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Constructionsau collège
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Liste des constructions
1 Tracer deux droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11) Avec l’équerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12) Avec le compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Tracer deux droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11) Avec l’équerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12) Avec le compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Tracer un angle dont la mesure est donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Reproduire un arc de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Reproduire un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Tracer la bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41) Avec le rapporteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42) Avec le compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7 Tracer un triangle isocèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8 Tracer un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51) Connaissant les deux côtés de l’angle droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52) Connaissant un côté de l’angle droit et l’hypoténuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9 Tracer un trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
10 Tracer un losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61) Connaissant les côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62) Connaissant les diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
11 Tracer un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
12 Tracer le symétrique d’un point par une réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 71) Avec l’équerre et la règle graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72) Avec le compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73) Avec le compas, en gardant le même écartement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
13 Tracer la médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81) Avec une règle graduée et une équerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82) Avec un compas et une règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83) Avec un compas et une règle en gardant le même écartement . . . . . . . . . . . . . . . . 8
14 Tracer un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91) Connaissant les longueurs des trois côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92) Connaissant la longueur d’un côté et les deux angles adjacents à ce côté . . . . . . . . . 93) Connaissant un angle et les longueurs des deux côtés qui lui sont adjacents . . . . . . . 9
4) Connaissant un angle et deux côtés qui ne lui sont pas adjacents . . . . . . . . . . . . . . 9
15 Tracer le symétrique d’un point par une symétrie centrale . . . . . . . . . . 10
16 Tracer un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101) Avec une règle et une équerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102) Avec un compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103) Connaissant les diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
17 Tracer une tangente à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111) Passant par un point du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112) Passant par un point extérieur au cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
18 Tracer un cercle tangent à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
19 Tracer un triangle rectangle sans équerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
20 Partager un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
21 Tracer l’image d’un point par une translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
22 Tracer l’image d’un point par une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
MathématiquesMéthodes de construction
1 Tracer deux droites perpendiculaires
+ Tracer la droite perpendiculaire à la droite d passant par le point A.
1) Avec l’équerre
A
d
A
d
A
d
A
d
Poser l’équerre sur ladroite d .
Faire glisser l’équerrejusqu’au point A.
Tracer la droiteperpendiculaire à d
passant par A.
2) Avec le compas
A
d
A
dC
D
A
d
C D
B
A
d
B
Tracer un arc de cercle decentre A, de rayon
quelconque, mais quicoupe d en deux points C
et D.
Tracer deux arcs de cerclede centres C et D, de
même rayon (plus grandque la moitié de C D), qui
se coupent en B .
Tracer la droite (AB) : elleest perpendiculaire à la
droite d .
2 Tracer deux droites parallèles
+ Tracer la droite parallèle à la droite d passant par le point A.
1) Avec l’équerre
A
d
A
d
A
d
A
d
Placer l’équerre le long dela droite d et la règle
contre l’équerre.
Faire glisser l’équerrejusqu’au point A.
Tracer la droite parallèle àd passant par A.
1
MathématiquesMéthodes de construction
2) Avec le compas
A
d
A
dB C
A
dB C
A
dB C
D
Tracer un arc de cercle decentre A qui coupe la
droite d en deux points Bet C .
Tracer un arc de cercle decentre A et de rayon BC .
Tracer un arc de cercle decentre C et de rayon AB : ladroite (AD) est parallèle à
la droite d .
3 Tracer un angle dont la mesure est donnée
+ Tracer un angle �x Az de 58°.
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90
90
80
100
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110
60
12050
130
40
140 30
150 20160
10170
0180010
x
A
180
170
160
20
150
30
140
40
130
50
120
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110
70
100
80
90
90
80
100
70
11060
120 50
130 40140
30150
20
160
10
170
0
180
010
A
x
0°
Tracer une demi-droite : [Ax) par exemple ;faire coïncider le centre du rapporteur et le
sommet A.Faire coïncider la graduation 0° et le côté [Ax).
180
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90
80
100
70
11060
120 50
130 40140
30150
20
160
10
170
0
180
010
A
x
0°
58°
58°A
x
z
Suivre 0, 10, 20, 30, 40, 50 et marquer un pointen face de 58°.
Relier ce point au point A, la demi-droites’appelle [Az) : un angle �x Az de 58° est tracé.
2
MathématiquesMéthodes de construction
4 Reproduire un arc de cercle
+ Il s’agit de reproduire l’arc de cercle �BC ci-contre.
A B
C
MO MO
N
MO
N
On trace un arc de cercle decentre O et de rayon AB , on
appelle M un point de cet arc.
On trace un arc de cercle decentre M et de rayon BC ;
nommer N
on efface ce qu’il y a en trop :l’arc �M N est identique à l’arc�BC .
5 Reproduire un angle
+ Il s’agit de reproduire l’angle �xO y ci-contre.
O x
y
O x
y
M
N
ItR
S
IR
S
On trace un arc de cercle decentre O coupant l’angle �xO y
en deux points M et N .
On trace une demi-droite [I t ),puis on construit l’arc decercle �SR (centré en I ),
identique à l’arc de cercle�M N .
On trace la demi-droite [I S) :les angles �xO y et R I S sont
identiques.
3
MathématiquesMéthodes de construction
6 Tracer la bissectrice d’un angle
1) Avec le rapporteur
+ Tracer la bissectrice de l’angle �xB y .
B
y
x64°
y
x
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20
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30
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90
90
80
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13040
140
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150 20
160 10170
0180
010
B B
y
x
z
32°
32°
On mesure l’angle : �xB y = 64°On divise cette mesure par 2 :
64÷2 = 32°.
On trace �xB z tel que�xB z = 32° : [B z) est labissectrice de �xB y .
2) Avec le compas
+ Tracer la bissectrice de l’angle �xC y .
C
x
y
M
N
C
x
y
M
N
C
x
y
M
N
J
On trace un arc de cercle decentre C qui coupe les côtés
de l’angle en M et N .
On trace deux arcs de cerclesde même rayon : une fois de
centre M et une fois decentre N .
Les deux arcs de cercles secoupent en J : on trace la
droite (C J ). [C J ) est labissectrice de l’angle �xC y .
7 Tracer un triangle isocèle
+ Tracer le triangle ABC isocèle en C tel que AB = 5 cm et AC = 7 cm.
BA
5 cm
BA5 cm
BA5 cm
C
BA5 cm
C
7 cm
Tracer un segment [AB ] delongueur 5 cm.
Tracer un arc de cercle decentre A et de rayon 7 cm.
Tracer un arc de cercle decentre B et de rayon 7 cm.Les deux arcs se coupent
en C .
Le triangle ABC est isocèleen C .
4
MathématiquesMéthodes de construction
8 Tracer un triangle rectangle
1) Connaissant les deux côtés de l’angle droit
+ Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 5 cm.
A A B
6 cm
A
B
6 cm
C
5 cm
A
B
6 cm
C
5 cm
On trace un angle droit eton nomme le point A.
On place le point B à 6 cmdu point A sur l’un des
côtés de l’angle.
On place le point C à 5 cmdu point A sur l’autre côté
de l’angle.
On obtient le triangle ABCdemandé.
2) Connaissant un côté de l’angle droit et l’hypoténuse
+ Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 7 cm et BC = 9 cm.
A A B
7 cm
A
B
C
7cm
A
B
C
7cm
9 cm
On trace un angle droit eton nomme le point A.
On place le point B à 7 cmdu point A sur l’un des
côtés de l’angle.
On trace un arc de cerclede centre B et de rayon
9 cm : il coupe l’autre côtéde l’angle droit en C .
On obtient le triangle ABCdemandé.
9 Tracer un trapèze
+ Tracer un trapèze ABC D dont les côtés parallèles sont (AB) et (C D) et tel que AB = 6 cm et C D = 4 cm.
A B6 cm A B A B
4 cm
A B
CD
Tracer un segment [AB ] delongueur 6 cm.
Placer correctement larègle et l’équerre.
Tracer un segment [C D]parallèle à [AB ] de
longueur 4 cm.ABC D est un trapèze.
5
MathématiquesMéthodes de construction
10 Tracer un losange
1) Connaissant les côtés
+ Tracer un losange ABC D dont les côtés mesurent 3 cm.
A
B
D
3 cm
3 cm
A
B
D
3 cm
3 cm
A
B
D
3 cm
3 cm
A
B
D
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
C
Tracer deux côtés [AB ] et[AD] (on choisit l’angle que
l’on veut).
Tracer un arc de cercle decentre B et de rayon 3 cm.
Tracer un arc de cercle decentre D et de rayon 3 cm ;
nommer C .Tracer [BC ] et [DC ].
2) Connaissant les diagonales
+ Tracer un losange ABC D dont les diagonales mesurent 6 cm et 4 cm.
I IA C IA C
B
D
IA C
B
D
Tracer deux droitesperpendiculaires : nommerI leur point d’intersection.
Placer A et C tels queAI = IC = 3 cm.
Placer B et D tels queB I = I D = 2 cm.
Tracer [AB ], [AD], [BC ] et[DC ].
11 Tracer un rectangle
+ Tracer un rectangle ABC D tel que AB = 3 cm et AD = 4 cm.
A B3 cm A B3 cm
4 cm
A B3 cm
3 cm
4 cm
D
A B
D C
Tracer le côtés [AB ] delongueur 3 cm.
Avec l’équerre, tracer lecôté [AD] de longueur
4 cm.
Avec l’équerre, tracer lecôté [DC ] de longueur
3 cm.
Relier C à B : ABC D est unrectangle.
6
MathématiquesMéthodes de construction
12 Tracer le symétrique d’un point par une réflexion
+ Tracer le symétrique A′ de A par rapport à la droite d .
1) Avec l’équerre et la règle graduée
A dA
d
H
e
Ad
H
e
A'
Tracer la droite e passant parle point A et perpendiculaire à
l’axe : elle coupe d en H .
Mesurer le segment [AH ] etplacer le point A′ sur e tel que
H A′ = H A.
2) Avec le compas
A d A
M
axe A
MA'
N
axe
Choisir un point M sur l’axeet tracer un arc de cercle de
centre M passant par A.
Choisir un point N sur l’axe ettracer un arc de cercle de
centre N passant par A : lesdeux arcs de cercles se
coupent en A′.
3) Avec le compas, en gardant le même écartement
axeA
E
F
A
E
F
axe axe
A
E
F
A'
Tracer un arc de cercle decentre A : cet arc coupe l’axe
en E et F .
Tracer un arc de cercle decentre E et passant par A.
Tracer un arc de cercle decentre F et passant par A : les
deux arcs de cercles secoupent en A′.
7
MathématiquesMéthodes de construction
13 Tracer la médiatrice d’un segment
+ Tracer la médiatrice d d’un segment [AB ].
1) Avec une règle graduée et une équerre
A
B
A
B
A
B
M A
B
M
d
Pour tracer la médiatricedu segment [AB ],...
...mesurer le segment [AB ].Marquer le milieu M de
[AB ].
Tracer la droite dperpendiculaire à (AB) etqui passe par le point M .
2) Avec un compas et une règle
A
B
A
B
I
A
B
I
J
A
B
d
I
J
Tracer deux arcs de cerclede même rayon centrés
respectivement en A et enB : ils se coupent en I .
Tracer deux autres arcs decercle de même rayon
centrés respectivement enA et en B : ils se coupent
en J .
La droite (I J ) est lamédiatrice du segment
[AB ].
3) Avec un compas et une règle en gardant le même écartement
A
BI
AJ
BI
A
B
J
d
Tracer un arc de cercle decentre A, le rayon étant plusgrand que la moitié de AB .
En gardant le même rayon,tracer un arc de cercle decentre B : les deux arcs de
cercles se coupent en I et J .
Tracer la droite (I J ) : c’est lamédiatrice du segment [AB ].
8
MathématiquesMéthodes de construction
14 Tracer un triangle
1) Connaissant les longueurs des trois côtés
+ Tracer un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm.
A B6 cm
A B6 cm
A B6 cm
A B6 cm
C
5 cm
4 cm
Tracer [AB ].Tracer un arc de cercle decentre A et de rayon 4 cm.
Tracer un arc de cercle decentre B et de rayon 5 cm.
Nommer C et tracer [AC ]et [BC ].
2) Connaissant la longueur d’un côté et les deux angles adjacents à ce côté
+ Tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, A = 40° et B = 50°.
A
B
5 cm
A
B
5 cm
40°
180170
160
20
150
30
140
40
130
50
120
60
110
70
100
80
90
9080
100
70
110 60
120 50130
40140
30
150
20
160
10
170
0
180
010 A
B
5 cm
40°
50°
180170
160
20
150
30
140
40
130
50
120
60
110
70
100
80
90
9080
100
70
110 60
120 50130
40140
30
150
20
160
10
170
0
180
010
A
B
C
5 cm
40°
50°
Tracer [AB ]. Tracer l’angle A. Tracer l’angle B .Terminer le tracé etnommer le point C .
3) Connaissant un angle et les longueurs des deux côtés qui lui sont adjacents
+ Tracer un triangle ABC tel que A = 40°, AC = 6 cm et AB = 7 cm.
A
C
6 cm
A
C
6 cm
40°
180170
160
20
150
30
140
40
130
50
120
60
110
70
100
80
90
9080
100
70
110 60
120 50130
40140
30
150
20
160
10
170
0
180
010
A
B
C
7 cm
6 cm
40°A
B
C
7 cm
6 cm
40°
Tracer [AC ]. Tracer l’angle A. Tracer [AB ]. Terminer le tracé.
4) Connaissant un angle et deux côtés qui ne lui sont pas adjacents
+ Tracer le triangle ABC rectangle en C tel que AB = 8 cm et BC = 7 cm.
A B8 cm A B8 cm
x
010
20
3040
5060
7080 90 100110120130
140150160170180
180170160150140
130120110
100 90 80 7060
50
40
30
20
10
0
50°
A B8 cm
x
50°
A B8 cm
x
50°
7 cm
Tracer un segment [AB ] delongueur 8 cm.
Tracer une demi-droite[Ax) telle que �B Ax = 50°.
Tracer un arc de cercle decentre B et de rayon 7 cm :
il coupe [Ax) en C .Terminer le tracé.
9
MathématiquesMéthodes de construction
15 Tracer le symétrique d’un point par une symétrie centrale
+ Tracer le symétrique B du point A par la symétrie de centre O.
A
O
A
O
A
O B
Tracer la demi-droite [AO).Placer le point B tel que
AO =OB .
16 Tracer un parallélogramme
+ Tracer à l’aide d’un compas le parallélogramme ABC D sachant que AB = 5 cm et AD = 3 cm.
1) Avec une règle et une équerre
A
B
D
A
B
D
A
B
D
A
B
D
C
On trace unsegment [AB ] de
5 cm et un segment[AD] de 3 cm
formant un anglequelconque.
On trace la parallèle à (AB)passant par D.
On trace la parallèle à (AD)passant par B .
Les deux droites secoupent en C et ABC D est
un parallélogramme.
2) Avec un compas
A
B
D
A
B
D
A
B
D
C
A
B
D
C
On trace un segment [AB ]de 5 cm et un segment
[AD] de 3 cm formant unangle quelconque.
On trace un arc de cerclecentré en B pour reporter la
longueur AD.
On trace un arc de cerclecentré en D pour reporter lalongueur AB : les deux arcs
se coupent en C .
ABC D est unparallélogramme.
10
MathématiquesMéthodes de construction
3) Connaissant les diagonales
+ Tracer un parallélogramme ABC D dont les diagonales mesurent 6 cm et 4 cm.
O O
A
C
O
A
C
B
D
O
A
C
B
D
Tracer deux droitessécantes en un point O.
Placer A et C tels queAO =OC = 3 cm.
Placer B et D tels queBO =OD = 2 cm.
Tracer [AB ], [AD], [BC ] et[DC ].
17 Tracer une tangente à un cercle
1) Passant par un point du cercle
+ Tracer la tangente au cercle C passant par A.
O
A
C
O
A
C
O
A
C
O
A
C
Pour tracer la tangente enA au cercle de centre O,...
...tracer le rayon [O A].Tracer la perpendiculaire
en A au rayon [O A].Prolonger.
2) Passant par un point extérieur au cercle
+ Tracer les tangentes au cercle C passant par A.
O A
C
O A
C
O A
C
T
T'
O A
C
T
T'
Pour tracer les tangentesau cercle C passant par
A,......tracer le segment [O A].
Tracer le cercle dediamètre [O A] : il coupe C
en T et T ′.Tracer (AT ) et (AT ′).
11
MathématiquesMéthodes de construction
18 Tracer un cercle tangent à une droite
+ Tracer le cercle C de centre O et de rayon 3 cm tangent en A à la droite d .
d
A
d
A
d
A
O
3 cm
d
A
O
3 cm
C
On trace la perpendiculaireà la droite d passant par A.
On place le point O à 3 cmdu point A sur cette droite.
On trace le cercle C decentre O passant par A.
19 Tracer un triangle rectangle sans équerre
+ Tracer le triangle ABC rectangle en C tel que AB = 8 cm et BC = 7 cm.
A BI A BI A BI
C
A BI
C
Tracer un segment [AB ] delongueur 8 cm et nommer
I son milieu.
Tracer le cercle dediamètre [AB ].
Tracer un arc de cercle decentre B et de rayon 7 cm.Les deux arcs se coupent
en C .
Le triangle ABC estrectangle en C .
20 Partager un segment
+ Partager le segment [AB ] en trois segments de longueurs égales.
A B A B
I
A B
I
A B
I
On trace un droite passantpar A.
On reporte trois fois lamême longueur sur ladroite (on nomme I le
dernier point).
On trace les parallèles à(B I ) passant par les
graduations de la droite.
On obtient le partagedemandé.
12
MathématiquesMéthodes de construction
21 Tracer l’image d’un point par une translation
+ Tracer l’image M ′ du point M par la translation de vecteur−→AB .
A
B
M
A
B
M
A
B
M
M'
A
B
M
M'
Il s’agit de placer M ′ telque M M ′B A soit unparallélogramme.
Tracer un arc de cercle decentre B et de rayon AM .
Tracer un arc de cercle decentre M et de rayon AB :les deux arcs se coupent
en M ′.
M ′ est l’image de M par latranslation de vecteur
−→AB .
22 Tracer l’image d’un point par une rotation
+ Tracer l’image M ′ du point M par la rotation de centre O et d’angle 40°.
O M O M
180
170
160
20
150
30
140
40
130
50
120
60
110
70
100
80
90
90
80
100
70
110
60
120
50
130 40
140 30150
20160
10
170
0
180
010
x
O M
xM'
O
M
M'
40°
Tracer la demi-droite [Ox)telle que l’angle �MOx
mesure 40°.
Tracer un arc de cercle decentre O et de rayon OM :
il coupe [Ox) en M ′.
M ′ est l’image du point Mpar la rotation de centre O
et d’angle 40°.
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