ABI 2015 Analysis Aufgabengruppe 1, Prüfungsteil B

1) geg: f1 1

f(x) , D \ { 3; 1}x 1 x 3

= − = − −+ +

a)

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x 3 x 1 2 2f(x) Term 1 Term 2

x 1 x 3 x 1 x 3 x≤ 4x 3

1 1 10,5 x 2 ≤ 0,5 0,5x≤ 2x 2 0,50,5 x≤ 4x 4 0,5

1 2Term 3

0,5x≤ 2x 1,5 x≤ 4x 3

+ − += = ⇒ = ⇒

+ + + + + +

= =+ − + + −+ + −

= = ⇒+ + + +

b) Da Zählergrad < Nennergrad ist y = 0 die waagrechte Asymptote senkrechte Asymptoten bei x = -3 und x = -1

1 1 2f(0)1 3 3

= − =

c) geg: ( )p : x 0,5 x 2 ≤ 0,5→ ⋅ + − hat Nullstellen x = -3 und x = -1, 1f(x)

p(x)=

( )p'(x)

f '(x)p(x) ≤

= −

f '(x) 0 p '(x) 0 ,p(x) hat nur f¸ r x 2 eine waagrechte Tangente einzige Nst. von f ' f¸ r x 2

= <=> =

= − => = −

In I = ]-3;-2] ist p(x) str. monoton fallend => p’(x)<0 => f’(x)>0, Gf str. m. steigend In I = ]-2;-1] ist p(x) str. monoton steigend => p’(x)>0 => f’(x)<0, Gf str. m. fallend => Extremstelle = MAX (-2|-2)

d) 1 2f( 5) , f( 1,5) 24 3

− = − = −

P

P P

P

P (P) (P)

P

P

P

P

P P

(P) (P)

P P P