Sistem Dinamiği ve

Modellemesi

Sistem Tanımı ve Temel Kavramlar

Sistem Nedir?

Belli bir görevi yerine getiren tek bir elemana veya biribirleri ile fiziksel olarak ilişkilendirilmiş elemanlara sistem denir.

05.11.2012 2

Sistem görevini yerine getirirken dışarıdan bir takım fiziksel etkilere (girdi) maruz kalır. Bu girdiler sonucunda sistem içerisinde görevi doğrultusunda bir takım tepkiler gözlemlenir. Bu tepkileri temsil eden fiziksel değişkenler çıktı olarak tanımlanır.

Süspansiyon Sistemi

Girdi

Çıktı

05.11.2012 3

Çıktı

Dinamik Sistem

Bir sistemin girdisi ve çıktısı arasındaki ilişki, tek tek elemanların davranışlarını ve elemanlarının birbirleri ve dış etkiler ile etkileşimini açkılayan fizik kanunları kullanılarak tanımlanır.

Hooke Yasası (Yay)

Viskoz Sönüm Kuvveti

05.11.2012 4

Newton ‘un II. Yasası

Dinamik SistemDinamik bir mekanik sistemin belirli bir andaki kuvvet dengesi

d’Alembert İlkesi yardımıyla yazılır

05.11.2012 5

Serbest Cisim DiyagramıHareket halindeki bir kütle üzerine etki eden dış kuvvetlerin ve o

kütlenin atalet etkisinin toplamı “0” dır

0====−−−−++++′′′′++++′′′′′′′′ F(t)kx(t)(t)xc(t)xm

Dinamik Sistem

Bu fizik kanunlarının uygullanmasıyla sistemlerin zamana bağlı davranışlarını veren denklemler elde edilir. (Modelleme) Bu denklemler sürekli sistemler için diferansiyel denklemşeklindedirler.

F(t)kx(t)(t)xc(t)xm

F(t)kx(t)(t)xc(t)xm 0

====++++′′′′++++′′′′′′′′

====−−−−++++′′′′++++′′′′′′′′

05.11.2012 6

Yay kütle amortisör sisteminin dinamik davranışını ifade eden diferenasiyel denklem

(Doğrusal+Sabit Katsayılı)

u(t)bx(t)a(t)xa(t)xa

F(t)kx(t)(t)xc(t)xm

1012====++++′′′′++++′′′′′′′′

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Sürekli veya Kesikli Sistemler

05.11.2012 7

Bir sistemin tüm değişkenleri her an için bir değer alıyorlar ise böyle sistemler sürekli olarak adlandırılır. Kesikli (Discrete) sistemlerin değişkenleri ise sadece belirli “t” anlarında bir değer alırlar

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Sabit Parametreli veya Zamanla Değişen Parametreli Sistemler

05.11.2012 8

Parametreleri zamana bağlı değişmeyen (time invariant) sabit parametreli sistemlerin cevabı, girdinin tatbik edildiği zamana bağımlı değildir. Buna karşın değişken parametreli (time variant) sistemlerde cevap, girdinin uygulandığı zamana bağlıdır. Örnek olarak, hareketi sırasında kütlesi zamanla değişen bir roket

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Dağılmış veya Topaklanmış Parametreli Sistemler

05.11.2012 9

Fiziksel özelliklerinin belli noktalara yığılması veya eleman boyunca dağılmasına göre sistemler, topaklanmış (Lumped Parameter) veya dağılmış (Distributed Parameter) parametreli sistemler olarak ayrılabilir. Topaklanmış sistemler normal adi diferansiyel denklemlerle ifade edilirken, dağılmış parametreli sistemler kısmi diferansiyel denklemlerle temsil edilirler

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Deterministik ve Stokastik (gelişigüzel) Sistemler :

05.11.2012 10

Deterministik bir sistemin cevabı önceden belirli (kestirilebilme) ve tekrarlanabilme özelliğine sahiptir. Buna karşın Stokastik bir sistemde bu özellikler yoktur.

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Tek ve Çok Girdili - Çıktılı Sistemler :

05.11.2012 11

Bazı sistemlerde kontrol edilen bir tek girdi ve buna bağlı bir tek çıktı söz konusudur (Single Input - Single Output SISO Systems). Bazılarında ise birbirini etkileyen birden fazla girdi ile çıktı söz konusudur (Multiple Input – Multiple Output Systems MIMO).

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Sistemler :

Doğrusal sistemler, farklı zamanlarda uygulanan girdilere verdikleri cevapların toplamı, herhangi başka bir anda iki girdinin toplamı olan girdiye verdiği cevaba eşit olan sistemlerdir.

05.11.2012 12

Doğrusal sistemler n. Mertebeden sabit katsayılı diferansiyel denklemler kullanılarak modellenirler.

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Sistemler :

Doğrusal Olmayan (Nonlinear) Sistemler herhangi bir girdiye verdikleri cevaplar, girdinin uygulanma anına ve sistemin o an ki durumuna bağlı olarak değişim gösteren sistemlerdir.

05.11.2012 13

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusallık testi :

Herhangi bir sistemin doğrusallığı kontrol etmek için sisteme iki test uygulanır.

Ölçekleme testi:

05.11.2012 14

Süperpozisyon prensibi:

)()()(22112211

xFaxFaxaxaF ++++====++++

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusal Olmayan Sistemlerin İncelenmesi :

Fiziksel sistemlerin hemen hepsi gerçekte doğrusal olmayan (Non-linear) bir karaktere sahiptir. Doğrusal olmayan sistemler; genelde kontrol devrelerinde fiziksel büyüklüğün bir referans değer civarında çok dar bir çalışma aralığında değişimi kabülü yapılarak doğrusal bir yaklaşımla incelenebilir. Bir f(x) fonksiyonu için belirli bir a noktası etrafında Taylor serisi açılımı:

05.11.2012 15

bir a noktası etrafında Taylor serisi açılımı:

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusallaştrıma :

Doğrusallaştırma yapılırken Taylor Serisi Açılımı yapılır ve sadece doğrusal terim hesaba katılır.

Taylor serisinin genel terimi:

F(a)=

05.11.2012 16

Doğrusallaştırma için n=1 alınır.

Eğer çok değişkenli bir f(.) fonksiyonu söz konusu ise:

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Tek Değişkenli Denklemlerin Doğrusallaştrıması :

Türev, bir eğrinin hesaplandığı noktadaki eğimini verir.

Örnek: (küçük açı kabulü)

θθθθθθθθ&& Lx

Lx

========

05.11.2012 17

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθ

Lf

LLf

LLLd

df

Lf

tLtx

L

L

========−−−−++++====

====================

)()0(0)(

cos,0,cos)(

sin)()(sin)(

θθθθθθθθ&&&&

&&

Lx

Lx

========

Doğrusallaştırma Uygulamaları

Basit Sarkaç T(t)=mgLsinθ(t)

05.11.2012 18

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusallaştrıma :

Eğer çok değişkenli bir f(.) fonksiyonu söz konusu ise:

eğrinin (a,b) noktasında için

x ekseni doğrultusundaki eğimini

05.11.2012 19

eğrinin (a,b) noktasında için

y ekseni doğrultusundaki eğimini

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusallaştrıma (çok değişkenli sistem örnek) :

γγγγ...),( pHcpHQ ====

05.11.2012 20

Kontrol vanasının debisi, vananın giriş ve çıkışları arasındaki basınç kaybı p ve kontrol girdisi H ye bağlı olarak verilmiştir. Debi denkleminin vananın bağlanacağı hattın karakterisiklerine göre belirlenmiş P

0ve H

0noktaları etrafındaki doğrusal ifadesini

bulunuz.

γγγγ...),( pHcpHQ ====

Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusallaştrıma (çok değişkenli sistem örnek) :

Doğrusallaştırılmış fonksiyon iki değişkene bağlı kısmi türevlere olarak:

,

Q QoQ

pp po

Q

HH HoL H st p st= + − + −= =

∂∂

∂∂

( ) ( )

Qo c Ho po= . . .γ

12

1.

)(C

pocHo

p

poQstH === γ

∂∂ ∂

∂γ

Q Ho

Hc po Cp st

( ). .= = = 2

05.11.2012 21

yazılır Kısmi türevler sırası ile hesaplanıp ifadede yerine konulursa kontrol vanasının geçirdiği akışkan debisinin, vananın girişi ve çıkışı arasındaki basınç düşümü p ve vana strok yüksekliği H ye bağlı ifadesinin (P

0,H

0) noktası etrafındaki doğrusallaştırımış ifadesi

bulunur

2 pop∂ ∂H

Q Qo C p po C H HoL = + − + −1 2.( ) .( )

Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması

Statik (Stasyoner) Eğriler :

Bir sistemin (veya elemanın) Statik (Statsiyoner) davranışı, bu sistemin girdi ve çıktı değerlerinin düzenli rejim halinde birbirlerine bağlı değişimini ifade eder. Karmaşık sistemlerde bu girdi çıktı ilişkisi deneysel olarak elde edilir ve sonuçlar grafik olarak verilir.

05.11.2012 22

Doğrusallaştırma UygulamasıStasyoner eğrinin yardımı ile bir sistemin belirli bir nokta etrafındaki

davranışı doğrusal olarak bulunabilir.

05.11.2012 23

Şekilde bir santrifüj pompanın H manometrik basma yüksekliğinin, Q debisi ve pompayı çeviren motorun n devir sayısına göre değişimini gösteren eğriler verilmiştir. H yüksekliğinin Qn=10 lt/dak., nn=1000 d/dak. değerleri ile verilen bir Pn noktası civarında lineerleştirilmiş ifadesini yazınız ve Q=9.5 lt/dak, n=1100 d/dak olması halinde bulunan formülle pompanın basabileceği H manometrik yüksekliğini hesaplayınız

Doğrusallaştırma Uygulaması

Nümerik Türev:

05.11.2012 24

Doğrusallaştırma Uygulaması

Doğrusallaştırma ifadesi:

Nümerik türevler:

)(),(

)(),(

),(),(0

00

0

00

00QQ

Q

nQHnn

n

nQHnQHnQH

sbtnsbtQL−−−−++++−−−−++++==== ======== ∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

04.0200

8

9001100

3644

)(

)(),(

12

1200 ========−−−−−−−−====

−−−−−−−−========nn

HH

n

nQHsbtQ∂∂∂∂

∂∂∂∂

05.11.2012 25

5.04

2

812

4139

)(

)(),(

12

12 −−−−====−−−−====−−−−−−−−====

−−−−−−−−

========QQ

HH

Q

nQH QQ

sbtn∂∂∂∂∂∂∂∂

)10(5.0)1000(04.040),( −−−−−−−−−−−−++++==== QnnQHL

m 75.43)105.9(5.0)10001100(04.040)5.9,1100( ====−−−−−−−−−−−−++++====L

H

Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması

Dinamik Davranış :

Bir sistemin dinamik davranışı, o sistemin matematiksel modeli olan denklem takımının çözülmesi ile bulunur. Dinamik davranış, statik eğriden farklı olarak sistemin düzenli rejime geçmeden önce zaman bağlı gösterdiği davranışıda içermektedir.

Bu düzenli rejime geçilirken

05.11.2012 26

Bu düzenli rejime geçilirken

gözlemlenen sonra kaybolan

davranışa

geçici rejim davranışı

denmektedir.

X(t)=xg(t)+xd(t)

xg(t) xd(t)

Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması

Kütle-Sönüm-Yay Sisteminin Dinamik Davranışı :

1[N]F(t) ),()()()( ====++++++++==== kkxtxctxmtf &&&

−−−−

−−−−−−−−==== −−−− )1sin(

11(

1)(

2

2

tek

txn

t

n

n n ξξξξωωωωξξξξωωωω

ωωωω ξωξωξωξω

05.11.2012 27

xg(t) xd(t)

m

k

n====ϖϖϖϖ

km

c

2

====ξξξξ

Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması

Kütle-Sönüm-Yay Sisteminin Dinamik Davranışı :

1[N]F(t) ),()()()( ====++++++++==== kkxtxctxmtf &&&

−−−−

−−−−−−−−==== −−−− )1sin(

11(

1)(

2

2

tek

txn

t

n

n n ξξξξωωωωξξξξωωωω

ωωωω ξωξωξωξω

05.11.2012 28

m

k

n====ϖϖϖϖ

km

c

2

====ξξξξ xg(t) xd(t)

Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması

Kütle-Sönüm-Yay Sisteminin Dinamik Davranışı :

1[N]F(t) ),()()()( ====++++++++==== kkxtxctxmtf &&&

−−−−

−−−−−−−−==== −−−− )1sin(

11(

1)(

2

2

tek

txn

t

n

n n ξξξξωωωωξξξξωωωω

ωωωω ξωξωξωξω

[[[[ ]]]]k

tF

ktx

dr

))((1

1)( ========

05.11.2012 29

Düzenli rejimde bütün

türevler “0” olur

[[[[ ]]]]kk

txdr

1)( ========

xg(t) xd(t)