DIVISIBILIDAD

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Sección IV CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

(Menos usuales)

Los criterios que se presentan a continuación también cuentan con la regla

que los define y su correspondiente demostración, no obstante, son reglas que en general son de uso menos frecuente. 4.1. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 4.1.1. Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si y sólo sí sus últimos dos dígitos forman un

número divisible por 4. Sin pérdida de generalidad, se hará la demostración para un entero de 4

dígitos. Demostración.

⇒ Sea ! un entero de cuatro dígitos divisible por 4, es decir ! = 4 ∙ ! y

! = !!10! + !!10! + !!10+ !!

= 1.000!! + 100!! + 10!! + !!= 4 ∙ 250!! + 4 ∙ 25!! + !!10+ !!

Hasta el momento podemos notar que a partir del tercer término (!!10!), todos

los demás son divisibles por 4.

4! = 4(250!! + 25!!)+ !!10+ !!4! − 4(250!! + 25!!)

!

= !!10+ !!

4! − 4! = !!10+ !!

Luego, por teorema 2.1. página 15, tenemos que la igualdad correspondiente a la cifra formada por los últimos dos dígitos es un múltiplo de 4.

Por lo tanto, se cumple que si los últimos dos dígitos de un número forman un número divisible por 4 entonces este número ! es divisible por 4.

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⇐ Sea ! un entero positivo de 4 dígitos, donde = !!10! + !!10! + !!10+ !!

Luego, tenemos que

! ===

!!10! + !!10! + !!10+ !!1.000!! + 100!! + 10!! + !!4 ∙ 250!! + 4 ∙ 25!! + !!10+ !!

= 4(250!! + 25!!)!!

+ !!10+ !!!!

!"#  !!"ó!"#$#

= 4! + 4!

Luego, por teorema 2.1. página 15, se tiene que 4|!, es decir, ! es divisible por 4. Luego, podemos generalizar procediendo de igual modo para un entero ! de ! dígitos.

Ejemplos. 1) 764 es divisible por  4 (764 es múltiplo de 4), dado que sus últimos dos dígitos

forman el número 64 que es múltiplo de 4 .

2) 1.512 es divisible por  4 (1.512 es múltiplo de 4), dado que sus últimos dos dígitos forman el número 12 que es múltiplo de 4 .

3) 6.328 es divisible por  4 (6.328 es múltiplo de 4), dado que sus últimos dos dígitos

forman el número 28 que es múltiplo de 4 .

Contra-ejemplos 1) 867 no es divisible por 4 (867 no es múltiplo de 4), dado que los últimos dos

dígitos de 867 forman el número 67 y 67 no es divisible por 4.

2) 2.115 no es divisible por 4 (2.115 no es múltiplo de 4), dado que los últimos dos dígitos de 2.115 forman el número 15 y 15 no es divisible por 4.

3) 35.819 no es divisible por 4 (35.819 no es múltiplo de 4), dado que los últimos dos dígitos de 35.819 forman el número 19 y 19 no es divisible por 4.

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4.1.2. Criterio de divisibilidad por 7

Un número es divisible por 7 si y sólo si la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

Demostración.

⇒ Sea ! un entero positivo tal que ! = 10! + ! , con 0 ≤ ! ≤ 9 Entonces 7|(! − 2!) si y sólo si 7|! Como ! = 10! + ! = 10 ! − 2! + 21! Luego 7|(10 ! − 2! + 21!), por teorema 2.1. página 15, 7|21! , (trivial por propiedad 4 de divisibilidad) y 7 10 ! − 2!  ⇒  7 10    ó  7| ! − 2!  , luego 7 ∤ 10 por lo que 7|(! − 2!). ⇐

Sea ! un entero positivo tal que ! = 10! + ! , con 0 ≤ ! ≤ 9.

Entonces, 7|! sí y sólo si 7|(! − 2!)

Luego tenemos que ! = 10! + ! = 10 ! − 2! + 21!

Como 7|21! (por propiedad 4 de divisibilidad)

Y por hipótesis 7|(! − 2!)

Luego por teorema 2.1. página 15, tenemos que 7|!.

Ejemplos 1) 91 es divisible por 7 (o múltiplo de 7) ya que 9− 2 ∙ 1 = 9− 2 = 7 y 7 es múltiplo

de 7.

2) 798 es divisible por 7 (o múltiplo de 7) ya que 79− 2 ∙ 8 = 79− 16 = 63 y 63 es múltiplo de 7.

3) 16.478 es divisible por 7 (o múltiplo de 7) ya que 1.647− 2 ∙ 8 = 1.647− 16 =

1.631, pero aún no es evidente que el resultado sea múltiplo de 7, así que repetimos el proceso, es decir 163− 2 ∙ 1 = 163− 2 = 161, nuevamente

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repetimos el proceso y obtenemos que 16− 2 ∙ 1 = 16− 2 = 14, luego, podemos notar que 14 es múltiplo de 7, por lo tanto 16.478 es divisible por 7

Contra-ejemplos

1) 940 no es divisible por 7 (o múltiplo de 7) ya que 94− 2 ∙ 0 = 94− 0 = 94. Podemos repetir el proceso si el número no nos resulta familiar, entonces trabajamos con el número 94. Luego, 9− 2 ∙ 4 = 9 ∙ 8 = 1 y 1 no es múltiplo de 7. Luego, 940 no es divisible por 7.

2) 675 no es divisible por 7 (o múltiplo de 7) ya que 67− 2 ∙ 5 = 67− 10 = 57 y 57 no es múltiplo de 7. Luego, 675 no es divisible por 7.

3) 218 no es divisible por 7 (o múltiplo de 7) ya que 21− 2 ∙ 8 = 21− 16 = 5 y 5 no

es múltiplo de 7. Luego, 218 no es divisible por 7.

4.1.3. Criterio de divisibilidad por 8

Un número entero es divisible por 8 si y sólo sí el número formado por los

últimos tres dígitos del número entero es divisible por 8.

Sin pérdida de generalidad, se hará la demostración para un entero de 5 dígitos. Demostración. ⇒ Sea ! un entero de cuatro dígitos divisible por 8, es decir ! = 8 ∙ ! y

!8!

==

!!10! + !!10! + !!10! + !!10+ !!!!10! + !!10! + !!10! + !!10+ !!

= 10.000!! + 1.000!! + 100!! + 10!! + !!= 8 ∙ 1.250!! + 8 ∙ 125+ 100!! + 10!! + !!!!

Hasta el momento podemos notar que a partir del cuarto término (!!10!), todos los demás son divisibles por 8.

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8! = 8(1.250!! + 125!!)+ 100!! + !!10+ !!8! − 8  (1.250!! + 125!!)

!

= 100!! + 10!! + !!

8! − 8! = 100! + 10!! + !!

Luego por teorema 2.1. página 15, tenemos que la igualdad con (100!! +

!!10+ !!) que corresponde al número formado por los últimos tres dígitos del número ! corresponden a un múltiplo de 8. Luego, queda demostrada la afirmación. ⇐

Sea ! un entero positivo de 5 dígitos, donde = !!10! + !!10! + !!10! +!!10+ !! Luego, tenemos que

! ===

!!10! + !!10! + !!10! + !!10+ !!10.000!! + 1.000!! + 100!! + !!10+ !!8 ∙ 1.250!! + 8 ∙ 125!! + 100!! + !!10+ !!

= 8(1.250!! + 125!!)!!

+ 100!! + !!10+ !!!!

!"#  !!"ó!"#$#

= 8! + 8!

Luego, por teorema (2.1) página 15, se tiene que 8|!, es decir, ! es divisible por 8. Ejemplos. 1) 1.400 es divisible por  8 (1.400 es múltiplo de 8), dado que sus últimos tres dígitos

forman el número 400 que es múltiplo de 8. .

2) 3.016 es divisible por  8 (3.016 es múltiplo de 8), dado que sus últimos tres dígitos forman el número 16 que es múltiplo de 8 .

3) 3.016 es divisible por  8 (3.016 es múltiplo de 8), dado que sus últimos tres dígitos

forman el número 16 que es múltiplo de 8 .

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Contra-ejemplos 1) 5.409 es divisible por  8 (5.409 es múltiplo de 8), dado que sus últimos tres dígitos

forman el número 409 que no es múltiplo de 8 . (nota: recuerda que como 8 es múltiplo de 2, todos los múltiplos de 8 también son pares). Luego, 5.409 no es divisible por 8.

2) 3.220 no es divisible por  8 (3.220 es múltiplo de 8), dado que sus últimos tres dígitos forman el número 220 que no es múltiplo de 8 . Luego, 3.220 no es divisible por 8.

3) 453.114 no es divisible por  8 (453.114 es múltiplo de 8), dado que sus últimos tres dígitos forman el número 114 que no es múltiplo de 8 . Luego, 453.114 no es divisible por 8.

4.2. EJERCICIOS RESUELTOS

1) ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 7? a) 994 b) 285 Solución. En el caso (a), utlizando el algoritmo para la divisibilidad por 7, tenemos: 99−891

repitiendo el proceso tenemos ⇒      9−2        7

luego, hemos obtenido un múltiplo de

7, por lo tanto, 994 es divisible por 7. En el caso (b), realizamos el mismo procedimiento, luego tenemos:      28−10    18

luego, 18 no es múltiplo de 7, por lo tanto 285 no es divisible por 7.

2) Hallar el valor de x si se sabe que !|!""# Solución. Sabemos que si 4|4!!2, entonces !2 = 4!, es decir, !2 es múltiplo de 4.

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Por lo tanto los posibles números que podemos tener (considerando los dígitos entre 0 y 9) son: 12, 32, 52, 72 y 92, luego, los posibles valores para que son: 1, 3, 5, 7 y 9.

4.3. EJERCICIOS PROPUESTOS

1) ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 4? a) 24 b) 1.315 c) 1.032 d) 2.792 e) 356 f) 425 2) ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 7? a) 392 b) 2.415 c) 3.589 d) 674 e)588 f) 2.186 3) Si 7|!"#3;    8|!"#4 ; 9|!"#5. Hallar el mayor valor de (! + ! + !).

4) Sea ! un entero. Mostrar que ! es divisible por 12 si, y sólo si, ! es divisible

por 3 y por 4.

5) El número de la forma !"1!"   es divisible entre 44. Hallar ! + !. 6) Si 875|20!28!", ¿Cuál es el valor de (! − ! + !)?

7) Sabiendo que 7 !!!"#!"# − 6  ; 8 2!4! − 7  ; 9|!"#4− 5, entonces calcular

! ∙ ! ∙ !.

8) ¿Cuál es la suma de las cifras que deben sustituir a 2 y 3 del número 52.103 para que sea divisible por 72?

9) ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras son divisibles por 63?

10) Sea ! un entero. Mostrar que ! es divisible por 12 si, y sólo si, ! es divisible

por 3 y por 4.