schnittverbände in graphen

Schnittverb~nde in Graphen ~)

Von FERNANDO ESCALANTE in H a m b u r g

Einle i tung

In der vorl iegenden Arbei t wird der Versuch unternommen, Zusammen- hangsprobleme in der Graphentheorie auf algebraischer Grundlage zu behandeln. Sind a, b zwei Ecken eines Graphen G und sind S, T zwei a, b in G trennende Eckenmengen, so wird man in natfirlicher Weise S als Vorg~nger yon T ansehen kSnnen, wenn jeder a, b-Weg zuerst S, dann T trifft. Diese Vorg~ngerrelation liefert eine Quasiordnung, aber im allgemeinen noch keine Teilordnung fiir die a, b trennenden Eckenmengen. Beschr~nkt man sich jedoch auf die beziiglich der mengentheoretischen Inklusion minimalen a, b trennenden Eekenmengen (diese werden im folgenden a, b-Schnitte genannt) , so erweist sich die Menge dieser a, b-Schnitte beziiglieh der genannten Vor- g~nger-Beziehung als ein vollst~ndiger Verband~). Ein a, b-Schnitt heiBt minimal, wenn er die kleinstmSgliche Kardinalzahl ha t (die Mengersche Zahl yon a, b in G). Es folgt weiter, dab die minimalen a, b-Schnitte im Falle endlicher Mengerschen Zahl einen endlichen distributiven Unte rve rband des genannten Verbandes der a, b-Schnitte bflden. Als eine erste Anwendung dieser algebraischen Betrachtungsweise erhalten wir einen neuen Beweis des Mengerschen Graphensatzes .

Es erhebt sich die Frage, ob jeder vollst~ndige Verband, bzw. jeder endliche distributive Verband, i somorph zu dem Sehnit tverband, bzw. zu dem Verband der Minimalschnitte, beziiglich zweier Ecken eines passend gew~hlten Graphen ist. Als Haupte rgebn is dieser Arbeit erhalten wir eine bejahende Antwor t auf diese Frage, und zwar durch explizite Konst rukt ion der gesuehten Graphen.

In einer For t se tzung dieser Arbeit ist geplant, das Problem einer gewissen optimalen Realisierung eines endliehen distributiven Verbandes als Verband yon l~Iinimalschnitten zu behandeln.

1) Herrn Professor Dr. RUDOLF ~rAT~TI~, dessen wertvolle Anregungen Ft~r die Verwirklichung dieser Arbeit unersetzlich waren, danke ich herzlich fiir das leb- hafte Interesse und die aufopfernde Geduld, die er mir innerhalb unserer zahl- reichen Gespr~che entgegengebracht hat.

s) Eine verwandte Fragestellung wurde in [3], w 1 angeschnitten. Jedoeh er- weisen sich die dort sich ergebenden Probleme bei genauerer Betrachtung als yon den unseren wesentlich verschieden.

200 Fernando Escalante

Entsprechend den a, b trennenden Eckenmengen und den a, b-Schnitten kann m a n a, b trennende Kantenmengen und a, b-Kantenschnit te in einem Graphen G betrachten und fiir diese eine ganz analoge Vorg~ngerrelation einfiihren. Auch die Kantenschni t te yon G beziiglich a, b bilden einen vollst~ndigen Verband U:~(G), und (bei endlicher Mengerschen Zahl yon a, b) die minimalen Kantenschni t te einen distr ibutiven Unte rverband Ua, b (G) yon U:,b(G). I m Gegensatz zu den fiir (Ecken-)Schnit te bewiesenen Ergebnissen b raueh t aber keineswegs jeder endliche Verband isomorph einem Verband U:v (G) zu sein; wir werden zeigen, daB zum Beispiel der einfachste (ffinf- elementige) nicht semimodulare Verband (vgl. V2 in Fig. 1) nicht als Kanten- schni t tverband eines Graphen darstel lbar ist. Die Frage, ob jeder endliche distr ibutive Verband einem Verband Ua, b (G) isomorph ist, bleibt often.

w 1. Graphen- und Verbandstheoretische Grundlagen

(1.1) Alle Graphen in dieser Arbeit seien unger ichte t und schlicht (d. h. enthal ten weder Sehlingen noch Mehrfachkanten), auBer an Stellen, wo aus- driieklieh etwas anderes vereinbart wird. E(G), K(G) bezeiehnen die Eeken- menge bzw. die Kantenmenge des Graphen G. Eine K a n t e k e K(G) mit den Endecken a und b ~ d durch (a, b) bezeichnet. Sind G und G' Graphen mi t E(G') C E(G) und K(G') C_ K(G), so sehreiben wir G' C_ G; G' heiBt dann Teilgraph yon G. Eine Teflmenge der Eckenmenge yon G wird gelegentlieh als Teilgraph (mit leerer Kantenmenge) aufgefaBt. Ein Teilgraph G' yon G heiBt Untergraph yon G, wenn (a,b) eK(G) und a, beE(G') impliziert (a, b) e K (G'). I s t T C_ G, so definieren wir als G \ T den Untergraph yon G mi t der Eckenmenge E(G) \ E(T).

Es sei a 1 . . . . . a n eine Folge yon Ecken aus E(G), n ~ 1, derar t dab jedes a t mi t a~+ 1 durch eine Kante aus K(G) verbunden ist; dann hei~t der Teil- graph von G, der sich aus den Ecken a 1 . . . . . a n und aus den Kan t en (al, a2) . . . . . (an_i, an) zusammensetzt , ein Kantenzug yon a 1 nach a n (ira Graphen G). Sind alle a s verschieden, dann spricht m a n yon einem al, an-Weg; al, an-Wege werden bezeichnet dureh Wala n oder ~hnlich. Setzt man ffir a, b e E (G) genau dann a ~ b, wenn ein a, b-Weg in G existiert, so erh~lt m a n offenbar in E (G) eine ~quivalenzrelation. Die durch die zugehSrigen Klassen aufgespannten Untergraphen yon G heiBen die (Zusammenhangs-)Komponenten des Graphen G. Fiir a e E(G) bezeichnet m a n durch C a (G) die a enthaltende Komponen te yon G. G heiBt zusammenhgngend, wenn G nur eine Komponente besitzt.

Sind a, b ~ E (G) und T C_ G, so sagen wir T trennt a und b in G, in Zeichen a.T.b(G), wenn a, bCE(T) und Ca(G\ T ) r Cb(G\ T ) gilt, mi t anderen Worten, wenn jeder in G enthaltene a, b-Weg T trifft (d. h. mi t T mindestens eine Ecke gemeinsam hat). Ein System von a, b-Wegen heiBt kreuzungs]rei, wenn je zwei dieser a, b-Wege nur die Eeken a, b gemeinsam haben.

Sehnittverb~ude in Graphen 201

Ein bekannter Satz yon Menger besagt: Sind a, b zwei verschiedene nicht benachbarte Eeken aus G (d.h. (a, b)~ K(G)), so ist die maximale Anzahl (ira Sinne yon M~chtigkeit) kreuzungsfreier a, b-Wege in G gleich der minimalen

Anzahl yon Ecken aller a, b trennenden Eckenmengen in G. Letztere Zahl nennen wir die Mengersche Zahl #~ (a, b) der Ecken a, b in G.

Sind a # b zwei Eeken aus G und T _C K (G), so sagen wir, T ist eine a, b trennende Kantenmenge in G, wenn jeder a, b-Weg in G mindestens eine Kan te mit T gemeinsam hat. Die Dualform des Mengerschen Satz lautet dann : Es seien a und b zwei verschiedene Ecken eines Graphen G. Dann ist die Maximal-

zahl kantendisjunkter a, b-Wege yon G gleich der Minimalzahl yon Kan ten aller a, b trennenden Kantenmengen in G. Letztere Zahl bezeichnen wir mit ~ (a, b).

(1.2) In Bezug auf ordnungstheoretische Begriffe und Bezeichnungen halten

wir uns im wesentlichen an das Buch yon GV.RICKE [2]. Ist (M, ~ ) eine tefl-

geordnete Menge und (at) t e i eine Familie yon Elementen aus M, so bezeichnen wir das Supremum bzw. das Inf imum der a s (falls vorhanden) durch U at

i e /

bzw. [7 as. Analog bezeichnet a U b bzw. a [-] b das Supremum bzw. das t e I

Inf imum zweier Elemente a, b e M (falls vorhanden). Existieren stets a I I b,

a [7 b (bzw. I I a s, [7 at), so heist (M, < ) bekanntlich ein Verband (bzw. ein i ~ l f ~ l

vollst~ndiger Verband). Eine beziiglich der zweistelligen Operationen L J, N yon V abgeschlossene Teflmenge yon V heiBt ein Unterverband yon V. Das Einselement bzw. Nullelement eines Verbandes (l z, < ) wird dureh e bzw. 0

bezeichnet, x e V heiBt oberer Nachbar yon y e V, wenn x ~ y, y < x und fiir jedes z mit y ~ z ~ x gilt y -- z oder z -- x; y heil3t dann unterer Nachbar von x. Die oberen Nachbarn yon 0 heiBen die iitome des Verbandes.

Unter einer Kette K in V versteht man eine Untermenge yon lz, die (vermSge ~ ) total geordnet ist. Ein Verband hei~t l~ingenendlich, wenn jede seiner Ket ten aus endlich vielen Elementen besteht. Die um 1 verminderte Elementezahl

einer Ket te K heiBt d i e / ~ n g e yon K. Eine Kette K mit grSBtem Element y und kleinstem Element x hei6t eine x, y-Kette. K heiBt maximale x, y-Kette, wenn fiir jede x, y-Kette K' mi t K C K' folgt K -- K'. Ha t Vein Nullelement, dann ist die HShe h (x) eines Elementes x E V gleich dem Minimum der L~ngen aller ma~imalen x, y-Ketten.

Ein Verband heiBt semimodular nach oben, wenn je zwei Elemente, die einen gemeinsamen unteren Nachbarn haben, stets auch einen gemeinsamen oberen Nachbarn haben; entsprechend ist semimodular nach unten definiert. I s t ein Verband semimodular nach oben und nach unten, so nennen wir ilm semi- hindu/at. Ein Verband mit e und 0 heiBt Ir~mplementgr, wenn er zu jedem Ele-

ment a mindestens ein Element b enth~lt, das erffillt: a I I b = e und a R b --- 0.


b heiBt Komplement zu a. Ein Verband V heiBt modular, wenn fiir je drei a, b, c e V gilt: a U (b R (a•c)) = (a [_J b) F] (a [_J c). V heiBt bekanntl ich distributiv, wenn die (bini~ren) Operationen [_J, [7 in V distribut, iv verknfipft

sind. Wir werden folgende Eigenschaften yon Verbi~nden benStigen:

1. Jeder distributive Verband ist modular . 2. Jeder modulate Verband ist semimodular. 3. Ein Verband ist distr ibutiv genau dann, wenn die ,,Kfirzungsregel"

a U b = a U c und a N b = a R c : : ~ b = c

ffir je drei seiner Elemente erffillt ist.

4. Ein Verband ist dann und nu t dann distributiv, wenn er keinen der

folgenden Verbi~nde als Unte rve rband enthi~lt 8) :

V I V 2

Fig. 1

5. I n einem distributiven Verband haben alle a, b-Ket ten die gleiehe L~nge.

6. In einem nach unten l~ngenendlich komplement~ren modularen Verband ist jedes Element mi t HShe h in eindeutiger Weise als Supremum yon h Atomen darsteUbar (vgl. GEmOKE [2], Kap . V w 6.1 und Kap . V I I w 1.4).

7. Lemma. Sei V e i n distr ibutiver Verband und a ~ V. Der yon a und m seiner oberen Naehbarn erzeugte Un te rve rband V' ist zu dem Verband aller Teilmengen yon N= := {1, 2 . . . . . m} isomorph, und sein Hassediagramm stellt das Kantensys tem eines m-dimensionalen Wiirfels dar.

B e w e i s : Seien a 1 . . . . . am obere Naehba rn yon a. Jeder Teilmenge T yon

N m ordne man das Element

8) Zur Erkl~rung der Hassediagramme vgl. [2], Kap. I I w 1.3.

Sehn i t tve rb~de in Graphen 203

@(T) : = [_] a t e V' zu. SeT

~a ist ein H o m o m o r p h i s m u s , denn : Seien ~ ( T ) = LJ at, ~ ( T ' ) = LJ al; es SeT J e T ~

ist klar, dab ~ (T) U q> (T ' ) = LJ a k = q~ (T o T') ist. Fe rner gilt wegen k e T U T I

der Dis t r ibut ivi t~t u n d a s N a i --- a fiir i # j :

asR (11 a j)= { at, falls i e T'

�9 r ' a, falls i ~ T ' , d .h .

~ ( T ) [7 ~ ( T ' ) = L2 ( a ~ a i ) = I_J a k = q ~ ( T n T ' ) . l e T k e T n T a

j e t I

ist tr ivialerweise sur jekt iv . I s t T # T ' , so existiert (o .B .d .A. ) k e T \ T ' ; es gilt d a n n :

ak N ( U a j ) = a und ak [-1 ( U a i ) - - a k, j e T I l e T

also fo]gt ~o(T) # ~o(T'), d .h . ~o ist injektiv. ])as H a s s e d i a g r a m m y o n V' stellt das K a n t e n s y s t e m des Einheitswiirfels

in ~m dar, wenn m a n j edem q~(T) E V' den Vektor (x 1 . . . . . x~) ~ R m zuordne t

mi t xt = 1, falls i ~ T, u n d x t = O, falls i ~ T.

w 2. Sehnitte

a, b seien zwei verschiedene nicht benachbar te E c k e n eines Graphen G. Eine a, b in G t r ennende Eckenmenge S heil~t ein a, b.Schni t t in G, wenn keine echte Un te rmenge y o n S auch noch a und b in G t rennt . S heiBt minimaler

a, b-Schnitt, wenn I SI ~ IS'[ fiir alle a, b-Schnitte S' gilt, oder auch, wenn I S I = Pa (a, b) ist. Ohne weiteres ist k lar :

(2.1) S C E (G) ist ein a, b-Schni t t genau dann, wenn a �9 S �9 b (G) gilt, und

zu jedem x e S ein Wab exist ier t mi t Wob n S ---- {x}.

Weiter gi l t :

(2.2) W e n n a . T o �9 b(G), To C - E(G), so existiert (mindestens) ein a, b-

Sehni t t S _C To.

B e w e i s : Es sei ~ = { T [ T C To und a ' T . b ( G ) } ; ~: ist du rch C teil- geordnet . Wir b e h a u p t e n : I s t T l (i e I ) eine Ket te in (~:, C_.), so ist auch D : = n T~ E l e m e n t y o n ~:.

l e l

Andernfal ls exist ierte ngmllch ein a , b -Weg W C G m i t D r W = O ;

w 1 . . . . . w n seien die E c k e n y o n W. Es gibt d a n n i x . . . . . i n e I mi t w v r T l , (v = 1, . . . . n). N a c h W a h l der T~ existiert ein Tsv, das in allen Ttl, . . . , Tsn

enthal ten ist. W wiirde d a n n Tt~ nicht treffen, gegen a �9 Tsv �9 b(G). N a c h dem


Zornschen Lemma enthalt also ~: mindestens ein minimales Element S; dieses leistet das Verlangte.

I m folgenden bedeuten a r b stets zwei feste nicht benaehbarte Ecken in G. Sind nun S, S' zwei a, b-Schnitte in G, so nennen wir S Vorg~inger yon S', wenn fiir alle x ~ S \ S' jeder x, b-Weg S' trifft. Wir schreiben dann S ~ S', oder, falls es nStig ist, auf a, b und G explizit Bezug zu nehmen, ausfiihrlieher S ~_ S'. S ist echter Vorg~nger yon S' , wenn S ~ S' und S ~ S' gilt; wir

(a, b, G)

sehreiben dann S ~ S'. Gilt weder S ~_ S" noeh S' ~_ S, so heiBen S und S' unvergleichbar, und wir schreiben dann S [I S' . I s t S Vorg~nger yon S' , so heil3t S' Nach]olger yon S.

Diese Naehfolgerrelation eharakterisieren wir in der folgenden Proposit ion auf mehrere Arten :

(2.3) S, S ' seien zwei a, b-Schnitte in G. D a n n sind je zwei der folgenden Aussagen ~quivalent :

(a) S ~ S'; (b) Fiir jedes x e S ' existiert ein x, b-Weg W mi t (W \ (x}) (~ S = ~; (c) Ffir jedes y e S existiert ein a, y-Weg W mi t (W \ {y}) n S' = ~; (d) Jeder a, x-Weg W C G mit x e S' \ S t r iff t S.

B e w e i s : (a) ~ (b): Man w~hle gem~B (2.1) einen a, b-Weg W C G mit W n S ' = {x}.

Das in W enthaltene Wxb trifft dann S, aul~er evil . in x, nicht; andernfalls miiBte jedes W~b wegen S ~_ S' noeh eine Ecke r x mit S' gemeinsam haben.

(b) ~ (c): Es sei y e S , sowie W~b C_ G mi t W, b n S = { y } gem~B (2.1) gew~hlt. Es sei W der in W~ enthal tene a, y-Weg. Hg t t e W mit S ' eine Ecke x ~ y gemeinsam, so natiirlieh x r S, und wegen (b) existierte ein x, b-Weg W' mi t W" n S = ~. W u W' enthielte dann aber einen a, b-Weg, der S nieht trifft, gegen a �9 S �9 b (G).

(c) ~ ( d ) : Angenommen, W sei ein a , x - W e g f i g mit x e S ' \ S und W n S -- ~. Nach (2.1) existiert ein Wab mi t Wob n S ' = {x}. Es sei W' das in Wob enthal tene Wxb. Es folgt, dal~ W" eine Ecke y e S \ S' enthalten muB, da sonst W u W' einen a, b-Weg enthielte, der S nieht trifft. Wegen (e) existiert ein a, y-Weg W" mit W " n S'-~ ~. Mittels W" und des in W~b enthal tenen y, b-Weges enthielte man dann aber einen a, b-Weg, der S' nicht trifft, mi t Widerspruch.

(d) ~ (a) : Nehmen wir an, es existiere ein y, b-Weg W, der S ' nieht trifft (y e S \ S'). Dann folgt: jeder a, y-Weg trifft S ' ; aber es gibt, naeh (2.1), einen a, b-Weg, dessen Durchschnit t mi t S nur die Ecke y enth~lt; sei W' der

Schnittverb~nde in Graphen 205

a, y-Tell dieses Weges und x e W ' • S' . Es ist klar, dab x ~ S, und dab der a, x-Weg W " C W' S nicht trifft, was ein Widerspruch ist.

Als unmitte~bare Folgerung erhalten wir aus (2.3) (wegen der ~quivalenz

yon (a) re.it (d)):

(2.4) S ~ 8 ' r ~ 8. (a, b, 6) (b, a, 6)

Weiter grit:

(2.5) Gilt S 1 _~ S, ~ S 3, dann ist S 1 n Sz C_ S,.

B e w e i s : Angenommen, es sei x e (S 1 n $3) \ S,. Da x in (S x \ S~) n (S 3 \ S,) ist, so existieren, nach (2.3) und (2.4), a, x- und x, b-Wege, die S, nicht treffen. Ihre Zusammense tzung widerspricht der Eigenschaft yon S 2, ein a, b-Schnitt

zu sein.

(2.6) Satz 1. Fiir je zwei nicht benachbar te Ecken a # b eines Graphen G bflden die a, b-Schnitte in G einen vollst~ndigen Verband beziiglich der Re-

lation _~.

B e w e i s : Wi t wollen zun~chst zeigen, dal~ _ eine Teilordnung ist. Die Reflexivit/s und Transi t ivi t~t folgen sofort aus den Definitionen yon Nach- folger und Vorg~nger. Es gelte nun S 1 ~ S, und S, _~ S 1. Sei x eine Ecke aus S x \ S 2. Dann sichern uns (2.3b) und (2.3c) die Existenz yon a, x- und x, b- Wegen, die S~ nicht treffen und deren Zusammensetzung ein Widerspruch zu a �9 S 2 �9 b (G) ist. Es mul~ also S 1 = Sz sein, d.h. ~ ist auch ant isymmetr isch.

Es bleibt nur die Existenz des Inf imums und des Supremums zu zeigen. Es sei fiir diesen Zweck {Si} ~ ~ t eine nicht leere Familie yon a, b-Schnitten des Graphen G. Wir definieren die Mengen

S : = { x e U S, lex. W e g W x b m i t : W x b ~ ( ~ J ~ i \ { x } ) = O } i e l i r

S : = { y e tJ S, lex . W e g W , r m i t : W o r n ( U S, \ {y}) = O}. i e l i e l

Wir behaupten, S sei das Supremum und S das Inf imum der Famille {S~}~ ~ x" Offenbar geniigt es, aus Symmetriegri inden (vgl. (2.4)), nu t den Fal l des Supremums zu be t rachten :

a) Die le tzten Ecken in LI St aller a, b-Wege sind in ~ enthalten, und daher i e I

folgt a - S �9 b (G).

b) S ist ein a, b-Schnitt. Dazu zeigen wit, daI3 es fiir jedes x e S r~ Sj (mit j beliebig aus I ) a, x- und x, b-Wege gibt, die S \ {x} nicht treffen. Die Existenz des zweiten Weges wird aber durch die Definition yon ~ gesichert. AuBerdem existiert nach (2.1) ein a, b-Weg W, der Sj \ {x} nicht trifft. Wit behaup ten sogar, dab ~ n W = {x}. Angenommen, es wi~re y ~ x die ersto Ecke (in

206 Fernando Esca|ante

Richtung a, x) in W n S, dann wird Sj yon dem a, y-Teil yon W nicht getroffen, und d a y ~ S, existiert ein y, b-Weg, der Sj gleiehfalls nieht trifft, mit Wider- spruch. Es kann also a �9 S \ ~x} �9 b(G) nicht s t immen, und S ist ein a, b-Schnitt.

e) Es gilt natiirlich fiir alle i ~ I : S t ~ S.

d) S ist das Supremum der Si. Nehmen wir an, es w~re S' ein a, b-Schnitt mi t der Eigenschaft: S t ~_ S' ,~ S fiir alle i e I . D a S ~ S' , muB ein x ~ S \ S' existieren, und natiirlich ist Sj :~ S' ffir alle j ~ I mi t x ~ S 1. Das ist ein Wider~ spruch.

Ferner existieren ein Null- und ein Einselement (damit folgt insbesondere die Existenz wenigstens eines a, b-Sehnittes!), denn offenbar werden n~Lmlieh a, b durch die Menge T der zu a benaehbar ten Ecken getrennt ; T enthglt abet, naeh (2.2), mindestens einen a, b-Schnitt, und w~ren S, S ' zwei verschiedene in T enthaltene a, b-Schnitte, dann kSnnte m a n (vgl. (2.3c)) S _ S ' und S'_~ S schlieBen, und daher S - - S ' . Dieser Schni t t ist das gesuchte Nullelement. Analog beweist man die Existenz des Einselementes.

Wir haben also bewiesen, daB die Menge aller a, b-Schnitte eines Graphen G einen vollstgndigen Verband bildet; wir wollen diesen Verband mit V*a,b(G ) bezeichnen.

Nach (2.4) gilt dann stets:

(2.7) V* V* a.b (G) ist der duale Verband zu b,a (G). Ferner beweisen wir das folgende

(2.8) Lemma. Man definiere ffir zwei a, b-Schnitte eines Graphen G folgende Mengen :

A r ( S ) := {s E S [ ex. ein a, s-Weg W mi t W n T = 0} BT(S) : = {8' ~ S I ex. e in b, 8 ' -Weg W' m i t W' n T = 0} .

A r ( S ) bzw. B r ( S ) bezeichnen also den Teil yon S, der (yon a aus gesehen) , ,vor" bzw. , ,nach" T liegt. Wit behaupten, daB die fiinf Mengen A r ( S ),

A s ( T ), B r ( S ), Bs(T) , S n T disjunkt sind, und dab

a �9 A r ( S ) u A s ( T ) u (S n T) �9 b(G) a �9 B r ( S ) u B s ( T ) u (S n T) �9 b(G).

B e w e i s : Sofort aus der Definition erh~lt m a n

Ar(S) n T = B r ( S ) n T = A s ( T ) n S = B s ( T ) n S = O ,

und daher:

A r ( S ) (~ A s ( T ) = A r ( S ) r~ B s ( T ) = B r ( S ) n A s ( T ) = Br(~q ) f~ B s ( T ) -~ O.

H~t te man nun ein x e A r ( S ) n B r ( S ), dann kSnnte m a n a, x- und x,b-Wege in G finden, die T nieht treffen. Das widerspr~che der Tatsaehe, dab T die


Ecken a, b t rennt . Sei ferner W ein a, b-Weg in G. W trifft E u T in einer ersten Ecke u. Wenn u e S \ T, bzw. T \ S, so ist nach Definition u e Ar (S ) bzw. u e As(T) . Also folgt die erste der in (2.8) behaupteten Trennungs- relationen. Die zweite ergibt sich analog.

(2.9) Satz 2. Fiir je zwei nicht benachbarte Ecken a ~ b eines Graphen G bilden die minimalen a, b-Schnitte einen Unterverband Vo, b(G) yon V*,, ,b(G). Is t pa(a, b) endlich, dann gelten (mit den Bezeichnungen yon (2.8)) ftir je zwei minimale Schnitte S, T die Beziehungen:

S = A r ( S ) u BT(8 ) U (S ~ T), T = A s ( T ) u Bs (T) w (S n T),

S [-] T = AT(S ) u As(T) u (S n T), S I I T = B r(S) u Bs (T) u (S n T).

B e w e i s : 1. Fall:/za(a , b) unendlich. Seien S, T zwei minimale a, b-Schnitte; da S II T, S [~ T C S u T, folgt sofort aus Machtigkeitsgrtinden:

lSl_l T I - - I S WI T I - - I S u TI=[5'I----I TI ,

und daher sind auch S I I T und S [-7 N minimal.

2. Fa/ l : Pc (a, b) = n < oo. Es seien S, T zwei minimale a, b-Schnitte. Wir

se tzen:

~ : = A t (S ) u A s ( T ) u (S n T), B r(S) u Bs (T ) u (S n T),

und behaupten S = S LJ T, S = S ['-I T. Wegen A r ( S ) u Br (S) u (S n T) C_S und entsprechend As(T ) w B s ( T ) u

(S n T) C T erh~lt man mit Hilfe yon (2.8) :

2n = [S I + ITI > I A r ( S ) u B r ( S ) u ( S n T ) I + [ A s ( T ) u B s ( T ) u ( S n T ) I = = [At(S)[ + [BT(S)I-I-[(S r T)] - t - [As(T)I + [Bs(T)[ + [ S n TI = = IAr(S) u A s ( T ) w (S n T)[ + IBr(S) u Bs(T) u (S n T)[ = = ]S I + IS [, und wegen a �9 S . b (G), a �9 9 . b (G) folgt aus (2.2) : IS I = IS I= n,

und daher sind S, S minimale Schnitte. Es ist auch klar, dab S _~ S, T @ 9. G~be es einen minimalen a, b-Schnitt

S* mit S , T ~ S* ' a ~, so w~re jedes x e g \ S * ( S k S * # 0) entweder in S \ S* oder in T \ S* enthal ten; da aber wegen (2.3b) ein x, b-Weg existiert, der S* nicht trifft, kSnnte S ~ S* (bzw. T <1 S*) nicht gelten. S ist also das Supremum yon S und T. In analoger Weise zeigt man S -- S [-] T.

Ferner gilt [ A r (S) [ + ] B r (S) [ + IS n T[ ffi n,

IAs(T)I + IBs(T)I + IS n TI =n,

und daher schlieBt man: S = A r ( S ) u B r ( S ) u (S n T) und T = As(T) u Bs(T) u (S n T).


(2.10) Bemerkung. Folgendes Beispiel (vgl. Fig. 2) zeigt, da6 die im Beweis zum Satz 2 konstruierten S bzw. S nicht notwendigerweise das Supremum bzw. das Infimum yon S und T zu sein brauchen, falls die letzteren nicht minimal sind:

c 1

a b

P

Fig. 2

In diesem Falle sind S : = {c, e, m, n, p}, T : = {c, d, [, l, n, p} zwei a, b- Schnitte, und manha t : Ar(S ) = {e}, A s ( T ) = {d, [}, S r ( S ) ---- {m}, B s ( T ) = {/}, S n T = {c, n, p}, aber weder ~ = {c, l, m, n, p} noch S = {c, d, e, [, n, p} ist ein a, b-Schnitt.

(2.11) Bemerkung. Der folgende Graph (vgl. Fig. 3) zeigt, daft fiir zwei nicht minimale a, b-Schnitte S und T die Beziehungen

S = A r(S) u B r(S) u ( S ( ~ T), T = A s ( T ) u B s ( T ) u (S n T)

nicht immer gelten:

C d e

a b

h

Fig.

merbe i sind S :-- {d, [, g, h} und T :-- {c, e, h} zwei a, b-Schnitte und es gilt: A r ( S ) = {/}, A s ( T ) = {c}, Br (S ) = {g}, B s ( T ) = {e}, S (~ T = {h}, aber die Menge Ar (S ) • Br (S ) u (S n T) --- {/, g, h} ~ S.

Schnittverbgmde in Graphen 209

(2.12) Bemerkung. Wenn S, T zwei endliche nicht minimale a, b-Schnitte sind, so kann sowohl der Fall IS tJ T] > Max (ISI, ITI) als auch der Fall I S 1_] T I < Min (I S I, ] T ]) eintreten, sogar wenn I S I -- I T I ist.

B e i s p i e l : In Fig. 4 haben die a, b-Schnitte S := {c, g, h} und T :-- {e, f, d} je drei Elemente, aber IS R TI --I{c, d}l = 2 und IS • T [ - - [ { e , ], g, h}l = 4 .

e

a b

h Fig. 4

(2.13) Satz 3. Fiir jeden endlichen Graphen Gis t Vo. b (G) distributiv.

B e we is: Nach Eigenschaft 3. in (1.2) geniigt es zu zeigen, dab die Kiirzungs- regel

( R L.] S = R [_J T & R [-T S = R [-I T) =~ S = T

fiir je drei Elemente R, S, T e Vo, b(G ) erffillt ist. MSgen also R , S , T drei beliebige mi~imale a, b-Schnitte sein und R LJ S = R U T & R [7 S -- R [7 T gelten, d.h. nach Satz 2:

A s ( R ) u A R ( S ) u (R (7 S) ~- Ar(R ) w A g ( T ) w (R n T), (1)

B s ( R ) w BR(S ) w (R n S) = B r ( R ) w B R ( T ) w (R n T) . (2)

Die Subtrakt ion der zweiten Zefle yon der ersten zusammen mit (2.8) fiihrt ZU :

B s ( R ) w B R ( S ) = B r ( R ) w B g ( T ) , (3)

aber x e B~(S ) ~ x ~ B s ( R ) u B a ( S ) ~- B r ( R ) w B R ( T ),

und aus x • R folgt x e BR(T); (4)

analog: y e B R ( T ) :~ y e B r ( R ) u B R ( T ) ffi B s ( R ) w BR(S) ,

und aus y r R folgt y e B a (S) ; (5)

aus (4) und (5) folgt unmit te lbar :

B~ (S) = B~ (T). (6)

14 Hbg.~tJa. Abh., Bd. X X X v I U


Die Subtrakt ion der Zeile (1) yon der Zei]e (2) ergibt:

A s ( R ) u A R ( S ) = A R ( T ) w AT(R ) , (7)

und ahnlich wie oben schlieBen wir:

A R (S) = AR (T). (8)

Da ferner B s ( R ) n BR(S ) = B r ( R ) n B R ( T ) = O

und A s ( R ) n A R ( S ) = A r ( R ) r~ A R ( T ) = O, erh/~lt m a n nach (3) und (7):

A r ( R ) = A s ( R ) , B T ( R ) = B s ( R ) , und daher aus (1) oder (2):

R n T = R n S . (9)

SchlieBlich k o m m t man mittels (6), (8) und (9) zu der gewiinschten Be- ziehung :

S = A R ( S ) u BR(S) u (R n S) = A R ( T ) u B R ( T ) u (R n T) = T.

(2.14) Bemerkung. Folgendes Beispiel zeigt, dab Va, b (G) nicht komplement~r zu sein braucht :

c d

e g

b

x-/t~ Fig. 5

(2.15) Einen weitgehend konst rukt iven Beweis des Mengerschen Satzes (ira endlichen Falle) l~Bt sich nun mi t I-Iilfe eines bekannten Satzes yon K S ~ m ([4] Satz 13, Kap. XIV) angeben.

B e w e i s : Der genannte Satz yon KSNIG besagt : ,,Die Eckenmenge E eines Graphen H sei in zwei fremde Teile zerlegt: E = E 1 q-E2, und jede K a n t e yon H soll eine Ecke yon E 1 mit einer yon E 2 verbinden. K6nnen E 1 und E 2 nicht durch weniger als m Ecken getrennt werden (d.h. das Streichen yon weniger als m Ecken yon E laBt mindestens eine K a n t e fibrig, die Endecken in E 1 und E~ hat), so gibt es in H m Kan ten , die paarweise keine gemeinsame Endecke haben" .


Seien a, b zwei versehiedene nicht benaehbar te Eeken eines endlichen Graphen G, und es sei ~ (a, b) = n. Wir wollen zeigen, da~ es n kreuzungsfreie a, b-Wege gibt, und zwar geben wit ihre explizite Kons t rukt ion an. Ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit kann man voraussetzen, da~ jede Ecke yon G in einem mi~imalen a, b-Schnitt liegt (liegt x in keinem minimalen a, b- Sehnitt , dann verminder t seine Wegnahme die Mengersehe Zahl n nicht ; denn nehmen wir an, es existiere ein a, b-Schnitt S in G \ {x} mit IS] ~ n - 1, dann wiirde offensichtlich gelten: a - S w {x} �9 b(G) und S w {x} w~re minimal). I s t S o das Nullelement yon V,, b(G), so besteht S o genau aus den zu a benachbar ten Ecken. Diese n Kan t en sind die Anfangskanten unserer Famil le yon a, b-Wegen. Seien S, T minlmale a, b-Schnitte und T unmit te lbarer Nach- folger yon S, dann liegt keine Ecke yon G ,,zwisehen" S und T (d.h. keine Ecke x ~ S w T ha t die Eigensehaft : jeder a, x-Weg trifft S, und jeder x, b-Weg trifft T), denn lgge x zwischen S und T, so g/~lte ffir einen nach Voraussetzung existierenden minimalen a, b-Schnitt R, der x enth~lt : 8 ~ (S U R) [7 T ~ T und natiirlich T, S r (S [A R) R T, da x e (S [_J R) R T. Sei nun IS \ T ] --- m (es grit offenbar aueh I T \ S] -- m), m ~ n. I s t W C_ G ein s, t-Weg mit s e S \ T, t e T \ S und W r~ (S w T)--- {s, t}, so muB W nur aus der K a n t e (s, t) be- stehen, da man andernfalls eine Ecke x erhielte, die im genannten Sinne zwischen S und T liegt. I s t X C_ S w T eine 1Kenge yon Eeken, die jede yon S \ T zu T \ S f/ihrende K a n t e in G trifft, so gilt demnaeh offenbar a �9 X w (S r~ T) �9 b (G). Daher erhglt man, nach dem am Anfang des Beweises zit ierten Satz yon K6zqIG, m Kanten , die S \ T mit T \ S verbinden und die paarweise keine gemeinsame Ecke haben.

Wenn dieses Verfahren auf eine maximale vom Null-zum Einselement yon V,,b(G ) aufsteigende Ket te yon Minimalschnitten S o <1 $ 1 ~ . . . ~ S k (wobei stets Sl+ 1 unmit te lbarer Nachfolger yon S i is t ) angewandt wird, so erh~lt man die n gesuchten kreuzungsfreien a, b-Wege.

(2.16) Sind die minimalen a, b-Schnitte eines Graphen G endlich (G b rauch t nicht endlich zu sein!), so ist V,,b(G ) endlich (und daher ein vollst~ndiger

Un te rve rband yon V:, b (G)).

B e w e i s : Es sei tt 6 (a, b) ---- n und {W1 . . . . . W,} eine Familie von n kreuzungsfreien a, b-Wegen. Naeh dem Mengerschen Satz gilt IS r~ Wll = 1 ffir jedes S e Va, b(G) und i - - 1, . . . , n, und da jeder Weg endlich ist, so kann es auch nur endlich viele minimale a, b-Schnitte geben. Schliel]lich ist ein endlicher Verband immer vollstgndig. Die Frage, ob V,, b(G) auch im unendliehen Fal l vollst/~ndig ist, bleibt often.

(2 .17)Bemerkung. Sind die minimalen a, b-Schnitte eines Graphen G un- endlieh, dann b rauch t V~ b (G) nicht distr ibutiv zu sein, wie folgendes Beispiel

zeigt:

14"


a I b 1

_ b

C l

Fig. 6

E(G) = {a, a~, a~, a3, a,, b, bl, b~, ba, b,} w {c,} i ~,~. Offenbar ist V~,b(G ) ~_ V* (G\ {ci}i~N), und der letztere Verband ist nicht distributiv, da z.B.: a , b R:--- {al, aa, b2, b3, b,}, S : = {al, a2, a,, bl, ba, ba}, und T : - - {a 1, a2, a3, b2, b,} sind drei Elemente aus V* (G\{c , }~ ~,), aber man hat R U S = T U S a,b r

={b~,ba, ba, b,} und R R S = S R T = { a ~ , a ~ , a a , a,}, und da R ~ T ist die Kfirzungsregel nicht erfiillt.

(2.18) Bemerkung. Ha t ein Graph G die unendliche M~chtigkeit m, so kann die M~chtigkeit yon V* 2 m a,b (G) sogar sein. Beispiel:

El, E 2 seien zwei disjunkte kantenlose Eckenmengen Init gleicher M~chtigkeit m und sei ~p eine bijektive Abbridung yon E 1 auf E 2. Man bride G wie folgt: E(G) - - E 1 u E 2 u {a, b}, m i t a ~ b nicht in E 1 w E~, (a, x), (r b) und (x, qa(x))eK(G) ffir alle x e E 1. Jede Menge S C_ E 1 u E 2 mit der Eigen- schaft : A ~p (x) e S ~:~ x ~ S ist offenbar ein a, b-Schnitt und hat die M~chtig-

x ,EEl

keit m. Wie man sofort sieht, gibt es genau 2 m solcher a, b-Schnitte.

w 3. Graphen mit gegebenem Verband

Im zweiten Paragraphen wurde die Existenz der Schnittverb~nde eines Gcaphen bewiesen und die St ruktur derselben teilweise beschrieben. Hieraus ergibt sich in nat/irlicher Weise die Frage, ob fiir jeden abstrakten (distributiven) Verband ein Graph existiert, dessen (Minhnal-)Schnittverband bezfiglich


zweier seiner Ecken a, b zu dem gegebenen Verband isomorph ist. Eine positive Antwort wird in diesem Paragraphen mittels Kons t rukt ion solcher Graphen gegeben.

(3.1) Satz 4. Zu jedem vollst~ndigen Verband V gibt es einen Graphen G, so da~ ffir ein bes t immtes P a a r a, b e E (G) gilt: V* o,b (G) -~ V.

Die Konst rukt ion eines solchen G, und damit der Beweis des Satzes, wird in zwei Schritten durchgeffihrt :

(3.2) Is t (V, H) ein Verband und wird ~ ffir jedes v e V definiert dutch

+:= {xe V I v ~ } ,

so bildet ]7 : = (~ ] v e V} bezfiglich der Inklusion _C einen Verband, der vermSge der Zuordnung

~ : v ~ + ~

z u V isomorph ist. Sind ~ (i e I ) aus V, so ist

U v i = O v~. I r I r

B e w e i s : go ist trivialerweise surjektiv. H a t man u ~ v aus V, so kSnnen nicht u ~ v und v H u gleichzeitig gelten, d.h. es mul~ u e ~ oder v e a sein. Da nach Definition u ~ a, v ~ ~ grit, folgt jedenfalls a ~ ~. go ist also auch injektiv. Ffir alle u, v e V gilt weiter: (x bezeichnet beliebige Elemente yon V) : u H v . ~ ( v < ~ x ~ u < ~ x ) ~ ( x ~ x C a ) ~ ( x e a : : , . x e ~ ) . ~ a H~. Also ist go ein Isomorphismus.

I s t nun v i (i e I ) eine Famil ie von Elementen aus V, so ist wegen der Isomorphie zun~chst I I v i - - d vi. Ffir beliebiges x e V gilt dann:

i r l ~ I

x ~ U~l----- U v ~ r U v ~ H x c ~ v t H x i r i r f r

ffir alle i e I r x ~ vi ffir alle i e I ~ x ~ U vi" Daraus folgt aueh die Be- i r

hauptung fiber die Supremumbridung in ]7.

(3.3) Man konstruier t nun den gesuchten Graphen G folgendermaBen: Es seien X, X' zwei dis junkte , ,Kopien" des gegebenen Verbandes V, d.h. zwei disjunkte Mengen, die vermSge fester gegebener Abbildungen go bzw. go' auf V bijektiv abgebildet sind. Ohne Einschr~nkung kann go----id v (d.h. X = V) angenommen werden; ffir jedes v E V schreiben wir go'(v) kurz in der Fo rm v' (d.h. X ' -- (v' [ v e V}). D a n n sei

E(G) :--- (a, b} u X ' w X,


K ( G ) : - - {(a, x ') I x ' �9 x '} u {(b, x) [ x e X } u {(v 'w) [ v, w e V & w �9 ~}.

Also (v', w) �9 K(G) ~ v :~ w. Insbesonde re exis t ier t in G keine der K a n t e n (v', v) m i t v e V. Wir behaup ten :

V* . ,b (G) ~ V --- V .

Z u m Beweise erkl~ren wir ffir jedes v ~ V e i n e Tei lmenge S(v) yon E(G)

wie folgt (vgl. Fig. 7, worin das N i e h t v o r h a n d e n s e i n einer K a n t � 9 durch eine ges t r ichel te Strecke angedeu te t ist) :

a

v v

b

Y

Fig. 7

S(v) :---- V ~J {x' ~ X ' [ ex. (x', y) e K ( G ) m i t y ~ ~}. Wir stellen fest, dab v' n ich t in S (v) liegt.

a) Fi i r jedes v e V ist S(v) ein a, b -Schni t t in G. D e n n naeh K o n s t r u k t i o n h a t m a n offenbar a �9 S(v) �9 b(G). AuBerdem exis t ier t zu x' e S(v) (~ X" nach Def in i t ion yon S(v) ein y e X mi t (x', y) e K ( G ) ; ve rmSge (a, x ') , (x', y), (y, b) erh~l t m a n daher einen a, b-Weg, der m i t S(v ) nur x' geme insam hat . I s t andererse i t s x e S (v ) (~ X = ~ , so erh~l t m a n wegen v' q~S(v) mit te l s (a, v ') , (v', x), (x, b) einen a, b-Weg W mi t W (~ S(v) ~- {x}. N a e h (2.1) folgt also a).

b) Ffir jeden a, b-Schnit t S in G exis t ie r t �9 v �9 V m i t S = S(v) .

Es sei n~mlich S O :-- S • X, u n d F bezeichne die Menge aller der jenigen x e V, fiir die �9 C_ So gilt. Wegen (3.2) h a t m a n d a n n mi t v = L2 x :

x c F

U ~ = U ~ = ~ , a l s o ~ C _ _ S o . x e F x e F

Wir behaup ten , dab sogar ~ - - S O gilt. N e h m e n wir n~mlieh an, dab ein y �9 S O \ ~ exist ier t , so folgt wegen der Schn i t t e igenschaf t yon S die Ex i s t enz eines x' �9 X" mi t (x', y ) � 9 x ' ~ S. N a c h Defini t ion yon K(G) ist y �9 ~.

Sehnittverbgnde in Graphen 215

x' ~ S impliziert aber �9 C S o und damit x e F, was wiederum y e ~ zur Folge hat, mit Widerspruch.

Aus S 0 = ~ folgt nun aber unmlttelbar S = S ( v ) , da jeder a ,b-Schni t t unseres G ja durch seinen Durchschnitt mit X schon eindeutig festgelegt ist.

Aus a) und b) folgt : c) Die Abbfldung v ~ S(v) liefert eine Bijektion yon V auf V* ,,~ (G). d) Diese Abbildung ist ein Isomorphismus. Denn fiir u, v e V gilt ja :

S ( u ) ~ S ( v ) ~ ~ = S ( u ) n X c S ( v ) n X = ~ r u < v.

Damit ist der Satz 4 bewiesen.

(3.4) Satz 5. Zu jedem endlichen distributiven Verband V existiert ein endlicher Graph G, der zwei Ecken a, b enth~lt derart, dab Va, b(G ) ~- V ist.

Wie bei Satz 4 wird der Beweis in zwei Schritten durchgeffihrt:

(3.5) Sei Q : = {x e V I ex. genau ein unterer Nachbar yon x in V}. Jedem v e V ordnen wit die Menge zu: ~ : = { x e Q l x < v } ; es gilt 5 = 0 und ffir

x r 0 ist ~ r 9, da Q alle Atome enth~lt. Wir behaupten, die Abbfldung ~a : v ~ ~ yon V auf ~ (Q) sei ein Verbandisomorphismus.

B e w e i s : Wir zeigen zuni~chst, dab fiir jedes v e V gilt v = U x. Den Be- x e D

weis ffihren wir durch Indukt ion fiber h (v) : h (v) = 0 r v = 0 r ~ ---- 0, d.h. 0 = U x .

X~W

Es sei h(v) > 0. Is t v e Q, so ist ~ = {v} und trivialerweise gilt v = U x. x E V

Is t v ~ Q, dann existieren untere Nachbarn u ~ w yon v. Also u U w = v, h(u) < h(x), h(w) < h(x) und nach Induktionsvoraussetzung folgt: u = [A x,

w---- L ] x ~ v = u U w - ~ [_J x, u n d a u s a u @ C ~ s e h l i e B e n w i r v ~ L J x . X e W X ~ U U W X ~ V

Aber es ist klar, dab v ~ LA x, also folgt v -- [_J x. x e ~ x e ~

ep ist injektiv; u = v ~ [_] x = [_] x ~ u = v , und es gilt offenbar: x e f i x e ~

u < v c ~ a C_J; also sind (V, < ) und (V, < ) isomorph, wobei V:--{cp(v) I

v e v} c__ ~ (Q).

(3.6) Man bildet nun den gesuehten Graphen G wie folgt: Es seien N, N' zwei disjunkte Exemplare der in (3.5) betrachteten Menge Q, d.h. es existieren Bijektionen ~a, q~' yon Q auf N bzw. N' , wobei wir wieder o.E. ~a = idv, d.h. N =Q, annehmen kSnnen und ~a'(q)= q' fiir alle q e Q schreiben wollen. a r b seien Elemente ~ iV u / V ' . Es sei dann

E(G) : = N u N' u {a,b},


K(G) : - - {(a,x ' )Ix ' e N ' } u {(x,b) l x e N } w { (x ' , y ) Ix ' eN ' , y e N , y e 5 } . Also: Fiir x, y e Q ist (x', y )e K(G) genau dann , wenn y ~< x. Insbesondere liegt also fiir x eQ stets (x, x') in K(G). Ferner gilt offenbar a . N . b(G). Daher fo lg t /~c(a , b) = IQI. Wir behaup ten : Vo, b(G) ~- V ~- V.

B e w e i s : J edem v e V ordnen wir eine Menge S(v) in folgender Weise zu :

B(v) : = ~ w (y' eN" i y q ~ }.

a) Ffir jedes v e V ist S(v) ein minimaler a, b-Schnit t .

D e n n zun•chst ist ] S (v) ] = I Q] k lar wegen y ' e S (v) n N ' r y • ~ = S (v) • N

(fiir a l l e y e Q). I s t (y', x) mit y, x e Q eine K a n t e y o n G, mi t y' q~ S (v), so also naeh K o n s t r u k t i o n x ~ y und y E ~, d .h . x ~ y ~ v u n d mithin x e V. Man sieht daraus , dab S(v) die Ecken a, b t rennt .

b) Zu j edem minimalen a, b-Sehnitt S yon G exist iert ein v e V mit S(v) -~ S.

Wir bemerken zuni~ehst, dal3 wegen IS I = ]Q] u n d (x', x )e K(G) fiir alle

x e Q gilt : S n / V -- {x e Q ] x ' r S}. Es sei n u n F die Menge aller x e Q mi t

C S n N u n d v : - - LJ x. D a n n i s t F c V k l a r . I s t y e ~ , so a l s o y ~< U x, x ~ F x c F

d.h . y -- y O Y = LJ (x n y) wegen der Dis t r ibut iv i t~t . I s t w der (wegen y e Q) x c F

eindeutig bes t immte untere Nachba r yon y, so wiirde, falls x [7 Y # Y fiir alle x e F g~lte, folgen y ~< w < y, mi t Widerspruch . Also existiert ein x e F mi t y < x, mi tMn folgt ~ C ~ C S n N, d .h . y e F u n d daher insgesamt ~ -- F .

Wir behaup ten n u n : S (v) = S. Nach unserer Vorbemerkung und wegen S (v) n N = ~ genfigt es zu zeigen

S n N = V . N u n gilt ftir x ~ Q:

x ~ N n S ~ x ' q ~ N ' n S ~ fiir alle y u n d (x',y) eK(G) gilt y e N n S ~ ~ C N n S r

e) Die Abbf ldung v v, S(v) liefert also wegen a), b) eine Bijekt ion von V

au f Vo. ~ (a).

d) Diese Abbf ldung ist ein Verbands isomorphismus , d e n n fiir je zwei x, y e V

grit x < y o ~ < ? ~ o S ( x ) ~ _ S ( y ) .

D a m i t ist dot Satz 5 bewiesen. Anderersei ts lassen sich alle die in dieser Arbei t fiir unger iehte te Graphen

bewiesenen Eigenschaf ten au f gerichtete G r a p h e n i ibertragen, wenn m a n , , K a n t e n " dureh , ,geriehtete K a n t e n " u n d , ,Wege" du t ch , ,Bahnen" (d.h. geriehtete Wege) ersetzt. Die Definit ionen y o n Schn i t t en ergeben sich d a n n in nat i i r l icher Weise. D a m a n aber im Grunde keine neuen Ergebnisse erh~lt,


wollen wir ohne Beweis in einem Satz diese auf geriehtete Graphen iiber- t ragenen Haupt resu l t a t e formulieren:

(3.7) Satz 6. Fiir zwei verschiedene nicht benachbarte Eeken a, b eines gerichteten Graphen G bilden die a, b-Sehnitte einen vollst~ndigen Verband

,b (G) und die minimalen a, b-Sehnitte einen distributiven Verband Ira, a(G),

der Unte rve rband yon-,V* b (G) ist. Ferner existiert zu jedem abs t r ak ten Verband V e i n gerichteter Graph G und zwei Ecken a, b in G derar t , dal3

I):, b (G) -~ V; ist V endlich und distributiv, so existiert ein endlieher geriehteter

Graph G' und zwei Ecken a, b in G' derart , d a f Va, a(G' ) -~ V.

w 4. Kantenschnitte

Folgende Definition ergibt sich in natiirlicher Weise: Eine a, b t rennende Kan tenmenge K in einem Graphen G (a r bans G) heiBt a, b-Kantenschnitt, wenn keine echte Teilmenge yon K a und b trennt. K heiBt minimaler a, b- Kantenschnitt, wenn ]K I ~ [K'I fiir alle a, b-Kantenschnit te K' in G. Sind /c, k' e K (G), so nennt man einen Weg, der ]c als erste und k' als letzte K a n t e hat , einen k, k'-Weg, und wir schreiben gelegentlich Wk, k'. I n analoger Weise spricht man yon einem k, x-Weg, wobei k e K(G) und x ~ E(G). Sind K, K" zwei a, b-Kantenschni t te in G, so he i f t K' Nach/olger yon K, wenn jeder k, b-Weg mi t K' mindestens eine Kan te gemeinsam hat. Wir schreiben dann K ~ K ' .

(4.1) Satz 7. Ffir zwei verschiedene Ecken a, b eines Graphen G bilden die a, b-Kantenschni t te einen vollst~ndigen Verband U* a,a (G) bezfiglieh der Relat ion ~_ . Die Menge aller minimalen a, b-Kantenschnit te bfldet einen dis t r ibut iven Unte rve rband Uo, b (G) yon U'a, v (G).

Ferner werden alle die im ersten und zweiten Paragraphen bewiesenen Eigenschaften der a, b-Schnitte auf die a, b-Kantenschnit te i ibertragen.

B e w e i s : Wir werden zeigen, daft die a, b-Kantenschnit te eines Graphen G als a, b-(Ecken)Schnitte des fo lgendermafen konstruierten Graphen G + inter- pret ier t werden kSnnen. Alle die in w 1 und in w 2 bewiesenen Eigenschaften werden dann offenbar fibertragen.

Man bet raehte den In terchange-Graphen yon G (d.h. den Graphen, dessen Ecken die K a n t e n yon G sind, und zwei seiner Ecken werden dutch eine K a n t e verbunden, wenn die zugehSrigen Kan t en in G eine Ecke gemeinsam haben), und man adjungiere zwei neue Ecken a +, b +. Man verbinde nun a + bzw. b + mi t alien Ecken, die (in G als K a n t e n aufgefaBt) a bzw. b als Endeeke haben. Den so erhaltenen Graphen bezeichnen wir mit (7 +.

Einen a, b-Weg W ---- (a, al) w (al, a2) u . . . . . u (a m, b) in G kSnnen wir ohne weiteres als eine Kantenfolge schreiben: W--(/Co, k 1 . . . . ,/r wobei

k o : -- (a, al), k m : = (am, b) und ]r :-- (ai, a~+l) fiir i -- 1 , . , m - - 1. Wir ordnen


nun jedem a, b-Weg in G den in G + enthal tenen a+, b+-Weg W : = (a +, k0) w (k o, kl) u . . . w (k m, b +) zu. Es ist klar, dab solche Zuordnung eine bijektive Abbildung ist. Sei nun K C K(G) ein a, b-Kantenschni t t in G. Da jeder a, b-Weg W := {k o . . . . . kin} in G mit K mindestens eine K a n t e . k i gemeinsam hat , so ha t der in G + enthaltene zugehSrige a+, b+-Weg W+ mindestens die Ecke k~ mit K (als Eckenmenge in G+ aufgefal3t) gemeinsam, also a+. K . b + (G+). Nehmen wir ferner an, es existiere 1Cf i K m i t a +. K ' . b+(G+), und sei k i e K \ K ' ; es gibt aber in G einen a, b-Weg W, mit W c~ K = {ki} , und daher mul3 K (in G +) mit W + auch nur die Ecke k~ gemeinsam haben. D.h. K ist (in G+) ein a +, b+-Schnitt. I s t S ein a +, b+-Schnitt in G+, so sieht man in analoger Weise, dab S (als Eckenmenge aufgefaBt) ein a, b-Kantenschni t t ist. Es ergibt sich auch nach leichter f2berlegung, dal3 die Nachbarschaftsrelat ion yon G in G+ erhalten bleibt.

Alle die in w 1 und w 2 fiir (Ecken-)Schnitte bewiesenen Eigenschaften fibertragen sich also auf die Kantenschni t te , und insbesondere ist der Satz 7 bewiesen.

Analog wie im Falle der (Eeken-)Schnitte kann man nun fragen, ob sich jeder (endliehe) Verband bzw. jeder (endliche) distr ibutive Verband deuten lgl3t als Verband der Kantenschni t te bzw. minimalen Kantenschni t te eines Graphen beziiglich zweier seiner Ecken. Folgender Satz zeigt, dab die erste Frage verneint zu beantworten ist. Die zweite Frage bleibt often.

(4.2) Satz 8. Der kleinste nicht semimodulare Verband B (vgl. Fig. 8) liil~t sich nieht darstellen als der Kan tensehn i t tve rband eines Graphen beziiglich zweier seiner Ecken.

S 1

~o B

Fig. 8

B e w e i s : Nehmen wir an, es existieren ein Graph G und a, b e E (G) derart , dab U:, b (G) ~- B. Often- bar kSnnen wir ohne Einschrgnkung voraussetzen, dal3 jedes (a, x) ~ K(G) und jedes (y, b) e K(G) mindestens zu einem a, b-Kantenschni t t gehSren, und dab (a, b)r K(G). Wenn wir mi t S o bzw. S 1 das Nullelement bzw. das Einselement yon B bezeichnen, so folgt, dal~ S o bzw. S 1 aus allen Kan t en besteht, die a bzw. b als Endecke haben. Es ist nun klar, dab a und b mindestens zu zwei Ecken benachbar t sind, denn S o ha t zwei obere und S 1 zwei untere Naehbarn .

Wit behaupten zun~chst, dab jede zu a benachbar te Ecke auch zu b benachbar t ist, und umge- kehrt . Nehmen wit an, dab ein x e E (G) mit (a, x) e K (G) nicht zu b benachbar t w~re. y sei eine weitere zu a benachbar te Ecke und es seien

Schnittverb~udeinGraphen 219

X := {(x, g) eK(G) I g ~ a}, Y := {(y, h) eK(G) Ih ~ a}.

Dann werden a, b yon den Mengen T x := (S o\ {(a, x)}) w X und Ty :----- (S o \ {(a, y)}) u Y getrennt; sind S x bzw. Sy in Tx bzw.

Ty enthaltene a, b-Kantenschnitte, so folgt offensichtlich: S o ,~ S~<I S I, S o ,a Sy <1 S 1, und Sx ]] Sy. Da abet S~ II Sy = S 1 gelten muB, so folgt aus S~ I I Sy C C - S x u Sy 4) und aus X c~ S 1 = ~, dab S 1 __C Y. D.h. aber, dab b nur eine benachbarte Ecke hat, und zwar y, was ein Widerspruch ist.

Ferner k a n n a (und daher auch b) nur zwei benachbarte Ecken haben, denn w~ren (a, x), (a, y), (a, z) drei verschiedene Kanten aus K (G), so w ~ e n die in T~, Ty, T z enthaltenen a, b-Kantenschnitte (hier ist Tz analog fiir z definiert, d.h. T~ :-- (S o \ {(a, z)}) w Z, wobei Z := {(z, g) e K(G) [ g ~ a}) paarweise verschieden und unvergleichbar (man bemerke, dab (a, x) ~ (Ty n T~) \ T~, (x, b)e Tx\ (Ty w T~) usw.), d.h. S o h~tte drei obere Nachbarn, was ein Widerspruch ist. Es ist also S o ---- {(a, x), (a, y)}, S 1 = ((x, b), (y, b)}.

Es seien nun x, y die zwei zu a und b benachbarten Ecken in G. Wir definieren die Mengen

x ' : = {(z, g) e K(G) I g ~ a, b}, Y' := {(y, h) e K(G) I h ~ a, b},

und betrachten die a, b trennenden Kantenmengen

T~ := (S o \ {(a, z)}) u X' w {(x, b)} = {(a, y), (x, b)} w X', T ' := (S O \ {(a, y)}) u r ' w {(y, b)} = {(a, x), (y, b)} ~) r ' ,

Y T~ := (S~ \ ((b, x)}) u X' w {(a, x)} = {(a, x), (y, b)} u X' , T" := (S~ \ {(b, y)}) w r ' w {(a, y)} = {(a, y), (x, b)} u Y'.

Y

Die vier a, b-Kantenschnitte S' C T' S' C T' S" C T" S" C T" sind echte Nachfolger yon S o und echte Vorgiinger yon S~, und kSnnen deshalb nicht alle verschieden sein (denn sonst enthielte U:b(G ) mindestens sechs Elemente). Die einzigen MSglichkeiten sind entweder S' = S" oder S ' - S"

X y y - - X' aber beide F~lle fiihren sofort zu X' = Y' = ~, d.h. G besteht nur aus den vier Kanten (a, x), (a, y), (x, b), (y, b), und natiirlich kann U* ,,b (G) ~- B dann nicht gelten (U:,b(G) besteht in diesem Falle aus den Elementen {(a, x), (a, y)}, {(a, x), (y, b)}, {(a, y), (x, b)}, {(x, b), (y, b)}).

Satz 8 kSnnte die Vermutung nahelegen, dab U**b (G) stets distributiv sein miil~te. Folgendes Beispiel zeigt, dab U:j,(G) nicht einmal semimodular zu sein braucht.

(4.3) Beispiel. Sei G der Graph, bestehend aus den Ecken a, b, c, d, e, und aus den Kanten (a, c), (a, e), (c, d), (d, e), (c, b), (e, b). U:~ (G) besitzt folgende

t) Vgl. mit der Konstruktion des Supremuma ~ in (2.6).

220 Fernando Escalant, Schnittverb~nde in Graphen

sechs Elemente und ist offenbar nieht semimodular (vgl. Fig. 9) : S O : = [(a, c), (a, e)}, S, :-- {(c, b), (e, b)}, S~ :-- {(a, c), (d, e), (e, b)}, S 3 :-- {(a, c), (c, d), (c, b)}, S , : = {(a, e), (c, d), (e, b)}, S s :---- {(a, e), (d, e), (c, b)}.

s I

s3

$4A~/82 l/a~,b(G ) S o Fig. 9

Literatur

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[2] H. G E ~ c ~ . , Theorie der Verb~nde. Bibliographisches Inst i tut Mannheim. Mannheim 1967.

[3] R. H A I ~ , ]~2~ber trennende Eckenmengen in Graphen und den Mengerschen Satz. Math. Ann. 157 (1964), 3~ ~1.

[4] D. K6NIG, Theorie der endlichen und unendlichen Grapher*. Chelsea Publishing Company. l~ew York 1950.

[5] K. WAG~-ER, Graphentheorie. Bibliographisches Inst i tut Mannheim. Mann- helm 1970.

Eing~angen am ,5.4.1971

schnittverbände in graphen

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