serii de puteri & serii taylor

8/2/2019 Serii de Puteri & Serii Taylor

1/30

Funciile ( )cos

n

ntf x

n= sunt de clas C1 pe Rcu '

1

sin( )

n

nxf x

n= i seria

derivatelor11

sin nx

n

satisface condiiile: '

1

1( ) ,

n

f x xn

R cu

11 1

1nb

n

= converge pentru >2 '

1nf

este (normal convergent)

absolut i uniform convergent pe Rpentru > 2 i avem:

'

11 1

cos sin( ),

nx nxf x x

n n

= = Ri > 2.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaii.

Seriile de puteri reprezint o generalizare natural a funciilor

polinomiale i n acelai timp, o clas particular de serii de funcii. Din

acest motiv, seriile de puteri posed toate proprietile seriilor de funcii i

unele proprieti speciale care le leag de funciile polinomiale (continue,

integrabile, indefinit derivabile etc.).

Serii de puteri

Definiia VI.4.

O serie de puteri (serie ntreg) este o serie de funcii0

( )nf x

cu ( ) 0( ) , in

n n n nf x a x x a

= R R. irul numeric (an) se numete irul

de coeficieni ai seriei de puteri:

(VI.17) 0 10

... ...n nn na x a a x a x

= + + + + .

448Observaii:


2/30

1. O serie de puteri este unic determinat de irul coeficienilor si

.

0

n

na x

( ) 0n na R

2. Orice serie de puteri este convergent nx0 = 0 cu suma egal cu a0.

3. Pentru x0R fixat, se pot considera serii de puteri de forma general:

.( )00

n

na x x

4. Toate rezultatele teoretice pentru serii de puteri sunt valabile i

n cazul general, pentru serii de forma: .

0

n

na x

( )00

n

na x x

5. Vom studia, n mod special, structura mulimii de convergen a unei

serii de puteri i apoi proprietile generale ale acestei clase particulare de

serii de funcii.

Teorema VI.24. (Lema lui Abel).

Fie seria de puteri cu0

n

na x

( ) 0n na Rix0,x1R*.

(i) Dac seria numeric 0 00

, ( 0)nn

a x x

este convergent, atunci seria de

puteri este absolut convergent n oricexRcu proprietatea:

(VI.18) |x |


3/30

(iii) Dac seria numeric este divergent, atunci seria de

puteri este divergent n oricexRcu proprietatea:

1 10

, ( 0)nna x x

0

n

na x

(VI.19) |x |> |x1 | (x (- , - |x1 | ) (|x1 |, + )).

Demonstraie:

450

)(i) Dac convergent ir

mrginit n R.

00

n

na x

( )0lim 0nec

n

nn

a x

= ( 0nec

n

na x

( )0 0n

nn

a x

marginit n RM > 0 a. . 0n

na x M , nN de unde, avem:

(VI.20) 00

, in nM

a n xx

N R .

FiexRcu proprietatea (VI.18) |x|


4/30

( )1 00

0 < 1 0 i nq x

< < < 1Mq

n

este convergent

cr. Weierstrass

0 0( )

n

nf x a

= x este absolut i uniform (normal) convergentpe compactul [-, ] (-|x0 |, |x0 |).

(iii) Fie xR cu proprietatea (VI.19) i presupunem, prin reducere la

absurd, c existx0R* cu |x0 |> |x1 | ( 1 10

, ( 0)nna x x

divergent) a. .

convergent. Dup cazul (i) avem x00

nna x

0R cu proprietatea (VI.18)

fa de x1, deci este absolut convergent, ceea ce contrazice

ipoteza Pentru x R cu proprietatea (VI.19) seria de puteri este

divergent.

10

n

na x

Observaii:1. Analiznd afirmaiile din Lema lui Abel gsim urmtoarele cazuri:

I. convergent numai nx= 0 i divergentxR*.0

n

na x

Exemplu 1: 2

0

! 1 1! 2! ...nn x x x

= + + + este convergent nx=0

cu suma S=1.Pentru xR* fixat avem lim lim ! 0n nnn n

a x n x

=

este divergent n xR*.

0

n

na x

II. este absolut convergent pe R.0

n

na x

451


5/30

Exemplu 2:2

0

1 ...! 1! 2!

nx x x

n

= + + + i xR*, aplicm seriei

0 0 !

n

nn

xa x

n

= criteriul raportului:1

1( ) !lim lim lim 0,( ) ( 1)! 1

n

n

nn n n

n

f x x xnl x

f x n nx

+

+

= = = =

+ +R

0

n

na x

este

convergent n xR* 0 !

nx

n

este absolut convergent pe R.

III. Exist un elementr[0,] a. .:

1. seria este absolut convergent pentru xRcare satisface|x| < r(x(-r, r));

0

n

na x

2. seria este divergent pentru xRcu |x|> r(x (-,-r)(r, +));

0

n

na x

3. dac |x| = r se va preciza natura seriilor numerice i0

n

na r

0

( )nna r

.

Exemple: 3)1

nxn

, existx0 = -1 a. .1

( 1)nn

convergent. .24

1

nT VI xn

este absolut convergent n x cu proprietatea: |x|


6/30

4)1

( 1)n nxn

, existx0 = +1 a. .1

( 1)n

n

convergent1

( 1)nLemaAbel nxn

este absolut convergent n xR cu |x|


7/30

454

(5) .

{0}; 0

;

( , );0

or

rc

r r r

=

= = < r;0

n

na x

3) este absolut i uniform convergent pe orice compact

[-, ] (-r, r) cu 0 < < r.

0

n

na x

Demonstraie. 1) FiexRfixat cu |x |


8/30

divergent cu lim 0 lim 0nn n

n na x a x

n i atunci este

divergent n xR cu |x | >r.

0

n

na x

3) Afirmaia coincide cu (iii) din Lema lui Abel (teorema VI.24) deja

demonstrat.

Teorema VI.26.

Fie seria de puteri cu raza de convergen r i mulimea de

convergenD

0

n

na x

c, atunci avem:

I. Dacr= 0 Dc ={0}; II. Dacr= Dc =R;

III. Dac 0 < r< (-r, r) Dc [-r, r].

Demonstratia este imediat folosind teorema I a lui Abel i

definiia lui Dc din (VI.22).

Observaii:

1. n capetele intervalului de convergen (-r, r): x = ri x = -rseria de

puteri are aceeai natur cu seriile numerice i care

sunt: fie convergente, fie divergente.

0

n

na r

0

( )nn

a r

2. Din acest motiv mulimea de convergent

a seriei de puteri poate fi de

forma: Dc =o

cD= (-r, r); Dc =

o

cD{r} = (-r, r]; Dc =

o

cD{-r} =

=[-r, r); Dc =o

c

)D {-r, r} = [-r, r].

3. Exemplele analizate dup lema lui Abel cuprind toate situaiile de mai

sus (exemplele 1) 5)).

455


9/30

4. Vom studia mai departe procedeele de calcul pentru raza de convergen

ri proprietile speciale ale seriilor de puteri.

Teorema VI.27. (Teorema Cauchy - Hadamard)

Fie seria de puteri cu raza de convergenr. Dac0

n

na x

*1 lim n nn

l a

= ,

atunci avem:

(i) (VI.23)

*1

*1

*1*

1

0; dac1 1

; dac 0 (cu conveniile ; 0)

01 ; dac 0 1. Dup definiia lui r,

avem:

*+R

*1l

*1l

*1

1r

l i respectiv

*1

1r

l deci

*1

1r

l= (dup teorema de caracterizare

a marginii superioare n R).

Pentru =0 seria*1l0

n

na cu este convergent pentru

0, deci r= .

*+R

n cazul = + seria*1l0

n

na

cu este divergent pentru

orice > 0, deci r= 0.

*+R

456


10/30

(ii) Dac exist 1 lim n nn

l

= a aplicm criteriul rdcinii n ficarex

fixat seriei

0

n

na x

i avem convergen pentru1

1x

l

< i divergent

pentru1

1x

l> ; n acest caz *1 1l l= i au loc situaiile din (VI.23).

Teorema VI.28.

Fie seria de puteri cu raza de convergenr.0

n

na x

Dac: 1*2 limn

nn

al

a

+

= , *

1

2lim nn

n

al

a

+

= i 12 lim

n

nn

al

a

+

= atunci avem:

*

*2 22

1 1si r =r

l l

1

ln toate situaiile din (VI.23).

Demonstraie:

Avem *1 1

*22 lim lim limn n

n nn nn

n n

a al a l a a

+ +

= = **2 2

1 1rl l i urmeaz

discuia din demonstraia teoremei Cauchy Hadamard (teorema VI.27).

Dac exist 12 limn

nn

al

a

+

= aplicnd n fiecare x seriei

0

n

na x

criteriul

raportului al lui DAlembert se obin situaiile din (VI.23).

Exemple:

6) ( )2 1

0

12 1

nn x

n

+

+ cu 2

11r

l= = seria este absolut convergent pe (-1, 1).

Pentrux = 1 ( )

1

1

2 1

n

n

+ convergentix = - 1 ( )

1

1

1

2 1

n

n

+

+ convergent

Dc = [-1, 1].

457


11/30

7) 1+( ) ( )

1

1 ... 1

!n

nx

n

+ cu Rcu

2

11r

l= = seria este absolut

convergent pe (-1, 1). nx = 1, avem( ) ( )

1

1 ... 1

1 !

n

n

++ aplicnd

criteriul Raabe Duhamel:1

lim 1 1nn

n

an

a +

= +

Seria este absolut

convergent pentru 0 i simplu convergent dup criteriul lui Leibniz

pentru 1 < < 0.

nx = -1, avem ( ) ( ) (1

11 1 ...!

nn

)1+ convergent pentru 0.

AvemDc = [-1, 1] pentru 0 i Dc= (-1, 1] pentru (1, ).

8) ( )( )

2

2

11

ln

n nnx

n n

+ cu R are ( )

( )

2 11

ln

n

n

na

n n

+= cu n 2 i

( )

( ) ( )

( )( )

22

12 2

1 1 ln1lim lim 1

ln 1 ln( 1)1

n

nn n

n

n nana l

an n n nn

+

+ ++= = =

+ ++=

este absolut convergent pe (-1, 1), R.2

n

na x

n x = 1, avem: ( )( )

2

2

11

ln

n n

n n

+

convergent dupa criteriul Leibniz

pentru > 0.

n x = -1, avem:( )

2

2

1

ln

n

n n

+ convergent pentru > 1 (dup criteriul

Bertrand: dac exist1

lim ln ( 1) ln( 1)n

n n

an n n n

a

+

+ + =

seria

458


12/30

459

) este convergent pentru > 0 i divergent pentru < 0).

Mulimea de convergenD

(0

0n na a

>

c = [-1, 1] pentru >1 0 i Dc = (-1, 1] pentru

>0.

9) 3

1

1

2n

nx

cu 311

; 3; 322

0; 3 0; 3

k nn n

n kn ka a

n k n k

== = =

* 31

3 3

1 1lim max ,0 2

2 2

nn

n

l a r

= = = =

i seria este absolut

convergent pe ( )3 32, 2 ; n 3 2x = avem divergent i n( )31

1n

3 2x = avem1

1

divergent. n acest caz Dc= ( )3 32, 2 .

10)!

1

n

x

cu { } { }1; ! 1; !

0; 1!;2!;... 0; 1!;2!;...nn n

k n k n

a ak k

= = = =

{ }*1 lim max 0,1 1 1n nn

l a r

= = = = i cum pentru x = 1, x = -1 seriile

numerice corespunztoare sunt divergente, avem Dc =(-1, 1).

11)( )

30

21

nn

xn

+cu

( )3

21

n

nan

=+

i 12 1lim 2 2n

nn

al ra

+

= = = i pentru

x =1

2 seria

( )3

1

( 1)

1

n

n

+ convergent, iar pentru x =

1

2

( )3

1

1

1n

+

convergent, rezult c: Dc =1 1

,2 2

.


13/30

Considerm o serie de puteri cu raza de convergen r,

r (0, ) i funcia sumf: (-r,r)Rcuf(x) = , care pe intervalul

de uniform convergen [-, ] (-r, r) (0 < < r) are proprietile

funciilor termeni : f

0

n

na x

0

n

na x

( ) nn nf x a x= n continue, fn derivabile chiar indefinit

derivabile,fn integrabile.

Teorema VI.29

Fie seria de puteri cu raza de convergenri sumaf, atuncifeste

continu pe [-, ] (-r, r).

0

n

na x

Demonstraie Fie x0(-r, r) | x0 | < ri din definiia marginii

superioare prin (VI.21) exist > 0 cu | x0| < < r este uniform

convergent pe compactul [-, ] i suma sa f este continua pe [-, ]

( sunt continue R) f continu n x

0

n

na x

( ) nn nf x a x= 0 (-r, r)fcontinu

pe (-r,r).

Teorema VI.30. (Teorema a doua a lui Abel)

Fie cu raza de convergen r i suma f. Dac seria

(respectiv0

n

na x

0

n

na r

0

( )nn

a r

) este convergent, atunci suma f este continu npunctulx = r(respectivx = -r).

Demonstraie: Presupunem c este o serie numeric

convergent i vom dovedi c seria de puteri este uniform

0

n

na r

0

n

na x

460


14/30

convergent pe compactul [0, r]. Avem: =0

n

na x

0

n

n

n

xa r

r

cux[0, r]

i sunt ndeplinite condiiile din consecina a treia a criteriului Abel

Dirichlet: este uniform convergent i irul0

n

na r

1

n

n

x

r

este

monoton descresctor uniform mrginit pe [0, r] este uniform

convergent pe [0, r] ifcontinu pe [0, r] este funcie continu n punctul

x = r.

0

n

na x

Observaii:

1 Teorema a II-a a lui Abel permite determinarea sumei unor serii

numerice, obinute din serii de puteri cux =x0

n

na x

0 fixat.

2. Pentru seria cu raza de convergenri suma f faptul c este

convergent n x = r (respectivx = - r) implic:

0

n

na x

lim ( ) ( )x rx r

f x f r

= ) (VI.24).

3.Seria de puteri este uniform convergent pe mulimea sa de

convergena D

0

n

na x

c, daci numai dac, avem: Dc =[- r, r].

4. Din ultimele dou teoreme avem: o serie de puteri este uniform

convergent pe orice compact coninut n mulimea sa de convergen, iar

suma seriei este o funcie continu pe mulimea sa de convergen.

461


15/30

Teorema VI.31.

Fie dat suma de puteri cu raza de convergenri sumaf, atunci

au loc afirmaiile:

0

n

na x

i) Seria derivatelor 1

1

n

nna x

are aceeai raz de convergenri avem:

(VI.25) ( ) [10 1 1

( ), ,n n nn n na x a x na x f x x

]= = =

[-r,r].

ii) Seria integralelor 10 1

nna xn

+

+ are aceeai raz de convergen r i

avem:

(VI.26) 1

0 0 00 0

( )1

x x

n n nn

n n

aa t dt a t dt x f t dt

n

+ = = = +

0

x

k

,

[0,x](-r, r).

iii) Funcia sumfeste indefinit derivabil pe [-, ] (-r, r) cu:

(VI.27) ( ) ( ) ( 1)...( 1) , 1k nnn k

f x n n n k a x k

= i

(VI.28) ( )(0 )1

,!

n

na f n

n= N .

Demonstraie:

(i) i (ii) Pentru seria derivatelor 1

1

n

nna x

notm raza de convergen:

1 1

lim lim nn nn n

n n

r rn a n a

= = = .

Seria integralelor 1

0 1

nna

x

n

+

+

are raza de convergen:

462


16/30

1 1

lim1

lim11

nnnn n nn

r ra a

nn

= =

++

= .

Pentru cu 0 < < rseria de funcii este uniform convergent

pe [-, ] i seria derivatelor

0

n

na x

1

1

n

nna x

este uniform convergent pe

acelai compact deci se poate deriva termen cu termen, suma sa f este

derivabili are loc egalitatea (VI.25).

Seria este uniform convergent pe [0, x](-r, r) i f0

n

na x

n funcii

continue, se poate aplica integrarea termen cu termen i sunt valabile

egalitile (VI.26).

(iii) Seriile i0

n

na x

11

n

nna x

sunt uniform convergente pe compactul [-

, ] (-r, r) i dup (VI.25), avem:

[ ]10 1

, ,n nn na x na x x

= ( ) 1

1

n

n i f x na x

= . Demonstraia

pentru (VI.27) se obine prin inducie asupra lui k. Din (VI.27) pentrux= 0,

0[-, ] (-r, r), avem( )

(0) ! , 0

k

kf k a k= (VI.28)

( )(0 )

,!

n

n

f

a nn= N .

Observaii:

1. Orice serie de puteri cu raza de convergenri mulimea de

convergen D

0

n

na x

c este uniform convergent pe orice interval compact

463


17/30

[, ] Dc; pe [, ] sunt valabile proprietile de continuitate,

derivabilitate i integrabilitate ale funciei sumf(f:DcR).

2. Funcia (( , ))f C r r din convergena seriilor numerice i

nu rezult, n general, derivabilitatea lui f n punctelex= -ri

x= r.

0

n

na r

0

( )nn

a r

3. O serie de puteri cu raza de convergenr, va putea fi derivat

termen cu termen numai pe (-r, r).

0

n

na x

4. Coeficienii unei serii de puteri sunt unic determinai prin valorile sumei

fi a derivatelor sale ( )(0)kf nx = 0.

5. Dac este dat seria cu raza de convergen r i suma f, prin

formulele (VI.28) se pot determina valorile derivatelor luifn x = 0:0

n

na x

( )(0)

kf = k!akcu kN, deci

( )(0 ) ,!

k

k

fa k

k= N .

Teorema VI.32. (Operaii cu serii de puteri).

Fie date seriile de puteri cu raza de convergen r0

n

na x

1 i suma f i

cu raza de convergenr0

n

nb x

2i suma g, atunci au loc afirmaiile:

1) Dac r1 = r2 = rif(x) = g(x), x(-r, r), atunci an = bn, nN.

464


18/30

2) Seriile de puteri i (R*) au aceeai raz de

convergenr

0

n

na x

( )0

n

na x

1 i funcia feste suma seriei de puteri pe

(-r

( )0n

na x

1, r1).

3) Seria de puteri are raza de convergenrmin{r( )0

n

n na b x

+ 1,r2} i

sumaf+ g, pe (-r, r).

4) Seria produs dup Cauchy unde :0n

nc x

465

n

(VI.29) are raza de

convergenr min{r

0 1 1 00

... ,n k n k n n nk

c a b a b a b a b n

=

= = + + + N

1,r2} i suma egal cufg, pe (-r, r).

Demonstraie: 1) Dacf= g pe (-r, r) din (VI.28) avem:

( ) ( )(0) (0)! ! , ,

n n

n n n nn a f n b g n a b n= = N, N .2) Demonstratia este direct deoarece, avem:

i0

( )n

k

n k

k

S x a x=

= ( )0

( ) ( )n

k

n k

k

x a x S x=

= = adic cele dou iruri

converg i diverg simultan ( i( , )

pc

n r rS f

( , )pc

n r rf

etc.).

3) Fie r0 = min{r1,r2}. Dac | x | < r0, atunci | x | < r1 i | x | < r2, deci

i sunt absolut convergente nx cu proprietatea |x | < r0

n

na x

0

n

nb x

0

i dup operaiile cu serii numerice convergente seria este,

absolut convergent n aceste puncte x. Raza de convergen a seriei de

( )0

n

n na b x

+


19/30

puteri este rcu r< r( )0

n

n na b x

+ 0, atunci ( - r0, r0) (-r, r), deci r0r;

evident suma seriei este funciaf+ g, pe (-r, r).

466

4). Fie r0= min{r1,r2} ixR fixat cu |x | < r0, atunci |x | < r1 i |x | < r2

seriile i sunt absolut convergente n x. Dup teorema

lui Mertens, care afirm c produsul Cauchy a dou serii absolut

convergente este o serie absolut convergent, rezult: cu c

0

n

na x

0

n

nb x

0

n

nc x

ndat

prin (VI.29) este o serie absolut convergent nx; avem ( - r0, r0) (-r, r),

deci r0r. Se noteaz: = .0

n

nc x

0 0

n n

n na x b x

Observaii:

1. Relaia r min{r1,r2} din 3) i 4) poate fi strict.

Exemplu:0

nnx

i au r( )0

nn x

1 =r2= 0 i seria:

( ) ( )0 0

0n nn n

a b x n n x x

+ = = 0

n

are r= ; deci n acest caz r= >

>min{r1,r2} = 0.

2. Dac seriile i au razele de convergenr0

n

na x

0n

nb x

1 r2, notmcu r= min{r1,r2}. Presupunem r1< r2, atunci pentru xRcu proprietatea

r1 < |x |


20/30

( )0

n

n na b x

+ avem rr1 i cum r1 < r2r= r1== min{r1,r2} (-r, r) =

=( - r1, r1) ( - r2, r2).

3. Se poate considera produsul dup Cauchy:

467

n( )2

0 1 1 00 0 0

...n nn n n n na x c x a a a a a a x

= = + + +

.

4. Dup formula (VI.28), avem:

(VI.30) ( )( )

(0 )

0 0

( ), ,

!

n

n n

n

fa x x f x x r r

n

= = .

Serii Taylor. Aplicaii.

Vom extinde reprezentarea (VI.30):( )

(0 )

0 0

( )!

n

n

n

fn

f x xn

= = a x , x(-r, r)

a sumei unei serii de funcii f cu (( , ))f C r r la cazul general

( )f C I cu IRinterval i 0 I (x =0 punct interior intervalului I).

Definiia VI.6

Fie IRinterval, 0I if: I Rcu ( )f C I . Se numete serie Taylor

asociat funcieifn jurul punctuluix = 0, seria de puteri:

(VI.31)( ) ( )

(0) (0)

0

(0)(0) ... ...,

! 1! !

n n

n nf ff

x f x xn n

x I= + + + + .

Studiul seriilor Taylor asociate funciilor de clas C pe un interval

cux=0 punct interior, ridic dou probleme eseniale:

I. Seria (VI.31) este convergent n punctele xI cu x0, deci raza de

convergen este r0 (r(0, ]) ?

II. Seria (VI.31) are ca sum chiar funcia generatoare f pe intervalul de

convergen (-r, r) ?


21/30

Exemple:

468

xf x e f x C f x e= R1) ( )( ) cu ( ) ( ),avem ( ) ,x n = ( )(0) ( ) 1

nf x = deci:

111 ... + ... i lim1! !

n

nn

n

x x ran

a

+

+ + + = = . Deci Dc=Ri seria Taylor asociat

lui ( ) xf x e= converge n xR; vom dovedi c suma acestei serii Taylor

este ( ) xf x e= .

2. [ ]

1

; (0,1

( ) 0; 1,0

xe x

f x x

=

]

este derivabil pe [-1, 0] cu( )

( ) 0n

f x = , x[-1, 0)

i nN. Funcia fadmite '(0) 0sf = i s dovedim cfeste derivabil n

x=0. Avem1

'

0 00

0 1(0) lim lim 0, cu 0

x

t

dx tx

ef te t

x x

>

x

= = = = >

i cum

' (0) 0s

f = ' (0) 0f = . Pentrux(0,1],feste derivabil ca o compunere de

funcii reale derivabile ifeste derivabil pe [-1, 1]; n acelai mod se arat

c [ ]( 1,1 )f C i avem iar seria Taylor asociat

luifnx=0 este de forma:

( )(0) ( ) 0, 1,2,...

nf x n= =

0 0 ... 0 ...1! !

nx x

n+ + + + cu suma S= 0. Funciaf

nu este suma seriei Taylor asociat n jurul lui x=0, deoarece f nu este

identic egal cu zero pe [-1, 1].

Teorema VI.33. (Teorema de reprezentare a funciilor de clas

C prin serii Taylor)

Fie IRun interval, x=0 punct interior lui I i ( )f C I . Dac exist

M >0 a. .


22/30

(VI.32) ( ) ( )nf x M , xI i nN atunci seria Taylor (VI.31) este

uniform convergent pe I cu sumaf, adic:

( )( ) ( )

(0) (0)

0

(0)VI.33 ( ) (0) ... ..., ( , )! 1! !

n n

n nf fff x x f x x x a an n

= = + + + + I Demonstraie: n ipotezele teoremei, seria (VI.33), are irul

sumelor pariale( )

(0 )(0)( ) (0) ...1! !

n

n

n

ffS x f x x

n

= + + + i dup formula

Maclaurin, avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n n nS x f x R x f x S x R x x I = =

unde ( )( 1) 1( )

( 1)!

nn

n

fR xn

+x

+=+

cu ntre 0 ix ( = x, 0< < 1).

Pentru x(-a, a) |x | < a, avem:

( )( 1) 11( ) ( ) ( )

( 1)! ( 1)!

n nn

n n

f af x S x R x x M

n n

+ ++

= = =+ + 1n

Mb + i cum:

lim 0nn

b

= ( , )

lim 0 ucn n a an

f S S

f = i atunci are loc egalitatea

(VI.33).

Aplicaii:

I. Seria binomial

Fie Ri seria de puteri:

(VI.34)

2( 1) ( 1)...( 1)

1 ... ...1! 2! !

nn

x x xn

+

+ + + + + numit seria

binomial.Avem1

11

lim nn

n

r

+

= = seria (VI.34) este absolut convergent

pe (-1, 1) cu suma f: (-1, 1)R deci:

(VI.34') 2( 1) ( 1)...( 1)

( ) 1 ... ...1! 2! !

nnf x x x xn

+= + + + + +

Prin derivare din (VI.34') avem:

469


23/30

(*) 1( 1) ( 1)...( 1)

( ) 2 ... ...1! 2! !

nnf x x nx

n

+ = + + + +

de unde prin nmulirea cux (x0), se obine:

(**)( )

2( 1) ( 1)...( 1)( ) ... ...1! 1! 1 !

nnxf x x x

n

+ = + + + +

Adunnd (*) i (**) se obine:

( ) 2( 1) ( 1) ( 1)( 2)

1 ( ) ...2 1! 2!

x f x x x + = + + + + +

+

( )( 1)...( ) ( 1)...( 1) ..., ( 1,1)! 1 !nn n x x

n n

++ + +

unde:

( ) ( )

( 1)...( ) ( 1)...( 1) ( 1)...( 1)1

! 1 ! 1 !

k k k

k k k k

+ + k + = + =

( )

( 1)...( 1),

1 !

kk

k

+=

N (1 ) ( ) ( ), ( 1,1)x f x f x x + = .

Cum f(x)0, x(-1,1) i f(x) > 0, avem:( )

( ) 1

f x

f x x

=

+,x(-1,1)

ln ( ) ln(1 ) ln ( ) (1 )f x x c f x c x = + + = + , x(-1,1) i f(0) = 1 = c

f(x) = (1 +x), x(-1,1).

Seria binomial (VI.34) are sumaf(x)=(1 +x), pentru x(-1,1) i are loc

egalitatea:

( ) 2( 1) ( 1)...( 1)

(VI.3") 1 1 ... ...,1! 2! !

nnx x x xn

++ = + + + + + i

, R.( 1,1)x

Formula (VI.3) este o generalizare a formulei binomului lui

Newton adevrat pentru Ni din acest motiv seria (VI.34) se numete

seria binomial.

470


24/30

II. Cazuri particulare ale seriei binomiale1. = -1 (1) 2

0

11 ... ( 1) ... ( 1)

1n n n n

x x xx

= + + + + = + x , x(-1,1).

2. n seria (1) trecemx = -x pe (-1, 1) i obinem:

(2) 2

0

11 ... ...

1n n

x x xx

= + + + + + =

x , x(-1,1).

3. Fie [0,x] (-1, 1) i integrnd termen cu termen seria (1), obinem:

I. (3)2 3

1

1

ln(1 ) ... ( 1) ... ( 1)2 3

n nn nx x x

x xn n

+ = + + + + = x , x(-1,1).

La fel pe [0,x] (-1, 1) i integrnd termen cu termen seria (2), avem:

II.(4)2 3

1

ln(1 ) ... ...2 3

n nx x x

x xn n

= = x , x(-1,1).

III. Adunnd membru cu membru seriile (3) i (4) pe (-1,1), rezult:

(5)2 4 2 2

1

1ln 2 1 ... ... 2

1 3 5 2 1

n n

2 1

x x x x xx x

x n n

+ = + + + + = + +

, x(-1,1).

VI. n seria (3) trecemxx2 pe (-1, 1) i avem:

(6)4 2

2 2 1 1

0

ln(1 ) ... ( 1) ... ( 1)2

n nn

2nx x x

x xn n

+ = + + + = , x(-1,1).

4. Pentru =1

2din seria binomial obinem:

( ) ( )221 1 3 1 3 ... (2 1)

7 1 1 ... 1 ..., ( 1,1)2 1! 2 2! 2 !

n n

n

nx x x x x

n

+ = + + + + +

5. Pentru = -1

2din seria binomial obinem:

( ) ( )221 1 1 3 1 3 ... (2 1)

8 1 ... 1 ..., ( 1,1)2 1! 2 2! 2 !1

n n

n

nx x x x

nx

= + + + +

+

n seria (8) trecem pex-x cux(-1, 1) i avem:

471


25/30

( ) 221 1 1 3 1 3 ... (2 1)

9 1 ... ..., ( 1,1)2 1! 2 2! 2 !1

n

n

nx x x x

nx

= + + + + +

6. n seria (1) trecemxx2 pe (-1, 1) i avem:

(10) 2 4 6 2 22

0

11 ... ( 1) ... ( 1)

1n n n n

x x x x xx

= + + + + = + x(-1,1).

Pentru [0,x] (-1, 1) integrm termen cu termen seria (10) i obinem:

(11)3 5 2 1 2 1

0

arctg ... ( 1) ... ( 1)3 5 2 1 2 1

n nn nx x x x

x xn n

+ +

= + + + = + + x(-1,1).

7. n seria (9) trecemxx2

pe (-1, 1) i avem:

( ) 2 2221 1 1 3 1 3 ... (2 1)

12 1 ... ..., ( 1,1)2 1! 2 2! 2 !1

n

n

nx x x x

nx

= + + + + +

Prin integrare [0,x] (-1, 1) din (12), avem:

(13)3 5 2 1

2

1 1 3 1 3 ... (2 1)arcsin ... ...

2 1! 3 2 2! 5 2 ! 2 1

n

n

x x n xx x

n n

+ = + + + +

+

x(-1,1).Din seria (13)se obine dup teorema a II-a a lui Abel:

11

limarcsin arcsin12x

x

x1 din (3) se obine:

2 3

1 1 1 1 1 1 1 1ln 1 ... ( 1) ...

2 3n

na a a a n a

+ = + + + +

care este o serie ncet

convergent, mai ales dac a este un numr mic. Vom folosi seria (5)

2 4 2 2

0

1ln 2 1 ... ... 21 3 5 2 1

n n

2 1x x x x xx xx n n

+ = + + + + = + + , x(-1,1) i

notm:1 1

11 2

xx

1

1x a a

+= + =

+i obinem dezvoltarea:

(15)3 2

1 1 1 1 1 1 1ln 1 ... ...

2 2 1 3 (2 1) 2 1 (2 1) na a a n a + + = + + + + + + + + 1

care este

o serie rapid convergent.

Pentru a =1, din (15) se obine:

3

1 1 1 1ln 2

2 3 3 3= + +

5 2

1 1 1 1... ...

5 3 2 1 3 nn +1 + + +

+

i folosind metodele de calcul aproximativ al sumei unei serii numerice cu

termeni pozitivi convergent, se poate calcula ln 2 cu un numar precizat de

zecimale exacte.

IV. Dezvoltarea n serie Taylor a unor funcii elementare

1. ( ) xf x e= cu xR i

. Pentru a >0, avem:

( ) ( ) , , ( ) in xf x e x n f C= R N R

( ) (0) 1,nf n= N ( ) ( )n x af x e e= , x(-a, a) i

473


27/30

deci ( )0

1 11 ... ... , ,

1! ! !

nx n x

e x x x a an n

= + + + + = Ri cum r= , are

loc egalitatea: 0 ,!

nx x

e xn

= R.

Pentru x = 1 1

1 1 11 ... ...

! 1! !e

n n

= = + + + i se poate calcula numrul e

cu un numr precizat de zecimale exacte.

2.f(x)= sinx,xRcu ( ) ( )( ) sin , , i ( )2

n nnf x x x n f x

= +

R N =

sin 1, , ( )2

nx x n f C

= +

R N R cu :

( )(0 )

( 1) ; 2 1sin

2 0; 2

k

n n knf

n k

= += =

=, deci avem:

( )

3 5 2 1

0

sin ... ( 1)3! 5! 2 1 !

nnx x x

x xn

+

= + + = +

, xR.

3.f(x)= cosx,xRcu ( ) ( )( ) cos , , i ( )2

n nnf x x x n f x

= +

R N =

cos 1, , ( )2

nx x n f C

= +

R N R cu :

( )(0 ) ( 1) ; 2cos 2 0; 2 1

k

n nnfn k

k == = = +, deci avem:

2 4 2

0

cos ... ( 1)2! 4! 2

nnx x x

x xn

= + + = , xR.

4.f(x)= arctgx,xR. Notmy = arctg x x = tgy i avem:

474


28/30

(2 22 21 1

cos cos sin1 1 tg

y yx y

)y y = = = = ++ +

. Prin metoda induciei se

arat c, avem: ( ) ( )( ) 2( ) 1 !cos sinn nf x n y n y = + =

( ) ( ) ( )21 !cos arctg sin arctgn

n x n x = + pentru ,x n R N

; are loc i relaia:( )f C R

( )( )( ) 2

2

1( ) ( 1)! sin arctg , ,

1

n

nf x n n x x n

x

= + +

R N . Pentrux = 0

( ) 0; 2(0) ( 1)!sin2 ( 1) ; 2 1

n

kn knf n

n k== =

= +i se obine:

3 5 2 1

2 1arctg ... ( 1) ( )1 3 5 2 1

nn

n

x x x xx R x

n

+

+= + + + ++, xRunde :

( )( )

2 2

2 1 22 22 2

1( ) sin (2 2) arctg

2 2 1

n

nn

xR x n x

nx

+

+ + = + + + +

( )( )

2 2 2 2

2 1 212 2

1( ) sin (2 2) arctg

2 2 2 21

n n

n n

x xR x n x

n nx

+ +

+ +

= + + + ++

( )

2 2

212 2

1( )

2 21

n

nn

xb x

nx

+

++ =++ . Pentru fiecare xR, fixat, irul

( )n

n

xb x

n= este descresctor i mrginit inferior de zero

deci i avem:

0pcnb R

( ) 0pcnR x R ( )2 1

0

arctg 1 ,2 1

nn x

x xn

+

= + R cu raza r= 1

seria este uniform convergent pe [-, ] (- 1, 1).

475


29/30

5. S se determine seria de puteri asociat funciei ( ) ( )2ln 1f x x x= + +

cux(-1, 1). De la seria binomial

( )0

( 1)...( 1)1!

n

n

nx x

n

=

++ = ,cu ( 1,1)x (-1, +) pentru = - 12

avem:

( ) ( )221 1 1 3 1 3 ... (2 1)

* 1 ... 1 ..., ( 1,1)2 1! 2 2! 2 !1

n n

n

nx x x x

nx

= + + + +

+i trecnd pex nx2 n egalitatea (*) se obine:

( ) ( )2 2221 1 1 3 1 3 ... (2 1)** 1 ... 1 ...,2 1! 2 2! 2 !1n n

nnx x x

nx = + + + +

+

Pentru x >0 cux(-1, 1) integrnd pe compactul [0,x](-1, 1) se obine:

( )

35 2

22

1 3 1 3 ... (2 1)... ( 1) ...

3 2 1! 5 2 2! 2 1 2 !1

n n

n

dt x nx x

n nt

+ = + + + + + +

1x

dar ( )2

2 ln 11

dt

t tt C= + + ++ i cum ( ) ( )2

ln 1f t t t= + + are

proprietateaf(0)= ln 1 = 0 se va considera C= 0. Funciafeste suma seriei

de puteri:

( ) ( )3

2 52

1 3 1 3 ... (2 1)ln 1 ... ( 1) ...

3 2 1! 5 2 2! 2 1 2 !n n

n

x nx x x x x

n n

+ + + = + + + + +

2 1

pe (-1, 1).

6. S se determine raza de convergen i suma seriei de puteri

2 1

1

cu 1n

n

n x x

=


30/30

x(-1,1). Fie seria de puteri1

n

n

x

= cu raza de convergenr1 = 1 i S(x) =

1 1

n

n

x

x x

= = , x(-1, 1) care prin derivare conduce la egalitatea:

S(x) = 1

1

n

n

nx

= , cu x(-1, 1) i atunci xS(x) =

1

n

n

nx

= , cu x(-1, 1).

Avem: xS(x) = ( ) 11

1 n

n

n n x

=

, cu x(-1, 1) i prin adunare rezult

egalitatea: xS(x) + S(x) = ( )1

11

n

nn n x

= +1

1

n

nnx

= = = f(x),

x(-1, 1). Din S(x) =

2 1

1

n

nn x

=

1

x

x, x(-1, 1) se obine: S(x) =

( )2

1

1 x i

S(x) =( )

3

1

1 x x(-1, 1) deci, suma seriei date este: f(x) = xS(x) +

+S(x) =( )

31

x

x+

( )2

11 x

=( )

31

1 x, x(-1, 1) 2 1

1

n

n

n x

= =

( )3

11 x

,

x(-1, 1).

4. Serii trigonometrice. Serii Fourier. Aplicaii.

Studiul seriilor trigonometricei n particular, al seriilor Fouriereste legat de reprezentarea semnalelor periodice n desfurarea unor

fenomene din realitate, cu posibiliti de adaptare la tehnicile moderne de

calcul. G. Cantor a introdus operaiile algebrice cu mulimi; reuniune,

intersecie, diferena etc. plecnd de la studiul mulimii de convergen a

unor serii trigonometrice.

serii de puteri & serii taylor

Documents