Sveuilite u Zagrebu Fakultet organizacije i informatike

Esej broj 19: Savreni i prijateljski brojevi

U Varadinu, datum 6.studeni.2011. Aleksandar Kapitan, G13

Savreni i prijateljski brojeviNeki sloeni brojevi su privukli panju mnogih uglednih matematiara za prouavanje teorije brojeva, ali i ljude zainteresirane u razliite misterije, vraeve, vjerske iscjelitelje i druge tome sline ljude. Te brojeve danas zovemo savrenim i prijateljskim brojevima. Ovaj esej ukratko objanjava svojstva tih brojeva i njihovu prolost.

Savreni brojeviTo su prirodni brojevi koji su jednaki sumi svih svojih moguih djelitelja, bez njega samog.Primjer savrenih brojeva

Broj 6 28 496

Njegovi djelitelji 1,2,3,6 1,2,4,7,14,28 1,2,4,8,16,31,62,124,248,49 6

Zbroj djelitelja (bez poetnog broja) 1+2+3= 6 1+2+4+7+14= 28 1+2+4+8+16+31+62+124+248= 496

Povijest savrenih brojevaSavreni brojevi bili su poznati grkim matematiarima prije nove ere od kojih je najznaajniji Euklid (300. Prije Krista). On je u svojoj IX. knjizi dokazao da prvih 4 savrenih brojeva moemo zapisati formulom 2p1(2p1). No taj teorem nije vrijedio za bilo koji p, nego za sve one p gdje je 2p1 jednak prstom broju. Danas je formula 2p1 poznata kao osnova za mersennove proste brojeve. Oko 100. godine poslije Krista, Nicomachus je tvrdio da gore navedena Euklidova formula daje uvijek savrene brojeve, te da su brojevi 6, 28,496 i 8128 jedini u intervalu od 1 do 10,000 i naizmjence zavravaju s 6 ili 8. Taj teorem nitko nije mogao dokazati sve do 18. stoljea kada je vicarski matematiar Leonhard Euler uspio djelomino dokazati taj teorem. Tvrdio je da se svaki savreni broj moe zapisati u obliku euklidove formule i da postoji veza izmeu mersennovih prostih brojeva i savrenih brojeva tako da za svaki mersennov prost broj postoji jedan savreni broj i obrnuto. Do danas je poznato 47 mersennovih prostih brojeva i 47 savrenih brojeva od kojih je najvei 243,112,608 (243,112,6091) sa 25,956,377 znamenki ali sam teorem nije u potpunosti dokazan.

Svojstva savrenih brojevaSvojstvo 1. Suma djelitelja (grko slovo sigma) je opisana ovom formulom gdje je n neki prirodan broj, a d svi mogui pozitivni djelitelji tog broja.

Primjer.Svojstvo 2. Za neki broj N kaemo da je savren ako je . Ako je zbroj djelitelja nekog N manji od 2N, tada kaemo da je taj broj neispravan ili manjkav, a kada je zbroj djelitelja nekog N vei od 2N kaemo da je obilan. Kad kaemo da je zbroj svi pozitivnih djelitelja nekog broja jednak tom broju pomnoenog s 2, to je isto kao da kaemo da je zbroj svih djelitelja nekog broja bez tog broja, jednak tom istom broju.

A iz toga slijedi da je gdje je x broj djelitelja umanjen za jedan. Svojstvo 3. Euklid je prvi prouavao proste brojeve te ih pokuavao nai neke pravilnosti vezane uz njih. Uoio je da se prvi etiri savrena broja mogu zapisati na ovaj nain: 6 = 21 (1 + 2) = 2 3, 28 = 22 (1 + 2 + 22) = 4 7, 496 = 24 (1 + 2 + 22 + 22 + 22) = 16 31 8128 = 26 (1 + 2 + + 22) = 64 127. Iz tih pravilnosti se dobije formula: . Iako se i neki drugi brojevi mogu zapisati na ovaj nain, Euklid je pronaao pravilnost u dobivanju savrenih brojeva, pa je napravio teorem. 90 = 23 (1 + 2 + 22 + 23) = 8 15 2016 =25 (1+2+ +25) = 32 63 Brojevi 90 i 2016 se takoer mogu zapisati na gore dan nain, ali oni nisu savreni brojevi. Euklid je to objasnio tako da je kod nesavrenih brojeva drugi faktor u mnoenju sloen broj(15 = 3*5, 63=7*9), a kod savrenih brojeva drugi faktor je uvijek prosti broj.

U 17. stoljeu, redovnik Marin Mersenne prouavao je kako dobiti proste brojeve iz euklidovog dijela formule 2p 1, a kasnije su i nazvani po njemu. Zakljuio je da p vrijedi za p = 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19 i druge te je trebalo gotovo 200 godina da se provjere njihova tonost.

Postoji jedan izvrstan kriterij koji odgovara marsennovim savrenim brojevima: Svojstvo 4. Ako je 2p 1 prost tada je i sam p prost. Svojstvo 5. Svaki savreni broj, osim broja 6, se moe zapisat kao zbroj kubova neparnih brojeva.

Svojstvo glasi: ako je N savren tada se moe zapisat formulom : Svojstvo 6. Pojedinano zbrajanja znamenki savrenog broja, osim broja 6, jednak je 1

Svojstvo 7. Kad je savren broj i zapisan u binarnom kodu ima 2p-1 znamenki gdje su prvih p znamenki samo jedinice, a ostale znamenke su same nule. 6 = 110(2) 28 = 11100(2) 496 = 111110000(2) 8128 = 1111111000000(2) Svojstvo 8. Suma recipronih djelitelja savrenog broja ukljuujui i recipronu vrijednost samog broja ali bez jedinice jednak je jedan.

Prijateljski brojeviTo su dva prirodna broja iji je zbroj djelitelja jednog broja, bez tog broja, jednak drugom broju i obrnuto. Najmanji par takvih brojeva su 220 i 284. primjer: 220 se dijeli na:1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110 284 se dijeli na: 1, 2, 4, 71 i 142

Povijest prijateljskih brojevaKao i kod savrenih brojeva i prijateljski brojevi su bili poznati starim Pitagorejcima jo prije nove ere koji su mi davali mitska znaenja. Prva formula kojom se mogu dobiti neki par prijateljski brojeva osmislio je Thbit ibn Qurra, 850. godine, a tek 1000 godina kasnije Leonhard Euler ju je usavrio i danje usavrenije je izveo Borho u 1972. godini. Ostali arapski matematiari koji su pruavali parove prijateljskih brojeva bili su: al-Majriti (1007.),al-Baghdadi (980-1037), i al-Fris (12601320) i njihov je rad uglavnom zaboravljen.

Dugo su se brojevi 220 i 284 smatrali jedinim takvim brojevima sve do 17. stoljea kada su se pojavila 2 francuska matematiara : 1636. godine, Pierre de Fermat s novim parom prijateljskih brojeva (17296 i 18416) i dvije godine kasnije Ren Descartes s parom 9363584 i 9437056. Oba su koristila ponovo otkrivenu formulu Thbita ibn Qurrata. Leonhard Euler je 1750. godine je pronaao novih 60 prijateljskih brojeva, a 1866. godine, esnaestogodinjak je otkrio jedan manji par brojeva (1184 i 1210) Danas ih je ukupno poznato preko 1000 parova takvih brojeva.

Pravljenje takvih brojevaPravila Thbit ibn Qurra : 1. 2. 3. Gdje je n > 1 i p i q su prosti brojevi tada se ureen par prijateljskih brojeva dobije formulama: 1. broj = 2. broj = Ove formule vrijede samo za n = 2,4 i 7 Eelerova nadopuna formule:

Za ove nadopune mora vrijediti da je n>m>0 i da su p i r prosti brojevi, tada moemo izraunati prijateljske brojeve po gore danim formulama.

ZakljuakOve vrste brojeva karakteriziraju mnoga specifina svojstva koja ih ine misterioznima i zanimljivim te ne iznenauje da su im ljudi posveivali veliku panju, bilo to za svrhu boljeg upoznavanja tih brojeva ili praznovjerja.

Literatura koritena za ovaj esej: [1] Gullberg J., Mathematics. From the Birth of Numbers, W.W.Norton & Company, New York, 1997. [2] Perfect number (Wikipedia Perfect number) 6.11.2011. [3] PERFECT NUMBERS: AN ELEMENTARY INTRODUCTION, JOHN VOIGHT (link) 6.11.2011. [4] Amicable numbers (Wikipedia - Amicable numbers) 6.11.2011.