VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

Seventh Edition

Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

Ders Notu:Hayri ACARİstanbul Teknik Üniveristesi

Tel: 285 31 46 / 116E-mail: acarh@itu.edu.trWeb: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5. Yayılı Kuvvetler:Sentroid ve Ağırlık Merkezi

• Giriş• 2 Boyutlu Cisimin Ağırlık Merkezi• Alan ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri• Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi• Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi• Bileşik Levhalar ve Alanları • İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi • Pappus-Guldinus Teoremleri • Kirişlerde Yayılı Yükler • Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi: Hacimin Sentroidi • Belirli Şekillerin Sentroidi • Üç Boyutlu Bileşik Cisimler

• Dünya, cisimi oluşturan her parçacığa yerçekimi kuvveti uygular. Bu kuvvetler tek bir bileşke kuvvete dönüştürülebilir. Bu kuvvet cisimin ağırlığıdır ve cisimin ağırlık merkezine etkir.

• Bir alanın sentroidi bir cisimin ağırlık merkezinin benzeridir. Sentroidin yeri alanın birinci momenti kavramı ile belirlenir.

• Üç boyutlu dönel simetrik cisimlerin yüzey alanlarının ve hacimlerinin hesaplanmasında Pappus-Guldinus teoremi kullanılır.

Giriş

• Bir levhanın ağırlık merkezi

∫∑∑

=

∆=

dWx

WxWxM y ;

• Bir telin ağırlık merkezi

İki Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi

∫∑∑

=

∆=

dWy

WyWyMx;y eksenine göre moment x eksenine göre moment

( ) ( )

moment birinci göre ekseniney =

==

=

=

∫∫∫

yQdAxAx

dAtxAtx

dWxWx

γγ

• Bir alanın sentroidi

Alanların ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri

)(AtW γ=

t: kalınlık

( ) ( )

moment birinci göre eksenine x =

==

=

=

∫∫∫

xQdAyAy

dAtyAty

dWyWy

γγ

Yandan görünüş

hacimyoğunluk

)(tdAdW γ=

( ) ( )

∫∫∫

=

=

=

dLxLx

dLaxLax

dWxWx

γγ

• Bir eğrinin sentroidi

( ) ( )

∫∫∫

=

=

=

dLyLy

dLayLay

dWyWy

γγ

Telin kesit alanı

a

)(LaW γ=hacimyoğunluk

)(adLdW γ=

• Alanın bu simetri eksenine göre birinci momenti sıfırdır.

• Eğer bir alan simetri çizgisi içeriyorsa, alanın sentroidi bu eksen üzerindedir.

• Eğer bir alan iki simetri çizgisi içeriyorsa, alanın sentroidi bu çizgilerin kesişme noktasındadır.

• Bir alanın sentroidi ile simetri merkezi aynıdır.

Alanların ve Eğrilerin Birinci Momenti• Bir alan düşünelim ve bu alan için ekseni

çizilsin. Eğer her P noktası için bir noktası varsa ve ekseni doğrusunu dik olarak kesip iki eşit parçaya ayırıyorsa bu alan eksenine göre simetriktir denir

BB ′P′

BB ′ PP ′BB ′

• Alan içinde seçilen (x,y) koordinatındaki elemanı için (-x,-y) koordinatında eş alanlı elemanı varsa bu alan eksen merkezine göre simetriktir denir.

dAAd ′

Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi

Şekil

Üçgen alanı

Çeyrek daire alanı

Yarım daire alanı

Yarım elips alanı

Yarım parabol alanı

Parabol alanı

Çeyrek elips alanı

Alan

Daire dilimi

Parabol parçası

Parabol parçası(genel)

Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi

Şekil

Çeyrek daire yayı

Yarım daire yayı

Daire yayı

Uzunluk

• Bileşik plakalar

∑∑∑∑

=

=

WyWYWxWX

• Bileşik alanlar

∑∑∑∑

=

=

AyAYAxAX

Bileşik Plakalar ve Alanlar

Şekilde gösterilen düzlemsel alanın x ve y eksenlerine göre birinci momentlerini hesaplayınız. Sentroidinin yerini bulunuz.

Çözüm:

• Alanı üçgen, dikdörtgen, yarım daire ve dairesel boşluk olmak üzere parçalara ayırın.

• Birinci momentleri toplam alana bölerek sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.

• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve yarım daire elemanların birinci momentlerini bulun. Dairesel boşluğun alanını toplam alandan ve momentini toplam momentten çıkarın.

• Belirlenen eksenlere göre alanların birinci momentlerini hesaplayın.

Örnek 5.1

33

33

mm107.757

mm102.506

×+=

×+=

y

x

Q

Q

Eleman

DikdörtgenÜçgenYarım daireDaire

• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve yarım daire elemanların birinci momentlerini bulun. Dairesel boşluğun alanını toplam alandan ve momentini toplam momentten çıkarın.

23

33

mm1013.828mm107.757

×

×+==

∑∑AAxX

mm8.54=X

23

33

mm1013.828mm102.506

×

×+==

∑∑AAyY

mm6.36=Y

• Birinci momentleri toplam alana bölerek sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.

( )

( )ydxydAyAy

ydxx

dAxAx

el

el

∫

∫∫∫

=

=

=

=

2

( )[ ]

( )[ ]dxxay

dAyAy

dxxaxadAxAx

el

el

−=

=

−+

=

=

∫∫

∫

∫

2

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

θθ

θθ

drr

dAyAy

drr

dAxAx

el

el

2

2

21sin

32

21cos

32

∫∫∫∫∫∫∫∫

===

===

dAydydxydAyAy

dAxdydxxdAxAx

el

el • dA elemanı ince bir dikdörtgen veya şerit olarak kabul edilirse tek integral ile çözüm yapılabilir.

İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi

Şekildeki parabolic sentroidini direk integral ile hesaplayınız.

Çözüm:

• k sabitini belirleyiniz.

• Toplam alanı bulunuz.

• Düşey ve yatay şeritleri kullanarak tek integral ile birinci momentleri bulunuz.

• Sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.

Örnek 5.4

• k katsayısının belirlenmesi:

2121

22

22

2

ybaxorx

aby

abkakb

xky

==

=⇒=

=

• Toplam alanın bulunması:

3

30

3

20

22

ab

xabdxx

abdxy

dAAaa

=

===

=

∫∫

∫

1052

21

2

44

2

0

5

4

2

0

22

2

2

0

4

2

0

22

abxab

dxxabdxyydAyQ

baxab

dxxabxdxxydAxQ

a

aelx

a

aely

=

=

===

=

=

===

∫∫∫

∫∫∫

• Düşey şerit kullanarak tek integral ile birinci momentlerinin bulunması:

( )

( )

10

421

22

2

0

2321

2121

2

0

22

0

22

abdyybaay

dyybaaydyxaydAyQ

badyybaa

dyxadyxaxadAxQ

b

elx

b

bely

=

−=

−=−==

=

−=

−=−

+==

∫

∫∫∫

∫

∫∫∫

• Yatay şerit kullanarak tek integral ile birinci momentlerinin bulunması:

• Sentroid koordinatların belirlenmesi:

43

2baabx

QAx y

=

=

ax43

=

103

2ababy

QAy x

=

=

by103

=

• Düzlemsel bir eğrinin sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel yüzey elde edilir.

• Dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile döndürülme sırasında eğrinin sentroidinin katettiği mesafenin çarpımına eşittir.

Pappus-Guldinus Teoremleri

Küre yüzeyi Koni yüzeyi Halka yüzeyi

(Ι)

LyA

ydLydLA

ydLdA

π

ππ

π

2

22

2

=⇒

==⇒

=

∫ ∫

AyV

ydAV

ydAdV

π

π

π

2

2

2

=⇒

=⇒

=

∫

• Düzlemsel bir alanın sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel hacim elde edilir.

• Dönel yüzeyin hacmi, düzlemsel alan ile döndürülme sırasında alanın sentroidinin katettiği mesafenin çarpımına eşittir.

Dolu küre Dolu koni Dolu halka

(ΙΙ)

Kasnağın dış çapı 0.8 m dir ve kesit alanı şekildeki gibidir. Kasnak çelikten yapılmıştır. Kasnağın kütlesini ve ağırlığını bulunuz.

33 mkg 1085.7 ×=çelikρ

Çözüm:

• Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur.

• Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur.

Örnek 5.7

Vm ρ=mgW =

0.8 m

( )( )

××== − 3393633 mmm10mm1065.7mkg1085.7Vm ρ kg0.60=m

( )( )2sm 81.9kg 0.60== mgW N589=W

• Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur.

• Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur.

Alan, mm2 Sentroidin katettiği mesafe, mm Hacim, mm3

Kasnak hacmi, mm3 =

400 mm

350 mm

Kirişlerde Yayılı Yükler

Yük = 1000 N/m

• Yayılı yük birim uzunluk başına düşen yükün çizimi ile gösterilir, w (N/m) .

• Toplam yük, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.

∫∫ === AdAdxwWL

0

( )

( ) AxdAxAOP

dWxWOPL

==

=

∫

∫

0

• Yayılı yük, şiddeti yükleme eğrisi altında kalan alana eşit ve alanın sentroidine etkiyen bileşke kuvvet ile gösterilebilir.

dAwdxdW

==

Bir kiriş şekildeki gibi bir yayılı yükün etkisi altındadır. Eşdeğer bileşke kuvveti ve mesnet noktalarındaki tepki kuvvetlerini bulunuz.

Çözüm:

• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.

• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın sentroidinden geçer.

• Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır.

Örnek 5.9

kN0.18=F

Eleman

Üçgen I Üçgen II

kN18mkN 63 ⋅

=X m5.3=X

• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.

• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın sentroidinden geçer.

∑∑ = AxAX∑= AF

( )

A

B

A

B

1500 N/m4500 N/m 1500 N/m 3000 N/m

x 3 m2x 6 m 4 m3

ww

== − ==

= =

Eleman Alan(kN) x (m) x*Alan (kN-m)Dikdörtgen 9 3 27

Üçgen 9 4 36

Toplam 18.00 63.00

sentroid (x) 3.50 m

Alternatif çözüm:

A

B

( ) ( )( ) 0m .53kN 18m 6:0 =−=∑ yA BM

kN 5.10=yB

( ) ( )( ) 0m .53m 6kN 18m 6:0 =−+−=∑ yB AM

kN 5.7=yA

• Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır.

Ay By

Bx=0

• Ağırlık merkezi: G( )∑ ∆−=− jWjW

rr

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )jWrjWr

jWrjWr

G

Grrrr

rrrr

−×∆=−×

∆−×=−×

∑∑

∫= dWrWrGrr

• Kartezyen eksenlere göre momentler:

∫∫∫ === zdWWzydWWyxdWWx

∫∫∫ === zdVVzydVVyxdVVx

dVdWVW γγ == ve• Homojen cisimler için:

Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi:Hacimin Sentroidi

∫= dWW

Belirli Üç Boyutlu Şekillerin SentroidiŞekil

Yarım küre

Dönel yarım elipsoid

Dönelparaboloid

Hacim

Koni

Piramit

• Ağırlık merkezine etkiyen bileşke ağırlık kuvvetinin eksenlere göre momenti, her elemanın ağırlığının eksenlere göre momentlerinin toplamına eşittir.

∑∑ = WxWX

• Homojen cisimler için,

∑∑ = VxVX

Üç Boyutlu Bileşik Cisimler

∑∑ = WyWY

∑∑ = WzWZ

∑∑ = VyVY

∑∑ = VzVZ

4.5 cm2 cm

2 cm

1 cm çaplı

4.5 cm

0.5 cm

0.5 cm

2.5 cm

1 cm2 cm

1 cm

2 cm

1 cm

dVdWVW γγ == ve

Örnek 5.12

Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her deliğin çapı 1 cm dir.

Çözüm:

• Makine elemanını, bir dikdörtgen, bir çeyrek daire ve 1 cm çaplı iki delik olarak oluşturabiliriz.

4.5 cm

0.5 cm

0.5 cm

2.5 cm

1 cm2 cm

1 cm

2 cm

1 cm

4.5 cm2 cm

2 cm

1 cm çaplı

cm3 cm cm cm cm4 cm4 cm4

4.5 cm

0.5 cm

0.5 cm

2.5 cm

1 cm2 cm

1 cm

2 cm

1 cm

ΙΙΙ

Ι

ΙΙΙV

2 cm

cm

1 cm

0.5 cm

0.25 cm

1 cm

2.25 cm0.25 cm

cm

1.5 cm

2 cm

0.5 cm

∑∑ = VxVX

∑∑ = VyVY

∑∑ = VzVZ

( ) ( )34 cm .2865cm 08.3== ∑∑ VVxX

( ) ( )34 cm .2865cm 5.047−== ∑∑ VVyY

( ) ( )34 cm .2865cm .6181== ∑∑ VVzZ

cm. 577.0=X

cm. 577.0=Y

cm. 577.0=Z

4.5 cm

0.5 cm

0.5 cm

2.5 cm

1 cm2 cm

1 cm

2 cm

1 cm

ΙΙΙ

Ι

ΙΙΙV

cm3 cm cm cm cm4 cm4 cm4

γd

R

w

Sıvı Altındaki Yüzeylere Gelen KuvvetlerSıvı Altındaki Yüzeylere Gelen Kuvvetler

Durağan bir sıvı içinde yer alan bir cisim üzerinde sıvının ağırlığı nedeniyle basınç oluşur. Bu basınç hidrostatik basınç olarak tanımlanır.

PA: mutlak basınçP0: referans basınçγ : sıvının özgül ağırlığıh : sıvı içindeki derinlik

Basınç derinliğin bir fonksiyonudur ve derinlikle lineer olarak değişir.

Kuvvet hesaplanırken dikdörtgen alan için düşünülür.

Bileşke kuvvet:

[ ]NAPyF .)( =

[ ]hwhR .)..(21 γ=

+= 20 ).(mNhPPA γ

P0

h.γGenişlik için kuvvet

Örnek

3mx4m en ve boyundaki kapak şekildeki gibi su duvarının altına yerleştirilmiştir. Su tarafından kapağa uygulanan kuvvetin şiddetini ve uygulama noktasını bulunuz. (γ =1000 kg/m3)

3 md=5 m

Su tarafından duvara uygulanan kuvvet

Su tarafından kapağa uygulanan kuvvet

3 md=5 m

d=5 m

3 m

d=5 m

3 m

2 m

2232 /9.203/2000)2)(/1000( mNmkgmmkgdP m ==== γ

235 /7.509)5)(/1000( mNmmkgdP m === γ

mNmmNPwF m /6.815)4)(/9.203( 22 ===

mNmmNPwF m /8.2038)4)(/7.509( 25 ===

4 m

Bileşke kuvvet

1 2

d=5 m

3 m

NmmNF 8.2446)3)(/6.815(1 ==

N

mmNF

8.1834

)3)(/]6.8158.2038([21

2

=

−=

mmy 5.1)3(21

1 ==

x

y

mmy 1)3(31

2 ==

Toplam kuvvet 4281.6 N’dur ve tabandan 1.29 m yukarıdadır.

ALAN KUVVET x x.KUVVETDikdörtgen 2446.8 1.5 3670.2

Üçgen 1834.8 1 1834.8

Toplam 4281.60 5505.00

sentroid (x) 1.29 m

815.6 N/m

2038.8 N/m

∑∑ = FxFX

Yüzey belirli bir açıya sahipse kuvvetin bulunması:

SCD

Basıncın oluşturduğu kuvvete ilave olaraküstte kalan sıvı ağırlığı da düşünülmelidir.

Kullanılan yüzey lineer olmayan bir yüzeyse:

Su kütlesi içinSCD

Sıvı ağırlığı dışındaki kuvvet dağılımı şu şekildedir: