curs 4 - serii numerice cu termeni oarecare. serii de puteri · 2020. 11. 11. · curs 4 serii...

CURS 4Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteri

A. Arusoaie

e-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

22 Octombrie, 2020

http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

Structura cursului

1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii absolut convergenteSerii alternate

2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 33

Structura cursului




Serii cu termeni oarecare

I Spunem ca seria∞∑n=1

xn este o serie cu termeni oarecare, daca termenul

general al seriei, xn, nu are acelasi semn pentru orice n ∈ N∗.

I Un caz particular de serii cu termeni oarecare ıl reprezinta seriile alternate de

forma∞∑n=1

(−1)nyn.



Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1

(−1)n+1 1

neste convergenta.


Criteriul lui Dirichlet

Teorema

Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn = x1 + . . .+ xn, n ∈ N∗.Daca

1 sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;

2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton descrescator cu limn→∞

yn = 0,

atunci seria∞∑n=1

xnyn este convergenta.


Exemplu

Exemplu: Sa se arate ca seria∞∑n=1

cosn√n

este convergenta.


Criteriul lui Abel

Teorema

Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ doua siruri de numere reale. Daca

1 seria∞∑n=1

xn este convergenta;

2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit,

atunci seria∞∑n=1

xnyn este convergenta.


Exemplu

Exemplu: Aratati ca seria∞∑n=1

sinn · cos 1n

n

este convergenta.


Serii absolut convergente

Definitie

Spunem ca seria de numere reale∞∑n=1

xn este

i) absolut convergenta, daca∞∑n=1

|xn| este convergenta - notam∞∑n=1

xn(AC);

ii) semiconvergenta, daca∞∑n=1

xn este convergenta iar∞∑n=1

|xn| este divergenta -

notam∞∑n=1

xn(SC).



Observatie: Pentru serii cu termeni pozitivi, absoluta convergenta esteechivalenta cu convergenta.

Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1

(−1)n+1 1

neste semiconvergenta deoarece

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n(C), ınsa

∞∑n=1

∣∣∣∣(−1)n+1 1

n

∣∣∣∣ = ∞∑n=1

1

n(D) (seria armonica simpla).



Propozitie

Daca o serie de numere reale este absolut convergenta, atunci ea este convergenta.

Demonstratie: Fie∞∑n=1

xn o serie absolut convergenta.

Fie ε > 0; deoarece∞∑n=1

|xn|(C), exista nε ∈ N∗ astfel ıncat

|xn+1|+ . . .+ |xn+p| < ε,∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗.

Insa cum |xn+1 + . . .+ xn+p| ≤ |xn+1|+ . . .+ |xn+p|, obtinem

|xn+1 + . . .+ xn+p| < ε,∀n ≥ ne,∀p ∈ N∗.

Conform teoremei lui Cauchy, seria∞∑n=1

xn este convergenta.


Criteriul radacinii

Corolar

Fie∞∑n=1

xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.

Daca exista limita limn→∞

n√|xn| = ` ∈ R, atunci:

i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1

xn(AC);

ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1

|xn|(D);


Criteriul raportului -D’Alembert

Corolar

Fie∞∑n=1



|xn+1||xn|

= ` ∈ R, atunci:

i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1

xn(AC);

ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1

|xn|(D).


Criteriul lui Raabe-Duhamel

Corolar

Fie∞∑n=1



n

(|xn||xn+1|

− 1

)= ` ∈ R, atunci:

i) daca ` > 1, atunci∞∑n=1

xn(AC);

ii) daca ` < 1, atunci∞∑n=1

|xn|(D).


Serii alternate

Spunem ca seria∞∑n=1

xn este alternata, daca xn · xn+1 ≤ 0,∀n ∈ N∗.

Orice serie alternata poate fi scrisa astfel:

∞∑n=1

(−1)nyn, unde yn ≥ 0,∀n ∈ N∗.


Serii alternate

Teorema (Criteriul lui Leibniz)

Daca (yn)n∈N∗ este un sir de numere reale pozitive, descrescator si convergent la

0, atunci seria∞∑n=1

(−1)nyn este convergenta.

Demostratie: Folosim criteriul lui Dirichlet.

Exemplu: Seria∞∑n=1

(−1)n 1n

este convergenta.


Structura cursului




Serii de puteri

Definitie

Fie (an)n∈N un sir de numere reale.Se numeste serie de puteri centrata ın y0 ∈ R o serie de forma

a0 + a1(y − y0) + . . .+ an(y − y0)n + . . . =

∞∑n=0

an(y − y0)n, y ∈ R. (1)

Termenii an se numesc coeficienti ai seriei.Daca facem schimbarea de variabila x = y − y0, seria (1) se poate scrie ın forma

a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n + . . . =

∞∑n=0

anxn. (2)


Serii de puteri

Teorema (Abel)

Pentru orice serie de puteri∞∑n=0

anxn, exista un numar R, 0 ≤ R ≤ +∞, numit

raza de convergenta a seriei de puteri∞∑n=0

anxn, astfel ıncat:

i. Seria∞∑n=0

anxn(AC) pentru orice x ∈ (−R,R);

ii. Seria∞∑n=0

anxn(D) pentru orice x ∈ R \ [−R,R].


Serii de puteri

Putem rescrie teorema lui Abel si astfel:

Pentru orice serie de puteri∞∑n=0

anxn, exista R, 0 ≤ R ≤ +∞ asa ıncat:

i) daca R = 0, atunci unicul punct de (absoluta) convergenta pentru seria∞∑n=0

anxn este x = 0;

ii) daca R > 0, atunci seria∞∑n=0

anxn(AC) pe intervalul (−R,R);

iii) daca 0 < R < +∞, atunci seria∞∑n=0

anxn(D) pe (−∞,−R) ∪ (R,+∞);

iv) daca R = +∞, atunci seria∞∑n=0

anxn(C) pe R;


Serii de puteri

Daca notam

Dc - domeniul de convergenta -{x ∈ R |

∞∑n=0

anxn(C)

},

Dac - domeniul de absoluta convergenta -{x ∈ R |

∞∑n=0

anxn(AC)

},

atunci, pentru orice serie de puteri∞∑n=0

anxn au loc urmatoarele incluziuni:

(−R,R) ⊆ Dac ⊆ Dc ⊆ [−R,R].


Determinarea razei de convergenta

Propozitie

Fie∞∑n=0

anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.

Daca exista ρ = limn→∞

n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei

∞∑n=0

anxn este

R =

0, cand ρ = +∞;

1

ρ, cand 0 < ρ < +∞;

∞, cand ρ = 0.

Daca nu exista limn→∞

n√|an|, vom calcula R similar, doar ca de data asta,

ρ = lim supn→∞

n√|an|.


Exemplu

Sa se studieze convergenta seriei∞∑n=0

3nxn.


Determinarea razei de convergenta

Propozitie

Fie∞∑n=0

anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.

Daca exista ` = limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ ∈ R, atunci raza de convergenta este data de

R =

0, cand ` = +∞;

1

`, cand 0 < ` < +∞;

∞, cand ` = 0.


Exemplu

Sa se studieze convergenta seriei de puteri∞∑n=1

1

n(n+ 1)xn.


Exemple de serii de puteri

1. Seria nula: an = 0, n ∈ N. In acest caz, R =∞, Dac = Dc = R.

2. Seria geometrica,∞∑n=0

xn. Avem R = 1, Dac = Dc = (−1, 1).

I Daca x ∈ (−1, 1), atunci∞∑

n=0

xn =1

1− x

3. Seria∞∑n=0

n!xn: R = 0, Dac = Dc = {0}.



4. Seria∞∑n=1

1

nαxn, cu α ∈ R.

Avem R = 1 si

Dac =

{(−1, 1), α ≤ 1;[−1, 1] , α > 1;

,

Dc =

(−1, 1), α ≤ 0;[−1, 1), α ∈ (0, 1] ;[−1, 1] , α > 1;

.



5. Seria exponentiala,∞∑n=0

xn

n!. Avem R = +∞, Dac = Dc = R. Mai mult

∞∑n=0

xn

n!= ex.



6. Seriile trigonometrice,∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1 si

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n.

Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem

sinx =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1, ∀x ∈ R;

cosx =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n, ∀x ∈ R;



7. Seriile hiperbolice,∞∑n=0

1

(2n+ 1)!x2n+1 si

∞∑n=0

1

(2n)!x2n.

Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem

shx =

∞∑n=0

1

(2n + 1)!x2n+1 :=

ex − e−x

2, ∀x ∈ R;

chx =

∞∑n=0

1

(2n)!x2n :=

ex + e−x

2, ∀x ∈ R;


Bibliografie

Anca Precupanu - Bazele analizei matematice, Editura Polirom, Iasi, 1998.

V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica,Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom,Bucuresti, 2006.

M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”FairPartners”, Bucuresti, 2011.

Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLADepartment of Mathematics, Los Angeles, 2015.

M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:PowerSeries), Imperial College London, Department of Computing, 2016.


curs 4 - serii numerice cu termeni oarecare. serii de puteri · 2020. 11. 11. · curs 4 serii...

Documents