separata fisíca - cielo 2015 vectores

cantidades escalares:volumentiempomasaenergía, etc.

cantidades vectoriales:desplazamiento velocidadaceleraciónfuerza, etc.

A

A

Ѳ

A

ѲO

ѲO

B

π+Ѳ

O

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA CIELO – LOS OLIVOS

VECTORESGuía de estudio n°2

CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES

Las cantidades físicas que encontraremos en este texto pueden ser tratadas como cantidades escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que esta especificada completamente por un numero con unidades apropiadas. Es decir:

Una cantidad Escalar sólo tiene magnitud y no dirección

Por otra parte una cantidad vectorial es una cantidad física completamente especificada por un número con unidades apropiadas más una dirección. Es decir:

Una cantidad Vectorial tiene magnitud, así como dirección

Por ejemplo:

VECTOR

Se define (geométricamente) un vector como un segmento de recta dirigido que comienza en el origen, esto es, un segmento de recta con magnitud y dirección especificada con punto inicial en el origen.

MAGNITUD

Solemos representar la magnitud de una cantidad vectorial con una letra que usamos para el vector, sin la flecha arriba.

Una notación alternativa es el símbolo vectorial encerrado en barras verticales.

(Magnitud de A⃗ )=A=││ A⃗││=││ A││

Por definición, la magnitud de vector es un escalar (número) y siempre es

positivo.

DIRECCIÓN

Las direcciones, en un plano, se determinan por un ángulo, medido en dirección contraria al movimiento de las agujas del reloj.

x

z

y

Ѳ

ɸ

A

AB

A

B

R

R

C

A BA

B

C

C

A B A

B

CD


En un plano, las direcciones opuestas están definidas por los ángulos Ѳ y π + Ѳ

En el espacio tridimensional, es necesario usar dos ángulos para determinar una dirección. La selección más frecuente es la usada en la figura. La dirección del vector A⃗ se denomina por:

I. El ángulo Ѳ (Ѳ < 180°) que OA hace con el eje OZ

II. el ángulo ɸ entre el plano AOZ, medido en dirección contraria a la dirección de las agujas del reloj.

Se requiere dos ángulos para definir una dirección en el espacio

tridimensional.

IGUALDAD DE DOS VECTORESDefinimos que dos vectores son iguales si y sólo si, tienen la misma dirección y magnitud.

ADICIÓN DE VECTORES En la figura, se ilustra una manera de considerar la suma vectorial en términos de triángulos; luego, se generaliza a polígonos, para más de dos vectores.

1. METODO DEL TRIÁNGULO

R⃗=A⃗+B⃗

2. METODO DEL POLIGONO

R⃗=A⃗+B⃗+C⃗

NOTA:

R⃗=A⃗+B⃗+C⃗R=A⃗+B⃗+C⃗+D⃗ │ R⃗│=0

│R⃗│=0

3. METODO DEL PARALELOGRAMOGeométricamente definimos el vector suma como sigue. En el plano que contiene a los vectores A⃗ y B⃗ formemos el paralelogramo que tiene como un lado A⃗ y como lado adyacente B⃗. Entonces A⃗+ B⃗ es un segmento de recta dirigido a lo largo

A

B

B

A

B

A R

A

B

Magnitud (módulo)

R = A + BA

A

A

B

Magnitud (módulo)

a

a

a

a

Ѳ Ѳ/2Ѳ/2

R

a

a30°

30°

M

b

b

N

45°

45°

α


de la diagonal del paralelogramo llamada resultante ( R⃗=A⃗+ B⃗)

R⃗=A⃗+B⃗

R⃗=A⃗+B⃗: Vector resultante; por lo tanto, tiene magnitud (modulo) y

dirección.

Su magnitud se determina:

R=││R││=│R│=│ A+B│R=√A2+B2+2 AB cos α

NOTA: La magnitud (módulo) de la resultante cumple con la siguiente desigualdad:

Rmín<R<Rmax

Casos Particulares:

Si α = 0°

R⃗=A⃗+B⃗

Rmáx=A+B

Si α = 90°

R=√A2+B2

Si α =180°R=A−B

Rmax=A−B

Si dos vectores tienen igual magnitud (modulo), se cumple:

R=2acos θ2

M=a√3

N=b√2

c

c

P

60°60°


P=c

A

B

-B

A

A

-BD

A

BB

A

Punto de llegada

Punto de partida

A

BB

A

Punto de llegada

Punto de partida

D

D

0 <m <11 < m

A mAmA

-1 < m < 0m < -1

A

mA

mA


DIFERENCIA DE VECTORES

La diferencia entre dos vectores se obtiene sumando primero al negativo del opuesto.

D⃗= A⃗−B⃗= A⃗+(−B⃗)

D⃗= A⃗+(−B⃗ )= A⃗−B⃗

Magnitud del vector diferencia B⃗.D=│D│=││D│=│ A−B│=│B−A │

D=√A2+B2−2 AB cosα

Representar del vector diferencia:

D⃗=B⃗−A⃗

D⃗= A⃗−B

MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Si el vector A⃗ se multiplica por una cantidad escalar positiva “m”, el producto m A⃗ es un vector que tiene la misma dirección que A⃗ y la magnitud m A⃗. Si “m” es una cantidad escalar negativa, el m A⃗ estará dirigido opuesto que A⃗.

*Si: m > 0 (escalar) y A⃗ vector.

Si: m < 0 (escalar) y A⃗ vector.

u

A

A⃗ : vector AA : magnitud de Au⃗ : vector unitario de A

k

i j

XY

Z

Y

Z

X

i⃗

j⃗

Y

X A⃗x

A⃗x A⃗

A┴A

A//

N


VECTORES UNITARIOS

Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud exactamente igual a uno. Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no tiene otro significado físico. Se usan sólo por conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio.

A⃗=u⃗ A│ u⃗│=1

Gráficamente:

Usaremos los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en la dirección X, Y y Z positivas respectivamente. Los vectores unitarios i, j y k forman un conjunto de vectores, mutuamente perpendiculares, en el sistema de coordenadas de mano derecha como muestra la figura. La magnitud de cada vector unitario es igual a la unidad es decir:

│i │=│ j│=│k │=1

COMPONENTES DE UN VECTORCualquier vector A⃗ puede siempre considerarse como la suma de dos (o más) vectores, siendo el número de posibilidades infinito. A cualquier conjunto de vectores que, que al sumarse den A⃗, se le llama componente de A⃗.* Componentes rectangulares de un vector en el plano.

Componentes de un vector en una dirección determinada. Por consiguiente tenemos:A⃗=A X i⃗+AY j⃗

A=√A X2 +AY

2

j

k

i

A = A// + A┴


Por consiguiente, tenemos A=√A¿ ./ ¿2+A Y

2 ¿

Componente rectangular de un vector en tres dimensiones.

A⃗=A X i⃗+AY j⃗+AZ k⃗

A⃗=√A X2 +AY

2+AZ2

COSENOS DIRECTORESLas cantidades cos α ,cos β ,cos θ se llaman los Cosenos directores de un vector.

cos2α+cos2β+cos2θ=1

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Hallar la magnitud del vector resultante del grupo de vectores mostrados.

a) 1u b) 2u c) 3ud) 4u e) 5u02. Dado los vectores, hallar la magnitud de la resultante.

a) √3a b)√5a c) √7ad) √10a e)√13a03. Se tiene dos vectores no paralelos A y B de módulos 3 y 5 respectivamente. ¿Cuál de los siguientes valores podría ser la magnitud de la resultante?

a) 8 b) 2 c) 9d) 1 e) 4

04. Dos vectores de magnitud 7 y 8 cm dan origen al vector de magnitud 13 cm. Hallar el ángulo que forman los vectores.a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

05. La magnitud de la resultante de dos vectores cuando forman 0° es 34, y cuando forman 180° es 14. ¿Cuál es la magnitud de la resultante cuando dichos vectores son perpendiculares?a) 13 b) 17 c) 26 d) 34 e) 41

A

AY

AZ

AX

i

k

j

X

Y

Z

X

Z

A

Ѳɸ

Yα

6u3u1u4u3u

60°

2a

a


06. Encontrar la magnitud del vector diferencia A⃗−B⃗, si estos vectores se muestran en la figura, de modo que: │ A⃗│=50 ,│ B⃗│=14.

a) 24 b) 48 c) 64d) 36 e) 42

07. Hallar la magnitud de la resultante en el conjunto de vectores, siendo │ A⃗│=10 cm ,│B⃗│=5cm

a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cmd) 30 cm e) 45 cm

08. Dados los vectores, hallar la resultante.

a) d⃗ b) −d⃗ c) 2 d⃗d) −2 d⃗ e) 3 d⃗09. Desde el baricentro de un triángulo escaleno de lados 3, 5 y 7 cm

se trazan vectores a los vértices, hallar la magnitud de la resultante.a) 6 cm b) 10 cm c) 14 cmd) 15 cm e) 0 cm

10. Dado el vector A = 10 cm. Hallar la componente en la abscisa.

a) 5 cm i b) 5√3 cm i c) −5√3 cm id) - 5 cm i e) 10 cm i

11. Hallar la resultante de los vectores mostrados.

a) 6 b) 6√2c) 12d) 9 e) 9√2

12. Hallar la dirección del vector resultante.

a) 37° b) 53° c) 60°d) 30° e) 45°

BA

56° 50°

A

B

f

e

a

b

cd

30°

A

37°

15

3

Y

X

53°15

17

Y

X4


13. Hallar la magnitud de la resultante, si es horizontal.

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 12

14. Señale las afirmaciones verdaderas (V) o falsas (F):

I. El vector resultante siempre es mayor que, al menos uno de los vectores que lo originan.II. Dos vectores, al restarse, generan un vector diferencia, cuya magnitud es siempre diferente a la magnitud de su vector suma.

a) VF b) FV c) FFd) VV e) N.A.

15. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda cada información.

I. Tres vectores pueden ser perpendiculares entre sí.II. Cuatro vectores pueden ser perpendiculares entre sí.III. Un vector tiene infinitos pares de vectores componentes que lo originan; pero solo un par que forme ángulo recto (en el plano).

a) FVV b) VFF c) VVFd) FFF e) FVF

16. Si │3 A⃗+2 B⃗ │=30u ,│2 A⃗−3 B⃗ │=25u.Hallar │7 A⃗−4 B⃗ │

a) 50 u b) 60 u c) 70 ud) 80 u e) 90 u

17. Calcular la magnitud de la resultante de los vectores mostrados, sabiendo que ABCD es un trapecio y AB = 14 y DC = 22.

a) 8 b) 16 c) 32d) 20 e) 8√3

18. Hallar la resultante delos vectores mostrados:

α

30 N

20 N

Y

X24 N

60°

2A - 3B

3A + 2B

A

D

C

B


a) F⃗ b) 2 F⃗ c) 3F⃗d) 4 F⃗ e) 0⃗

19. En la figura ABC, es un triángulo, recto en B. Determinar la magnitud de la resultante.

a) a b) 2a c) 3ad) 4a e) 5a

20. En la figura, ABCD es un cuadrilátero cualesquiera en el cual MN = 22, donde “M” y “N” son puntos medios. Hallar la magnitud de la resultante de los vectores mostrados.

a) 11 b) 22 c) 33d) 44 e) 55

21. Hallar la magnitud de “α” para que la resultante de los dos vectores sea la magnitud “a”. En el diagrama mostrado.

a) 30° b) 45° c) 60°d) 120° e) 150°

22. Los puntos ABCDEF son los vértices de un hexágono regular a partir del vértice “A” se trazan los vectores AB, AC, AD, AE y AF. Calcular la magnitud de la resultante de dichos vectores. Si │AD│ = 60.a) 100 b) 120 c) 150d) 180 e) 200

23. Si dos vectores tienen igual magnitud y forman entre sí un ángulo Ѳ. Hallar la relación entre las magnitudes de la sum y diferencia vectorial.a) 2Cos(Ѳ/2) b) 2Sen(Ѳ/2)c) 2Tg(Ѳ/2) d) Ctg(Ѳ/2)e) Csc(Ѳ/2)

24. Dos fuerzas “A” y “B” actúan en un punto. La magnitud de la resultante “R” es igual al de “A” y es perpendicular a ella. Si A = R = 10N, encontrar la magnitud de “B”.a) 10N b) 10√2N

c) 10√3N

A

D

C

B

E

F

aaa aC

B

A

A

N

M

D C

B

ba

aa

a

α


d) 10√7N e) 5N


25. Hallar el ángulo que forman entre si dos fuerzas de magnitudes iguales, sabiendo que la resultante de ellas tiene una magnitud de √3 veces el de una de ellas.a) 60° b) 45° c) 30°d) 37° e) 53°

26. Al sumar un vector A⃗ de magnitud 30 con otro vector B⃗, que forman con A⃗ 53°, se observa que la resultante forman 37° con B⃗. Hallar la magnitud de B⃗.a) 12 b) 10 c) 14d) 16 e) 15

27. Determinar la magnitud de la mínima resultante que se puede obtener con dios vectores que forman 143° entre sí, sabiendo que uno de los vectores tiene magnitud 60.a) 45 b) 36 c) 24d) 12 e) 48

28. El hexágono de 6 cm de lado es regular. Determinar la magnitud del vector resultante de los vectores, si M, N y O son puntos medios. tg α=√3 /5

a) 7 b) 2 c) 3d) 1 e) 5

29. Dos vectores A⃗ y B⃗, de igual módulo forman entre sí un anglo de 128. Determina la medida del ángulo que forman el vector diferencia ¿⃗ ¿ y el vector B⃗.a) 26° b) 52° c) 104°d) 154° e) 120°

30. Las magnitudes de dos vectores X⃗ , Z⃗ y la magnitud diferencia D⃗, verifican la siguiente relación │X⃗ │20

=│ Z⃗ │21

=│ D⃗│13

. Hallar la medida

del ángulo que forman los vectores X⃗ y Z⃗ .a) 37° b) 53° c) 16°d) 74° e) 18°

31. Hallar la magnitud de la diferencia de 2 vectores sabiendo que sus módulos son 13 y 19; y la magnitud de su resultante es 24.a) 19 b) 20 c) 22d) 23 e) 24

32. Dado el vector A⃗ de magnitud 20. Hallar los módulos de sus componentes a los largo de las rectas L1 y L2.

a) 7 y 15 b) 15 y 25 c) 12 y 16

αN

M53°

37°

AL2

L1


d) 7 y 24 e) 9 y 12

33. Una fuerza de 300 N actúa sobre una caja en el punto “o” como se indica. Determinar la magnitud de las componentes de la fuerza a lo largo de las direcciones OA y OC.

a) 300 y 0 N b) 500 Y 400 Nc) 400 y 700 N d) 500 y 600 Ne) 200 y 400 N

34. El vector de magnitud 5 que se muestra es la resultante de otros dos; uno de los cuales está en dirección de la recta AB y se sabe que el otro es horizontal de magnitud 6. Hallar el valor de las componentes sobre AB.

a) 5√3/2 b) 3+2√3 c) 3(√3−4)d) 4+3√3 e) 8

35. Si cada cuadradito es de lado “1”, en el siguiente diagrama. Hallar la magnitud de la resultante del sistema de vectores mostrados.

a) 5 b) 3√2 c) 6d) 7 e) 2

53° oA

4 cm

3 cm

300 N

A

B

horizontal30°

5

separata fisíca - cielo 2015 vectores

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