistem harus lebih besar dari pada

harga rata-rata rate kedatangan.

2) SISTEM ALIRAN TIDAK KONSTAN ( STOKASTIK /

RANDOM )

Waktu kedatangan komoditi ( permintaan untuk

dilayani ) tak dapat diramalkan / ditentukan.

Besarnya komoditi tak dapat diramalkan / ditentukan.

Contoh :

Dalam sistem antrian ini terdapat kemungkinan bahwa

permintaan pelayanan datang pada waktu pelayan masih

melayani permintaan, jadi permintaan yang dating pada waktu

tersebut terpaksa harus menunggu.

PERTANYAAN :

Berapa lama sebuah permintaan akan menunggu

sebelum dapat dilayani ?

Berapa prosen dari permintaan yang terpaksa harus

menunggu ?

Berapa prosen dari waktu bahwa pelayan sibuk ?

Dll.

JAWABAN : Teori probabilitas dan Statistik digunakan untuk

menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut.


Pelayan


S I S T E M Y A N G P A L I N G S E D E R H A N A

Sistem Antrian

PARAMETER UNTUK MENDISKRIPSIKAN SISTEM ANTRIAN

P R O S E S M A S U K A N.

D I S I P L I N P E L A Y A N A N.

D I S I P L I N A N T R I A N.

NOTASI KENDALL

M / M / n

Contoh :

Proses Masukan : ProsesPelayanan :

( Waktu Pelayanan )

M : Markovian. M : Markovian.

D : Deterministic. D : Deterministic.

E : Erlangian. E : Erlangian.

G : General. G : General.

SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P

Proses Masukan / Proses Pelayanan / Jumlah Pelayan

4

Masukan Keluaran


*DISIPLIN PELAYANAN (ANTRIAN)

- First In First Out (FIFO atau FCFS)

- RANDOM (ACAK)

- Last In First Out (LIFO)

- Prioritas :

a. Pre-emptive (Prioritas tinggi mendesak prioritas

yang lebih rendah)

b. Non pre-emptive (Prioritas tinggi yang tidak

mendesak prioritas yang lebih rendah)

- Dll.

Kembali ke notasi Kendall:

A / B / C

A : Distribusi waktu antar kedatangan/permintaan.

B : Distribusi waktu pelayanan (service time/holding time).

C : Jumlah pelayanan.

Selain itu masih dapat ditambah keterangan :

- Kapasitas sistem atau jumlah permintaan/pelanggan yang

dapat diantrikan atau kapasitas buffer atau panjang

antrian maksimum (tak termasuk yang sedang dalam

pelayanan).

- Jumlah populasi yang ada dalam sistem.

Catatan : Ada yang memberi notasi A/B/C/D/E.

Ini dapat memberikan pengertian yang salah karena

ada yang memberi arti bahwa D termasuk pelanggan

yang sedang dalam pelayanan.

Jadi notasinya lebih baik A/B/C ditambah keterangan.

Kalau tanpa keterangan berarti D dan E tak terhingga.

2.2. J A R I N G AN A N T R I A N



Banyak sistem telekomunikasi dan komputer dapat

dimodelkan sebagai J a r i n g a n dari A n t r i a n.

Dua macam jaringan antrian :

J A R I N G A N T E R B U K A :

Pelanggan dapat masuk ( ke ) dan keluar ( dari ) sistem

berasal dari dunia luar sistemnya. Dalam hal ini, jumlah

pelanggan ( panggilan atau paket data ) dapat berubah

dengan waktu.

J A R I N G A N T E R T U T U P :

Jumlah pelanggan dalam sistem tetap dan berputar

( circulate ) didalam sistem

( jaringan ) terus menerus. Jaringan ini tak berhubungan

dengan dunia luar sistemnya.

Contoh Jaringan Tertutup :

Gambar 2.1. Jaringan Tertutup

Jaringan yang sebelumnya dapat digambarkan pula sbb :



Gambar 2.2. Jaringan Tertutup

Pendiskripsian sederhana untuk sistem antrian : Vektor yang

menunjukkan jumlah total pelanggan didalam tiap antrian

pada saat tertentu.

2.2.1.STATISTIK MARKOV

Sering digunakan dalam memodelkan sistem antrian dan

pendiskripsian kondisi ini pada umumnya sudah cukup lengkap

untuk mendiskripsian jaringan pada saat tertentu tanpa

memasukkan waktu kapan kedatangan terakhir atau lamanya

waktu didalam pelayanan.

Bila jumlah pelayan bertambah, jumlah kondisi akan bertambah

dengan cepat. Oleh karena itu teknik khusus harus

dikembangkan untuk mengatasi masalah ini.

Mengurangi ANTRIAN dengan PELAYANAN TUNGGAL


Terminal-terminal pelayan

Sistem antrianCPU


DIAGRAM KONDISI

TRANSISI

Kedatangan = Kelahiran

Kepergian = Kematian

KOEFISIEN TRANSISI

bn

bn = koefisien kelahiran

( pola kedatangan )

dn

dn = koefisien kematian

( pola kepergian )

2.2.2.DIAGRAM PERUBAHAN KONDISI(State Transition

Diagram)

Definisi :


0

8

0 1 2 3

321

n n+1

n-1 n


P (i (i + 1) selama waktu dt) = bi dt + 0(dt)

P (i (i - 1) selama waktu dt) = bi dt + 0(dt)

P (Lebih dari satu transisi) = o(dt)

Dimana

PERSAMAAN KONDISI

Kondisi

pada t

Kondisi

pada t +

dt

P(Transisi dalam dt / kondisi pada waktu t)

i i

i -1 i

i + 1 i

Lainnya i

PERSAMAAN KESETIMBANGAN

Jumlah semua pengaruh yang membawa sistem masuk ke

kondisi harus seimbang (sama) dengan semua pengaruh yang

membawa sistem keluar dari kondisi.

HASIL DASAR:



atau

2.3. A N T R I A N M/M/1

Gambar 2.3. Diagram State sistem Antrian M/M/1

Asumsi:

1. Panggilan datang secara acak ke antrian dari suatu

sumber trafik yang jumlah sumbernya tak terhingga

2. Terdapat tempat tunggu yang tak terhingga bagi

panggilan yang menunggu

3. Waktu pelayanan (waktu pendudukan pelayan)

mempunyai Distribusi Exponensial Negatip

PEMISAHAN (splitting) dan PENGGABUNGAN (merging) dari

PROSES POISSON



Gambar 2.4. Pemisahan secara acak(random)

Proses Poisson

Pemisahan Proses Proisson dari masukan ke (tiga) antrian

keluaran secara acak dengan probabilitas yang tak bergantung

bebas:

P1 P2 P3

akan memberikan Proses Poisson di masing-masing antrian

keluaran.

Gambar 2.4 Proses Penggabungan Proses Poisson

Tiga masukan proses Poisson yang saling tak bergantungan

(bebas secara statistik) bila digabungkan akan memberikan:

Proses Poisson.

2.3.1.A N A L I S I S A N T R I A N M/M/1



Dari . (dari hasil kuliah mk sebelumnya)

didapat

Sehingga didapat hasil sederhana:

Dengan

didapat:

Untuk mencari nilai P(0) digunakan relasi: Jumlah semua

probabilitas kondisi sama dengan satu, jadi

Bagaimana deret tersebut dijumlah ?

Untuk itu digunakan ”trick” sebagai berikut:

Bila S = jumlah deret yang dicari maka,

S = 1 + + 2 + 3 + ...

Dikalikan dengan : S = 0 + + 2 + 3 + ...

Dikurangi: S - S = 1

Jadi , ini berlaku bila || < 1

Jadi

Distribusi ini dikenal dengan:

D i s t r i b u s i G e o m e t r i s

(Geometric Distribution)



Setelah didapat rumus probabilitas kondisi dari sistem antrian

ini, perlu diturunkan rumus untuk

”P e r f o r m a n c e C h a r a c t e r i s t i c”

dari sistem antrian M/M/1 ini:

Pertama: PROBABILITAS TUNGGU :

Karena panggilan yang datang pada waktu

pelayanan sibuk akan terpaksa harus menunggu

maka

P[Tunggu] = P(1) + P(2) + P(3) + . . .

Hal ini dapat dicari dengan mudah karena jumlah

semua probabilitas kondisi sama dengan satu

maka:

P[Tunggu] = 1 - P(0) =

Variabel dikenal sebagai “ U t i l i s a t i o n ”

atau Faktor Pemakaian.

Untuk sistem antrian M/M/1 ini dapat dimengerti karena

pemakaian dari antrian adalah probabilitas bahwa sistem

antrian tidak kosong.

Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa untuk beban sistem

yang ringan, pada umumnya terdapat jumlah yang antri lebih

kecil dari 4.

Sedangkan untuk beban sistem yang besar ( = 0,9), terdapat

probabilitas sebesar 28% menjumpai panjang antrian lebih

besar atau sama dengan 12.



Kedua : Harga rata-rata panggilan (atau pelanggan) yang

berada dalam sistem

Fungsi ini sering

digunakan sebagai

fungsi penalti

pada algoritma

optimasi jaringan

komputer.

VARIANSI JUMLAH PELANGGAN DALAM SISTEM

Pertanyaan:Hitung besarnya variansi jumlah pelanggan

didalam sistem dengan memakai rumus berikut dan teknik

sebelum ini untuk mendapatkan jumlah dari deret :


1.00

30

15

)-(1n


Tunjukkan bahwa

2.4. RUMUS LITTLE

Salah satu hasil yang paling menarik di dalam teori antrian

adalah rumus yang dibuat oleh J.D.C. Little. Rumusnya dapat

dinyatakan sebagai berikut:

dimana:

= harga rata-rata jumlah pelanggan didalam sistem.

= harga rata-rata ”rate” datangnya panggilan ke dalam

sistem.

= harga rata-rata waktu lamanya pelanggan berada

didalam sistem.

Rumus Little ini biasanya ditulis dengan:

PENURUNAN RUMUS LITTLE

NOTASI :

= Jumlah yang datang ke dalam sistem di dalam

selang waktu (0,t) (atau fungsi jumlah yang datang

terhadap waktu).

=Jumlah yang berakhir/meninggalkan sistem di dalam

selang waktu (0,t) atau fungsi jumlah fungsi yg berakhir

tehadap waktu

Jumlah pelanggan



Gambar 2.5 Mekanisme kedatangan Pelanggan dalam sistem

Luas total antara kedua kurva sampai dengan suatu waktu t

dinyatakan dengan

Ini merupakan jumlah total waktu semua

pelanggan berada dalam sistem sampai

dengan waktu t (dalam pelanggan/detik).

Dengan = harga rata-rata rate datangnya panggilan

(pelanggan/detik ) dalam selang waktu (0,t),

maka

Dengan = harga rata-rata waktu lamanya setiap pelanggan

berada dalam selang waktu (0,t)

maka

Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem antrian

selama waktu (0,t) adalah sebesar :

Jadi :


)(0t

)(0t

16


Dengan asumsi bahwa sistem mencapai keadaan stabil

(setimbang) pada waktu

Maka dan

sehingga

Ini berarti bahwa : Harga rata-rata jumlah pelanggan didalam

sistem antrian = harga rata-rata rate datangnya panggilan x

harga rata-rata

lamanya waktu pelanggan dalam sistem.

2.4.1 BUKTI RUMUS LITTLE SECARA INTUISI

Suatu pelanggan yang datang akan mendapatkan harga

rata- rata jumlah pelanggan N di dalam system sama dengan

ketika pelanggan tersebut meninggalkan system dan ini sama

dengan λ (rate kedatangan ) x T (waktu rata – rata di dalam

sistem)

Jadi : = λ x T

C A T A T A N :

(1) Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah

sembarang

(2) Jumlah pelayan adalah sembarang

(3) Dapat diterapkannya hanya terhadap yang antri

saja atau yang dalam pelayanan saja atau kedua –

duanya,



Yaitu sbb :

= W ;

= Harga rata – rata jumlah pelanggan di dalam

antrian.

W = Harga rata – rata waktu tunggu di dalam antrian

= ;

= Harga rata – rata jumlah pelanggan di dalam

fasilitas pelayanan

= Harga rata – rata waktu lamanya pelanggan di

dalam fasilitas pelayanan

2.4.2. PEMAKAIAN RUMUS LITTLE

Ingin dihitung harga rata-rata waktu pelanggan di dalam

sistem antrian dan di dalam antrian itu sendiri.

Sedemikian jauh, telah diketahui harga rata-rata jumlah

pelanggan di dalam sistem dan di dalam antrian.

Telah diketahui :

maka dengan memakai rumus Little didapat :

Jadi

Harga rata-rata waktu pelanggan berada dalam antrian :

Yang dinamakan “sistem” dalam rumus Little sangat fleksibel

Dengan demikian dapat ditulis relasi sbb :



Dimana T adalah harga rata-rata waktu pelanggan dalam

sistem

Sehingga :

P R O S E S S T O K A S T I K

SUATU PROSES STOKASTIK X ( t ), adalah suatu kumpulan

variabel acak yang ditentukan(“defined”)pada suatu waktu t є T.

T disebut SET INDEKS dari proses stokastik.

T dapat merupakan suatu set harga integer : T=1, 2, ……

dalam kasus mana MERUPAKAN suatu PROSES STOKASTIK

WAKTU DISKRIT, atau dapat merupakan suatu set harga yang

kontinyu :

T = ( - ~ < t < ~ ) dalam kasus mana merupakan suatu

PROSES STOKASTIK WAKTU KONTINYU.

Dari harga tertentu dari X ( t ) pada waktu t disebut KONDISI

DARI PROSES.

Berarti terdapat KONDISI PROSES DISKRIT atau KONTINYU.

Suatu kurva dari proses stokastik X ( t ) disebut suatu

REALISASI.

X ( t )

Gambar 2.6 Tegangan noise yang acak

t



Gambar * * * *

Tulisan * * *

Gambar 2.7 Urutan lemparan mata uang

X ( t )

t

Gambar 2.8 Jumlah saluran yang diduduki dalam suatu berkas

saluran telekomunikasi

Pada umumnya X ( t ) merupakan proses stokastik dimensi-r.

Dengan demikian, pada suatu waktu t1 , X ( t ) merupakan

vektor dengan bentuk :

Dalam hal ini, hanya difokuskan pada dimensi – l dan X ( t )

adalah nyata.

PROSES MARKOV DENGAN KONDISI DAN WAKTU DISKRIT



MARKOV CHAINS

Dalam proses ini dianggap bahwa waktu antara transisi

adalah konstan. Dianggap waktu antara transisi merupakan

satu unit waktu, misalnya :

tn – t n-1 = 1

set indeks T = 0,1,2,…….

dan kondisi awal dimulai dari waktu t = 0

Probabilitas transisi dapat digambarkan dengan bentuk matriks

dimensi matriks : n untuk proses Markov kondisi n.

Matriks transisi tersebut diatas mempunyai sifat khusus yaitu

bahwa dalam baris sama dengan satu :

untuk semua harga i

Sekarang dimungkinkan untuk mendefinisikan : “MARKOV

CHAIN”. Suatu proses stokastik {X(t)} -1,0,1, ... dikatakan

sebagai suatu “MARKOV CHAIN” KONDISI TERBATAS (Finite

Slave Markov Chain) bila ia mempunyai butir-butir berikut :

Jumlah kondisinya terbatas

Sifat Markov (Markovian Property)

Probabilitas-probabilitas transisi yang stasioner

Suatu set probabilitas awal P {X(0)=i}untuk semua i

TEORI BURKE

Masukan kepada sistem antrian M/M/1 adalah suatu proses

POISSON, tetapi bagaimana dengan keluarannya ?



Masukan Pelayan

Keluaran

Antrian

Suatu hasil yang penting dari teori Burke, yang diterbitkan pada

tahun 1956, menunjukkan bahwa keluaran yang ditunjukkan di

gambar di atas adalah juga POISSON

Cara untuk membuktikan teori Burke ini lebih dari satu.

1). Kedatangan adalah proses Poisson dengan rate rata-rata

kedatangan : λ

Sistem punya 1 pelayan dengan distribusi waktu pelayanan

exponensial negatip dan dengan waktu pelayanan rata-rata :

Ingin dilihat waktu antara panggilan dari keluaran.

Misalkan d(t) : pdf waktu antara panggilan dan

D(s) : Laplace transformnya.

Terdapat 2 kemungkinan :

a) . Antrian penuh.

Pada saat suatu panggilan selesai dilayani, panggilan

berikutnya selesai dilayani, panggilan berikutnya selalu siap

diambil untuk dilayani oleh pelayan.

b) . Antrian kosong.

Untuk kasus a), keluarnya panggilan dari system antrian

menurut distribusi waktu pelayanan, sehingga :

D* (s) / antrian penuh = B* (s)

Untuk kasus b), keluarnya panggilan berikutnya terdiri dari :

- waktu antara panggilan datang dan

- waktu pelayanan

karena interval dari masing-masing waktu tersebut saling tak

bergantungan (bebas/independent), maka pdf dari jumlahnya



merupakan konvulosi dari masing-masing pdf.

Laplace transform dari pdf jumlah merupakan hasil kali (produk)

transform masing-masing pdf, jadi :

D* (s) / antrian kosong = dan

Sekarang dalam suatu sistem antrian yang terdiri dari satu

pelayanan (M/M/1):

Probabilitas sibuk (=tunggu) = dan

Probabilitas panggilan meninggalkan sistem dalam

keadaan kosong sama dengan probabilitas

panggilan datang akan mendapatkan sistem dalam

keadaan kosong adalah sebesar :

Jadi transform tak bersyarat dari waktu antara

meninggalkannya panggilan dari sistem antrian adalah :

sehingga setelah disederhanakan menjadi :

Dari ini dapat disimpulkan bahwa distribusi waktu antara

meninggalkan sistem adalah :

Jadi dalam hal ini :

DISTRIBUSI WAKTU ANTARA MENINGGALKAN

SISTEM SAMA DENGAN DISTRIBUSI WAKTU ANTARA

DATANGNYA PANGGILAN YAITU DISTRIBUSI

EXPONENSIAL DAN MEMPUNYAI PARAMETER YANG

SAMA PULA (ini hasil yang penting dari Teori Burke).



Teori Burke menunjukkan bahwa keluaran pada keadaan

setimbang dari suatu sistem antrian M/M/n yang stabil dengan :

Parameter masukan dan parameter waktu pelayanan

untuk tiap pelayan (kanal) dari n pelayan (kanal) pada

kenyataannya merupakan proses POISSON dengan

rate yang sama yaitu .

Teori Burke juga menyatakan bahwa bila terdapat sistem

antrian lebih dari satu yang dihubungkan secara serie dan

bekerja secara beruntun kedepan (dan setiap pelayan

mempunyai pdf yang eksponensial), maka setiap node dapat

diperlakukan secara bebas ( terpisah / tak bergantungan ).

2). Cara pembuktian yang lain (kedua).

Dipakai konsep “REVERSIBILITY” ( pembalikan )

Definisi : Suatu proses stokastik, X(t) dikatakan “reversible” bila

sampel : (X(t1), X(t2),……,X(tm)) mempunyai distribusi yang

sama dengan :

untuk setiap yang nyata dan untuk setiap t1………,tm.


“Reversibility” (Pembalikan) untuk suatu proses stokastik berarti bahwa bila arah dari waktu dibalik, statistik dari proses sama dengan kasus dalam waktu normal.


definisi ni menyatakan bahwa untuk suatu proses “reversible”,

sample dalam waktu yang dibalikkan dari proses X(t) sama

dengan sample dalam waktu yang normal.

DEFINISI RATE TRANSISI DARI i KE j :

Sekarang dicari relasi suatu proses “reversible” yang memenuhi

suatu set persamaan kesetimbangan.

Rate transisi dari kondisi i ke kondisi j :

untuk i ≠ j dan qij = 0

KEADAAN KESETIMBANGAN :

Kesetimbangan tercapai bila:

atau

dimana pj adalah probabilitas kesetimbangan pada kondisi ke j

dan S merupakan set dari kondisi dari proses

Persamaan yang terakhir adalah persamaan kesetimbangan

global (global balance condition).

TEORI 1:


i j

25


Suatu Markov Chain Stasioner adalah “reversible” jika dan

hanya jika terdapat kumpulan bilangan positip pi,iS yang

jumlahnya satu dan memenuhi persamaan kesetimbangan

detail:

piqij = pjqji

untuk I, jS. pi adalah probabilitas kondisi kesetimbangan.

BUKTI:

Bila proses “reversible”, maka akan mengikuti persamaan sbb:

P(X(t)=i, X(t + )=j) = P(X(t)=j, X(t + )=i)

Tetapi ini dapat ditulis sbb:

P(X(t)=i)P(X(t + )=j| X(t)=i) = P(X(t)=j)P(X(t + )=i| X(t)=j)

Catatan: P(A/B) = P(AB)/P(B).

Dibagi kedua sisi dengan dan dengan 0 menghasilkan:

piqij = pjqji

dimana merupakan hasil yang dicari.

Selanjutnya dengan anggapan bahwa terdapat probabilitas

yang memenuhi persamaan kesetimbangan detail:

piqij = pjqji dan

Sekarang dilihat interval t ε [-T,T].

Anggap bahwa proses pada kondisi i1, pada waktu –T dan tetap

dalam kondisi tersebut sealma waktu k1. Kemudian proses

bergerak (berpindah) ke kondisi i2 dan tetap dalam kondisi

tersebut selama k2, dst. Sampai mencapai kondisi im dan tetap

dalam kondisi tersebut untuk selama waktu km.



Dengan fungsi kerapatan probabilitas (pdf) tertentu untuk ki

akan didapat probabilitas transisi tertentu q

Catatan:

Dari pi qij = pj qji dapat dikembangkan

Pi1 qi1i2 qi2i3 qi3i4 . . . qim-1im = pim qimim-1 qim-1im-2

qim-2im-3

Dengan mengamati sisi kiri (SKI) dengan sisi kanan (SKA)

akan didapat pengertian seolah-olah proses yang dimulai dari –

T pada kondisi im dan tetap dalam kondisi tsb selama km dan

kemudian berpindah ke kondisi im-1 dan tetap dalam kondisi tsb

selama km-1, dst.

Jadi didapat hasil sbb :

1. X(t) dan X(-t) secara karakteristik adalah sama.

2. Ini berarti bahwa [ X(t1), X(t2), . . . , X(tm) ] dan

[ X(-t1), X(-t2), . . . , X(-tm) ] mempunyai

distribusi yang sama.

3. Dengan X(t) adalah stasioner :

[ X(-t1), X(-t2), . . . , X(-tm) ] mempunyai distribusi yang

sama dengan [ X(τ-t1), X(τ -t2), . . . , X(τ -tm) ]

Sehingga proses adalah “reversible”

Ditinjau M/M/1



Teori Burke : Proses meninggalkan system pada system

antrian M/M/1 dalam keadaan setimbang adalah :

Proses Poisson.

Bukti : Suatu realisasi dari n(t) dari sejumlah pelanggan dari

antrian M/M/1 dapat dilihat sbb :

Titik titik dalam mana sistem meloncat keatas merupakan

proses kedatangan Poisson dengan rate : .

Dengan n(t) adalah “reversible”, titik titik dalam mana n(-t)

meloncat harus juga sebagai suatu proses Poisson dengan rate

Tetapi titik titik ini juga merupakan saat meninggalikan system

antrian untuk n(t). Jadi keluaran adalah proses Poisson dengan

rate .

2.5. RUMUS TUNGGU ERLANG


waktu

N(t)Jumlah pelanggan dalam antrian sebagai fungsi dari waktu.

28


ASUMSI :

1. Panggilan datang secara random kepada antrian dari

suatu sumber trafik yang jumlahnya tak hingga.

2. Terdapat tempat tunggu “buffer“ tak hingga bagi

panggilan yang menunggu.

3. Distribusi waktu pelayanan adalah Distribusi exponensial

negatif.

4. Berkas adalah berkas sempurna kepada pelayan.

Penyelesaian atas persamaan kondisi :

untuk i ≤ n

P(i) =

untuk i > n

Catatan : Hasil khusus :

P ( i + n ) = ρi P ( n ) untuk i ≥ 0

dimana ρ = merupakan trafik yang ditawarkan per sirkuit.

Penyelesaian untuk P(0) :


0 1 n n+1

Panggilan mulai menunggu dari

kondisi ini

2 n n n

29


Dengan kondisi normal :

Sehingga ,

R U M U S P R O B A B I L I T A S T U N G G U

Berapa besar Probabilitas Tunggu dinyatakan dengan P(i) ?

P(tunggu) =

Sehingga :

P(tunggu) = P(W>0)



Pada penyebut ditambah dan dikurangi ,

kemudian pembilang dan penyebut dibagi dengan tidak

akan merubah harga :

( Erlang - C)

Simbol : atau

PANJANG ANTRIAN RATA – RATA :

Dengan Dn (A) = maka

WAKTU TUNGGU RATA-RATA DALAM ANTRIAN :

Sehingga catatan :

Contoh : A = 2 Erlang dari tabel Erlang : En (A) = 0.095238

n = 4 Erlang

pemakaian rumus tunggu : P (tunggu) = 0.174

Jadi, 17.4 % dari panggilan akan menunggu.

Waktu tunggu rata-rata terhadap seluruh panggilan di

dalam antrian :

2.6. SISTEM ANTRIAN TERBATAS :



μ 2μ nμ nμ nμ nμ

ASUMSI :

1. Panggilan datang ke antrian secara acak (“random”) dari

suatu sumber panggilan yang jumlahnya tak terhingga.

2. Terdapat tempat tunggu sebanyak Q untuk panggilan

yang panggilan menunggu.

3. Waktu pelayanan punya distribusi Exponensial (negatif).

4. Berkas sempurna untuk fasilitas pelayanan.

PENYELESAIAN TERHADAP PERSAMAAN KONDISI

UNTUK ANTRIAN TERBATAS :

P(i) =

P(0) dapat diselesaikan dengan cara yang sudah biasa

dilakukan

RUMUS TUNGGU :


Panggilan menunggu mulai dari kondisi ini

n+1n10 n+Q


Suatu panggilan yang datang akan menunggu bila ia

mendapatkan semua pelayan sibuk dan paling sedikit terdapat

satu tempat tunggu didalam antrian.

Probabilitas tunggu tersebut:

Dalam rumus tersebut dapat disubtitusikan rumus Rugi Erlang.

RUMUS RUGINYA :

Suatu panggilan akan hilang pada system antrian yang terbatas

ini bila semua pelayan sibuk dan semua tempat tunggu juga

penuh jadi :

Dimana

Catatan : Dalam hal ini, dimana system dapat menolak

traffic(traffic dapat dihilangkan), maka traffic yang

ditawarkan per pelayan dapat lebih besar dari satu.

DISTRIBUSI WAKTU TUNGGU :

Waktu tunggu rata-rata :

Ini terlihat pada Formula Little.


TAK TERGANTUNG atas DISIPLIN ANTRIAN


Probabilitas waktu tunggu lebih besar dari suatu harga

tertentu : P (tunggu > waktu tertentu) = P (W>t). Sering

dipakai sebagai GOS baku dalam sistem tunggu.

Probabilitas tunggu lebih besar harga tetentu t :

Bila : P{W>t} = Perilaku{W>0}P{W>t | W>0}

Dimana,

P{W>0t | W>0} adalah probabilitas bersyarat bahwa

waktu tunggu melebihi harga t bila

diketahui bahwa panggilan tersebut harus

menuggu (W>0).

P{W>0} adalah probabilitas tunggu :

Catatan : P{W>0} TAK TERGANTUNG atas DISIPLIN

ANTRIAN jadi probabilitas waktu tunggu

bersyarat HARUS TERGANTUNG atas disiplin

antrian.


TERGANTUNG atas DISIPLIN ANTRIAN


SUATU RELASI YANG PENTING

Dari P{W>t} = P{W>0}P{W>t | W>0}

Sehingga :

2.7. ANALISIS SISTEM M/M/n DENGAN DISIPLIN ANTRI

FIFO

ASUMSI:

a. Jumlah tempat tunggu tak terbatas.

b. Disiplinnya FIFO.

c. Kedatangan Acak.

d. Waktu pelayanan: Distribusi exponensial negatif.

CARA:

Ambil suatu panggilan untuk tes yang datang pada waktu T dan

tulis perubahan kondisi yang mempengaruhi waktu tunggu dari

panggilan tes tsb.



Cari probabilitasnya dan turunkan suatu set persamaan

probabilitasnya.

ANALISIS ANTRIAN FIFO

Kondisi pada T Kondisi pada T+dt Probabilitas Transisi

i i (1-ndt + o (dt))

i i - 1 (ndt + o (dt))

Ini adalah tabel perubahan kondisi yang mempengaruhi waktu

tunggu dari panggilan tes.

Catatan: Panggilan yang datang setelah panggilan tes tidak

mempengaruhi waktu tunggu (Ini untuk FIFO !).

A. PROBABILITAS WAKTU TUNGGU MELEBIHI t BILA

TERDAPAT i PANGGILAN DIMUKANYA PANGGILAN TES

:

maka,

Pindahkan kekiri dan bagi dengan dt. Ambil limit dt 0

untuk menurunkan penurunan.

dan



Ini dapat diselesaikan dengan Transformasi Laplace atau

langsung dengan persamaan deferensial dengan cara

berturutan.

Syarat batasnya: =1 untuk semua i.

Hasilnya :

Menghitung waktu tunggu:

Substitusi hasil tsb terhadap P(W>t)

dimana

P(i+n) = i P(n)

Menukar urutan penjumlahan dari deret tsb diatas:

maka:

Harga rata-rata waktu tunggu untuk panjang panggilan yang

menunggu:

B. WAKTU TUNGGU UNTUK ANTRIAN M/M/n FIFO

TERBATAS Q :



<1 cek: Q

UNTUK DISIPLIN ANTRI YANG RANDOM (PELAYANANNYA

RANDOM) :

METODE : Ambil panggilan tes yang datang pada waktu T dan dilihat perubahan

kondisi yang mempengaruhi waktu tunggu dari panggilan tes.

Kondisi pada T Kondisi pada T+dt Probabilitas Transisi

i i (1-nμdt+0(dt))x

(1-λdt+0(dt))

i i+1 (λdt+0(dt))x

(1-nμdt+0(dt))

i i -1 (nμdt+0(dt))x

(1- λdt+0(dt))

WAKTU TUNGGU UNTUK SISTEM M/M/n dan DISIPLIN

ANTRI ACAK ( PELAYANANNYA ACAK ) :

P { W > (t+dt) I i panggilan di muka }

= P { W>t I i panggilan di muka } x P { tak ada kedatangan

dalam dt } x P { tak ada yang berakhir dalam dt }

P { W>t I ( i – 1) panggilan di muka } x P { satu berakhir

dalam dt } x P { tak ada kedatangan dalam dt } x P

{ panggilan tes tak dilayani }

P { W>t I ( i + 1) panggilan di muka } x P { tak ada yang

berakhir dalam dt } x P { satu kedatangan dalam dt }



(*)

Persamaan tersebut didapat (diturunkan) secara terpisah

oleh Vaulot [1946] dan Palm [1957]. (Menurut Syski [1960],

pekerjaan dilakukan pada tahun 1938 tetapi tidak

dipublikasikan sampai 1946. Terjemahan dalam bahasa

inggris diterbitkan pada tahun 1957). Pollaczek [1946]

mendapatkan solusinya dalam bentuk tertutup untuk

probabilitas bersyarat waktu tunggunya dalam bentuk

pendekatan.

Riodan [1953] mendapatkan solusi dengan deret Maclaurin

untuk probabilitas bersyarat waktu tunggu sbb:

Catatan: (*):Hasil tersebut dikutip dari buku :Introduction to QUEUEING THEORYOleh Robert B. Cooper(Georgia Institute of Technology)Kedatangan yang acak : RANDOM ARRIVAL atau POISONIAN

ARRIVALS

Definisi :

1. TIME CONGESTION adalah bagian waktu bahwa semua

saluran sibuk.

2. CALL CONGESTION adalah bagian panggilan yang

ditolak karena kongesti (misal : pada waktu semua semua

saluran sibuk)

JUGA :

P(k) = Prob (sistem dalam kondisi k)

dan



R(k) = Prob (Suatu panggilan yang datang mendapatkan sistem

dalam kondisi k)

KAPAN P(k) = R(k) ?

Contoh : Untuk memperlihatkan bahwa P(k) R(k)

lihat antrian D/D/1

D = Distribusi Deterministik

Dalam hal ini kedatanagn terjadi secara teratur setiap

detik.

Waktu pelayanan tetap yaitu setiap detik ( < ).

Karena tidak ada panggilan yang harus menunggu :

R(0) = 1 dan R(k) = 0, k > 0

BAGIAN WAKTU suatu panggilan dalam system (1 Pelayan

sibuk) adalah : dan waktu sisanya dimana sistem

dalam keadaan kosong adalah :

P(0) = 2 – ρ , P(1) = ρ

P(k) = 0 untuk k = 2, 3, ...

Jadi P(k) ≠ R (k)

KAPAN P(k) = R(k) ?

AKAN DITUNJUKKAN BAHWA PERSAMAAN TSB TERJADI

BILA KEDATANGANNYA ADALAH ACAK

(POISSONIAN ARRIVALS)

Bila : A(t,t+Δt) adalah event bahwa suatu kedatangan terjadi

dalam (t,t+Δt)

Pk(t) = Prob (Sistem dalam kondisi k pada waktu t)



Rk(t) = Prob (Suatu kedatangan pada waktu t

mendapatkan sistem dalam kondisi k)

N(t) = Jumlah dalam sistem pada waktu t

Maka : Rk(t) = P( N(t) = k ¦ A(t,t+Δt) )

Memakai definisi probabilitas bersyarat :

Rk(t) =

=

Untuk kedatangan yang memenuhi distribusi Poisson (karena

sifatnya “Memoryless Property”),

A(t,t+Δt) adalah tak tergantung atas jumlah yang berada dalam

sistem pada waktu t (dan atas t-nya sendiri)

Karena itu :

P(A(t,t+Δt) Ι N(t)=k) = P(A(t,t+Δt))

Sehingga :

Rk(t) = P(N(t) = k) = Pk(t) → R(k) = P(k)

Untuk kedatangan Poisson : Probabilitas suatu panggilan

datang mendapatkan sistem dalam kondisi k tepat sama

dengan probabilitas sistem dalam kondisi k.

Catatan : P(k) = P[ N(t) = k] dan R(k) = P (suatu

panggilan datang mendapatkan sistem dalam kondisi

k)

Jadi P(k) = R(k)



2,8. SISTEM ANTRIAN M / G / 1 DAN FORMULA

POLLACZEK-KHINCHIN :

Sistem ini adalah sistem dengan :

- Distribusi waktu antara kedatangan : Distribusi Poisson

- Distribusi waktu pelayanan : Umum (General :

G)

- Jumlah pelayan : 1

Penurunan rumus Pollaczek-Khinchin yang terkenal :

Tulis persamaan beda antara jumlah panggilan dalam

system segera setelah berakhirnya panggilan ke-i.

Dengan menghitung harga rata-rata dari kuadrat

jumlah panggilan dalam system, akan dapat diturunkan

rumus P-K tsb.

Kuncinya: Probabilitas kondisi pada saat berakhirnya panggilan

pada hakekatnya sama dengan probabilitas kondisi

setiap saat.

Misalkan : Jumlah panggilan dalam system segera setelah

kepergian (panggilan) ke i+1 adalah ni+1.

Jumlah tsb termasuk baik panggilan dalam antrian maupun

dalam pelayanan.

Jumlah tsb sama dengan jumlah panggilan segera setelah

kepergian ke i dikurangi 1 (karena kepergian ke i+1 dari suatu


Kedatangan

Antrian

Pelayan

Saat kepergian

42


panggilan) ditambah sejumlah panggilan yang datang selama

waktu pelayanan panggilan yang ke i+1.

Jumlah yang datang selama waktu tsb : ai+1

Gambar proses kedatangan :

Maka :

Bila:


Pelayan

Antri

Pi Pi+1

ai+1 datang

WaktuPi

ni

Pi

hi+1

Pi+1

Pi+1

ni+1

43

ni > 0

ni+1 = ni – 1+ ai+1 untuk ni > 0

ni = 0


Jadi :

ni > 0

n i+1 =

ni = 0

1 ni > 0

Bila u (ni) =

0 ni = 0

Maka dapat ditulis dalam 1 persamaan :

REKURSIF


Pelayan

Antri

Pi Pi+1

ai+1 datang

Pi

ni=o

Pi

hi+1

Pi+1

Pi+1

ni+1

ygtinggal

ni+1 = hi+1 untuk ni = 0

44

n i+1= ni - u (ni) +


Bila dikuadratkan kedua sisi dan ambil harga rata-ratanya :

E [(n i+1)2 ] = E[(ni - u (ni) + )2]

= E[ni 2] + E[(u (ni))2] +E[ )2]

(A) (B) (C)

-2E [ni u (ni)] + 2E[ni ] – 2E[u (ni) ]

D E F

Untuk mendapatkan rumus P-K, evaluasi atas tiap-tiap suku

tersebut diatas {(A), (B),...} diperlukan

Suku E [n i+12]. E[ni

2]

Dalam keadaan sesetimbang, kedua suku tersebut sama,

sehingga saling menghilangkan.

Suku (B) : E[(u (ni))2]

Dari u (ni)2 = u (ni), maka (B) = E[u (ni)]

Perhitungan E[u (ni)] :

E[u (ni)] =

0 n=0 E[u (ni)] =

Karena u (ni) = 1 n>0 = (1-p(0))

= Prob tunggu

E[u (ni)]= P (sibuk)

Sangat beruntung karena P (sibuk) dapat dihitung secara

mudah untuk setiap sistem antrian.

Caranya sbb :

Dilihat suatu interval I. Pelayan akan sibuk selama waktu

sebesar : I – I (1-P(0)).

Jumlah panggilan yang dilayani :I - IP(0) µ dimana µ adalah

rate wajtu peleyanan rata-ra dari sistem antrian. Dalam



keadaan setimbang jumlah tersebut harus sama denga jumlah

panggilan yang datang : λi

Jadi :

Hasil dikombinasikan :

Suku (D) : 2E[ ni u ( ni ) ] :

Jelas bahwa ni u ( ni ) = ni sehingga didapat :

Suku ( F ) : 2E[ u ( ni ) ai+1 ] :

Jumlah panggilan yang datang ke dalam sistem selama waktu

pelayanan untuk panggilan ke i+1, ai+1 adalah tak tergantung

atas jumlah panggilan di dalam sistem antrian segera setelah

kepergian ke i, ni . Jadi :

E [ u ( ni ) ai+1 ] = E [ u ( ni ) ] E [ ai+1 ]

Yang sudah diketahui : E[ u ( ni ) ]

Tinggal menghitung E [ ai+1 ]

Kembali kepada :

ni+1 = ni – u ( ni ) + ai+1

ambil harga rata-rata kedua sisi :


Catatan : tidak ada asumsi tentang proses kedatangan maupun waktu pelayanan. Jadi hasil ini adalah sangat umum.

2E[ ni u ( ni ) ] = 2E[ ni ]


E [ ni+1 ] = E [ r i ] – E [ u ( ni ) ] + E [ ai+1 ]

Dalam keadaan setimbang : E [ ni+1 ] = E [ ni ]

Jadi

E [ u ( ni ) ] = E [ ai+1 ] = ρ

Sehingga :

Suku ( E ) : 2E [ ni ai+1 ]

Dengan cara yang sama, kedua besaran tsb saling tak

bergantungan :

AKHIRNYA DIKUMPULKAN HASIL-HASIL YG TELAH

DIDAPAT :

0 = 0 + ρ + E [ ai+1 ]2 - 2E [ ( ni ) ] + 2E [ ni ] ρ – 2 ρ2

Penyelesaian untuk E(ni):

Dalam keadaan seimbang :

Harga rata-rata jumlah panggilan dalam sistem antrian pada

waktu kepergian adalah sama dengan harga rata-rata jumlah

panggilan pada yiap saat dari waktu :

E(ni) = E(n)


)1(2

2]E[z)E(n

221i

i

47

E [ u ( ni ) ai+1 ] = 2E [ u ( ni ) ]E [ ai+1 ] = 2 ρ2

2E [ ni ai+1 ] = 2E [ ( ni ) ]E [ ai+1 ] = 2E [ ( ni ) ] ρ


Juga karena proses kedatangan adalah proses Poisson maka

harga rata-rata jumlah panggilan yang datang selama waktu

pelayanan juga tak tergantung waktu, jadi :

Sehingga :

ini merupakan jumlah panggilan rata-rata dalam sistem antrian

M/G/1 pada kondisi setimbang.

Harga E( ):

=======

Dicari harga var[a] :

Bila s adalah waktu pelayanan maka dapat dipakai hasil dari

Gross dan Harris y ; menyatakan relasi variabel acak X dan Y

Sbb

Sehingga :

Hal ini dapat diseleseikan :

Dimana adalah variabel waktu pelayanan

Jadi :


)]|(var[)],[var(]var[ XYECYEY

48


dan

Subtitusi pada hasil sebelumnya :

Disederhanakan sedikit:

Ini rumus P-K yang terkenal !

* Hitung harga waktu rata-rata panggilan dalam system antrian

M/G/I.

(Pakai rumus Little).

Suatu contoh yang penting adalah system M/D/I :

Jadi :

1). Isi table E[n] untuk M/M/I dan M/D/I yang berikut :

M/M/I M/D/I

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7


2222 ][ saE

49


0,8

0,9

0,99

DISTRIBUSI JUMLAH PANGGILAN DI DALAM SISTEM

ANTRIAN :

Jumlah panggilan rata-rata di dalam sistem sudah didapat

Dicari distribusi probabilitas jumlah panggilan di dalam

sistem

Dilihat matriks probabilitas transisi saat panggilan

meninggalkan sistem untuk sistem :

M/G/I

Disini adalah panggilan di dalam sistem segera setelah saat

panggilan meninggalkan system yang ke-i.

Untuk mendapatkan dari ke harus ada kedatangan

sebesar antara peninggalan system ke-i dan ke-i+1.

Dengan kedatangan

Maka didapat matriks transisi kondisi :

Matriks transisi kondisi :

i i+1 0 1 2 3 .........

0 K0 K1 K2 K3

1 K0 K1 K2 K3

2 0 K0 K1 K2


Jumlah kedatangan antara saat peninggalan sistem ke i dan ke i+1


3 0 0 K0 K1

...........

Catatan : jumlah semua elemen dalam baris sama dengan satu

Bagaimana masukan pada elemen matriks dipilih ?

Baris paling atas : dari 0 pada saat peninggalan ke 1

ke 0,1,2,... panggilan pada saat peninggalan ke i+1.

Jadi diperlukan k0, k1, k2 ........ kedatangan.

Baris kedua : dari 1 panggilan pada saat peninggalan

ke i ke 3 panggilan pada saat peniggalan ke i+1 :

Berarti harus aada 3 kedatangan, sedangkan 1 panggilan

meniggalkan sistem dalam interval waktu tsb.

Jadi :

Dimana s adalah waktu antara saat ke i dan ke i+1 dan b(s)

adalah fungsi kerapatan probabilitas dari waktu pelayanan.

Karena pola kedatangan adlah Poisson maka :

Ide dasarnya adalah memasukkan fungsi kerapatan dari waktu

pelayanan ( setelah diketahui ) ke dalam rumus kj tersebut.

Diagramnya :



(IMBEDDED MARKOV CHAIN UNTUK SISTEM M/G/1)

Diagram tsb berbeda dengan diagram transisi kondisi.

A. PROBABILITAS BAHWA ADA j PANGGILAN PADA SAAT

MENINGGALKAN SISTEM :

Dari (Pada keadaan setimbang)

Dimana adalah probabilitas kondisi

Persamaan untuk q:

Dengan r dan s integer:

Ganti dengan memberikan:


n-2 n-1

n

n+1 n+2

K0

K1

K2

K3

52


Transformasi z pada probabilitas kondisi:

Transformasi z pada probabilitas :

PENYELESAIAN PERSAMAAN PROBABILITAS DENGAN

FUNGSI GENERASI

Fungsi generasi probabilitas :

dimana

Sifat-sifat fungsi generasi:

Bila :

G(0) = P(0)….

- Pada umumnya :

- Harga rata-rata :

- Variansi :



Var = F2 + F1 – F12

Dengan :

B. MENYELESAIKAN P(i) DARI FUNGSI GENERASI :

Sekali fungsi generasi didapatkan, P(i) dapat dihitung :

Misalnya :

Harga rata-rata :

Kembali ke masalah semula :

Dikalikan sisi kiri dan sisi kanan dari persamaan dengan zr

Sekarang perkalian Q(z).K(z)

Koefisian z j =


Latihan :Bila a(x) = a2 x2 + a1 x2 + a0

b(x) = b2 x2 + b1 x2 + b0

berapa koefisien perkalian : a(x).b(x) ?koefisien perkalian untuk bentuk polynomial yang umum ?


Maka :

Dijumlahkan persamaan tsb dari r=0, 1, ... s/d ... ~

MENDAPATKAN PROBABILITAS KONDISI :

S0 dapat didapat dengan kondisi normal ( jumlah total

probabilitas = 1 ) dengan cara menge-set z = 1

Sayangnya pembilang dan penyebut menjadi 0 untuk harga z =

1 ( K(1) = 1 )

Solusinya dengan aturan l’Hopital :

Sekarang perlu dicari K’ (z) :

Karena proses kedatangan adalah proses Poisson dengan rate

rata-rata kedatangannya = λ , maka :

Dengan memasukkan harga z = 1



Jadi (sesuatu yang telah diketahui)

Sehingga

Untuk mencari harga P(j) : Probabilitas kondisi j

Dapat dilakukan seperti biasa dengan menurunkan ke j dan

memasukkan z = 0 didapat relasi sbb :

CONTOH :

Suatu message datang secara random pada suatu sentral

( node ) penyambungan paket dengan rate rata-rata

kedatangannya 1 paket tiap 5 μdetik. Setiap message

menduduki pelayan rata-rata selama 4.5 μdetik dan variansinya

1 μdetik. Hanya satu messsage yang dapat menduduki pelayan

tiap saatnya. Bila suatu message datang mendapatkan pelayan

sedang sibuk, mesdsage akan menunggu di “buffer” sampai ia

dilayani.

HITUNG :



a. Panjang antrian rata-rata pada saat message

meninggalkan fasilitas pelayanan.

b. Panjang antrian rata-rata spt pada soal a bila dengan

cara merubah software sedemikian hingga waktu

pelayanan rata-rata menjadi 1 μdetik.

SOLUSI :

a. Waktu antara datangnya panggilan = 5 μdetik, jadi rate

rata-rata datangnya panggilan = = 0.2 per μdetik.

b. Distribusi waktu pelayanan adalah umum ( General )

dan

Ini adalah sistem antrian M/G/1 dan didapat :

Harga rata-rata : Q’(1)

Dari =

dimana : K(1) = 1 dan K’(1) = .

Maka penurunan terhadap z akan didapat :

=

=

Bila dimasukkan harga z = 1, pembilang dan penyebut = 0

pakai l’Hospital lagi :

=



Ini , jadi dapat dicoret sisi kiri dan kanan.

Diperlukan l’Hospital lagi :

=

Setelah penyederhanaan :

=

=

Tetapi juga : =

=

=

Sehingga :

Kembali ke soalnya :

b) Waktu pelayanan diperpendek sampai dengan 4 µ detik.

Dengan demikikan harga ρ=0,8, sedangkan harga besaran-

besaran lainnya tetap.

Hasilnya :

Panjang antrian dapat juga diperpendek dengan cara

memperkecil variansi waktu pelayanan.



2.9. MODEL CPU PELAYANAN TERPUSAT

Sebelum menyelidiki Jaringan antrian secara lengkap,

terlebih dulu dilihat jaringan yang sederhana yang dimodelkan

dengan menggunakan proses kelahiran dan kematian.

Sistem dapat digambarkan sebagai berikut :

Model terdiri dari :

- Suatu kelompok terminal yang dapat mengakses ke

pelayan pusat (CPU).

- Kontrol berputar antara tiap terminal dari CPU.

- Terminal dianggap mempunyai distribusi exponensial

untuk sumber panggilan/pelayan dengan rate : λ tiap

terminal.

- CPU dimodelkan sebagai sistem antrian dengan satu

pelayan dengan rate : µ .

Meskipun sebenarnya ada 2 sistem antrian terlibat, yaitu :


Fasilitas Pelayanan File

Terminal

CPU

1

3

2


CPU dan terminal, tetapi diagram transisi kondisinya hanya 1

dimensi karena sistemnya adalah : JARINGAN TERTUTUP

JARINGAN ANTRIAN :

- Solusi bentuk produk untuk probabilitas dalam keadaan

setimbang.

Solusi bentuk ini melibatkan ”kesetimbangan lokal” untuk

aliran pada sepasang kondisi di diagram transisi kondisi,

bila hal tersebut ada.

2.10. MODEL ANTRIAN TANDEM :

Hasil dari teori Burke menyatakan bahwa bila pelayan lebih dari

satu dihubungkan secara seri (”feedforward fashion”), (tiap

pelayan dengan pdf exponensial) maka tiap ”node” (pelayan)

dapat diperlakukan secara tak bergantungan (bebas).

Maka : P(i,j) = P(i panggilan terdapat dalam antrian pertama

dan j panggilan terdapat dalam antrian ke dua).

Dianggap tiap antrian mempunyai ”buffer” yang tak terhingga

untuk panggilan yang menunggu dalam antrian.

Rate pelayanan dari antrian dapat ditulis sbb :

i μ1 untuk i = 0,1,...S1

μ1(i) =

S1 μ1 untuk i = S1...~ dan

j μ1 untuk j = 0,1,..,s2

μ2(i) =

S2 μ1 untuk j = s2,.....,

Persamaan umumnya dapat ditulis sbb:



Dalam menyelesaikan ini dipakai : Sistem tunggu Erlang di

sistem antrian pertama, maka:

Solusi bentuk produk:

P( i , j ) = P1( i )P2( j )

dimana P( , ) dikenal dengan PROBABILITAS MARGINAL

dari distribusi dan memenuhi persyaratan:

untuk i = 1,2

Untuk menurunkan distribusi marginal tsb lihat P ( i ) :

c1

!1

i

i

i s1

P1( i ) =

c1 i s1 dimana c1 konstanta yg

nilainya ditentukan dari

kondisi normal.

Dari diagram transisi kondisi tsb, rate kedatangan berkurang

bila makin banyak terminal memerlukan pelayanan.

λn = λ(m - n) untuk 0 ≤ n ≤ m



Dari ini dapat diturunkan : Probabilitas kondisi n = P(n)

Dengan kondisi normal dapat dicari P(0) :

Substitusi solusi bentuk produk untuk P ( i , j ), didapat

Lalu substitusi P ( i , j ) ini untuk persamaan utama: didapat

(setelah mencoret suku-suku yang saling meniadakan)

Ini ERLANG !

Persamaan ini sama dengan persamaan yang dipakai untuk

sistem antrian M/M/n -(Rumus tunggu Erlang).

Maka :

c2

P2( j ) =



c2

Pakai kondisi normal :

ci =

Ini untuk : < s1 dan < s2

JARINGAN TERBUKA – PERSAMAAN KESETIMBANGAN

GLOBAL :

Asumsi :

Terdapat M antrian, satu sumber dan satu tujuan.

Routing di jaringan adalah random.

Probabilitas suatu pelanggan meninggalkan antrian I ke j

adalah :


r1iri1

µ1

ridrsi

riM

rMi

1

i

M

TujuanSumb

er

µi

63

µM


Probabilitas pelanggan mninggalkan sumber ke antrian I

adalah :

Probabilias suatu pelanggan meninggalkan antrian I ke

tujuan :

Sumber memberikan pelanggan dengan distribusi Poisson

dengan rate rata-rata

Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial negative

dengan rate rata-rata



Jaringan asli

Pemakaian Teori Norton

Model ekivalen


Jaringan Antrian

BA

N

λ

N

Jaringan Antrian

A

n

λ

u (n)

λ

BA

N

u (n)

n

65


Dalam model : n pelanggan memutar dalam jaringan :

throughput=u(n).

Throughput dapat dicari dengan cara MVA seperti cara

sebelumnya.

Bila N : jumlah paket total dalam jaringan tertutup.

n : kondisi antrian yang diatas,

maka : kondisi di antrian bawah : N – n , jadi hanya perlu

melihat probabilitas kondisi di antrian atas saja yaitu :

dengan rate kedatangan : dan

rate pelayanan : u(n)

Jadi, probabilitas bahwa antrian diatas dalam kondisi n :

dan po dapat dicari dengan persamaan kondisi normal :

untuk menyelesaikannya diasumsikan :

μ1= μ2=........= μM = μ

Hasil dari MVA yang lalu :

Dengan :

Jadi : dengan ini semua besaran dapat

diperoleh.

Throughput



Dengan rumus Little : “ time delay” dari ujung ke ujung yang

melalui VC :

Sekarang dimungkinkan untuk melihat rumus diatas sebagai

fungsi dari N atau γ dengan membuat besaran lainnya tetap.

Analisis yang lain :

Anggap dan λ → ~ , maka E(n) = N

Dalam hal ini, batas throuhgput :

dengan λ → ~

Dari rumus Little juga :

E(T) = N / γ = [ N+ ( M-1) ] / μ dengan λ → ~

Dan delay minimum E(T) = M / μ ini terjadi pada N = 1

Dengan N = 1 paket dalam jaringan → tidak ada delay dan

throughput rata-rata : μ / M.

s

Tetapi, meskipun tidak dapat dipakai teori Norton, sebagai

pendekatan dapat dilakukan.

Simulasi yang dilakukan oleh Schwartz dalam tahun 1982

diperoleh bahwa pemakaian teori Norton pada model ini cukup

tepat untuk M ≤ 3 untuk Mobile station 3 tidak tepat lagi.

| VC |


Teori NORTON tidak dapat dipakai untuk kasus yang bukan bentuk produk.

Bukan bentuk produk hanya dapat diselesaikan dengan REKURSIF.


Tingkat 1 Tingkat M

I j

Penghitung C Kotak W

Pendekatan dengan Norton

U (n,M) = μ

n W paket berputar

C – count w – box I j

(model antrian ekivalen)

Kondisi dua dimensi : 1 dan 2 pij

Kasus trafik besar : (λ —> ∞ ) atau λ = μ

Kondisi dua dimensi menjadi satu dimensi hanya j.

Dapat dilihat dalam gambar :

Bila λ —> ∞, C – count akan segera kosong setelah mendapat

paket dari box w. bila antrian C dihilangkan, persamaan

kesetimbangan menjadi :

u (w) po = u (1) p w-1

u (w-1) p1 = u (w) po

. . . . . .


μ1

μ1

λ

λ


u (1) p w-1 = u (2) p w-2

JELASKAN !

Disini :

U (n,M) = μ

Penyelesaian persamaan kondisi tersebut diatas :

TURUNKAN !

LATIHAN : Penjumlahan seluruh probabilitas kondisi = 1 akan

didapat :

Pj =

Dimana : Tw =

Throughput :- Merata-ratakan u(n) untuk semua harga n = w - j,

dan dari persamaan kesetimbangan bahwa :

u(j)pw-j adalah konstan atau

- bila box w kosong, w paket dimasukkan ke VC

-----> throughput :

Untuk mencari waktu delay melalui VC : pakai rumus Little :

Dengan p(n) = probabilitas kondisi di VC ekivalen Norton,

diperoleh pendudukan paket rata-rata dari VC :

Ini diperoleh dengan : n = w - j, p(n) = pw-n

(pakai rumus probabilitas sebelumnya).

Pakai Little :



Bentuk ini sama dengan bentuk pada kasus "sliding window",

bedanya :

N diganti dengan (1 + w)/2.

Dalam trafik yang besar : jumlah paket berkisar antara : 1 s/d w,

jumlah rata-rata : (1 + w)/2, dimana dapat dibandingkan dengan

jumlah tetap N yang berpindah sepanjang window dalam

keadaan trafik besar.

Untuk N = (1 + w)/2 -----> time delay rata-rata akan sama.

Karena jumlah paket dalam VC bervariasi dari 1 s/d w (tak

tetap) tidak seperti pada "sliding window", throughputnya akan

lebih kecil.

2.11 ALGORITMA BUZEN



Tujuan dari model model analisis jaringan antrian adalah untuk

mendapatkan hasil hasil unjuk kerja suatu set kondisi kondisi

tertentu.

Telah diperoleh cara cara mendapatkan hasil unjuk kerja

tersebut dengan memakai solusi persamaan kondisi dengan

asumsi asumsi tertentu.

Teknik pendekatan dapat digunakan untuk jaringan antrian

tertutup dengan cara ”Mean Value Analisis”.

Pendekatan lainnya yang mungkin adalah cara simulasi dari

suatu bentuk pendekatan baru.

Biaya untuk memori computer dan waktu proses sangat

menentukan dalam menyelesaikan masalah masalah jaringan

antrian ini.

Karena itu dicari suatu model dan algoritma yang dapat dipakai

untuk mengatasi /menyelesaikan masalah masalah yang

sensitive tersebut.

Untuk ini dilihat : CARA PENDEKATAN LAIN UNTUK

MENYELESAIKAN JARINGAN ANTRIAN BENTUK

TERTUTUP yang didapatkan oleh BUZEN dan REISER dan

KOBAYASI secara tertpisah dan dinamakan :

ALGORITMA BUZEN atau ALGORITMA KONVOLUSI

Untuk jaringan bentuk produk dan tertutup, telah diperoleh :



dimana :

bila untuk rate pelayanan tak tergantung kondisi :

throughput : unique !

untuk rate pelayanan tergantung kondisi :

trhroughput : tidak unique !

ingat bahwa merupakan solusi non unique dari persamaan

trafik :

i= 1,2,...,M

Masalah utama adalah menentukan P(n) yaitu dalam

menghitung G(N) dimana tidak mengeluarkan P(0) seperti pada

jaringan terbuka.

Ruang Kondisi untuk sistem tertutup yang terdiri dari N

pelanggan dan M antrian adalah:

Persamaan kondisi normal:

Untuk jaringan terbuka jumlah kondisi besar sekali.



Untuk jaringan tertutup dibatasi oleh:

, ini mengurangi jumlah kondisi, tetapi masih

sangat besar.

Dengan N pelanggan dan M antrian, jumlah kondisi =

Untuk M = 10 dan N = 25 : harga tersebut =

kondisi

Setiap suku memerlukan perkalian konstanta sejumlah 10, jadi

kira-kira 520 juta perkalian.

Selain itu juga harus hati-hati bila perkalian ini dilakukan karena

dapat kehilangan ketepatan seperti yang telah di kemukakan

dalam soal latihan sebelumnya.

Terlihat bahwa sekalipun dengan jumlah pelanggan dan antrian

yang tak besarpun jumlah kondisi sudah sangat besar.

Sekarang dikemukakan cara BUZEN yang menentukan

konstanta normal tanpa penjumlahan yang besar.

Cara ini disebut:

Sebut g(m,n) konstanta normal untuk n pelanggan dan m

antrian.


ALGORITMA KONVOLUSI atau ALGORITMA BUZEN


(Di sini dipakai huruf kecil n dan m karena akan dipakai untuk

interasi sampai mencapai harga yang diperlukan: N dan M)

Dari definisi:

Dapat dikembangkan sebagai berikut:

Menjadi faktor:

Bila dilihat yang di dalam kurung :

Ini mirip bentuk konvolusi, dari sini algoritma ”konvolusi”.

Dari definisi g(n,m), kondisi permulaan diberikan oleh :

g (n,1) = f1 (n) ; n = 0,1,.....,N

g (0,m) = 1 ; m = 1,2,.....,M

A. OPERASI DARI ALGORITMA :

1 2 m-1 m M

SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 74G (n-1)

G (N)

012...

n-1

n


Diagram ini menunjukkan bahwa kolom terakhir adalah g (n,m)

dan ini sama dengan G (n). Sehingga konstanta normal untuk

penambahan jumlah pelanggandihitung selama proses

algoritma ini.

Antrian dengan Kondisi Bebas

dimana,

Suku pertama, merupakan konstanta normal unuk jaringan tanpa antrian ke m : g (n,m-1)

Suku kedua, bila suatu suku dikeluarkan :

Terlihant bahwa yang tinggal adalah konmstanta normal g (n-1,m)Jadi :

Kompleksitas perhitungan dalam algoritma ini, Diperlikan MN penjumlahan dan MN perkalian, untuk rekursif kondisi bebas terdapat kira-kira:

N2/2 penjumlahan dan N2/perkalian

tiap kolom pada diagram

kembali ke contoh semula dengan N=25 dan M=10 akan

diperoleh operasi sebesar : MN, kira-kira=3125 perkalian. Ini



sangat sedikit bila dibandingkan dengan jumlah semula

sebesar: 500 juta.

UKURAN UNJUK KERJA

Ukuran unjuk kerja dapat diturunkan dari: Kesetimbangan

Probabilitas Kondisi. Hal ini juga akan memerlukan operasi

perhitungan yang sangat besar. Ternyata sejumlah unjuk kerja

yang penting dapat dihitung sebagai fungsi dari berbagai

konstanta normal di mana merupakan produk dari algoritma

konvolusi.

"MARGINAL DISTRIBUTION" DARI PANJANG ANTRIAN

Sebut

Dilihat: pelayan bebas kondisi

Perhitungan dimulai dengan:

Substitusi memberikan:

di mana

dan dari persamaan trafik digunakan untuk menghitung

jadi semua suku mengandung faktor dan bila ini

dikeluarkan,



maka:

Jumlah di atas adalah konstanta normal dengan N-n

pelanggan.

Sekarang pakai "trick":

dengan definisi:

maka

sekali G(1), G(2), ..., G(N) dapat dihitung, Marginal Distribution

dapat diperoleh. Catatan: tergantung atas non-unique .


sistem jaringan antrian fix

Documents