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Fundamentos Físicos I_Tema 1 _ curso 19/20 M. Elena Saiz

A mis alumnos

Con la asignatura Fundamentos Físicos I de este segundo cuatrimestre, y con Fundamentos Físicos II en segundo curso, pretendemos enseñar las bases de los fenómenos físicos que subyacen en las aplicaciones tecnológicas de las telecomunicaciones, que iréis estudiando en cursos sucesivos y usaréis en vuestra vida profesional como ingenieros. El conocimiento de la base del fenómeno es lo que os capacitará para aplicarlo correctamente en situaciones parecidas, pero, sobre todo, para innovar y resolver situaciones nuevas del futuro. No desdeñéis profundizar ahora en los principios físicos, eso tendréis ganado para el éxito en el futuro.

Leed esta cita de alguien muy importante para los físicos y los ingenieros de las telecomunicaciones: J.C. Maxwell. Por favor, leedla entera, porque lo que decía Maxwell hace siglo y medio sigue siendo absolutamente válido en la actualidad, y es la verdadera clave para tener éxito en la asignatura: cambiar el chip de memorizar por el de razonar.

Ánimo y ¡buen comienzo!

……… Pero esfuerzo intelectual no equivale a pensar. Y aquellos que, con gran trabajo, han adquirido el hábito de aplicarse a su tarea, frecuentemente encuentran mucho más sencillo aprenderse una fórmula de memoria que dominar un principio físico. Voy a esforzarme en demostrarles, y ustedes mismos lo verificarán más adelante, que los principios son fértiles en resultados, mientras que los resultados por sí mismos son estériles. Quien se aprende una fórmula se halla a merced de su memoria; pero el que domina un principio puede mantener la cabeza libre de fórmulas, pues sabe que puede fabricar las que le hagan falta, en el momento que quiera. ¿Será necesario añadir que, a pesar del rechazo natural del espíritu ante el duro proceso de pensar, este proceso, una vez realizado, hace sentir al espíritu un poder y alegría que le animan a seguir adelante, olvidando el trabajo y las angustias que acompañan el paso de un estado de desarrollo a otro?

J.C. Maxwell Conferencia inaugural en el King´s College de Londres (1860). Texto reproducido en la revista American Journal Physics 47, 928 (1979)


No tomes estos apuntes como la única fuente de información en tu estudio. Sólo

pretenden ser una buena guía para centrarte los conceptos importantes que hay que

trabajar.

Y, en cualquier caso:

Aprende a dudar de lo evidente

Aprende a apreciar el valor del rigor, de la precisión en el razonamiento

Aprende a pensar y ser crítico

Sé consciente de lo poco que sabes y la dimensión de lo que

queda por saber, y que eso te ayude a querer aprender


Tema 1: Conceptos básicos de Mecánica Este tema contextualiza los conceptos físicos fundamentales que permiten estudiar la evolución de los sistemas físicos, parte de la Física que se denomina Mecánica. La Mecánica incluye dos partes: 1) la Cinemática, que estudia los movimientos que pueden adquirir los cuerpos y 2) la Dinámica, que estudia la relación causa-efecto, es decir, las interacciones (causas) que actúan sobre un sistema físico con los movimientos que estas le producen (efectos). Para abordarlo con seguridad de éxito es imprescindible recordar previamente el lenguaje, simbólico y verbal, con el que vamos a manejarnos y entendernos, es decir, recordar algunos conceptos matemáticos, ya estudiados en Bachillerato, que son básicos para entender apropiadamente lo que vamos a ir presentando a lo largo de la lección.

Aunque el estudio completo de los sistemas reales es muy complejo por la multitud de factores que habría que tener en cuenta, se pueden hacer ciertas hipótesis, simplificaciones, aproximaciones… que permiten abordar aspectos parciales del problema. Así, la Dinámica la empezamos estudiando la hipótesis de una sola partícula, la cual es muy útil porque el estudio de un sistema de muchas partículas (sólidos rígidos, sólidos deformables, líquidos, gases, plasmas, etc.), sistemas mucho más complejos, puede simplificarse enormemente bajo ciertas hipótesis, considerándolo como si fuera una sola partícula situada en el centro de masas del sistema.

A partir del modelo “fuerza” (inventado para cuantificar las interacciones conocidas en la naturaleza) y definiendo ciertas magnitudes útiles (momento lineal, momento angular, energía, etc.), se establecen unos principios generales que son aplicables a cualquier circunstancia, pudiendo deducir consecuencias concretas cuando se aplican a situaciones más particulares (gravitatorias, electromagnéticas, cuánticas, etc.). Un principio de conservación es tan férreo que se asume, se busca, y si algún proceso “parece” no verificarlo, no se rechaza el principio pensando que falla sino que se busca la “pieza” que se ha olvidado tener en cuenta.


Índice de los contenidos de la lección

Magnitudes, unidades y repaso de algunos conceptos matemáticos básicos para la física …………………………. 1 Operadores con vectores. Interpretación geométrica y expresión analítica ………………………………………. 3 Derivada de una función e interpretación geométrica. Derivada de un vector respecto de un escalar …………... 9 Integral de una función e interpretación geométrica ……………………………………………………………… 11

Concepto de campo. Campos escalares y vectoriales ……………………………………………………………….. 12 Representación de campos escalares y vectoriales ……………………………………………………………….. 15

Repaso de algunos conceptos básicos en mecánica …………………………………………………………………. 18 Momento lineal y su conservación. Leyes de Newton ………………………………………………………………. 24

Caracterización y ejemplos-tipo de fuerza ………………………………………………………………………… 28 Momento angular y su conservación ……….……………………………………………………………………… 32 Trabajo, energía y conservación de la energía. Fuerzas conservativas ……………………………………………… 35 Diferentes modos de caracterizar un campo vectorial conservativo. Circulación de un campo vectorial ………….. 49 Análisis de curvas de energía potencial (problema unidimensional) ………………………………………………... 51 La interacción gravitatoria como ejemplo para aplicación de las leyes de Newton y principios de conservación …. 62 Sistemas de muchas partículas. Relaciones dinámicas y energéticas ……………………………………………….. 69

Principios de conservación para sistemas de partículas…………………………………………………………… 72 Colisiones …………………………………………………………………………………………………………. 75

Anexo A. Sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y esféricas ……………………………………………. 76 Anexo B. Movimiento de una partícula en un plano bajo una fuerza (problema bidimensional) ………………….. 82


Cuando hayas estudiado y trabajado esta lección, debes ser capaz de abordar los puntos señalados a continuación (si no es así, habrá

que insistir más en el estudio):

• Conocer, o saber deducir, las dimensiones y unidades de magnitudes físicas

• Saber expresar con rigor las magnitudes escalares y las vectoriales

• Saber derivar, integrar y operar con vectores

• Saber representar campos escalares y campos vectoriales

• Saber distinguir entre los conceptos “constante” y “uniforme”

• Saber distinguir entre un SR inercial y no inercial

• Saber aplicar las leyes de Newton a diferentes problemas que se propongan para resolver el movimiento de “la partícula”

• Saber razonar, aplicando los principios de conservación, si el momento lineal, el momento angular, o la energía se conservan o

no en los diferentes problemas que se propongan

• Tener claro qué significa que una fuerza (o un campo de fuerzas) sea conservativo, qué consecuencias tiene, y las diferentes

formas de expresar esa propiedad; ello implica saber trabajar con el concepto gradiente, trabajo y variación de energía potencial

• Saber aplicar los diferentes principios de conservación para resolver diferentes problemas que se propongan

• Dada una curva de energía potencial, saber identificar cualitativamente los puntos de equilibrio estable/inestable, los puntos de

retorno, los intervalos de posible movimiento y qué tipo de movimiento, etc., tiene “la partícula”

• Dada una función energía potencial saber calcular la fuerza (y dada la función de la fuerza saber calcular la función energía

potencial asociada), los puntos de equilibrio estable/inestable, los puntos de retorno, etc., que tiene “la partícula”

• Saber resolver problemas de choques en una y dos dimensiones sabiendo qué puede aplicarse dependiendo del tipo de choque

1


Refrescando conceptos: Magnitudes, unidades y algunos otros conceptos

matemáticos básicos para la física Magnitud física: “propiedad” o “cualidad” física que puede medirse y a la que, como resultado de la

medición, se asigna valores.

Tipos de magnitudes físicas: escalares y vectoriales

• Magnitudes escalares → el resultado de la medición es un número (un escalar) y se expresa así:

magnitud (o símbolo que la representa) = un número con sus unidades Ejemplo: m = 10 kg

Ejemplos de magnitudes de este tipo: la longitud, la masa, el volumen, la intensidad de corriente, el

voltaje, la presión, el tiempo, etc.

• Magnitudes vectoriales → el resultado de la medición se expresa mediante un vector:

magnitud vectorial (o símbolo de vector que la representa) = un vector con sus unidades

Nota: las unidades serán las del SI de unidades (ver documento anexo) con sus prefijos para cuando sea necesario expresar valores muy grandes o muy

pequeños, por ejemplo, nano, micro, centi, mili, deci, kilo, mega, etc.

Por tanto, trabajar en física con magnitudes escalares se reduce a operar con escalares y trabajar

con magnitudes vectoriales se reduce a operar con vectores.

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Un vector queda definido por: el módulo, la dirección y el sentido. A la hora de expresarlo

analíticamente se hace en un sistema de coordenadas concreto. Supongamos que el vector es a y que el

sistema de coordenadas elegido es el sistema cartesiano ⟹ ( , , )x y z x y za a a a a i a j a k

= = + + ,

donde , ,x y za a a son las componentes cartesianas del vector según los ejes X, Y, Z respectivamente, y

, ,i j k

son los vectores unitarios definidos a lo largo de esos ejes.

El módulo del vector es: 2 2 2x y za a a a

= + + . Si 1a = ⟹ a es un vector unitario.

Date cuenta que ¡el módulo de un vector es siempre positivo! Así, si, por ejemplo, 10a i

= − ¿cómo

debe interpretarse? Respuesta: que a es un vector de módulo 10 (unidades), su dirección es la del eje X

pero apunta (tiene su sentido) según el eje X negativo ( i

− ).

Nota importante: dependiendo del libro que se consulte, o del gusto/hábito del profesor, uno puede

encontrarse que a se ha expresado en cartesianas como: x x y y z za a u a u a u= + +

. Simplemente es que a

los vectores unitarios , ,i j k

se les ha denominado , ,x y zu u u

respectivamente, es decir, vectores

unitarios a lo largo de los ejes X, Y y Z positivos ( x y zi u ; j u ; k u≡ ≡ ≡

). Debemos acostumbrarnos a

entender y usar cualquiera de los dos tipos de expresión del vector. La mía suele ser la segunda.

3


Operaciones con vectores: interpretación geométrica y su expresión analítica Suma de vectores: dados dos vectores, a y b

, su suma puede obtenerse gráficamente

Expresión analítica en cartesianas del resultado de la suma a + b

:

( ) ( )x y z x y z x x y y z za b a i a j a k b i b j b k (a b )i (a b ) j (a b )k+ = + + + + + = + + + + +

Resta de vectores: equivale a sumar el vector opuesto del que se quiere restar

Expresión analítica en cartesianas de la resta a - b

:

( ) ( )x y z x y z x x y y z za b a i a j a k b i b j b k (a b )i (a b ) j (a b )k− = + + − + + = − + − + −

4


a

O H

Propiedades:

1.- conmutativa a b b a+ = +

2.- asociativa a b c (a b) c a (b c)+ + = + + = + +

Producto escalar de dos vectores: a b

. El resultado de la operación es un escalar obtenido como

a b a b cos= a

Interpretación geométrica: el producto escalar de dos vectores representa la

proyección de uno de los vectores en la dirección del otro multiplicado por el módulo

del otro vector. Efectivamente:

* la proyección de a en la dirección del vector b

es OH y OH a cos= a

* la proyección de b

en la dirección del vector a es OM y OM b cos= a

a

a

O

H

M

a b a b cos OH b OM a= a = =

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Aplicación: La proyección de un vector a en una determinada dirección puede obtenerse como el

producto escalar del vector a y un vector unitario u en la dirección en la que se desea proyectarlo. Por

tanto, si la proyección de a en la dirección de u es OH ⇒ OH a cos a u= a =

Del mismo modo, todo vector a puede expresarse como a a u= donde u es un vector unitario en la

dirección de a .

Expresión analítica en cartesianas del producto escalar de dos vectores: a b

( ) ( )x y z x y z x x y y z za b a i a j a k b i b j b k a b a b a b= + + + + = + +

De forma inmediata se deduce que si u representa, por ejemplo, el vector unitario i

⇒ ( )x y z xa ia u a j ai a a k i= = + + =

, es decir, la proyección de a en la dirección del eje X nos da ax

que es la componente x del vector a . De igual forma, las componentes ay y az se obtienen como la

proyección de a en las direcciones de los ejes Y y Z respectivamente, es decir, como los productos

escalares ya j a=

y za k a=

.

Propiedades del producto escalar

1.- Conmutativa: a b b a=

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2.- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar: (a b) ( a) b a ( b)λ = λ = λ

3.- Distributiva respecto de la suma: a (b c) a b a c+ = +

4.- ¿Tendría sentido hablar de propiedad asociativa para el producto escalar?, es decir,

?a (b c) (a b) c=

. Si has respondido ¡NO! ; si no has respondido todavía ⇒ un poco más.

Producto vectorial de dos vectores: a b×

(también se expresa a b∧

). El resultado del producto

vectorial de dos vectores a y b

es otro vector, c , tal que c a b= ×

. Como vector que es, su módulo se

obtiene como c a b a b sen= × = a

, siendo a el ángulo formado por a y b

; su dirección es

perpendicular al plano formado por a y b

; su sentido es el del sacacorchos

que gira por el camino más corto del primer vector (el que aparece primero en

la expresión a × b

) al segundo.

Interpretación geométrica: el módulo del producto vectorial de dos vectores representa el área del

paralelogramo que definen. Efectivamente:

Área del paralelogramo: “base” por “altura” ⇒

h

S a h a b sen a b= ⋅ = = a = ×

base altura

a

a h

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Aplicación: vector superficie. A una superficie S se le asocia un vector, vector superficie

S , cuyo

módulo es el valor del área y su dirección y sentido es perpendicular a la propia superficie. Cuando la

superficie tiene dimensiones muy muy pequeñas desde el punto de vista matemático, se trata de una

superficie infinitesimal, o superficie elemental, y vendrá representada por ds .

Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesiano, los vectores superficie de superficies elementales

en los planos XY, YZ y XZ son respectivamente:

1 zds dxdyu=

; 2 xds dydzu=

; 3 yds dzdxu=

La expresión analítica en cartesianas del producto vectorial de dos vectores puede obtenerse planteando

el siguiente determinante:

x y z y z y z z x x z x y y x

x y z

i j ka b a a a (a b b a )i (a b a b ) j (a b a b )k

b b b

× = = − + − + −

X Z

Y

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Propiedades de la operación producto vectorial

1.- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar: (a b) ( a) b a ( b)λ × = λ × = × λ

2.- Distributiva respecto de la suma: a (b c) a b a c× + = × + ×

3.- No cumple la propiedad conmutativa: a b b a ; a b b a× ≠ × × = − ×

4.- No cumple la propiedad asociativa: a (b c) (a b) c× × ≠ × ×

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Derivada de un vector respecto de un escalar

Sea un vector a expresado en cartesianas ⇒ = + +x x y y z za a u a u a u . Las componentes del vector, ax, ay

y az, no necesariamente son números sino que pueden ser funciones de un parámetro escalar s. Por

ejemplo, 2x y za 2t u 3u (t 1)u= + + +

es un vector cuyas componentes ax y az dependen del parámetro t

(en este caso t ≡ s, que puede ser el tiempo o cualquier otro parámetro al que se ha denominado t). La

derivada de dicho vector respecto del escalar s es: = + +yx zx y z

dada dada u u uds ds ds ds

.

Por tanto, derivar el vector con respecto al escalar s, es derivar cada una de las componentes del

vector con respecto a dicho escalar. Para nuestro ejemplo: x y zda da 4tu 0u 1uds dt

≡ = + +

Reglas para cuando derivemos expresiones relacionadas con operaciones con vectores

Para producto escalar de dos vectores Para producto vectorial de dos vectores

d(a b) da dbb ads ds ds

= +

×= × + ×

d(a b) da dbb ads ds ds

Observad que se mantiene el símbolo de la operación que se esté realizando con los vectores (• ó ×)

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Fuente: https://www.geogebra.org/m/TMScpKxu

Interpretación geométrica: Si f es una función de la variable x ⇒ f x

xd ( )

d (a veces se escribe también

como f´(x)) en un punto, representa el valor de la pendiente de la función f en dicho punto, es decir, el

valor de la tangente a la curva f (x) en dicho punto. Así, la derivada de la función (curva) de la figura

en el punto x = a corresponde a la línea azul.

Tabla de derivadas para repaso → por ejemplo, en

http://rdamanthys.es.tl/Tabla-de-derivadas.htm

https://www.geogebra.org/m/TMScpKxu

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Integral definida de una función f(x)

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida de f(x) en ese intervalo de valores se

representa por f x xb

a( )d∫

Interpretación geométrica: la integral de f(x) representa el área limitada por la curva f(x), el eje de la

variable de integración (la variable x en este caso) y las rectas verticales x = a y x = b.

Integrales inmediatas para repaso → por ejemplo en http://www.vadenumeros.es/segundo/tabla-de-

integrales-inmediatas.htm

Fuente: http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

http://www.vadenumeros.es/segundo/tabla-de-integrales-inmediatas.htm

http://www.vadenumeros.es/segundo/tabla-de-integrales-inmediatas.htm

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

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Vamos a empezar a asociar lo que sabemos de magnitudes, escalares y vectores….

con algún concepto algo más nuevo, al que volveremos sobre él más adelante pero que no

olvidaremos porque va a estar presente a lo largo de las dos asignaturas de Física.

Concepto de campo: Región del espacio en la que en cada punto de la región considerada puede

asignarse un valor de una cierta magnitud física.

• Si la magnitud es escalar → campo escalar (∀punto de la región tiene asignado un valor escalar)

• Si la magnitud es vectorial → campo vectorial (∀punto de la región tiene asignado un vector con

su módulo, dirección y sentido)

Posibilidades:

• Campo (escalar o vectorial) uniforme: la magnitud tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin

embargo, el valor podría variar en el tiempo siempre que varíe igual en todos los puntos, y a la vez.

• Campo (escalar o vectorial) constante: si el valor de la magnitud en cada punto no varía en el

tiempo. Sin embargo, el valor de la magnitud podría ser distinto entre unos puntos y otros.

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Conclusión importante: el concepto constante/no constante se refiere a la variación temporal; el

concepto uniforme/no uniforme se refiere a la variación espacial en un instante dado. Echemos un poco de imaginación para ver cómo surge de forma natural el abstracto concepto de campo

vectorial.

Imaginemos la Tierra y un cuerpo de masa m (esfera y bola azul en el

dibujo respectivamente). Si m se encuentra en un punto de la superficie,

la fuerza gravitatoria F que actúa sobre m tiene un valor y la pintamos

con un vector dirigido hacia el centro de la Tierra. En otro punto de la

superficie la fuerza la pintamos con otro vector dirigido desde ese punto

hacia el centro de la Tierra, y así sucesivamente para los distintos

puntos de la superficie. Si ahora vamos

colocando a m en diferentes puntos por

encima de la superficie, la fuerza gravitatoria la vamos representando en esos puntos

por vectores de valores distintos (dependiendo de la distancia de m al centro de la

Tierra) pero todos ellos dirigidos hacia el centro. Resultado: si pudiéramos hacer una

foto, veríamos todo el espacio del entorno terrestre lleno de vectores. ¿Y qué es lo que

hemos hecho?: asignar una magnitud vectorial (el valor de la fuerza gravitatoria, en

dirección radial y sentido hacia el centro) a cada punto de la región.

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Conclusión: hemos construido mentalmente con todos los puntos de esa región un campo vectorial.

En este caso, como la magnitud a representar es una fuerza ⇒ es un campo de fuerzas; si representara una velocidad

⇒ sería un campo de velocidades, y así sucesivamente.

Y entendido en qué consiste un campo vectorial, un campo escalar también es fácil de imaginárselo porque la única

diferencia con el vectorial es que en cada punto de ese hipotético espacio se asigna, en lugar de la magnitud

vectorial con su vector correspondiente, una magnitud escalar con su valor correspondiente, es decir, una cantidad

escalar, por ejemplo, la temperatura, la presión, la altura, etc. Así se hablará de un campo de temperaturas, un campo

de presiones, etc.

Algunos ejemplos para entender mejor el significado de constante, uniforme y las distintas posibilidades:

• Campo vectorial uniforme y constante: E

en un condensador planoparalelo cargado. Sin embargo, mientras se está cargando, o descargando, la carga

está cambiando en el tiempo ⇒ E

será uniforme pero no constante.

• Campo escalar uniforme y constante: un cuerpo en equilibrio térmico y aislado. Todos los puntos del cuerpo tienen igual temperatura.

• Campo vectorial no uniforme y no constante: campo de velocidades del agua en un río. Distintos puntos tienen distintas velocidades, y cambiantes.

• Campo escalar no uniforme y no constante: la presión atmosférica en una cierta región. La presión varía con la altura y es una magnitud que varía con

el tiempo (dependiendo de las condiciones climatológicas).

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Y ¿cómo nos vamos a manejar gráficamente con estos campos? Con los campos escalares mediante

superficies equiescalares, y con los vectoriales mediante líneas de campo. Y de esta representación

gráfica se va a poder obtener información relevante sobre cómo es el campo del que se trate.

Sea el campo escalar φ (x,y,z), que simplemente representa que φ es la función con la que en cada punto

del espacio, de coordenadas x, y, y z, se obtiene el valor que toma el escalar en ese punto.

Por ejemplo, si φ=2x+3 y está representando un campo de temperaturas ⇒ en el punto P(1,2,3) φ =2.1+3.2 = 8 ºC

∗ un campo escalar, φ (x,y,z) → por superficies equiescalares, que son el lugar geométrico de puntos

que tienen el mismo valor de la magnitud escalar φ que estemos representando.

Si se representan en un plano pasan a ser líneas o curvas equiescalares Algunos ejemplos:

1) isóbaras (curvas que unen puntos de igual presión atmosférica) en los

mapas del tiempo

2) curvas de nivel en un mapa geográfico

3) superficies de igual potencial eléctrico (equipotenciales) creadas por cargas eléctricas

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Sea un campo vectorial genérico, F(r)

o F(x,y,z)

, que simplemente representa que F

es la función con

la que en cada punto del espacio, se obtiene el valor que toma el vector en ese punto. Por ejemplo, si el

campo vectorial es un campo de fuerzas / 2 8F(x,y,z) xi zj= +

⇒ en el punto P(1,3,0) la fuerza vale

1 3 0 2F( , , ) i=

N, es decir, es un vector de módulo 2 N y está dirigida según el eje X positivo.

∗ un campo vectorial, F(r)

→ líneas de campo, que son líneas dibujadas de forma que el vector

desplazamiento dr a lo largo de la línea, el cual es tangente en cada punto a la línea, es paralelo al

vector campo F(r)

en todo punto, es decir, el campo vectorial en un punto es un vector que es tangente

a la línea de campo en dicho punto. Eso que hemos escrito, matemáticamente se expresa como: si F(r)

//dr⇒ F(r) K dr=

donde K es la constante de proporcionalidad entre los vectores F(r)

y dr para

que sean paralelos.

¿Cómo diferenciar el valor del campo vectorial en cada punto?: con lo que llamamos intensidad del

campo. Coincide con el número de líneas de campo que atraviesan a una superficie unidad colocada

perpendicularmente en ese punto ⇒ NF Intensidad del campoS

= =

.

línea de campo

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Por tanto, pintando un conjunto de líneas de campo, la densidad de

líneas nos indica dónde el campo vectorial tiene mayor intensidad.

Según el dibujo, 1 21 2

1 2

N NF ; F ;S S

= =

y como 1 2 1 2 1 2N N y S S F F= < ⇒ >

• A mayor densidad de líneas, líneas “más juntas”, mayor valor de la intensidad del campo.

Trabaja sobre esto: 1.- Piensa qué significaría que dos superficies equiescalares, o dos curvas equiescalares, llegaran a cortarse.

2.- Piensa qué significaría que dos líneas de campo llegaran a cortarse.

3.- ¿Cómo representarías gráficamente un campo vectorial, uniforme según eje X y de intensidad creciente según eje Y?

4.- ¿Cómo interpretas que un conjunto de curvas de nivel anidadas estén más próximas, más juntas, en unas partes que en otras?

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Recordemos también algunos conceptos de Mecánica • Partícula libre → la que no está sometida a ninguna interacción. Realmente no existe, pues sería

necesario que estuviera aislada, pero puede considerarse libre si:

a) está a distancia muy grande de otros objetos tal que las interacciones con ella son despreciables

b) no está a distancia muy grande pero la interacción neta sobre ella es nula.

• Cómo posicionar a la partícula en un sistema de coordenadas. Supongamos que el sistema es el

cartesiano (veremos otros sistemas de coordenadas más adelante (ver Anexo A)) y que estamos en

un plano, el XY, aunque el concepto que subyace es totalmente generalizable a 3D. En cada instante

t la partícula la tendremos localizada mediante el vector de posición r , que es el vector dirigido

desde el origen O del sistema de coordenadas a la posición que ocupa la partícula en el instante t.

Así, en t1 el vector de posición es 1r

; en t2 el vector de posición es 2r , y así sucesivamente. Si unimos

los extremos (las puntas de las flechas) de todos los vectores de posición que va teniendo la partícula

a lo largo del tiempo en su movimiento, se obtiene la curva azul (parte derecha de la figura que

sigue) que constituye la curva r(t) , es decir, la curva que representa la trayectoria seguida.

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Descomponer la curva r(t) en el plano XY es fácil si recordamos cómo se expresa un vector en

cartesianas. En el caso nos ocupa, es la combinación de: a) la componente x, que se calcula como

proyección del vector r(t) en el eje X, y b) la componente y que se calcula con la proyección de r(t) en

el eje Y, es decir, x yr(t) x(t)u y(t)u= + donde xx(t) r(t) u=

e yy(t) r(t) u=

.

• Otras magnitudes que completan la descripción del movimiento de la partícula.

Vector velocidad en instante t: dr(t)v

dt=

. Si recordamos que la derivada de una función en un

punto es la tangente a la curva en dicho punto y que la curva r(t) es la trayectoria ⇒ la velocidad v

de la partícula es siempre tangente a la trayectoria en cada punto.

O

t1 Y

X

t2

x(t)

y(t)

X

Y

r

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Vector aceleración en instante t: dv(t)a

dt=

, o lo que es lo mismo 2

2

dv(t) d dr(t) d r(t)adt dt dt dt

= = =

• Sistema de referencia inercial → sistema en reposo o que se traslada respecto de otro con

movimiento uniforme. Y cuando decimos sistema de referencia, SR, nos tenemos que imaginar un

marco de acción, un escenario, donde va a tener o está teniendo lugar el fenómeno físico a analizar.

Si el “escenario” constituye un SR inercial ⇒ su V cte=

, lo que implica que no cambia ni el

módulo, ni la dirección, ni el sentido de ese vector velocidad. Por tanto,

a) dos observadores inerciales (observador inercial = observador que ve un fenómeno desde un SR

inercial) pueden relacionar las medidas que cada uno hace en su SR. Si V << c ⇒

transformaciones de Galileo; si V ∼ c ⇒ transformaciones de Lorentz

b) dos SR inerciales no pueden tener un movimiento relativo de rotación (la rotación implica ya

una aceleración, lo que implica que V cte≠

).

• Las leyes de Newton son las leyes básicas que rigen la Dinámica; relacionan la causa (descrita por el

concepto de fuerza con el que se cuantifica la interacción) con el efecto o consecuencia (el

movimiento que produce en el cuerpo).

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• Momento lineal (o cantidad de movimiento) → =p mv . Da más información que sólo v . En

función de esta magnitud, el Principio de inercia quedaría enunciado como: toda partícula libre se

mueve con =p cte .

• Momento angular (respecto de un punto O) → L r p r mv= × = ×

. Da más información sobre el

movimiento de giro de la partícula alrededor de dicho punto.

• Momento mecánico de una fuerza respecto de un punto O → τ = ×r F

. Por ser el producto

vectorial de dos vectores ⇒ τ ⊥ al plano formado por r y F

.

¿Recuerdas qué efecto resulta de una fuerza que ejerce un momento

mecánico?

• Principio de superposición. Si existen varias interacciones actuando sobre una partícula, el efecto

resultante sobre la partícula es la suma (superposición) de los efectos individuales.

• Interacciones básicas en los sistemas de partículas. El concepto de partícula colocada en un punto

es una entelequia pero permite modelizar las interacciones y avanzar en el estudio de problemas

O •

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reales y más complejos como es la interacción entre cuerpos extensos, formados por “muchas

partículas”, lo que requiere pasar de una concepción discreta a la continua. Las interacciones

fundamentales en la naturaleza que conocemos son:

La gravitatoria → la que tiene lugar entre masas. Es siempre atractiva y débil comparada con el

resto de interacciones a distancias atómicas por eso es la observable a distancias astronómicas con

cuerpos muy masivos: estrellas, planetas, etc.

La electromagnética → la que tiene lugar entre cargas (cuerpos cargados) ya estén en reposo o

moviéndose. Es atractiva o repulsiva y también tiene alcance infinito como la gravitatoria pero es

mucho más intensa que esta.

La nuclear fuerte → encargada de mantener unidos neutrones y protones en el interior del núcleo

por lo que es de corto alcance, pero mucho más intensa que la electromagnética a esas distancias

nucleares.

La nuclear débil → la que entra en juego en los procesos de desintegración radiactiva tipo β, que

surge en la desintegración de partículas y núcleos atómicos. Es de muy corto alcance (menor que

la nuclear fuerte) y menos intensa que esta.

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En la asignatura trabajaremos con las dos primeras: la gravitatoria y la electromagnética; aunque son

de naturaleza diferente tienen características comunes.

Por consiguiente, si el problema que tenemos que manejar está constituido por un conjunto de

“partículas” o “sistema de partículas”, las interacciones a tener en cuenta serán: 1) las que se ejercen

entre individuos del propio sistema (son las que denominamos como “fuerzas internas” y 2) las que

resultan de su interacción con el exterior (son las que llamamos “fuerzas externas”). Si con el

exterior no existe interacción ⇒ el sistema se dice que es un sistema aislado.

En cualquier caso, para tratar un sistema de partículas debemos partir de lo más sencillo: saber cómo

se comporta UNA PARTÍCULA sometida a interacciones, es decir, lo que conocemos como

Dinámica de la partícula. Y cuando decimos “partícula” debemos pensar que con ese concepto

podemos estar representando todo un cuerpo de masa m localizado en un punto del espacio.

Estudiada una partícula, el estudio de un sistema de partículas se ve enormemente simplificado, con la

definición de un Centro de Masas del sistema.

24


Momento lineal y su conservación. Leyes de Newton El principio de conservación del momento lineal (basado en resultados de experimentos con choques)

dice: el momento lineal de un sistema de partículas que están sujetas sólo a interacción mutua (⇒

aislado) se conserva, es decir, =totalp cte

. Vamos a ver que a partir de él pueden deducirse las tres leyes

de Newton.

Sea un sistema aislado formado por dos partículas1 que describen, a modo de ejemplo, las trayectorias

del dibujo, donde tales trayectorias son consecuencia de la interacción mutua existente entre ambas. Se

han señalado las velocidades de cada una en dos instantes de tiempo distintos t y t´. Planteemos el

momento lineal del conjunto de partículas en esos dos instantes.

En el instante t → 1 2 1 1 2 2p p p m v m v= + = +

En el instante t´ → 1 2 1 1 2 2p´ p´ p´ m v´ m v´= + = +

Según el principio de conservación que acaba de enunciarse,

total en t total en t´ p p=

1 partícula: cuerpo, en realidad, extenso, pero considerado como puntual

t

t

t´

t´

25


Es ampliable a cualquier sistema de partículas que permanezca aislado, es decir, a sistemas de más de 2

partículas siempre que las partículas del sistema estén sujetas sólo a interacciones mutuas.

Si = ⇒ + =total en t total en t´ 1 2 1 2p p p p p ´+ p ´

⇒ cada partícula experimenta un cambio de momento

lineal en ese intervalo de tiempo, de forma que lo intercambian ⇒ = −1 2p p

∆ ∆ en ∆t = t´- t

⇒

¡y esto coincide con la definiciónde derivada que ya hemos visto en matemáticas! sin más que darsecuenta que t´=

1 2 1 1 2 2

t 0

t + t

t 0

p p p (t´) p (t) p (t´) p (t)lim limt t t t→ →

− −= − ⇒ = − ⇒

((((

∆

∆ ∆

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆

1 2dp dpdt dt

= −

Si se identifica que la variación temporal del momento lineal que ha sufrido cada partícula ha sido

consecuencia de la interacción con la otra partícula, y que esta interacción se cuantifica con la llamada

“fuerza” ⇒ =dpFdt

. Esta expresión es una expresión básica de la Dinámica → 2ª ley de Newton

La “fórmula” anterior se interpreta como sigue: “la fuerza neta actuante sobre un cuerpo (que es

la fuerza que resulta de la interacción con otro u otros cuerpos, los que sean), es igual a la

variación temporal de su momento lineal.

causa consecuencia

26


En el caso más general: = = = +dp d(mv) dm dvF v mdt dt dt dt

. Sólo si m = cte ⇒ reproducimos la segunda

ley de Newton en su forma más conocida, aunque no la más general: =F ma

.

Resolviendo la ecuación diferencial de la 2ª ley de Newton puede obtenerse, de forma más o menos

complicada, la velocidad y la posición del cuerpo sometido a esa fuerza, sin más que recordar que:

= ⇒ = = ⇒ = ⇒F dv drF ma a v r(t)m dt dt

⇒ queda resuelto el movimiento de la partícula ya que

r(t) es la curva a la que nos referíamos, de forma general, en la página 19 y es la que representalatrayectoria que sigue la partícula bajo la acción de esa fuerza.

El Principio de inercia enunciado con anterioridad es un caso particular de lo anterior ya que si solo se

tiene una partícula aislada (⇒libre) ⇒ =F 0

⇒ =p cte ⇒ =mv cte ⇒ =v cte → 1ª ley de Newton

Retomando la situación del sistema aislado con las dos partículas interactuando, se llega a la tercera ley

de Newton. Efectivamente, de = − ⇒ = −1(2) 2(1)1 2dp dp

dt dt F F

→ 3ª ley de Newton

27


Leamos mentalmente esta “fórmula”: La fuerza que soporta la partícula 1 (debido a la interacción que ejerce la

partícula 2 sobre ella) es igual y de sentido contrario a la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2, por

lo que ¡¡¡¡las fuerzas de acción y reacción son fuerzas que no pueden estar aplicadas ambas en el mismo cuerpo!!!!

Algunos comentarios sobre las leyes de Newton Sólo son válidas en SR inerciales, es decir, en SR que están en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, ya

que las definiciones de p , F

... están todas referenciadas a SR libres de interacción, es decir, sin aceleración y,

por tanto, inerciales.

Todos los SR inerciales son equivalentes por lo que las leyes se enuncian de la misma forma en todos.

Si un observador es un SR NO inercial (⇒ presenta algún tipo de aceleración) y desea resolver correctamente,

aplicando la 2ª ley de Newton, el problema del movimiento de un cuerpo que se mueve solidario con él ⇒ debe

tener en cuenta, además de todas las fuerzas que tendría en cuenta si su SR fuera inercial, la llamada fuerza de

inercia o ficticia: = −inercia SRF mA

, siendo SRA

la aceleración que tiene el SR NO inercial respecto del inercial.

La fuerza de inercia de un SR acelerado en rotación recibe el nombre especial de fuerza centrífuga.

El que se cumpla o no la tercera ley de Newton depende de la validez de la “interacción instantánea”. En la

Mecánica de Newton se suponen interacciones instantáneas (llamadas también “de acción a distancia”). Sin

embargo, en fenómenos electromagnéticos las interacciones se propagan con velocidad finita, menor o igual que

la de la luz en el vacío.

28


Cuando deja de ser válido suponer que las velocidades V << c, que es el dominio de la Mecánica de Newton, la

medida depende del estado de movimiento de los cuerpos ⇒ debe usarse la Mecánica Relativista de Einstein.

En la medida de lo muy pequeño, el instrumento perturba la propia medida a realizar porque no es posible

diseñar aparatos con precisiones tan pequeñas como se desee. Entonces entra en juego la Mecánica Cuántica.

Caracterización y ejemplos-tipo de fuerzas A la hora de aplicar la ecuación =F ma

para resolver el movimiento de un cuerpo, nos encontramos

con alguno de los siguientes tipos de fuerzas, o nos suenan ciertos nombres de fuerzas.

1. “Fuerza constante”. Su valor no depende ni de la posición ni de la velocidad del cuerpo, y su

dirección no cambia, es decir, mantiene módulo, dirección y sentido. Un ejemplo es el problema

típico del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza externa aplicada constante; otro sería la

fuerza de rozamiento que surge por el contacto entre sólidos en el régimen de movimiento.

Para reposo (equilibrio estático) ⇒

ap roz sF F 0+ =

y roz s roz lim s sF F N≤ ≅ m

Para movimiento ⇒ ap roz dF F ma+ =

y roz d dF N= m roz lim sF ⇒ d s m ≤ m

N

Froz

Fap

mg

29


2. Fuerza que depende explícitamente del tiempo, F f (t)=

Con fuerzas de este tipo y del anterior, resolver el movimiento del cuerpo, es decir, resolver la 2ª ley

de Newton, es relativamente fácil: integrar a(t) para obtener la velocidad, e integrar v(t) para

obtener la posición r(t) ∀t, es decir, obtener la trayectoria.

3. Fuerza que depende de la posición, F f (r)=

. Pueden ser conservativas o no (ya veremos lo que

es ese concepto un poco más adelante). Ejemplos de estas fuerzas son:

* la fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 → 1 2 1 2r2 3

m m m mF G u G rr r

= − = −

donde rrur

=

* la fuerza eléctrica entre dos cargas q1 y q2 → 1 2 1 2r2 3

q q q qF K u K rr r

= − = −

donde rrur

=

* la fuerza elástica o ley de Hook → F k x= −

(k es la constante elástica del muelle)

Aunque lo primero que nos venga a la mente cuando mencionamos la fuerza elástica sea el problema de un

cuerpo unido a un resorte, su campo de aplicación es mucho más amplio ya que este tipo de fuerza se usa, en

general, cuando se trabaja en problemas de oscilaciones pequeñas.

30


4. Fuerza que depende de la velocidad, F f (v)=

. Suelen ser fuerzas resistivas o disipativas.

Un ejemplo es la fuerza de rozamiento viscoso sólido-fluido; por ejemplo, la que experimenta el

paracaidista (sólido) en el aire (fluido) al realizar un salto.

De forma general, tienen la forma: R(v) = Av + Bv2, donde A y B son constantes que dependen del

fluido y de la forma del objeto que se mueve dentro de él. Dependiendo del fluido y del objeto,

existe una velocidad crítica para la que los dos términos de R(v) son comparables; y en la expresión

de R(v) será el primer término o el segundo el predominante dependiendo de esta velocidad. Por ello

a veces:

Si v < vcr ⇒ en R(v) predominará el primer término (término viscoso) ⇒ R(v) ≈Av

Si v > vcr ⇒ el segundo (término turbulento) ⇒ R(v) ≈Bv2.

Párate a pensar un poco y supón que estamos en el primer caso, R(v) ≈Av, ¿cómo interesa que sea

el valor de A para el caso del movimiento de un avión en el aire?¿ y de un paracaidista?

5. “Fuerza centrípeta”, tensiones, etc. No son fuerzas distintas a las anteriores que no caigan en

ninguno de los apartados. Tienen esos nombres en función del contexto en el que nos encontremos.

Por ejemplo, la fuerza centrípeta no es una fuerza con nombre propio que ejerza “nadie”, es

31


simplemente que la fuerza que se está ejerciendo sobre un cuerpo (que puede ser de tipo eléctrico,

gravitacional, tensional, etc.) tiene “carácter centrípeto”, es decir, está dirigida en todo momento

hacia el centro de curvatura de la trayectoria que sigue el cuerpo.

6. Fuerzas centrales. Como en el caso 5., es una propiedad que tienen algunas fuerzas. Se llaman así

las fuerzas que actúan según la línea que une el centro de fuerzas O

(donde está colocado quien ejerce la fuerza) y el cuerpo o partícula

sobre quien actúa la fuerza. Son de la forma: rF(r) F(r)( u )= ±

, donde

ru significa “vector unitario en la dirección del vector de posición r”

(vector de color negro, que va desde O al cuerpo), es decir, rrur

=

(vector de color verde). El signo

positivo será para fuerza repulsiva (vector de color azul) y el negativo para atractiva (vector de color

rojo). Son muy importantes en Física porque la fuerza gravitatoria y la eléctrica son de este tipo y,

como veremos más adelante, moverse bajo ellas tiene importantes consecuencias.

Nota: Aunque hemos dado una numeración, no representan conjuntos disjuntos, es decir, una fuerza concreta puede

caer en más de uno de los apartados señalados. Por ejemplo, una fuerza puede depender de la posición, ser central y

actuar con carácter centrípeto.

O

32


Momento angular y su conservación Definición de momento angular de la partícula respecto de un punto O → L r p r mv= × = ×

Dado que es un vector, por ser el resultado de un producto vectorial de vectores,

⇒ ⊥L

al plano formado por r y v .

Como, en general, r y v cambian con el tiempo, es decir, =r r(t) y

=v v(t) ⇒ =L L(t)

, es decir, puede cambiar con el tiempo en módulo,

dirección y sentido. Veamos lo que vale su variación temporal:

( )= × = × + × = × =dL d dr dpr p p r r Fdt dt dt dt

τ , donde L

y τ son referidos al mismo punto O.

Por tanto, a partir de la expresión encontrada, =dLdt

τ , ya se puede enunciar el principio de conservación

del L

: “Si = ⇒0 L = cte

τ ” y esto significa que en el tiempo L

mantiene: magnitud, dirección y

sentido.

Y ¿cuándo = 0

τ para que ocurra lo anterior? Es nulo bien cuando =F 0

(⇒partícula aislada o libre),

bien cuando, aun siendo ≠F 0

, la fuerza no ejerza ningún momento mecánico.

O

33


Consecuencias de la conservación del momento angular (si 0 L cte= ⇒ =

τ )

• como ⊥L

plano formado por r y v ∀t, y la dirección de L

no cambia ⇒ el plano determinado

por r y v que contiene la posición inicial de la partícula es fijo ⇒ el movimiento de la partícula

está contenido en un plano.

• se verifica la ley de las áreas: el radio vector (vector r ) barre áreas iguales en tiempos iguales

La figura representa una partícula moviéndose en sentido antihorario a lo largo de esa

trayectoria, r(t) . Se han señalado dos posiciones cualquiera muy próximas, las dadas por r y

r r+

∆ , siendo r∆ el vector desplazamiento (nótese que concuerda con suma gráfica de vectores).

Recordando que el producto vectorial de dos vectores representa el vector superficie asociado al

paralelogramo que definen los vectores que se multiplican vectorialmente, el área barrida por la

partícula entre esas dos posiciones es:

( )t 0 t 0

1 1 A 1 rA r r r r r li dm lim r 2 2

A 1 1 L r v ctedt 2t 2 2 mt→ →

= × + = × ⇒ = = ×× ⇒ = =

∆ ∆

∆ ∆∆ ∆ ∆

∆ ∆

Nota sobre notación: el símbolo ∆ aquí no significa “variación de” o “cambio de”, o “final menos inicial” sino que con él se

representa que ese algo es muy, muy pequeño desde el punto de vista matemático (dicho con rigor, que es algo infinitesimal) que

luego hacemos tender a cero para encontrar su límite y tener así el valor instantáneo. En este caso ha salido que vale lo mismo ∀t.

O

34


Notas importantes sobre el concepto L

: La conservación de L

es independiente de la conservación o no de p (y de la conservación o no de la energía

mecánica de la partícula que estudiaremos a continuación).

La expresión dLdt

=

τ es una relación vectorial. Puede ocurrir que sólo alguna de las componentes de τ

sea nula

⇒ sólo se conservará la correspondiente componente de L

. Por ejemplo, si se cumple

zz z

dL0 0 L ctedt

= ⇒ = ⇒ =τ .

Si la fuerza que actúa sobre la partícula es central ⇒ F

// r ⇒ 0 L cte= ⇒ =

τ ⇒ fácil recordar que:

i. se verifica la ley de las áreas

ii. el movimiento tiene lugar en un plano

35


Trabajo y conservación de la energía. Fuerzas conservativas y los diversos modos de expresarlo 1) Trabajo realizado por una fuerza (circulación)

Imaginemos una partícula que sigue una trayectoria r(t) como la curva pintada en la figura y dospuntos, 1 y 2, de la misma. Ya sabemos que moverse a lo largo de esa curva en un intervalo de tiempo dt equivale a recorrer un vector desplazamiento dr , que es tangente a la curva en cadapunto.

En cartesianas, la expresión completa de dr es: x y zdr dxu dyu dzu= + + , la cual se

reduce a xdxu , o a ydyu , o a zdz u si el recorrido es sólo a lo largo del eje X, o solo a lo largo del eje Y, o solo a lo largo del eje Z, respectivamente. Si el desplazamiento es sólo a lo largo de la dirección dada por ru entonces tendrá la expresión rdru . Las expresiones completas de dr en otros sistemas de coordenadas se encuentran en el Apéndice A.

Imaginemos que la partícula en todo su recorrido se ve sometida a una fuerza F

, que puede ser de cualquier naturaleza de las mencionadas previamente en la lección (gravitatoria, etc.). Además, la fuerza que experimenta la partícula puede no valer lo mismo en cada punto de la curva, es decir, puede ser no constante y depender de la posición.

El trabajo realizado por F

en el desplazamiento dr se define como: dW F dr = ⋅ ⇒

el trabajo total

realizado por F

a lo largo de esa trayectoria, desde el punto inicial 1 al punto final 2, es: 2

1W= F dr⋅∫

donde ¡es fundamental que no olvides que es un producto escalar de vectores!

F

dr

r

1 2

36


gF

2) Potencia: ritmo al que se realiza trabajo

⋅ ⋅= = = = ⋅

dW F dr F vdtP F vdt dt dt

, con F

la fuerza aplicada sobre la partícula y v su velocidad.

3) Energía. Todo fenómeno físico lleva consigo cambios, ya sea en su posición o/y en las propiedades

del cuerpo, debidos a que han actuado fuerzas (externas o internas). A la capacidad que posee el cuerpo

de alterar su estado se dice que posee una energía (externa, interna, química, calorífica....).

3.1 Energía cinética, la ligada al movimiento: = = ⋅21 1Ec mv mv v2 2

. Un resultado importante es:

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

2dv 1 d 1dW F dr F vdt m vdt m (v v)dt d mvdt 2 dt 2

⇒ = − − ==2 22 1 2 1

1 1W Ec Emv mv c2 2

Ec∆

Nota: Y aquí sí, el símbolo ∆ significa “cambio” o “final (2) menos inicial (1)”

Este resultado, =W Ec∆ , es totalmente general y no depende de la naturaleza de la fuerza que actúe,

ni del tipo de trayectoria seguida por la partícula desde el punto 1 al 2.

Consecuencia: Si F

⊥ dr ⇒ W = 0 ⇒ ∆ = ⇒ =Ec 0 v cte . Ejemplo:

37


3.2 Energía potencial y fuerzas conservativas. La energía potencial es la asociada al tipo de

campo de fuerzas que actúa sobre la partícula.

En el caso más general, el trabajo realizado por una fuerza definido en 1) depende de la trayectoria

seguida por el cuerpo. Pero si no es así, es decir, si el trabajo que realiza la fuerza F

no depende de la

trayectoria que ha seguido, se dice que la fuerza es conservativa y el campo de fuerzas asociado se dice

que es un campo de fuerzas conservativo. En ese caso, y sólo en ese caso, la fuerza F

deriva de un

campo escalar U(r) que le damos el nombre de energía potencial, U.

Y ahora vamos a hacer un inciso para estudiar un poco más en profundidad este tipo de campos, los conservativos,

debido a las importantes implicaciones que tienen. Y lo vamos a plantear desde un punto de vista completamente

general; visto esto volveremos al caso del campo de fuerzas F

con el que estábamos porque veremos que no es más

que un caso particular de ese caso general. En este estudio que iniciamos va a surgir un nuevo concepto, el de

gradiente de un campo (siempre de campo escalar). Da información de cómo varía el campo escalar según la

dirección en la que nos movamos en el espacio.

38


Supongamos un campo escalar (r)φ definido en cierta región

del espacio. Fijémonos en dos puntos, P y P´ muy próximos

(separados por el vector dr aunque estén muy separados en el

dibujo para clarificar). Podemos hacernos la pregunta ¿cuánto

ha cambiado el escalar φ al cambiar de punto (al pasar de P a

P´), es decir, cuánto vale dφ al movernos dr ?

Antes de presentar el desarrollo para contestar la pregunta

formulada, vamos a quitar el miedo a entrar en ese nuevo

concepto de gradiente. En realidad, el gradiente de un campo escalar es solo una generalización del concepto de

derivada en el espacio, cuando el campo escalar depende de más de una variable; en este caso, y si estamos en

cartesianas, las variables de las que puede depender el campo escalar son tres: x, y y z.

Veamos qué sabemos: Si una función f depende de una sola variable, pongamos x, la variación que experimenta f al

cambiar de un punto P, de coordenada x, a otro punto P´ muy próximo, de coordenada x+dx, lo podemos obtener

como: f xf x x

xd ( )d ( ) d

d= . Si nos damos cuenta es el “valor de la derivada de la función respecto de la variable de la

que depende” por “dx”; y dx no es más que la diferencia de coordenadas de P´ y P (x + dx - x = dx).

?

P

P´

39


Por otro lado, la lógica nos dice que si algo depende de varias cosas, el cambio que produce cada una de ellas en el

todo será sólo parcial y el total será adición de todas las contribuciones parciales.

Ahora esto lo llevamos a lenguaje matemático; lo primero es distinguir con símbolos cuándo va a significar derivada

total o cuándo parcial; total → u

dd

; parcial → u∂∂

donde u viene a representar simplemente la variable de la que se

trate (o x, o y, o t, etc.)

Ejemplo: Si 2 3

2 3 3 3 2 2 2f (x ) f (y ) ff (x,y,z) 2x y 2y 4xy ; 2x 6x y ; 0x x y y z∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⇒ = = = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ahora contestemos la pregunta planteada: queremos saber cuánto cambia el campo escalar

φ(x,y,z) al pasar de P a P´, puntos cuya separación es dr .

Para llegar de P a P´ proponemos el camino a trazos del dibujo:

el tramo azul supone moverse según X, el verde según Y, y el

malva según Z; los cambios de φ en cada una de estas direcciones

será un cambio parcial por lo que dφ, que es el total, será:

P

P´

?dr

X Y

Z

40


d

x y z x y z

z

r

x y

= u u u (dxu dyu dzu )x y z

d

grad dr du u u drx y

dxx

d dzz

y

zr

y∂φ∂

= + + =

∂φ ∂φ ∂φ+ + + + = ∂ ∂ ∂

∂φ ∂φ ∂φ= + + = ∂

φ

φ

∂

≡

φ∂

∂∇

∂

φ

φ

∂

∂

((((((

donde

≡∇

∂φ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂= + + = + + φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

φ ≡ ∇φ

operador vectorial

x y z

nab

x y z

la

u u u u u ux y z

grady z

x

((((

((((

y se le llama gradiente de φ.

Respuesta a la pregunta: d drφ ∇φ=

El gradiente sólo es aplicable a campos escalares pero el gradiente de un campo escalar es siempre

un vector, por tanto, con módulo, dirección y sentido en cada punto.

Significado físico del gradiente: ∇φ

∗ módulo de gradiente deφ. Teniendo en cuenta lo que es un producto escalar de vectores ⇒

d dr dr cosφ = ∇φ = ∇φ a

donde a es el ángulo entre ∇φ y dr

.

41


Si fijamos un valor de longitud dr y nos movemos a partir de un punto P esa longitud pero con

distintas orientaciones, es decir, con distintos ángulos a ⇒ la variación máxima de φ, ( )φ maxd , se

tendrá cuando a = 0 ⇒ ( )maxd dr drφ = ∇φ = ∇φ

⇒ max

ddrφ ∇φ =

⇒ el módulo del gradiente representa la variación máxima del escalar φ por

unidad de longitud.

∗ dirección y sentido de gradiente deφ. Son la dirección y sentido que corresponde a la variación

máxima del campo escalar, es decir, si nos movemos de un punto P a otro muy próximo una

longitud dr con distintas orientaciones a ⇒ la dirección de ∇φ

será la de la máxima variación del

escalar φ y el sentido el del crecimiento (o decrecimiento, según convenio) de φ.

Para una orientación cualquiera, a ≠ 0, sd cos udrφ= ∇φ a = ∇φ

y se llama derivada direccional, que

no es más que la proyección del gradiente en una dirección concreta, la dada por el vector unitario su .

Si nos fijamos un poco, vemos que el gradiente también puede definirse, y quizá os lo hayan hecho así,

42


como: “el vector cuyo módulo es la derivada direccional máxima y cuya dirección y sentido son los

de la misma”.

Ejemplo. La variación por unidad de longitud del escalar φ a lo largo de la dirección X, se obtiene

proyectando ∇φ

en esa dirección, y eso se obtiene haciendo el producto escalar de ambos vectores:

x y zx xu ux

uz

u ux y

∂φ ∂φ ∂φ= + + = ∂ ∂ ∂

φ∂φ

∇∂

Propiedad importante del gradiente de un campo escalar

∗ ∇φ ⊥ φ = cte

, es decir, el gradiente de un campo escalar siempre es perpendicular, en cada

punto, a φ = cte, que representa lo que hemos llamado superficies equiescalares.

Si las superficies equiescalares son esferas concéntricas ⇒ el gradiente lleva la dirección radial ¿te recuerda a algo?

43


Justificación:

Sean P y P´, puntos con vectores de posición r y r r dr′ = + ,

pertenecientes a la misma superficie equiescalar φ = cte.

Puesto que φ = ∇φ ⋅d dr

es un resultado general (independiente, además,

del sistema de coordenadas en el que se expresen ∇φ

y dr ), el dφ entre

los puntos P y P´ es nulo y si dφ = 0 ⇒ ∇φ ⊥ dr

Por otro lado, como dr pertenece (descansa, es tangente) a la superficie equiescalar φ = cte

⇒ cte∇φ ⊥ φ =

Veamos qué implicación importante tiene la propiedad

φ = ∇φ ⋅d dr

Lo vamos a ver planteando lo siguiente: supongamos que tenemos

definido un campo escalar φ y entre dos puntos muy próximos de

la curva que hemos pintado, P y P´, el campo presenta una

variación dφ (que no es más que la diferencia φ(P´) - φ(P)). Calculemos ahora el cambio total que

P´1

2

dφP

44


habido en φ cuando partimos del punto 1 y llegamos al punto 2 siguiendo la curva pintada. Ese cambio

total lo obtenemos “sumando” todos los cambios que va experimentando, tramito a tramito de la curva,

es decir, haciendo la integral 2 2

1 1d (2) (1d )rφ = −= φ φ∇φ∫ ∫

¿Y eso cómo lo interpretamos? → que independientemente de la curva que se hubiese pintado, el

resultado obtenido depende sólo del valor que toma el escalar φ en el punto final y en el punto inicial,

que es lo mismo que decir que es independiente de la trayectoria elegida.

Y aquí surge la oportunidad para conectar con lo que estábamos tratando en la página 37:

Comparemos esta expresión con la del trabajo de una fuerza 2

1W= F dr⋅∫

. Está claro que si F

fuera “el

gradiente de un campo escalar”, entonces el trabajo realizado por F

a lo largo de una trayectoria sería

independiente de la trayectoria elegida. Las fuerzas especiales que cumplen esto, que derivan de un

campo escalar, son las que llamamos fuerzas conservativas.

¿Y qué campo escalar les asociamos? → el campo escalar llamado energía potencial U, y que, por

convenio, elegimos el signo negativo, es decir, fuerza conservativa es aquella que tiene asociado el

campo escalar energía potencial U / F U= −∇

.

45


Nota: matemáticamente hablando, tan válido es elegir el signo + como el signo -, sin embargo, en Física nos quedamos con el

negativo porque así se reproduce la forma que se observa que responde la naturaleza: cuando un sistema físico se ve

perturbado y sale del equilibrio trata de encontrar la situación de energía potencial mínima.

Avancemos con este nuevo aspecto:

Si F U= −∇

⇒ aplicando d dr con U

F dr U dr dUφ=∇φ⋅ φ≡

⋅ = −∇ ⋅ = −

⇒ − −= ⋅ = = = −−∫ ∫2

12 1

2

1

W (U(r ) U(F d r ))r dU U

∆

Nota: Y aquí también el símbolo ∆ significa “cambio” o “final (2) menos inicial (1)”

Mientras que = 21Ec mv2

es independiente del tipo de fuerza que provoca el movimiento del cuerpo,

la energía potencial U(r) sí depende de la fuerza conservativa de la que venga. Por eso en 3.2

escribimos: “la energía potencial es la asociada al tipo de campo de fuerzas que actúa sobre la

partícula”. Algunos ejemplos:

Para fuerza gravitatoria y fuerza eléctrica: 1U(r)r

∝ ; y se llaman energía potencial gravitatoria

y energía potencial eléctrica, respectivamente.

Para fuerza de tipo elástico: 21F kx U(x) kx2

= − ⇒ =

; y se llama energía potencial elástica.

46


• Si a la función energía potencial U(r) le sumamos cualquier constante, vemos que U y U+cte tienen

asociada la misma fuerza F

ya que al hacer ∇U

y ∇ +(U cte)

da el mismo resultado. Esto se resuelve

eligiendo una referencia de energía potencial cero (bien en el ∞ o en un punto concreto 0r ) y

calculando la energía potencial en cualquier otro punto referida a esa referencia. Así es como se

puede hablar de energía potencial en un punto cualquiera r del espacio.

0 00r

r

r

rW F dr (U(r) U(r )) U (r) F dr= = −⋅ = ⋅− − →∫ ∫

tal que tomamos 0U(r ) 0=

Por ejemplo, con la fuerza elástica F kx= −

se ha obtenido:0 0

x x

0 x xU(x) U(x ) kx dx kxdx− = − − = =∫ ∫

2 20

1 k(x x )2

= − , con x0 posición de equilibrio. Tomando x0 = 0 y U(x0) = 0 ⇒ queda U(x) = kx2/2.

3.3 Energía mecánica, o total, de la partícula. Es la suma de la cinética y la potencial: Ec + U

Ya podemos enunciar el Principio de conservación de la energía mecánica: Si las fuerzas que actúan

sobre la partícula son conservativas (y si las no conservativas que actúan, si es que las hay, no realizan

trabajo) ⇒ la energía mecánica de la partícula se conserva.

47


Efectivamente, W Ec= ∆ siempre, y si las fuerzas actuantes son conservativas ⇒W U= −∆ ⇒

W Ec U Ec U 0= ∆ = −∆ ⇒ ∆ + ∆ = ⇒ m 2 1 mE 0 (Ec U) (Ec U) cte E cte∆ = + = + = ⇒ =⇒

• En el caso de actuar fuerzas no conservativas que sí realizan trabajo ¿qué ocurre? En

sistemas reales es fácil encontrar fuerzas no conservativas. Un ejemplo: la fuerza de rozamiento o

fuerza viscosa, oponiéndose siempre al movimiento relativo. Si es fuerza no conservativa ⇒ el trabajo 2

roz1F dr∫

sí depende de la trayectoria que se elija seguir. En ese caso, aunque actúen también fuerzas

conservativas, la energía mecánica Em no se conserva y el balance energético queda así:

total cons no cons no consW W W U W Ec= + = −∆ + = ∆ ⇒ 2 1 no cons 2 1(U U ) W Ec Ec− − + = −

⇒ 1 1 no cons 2 2Ec U W Ec U+ + = + ⇒ m1 no cons m2E W E+ = ⇒ cons=m noE W∆

El término no consW representa una transferencia de energía que, en general, es irreversible.

Como algún ejemplo de fuerzas no conservativas podemos citar las fuerzas de rozamiento y las

responsables del lanzamiento de un satélite para que pase de una órbita a otra diferente.

Por tanto, el trabajo realizado por estas fuerzas puede tener signo positivo o negativo.

48


Hemos repasado los principios de conservación en la Dinámica de la partícula: del momento lineal p ,

del momento angular L

y de la energía Em.

Importante: el cumplimiento o no de cada uno de ellos en un problema concreto depende de si se

cumple o no el condicionante asociado. Así,

∗ para conservación de p → no existe fuerza (entiéndase fuerza neta) actuando sobre la partícula

∗ para conservación de L

→ no existe momento mecánico de las fuerzas aun actuando fuerza

∗ para conservación de Em → las fuerzas son conservativas y las no conservativas, si las hay, no

realizan trabajo.

Importante: puede que se conserve sólo uno de ellos, que se conserven dos, o los tres

simultáneamente, es decir, funcionan de forma totalmente independiente.

49


Diferentes modos de caracterizar un campo conservativo. Circulación de un campo vectorial Este apartado está dedicado a resumir las formas equivalentes con las que se puede expresar que un

campo de fuerzas, o un campo vectorial si hablamos de forma más general, es un campo conservativo.

Recordamos las que hasta ahora hemos visto:

1) Cuando2

1F dr⋅∫

es independiente de la trayectoria que se siga para ir de 1 a 2

2) F

es campo de fuerzas conservativo ⇔ ∃ U(r) (campo escalar) / F U= −∇

De esta forma, [ ]2

1F dl U(2) U(1)⋅ = − −∫

Y añadimos otras dos:

Si la trayectoria a seguir es un camino C cerrado (partiendo del punto 1 se vuelve al mismo punto) ⇒ 1)

es equivalente a: C

F dl 0⋅ =∫

∀C

Nota sobre notación usada: poner dr o poner dl

es indistinto, puede usarse cualquiera de las dos; piénsalo un poco y verás que

quiere significar lo mismo: un vector desplazamiento elemental, tangente en todo punto a la trayectoria seguida. Por eso se han

usado ambas en las expresiones anteriores.

3) F

es campo de fuerzas conservativo ⇔ F 0 r∇× = ∀

(se verá más adelante, en Fund. Físicos II)

50


?¿Te atreverías a escribir la expresión que tiene en cartesianas eso tan abstracto como parece poner ∇×

F ¡¡Pues tienes todas las pistas que necesitas!! Busca en páginas 2, 7 y 40, piensa un poco y relaciona.

Demos un paso más para generalizar las expresiones de 1) a 4) anteriores a cualquier otro campo

vectorial que no sea un campo de fuerzas sino que sea, por ejemplo, un campo eléctrico, un campo

gravitatorio, o cualquier otro que nos inventemos. Si representamos por A(r)

ese posible campo ⇒ las

formas equivalentes de decir que A(r)

es un campo conservativo son:

1) 2

1A dr⋅∫

es independiente de la trayectoria que se siga para ir de 1 a 2

2) A(r)

es conservativo ⇔ ∃ campo escalar φ / A = ±∇φ

. De esta forma: [ ]2

1A dl (2) (1)⋅ = ± φ − φ∫

3) C

A dl 0⋅ =∫

∀C

4) A(r)

es conservativo ⇔ A 0 r∇× = ∀

En el caso de un campo vectorial genérico, a la integral 2

1A dr⋅∫

no se le llama trabajo sino

circulación del campo A

. O, lo que es lo mismo, el trabajo es la circulación de un campo defuerzas (fuerza gravitatoria, fuerza eléctrica, etc.); si no es un campo de fuerzas, no tiene más nombre que el de circulación. ¿Qué tipo de magnitud física es la circulación de un campo vectorial?

51


Análisis o diagramas de energía potencial (Problema unidimensional)El análisis energético puede ser de gran utilidad a la hora de resolver el problema del movimiento de

un cuerpo, es decir, de encontrar su trayectoria r(t) cuando se desconoce explícitamente F(t)

. Veamos

por qué decimos esto con el siguiente ejemplo:

Sea una partícula que sigue un movimiento rectilíneo bajo la acción de una fuerza que nos dicen que es conservativa.

Tomemos el eje X como dirección del movimiento → problema unidimensional

Veamos toda la información que podemos obtener de ¡¡¡tan simple enunciado!!!!

• Si el movimiento es rectilíneo en la dirección del eje X ⇒ xF F( u )= ±

, es decir, la fuerza tiene dirección según X

• Como la fuerza es conservativa ⇒ U / F U∃ = −∇

. Dos vectores, F

y U−∇

, son iguales si sus componentes son

iguales ⇒ zUF ;

yUF ;

xUF zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

• Como en este caso y zF F 0= = ⇒ U(r) U(x)=

pues U f(y)≠ y U f(z)≠ ⇒ xdU(x)F u

dx= −

(1)

• Como la fuerza es conservativa ⇒ la energía mecánica de la partícula, Em, se conserva

X Problema unidimensional

52


2

mK

21Ec U(x) mv U 1 dxE cte m U(x)2 dt

(x)2

= +=

+ = + =

⇒ 2

m1 dxE K m U(x)2 dt

+

= = (2)

⇒ 2dx 2(K U(x)) dx 2(K U(x))

dt m dt m− − = ⇒ =

⇒

dx dt 2(K U(x))

m

= ⇒− 0 0

x t

0x t

dx dt (t t )2(K U(x))

m

= = −−∫ ∫

Quedémonos solo con la siguiente idea de lo anterior: si conocemos la función U(x), podemos integrar

el término izquierdo de la última igualdad y obtener x(t) ⇒ la trayectoria de la partícula ⇒ resuelto

cuantitativamente el problema del movimiento de esa partícula.

Pero también, dada una curva de energía potencial, se puede hacer una descripción cualitativa de los

posibles movimientos que puede tener la partícula en este problema unidimensional, según sea el valor

que tome su energía mecánica Em, es decir, la constante K. Lo veremos a continuación.

Análisis del movimiento de la partícula a partir de la curva de energía potencial en un problema

unidimensional. Concepto de equilibrio.

Sigamos suponiendo una partícula con movimiento rectilíneo a lo largo del eje X bajo una fuerza

conservativa ⇒ se cumple (1) y (2). Supongamos que U(x) es la curva de la figura que sigue. En ella

53


vamos a ir trazando distintos valores de Em, y vamos a razonar los movimientos posibles que puede

tener la partícula para esa energía concreta.

Partimos con un primer valor de energía total Em, que llamamos E1. Se han señalado en la figura (con

las flechas), los valores que corresponden a la energía cinética y la potencial para ese punto x elegido.

Análisis para una energía total E1

La energía cinética para todo punto x es

1c xEE U( )= − . Como el valor de U en la

gráfica corresponde a la distancia vertical

desde el eje X a la curva U(x) ⇒ puede

comprobarse que 21 Ec mv < 0 x2

= ∀ , lo que

implica velocidades imaginarias y, por tanto,

sin significado físico en Mecánica Clásica

(aunque no descartables en Mecánica cuántica). Por tanto, si la partícula tiene la energía total E1, no es

posible ningún movimiento desde el punto de vista de la Mecánica Clásica.

Ec

E1U

U(x)

x

E1

54



Si descartamos los intervalos que

corresponden a velocidades imaginarias,

el movimiento puede ocurrir sólo en dos

regiones: entre las posiciones de los

intervalos [x1, x2] y [x3, x4], que son los

que corresponden a valores de Ec > 0.

Además, la partícula no puede “saltar” de

uno de los intervalos al otro.

Analicemos el movimiento en el intervalo [x3, x4]. En el otro intervalo es totalmente similar.

Supongamos que la partícula en un cierto instante se encuentra situada en el punto x3 ⇒ En ese punto

U(x3) = E2 ⇒ Ec(x3) = 0. Por tanto, en ese punto e instante, la partícula se encuentra en reposo (v=0).

Sin embargo, sobre ella sí está actuando una F ≠ 0. ¿Cómo lo sabemos? porque sabemos que la fuerza

que actúa es conservativa ⇒ x xdU(x)F Fu u

dx= = −

⇒dU(x)F

dx= − . Si

dU(x) 0dx

≠ en ese punto ⇒ F≠ 0.

x1 x2 x3 x4

U(x)

x

E2

55


Y para justificar que dU(x) 0

dx≠ basta recordar que la derivada de una curva/función en un punto es la

pendiente de la curva/función en ese punto; la curva tiene pendiente no nula en x3 ⇒ en ese punto,

aunque no tenga velocidad, actúa fuerza sobre la partícula.

Por otro lado, como la pendiente en x3 es negativa, es decir, dU(x) 0

dx< ⇒ la fuerza en x3 es positiva,

3 3 3 xF(x ) 0 F(x ) F(x )u> ⇒ =

, es decir, la fuerza en x3 apunta en el sentido positivo del eje X. Esto

significa que la partícula, se acelera en

la dirección xu , hacia la derecha.

A medida que se mueve hacia la

derecha, el valor de su energía

potencial U(x) va disminuyendo hasta

que llega a un valor x = xmin2 en la que

U(x) es mínima. En dicho punto la

pendiente de la curva U(x) es nula y

por tanto, la fuerza en dicho punto x3 x4

U(x)

x

E2

xmin2xmin1

56


también. En x = xmin2min 2

min 2x

dU(x)U(x ) es mínima 0 F 0dx

⇒ = ⇒ =

y su velocidad es máxima.

Puesto que la partícula llega a x = xmin2 con velocidad hacia la derecha no nula, rebasa esa posición y

llega a posiciones x > xmin2 actuando ahora sobre ella una fuerza no nula pero de frenado puesto que

ahora está dirigida en sentido contrario al del movimiento, es decir, hacia la izquierda.

En el intervalo (xmin2, x4] se tiene que dU(x) 0

dx> ⇒ xF(x) 0 F(x) F(x)( u )< ⇒ = −

Al llegar al punto x4 la partícula permanece instantáneamente en reposo ya que ahí, de nuevo, posee una

velocidad nula pues E2= U(x4) ⇒ su movimiento se invierte puesto que en ese punto x4 ahora está

sometida a una fuerza (hacia la izquierda) no nula que la acelera en ese sentido. De esta forma, llegaría

de nuevo al punto x3. El análisis se repetiría en el intervalo [x1, x2].

Por tanto, si la partícula tiene la energía total E2, en cada intervalo de posiciones en los que es

posible el movimiento ([x1, x2] y [x3, x4]), realizaría, en conjunto, un movimiento periódico que se

repetiría indefinidamente, salvo que se modifique su energía total.

57


A los puntos x1, x2, x3 , x4 se les llama puntos de retroceso o de retorno

Los intervalos [x1, x2] y [x3, x4] corresponden a pozos de potencial

El intervalo (x2, x3) corresponde a una barrera de potencial

Los puntos xmin1 y xmin2 (para los cuales U(x) es mínima) se les llama puntos de equilibrio.

Además, son puntos de equilibrio estable: 2

2

d U(x) 0dx

>


Para esta energía sólo es posible el

movimiento en los intervalos [x5, x6] y

[x7, ∞]. En el intervalo de posiciones

[x5, x6] el tipo de movimiento es como

el analizado en el apartado anterior,

siendo en este caso las posiciones x5 y

x6 los puntos de retroceso.

E3

x5 x6 x7

U(x)

x xmin2

acelerado frenado

frenado acelerado

xmin1

58


Analicemos el posible movimiento en el intervalo [x7, ∞]. Supongamos que la partícula se acerca

viniendo del ∞. Para posiciones x >> x7 podemos decir que U(x) cte Ec cte v cte ≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅ ,

resultado que podíamos haber obtenido también razonando de la siguiente manera: como para x >> x7 la

pendiente de la curva U(x) es ≅ 0 F 0 v cte⇒ ≅ ⇒ ≅

.

A medida que la partícula se va acercando, empieza a experimentar una fuerza en el mismo sentido

que la de su movimiento ( xdUF udx

= −

condU 0dx

> ) por lo que experimenta una aceleración. Cuando

llega a xmin2 posee aceleración nula y velocidad máxima. Rebasa esta posición y para x ∈ [x7, xmin2)

experimenta una fuerza de frenado ( xdUF udx

= −

condU 0dx

< ). Llega al punto de retroceso x7 (v(x7) = 0

pues E3 = U(x7)) e invierte su sentido de movimiento, volviendo a sufrir todas las variaciones en la

velocidad experimentadas en la primera parte del recorrido.

En cualquier caso, en el intervalo [x7, ∞) la partícula tiene movimiento no acotado pues puede

venir del infinito y regresar al infinito de nuevo.

59



El único movimiento posible es un

movimiento no acotado en todo el

intervalo [x8, ∞). Si la partícula

viene desde el infinito,

experimentaría lo siguiente:

aceleración en posiciones del

intervalo (xmin2, x >>], frenado en

(x9, xmin2), aceleración de nuevo en

(xmin1, x9) y frenado en [x8, xmin1). A partir del punto de retroceso x8 invierte su movimiento, pudiendo

regresar de nuevo al infinito.

Las posiciones xmin1, xmin2 y x9 corresponden a posiciones de fuerza nula, por tanto, a posiciones de

equilibrio. Mientras que las posiciones xmin1 y xmin2 son de equilibrio estable, pues corresponden a

valores de mínimo relativo de la energía potencial U(x), la posición x9 es de equilibrio inestable pues

corresponde a un máximo relativo de U(x), es decir, en el punto x9 se tiene 2

2

d U(x) 0dx

< .

x8 x9

U(x)

x

E4

frenado acelerado

acelerado frenado

acelerado frenado frenado acelerado

xmin2xmin1

60


Nota: cuando hablamos de velocidad máxima nos referimos a la máxima velocidad dentro del intervalo

de posiciones analizado, que depende evidentemente del valor de la energía total de la partícula. Por

ejemplo, para el valor de energía E4 se tiene que

min 2 min1 9 min 2 min1 9Ec(x ) Ec(x ) Ec(x ) v(x ) v(x ) v(x )> > ⇒ > >

Para conectar conceptos: ¿concuerda lo que sabes acerca del movimiento de un oscilador armónico

simple cuando se analiza su curva de energía potencial? Recordemos algunas cosas:

i.-Un oscilador armónico simple es un sistema sobre el que actúa una fuerza restauradora (recuperadora) de la

forma: F kx= −

, es decir dirigida siempre en sentido contrario al desplazamiento de la partícula, x .

Esta fuerza recuperadora puede ser de tipo elástico, de tipo eléctrico, etc.

ii.- Ecuación dinámica del oscilador armónico simple. Según

la 2ª ley de Newton → 2

2

d xm F kxdt

= = −

⇒ 2

2

d x k x 0dt m

+ =

⇒ 2

202

d x x 0dt

ω+ =

tal que mk2

0 =ω , cuya solución es ( )0x(t) Acos t= +ω ϕ .

x = x0= pos.de equilibrio

61


-x1 x1

E

U(x)

X

iii.- Energía mecánica de un oscilador armónico simple

Energía cinética: 20

222 21 1 dx 1Ec m Amv m

2 2 dtx(t)

2 = = = −

ω . Por tanto, es máx en x = 0 y nula en x = ±A.

Al ser F kx= −

conservativa ⇒ la energía potencial es: 2 2 20

1U(x) m1 k x(t)2

x2

= = ω , con U(x0=0) = 0 la

referencia de energía potencial. Por tanto, es máx en x = ±A y mínima (nula, en este caso) en x = 0.

La energía total es: 2 2 2 220 0

20

2 21U m A x(t)2

1E m A1Ec m A x(t)2

cte!!2

= + = =+ = − ω ωω

La representación gráfica de U(x) del oscilador armónico simple es la de la

figura. Con lo visto en el análisis de curvas de energía potencial, podemos

concluir que para una energía total como la pintada en la figura por E, el

único movimiento posible es un movimiento periódico en el pozo de

potencial entre los puntos -x1 y x1, que son simétricos respecto del eje

vertical y que corresponden a las posiciones de máxima elongación en cada

sentido del movimiento, es decir, -x1 = -A y x1 = A, siendo A la amplitud

del movimiento armónico simple.

62


El campo gravitatorio como un ejemplo para la aplicación de las leyes de

Newton y los principios de conservación Ya hemos mencionado que una de las interacciones fundamentales de la Naturaleza es la gravitatoria: la

que surge entre los cuerpos debido a su masa. Algunos conceptos, leyes y, por tanto, consecuencias,

estudiadas hasta el momento van a ser aplicables a este tipo de interacción.

La interacción entre dos masas, m1 y m2, se cuantifica mediante la fuerza

gravitatoria. Su dependencia con las masas, distancias, etc., fue obtenida de

forma experimental por Isaac Newton: la Ley de Gravitación Universal.

21

1 2 1 2m1 sobre m2 r 2 12 3

2 1 2 1

m m m mF G u G (r r )r r r r

= − = − −− −

De igual forma: 12

2 1 2 1m2 sobre m1 r 1 22 3

1 2 1 2

m m m mF G u G (r r )r r r r

= − = − −− −

donde G = 6.67×10-11 Nm2/kg2 es la constante de gravitación universal. Como 2 1 1 2r r (r r )− = − −

⇒

m1 sobre m2 m2 sobre m1F F= −

, que representa la ley de acción-reacción, 3ª ley de Newton.

• m1

• m2

m2

m1

63


Fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo muy masivo de masa M (un astro, por ejemplo) sobre

otro de masa m, es decir, M >> m. Considerando que M y m son los únicos objetos que interaccionan

gravitacionalmente, este sistema es asilado y, por tanto, se conserva el momento lineal del conjunto.

Según este principio, M y m intercambian momento de forma que M m M mp p M v m v∆ = −∆ ⇒ ∆ = − ∆ ,

donde aquí ∆ significa “cambio de”. Como M >> m, es muy buena aproximación suponer que M está

en reposo y que es m la masa que se mueve bajo la acción ejercida por M. El cuerpo de masa M, por

tanto, es el centro de fuerzas para m y a M podemos considerarla colocada en el origen de

coordenadas. Por otro lado, el SR centrado en M es inercial pues lo podemos considerar en reposo. La

fuerza gravitatoria que M ejerce sobre m cuando ésta se encuentra a una distancia r de M se expresará

como: M sobre m r2 3

Mm MmF G u G rr r

= − = −

(este sería el campo de fuerzas que nos habíamos imaginado en la página

13 de la lección).

Pues ¡ya hemos encontrado otro campo vectorial, el llamado campo gravitatorio! No tenemos más

que definirlo como sobre mr2

F Mg(r) G um r

= = −

. Y nos podemos imaginar cómo representar este

campo: en cada punto del espacio del entorno de M, a una distancia r, pintaríamos un vector, cuyo

módulo es la intensidad del campo gravitatorio que M crea; su dirección es radial y su sentido el

64


que se dirige hacia el centro de fuerzas (donde está M). Las líneas de campo de este campo vectorial

g(r) serían líneas radiales dirigidas hacia un único punto.

Cualquier otra masa m colocada en un punto que dista r de M, experimentará:

M sobre mF mg=

donde g corresponde al valor del campo gravitatorio creado

por M donde está colocada m.

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa ⇒ gF U= −∇

, donde U representa la energía

potencial gravitatoria que tiene m por encontrarse en el campo gravitatorio g(r) creado por M:

r

gMmU(r) F dr G

r∞= − = −∫

, donde r es la distancia de m al origen de coordenadas, que es donde

está M, y el origen de energía potencial nula se ha tomado en el infinito (U(∞) = 0).

Cuando trabajamos a distancias h próximas a la superficie del astro (que consideramos que tiene radio

R) podemos expresar g 0r R h / h<<R F mg= + ⇒ siendo 0g el valor de la intensidad de campo

M

65


en la superficie: 0 2

Mg GR

= . De esta forma, la intensidad del campo a una altura h respecto de la

superficie se expresa como: 2

0 2

Rg(r) g(R h)

=+

. En esa aproximación → 0U mg h=

Si la única fuerza que actúa sobre m es la gravitatoria, al ser esta conservativa, la energía mecánica

de m se conserva, es decir: 2m

1 MmE mv G cte2 r

= − =

La fuerza gravitatoria que actúa sobre m es fuerza central ⇒ 0 L= ⇒

τ = cte, es decir, el

momento angular de m se conserva, y el movimiento de m se desarrolla en un plano.

Órbita bajo la acción de la fuerza gravitatoria. Órbita circular. Órbita geoestacionaria

Debido a la fuerza gravitatoria que ejerce M sobre m, m puede realizar diferentes órbitas dependiendo

del valor de su energía mecánica (energía total), que se mantendrá constante en todo punto de dicha

órbita dado que sobre m solo actúa la fuerza gravitatoria, que es conservativa.

El análisis cualitativo del tipo de órbita (circular, elíptica, parabólica, hiperbólica) que puede describir

m bajo la acción de M requiere un análisis equivalente al realizado en el apartado dedicado al

diagrama de curvas de energía potencial del problema unidimensional, aunque en este caso sería en el

66


caso bidimensional ya que el movimiento es en un plano. Para el alumno interesado, este análisis

bidimensional se encuentra completo en el Anexo B, al final de la lección.

Si la órbita descrita por m es circular, de radio R, la fuerza gravitatoria tiene carácter centrípeto (está

dirigida en todo momento hacia el centro de fuerzas, que es donde está situado M). Por tanto, esa

fuerza le comunica a m una aceleración centrípeta de valor 2

c rva ( u )R

= −

. Por tanto, la 2ª ley de

Newton, F ma=

, aplicada a m se traduce en:2

r r2

Mm vF G ( u ) m ( u )R R

= − = −

Obteniendo de la expresión anterior la velocidad de m en la órbita, es fácil plantear las expresiones de

su energía cinética, la potencial y la energía mecánica.

¿Puedes hacerlo sin intentar recordar de memoria lo que sabes de 2º de bachiller? Cuando lo hayas

hecho podrás contestar a la pregunta ¿qué relación encuentras en este caso de órbita circular, entre

la energía cinética y la potencial? Y ¿entre la potencial y la energía mecánica?

Y una más ¿se conserva el momento lineal de m en su órbita?

67


La órbita circular es geoestacionaria si m orbita alrededor de la Tierra, en el plano ecuatorial a una

distancia tal que su periodo de rotación alrededor de la Tierra coincide con el periodo de rotación de

la Tierra alrededor de su eje, es decir, 24 h. Esto es lo que hacen muchos satélites comerciales de

comunicaciones y científicos. De esa manera se consigue que el satélite se encuentre siempre en la

“misma posición relativa” con respecto a un punto de la superficie terrestre.

Se deja como ejercicio que obtengas la velocidad que lleva el satélite en una órbita geoestacionaria.

Energía implicada en un cambio de órbita

Si m realiza una órbita, órbita 1, alrededor de M, la energía mecánica de m en esa órbita, Em1, es

constante. ¿Recuerdas por qué?

Órbita GEO

Órbitas satélites GNSS (órbitas MEO)

Órbitas LEO

Órbita de la ISS

68


Si se desea que m realice otra órbita alrededor de M, órbita 2, la energía mecánica de m en esa órbita

nueva, Em2, también será constante pero de valor diferente al que tenía en la primera. Por tanto, para

cambiar de una órbita a otra es necesario poner en juego una energía que será justo la diferencia de

energías mecánicas de ambas órbitas: Em2- Em1. ¿Y quién pone en juego esa energía?

69


Sistemas de muchas partículas. Relaciones dinámicas y energéticas Recordemos las relaciones dinámicas y energéticas para una partícula de masa m sometida a fuerzas:

• p mv=

; dpFdt

=

tal que F

es la fuerza neta (de carácter externo lógicamente)

• L r p r mv= × = ×

; dLdt

=

τ

• 2

2 11W F dr Ec Ec Ec= ⋅ = − =∫

∆ . Si F

es conservativa ⇒ F U= −∇

⇒ mE Ec U cte= + =

Ahora queremos encontrar relaciones equivalentes a las

anteriores pero para un sistema de partículas. Para ello

necesitamos primero algunas definiciones.

Sea un sistema de N partículas cuyas localizaciones respecto

del origen de coordenadas O de cierto sistema de referencia

inercial son 1r

, 2r ... Nr

X

Y

Z

70


Momento lineal del sistema de partículas: N N

sist i i ii 1 i 1

P p m v= =

= =∑ ∑

Momento angular del sistema de partículas:N N

sist i i i ii 1 i 1

L L r m v= =

= = ×∑ ∑

donde cada iL

está

determinado respecto de O, por lo que sistL

también.

Energía cinética del sistema de partículasN N

2sist i i i i i

i 1 i 1

1 1Ec m v v m v2 2= =

= =∑ ∑

Recordemos que las fuerzas actuantes sobre las partículas que forman el sistema hay que clasificarlas

en: externas e internas (cuando teníamos una partícula siempre eran externas).

o Fuerzas exteriores: iF

, que representa la fuerza total de carácter externo que actúa sobre la

partícula i. Provienen de las interacciones con otros elementos exteriores al sistema.

o Fuerzas interiores: if

, que representa la fuerza total de carácter interno sobre la partícula i debida

a todas las interacciones ejercidas por el resto de las partículas que forman el sistema, es decir, N

i ijj 1j i

f f=≠

= ∑

. Para estas fuerzas es aplicable la ley de acción y reacción ⇒N

ii 1

f 0=

=∑

71


Relación dinámica entre la fuerza y el momento lineal

Al igual que el momento lineal (angular) del sistema de partículas lo obtenemos sumando los momentos

lineales (angulares) de cada partícula, la 2ª ley de Newton para el sistema de partículas lo obtenemos

sumando la 2ª de Newton de cada partícula. Escribamos la ecuación dinámica para cada partícula i

iii

dpdt

fF= +

Al sumar a todas las partículas:N N N N

extii i i

extsi

i 1 i 1 i 1

s

i 1

tdp F f F Fdt

dP Fdt= = = =

= + = = ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑

donde extF

es la resultante de las fuerzas exteriores, independientemente de en qué partículas estuviesen

aplicadas las diferentes iF

.

Relación dinámica entre momento mecánico de la fuerza y el momento angular

i ii

i idL r ( )dt

F f= = × +

τ Al sumar a todas las partículas: ( )NN

i i ii i ii 1i 1

N Ni

ii 1 i 1

F r FdL rd

ft

f r = = = =

= × + = × + ×∑ ∑ ∑ ∑

Si consideramos que la fuerza de interacción entre cada par de partículas ijf

está dirigida según la

dirección que une ambas partículas (y es de esta forma en interacciones gravitatorias, como ya hemos

visto, y en eléctricas, como también podemos recordar) ⇒ N

i ii 1

r f 0=

× =∑

72


⇒ N N

ext extsisti i i

i 1 i 1

dL r Fdt = =

= × = =∑ ∑

τ τ donde sistL

y ext

τ están calculados respecto del mismo punto O

⇒ extsistdLdt

=

τ

Principios de conservación formulados para un sistema de partículas

Principio de conservación del momento lineal sistP

Si un sistema de partículas está aislado (no existen fuerzas externas actuantes sobre el sistema) o

si la fuerza neta actuante es cero ⇒ el momento lineal del sistema se conserva.

Puesto que extsistdP Fdt

=

⇒ si extF 0=

⇒ sist

N

i ii 1

m vP cte=

= =∑

Principio de conservación del momento angular sistL

Si un sistema de partículas está aislado (no existen fuerzas externas actuando) o si el momento

mecánico neto de las fuerzas externas es cero ⇒ el momento angular del sistema se conserva

Puesto que extsistdLdt

=

τ ⇒ Siext

i (no existen f. externas)

y i

exti i

F 0

0 con F 0 F 0

= ∀

τ = ≠ ≠

⇒ sistL cte=

73


Principio de conservación de la energía

Si un sistema de partículas está aislado (no actúan extF

⇒ Wext = 0), o si el Wext neto es nulo, la

energía del sistema (la cinética + la potencial interna) se conserva, existiendo un intercambio continuo

entre ellas.

Si un sistema de partículas no está aislado (actúan extF

, que pueden realizar trabajo ⇒ Wext ≠ 0),

pero las fuerza externas actuantes son conservativas, la energía total del sistema (la cinética + la

potencial interna + la potencial externa asociada a las fuerzas externas conservativas) se conserva.

Aunque sí existan fuerzas externas no conservativas, podemos generalizar completamente el principio

de conservacion de la energía ya que dentro del término extcons noW siempre ha sido posible encontrar otras

formas de energía que correspondan a ese trabajo,

( ) ( )total s i tist s scambios en otras formas de ene gía 0rE + =∆

que quiere decir que la energía puede ser transformada de una clase a otra, pero no puede ser creada ni

destruída. Esta afirmación es una generalización de la experiencia, que no ha entrado en contradicción

con ningún proceso observado en el universo por lo que el principio de conservación de la energía se

considera de validez general.

74


Ello significa que las fuerzas de interacción entre los cuerpos no sólo provocan movimientos sino que son

responsables de otros fenómenos físicos. Por ej., la fricción provoca un aumento de la temperatura del cuerpo; en

otras interacciones puede originarse energía en forma de sonido, radiación electromagnética, etc. Es por eso que,

para incluir otras formas distintas de energía que la energía cinética y potencial de los cuerpos directamente

observables, el concepto de energía fue necesario generalizarlo.

Todo ello hace que pueda enunciarse un principio de conservación de la energía completamente

general:

La energía total de un sistema físico aislado se conserva. Cada una de las contribuciones a la

energía total del sistema físico puede variar en el tiempo, transformándose en una de otro tipo pero su

suma no cambia.

75


Colisiones: es un caso particular de interacción entre dos (o más) partículas.

En una colisión (mientras están colisionando) sólo actúan fuerzas

internas por lo que:

sist sist antes de la colisión sist después de la colisiónP cte P P = ⇒ =

Además, si:

• la energía potencial interna no cambia en la colisión ⇒

sist sist antes de la colisión sist después de la colisiónEc cte Ec Ec= ⇒ = ⇒ colisión perfectamente elástica

• la energía potencial interna cambia en la colisión ⇒

sist sist antes de la colisión sist después de la colisiónEc cte Ec Ec≠ ⇒ ≠ ⇒ colisión inelástica y se habla de un

coeficiente de restitución, que da idea de la proporción de energía cinética que se pierde por

deformación en la colisión.

En clase de problemas trabajaremos con colisiones.

76


ANEXO A: Sistemas de coordenadas

En todo sistema de coordenadas se definen: 1) las coordenadas, o parámetros (longitudes o/y ángulos) que van a

servir para posicionar un punto P en el espacio (o en el plano); 2) los vectores unitarios, tantos como coordenadas,

definidos como vectores de módulo 1 en la dirección de crecimiento de la coordenada correspondiente. Así, por

ejemplo, los vectores unitarios i , j, k

tienen módulo 1 y están dirigidos según las direcciones del eje X, Y y Z

positivos, que son las direcciones de crecimiento de las coordenadas x, y y z respectivamente.

Con este par de conjuntos (coordenadas y vectores unitarios) se puede obtener la expresión que toma el vector de

posición r de cualquier punto genérico P, así como del vector elemento de longitud (se pone dr o dl

indistintamente), es decir, del vector desplazamiento infinitesimal que surge cuando del punto P (con vector de

posición r ) se pasa a otro punto P´ muy, muy próximo a P (con vector de posición r´ r dr= +

). Es el caso, por

ejemplo, de la partícula que sigue una trayectoria; en su camino va recorriendo infinidad de vectores desplazamiento

dr desde un punto inicial a un punto final fijados de la trayectoria.

X

Y

77


Cartesianas → coordenadas (x, y, z) ⇒ vectores unitarios: x y zu u u, ,

, o bien i j, k,

(⊥ entre sí, es

decir, son base ortonormal) Intenta comprobar, sin cálculos matemáticos, que son ciertas las expresiones que se dan, sólo tienes que

sumar gráficamente vectores como hemos visto que se hacía al comienzo de la lección.

Vector de posición de P: x y zxu yur zu= + +

Vector desplazamiento infinitesimal desde P a P´, puntos

separados una distancia infinitesimal:

x y zdxu dyu dzudr dl = +≡ +

Volumen infinitesimal, o volumen elemental:

d dxdydz=τ

Cualquier otro vector A

se expresa, de forma general, así:

x x y y z zA A u A u A u= + +

/2 2 2 2

x y zA A A A A A= = + +

con: x x

y y

z z

A A u Acos

A A u Acos

A A u Acos

= = a

= = β

= = γ

, donde los ángulos a, β y γ se llaman ángulos de los cosenos directores.

Nota: las componentes del vector A

se obtienen como las proyecciones en las direcciones de los ejes X, Y y Z

Y

X

Z

x

y

z

P

dxdy

dz

a β

γ

80


Esféricas → coordenadas (r, θ, ϕ) → ru , u , u θ ϕ

(⊥ entre sí)

Relaciones entre coordenadas cartesianas ↔ esféricas

x rsen cosy rsen senz rcos

= θ ϕ= θ ϕ= θ

2 2 2

2 2

r x y z

x ytg

zytgx

= + +

+θ =

ϕ =

Al igual que ocurre en cilíndricas, los vectores unitarios ru , uθ

y uϕ

cambian cuando cambia el punto P, es decir, cuando cambian las coordenadas r y/o θ y/o ϕ.

Vector de posición: rr ru=

P

Y

X

Z

ϕ

θ P

81


Vector desplazamiento elemental (sumando los tramos

rojos): rdru rd u rsen d udr θ ϕ+ θ + θ ϕ=

Elementos de superficie: 1

2

23 r

ds rdrd u

ds rsen drd u

ds r sen d d u

ϕ

θ

=

=

=

θ

θ ϕ

θ θ ϕ

Elemento de volumen: 2d r sen drd dτ θ= θ ϕ

Cualquier otro vector se expresa como:

r rA A u A u A uθ θ ϕ ϕ= + +

/

2 2 2 2rA A A A A Aθ ϕ= = + +

con r rA A u

A A u

A A uθ θ

ϕ ϕ

=

=

=

Coordenadas polares → (r, ϕ) → ru , u ϕ

(⊥ entre sí).

Puede considerarse como un caso particular del sistema de coordenadas esféricas, haciendo simplemente θ = 90º

P´ dr

78


Cilíndricas → coordenadas (ρ, ϕ, z) → zu , u , uρ ϕ

(⊥ entre sí)

Relaciones entre coordenadas

cartesianas ↔ cilíndricas

x cosy senz z

= ρ ϕ= ρ ϕ=

2 2x yytgx

ρ = +

ϕ =

Hay que darse cuenta de que, excepto el

vector unitario zu que coincide con el

cartesiano, los vectores unitarios uρ

y uϕ

cambian cuando cambia el punto P, es decir, cuando cambian las coordenadas ρ y ϕ.

Vector de posición: zur zuρ= ρ +

(seguimos haciéndolo como suma de

vectores, sigue los trazos rojos en la figura superior izquierda)

X

Y

Z

ϕ ρ

z

•P(ρ,ϕ,z)

ρ

79


Vector desplazamiento elemental:

zd u d u dd zr dl uρ ϕρ += ρ ϕ≡ +

Vectores superficie elementales:

1 z 2 3ds d d u ds d dzu ds d dzu; ;ϕ ρρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = =

Elemento de volumen: d d d dzτ ρ ρ ϕ=

Cualquier otro vector A

se expresa con sus tres

componentes como:

z zA A u A u A uρ ρ ϕ ϕ= + +

/

2 2 2 2zA A A A A Aρ ϕ= = + +

con

z z

A A u

A A u

A A u

ρ ρ

ϕ ϕ

=

=

=

Para entender las expresiones de los tramos rojos curvos, recuerda algo aprendido hace ya tiempo: “Arco” = “radio” por “ángulo”.

Así, el arco que señalamos en la figura se obtendría como: radio (que es el valor de la coordenada ρ) por el ángulo enfrente del arco

(que es dϕ). Por tanto, ese arco infinitesimal tiene la expresión ρdϕ y su sentido es el dado por el vector unitario uϕ

, que es lo que

aparece como segundo sumando en la expresión de zd u d u dd zr dl uρ ϕρ += ρ ϕ≡ +

.

82


ANEXO B. Desarrollo detallado del Movimiento de la partícula en un plano bajo la acción deuna fuerza. Problema bidimensional

Sea una partícula de masa m que describe la trayectoria de

la figura. Es conveniente utilizar en este caso coordenadas

polares planas (la distancia al origen, r, y el ángulo con el

eje horizontal, θ). Recordemos que los vectores ru y uθ

cambian con el punto considerado.

r x y

x y

u cos u sen u

u sen u cos u

= +

= − +

θ

θ θ

θ θ

• ( )x y xr

yd d dsen u cos u sen u cos udt d

du d ud tt dt dt θ

θ θ θθ θ θ θ

θ= − + = − + =

• rdu d udt dt

θ θ= −

Expresiones de r , v y a en este sistema de coordenadas

• rr ru=

• rr r rr r

dud dr dr d(ru ) u r u r udt dt d

drv vt dt dt

u v udt

= = + = += = +

θ θθ

θ donde r

drvdt

= y dv r rdt

= =θ

θω

Y

X θ

No despistarse, el ángulo θ de esta figura, en realidad es el que hemos llamado coordenada ϕ en el sistema de coordenadas esféricas

83


r

2 2θr

r θ r θ θ2 2

2 22 2 2

r θ θ r r2 2 2

a

dudud dr d d r dr dr d d du r u u u r u rdt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt

d r dr d d d d r du 2 u r

dvad

u r u r udt dt dt dt

t

dt dt dt

= + = + + + + =

= + + − = −

=

((((

θ θ θ θ

θ θ θ θr r

2

2

a

dr d d2 r udt dt d

a ut

a u

+ + =

+

((( ((

(

θ

θ θ θ

θ θ

Por tanto, r rF F u F u= +

θ θ , donde:

22

r r 2

d r dF ma m rdt dt = = −

θ

2

2

dr d dF ma m 2 rdt dt dt

= = +

θ θ

θ θ

• Como la fuerza gravitatoria es central ⇒ i. L cte=

⇒

2r r r r z

d dL r mv r m(v u v u ) mrv (u u ) mrr (u u ) mr u ctedt dt

= × = × + = × = × = =

θ θ θ θ θ

θ θ⇒ 2 dmr L cte

dt= =

θ

ii. rF F(r)u=

⇒ Fθ = 0

• Como la fuerza gravitatoria es conservativa ⇒ 1) F U(r)= −∇

θ

84


r r rU(r) 1 U(r)F F u F u u u

r r∂ ∂ = + = − + ∂ ∂

θ θ θθ, donde U(r) , en principio, depende de las coordenadas r

y θ, es decir, U(r) U(r, )=

θ . Igualando componentes: rUFr

∂= −

∂

r01 UF ∂

= −∂

=θ θ!! ⇒ U f( ) U = U(r)≠ ⇒θ

lo que significa que la energía potencial U depende sólo de la distancia r al centro de fuerzas.

Además, rU dUFr dr

∂= − = −

∂ por lo que Fr sólo puede ser función de r.

2) Em = cte2 2

2 2rm

1Ec U(r) m(v v ) 1 dr dE m r U(r) cte2 d

U(r2 t

)dt

+ + =

= + = + +

=

θ

θ

Como 2 dL mr ctedt

= =θ

⇒d Lrdt mr

=θ

⇒ 2

m

2

2E ct1 drm 1 eL U(r)22 dt mr

= + + =

Llamando 2

ef2

1 L U(r) U (r)2 mr

+ = ≡ energía potencial efectiva ⇒ 2

m efE ct1 drm2

U (r)dt

e +

= =

85


¡La expresión anterior equivale a un problema unidimensional en la dirección radial! Esto, unido

al movimiento angular, que se resuelve a partir de L = cte, da la trayectoria completa de m en el

plano.

Diagrama típico de curvas de energía potencial efectiva como suma de las curvas 2

2 2

1 L K2 mr r

= y

K´U(r)r

= con K y K´ son constantes

Figura (a). Se representan las curvas 2

22mrl para distintos valores del

momento angular (l1, l2, l3 con l1< l2< l3) y la curva de energía potencial U(r).

Figura (b). Se representan las funciones l 2

ef 21U (r) U(r)2 mr

= + . Las tres

curvas de trazo continuo corresponden a los valores de momento angular l1,

l2, l3 de la figura (a). Se ha representado también la curva con l = 0 que sería

la propia U(r). Notar que la curva U(r) corresponde a un potencial atractivo

ya que rdU dU0 F= U= u Fdr dr

> ⇒ −∇ − ⇒

es atractiva.

Energía Uef

86


Hagamos un resumen de lo visto hasta ahora para hacer el Análisis del movimiento de la

partícula en un plano. Problema bidimensional

Sea una partícula de masa m que describe la trayectoria de la

figura. Es conveniente utilizar en este caso coordenadas

polares planas para localizarla en ese plano. Estas

coordenadas son: la distancia al origen, r, y el ángulo que

forma el vector de posición con el eje horizontal, θ. Los

vectores unitarios asociados son θF y rF

que vemos que

cambian de dirección al cambiar el punto considerado.

Teniendo en cuenta los siguientes puntos clave en el desarrollo:

1) la condición de conservación de L

por ser central la fuerza gravitatoria,

2) la existencia del campo escalar o función U por ser conservativa la fuerza gravitatoria tal que U

depende solo de la distancia al centro de fuerzas, es decir, U(r),

3) la energía mecánica se conserva porque la fuerza gravitatoria es conservativa,

Y

X θ

87


se llega a la expresión siguiente para la energía mecánica o total: 2

m efE ct1 drm2

U (r)dt

e +

= =

con: 2

ef 2

1 LU (r) U(r)2 mr

= + , que se le llama energía potencial efectiva;

rdr vdt

= = componente de la velocidad de m en la dirección radial

La expresión anterior para la energía total o mecánica, Em, tenemos que verla totalmente equivalente a

la expresión ya encontrada en el caso

unidimensional (no tenemos más que cambiar

r por x).

Trabajemos con el perfil típico de Uef (r)

para un potencial atractivo como es el

gravitatorio.

Dependiendo del valor de la energía mecánica

total que tenga la partícula (E1, E2, E3, 0, ó E4

r1 r0 r2r´o

Energía

E4

E3

E2

E1

Uef(r)

r 0

88


en la figura) esta tendrá distintos tipos de órbita.

• Si Em < 0, el movimiento es acotado y la órbita es: circular (cuando Em = E1)

elíptica (si Em = E2 o Em = E3)

• Si Em = 0, la órbita es parabólica

• Si Em > 0, el movimiento es no acotado, existe un máximo acercamiento al centro de fuerzas pero

vuelve a escaparse. La órbita es hiperbólica cuando Em = E4

89


Para complementar lo visto en la página anterior.

Trayectorias de la partícula con energía total Em > 0 (energía E4)

En cualquier caso, la trayectoria es

una hipérbola, donde el centro de

fuerzas estaría colocado en el foco de

dicha hipérbola r-

v0

v0

r+

m m

(a) atractivo (b) repulsivo O

•

90


Trayectoria de la partícula con energía total Em < 0 (energías E2 o E3)

rmin ≡ r1 rmax ≡ r2

Si la energía de la partícula es Em = E1, la trayectoria es una circunferencia de radio r0

Si la energía de la partícula es Em = 0 la trayectoria es una parábola donde el centro de fuerzas está en

el foco de la parábola

r´0 • O

r1

O • r2

r0

O

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