si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième
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Propriété : par deux points distincts A et B, il passe une et une seule droite notée (AB)
Axiome d'Euclide : il existe une et une seule droite parallèle à une droite donnée passant par un point fixé.
Propriété : il existe une et une seule perpendiculaire à une droite donnée passant par un point fixé
Théorèmes :1) Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.2) Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante à l'une est sécante à l'autre.3) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles
entre elles.4) Si deux droites sont parallèles et si une droite est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à
l’autre.Ou Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre
Exercice type n°1 :Les droites (d1) , (d2) , (d3) , (d4) et (d5) sont telles que : (d1) ⊥ (d2) et (d2) // (d3) , (d3) ⊥ (d4) et (d5) ⊥ (d4).
1) Démontre que les droites d1 et d3 sont perpendiculaires.
2) Démontre que d3 et d5 sont parallèles.
3) Que peux-tu dire des droites d1 et d5 ?
���� ������ ���������� �� ���1) Médiatrices :
Définition : La médiatrice d'un segment est ……………………………………………………………………
Propriété : Si un point est situé sur la médiatrice d'un segment alors il est ………………………. desextrémités de ce segment
Propriété réciproque : Si un point est ………………… des extrémités d’un segment alors il est sur lamédiatrice de ce segment
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A partir des points A et B, trace de part et d'autre du segment[AB] deux arcs de cercle de même rayon.
Les points d'intersection de ces deux arcs déterminent deuxpoints situés sur la médiatrice.
Trace alors la droite passant par ces deux points.
A B
Exercice type n°2 :Les segments [AB] et [CD] ont la même médiatrice.
Démontre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Exercice type n°3 :Soient O1 et O2 deux points distants de 6 cm.Deux cercles �1 et �2 ont pour centres respectifs O1 et O2, et pour rayons respectifs 4 cm et 3 cm.Ces deux cercles sont sécants en deux points A et B.
1) Trace la figure.
2) Que peux-tu dire des longueurs O1A et O1B ? Pourquoi ?
3) Que peux-tu dire des longueurs O2A et O2B ? Pourquoi ?
4) Démontre que (O1O2) est la médiatrice de [AB].
2) Les bissectrices :
Définition : on appelle bissectrice d'un secteur angulaire la droite partageant ce secteur en deux secteurs demême mesure.
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3) Hauteur :
Une hauteur d'un triangle ………………………………………………………………………………………
……………………………………..………………..
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………………………………………………………………………………………
Exercice type n°4 :TIC et TAC sont deux triangles dont les mesures sont sans importance.
1) Trace la figure.
2) Trace la hauteur issue de I du triangle TIC et la hauteur issue de A du triangle TAC.
3) Démontre que ces hauteurs sont parallèles.
A partir du point O, trace un arc de cerclecoupant les deux demi-droites.
A partir des 2 points ainsi trouvés, tracedeux arcs de cercles de même rayon (maisqui peuvent être différent du précédent).
Le point ainsi obtenu est sur la bissectrice.
Relie O à ce point et l'on obtient labissectrice du secteur angulaire.
O
A A
4) Médiane :
Une médiane d'un triangle ………………………………………………………………………………………
……………………………………..………………………………………………
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���������������� ������1) La symétrie axiale (ou orthogonale) :
2) La symétrie centrale :
��������������1) Différents types d’angles :
Deux angles sont …………………lorsque leur somme est égale à180°
Deux angles sont …………………lorsque leur somme est égale à 90°
Deux angles opposés par lesommet sont égaux
2) Angle et parallélisme :
• si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes-internes ( ou correspondant ) de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles
• Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes–internes ( ou correspondants) qu'elles forment avec la sécante sont de même mesure
Pour obtenir B le symétrique de A par rapport à (D) :
1) Construis la perpendiculaire (∆ ) à (D) passant par A.( ∆ ) et ( D ) se coupent en O
2) Reporte à partir du point O sur la demi-droite [AO) la distanceOA. Le point obtenu est alors le symétrique de A par rapport à (D )
Tout point situé sur l'axe de symétrie est son propre symétrique.On dit qu’il est invariant.
Construire le symétrique B d'un point Apar rapport à un point O, c'est construire[AB] tel que O soit le milieu du segment[AB] ( méthode du compas)
AO
A
(D)
24°
……°
24°
……°
……
45°
Sur le dessin ci-contremarque- en rouge deux anglescorrespondants- en vert deux anglesalternes-internes.