Hari Pertama

1. Diberikan , - kontinu di , - dan ada pada , - yang memenuhi

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

Tunjukkan bahwa terdapat ( ) sehingga ( ) ( )

2. Misalkan suatu Grup , untuk setiap . Didefinisikan himpunan * | +

Jika Subgrup dari G , Apakah subgrup dari G ?

3. Misalkan K Matriks Real Simetri yang sama dengan semua nilai eigennya yang berbeda dan Matriks Real yang berukuran sama. Misalkan dan . Jika keduanya juga Simetris. Buktikan bahwa yaitu Normal

4. Misalkan himpunan buka terhubung sederhana (tak ada lubang) dibidang kompleks dan . Konstruksi fungsi holomorphik (analitik) dengan cakram satuan dengan pusat 0 , bersifat injektif dan ( ) Jika (a) U merupakan himpunan terbatas (b) U merupakan himpunan tak terbatas

5. Diberikan sebarang bilangan bulat positif dan , bilangan ( ) adalah suatu bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga setiap pewarnaan merah-biru pada semua sisi dari graf lengkap dengan titik . Senantiasa akan memuat Subgraf lengkap titik dengan semua sisi berwarna merah dan titik dengan semua sisi berwarna biru. Jika bilangan ada dan , Buktikan bahwa

( ) ( ) (

)

Hari Kedua

1. Misalkan ( ) fungsi rasional ( hasil bagi 2 polinom ) yaitu ( ) ( )

( )

dengan ( ) ( ) dua polinomial. Misalkan fungsi holomorphik pada * + dan misalkan pula mempunyai kutub (pole) pada setiap titik . Misalkan pula

| ( )| | ( )| Untuk setiap dimana ( ) dan ( ) terdefinisi. Buktikan bahwa ( ) merupakan kelipatan dari ( ).

2. Diberikan barisan bilangan real * + sedemikian sehingga ( ) .

Buktikan bahwa barisan {

} konvergen ke

3. Let be two distinct line in the complex plane that intersect at the point of origin O. Prove the following : Given any matrices B and C whose eigen values lie completely on respectively, such that .

4. Setiap bilangan-bilangan diwarnai hitam atau putih. Tentukan nilai terkecil sedemikian sehingga untuk sebarang pewarnaan dari bilangan-bilangan tersebut , selalu terdapat 3 bilangan ( ) * + yang berwarna sama dan memenuhi

5. Misalkan merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Misalkan pula R memiliki berhingga unsur dan banyaknya unsur di lebih dari satu. Buktikan bahwa untuk setiap terdapat polinom ( ) , - yang berderajat , yang tidak mempunyai akar di .

Penulis : Uzu