1.7. СИНУСОИДАЛЕН РЕЖИМ ПРИ ПРОСТИ ЛИНЕЙНИ ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕРИГИ

1.7.1. Общи положения

Променливотоковите ЕВ съдържат същите елементи, както и постояннотоковите – източник на електрическа енергия, консуматори, съединителни проводници, комутационна и измервателна апаратура. Процесите и явленията в двата вида вериги се различават съществено.

Променливото напрежение обуславя променлив ток, като предизвиква промени в електрическите и магнитните полета, в тяхната енергия и др.

Променливотоковите ЕВ се характеризират с три параметъра – активно съпротивление R, индуктивност L и капацитет С. В практиката има случаи, когато влиянието на някои от тях е толкова незначително, че може да се пренебрегне. Това позволява да се разгледат първоначално вериги, в които определящ е един от тези параметри, наречени идеални елементи.

В редица устройства електрическата енергия се превръща в топлина или в топлина и светлина. Магнитният поток, който се създава от тези устройства е незначителен и затова той може да се пренебрегне. В такъв случай се отчита само съпротивлението на проводника, от който е направено устройството. Получава се елемент – резистор, който се характеризира само с активно съпротивление R.

За определени цели във веригите за променлив ток се включват намотки. С намотката се свързва голям магнитен поток. Както е известно от физиката, активното съпротивление на проводника, от който тя е навита, е малко и може да се пренебрегне ( активното съпротивление на проводника при променливотоковите вериги е по-голямо от това при постояннотоковите). Тогава намотката се характеризира само с индуктивността си L. В противен случай, ако се вземе предвид активното съпротивление на проводника, такава ЕВ може да се представи с последователно свързани два елемента – резистор и индуктивен елемент.

Кондензор, включен към източник на постоянно е.д.н., се зарежда до напрежението на източника, след което във веригата не протича ток. Диелектрикът на кондензатора прекъсва ЕВ. Кондензаторът се характеризира с капацитета си С. Ако същият кондензатор се свърже към източник на променливо е.д.н., ще се получи периодично зареждане и разреждане на кондензатора и във веригата ще протича също променлив ток. Напрежението, получено върху електродите на кондензатора, ограничава

74

тока през него, т.е. кондензаторът окозва известно съпротивление на променливия ток.

Извод: Във веригите за променлив ток се разглеждат три вида елементи – резистори, намотки и кондензатори.

Най – напред тези елементи ще бъдат разгледани поотделно. Целта е да се установи следното:- връзката между ефективните стойности на подаденото към елемента напрежение и протичащия през него ток;- фазовата разлика между напрежението и тока.

Приема се, че ЕВ са линейни, т.е. параметрите R, L и С не зависят от тока или напрежението върху тях. Не зависят също от външни фактори ( температура, влага, налягане, стареене и др.)

1.7.2. Верига от един идеален елемент

1.7.2.1. Верига от един резистор

Такива са веригите, в които са включени електронагревателни уреди, електрически лампи и др., които притежават нищожна индуктивност и капацитет и се пренебрегват.

Нека е дадена линейна ЕВ, която е съставена от един резистор със съпротивление R ( фиг.1.41 ). Когато към веригата се приложи напрежение u (t) = um sin(t + Ψu), през нея протича ток i(t).

фиг.1.41Схема на резисторна ЕВ

Определяне на тока i(t)

75

По задание ЕВ е линейна и при зададеното входно напрежение, токът е синусоидален и има същата честота, т.е. i(t) = im sin ( t + Ψi ), където im е амплитудата, а Ψi е началната фаза на тока. Така че моментната стойност на тока i(t) се определя, като се раздели моментната стойност на напрежението на u (t) със съпротивлението на резистора R.

Резисторът е единственият елемент, при който законът на Ом е валиден по отношение на моментните стойности на тока и напрежението:

uR (t) = Ri(t) (1.81)

Определяне на фазовата разлика

За означеният контур по втория закон на Кирхоф се записват следните две равностойни уравнения:

uR (t) – u (t) = 0 и uRm sin(t + ΨuR) = um sin(t + Ψu).

Двете синусоидални величини са равни, ако са равни техните амплитуди и фази, откъдето следва

uRm = um и ΨuR = Ψu (1.82)

След съответното заместване в (1.81), се получава:

uRm sin(t + ΨuR) = R im sin ( t + Ψi )

От приравняването на амплитудите и на фазите на двете синусоидални величини се достига до следното:

uRm = R im ; t + Ψi = t + ΨuR

и съответно ; Ψi = ΨuR , (1.83)

от където = 0.

фиг.1.42Графични изображения на вериги с резистор

76

На фиг.1.42 са дадени синусоидите на напрежението и тока, а на фиг.1.43 – векторите, които ги изобразяват. Те съвпадат по посока, тъй като между напрежението и тока няма фазова разлика.

фиг.1.43Векторна диаграма на верига с резистор

Изводи: 1.Токът се изменя по закона, по който се изменя и напрежението

(синусоидален закон). 2. Токът и напрежителният пад в резистора съвпадат по фази Ψi = ΨuR..

3.Фазовата разлика между тока и напрежителния пад в резистора е равна на нула = 0.

4. Законът на Ом е валиден за амплитудните и за ефективните стойности на напрежителния пад и тока в резистора;

5. По характер съпротивлението R на резистора е активно и не се променя както при постоянен, така и при променливотоков режим на работа.

Контролни въпроси

1. Кой ток е променлив?2. Каква е разликата между активното съпротивление на един

проводник при постоянен и при променлив ток?3. Възможно ли е токът в резисторна верига да е i(t)= im sin ( t + 600

)?4. Зависи ли активното съпротивление на проводника от честотата?

Определяне на мощностите p(t), P, Q и S .

Моментната р( t ), активната P, пълната S и реактивната мощности Q в резисторната верига се определят, както следва.

Моментна мощност р( t )Моментната мощност р(t ) изразява скоростта, с която електрическата

енергия се превръща в друг вид енергия – топлинна енергия. Моментната мощност р( t ) се определя като произведение от

моментните стойности на тока и напрежението:

p(t) = u (t)i(t) = Ri2(t) = 2UI sin2 (t + Ψu) = UI [1 – cos 2(t + Ψu )] (1.84)

77

Моментната мощност р( t ) има две компоненти:- Постоянна UI- Променлива UI cos 2(t + Ψu ), която се изменя с двойна честота 2.

Средната стойност на променливата съставка за един период е нула.Моментната мощност е винаги положителна p(t) 0, защото в

резистора електрическата енергия се превръща в топлина (фиг.1.44).

Аактивна мощност РЗа практиката има значение средната стойност на мощността, наречена

още активна мощност Р и се определя от постоянната компонента на р( t ). Тя е равна на произведението от ефективните стойности на напрежението и тока:

P = UIcos = UI = RI2 = (1.85)

Множителят cos се нарича фактор на мощността. Активната мощност се измерва с единицата ват, W.

фиг.1.44 Графични изображения на вериги с резистор

Реактивна мощност QРеактивната мощност Q е свързана с обмяната на енергия между

източника и полетата на ЕВ и се дава с израза:

Q = UI sin . (1.86)

Реактивната мощност Q е равна на нула: Q = 0.Реактивната мощност се измерва с единицата волт-ампер-реактивен,

Var.

Пълна мощност S

78

Пълната мощност S е равна на активната мощност Р:

UI = RI2 = = Р (1.87)

Пълната мощност се измерва с единицата волт-ампер, VA. Пълната мощност може да се разглежда като най-голямата активна

мощност, която може да се получи във веригата при зададените ефективни стойности на напрежението и тока.

Работа АРаботата, извършена за интервал от време t, се определя числено, като

активната мощност се умножи по времето:

А = Р t. (1.88)

Изводи: 1. Моментната мощност p(t) се променя в границите от 0 до 2UI и

винаги p(t) > 0. Тя се предава еднопосочно от мрежата към веригата, като постъпилата енергия в резистора се преобразува необратимо в топлина.

2. Активната мощност Р съвпада с пълната мощност S, а реактивната мощност Q = 0.

Контролни въпроси

1. Зависи ли от честотата активната мощност Р на верига с активно съпротивление?

2. Защо средната стойност на променливата съставка на p(t) е нула?

Задачи

1. В краищата на един нагревателен уред със съпротивление R = 22 е приложено напрежение u = 310 sin t. Да се определят моментната и ефективната стойност на тока и мощността.

2. Напрежението, приложено в краищата на една верига с активно съпротивление, е u = 310 sin t, а токът в нея е i = 1,41 sin t. Да се определи съпротивлението на веригата и активната й мощност.

1.7.2.2. Верига от един индуктивен елемент

Схемата на ЕВ е показана на фиг.1.45. Активното съпротивление и капацитетът се пренебрегват, като по този начин се изясняват процесите в идеалния случай – наличие само на индуктивност.

79

Нека е дадена линейна ЕВ, която е съставена от намотка с индуктивност L с брой на навивиките w. Когато към веригата се приложи синусоидално напрежение u (t) = um sin(t + Ψu), през нея протича ток i(t), който също има синусоидална форма.

фиг.1.45ЕВ с индуктивен елемент

В бобината се самоиндуктира е.д.н. еL . Големината на еL зависи от

индуктивността L и скоростта на изменението на тока .

Определяне на тока i(t), амплитудата на тока im и началната фаза на тока Ψi

Определяне на тока i(t)

ЕВ е линейна и при зададено синусоидално входно напрежение, токът е синусоидален и има същата честота, т.е.

i( t ) = im sin ( t + Ψi ). (1.89)

Определяне на амплитудата на тока im и началната фаза на тока Ψi

От втория закон на Кирхоф за означената положителна посока на

фиг.1.45 се записват уравненията:

UL( t ) – U( t ) = 0, UL( t ) = U( t ), ULm sin ( t + ΨuL ) = Um sin( t + Ψu ) (1.90)

С намотката се свързва магнитен поток на самоиндукцията:

L = Li. (1.91)

80

При променлив ток магнитният поток се изменя, а подаденото към намотката напрежение u (t) се уравновесява с индуктираното е.д.н. еL:

- еL = uL = = .

(1.92)

и след заместване на i( t ), се получава:

- еL = uL = ULm sin ( t + ΨuL ) = L = L im cos( t + Ψi ), където

ULm sin ( t + ΨuL ) = L im cos( t + Ψi ) = L im sin( t + Ψi + ) (1.93)

Приравняват се амплитудите и съответно аргументите на двете синусоидални величини:

L im = uLm im =

и (1.94)

t + Ψi + = t + ΨuL Ψi = ΨuL -

Фазовата разлика = ΨuL – Ψi = . От получените уравнения се вижда,

че токът изостава от напрежителния пад на ъгъл .

Величината L = Х (1.95)

се нарича индуктивно съпротивление и има размерност на съпротивление, .

Ефективната стойност на тока се получава според закона но Ом, като ефективната стойност на напрежението се раздели на индуктивното съпротивление:

(1.96)Определяне на мощностите p(t), P, Q и S

Моментната мощност p(t) се определя от уравнението

81

р( t ) = uL( t )i( t ) = i( t ) = L i2m cos( t + Ψi ) sin( t + Ψi ) = LI2 sin 2( t + Ψi ) (1.97)

Активната мощност Р е нула.

P = UI cos = UI cos = 0 (1.98)

Реактивната мощност Q е равна на пълната мощност S:

Q = U I = UL I = LI2 = XL I2 (1.99)

Реактивната мощност е равна на произведението от ефективните стойности на напрежението и тока.

S = = XL I2 (1.100)

Q = S (1.101)

На фиг.1.46 са дадени графични изображения на верига с индуктивен елемент, а на фиг.1.47 – векторната диаграма.

фиг.1.46Графични изображения на верига с индуктивен елемент

82

фиг.1.47Векторна диаграма

На фиг.1.48 са дадени графичните изображения на моментните стойности на тока, напрежението и мощността.

фиг.1.48Графични изображения на моментните стойности на тока, напрежението и мощността на

верига с индуктивен елемент

От фигурата се вижда, че през първата четвърт на периода, когато напрежението е положително и токът нараства от нула до максималната си стойност im, мощността е положителна. През това време възниква магнитно поле и в него за сметка на енергията на източника се локализира магнитна енергия. През втората четвърт на периода, когато напрежението получава нарастващи отрицателни стойности, а токът от im намалява до нула, мощността е отрицателна, което означава, че натрупаната през първата четвърт на периода магнитна енергия в полето на намотката се връща към

източника, магнитното поле намалява и при t = , когато i = 0, то изчезва.

През третата и четвъртата четвърт на периода процесът се повтаря. Следователно във веригата не се извършва полезна работа, а се извършва

83

обмяна на реактивна енергия между източника и магнитното поле на бобината с честота 2.

Изводи:

1. Законът на Ом е валиден за амплитудите и за ефективните стойности на напрежителния пад и тока в индуктивния елемент.

2. Съпротивлението на индуктивния елемент при синусоидален режим е XL = L. То има реактивен характер и се нарича индуктивно съпротивление.

3. Токът изостава от напрежителният пад с 90 или , rad.

4. Фазовата разлика между напрежителният пад и тока в елемента е =

+ > 0

5. Средната стойност на моментната мощност p(t) е нула, следователно индуктивният елемент не консумира активна мощност (активна енергия), което означава, че във веригата не се извършва полезна работа. Извършва се обмяна на реактивна енергия между източника и магнитното поле на бобината с честота 2.

6. Пълната мощност S е равна на реактивната мощност Q, защото Р = 0: S = Q.

7. Реактивната мощност Q е винаги с положителен знак: Q > 0

Контролни въпроси

1. Какво е дефазирането между тока и напрежението във верига с индуктивност?

2. Има ли верига с чисто индуктивно съпротивление?3. Как ще се изменя моментната мощност през втория полупериод?

Задача

1. В краищата на веригата от фиг.1.45 е приложено напрежение 220 V с честота f = 50 Hz. Началната фаза на напрежението е нула, а коефициентът на самоиндукция на намотката е L = 0,14 Н.Да се определят:

- индуктивното съпротивление XL;- моментната, максималната и ефективната стойност на тока;- реактивната мощност.

1.7.2.3. Верига от един капацитивен елемент

Схемата на ЕВ е показана на фиг.1.49. Проводимостта се пренебрегва.

84

Когато към веригата се приложи постоянно нопрежение, кондензаторът се зарежда със заряд Q = CU, пропорционален на приложеното напрежение U и капацитета му C, след което ток няма да протича, защото веригата е прекъсната.

Когато към веригата се приложи синусоидално напрежение uC (t) = uCm

sin(t + ΨuC), през нея протича ток i(t), който също има синусоидална форма.

фиг.1.49ЕВ с капацитивен елемент

Определяне на тока i(t), амплитудата на тока im и началната фаза на тока Ψi

Определяне на тока i(t)

ЕВ е линейна и при зададено синусоидално входно напрежение, токът е синусоидален и има същата честота, т.е.

i( t ) = im sin ( t + Ψi ). (1.102)

Определяне на амплитудата на тока im и началната фаза на тока Ψi

За елементарното време dt зарядът Q се изменя с dQ, токът във веригата на кондензатора е

i( t ) = , от където uc( t ) = (1.103)

От втория закон на Кирхоф за означената положителна посока на фиг.1.49 се записват уравненията:

- u( t ) + uc( t ) = 0, u( t ) = uc( t ), uCm sin(t + ΨuC) = um sin(t + Ψu),

85

откъдето

uc( t ) = Xc i( t ) = = =

(1.104)

uCm sin(t + ΨuC) = = (1.105)

От двете страни на полученото равенство се приравняват амплитудите и съответно аргументите на синусоидалните величини. Получават се зависимостите:

uCm = или ;

и (1.106)

t + ΨuC =

Величината има размерност на съпротивление и се нарича

капацитивно съпротивление.

Тъй като = , капацитивното съпротивление на веригата

зависи не само от капацитета на кондензатора, но и от честотата на приложеното напрежение.

Законът на Ом за верига с капацитивно съпротимление се прилага за амплитудните и ефективните стойности на напрежението и тока.

Определяне на мощностите p(t), P, Q и S

Моментната мощност p(t) се определя от уравнението

р( t ) = i( t ) uc( t ) = i( t ) = sin ( t + Ψi ) =

= I2 sin2(t + Ψi) = XC I2 sin2(t + Ψi) = UI sin 2(t + Ψi) (1.107)

Моментната мощност се изменя по синусоидален закон с двойна честота. Средната й стойност за един период е нула, което означава, че във верига с капацитивен елемент електрическата енергия не се превръща в полезна работа.

86

Активната мощност Р е нула.

P = UI cos = UI cos (- ) = 0 (1.108)

Реактивната мощност Q е равна на произведението от ефективните стойности на напрежението и тока. Q = -UC I = -XC I2 (1.109)

Пълната мощност S е равна на реактивната мощност по абсолютна

стойност:

S = = XC I2 (1.110)

S = Q (1.111)

На фиг.1.50 са дадени графични изображения на вериги с капацитивен елемент, а на фиг.1.51 – векторната диаграма.

От фиг.1.50 се вижда, че през първата четвърт на периода, когато напрежението нараства от нула до максималната си стойност, кондензаторът се зарежда (горната плоча с положителни заряди, а долната – с отрицателни заряди). Зарядът на кондензатора в даден момент зависи от напрежението. В началото на първата четвърт на периода нарастването на напрежението е най-голямо. В съответствие с това максимален ще бъде и токът, като той ще има положителна посока.

През втората четвърт на периода напрежението намалява до нула – кондензаторът се разрежда. Токът има обратна посока, като стойността му в началото е нула и достига максимум в края на тази четвърт, защото тогава изменението на напрежението (и на заряда) е най-голямо.

В третата четвърт на периода кондензаторът отново се зарежда, като се сменя поляритетът на плочите на кондензатора – напрежението постепенно нараства, но посоката му е обратна.

През четвъртата четвърт на периода кондензаторът отнова се разрежда.От описаните по-горе процеси се вижда, че при прилагане на

променливо напрежение в краищата на веригата, кондензаторът се зарежда и разрежда периодично и във веригата протича електрически ток.

87

фиг.1.50Графични изображения на моментните стойности на тока, напрежението и мощността на

верига с капацитивен елемент

фиг.1.51Векторна диаграма

Изводи:

1. Законът на Ом е валиден за амплитудните и за ефективните стойности на напрежителния пад uc( t ) и тока в капацитивния елемент i( t ).

2. Съпротивлението на капацитивния елемент при синусоидален режим . По характер то е реактивно и се нарича капацитивно

съпротивление.

3. Токът изпреварва напрежителния пад с 90 , или с .

4. Фазовата разлика между напрежителния пад и тока в елемента е = - .

5. Средната стойност на момента мощност р(t) е нула. Следователно капацитивният елемент не консумира активна мощност респ. активна енергия.

6. Пълната мощност S е равна по абсолютна стойност на реактивната Q : S = |Q|.

88

7. Реактивната мощност Q = - Xc I е винаги с отрицателен знак.

Контролни въпроси

1. Какво е дефазирането между тока и напрежението във верига с капацитивен елемент?

2. Каква е физическата същност на променливия ток във верига само с капацитивно съпротивление?

3. Каква е стойността на Xc при постоянен ток?4. Xc постоянна или променлива величина е?5. Сравнете процесите, които протичат при верига с L и при верига с С.

Задача

1. Кондензатор има капацитет С = 100 F. В краищата на веригата от фиг.1.49 е приложено напрежение U = 220 V с честота f = 50 Hz и начална фаза = 00. Да се определят:

- капацитивното съпротивление XС;- моментната, максималната и ефективната стойност на тока.

1.7.2.4. Верига от последователно свързани резистор, индуктивен елемент и капацитивен елемент

На фиг.1.52 е дадена ЕВ, която се състои от последователно свързани резистор със съпротивление R, намотка с индуктивност L и конденатор с капацитет С.

Когато към веригата се приложи синусоидално напрежение u(t) = um

sin(t + Ψu), през нея протича ток i(t), който също има синусоидална форма.

Определяне на тока i(t), амплитудата на тока im и началната фаза на тока Ψi

ЕВ е линейна и при зададено синусоидално входно напрежение, токът i(t) е синусоидален и има същата честота, т.е.

i( t ) = im sin (t + Ψi).

89

фиг.1.52Верига от последователно свързани резистор, индуктивен елемент и капацитивен елемент

От втория закон на Кирхоф за означената положителна посока на фиг.1.52 се записва:

u ( t ) = uR ( t ) + uL ( t ) + uc ( t ) (1.112)

Вижда се, че при последователно свързване на елементите в ЕВ общото напрежение u ( t ) е равно на сумата от падовете на напрежение в отделните елементи. Тази зависимост е изпълнена за всеки момент от времето. От нея може да се определят амплитудата и началната фаза на тока.

За целта по равенство (1.112) се построява векторната диаграма:

- напрежителният пад в резистора е

uR( t ) = uRm sin t = R i( t ) = R im sin t (1.113)

uRm = R im; UR = RI; = 0 (1.114)

- напрежителният пад в индуктивния елемент е

uL( t ) = XL im sin( t + ) = L = uLm sin( t + ) (1.115)

uLm = XL im; UL = XLI = L I; =

(1.116)

- напрежителният пад в капацитивния елемент е

90

uc( t ) = Xc i( t ) = = Xc = uCm

(1.117)

uCm = Xc im; UC = Xc I = ; = -

(1.118)

Големината на фазовата разлика зависи от параметрите на веригата, а знакът от съотношението между XL и Xc.

Уравнение (1.112) може да се реши графично за ефективните стойности. За базисен се избира векторът на тока I, който е еднакъв в трите елемента. Векторът, който изобразява общото напрежение, се получава като геометрична сума на векторите на отделните напрежения:

(1.119)

Уравнение (1.119) се решава графично. Векторните диаграми на ефективните стойности са:

А. Векторна диаграма при индуктивен товар

Uc UL

UR

I

Uaв

фиг.1.53Векторна диаграма на напреженията при индуктивен товар

Падът на напрежение върху резистора UR е във фаза с тока I .Падът на напрежение върху индуктивността UL изпреварва тока с 90.Падът на напрежение върху капацитета Uc изостава на 90 от I или на

180 от UL.От получения от векторната диаграма правоъгълен триъгълник на

напреженията, съгласно теоремата на Питагор, се записва:

Uaв2 = UR

2 + ( UL – Uc )2 (1.120)

Uaв = = = I = I Z (1.121)

= I = I Z (1.122)

Получената зависимост (1.121) е аналог на закона на Ом.

91

Съпротивления на ЕВ

активно съпротивление R, индуктивно съпротивление XL = L,

капацитивно съпротивление Xc = ,

реактивно съпротивление X = XL - Xc

Наименованието реактивно съпротивление е дадено, защото при протичането на ток в идеалната намотка и идеалния кондензатор електрическата енергия не се преобразува в друг вид енергия. В резисторите електрическата енергия се превръща в топлина.

пълно съпротивление Z =

Получава се триъгълник на съпротивленията (респ. триъгълник на мощностите) с хипотенуза пълното съпротивление Z и катети активното съпротивление R и реактивното съпротивление Х.

фиг.1.54Триъгълник на съпротивленията

фиг.1.55Триъгълник на мощностите

Винаги R > 0, а X > 0 при индуктивен товар ( или XL > Xc ) и X < 0 при капацитивен товар ( или XL < Xc ).

Фазова разлика между напрежението и тока при последователно свързани елементи R, L и С

92

Фазовата разлика между напрежението и тока зависи от съотношенията между сапротивленията. От правоъгълния триъгълник на фиг.1.53 за фазовата разлика се получава:

tg = (1.123)

- при XL > Xc , > 0 и напрежението изпреварва по фаза тока;- при XL < Xc, < 0 и токът изпреварва по фаза напрежението.

cos = ; sin = (1.124)

Б. Векторна диаграма при капацитивен товар

Падът на напрежение върху резистора UR е във фаза с тока I .Падът на напрежение вурху индуктивността UL изпреварва тока с 90.Падът на напрежение върху капацитета Uc изостава на 90 от I или на

180 от UL.

фиг.1.56Векторна диаграма на напреженията при капацитивен товар

Тук Xc > XL, а фазовата разлика < 0 се определя по формули (1.123) и (1.124).

В. Векторна диаграма при резонанс

Резонанс в ЕВ настъпва при равенство на индуктивното и капацитивното съпротивление:

93

XL = Xc или , (1.125)

при което реактивното съпротивление X = 0, а падовете на напрежение вурху индуктивния елемент и върху капацитивния елемент са равни UL = Uc, респ. Z = R , а = 0.

На фиг.1.56 е дадаена векторната диаграма при резонанс:

фиг.1.57Векторна диаграма при резонанс

Изводи:

1. Фазовата разлика ( дефазирането ) между напрежението u( t ) и тока i ( t ) при индуктивен характер (XL > Xc ) е > 0 , а при капацитивен - (XL < Xc ) е < 0.

2. От правоъгълните триъгълници на напреженията, съпротивленията и мощностите следват съответни тригонометрични зависимости, полезни за изчисленията (фиг.1.53, фиг.1.54 и фиг.1.55).

3. В пасивен участък от веригата с комплексно съпротивление Z = R + j X и ефективна стойност на тока I, комплексната мощност е Ś = Z I2, активната мощност е P = R I2, а реактивната мощност - Q = X I2 (фиг.1.55).

Контролни въпроси

1. При какво условие в ЕВ от последователно свързани резистор, намотка и кондензатор няма да има фазова разлика между напрежението и тока?

2. Токът във веригата от фиг.1.52 се изменя по синусоидален закон и има начална фаза нула. Напишете уравненията на моментните стойности на падовете на напрежения в трите последователно свързани елемента.

3. От какво зависи дефазирането между тока и напрежението във верига от последовтелно свързани активно и индуктивно съпротивление?

4. Зависи ли импедасът на верига от последователно свързани активно и индуктивно съпротивление от честотата?

5. Зависи ли импедасът на верига от последователно свързани активно и капацитивно съпротивление от честотата?

94

Задачи

1. Стойностите на последователно свързаните елементи от резистор, намотка и кондензатор на фиг.1.52 са: R = 12 Ω, XL = 38 Ω, XС = 32 Ω. Приложеното напрежение е U = 220 V. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Токът във веригата І.2. Дадена е ЕВ с последователно свързани активно и индуктивно

съпротивления, при което: R = 8 Ω, XL = 6 Ω. Напрежението, приложено в началото на веригата е U = 220 V. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Падовете в двата участъка на веригата;- Токът във веригата І;- Фазовата разлика .3. Към кондензатор с капацитет С = 132,5 µF последователно е свързан

резистор с активно съпротивление R = 18 Ω. Напрежението, приложено в началото на веригата е U = 220 V с честота f = 50 Hz. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Токът във веригата І;- Фазовата разлика .4. Дадена е ЕВ с последователно свързани активно и капацитивно

съпротивления, при което: R = 32,33 Ω. Напрежението, приложено в началото на веригата е U = 220 V с честота f = 50 Hz. Токът във веригата е І = 2 А. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Капацитетът на кондензатора С;- Активната, реактивната и пълната мощност.5. Стойностите на последователно свързаните елементи от резистор,

намотка и кондензатор на фиг.1.52 са: R = 300 Ω, L = 3 Н, С = 2 µF. Приложеното напрежение е U = 220 V с честота f = 50 Hz. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Токът във веригата І;- Падовете в индуктивния и капацитивния елемент.6. Дадена е ЕВ, която се състои от последователно свързани резистор със

съпротивление R = 8 Ω, намотка с индуктивност L = 0,03185 Н и кондензатор с капацитет С = 800 µF. Приложеното напрежение е с ефективна стойност U = 220 V и честота f = 50 Hz. Да се определят:

- Токът във веригата І;- Активната мощност Р;- Реактивната мощност Q;- Пълната мощност S;- Фазовата разлика между напрежението и тока .

95

1.7.2.5. Верига от паралелно свързани резистор, индуктивен елемент и капацитивен елемент

фиг.1.58Верига от паралелно свързани резистор, индуктивен елемент и капацитивен елемент

На фиг.1.58 е дадена ЕВ, която се състои от паралелно свързани резистор с проводимост G , намотка с индуктивност L и конденатор с капацитет С.

Когато към веригата се приложи синусоидално напрежение u(t) = um

sin(t + Ψu), през нея протича ток i(t), който също има синусоидална форма.

Определяне на тока i(t), амплитудата на тока im и началната фаза на тока Ψi

ЕВ е линейна и при зададено синусоидално входно напрежение токът е синусоидален и има същата честота, т.е.

i( t ) = im sin (t + Ψi). (1.126)

От първия закон на Кирхоф се записва за възел а:

iG ( t ) + iL ( t ) + ic ( t ) – i ( t ) = 0

iG ( t ) + iL ( t ) + ic ( t ) = i( t ) (1.127)

Вижда се, че при паралелно свързване на елементите в ЕВ общият ток i( t ) е равен на сумата от токовете в отделните елементи. Тази зависимост е изпълнена за всеки момент от времето. От нея може да се определят амплитудата и началната фаза на напрежението.

При паралелно съединение на елементите, падовете от напрежения върху тях са равни:

u ( t ) = uG ( t ) = uL ( t ) = uc ( t ). (1.128)

96

Отчита се връзката между моментните стойности на напрежителния пад и тока във всеки един идеален елемент, а именно:

- Токът в резистора е iG ( t ) = = G um sin (t + Ψu) и съвпада

по фаза с напрежението u. От равенството следват изразите за амплитудните и ефективните стойности на пада на напрежението и тока:

iGm = ; IG = ; = 0, (1.129)

където G = - активна проводимост, има размерност сименс [S].

- Токът в индуктивния елемент е = .

Напрежителният пад в индуктивния елемент е u( t ) = L = XL iLm sin( t

+ ) = um sin( t + ). От равенството следват изразите за амплитудните и

ефективните стойности на пада на напрежението и тока:-

iLm = ; IL = ; = , (1.130)

където - индуктивна проводимост и има размерност на

проводимост, сименс [S].

- Токът в капацитивния елемент е .

Напрежителният пад в капацитивния елемент е u( t ) = Xc ic( t ) =

= Xc = um . От равенството следват изразите за

амплитудните и ефективните стойности на пада на напрежението и тока:

icm = Вc um; Ic = ; = - , (1.131)

където - капацитивна проводимост и има размерност на

проводимост, сименс [S].

Величината B = ВL – Вc се нарича реактивна проводимост на ЕВ.

97

Големината на фазовата разлика зависи от параметрите на веригата, а знакът от съотношението между XL и Xc.

Уравнение (1.128) може да се реши графично за ефективните стойности. За базисен се избира векторът на напрежението U, който е еднакъв в трите елемента. Векторът, който изобразява общия ток, се получава като геометрична сума на векторите на отделните токове:

(1.132)

Уравнение (1.132) се решава графично. Векторните диаграми на ефективните стойности са:

А. При индуктивен товар

Лявата страна на уравнение (1.127) е сума от синусоидални величини. Във векторната диаграма на веригата тя се замества със сума от съответните векторни образи. В резултат се получава векторният образ на синусоидалната величина от дясно на равенството.

За ефективните стойности на падовете на напрежения във всеки от идеалните елементи важи законът на Ом:

U = UR = RIG; U = UL =XL IL; U = Uc= XcIG (1.133)

Ефективните стойности на токовете се намират по закона на Ом (1.129), (1.130) и (1.131):

IG = = ; IL = ; Ic = ; (1.134)

фиг.1.59Векторна диаграма

От получения правоъгълен триъгълник с хипотенуза I и катети IG и (IL - Ic) следва:

98

(1.135)

y = (1.136) където y – пълна проводимост на ЕВ;

I – ефективна стойност на тока в ЕВ;U – ефективна стойност на напрежението в ЕВ.

Ъгълът между векторите на напрежението и тока е фазовата разлика. Тангенсът на този ъгъл е

tg = , > 0

cos = (1.137)

sin =

Триъгълниците на токовете, проводимостите и мощностите са дадени съответно на фиг.1.60, фиг.1.61 и фиг.1.62.

фиг.1.60Триъгълник на токовете

фиг.1.61Триъгълник на проводимостите

99

фиг.1.62Триъгълник на мощностите

Б. При капацитивен товар

фиг.1.63Векторна диаграма

IG = ; IL = ; Ic = ; (1.138)

Общият ток I изпреварва по фаза напрежението U. Фазовата разлика < 0 , защото BL < Bc и B < 0.

В. При резонанс

ЕВ има чисто активен характер. Условието за резонанс е равенсво на индуктивната и капацитивната проводимости:

. (1.139)

Токовете IL = - Ic, така че IL + ( - Ic ) = 0. Общият ток I = IG е във фаза с напрежението U.

фиг.1.64Векторна диаграма

100

За разгледаните случаи в т. А, Б и В моментната стойност на тока е:

i( t ) = (1.140)

(1.150)

Изводи:1. Дефазирането между напрежението u( t ) и тока i( t ) е > 0 при BL >

Bc и < 0 при BL < Bc. В първия случай характерът на веригата е индуктивен, а във втория - капацитивен.

2. От правоъгълните триъгълници на токовете, проводимостите и мощностите се получават полезни за изчислението тригонометрични зависимости между съответните еднородни фазически величини.

3. Активната мощност в ЕВ е Р = 2, а реактивната - . Пълната мощност е равна на .

Контролни въпроси

1. При какво условие в ЕВ от паралелно свързани резистор, намотка и кондензатор няма да има фазова разлика между напрежението и тока?

2. Напишете уравненията за моментните стойности на токовете в паралелните клонове.

3. Напишете уравненията за моментните стойности на токовете във верига с паралелно свързани намотка и резистор.

4. Как зависят различните проводимости от честотата?5. Зависи ли пълната проводимост на верига от паралелно свързани

активно, индуктивно и капацитивно съпротивление от честотата?6. Начертайте векторната диаграма на веригата при следните три случая:

XL > XС, XL < XС и XL = XС.7. Ако в краищата на веригата се приложи променливо напрежение, какви

енергийни процеси ще се развиват в зависимост от съотношението между реактивните елементи? От гледна точка на подобряване на cos на мрежата кой от посочените във въпрос 4 случай е за предпочитане?

Задачи

1. Стойностите на паралелно свързаните елементи от резистор, намотка и

кондензатор на фиг.1.58 са: R = 8 Ω, XL = 12 Ω, XС = 6 Ω. Приложеното напрежение е U = 20 V. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Токът във веригата І;

101

- Токовете в отделните клонове на веригата.2. Кондензатор с капацитет С = 5 µF и резистор със съпротивление R = 1

кΩ са свързани паралелно. Приложеното напрежение е с ефективна стойност U = 220 V с честота f = 50 Hz. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Токът във веригата І;- Токовете в отделните клонове на веригата.3. Дадена е схема на верига от паралелно свързани резистор със

съпротивление R = 5 Ω и намотка с индуктивност L = 0,8 Н. Приложеното напрежение има ефективна стойност U = 220 V с честота f = 50 Hz. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Токът във веригата І;- Токовете в отделните клонове на веригата;- Дефазирането между тока и напрежението.4. Консуматор на електрическа енергия представлява паралелно свързани

резистор със съпротивление R = 2,5 Ω и намотка с индуктивност L = 0,01062 Н. Захранващото напрежение има ефективна стойност U = 220 V с честота f = 50 Hz. Да се определят:

- Импедансът на веригата Z;- Токът във веригата І;- Фазовата разлика между напрежението и тока;- Активната мощност;- Факторът на мощността.

Какъв ще стане токът във веригата, ако паралелно на консуматора се свърже кондензатор с капацитет С = 570 µF? Ще се измени ли активната мощност?

Отг.110 Ω; 36052`; 19 360 W; 0,8; 91,96 А.

102