Investigacin de Operaciones Simplex Dual

PROFESOR: FELIPE CASELLI B.

INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL MASTER EN INGENIERA DE NEGOCIOS

Problema Dual

A todo problema de PL hay asociado otro PL llamado DUAL. Por lo tanto, al problema original se le llama PRIMAL.

El DUAL se define para varias formas del PRIMAL, dependiendo del sentido de optimizacin (max o min), de los signos de restriccin (, , =) y del signo de las variables (no negativas y no restringidas)

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Relacin Primal-Dual

Para hacer la transformacin Primal-Dual se puede usar las siguientes reglas generales:

Regla 1: Construccin

del Dual

Variable Primal

X1 X2 Xj Xn

Variable Dual

C1 C2 Cj Cn

Y1 a11 a12 a1j a1n b1 Y2 a21 a22 a2j a2n b2

Ym am1 am2 amj amn bm

j-si

ma

rest

ricc

in

Dua

l

Coe

ficie

ntes

ob

jetiv

o D

uale

s

Relacin Primal-Dual

Esta regla considera que TODAS las restricciones primales son ecuaciones con lado derecho NO NEGATIVO y que TODAS las variables son no negativas (incluye a las variables de restriccin)

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Regla 2: Signos de restriccin y variables Problema Dual

Objetivo Primal

Objetivo Dual

Tipo de Restriccin

Signo de la Variable

Max Min No Restringido

Min Max No Restringido

Relacin Primal-Dual

Se relacionan de forma directa: Si el primal Maximiza el dual Minimiza y viceversa.

Con la solucin de uno se puede obtener la solucin del otro

Cambios en uno afectan al otro El valor objetivo de uno es igual al valor

objetivo del otro Al dual se le puede dar una interpretacin

econmica del problema primal.

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Relacin Primal-Dual

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Valor objetivo en el problema de maximizacin

Valor objetivo en el problema de minimizacin ( ( ) )

=

DU

AL,

Eje

mp

lo

Primal: Max z=5x1 + 12x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 10 2x1 x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 0

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Primal en forma de ecuacin: Max z=5x1 + 12x2 + 4x3 + 0x4 s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10 2x1 x2 + 3 x3 + 0 x4 = 8 x1, x2, x3, x4 0

y1 y2

Problema Dual: Min w=10y1 + 8y2 s.a. y1 + 2y2 5 2y1 y2 12 y1 + 3y2 4 y1 + 0y2 0 y1, y2 nrs

y1 0, y2 nrs

3 variables de decisin 2 restricciones

2 variables de decisin 3 restricciones (la ltima se transforma en restriccin de signo

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Primal: Max z=5x1 + 12x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 10 2x1 x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 0

It 2 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z

It 0 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z

It 1 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z

It 3 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z

It 0 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z -205 88 -304 0 0 -800

H1 1 2 1 1 0 10

R1 2 -1 3 0 1 8

It 1 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z -2,3 -13,3 0 0 101,3 10,7

H1 0,3 2,3 0 1,00 -0,3 7,33

X3 0,7 -0,3 1 0,00 0,3 2,67

It 2 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z -0,4 0 0 5,7 99,4 52,6

X2 0,1 1 0 0,4 -0,1 3,1

X3 0,7 0 1 0,1 0,3 3,7

It 3 X1 X2 X3 H1 R1 B

Z 0 0 0,6 5,8 99,6 54,8

X2 0 1 -0,2 0,4 -0,2 2,4

X1 1 0 1,4 0,2 0,4 5,2

Resolucin con mtodo de la M, con M=100

Resuelva con mtodo de la M, con M = 100

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It 0 Y1 Y3 Y4 R1 R2 R3 S1 S2 S3 B w 390 392 -392 0 0 0 -100 -100 -100 2100 R1 1 2 -2 1 0 0 -1 0 0 5 R2 2 -1 1 0 1 0 0 -1 0 12 R3 1 3 -3 0 0 1 0 0 -1 4

It 3 Y1 Y3 Y4 R1 R2 R3 S1 S2 S3 B w 0 0 0 0 -111,1 -167,7 -100 11,1 67,7 95,4 R1 0 0 0 1 -0,1 -0,7 -1 0,1 0,7 0,4 Y4 0 -1 1 0 0,1 -0,3 0 -0,1 0,3 0,6 Y1 1 0 0 0 0,4 0,1 0 -0,4 -0,1 5,7

It 2 Y1 Y3 Y4 R1 R2 R3 S1 S2 S3 B w 0 -778 778 0 0 -390 -100 -100 290 540 R1 0 -1 1 1 0 -1 -1 0 1 1 R2 0 -7 7 0 1 -2 0 -1 2 4 Y1 1 3 -3 0 0 1 0 0 -1 4

It 1 Y1 Y3 Y4 R1 R2 R3 S1 S2 S3 B w 259,3 0 0 0 0 -130,7 -100 -100 30,7 1577,3 R1 0,3 0 0 1 0 -0,7 -1 0 0,7 2,3 R2 2,3 0 0 0 1 0,3 0 -1 -0,3 13,3 Y3 0,3 1 -1 0 0 0,3 0 0 -0,3 1,3

Problema Dual: Min w=10y1 + 8y2 s.a. y1 + 2y2 5 2y1 y2 12 y1 + 3y2 4 y1 0, y2 nrs

Dado que y2 es no restringida de signo se hace la siguiente transformacin: y2*= y3 y4 Con y4 , y3 0

It 4 Y1 Y3 Y4 R1 R2 R3 S1 S2 S3 B w 0 0 0 -94,8 -97,6 -100 -5,2 -2,4 0 54,8 S3 0 0 0 1,4 -0,2 -1 -1,4 0,2 1 0,6 Y4 0 -1 1 -0,4 0,2 0 0,4 -0,2 0 0,4 Y1 1 0 0 0,2 0,4 0 -0,2 -0,4 0 5,8

Resuelva con mtodo de la M, con M = 100

Obtencin de la solucin de ambos

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Primal: Max z=5x1 + 12x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 10 2x1 x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 0

Problema Dual: Min w=10y1 + 8y2 s.a. y1 + 2y2 5 2y1 y2 12 y1 + 3y2 4 y1 0, y2 nrs

Primal: z= 54,8 x1 = 5,2 x2 = 2,4 x3 = 0

Dual: w = 54,8 y1 = 5,8 y2 = - 0,4

DU

AL,

Eje

mp

lo 2

Primal: Min z=15x1 + 12x2 s.a. x1 + 2x2 3 2x1 4x2 5 x1, x2 0

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Primal en forma de ecuacin: Min z=15x1 + 12x2 + 0x3 + 0x4 s.a. x1 + 2x2 - x3 + 0x4 = 3 2x1 4x2 + 0 x3 + x4 = 5 x1, x2, x3, x4 0

y1 y2

Problema Dual: Max w=3y1 + 5y2 s.a. y1 + 2y2 15 2y1 4y2 12 -y1 + 0y2 0 0y1 + y2 0 y1, y2 nrs

y1 0, y2 0

DU

AL,

Eje

mp

lo 3

Primal: Max z=5x1 + 6x2 s.a. x1 + 2x2 = 5 -x1 + 5 x2 3 4x1 + 7x2 8 x1 no restringida, x2 0

12

Primal en forma de ecuacin: Max z=5 x1+- 5x1- + 6x2 + 0x3 + 0x4 s.a. A - B + 2x2 + 0x3 + 0x4 = 5 -A+ B + 5 x2 - x3 + 0x4 = 3 4A - 4B + 7x2 + 0x3 + x4 = 8 A, B, x2 0

REEMPLAZAR:

x1 = A - B y1 y2 y3

Problema Dual: Min w=5y1 + 3y2 + 8y3 s.a. y1 - y2 + 4y3 5 -y1 + y2 - 4y3 -5 2y1 + 5y2 + 7y3 6 - y2 0 y3 0 y1, y2, y3 sin restriccin

Y1 nrs, y2 0, y3 0

y1 - y2 + 4y3 = 5

Interpretacin Econmica del Dual

Para Problema de PL de Asignacin de Recursos Maximizar Utilidades sujeto a Recursos Limitados

Primal tiene n actividades econmicas y m recursos Coeficiente cj representa la utilidad por unidad de actividad j El recurso i, cuya disponibilidad mxima es bi, se consume

con la tasa de aij unidades por unidades de actividad j

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Interpretacin Econmica del Dual, Variables Duales

Dado que los valores de las funciones objetivo deben cumplir:

z = w se da en el ptimo Dado que z representar la utilidad monetaria y que bi representa

la cantidad disponible del recurso i, la ecuacin se puede representar:

$ = (unidades del recurso i) x ($ por unidad del recurso i) Por lo tanto yi representa el valor por unidad del recurso i Lo que permite interpretar que (utilidad)< (valor del recurso)

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i

Obtencin de la solucin del dual a partir del primal

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La propiedad es simtrica, tanto respecto a los problemas primales como a los duales.

= coeficiente en fila objetivo de la j-sima

variable en un problema

Lado izquierdo menos lado derecho de la j-

sima restriccin en el otro problema

Obtencin de la solucin del dual a partir del primal

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Primal: Max z=5x1 + 12x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 10 2x1 x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 0

Problema Dual: Min w=10y1 + 8y2 s.a. y1 + 2y2 5 2y1 y2 12 y1 + 3y2 4 y1 0, y2 nrs

Primal: z= 54,8 x1 = 5,2 x2 = 2,4 x3 = 0

Dual: w = 54,8 y1 = 5,8 y2 = - 0,4

Obtencin de la solucin del dual a partir del primal: Mtodo 1

Tabla primal ptima:

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VB x1 x2 x3 sx4 Rx5 Soln

x2 0 1 -0,2 0,4 -0,2 2,4

x1 1 0 1,4 0,2 0,4 5,2

Z (min) 0 0 0,6 5,8 M-0,4 54,8

Variables primales iniciales sx4 Rx5 Coeficiente en Z 5,8 M-0,4

Restriccin Dual Asociada y1 0 y2 -M

Ecuacin Resultante y1 - 0 = 5,8 y2 + M = - 0,4 + M

Obtencin de la solucin del dual a partir del primal: Mtodo 2

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Deben estar en el mismo orden en que aparecen las VB en la columna bsica del SIMPLEX

= Vector rengln de los coeficientes objetivo de las VB ptimas primales

Valor ptimo Variable

Dual

Inversa Primal ptima (de las variables

asociadas al problema DUAL)

x

Obtencin de la solucin del dual a partir del primal: Mtodo 2

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x =

Tabla primal ptima:

VB x1 x2 x3 sx4 Rx5 Soln

x2 0 1 -0,2 0,4 -0,2 2,4

x1 1 0 1,4 0,2 0,4 5,2

Z (min) 0 0 0,6 5,8 M-0,4 54,8

= 12, 5 y1, y2 0,4 -0,2 0,2 0,4 5,8; -0,4

Primal: Max z=5x1 + 12x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 10 2x1 x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 0

Entonces

Asociado a todo problema de PL hay un segundo problema: DUAL

La relacin entre ambos es directa: La cantidad de variables de decisin de uno entrega

la cantidad de restricciones del otro La cantidad de restricciones de uno entrega la

cantidad de variables de decisin del otro Si uno Maximiza el otro Minimiza La restriccin de signo de uno entrega el signo de

restriccin del otro El signo de restriccin de uno entrega la restriccin

de signo del otro

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Entonces

La Regla General 2 permite independizar la formulacin del dual de la direccin de optimizacin del primal, sus signos de restriccin y las restricciones de signo de las variables de decisin.

El valor de la funcin objetivo del primal y la del dual son iguales.

Se puede obtener los valores de las variables duales a partir de la tabla primal ptima.

La solucin del dual permite hacer una interpretacin del primal: analizar el valor que aporta un recurso (restriccin) a la F.O.

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Investigacin de OperacionesSimplex DualProblema DualRelacin Primal-DualRelacin Primal-DualRelacin Primal-DualRelacin Primal-DualDUAL, EjemploNmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Obtencin de la solucin de ambosDUAL, Ejemplo 2DUAL, Ejemplo 3Interpretacin Econmica del DualInterpretacin Econmica del Dual, Variables DualesObtencin de la solucin del dual a partir del primalObtencin de la solucin del dual a partir del primalObtencin de la solucin del dual a partir del primal: Mtodo 1Obtencin de la solucin del dual a partir del primal: Mtodo 2Obtencin de la solucin del dual a partir del primal: Mtodo 2EntoncesEntonces