seance 4 - loria · 2016-07-05 · les coe cients de la dct sont reels ! quanti cation necessaire....

Initiation autraitement du

signal - Seance 4

F. Sur - ENSMN

Quelquesproprietes de laTFD

Decroissance descoefficients de Fourier

Effet de Gibbs

La DCT

Application a lacompression

La quantification

Applications

Compression dessons : MP3

Compression desimages : JPEG

Compression desvideos : MPEG

Conclusion

Cours electif CET42

Initiation au traitement du signalet applications

Seance 4: compression avec perte

Frederic SurEcole des Mines de Nancy

www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/

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signal - Seance 4

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Seance 4

1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression

2 La quantification

3 ApplicationsCompression des sons : MP3Compression des images : JPEGCompression des videos : MPEG

4 Conclusion

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signal - Seance 4

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Decroissance des coefficients de Fourier

Soit f ∈ L2p(0, a) et cn(f ) =

1

a

∫ a

0f (t)e−2iπnt/adt.

Rappel de la seance 1 :

Decroissance des coefficients de Fourier

Si f ∈ L2p(0, a), alors cn(f )→ 0 quand |n| → +∞.

(en fait vrai pour f ∈ L1p(0, a))

On a meme :

Decroissance des coefficients de Fourier (bis)

Si f ∈ C kp , alors cn(f ) = O

(1|n|k).

preuve : integrations par parties successives.

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signal - Seance 4

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Serie de Fourier et regulariteConsequence : plus un signal est regulier, plus sescoefficients decroissent vite.

Exemples :

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

50

100

150

200

250

300

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signal - Seance 4

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Idee pour la compression ?

→ On garde seulement les coefficients centraux (autres a 0).

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fonction originale reconstruction avec 21 coeff.

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

1.5

2


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signal - Seance 4

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion



0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


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signal - Seance 4

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion



0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

L’effet de Gibbs

Soit f 2π-periodique valant :

{ −π/4 entre − π et 0π/4 entre 0 et π

Sa serie de Fourier est :+∞∑k=0

sin ((2k + 1)x)

2k + 1.

Rappel : en quel sens a lieu la convergence ?

41 termes −3 −2 −1 0 1 2 3

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

On peut montrer que la valeur de l’“oscillation residuelle”est constante et vaut : ∼ 0.14.

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

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Conclusion

Effet de Gibbs et periodicite

Rappel : TFD d’un signal de N echantillons =approximation des N/2 premiers coefficients de Fourier(cn et c−n) du signal periodise .

Exemple : N = 128, on garde les 21 coefficients centraux.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Une solution pour eliminer Gibbs aux bords

On symetrise, puis TFD.

50 100 150 200 250

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

signal symetrise 21 coefficients centraux

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Signal symetrique et TFD

Rappel : TFD d’un signal (yn) de longueur N :

Yn =1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN ou n ∈ {0, . . .N − 1} et ωN = e2iπ/N .

On suppose (yn) symetrise (donc de longueur 2N).

Yn =1

2N

2N−1∑k=0

ykω−nk2N

=1

2N

N−1∑k=0

yk

(ω−nk

2N + ω−n(2N−1−k)2N

)=

1

Ne iπn/(2N)

N−1∑k=0

yk cos

(πn(k + 1/2)

N

)

car ω−nk2N + ω

−n(2N−1−k)2N = 2e

2iπ2N

n2

(e

2iπ2N (−nk−n/2) + e

2iπ2N (nk+n/2)

)10/26


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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Transformee discrete en cosinus (1)

Yn =1

Ne iπn/(2N)

N−1∑k=0

yk cos

(πn(k + 1/2)

N

)

Definition - Discrete Cosine Transform (DCT)

Yn =N−1∑k=0

yk cos

(πn(k + 1/2)

N

)pour n ∈ {0, . . . ,N − 1}

est la transformee discrete en cosinus du signal (yn)

Proposition - DCT inverse

yn =1

NY0 +

2

N

N−1∑k=1

Yk cos

(πk(n + 1/2)

N

)pour n ∈ {0, . . . ,N − 1}

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Transformee discrete en cosinus (2)

Yn =N−1∑k=0

yk cos

(πn(k + 1/2)

N

)

yn =1

NY0 +

2

N

N−1∑k=1

Yk cos

(πk(n + 1/2)

N

)

Remarque 1 : si (yn) est reel, alors (Yn) aussi.

Remarque 2 : Yn = Y 2N−n ete iπn/(2N) = −e−iπ(2N−n)/(2N), donc Y2N−n = −Yn.

Remarque 3 : plusieurs manieres de symetriser un signaldiscret, donc plusieurs definitions de la DCT.(ici DCT-II et inverse= DCT-III.)

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Compression perceptuelle

Avantages de la DCT par rapport a la TFD :

pas d’effet de Gibbs aux bords si discontinuite ;

decroissance plus rapide des coefficients (car symetriseecontinue).

→ idee de compression : on garde seulement les coefficientssignificativement non nuls (|Yn| 6 Sn).

Seuils Sn fixe sur des criteres perceptuels :difference signal reconstruction / signal original aussi peuvisible (ou audible) que possible.

Attention : va de pair avec etape de quantification. . .

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Seance 4


2 La quantification


4 Conclusion

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Quantification des coefficients

Les coefficients de la DCT sont reels→ quantification necessaire.(representation informatique finie)

Exemple : coefficients dans un intervalle [a, b], constructionde boıtes de quantification.

Quantification uniforme,

suivant la densite de probabilite,

et / ou argument perceptuel.

Remarque : apres quantification, le signal est une suite desymboles sur un alphabet fini !→ codage sans perte (Huffman : cf seance 3).

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Seance 4


2 La quantification


4 Conclusion

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

MP3 : sons

Mpeg 1 Layer 3 (normalisation ∼ 1994).

Compression (par rapport a PCM) a un taux ' 1/10sans defauts audibles (debit 128 kbit/s).(CD : 44.1 kHz × 16 bits × 2 = 1378 kbit/s).

Etapes de la compression d’un signal sonore :

decoupage temporel du signal ;

(modified) DCT + modele psycho-acoustique +quantification→ compression (la qualite depend de l’encodeur) ;

Huffman ;

formatage.

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La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

JPEG : imagesJoint Photographics Experts Group (normalise en 1993).

Compression (par rapport a image 24 bits RGB) a un taux' 20 sans perte de qualite visible.

Preliminaires :

DCT 2D :

Yn,m =N−1∑k=0

N−1∑l=0

yk,l cos

(πn(k + 1/2)

N

)cos

(πm(l + 1/2)

N

)

RVB → YCbCr (credit image : Wikipedia.org)

original Y Cb Cr

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

JPEG : schema de l’algorithme (1)

Etapes de la compression d’une image couleur :

RVB → YCbCr ;

definition de Cb-Cr divisee par 2 (argumentpsycho-visuel) ;

decoupage des canaux en blocs 8x8 ;

puis. . .

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La DCT


La quantification

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Conclusion

JPEG : schema de l’algorithme (2)DCT sur les blocs (DCT = comb. lineaire de “blocs 8x8”) :

niveaux de gris :

0BBBBBBBBB@

52 55 61 66 70 61 64 7363 59 55 90 109 85 69 7262 59 68 113 144 104 66 7363 58 71 122 154 106 70 6967 61 68 104 126 88 68 7079 65 60 70 77 68 58 7585 71 64 59 55 61 65 8387 79 69 68 65 76 78 94

1CCCCCCCCCA

coefficients DCT Yn,m :

0BBBBBBBBB@

−415 −30 −61 27 56 −20 −2 04 −22 −61 10 13 −7 −9 5−47 7 77 −25 −29 10 5 −6−49 12 34 −15 −10 6 2 212 −7 −13 −4 −2 2 −3 3−8 3 2 −6 −2 1 4 2−1 0 0 −2 −1 −3 4 −10 0 −1 −4 −1 0 1 2

1CCCCCCCCCA20/26


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La DCT


La quantification

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Conclusion


quantification / mise a zero de coefficients de la DCT :

Q =

0BBBBBBBBB@

16 11 10 16 24 40 51 6112 12 14 19 26 58 60 5514 13 16 24 40 57 69 5614 17 22 29 51 87 80 6218 22 37 56 68 109 103 7724 35 55 64 81 104 113 9249 64 78 87 103 121 120 10172 92 95 98 112 100 103 99

1CCCCCCCCCA

Bn,m = E

(Yn,m

Qn,m

)

bB =

0BBBBBBBBB@

−26 −3 −6 2 2 −1 0 00 −2 −4 1 1 0 0 0−3 1 5 −1 −1 0 0 0−4 1 2 −1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

1CCCCCCCCCA

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion


Run-Length Encoding (Zig-zag ordering) :

Huffman ;

formatage.

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Effet de Gibbs

La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

JPEG : exemple de DCT sur un bloc 16x16

image originale dct

58% des coefs a zero reconstruction

95% des coefs a zero reconstruction

Possibilite de JPEG progressif.23/26


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La DCT


La quantification

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Conclusion

MPEG : contenus multimedia

MPEG (∼1992) : VCD, MP3. . .

MPEG2 (∼1996) : DVD, TNT SD. . .

MPEG4 (∼1998) : Blu-Ray, TNT HD, streaming HD,visioconference. . .

Tres grossierement :

certaines images du flux videos sont codees par DCTpar blocs ;

les autres sont obtenues en exploitant les correlationstemporelles (prediction par compensation dumouvement par blocs).

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La DCT


La quantification

Applications




Conclusion

Seance 4


2 La quantification


4 Conclusion

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La quantification

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Conclusion

Conclusion

La compression avec perte d’information parJPEG/MP3 est basee sur la decroissance descoefficients de DCT.

Plus un signal est regulier, plus la decroissance estrapide.

Mise a zero des coefficients de la DCT : argumentspsycho-perceptuels.

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