sistem bilangan real · pdf filebilangan real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian...
TRANSCRIPT
SISTEM BILANGAN REALARUM HANDINI PRIMANDARI
Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional
Berikut adalah Skema Bilangan Real
BILANGAN
Bilangan Real
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Pecahan
Bulat
Bulat Negatif
Cacah
Asli
Nol
DIAGRAM
R
Bilangan Real
Q
Bilangan Rasional
Z
Bilangan Bulat
N
Bilangan Asli
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
Tentukan manakah bilangan rasional atau irasional
LATIHAN 1
SIFAT – SIFAT MEDAN
1. Hukum Komutatif
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
2. Hukum Asosiatif
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
3. Hukum Distribusi
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
4. Elemen-elemen Identitas
5. Invers
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL
1. Trikhotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
2. Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
3. Penambahan
Jika x < y ↔ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧
4. Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz.
LATIHAN 2
Sederhanakanlah
1.2𝑥−2𝑥2
𝑥3−2𝑥2+𝑥
2.𝑥2−𝑥−6
𝑥−3
3.2
6𝑦−2+
𝑦
9𝑦2−1−
2𝑦+1
1−3𝑦
4.12
𝑥2+2𝑥+
4
𝑥+
2
𝑥+2
5.
𝑥
𝑥−3−
2
𝑥2−4𝑥+35
𝑥−1+
5
𝑥−3
Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak
diantara kedua bilangan itu.
𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 <𝑎 + 𝑏
2< 𝑏
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
GARIS BILANGAN (INTERVAL)
Misal dua bilangan a dan b serta berlaku sifat urutan a < b digambarkan pada garis bilangan berikut :
a b
Interval yaitu suatu himpunan bagian dari bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu.
DEFINISI INTERVAL DAN NOTASINYA
Notasi Interval : Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
1. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
2. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
3. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
4. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
5. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}
6. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}
7. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏
8. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏
9. −∞,∞ = ℝ
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
PERTIDAKSAMAAN REAL
Definisi pertidaksamaan satu peubah yaitu bentuk aljabar dengan satu peubah yang dihubungkan dengan relasi urutan
Bentuk Umum :
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)<𝐶(𝑥)
𝐷(𝑥)
Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah polinom
B(x), D(x) 0
LATIHAN 3
10𝑥 − 7 < 5𝑥 − 2
−8 ≤ 2𝑥 + 6 < 3
𝑥2 − 2𝑥 < 3
HARGA MUTLAK
Misalkan 𝑥 ∈ ℝ. Harga mutlak dari x, ditulis
𝑥 ≔ ቊ−𝑥 , 𝑥 ≤ 0𝑥 , 𝑥 > 0
Sifat-sifat :
Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,
1. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
2.𝑥
𝑦=
𝑥
𝑦
3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦
4. |𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − |𝑏||
5. 𝑥 ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
Tentukan himpunan penyelesaian:
LATIHAN 4
2
2
1) 2 1 5
2) 3 14 4
3) 2 4 2 3 0
x
x x
x x
Jika a adalah bilangan real dan p adalah bilangan bulat positif, maka:
𝑎1 = 𝑎, 𝑎𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 ∙ 𝑎 (sebanyak p)
Dimana 𝑎 ≠ 0; 𝑎0 = 1, 𝑎−𝑝 =1
𝑎𝑝
𝑎𝑝+𝑞 = 𝑎𝑝𝑎𝑞, 𝑎𝑝−𝑞 = 𝑎𝑝𝑎−𝑞 , 𝑎𝑞 𝑝 = 𝑎𝑝𝑞
𝑎1
𝑞 =𝑞𝑎, dimana a bilangan non-negatif
PANGKAT DAN AKAR
BINOMIAL NEWTON
Jika binomial (a+b) dengan a dan b variabel real yang tidak nol dipangkatkan n dengan n bilangan asli, maka akandiperoleh bentuk 𝑎 + 𝑏 𝑛 yang dijabarkan dalam rumus Binomial Newton sebagai berikut :
𝑎 + 𝑏 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝐶𝑘𝑛 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 =
𝑘=0
𝑛𝑛𝑘
𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 =𝑛0
𝑎𝑛 +𝑛1
𝑎𝑛−1𝑏1 +𝑛2
𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+𝑛𝑛
𝑏𝑛
Dimana𝑛𝑘
= 𝐶𝑘𝑛 =
𝑛!
𝑛−𝑘 !𝑘!
Contoh : Gunakan rumus Binomial Newton untuk menguraikan 𝑥 + 𝑦 4 ?
SEGITIGA PASCAL
0
2
5
3
4
1
1. Jabarkan (2a+b)5!
2. Berapakah Koefisien x9 dari (2-x)12 ?
3. Berapakah koefisien x5 dari (x-3)19?
LATIHAN 5
INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika merupakan suatu teknik pembuktian yang baku di dalam matematika
Melalui induksi matematika kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas
PRINSIP INDUKSI SEDERHANA
Misalkan P(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif.
Kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Untuk membuktikan pernyataan ini, maka kita hanya perlu menunjukkan bahwa :
1. p(1) benar, dan
2. Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.
Maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n.
CONTOH INDUKSI MATEMATIKA
1. Buktikan bahwa:
2. Buktikan bahwa:
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
1
1 2 3 ... 12
n n n
2
1 1
1 3 4
1 3 5 9
1 3 5 7 16
.
1 3 5 ... (2 1)
dst
n n
PENGGUNAAN INDUKSI MATEMATIKA
Digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.
Suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan.
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
LATIHAN 6
1. Buktikan bahwa 7n – 2n selalu habis dibagi 5, untuk n adalah bilangan asli.
2. Buktikan:
23 3 3 31 2 3 ... 1 2 3 ...n n