seminar 12 cuadripoli electrici curs 11users.utcluj.ro › ~claudiar › bazele electrotehnicii...

Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 1

BE-ETTI 2019-2020

Seminar 12

CUADRIPOLI ELECTRICI

Curs 11

Problema 1

Să se determine constantele fundamentale (parametrii fundamentali) A, B, C, D ale

cuadripolului din figură. Să se verifice condiția de reciprocitate.

este un cuadripol cu schema echivalentă în T format din elementele:

care prin identificare cu cuadripolul dat vor avea valorile:

16 16 , ΩZ j= +

26 16 , ΩZ j= +

0

0

1 1= , S

8 8

jY

Z j= =

−

Parametrii fundamentali care se cer a fi determinați apar în ecuațiile fundamentale

ale cuadripolului:


21 2

1 22

U AU BI

I CU DI

= +

= +

Astfel ne propunem să scriem pentru schema echivalentă în T, mărimile de intrare

funcție de cele de ieșire (adică ecuațiile fundamentale ale schemei în T), ca apoi,

prin identificare în raport cu acestea (ecuațiile fundamentale) să determinăm

expresiile parametrilor fundamentali (A, B, C, D) în funcție de elementele schemei

echivalente în T (Z1, Z2, Y0) ale căror valori numerice le cunoaștem.

Considerăm cuadripolul cu schema echivalentă în T alimentat la intrare de o sursă

de tensiune, care are la borne tensiunea U1, respectiv la ieșire de o sursă de tensiune

care are la borne tensiunea U2:

Aplicăm Metoda teoremelor lui Kirchhoff (MTK) pentru a determina parametrii

fundamentali.

Analizăm topologic circuitul: n=2;

l=3;

b=l-n+1

b=3-2+1

b=2 bucle independente.

introducem curenții prin laturile cuadripolului cu sensuri arbitrar alese (I1, I2

și I0)

introducem sensuri de parcurgere arbitrar alese prin cele două bucle

independente (b1 și b2)

Scriem sistemul de ecuații specific MTK este format din:

n-1=2-1=1 ecuații rezultate în urma aplicării TKI într-unul din noduri

b=2 ecuații rezultate în urma aplicării TKII pe cele două bucle independente

( )

( )

( )

1 2 01

1 1 2 2 1 21

2 2 0 22

0

: 0

:

1:

N I I I

b Z I Z I U U

b Z I I UY

− + + = + = − − = −


( )

1 0 2

1 1 2 21 2

2 2 0 2

0

0

1

I I I

U Z I Z I U

Z I I YUY

−

= +

= + + − = −

2

0

1 0 2

1 1 2 21

0 0 2 22 02 0 0 22

I I I

U Z I Z I U

Y U Y I Y U Y Z IZ I I

= +

= + + = − =+ +

Înlocuim I0 în prima ecuație ca să ajungem să-l exprimăm pe I1 în funcție de U2 și I2:

2 1 0 2 0 22 21 2 0 02 (1 )II I Y U Y Z I Y U Z Y I= + + = + +

Prin identificare cu a doua ecuație din sistemul de ecuații fundamentale ale

cuadripolului:

0 2

1 22

1 22 0(1 )

I U DC

Y

I

IYI ZU

= +

+

= + 0 0.125 , S

8

jC Y j= = =

( )2 0 01 1 0 1 6 16 1 .75 28

.75D Z Y jj

j j= + = = − ++ + = + −

Înlocuim acum expresia obținută pentru I1 în a doua ecuație din sistemul specific

MTK și îl scriem astfel și U1 în funcție de U2 si I2:

( )1 0 2 0 2 2 2 21 2 2

1 0 1 2 1 2 0 2 2 21 2 2

U Z Y U I Y Z I Z I U

U Z Y U Z I Z Z Y I Z I U

= + + + +

= + + + +

Grupăm termenii și dăm factor comun de U2, respectiv I2:

( ) ( )1 0 1 2 1 2 0 221 1U Z Y U Z Z Z Z Y I= + + + +

Prin identificare cu prima ecuație din sistemul de ecuații fundamentale ale

cuadripolului:

( ) ( )1 1 2

21 2

22 1 2 01 01

U

Y

A

Z

B

Z ZY

U I

U U IZ Z

= +

+= +++

( )1 0 1 6 16 1 0. 51 1 0.72 578

A Z Y jj

j j= + + = − +− == + +

( ) ( )

( )

1 2 1 2

2

0 2 6 16 6 168

12 32 36 192 256 12 32 4. 12 4.5 , Ω5 24 328

B

j

Z Zj

j j

jj j

Z Z Y

B jj j

= + + +

= + + + − = + +

+

+−

+

−

=

= −

Am calculat parametrii fundamentali ai acestui cuadripol:

1 0.75

12 4.5 , Ω

A j

B j

= − +

= − +

0.125 , SC j=


1 0.75D j= − +

A D= cuadripolul este simetric

Trebuie să verificăm îndeplinirea condiției de reciprocitate:

( ) ( ) ( )

( )

1

1 0.75 1 0.75 12 4.3 0.25 1

1 0.75 0.75 0.56 1.5 0.56 1

A D B C

j j j j

j j j

− =

− + − + − + =

− − − − − − =

1 1.5 0.56 1.5 0.56 1 "A"j j− − + + = cuadripolul este și reciproc

TEMĂ


cuadripolului din figură. Date numerice: =1, Ω;R 0

5, Ω;R = 10, ΩL = și

05, Ω.L = Să se verifice condiția de reciprocitate.

110 , Ω;Z j L j= =

210, Ω;Z R= =

0

0 0

1 1, S.

5 5Y

R j L j= =

+ +

R: 2 ; 20 20 , Ω; 0,1 0,1 , S; 2 .A j B j C j D j= + = + = − = −

Problema 2

Să se determine parametrii impedanță [Z] (Z11, Z12, Z21 și Z22) ai cuadripolului din

figură.


este un cuadripol cu schema echivalentă în T format din elementele:


16 16 , ΩZ j= +

26 16 , ΩZ j= +

0

1= , S

8 8

jY

j=−

Parametrii impedanță se vor determina din ecuațiile cuadripolului funcție de

parametrii impedanță, care sunt:

11 1 12 21

21 1 22 22

U Z I Z I

U Z I Z I

= +

= +

Astfel ne propunem să scriem pentru schema echivalentă în T, tensiunile în funcție

de curenți (adică ecuațiile funcție de parametrii impedanță ale schemei în T), ca

apoi, prin identificare în raport cu acestea (ecuațiile funcție de parametrii

impedanță) să determinăm expresiile parametrilor impedanță (Z11, Z12, Z21, Z22) în

funcție de elementele schemei echivalente în T (Z1, Z2, Y0).

Considerăm cuadripolul cu schema echivalentă în T alimentat la intrare de o sursă

de tensiune, care are la borne tensiunea U1, respectiv la ieșire de o sursă de tensiune


Folosim Metoda curenților ciclici (MCC) pentru a determina parametrii impedanță

[Z] în funcție de elementele Z1, Z2, Y0.



l=3;

b=l-n+1

b=3-2+1


introducem curenții prin laturi (I1, I2 și I0)

introducem curenți fictivi (I’1 și I’2) prin cel două bucle independente astfel

încât:

11'I I= și 22'I I=

Scriem sistemul de ecuații specific MCC format din b=2 ecuații de forma:

1

2

11 121 2

21 221 2

' '

' '

k

k b

k

k b

Z I Z I E

Z I Z I E

+ =

+ =

Explicităm termenii din sistem:

impedanța proprie buclei 1: 11 1

0

1Z Z

Y= +

impedanța proprie buclei 2: 22 2

0

1Z Z

Y= +

impedanța dintre cele două bucle: 12 21

0

1Z Z

Y= = − (sensurile de parcurgere

ale curenților fictivi sunt inverse prin latura comună dintre cele două bucle)

tensiunile: 1

1k

k b

E U

= și 2

2k

k b

E U

= −

Înlocuim acești termeni în sistemul specific MCC:

1 1 2 1

0 0

1 2 2 2

0 0

1 1

1 1

Z I I UY Y

I Z I UY Y

+ + − =

− + + = −

Înmulțim a doua ecuație cu (-1):

1 1 2 1

0 0

1 2 2 2

0 0

1 1

1 1( 1)

Z I I UY Y

I Z I UY Y

+ + − =

− + + = −

−

Exprimăm tensiunile funcție de curenți (scriem termenii din stânga în dreapta și

invers):


1 1 21

0 0

1 2 22

0 0

1 1

1 1

U Z I IY Y

U I Z IY Y

= + + −

= − +

Prin identificare cu ecuațiile cuadripolului funcție de parametrii impedanță,

parametrii impedanță vor fi:

1 21

1 21

1 22 1

1 22 2

1

01

22

2

021

00

1

1

1 1

1U I I

U

IZ

YZ

Z

Y

ZY

I I

U IU I I

Z

Y

Z

= +

= +

+

=

+

=−

−

+

1

1

2

2

1

2 2

1 1

0

2

0

0

0

1

1

1

1

Z

Z Z

Y

Y

Z

Z

Y

Z

Y

= − +

=

=

−

+

=

Înlocuim valorile numerice:

111

0

Ω1 8

6 16 6 6 6 8 , 1 8Z j j jY

Zj

j+= = ++ = + + = −

0

12 21

0

12

21

8 ,1 8

Ω

88 , Ω

1

Z

j

Y jZ Z

YZ

j

j

− = −

= −

= =

= = −

=

cuadripolul este reciproc

( )222

0

1 86 6 8 , 16 ΩZ Z j

Y jj

− + = − + +

= − +

=

Astfel parametrii impedanță ai cuadripolului sunt:

11 6 8 , ΩZ j= +

12 8 , ΩZ j=

21 8 , ΩZ j= −

( )22 6 8 , ΩZ j= − +

TEMĂ

Să se determine parametrii impedanță [Z] (Z11, Z12, Z21 și Z22) ai cuadripolului din

figură. Date numerice: =1, Ω;R 0

5, Ω;R = 10, ΩL = și 0

5, Ω.L =


110 , Ω;Z j L j= =

210, Ω;Z R= =

0

0 0

1 1, S.

5 5Y

R j L j= =

+ +

R: 11 12 21 225 15 , Ω; 5 5 , Ω; 5 5 , Ω; 15 5 , Ω.Z j Z j Z j Z j= + = − − = + = − −

Problema 3


cuadripolului din figură. Date numerice: =2, Ω;R 2, ΩL = și 1, Ω.C = Să se

verifice condiția de reciprocitate.

- este un cuadripol cu schema echivalentă în π format din elementele:



02 2 , ΩZ R j L j= + = +

1

1, S

1Y j C j

j C

= = =

2

1, S

1Y j C j

j C

= = =

Parametrii fundamentali se determină din ecuațiile fundamentale ale cuadripolului:

21 2

1 22

U AU BI

I CU DI

= +

= +

Astfel ne propunem să scriem pentru schema echivalentă în π, mărimile de intrare

funcție de cele de ieșire (adică ecuațiile fundamentale ale schemei în π), ca apoi,

prin identificare în raport cu acestea (ecuațiile fundamentale) să determinăm

expresiile parametrilor fundamentali (A, B, C, D) în funcție de elementele schemei

echivalente în π (Y1, Y2, Z0).

Considerăm cuadripolul cu schema echivalentă în π alimentat la intrare de o sursă

de tensiune care are la borne tensiunea U1, respectiv la ieșire de o sursă de tensiune


Aplicăm Metoda teoremelor lui Kirchhoff (MTK) pentru a determina parametrii

fundamentali.


l=5;

b=l-n+1

b=5-3+1



introducem curenții prin laturile cuadripolului cu sensuri arbitrar alese (I1, I2,

I3 și I4)

introducem sensuri de parcurgere arbitrar alese prin cele trei bucle

independente (b1, b2 și b3)

Scriem sistemul de ecuații specific MTK format din:

n-1=3-1=2 ecuații rezultate în urma aplicării TKI în două din noduri

b=3 ecuații rezultate în urma aplicării TKII pe cele trei bucle independente

1 3 01

0 4 22

0 0 0 01 2 1 21

3 3 11 12

1

4 4 22 23

2

( ) : 0

( ) : 0

( ) :

1( ) :

1( ) :

N I I I

N I I I

b Z I U U U Z I U

b I U I Y UY

b I U I Y UY

− + + =

− + + =

= − = + = = − = − =

Înlocuim expresiile pentru I3 și I4 în primele două ecuații:

1 1 01

0 2 22

I Y U I

I Y U I

= +

= +

Înlocuim expresia obținută pentru I0 în expresia lui I1:

1 1 2 21 2I Y U Y U I= + +

Înlocuim expresia lui I0 și în a treia ecuație din sistemul MTK:

2 0 0 21 2 2U Y Z U Z I U= + +

Grupăm termenii și dăm factor comun U2:

2 01 2 0 2(1 )U Y Z U Z I = + +

Prin identificare cu prima ecuație din sistemul de ecuații fundamentale ale

cuadripolului:

( )0

2

2

1 2

1 2 2

0

0

0

2

2 2 , Ω

11 2 2 1 22 1

( )21

AA Y

U U Ij

B

Z

B j

j jU U I

ZY

Z

jZ

= + = + + = + −

= ++

= =

+ = − +

=

+

Înlocuim expresia obținută astfel pentru U1 în expresia pentru I1:

1 1 0 2 0 2 2 22 2 2( )I Y Z Y U Z I U Y U I= + + + +

1 1 2 0 1 0 2 1 2 22 2 2I Y Y Z U Y Z I Y U Y U I= + + + +

Grupăm termenii și dăm factor comun U2 și I2:

( ) ( )1 1 2 1 2 0 1 0 22 1I Y Y Y Y Z U Y Z I = + + + +

Prin identificare cu a doua ecuație din sistemul de ecuații fundamentale ale

cuadripolului:


( ) ( )

( )

( )

2

1 22

1

1 2 1 2 0

1 22 1 0

1 0

2 0

2

1 1

1

2 2,2 2

2 1 2

2 2

1 2 1

S

2 2 j

CC Y Y Y Y Z

Y Y Y Y Z

C

I U I

I U I

j j j j j

j

D

Y Z

D jY Z

j

j

+

=

+= +

−

= +

+

= +

+ + =

+

− −

= + + = + −

+

= −

=

+

=

+

A D= cuadripolul este simetric

Trebuie să verificăm și îndeplinirea condiției de reciprocitate:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 1 2 2 2 2 1

1 2 2 4 4 4 1

A D B C

j j j

j j j

− =

− + − + − + − =

− − − − − − =

1 4 4 4 4 1 "A"j j− − + + = cuadripolul este și reciproc

TEMĂ


cuadripolului din figură. Date numerice: =2, Ω;R 1, ΩL = și 1, Ω.C = Să se

verifice condiția de reciprocitate.

0

1 12 2 , Ω;Z R j

j C j= + = + = −

1

1 1=-j, S;Y

j L j= =

2

1 1=-j, S.Y

j L j= =

R: 2 ; 2 , Ω; 2 , S; 2 .A j B j C j D j= − = − = − − = −

Problema 4

Să se determine parametrii admitanță [Y] (Y11, Y12, Y21 și Y22) ai cuadripolului din

figură. Date numerice: =2, Ω;R 2, ΩL = și 1, Ω.C =


- este un cuadripol cu schema echivalentă în π format din elementele:


02 2 , ΩZ R j L j= + = +

1

1, S

1Y j C j

j C

= = =

2

1, S

1Y j C j

j C

= = =

Parametrii admitanță apar în ecuațiile cuadripolului în funcție de parametrii

admitanță, care sunt:

1 11 121 2

2 21 221 2

I Y U Y U

I Y U Y U

= +

= + Astfel ne propunem să scriem pentru schema echivalentă în π, curenții în funcție de

tensiuni (adică ecuațiile funcție de parametrii admitanță ale schemei în π), ca apoi,

prin identificare în raport cu acestea (ecuațiile funcție de parametrii admitanță) să

determinăm expresiile parametrilor impedanță (Y11, Y12, Y21, Y22) în funcție de

elementele schemei echivalente în T (Y1, Y2, Z0).

Folosim Metoda potențialelor nodurilor (MPN) pentru a determina parametrii

admitanță [Y], în funcție de elementele Y1, Y2, Z0:



l=5;

b=l-n+1

b=5-3+1


Alegem V3 ca potențial de referință, V3=0, V

Scriem sistemul de ecuații specific metodei potențialelor nodurilor format din

n-3=2 ecuații de forma:

1

2

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

sc

k N

sc

k N

Y V Y V I

Y V Y V I

+ =

+ =

Potențialele sunt: 1 1V U= și 2 2V U=

Explicităm termenii din sistem:

admitanța proprie nodului 1: 11 1

0

1Y Y

Z= +

admitanța proprie nodului 2: 22 2

0

1Y Y

Z= +

admitanța dintre nodul 1 și nodul 2: 12 21

0

1Y Y

Z= = −

curenții de scurtcircuit: 1

1 1sc

k N

I I

= și 2

2 2sc

k N

I I

= −

Înlocuim acești termeni în sistemul specific MNP:

1 1 2 1

0 0

21 2 2

0 0

1 1

1 1

Y U U IZ Z

U Y U IZ Z

+ − =

− + + = −

Înmulțim a doua ecuație cu (-1)


1 1 2 1

0 0

21 2 2

0 0

(

1 1

1 11)

Y U U IZ Z

U Y U IZ Z

+ − =

− + + = −

−

Exprimăm curenții funcție de tensiuni (scriem termenii din stânga în dreapta și

invers):

1 1 2 1

0 0

21 2 2

0 0

1 1

1 1

I Y U UZ Z

I U Y UZ Z

= + −

= − +

Prin identificare cu ecuațiile cuadripolului funcție de parametrii admitanță:

2

11 1

0

0

1

011

12

0011

2121

0

1 1

1 2

2 1 2

1 2 2

22

2

2

0

2

0

2 2

1

1 11

1

1

11

Z

I U UI U U

I U UI

YY

ZZU

YZZY

Y YZ

YZY

Y

Z

UY

Y Y

=

= +

= + =

− +

−=−

= +

+

=

=

− +

Înlocuim valorile numerice:

( )

( )

11

11

1

0

2

Ω

21

80.25 0.

1 8 2 2 6 2

2 2 8 8 8

2 1 37 ,

45

1

3

j j j jY Y j j

Y j

Z j

j j= −

− + − −= + = + = + = =

= = +

+

− − − +

( ) ( )

0

12 S2 2 2 1

0.25 0.1 1 1

2 2,

825

8 4Y

j j j

Z jj

− − −− = − = − = − == +−

+= −

( )21

0

10.25

10 S

2 11 2 2

2 2 8.25 ,

8 4Y

jj

Z

jj j= = −

−− −= = = =

+

( ) ( )

222

22

0

1 1 2 2 8 2 2

S

6 2

2 2 8 8 8

2 10 .

1 3 3

8 4.25 0 75 ,

Yj j j j

Y j jZ

jj

Y

j

j

− − − + − −− + = − − = − − == =

+

−

− + − += = −=

Astfel parametrii admitanță ai cuadripolului sunt:

11 0.25 0.75 , SY j= − +


1

12

2

2 21

1

0.25 0.25 , S

0.25 0.25 , S

YY

j

Y jY

= − +

= − = −

cuadripolul este reciproc

22 0.25 0.75 , SY j= − −

TEMĂ

Să se determine parametrii [Y] (Y11, Y12, Y21 și Y22) ai cuadripolului din figură. Date

numerice: =2, Ω;R 1, ΩL = și 1, Ω.C =

0

1 12 2 , Ω;Z R j

j C j= + = + = −

1

1 1- , S;Y j

j L j= = =

2

1 1- , S.Y j

j L j= = =

R: 11 12 21 220.4 0.8 , S; 0.4 0.2 , S; 0.4 0.2 , S; 0.4 0.8 , S.Y j Y j Y j Y j= − = − − = + = − +

seminar 12 cuadripoli electrici curs 11users.utcluj.ro › ~claudiar › bazele electrotehnicii...

Documents