savarankiškas darbas nr. 2 darbo tikslai€¦ · savarankiškas darbas nr. 2 darbo tikslai: •...
TRANSCRIPT
-
Savarankiškas darbas Nr. 2
Darbo tikslai:
• Geb÷ti skaičiuoti funkcijos ribą ir nustatyti funkcijos tolydumą. • Teisingai skaičiuoti funkcijos išvestinę ir diferencialą. • Taikyti išvestines funkcijų tyrimui, grafikų analizei ir įvairių fizikinių charakteristikų
skaičiavimui. • Parinkti tinkamus sprendimo metodus integralų skaičiavimui ir pateikti teisingus
atsakymus. • Geb÷ti taikyti apibr÷žtinį integralą geometriniuose, fizikiniuose ir mechanikos
uždaviniuose.
Uždaviniai:
• žinoti išvestin÷s prasmę bei jos savybes; • žinoti neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralo sąvokas, jų savybes bei integravimo
metodus; • geb÷ti taikyti funkcijų ribas funkcijos tolydumo nustatymui; • geb÷ti taikyti išvestin÷s savybes funkcijų tyrimui ir grafijų analizei; • geb÷ti taikyti neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralo savybes bei integravimo metodus; • geb÷ti sudaryti apibr÷žtinį integralą bei taikyti jį plotų, tūrių, įvairių fizikinių
charakteristikų skaičiavimui.
-
Metodin÷s rekomendacijos savarankiškam darbui Savarankišką darbą sudaro 6 užduotys, norint jį atlikti reikia išsiaiškinti funkcijas,
funkcijų ribas, išvestines ir išvestinių taikymą funkcijų tyrime, neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralo integravimo metodus bei apibr÷žtinio integralo tailymus..
Savarankiškame darbe pateikta 35 skirtingi užduočių variantai, kuriuos studentai pasirenka pagal sąrašo eil÷s numerį.
Savarankiškas darbas turi būti atliktas ant A4 formato lapų ( gali būti langeliais), paliekant paraštes pastaboms. Darbo titulinis lapas turi būtį atspausdintas pagal nurodytą formą.
Uždaviniai turi būti sprendžiami eil÷s tvarka. Prieš pradedant spręsti uždavinį, pirmiausia turi būti užrašoma uždavinio sąlyga. Perrašydamas uždavinio sąlygą, studentas, bendrus duomenis turi pakeisti konkrečiais duomenimis, atitinkančiais jo variantą.
Uždavinių sprendimai turi būti pakankamai išsamūs, aiškūs: br÷žiniai atliekami tiksliai ir tvarkingai. Darbai, atlikti nepaisant nurodytų reikalavimų, parašyti nepakankamai įskaitomai arba atlikti ne pagal savo variantą, neįskaitomi ir gražinami netikrinti.
Atsakymai į teorinius klausimus galima rasti literatūroje [1]....[5]. Literatūra:
1) B. Godvaiša, R. Šileikien÷, J. Šinkūnas. Matematika 1.Vilnius: Mokslas, 1992 2) B. Godvaiša, J. Šinkūnas. Matematika 2.Vilnius: Žiburio leidykla, 1996 3) R. Atstup÷nien÷, V. Kravčenkien÷, D. Plukien÷, P. Ramelyt÷, I. Tiknevičien÷. Matematika 2. Kaunas: Technologija, 2008 4) A. Apynis, E. Stankus. Matematika. Vilnius: TEV, 2001. 5) N. Bogomolovas. Matematikos uždavinynas technikumams. Vilnius: Mokslas. 1983.
Nuorodos 1-6 uždaviniams iš literatūros sąrašo kiekvienam uždaviniui nurodoma
[X, Y] (X- rodo literatūros sąrašo numeris, Y- skyrius, reikalingas uždaviniams išspręsti]
Toliau nurodyta kiekvienam uždaviniui reikalinga tema ir ją atitinkantis skyrius iš literatūros sąrašo:
1) Funkcijos riba. Ribų skaičiavimas [1, 4], [5, 5]; 2) Išvestin÷. Išvestinių taikymas funcijų tyrimui ir grafikų analizei [5, 6], [5, 7], [2, 1], [2, 2]; 3) Neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralų sąvokos, jų savyb÷s.Integravimo metodai: tiesioginis, kintamųjų pakeitimo, integravimo dalimis metodas [2, 3], [2, 4], [5, 10], [5, 11], [3, 2], [3, 3]. 4) ,5), 6) Apibr÷žtinio integralo taikymai plokščių figūrų plotų, sukinių tūrių ir kitų fizikinių charakteristikų skaičiavimui [3, 5], [5, 12], [2, 5].
-
Savarankiško darbo užduotys
1 Variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
a. ( )( )
.1
lim,55
lim;2
23lim
01
x
xxx x
x
xx
x
x
xx
++−−+
−+
∞→→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.42 −
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )
dxxxxdxe
dxe
x
dx
x
xdx
dxxtgdxx
xdx
xxxxd
x
xd
e
x
x
x
)2(;ln;1
;2cos
;sin94
cos
;24
;2
;2
1
35);2(sin5;
2
)2(
38
01
1
02
6
8
22
3
2242sin
2
2
+++
−
−
++−
+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫π
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .4,4 22 yxxy ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 2xy = ir tiese 04 =− yx .
6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 8m ir aukštin÷ 6 m?
-
2 Variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
.3
1lim,3
1
9
6lim,,
84
5lim
232
x
xxx xxxx
+
−−
−− ∞→→→ 2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.92 −
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.ln)1(;1
;2sin
.;cos
)1(;;
3
;;2
;33
5;)2ln3)2ln3cos(.);4(sin5
1
1
0
6
8
22
222354sin
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
++
+
−
++−++
e
x
xx
x
xdxxe
dxe
x
dx
x
dxxarctgxdxdx
x
dxx
xdx
xxxxdxxd
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .4,4 22 yxxy ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 42 −= xy ir tiese 0=y .
6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 6m ir aukštin÷ 4 m?
-
3. Variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
( )( ).
1lim,
44lim;
2
32lim
2
01
x
xxx x
x
xx
x
x
xx
++−−+
−+
∞→→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .12 −
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
4.
( )
( ) dxxx
xdxxdxx
x
dxxxdxarctg
dxdxxdx
xxxdx
xdx
xx
)2
(;1ln;1;cos
;2
;644
8;24sin,
4
1
53);3(sin2;
2
)2(
8
0
3 21
0
3
132
2
233sin
3 2
2
+++
+−
−+−
+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,2 2 =−= yxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,4,1,4 ==== yxxxy
6. 6 N j÷ga ištempia spyruoklę 2 cm. Pradinis spyruokl÷s ilgis 14 cm. Kokį darbą reikia atlikti, ištempiat spyruoklę iki 20cm?
-
4 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
2. .3
1lim,14
132lim,
84
5lim
2
2
2
x
xxx xxx
xx
x
+
++
+−
− ∞→∞→→
3. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .162 −
=x
xy
4. Apskaičiuokite:
5.
( ) ( )
.)4
3(.4.3;cossin.3.3;2sin.2.3;4
;ln1
;sin;32sin;4
1
5
33
2;)ln)sin(ln;
3
)3(
4
0
2
0
222
0
2
02
cos3
3 2
2
dxx
xxdxxxdxxx
dx
x
dxx
xdxedxxdxx
xx
xdxx
xd x
+−
+
−
−+−
+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫ππ
6. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,6,2,ln ==== yxxxy
7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π
8. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į trapecijos pavidalo užtvanką, jei viršutinis pagrindas 20 m (vandens paviršiuje), apatinis 10 m ir aukštis 6 m?
-
5 variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
( )( ).
53
32lim,
3
1
9
6lim,;
2
23lim
3
24
231 xx
xx
xxx
xx
xxx −
+−
−−
−+
−+
∞→→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .42
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )
( ).)cos(;cossin;2sin)1(;
9,
21sin
2
;cos,;3
.5.2;3
186);2(cos3;
sin
sin
0
2
0
232
0
3
022
sin3
22cos
dxxexdxxxdxxx
dxdx
xdxedxx
xdxxxxd
x
xd
x
x
x
xx
−+−+
+
−+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
π
ππ
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki 2
π
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π
6. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu ( ) smttv /43 2 += , antrasis- greičiu ( )126 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu
atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?
-
6 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
( )( ).
21
2lim
53
32lim;
12
23lim
3
24
1
x
xxx x
x
xx
xx
x
xx
+−
+−++
∞→∞→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .12
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )
( )( )
.)2
(
;;sin;sin1
cos;
2cos;32
;4
;3
1sin4;)4ln5)4ln5(;52
4
3
02
3
4
23
0
cos2
6
32
2
23
dxx
x
dxtgdxxex
xdx
x
dxxdxxctg
dxx
dxx
xdxx
xx
x
x
∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
+
+−+
+++
−+−
π
π
ππ
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2
3,3 22 yxyx =+=
7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreiv÷mis 24
1xy = ir
xy 42 = . 8. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu
( ) smttv /32 2 += , antrasis- greičiu ( )106 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?
-
7 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.1
lim,53
32lim,
52
23lim
2
3
24
2
2
0
x
xxx x
x
xx
xx
xx
xx
+−
+−
−
−
∞→∞→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .92
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
( )
( ) dxxxe
dxe
x
dx
x
xdxdx
xdxxtg
dxx
xdx
xxxxdx
x
xd
x
xx
)3(;1
;4sin
,sin49
cos;
3;32
;2
;23
5;)2ln3)2ln3sin(;2
)2(
328
0
1
0
6
8
22
2
2226
3
+++
−
−
++−++
+
+
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2,1,0,43 =−==−= xxyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 92 −= xy ir tiese 0=y .
6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreivių 2xy = ir xy = , mas÷s centro koordinates.
-
8 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.41
4lim,
55lim,
52
23lim
02
2
0
x
xxx x
x
xx
x
xx
xx
++−−−
−
∞→→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.162
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
( ) .)2
(;2ln;1sin2
cos;
3;
cos
;52
;24sin;4
.);3(cos4;1
)1(
8
0
3 21
0
2
0
3
3222
6
5
4
23cos
3 2
2
dxxx
dxxdxx
x
x
dx
x
dxx
dxx
xdxxdx
x
xxd
x
xd x
++++
−+
+
+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫π
3. 4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .182,1882 +−=+−= xyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,4,1,1 ==== yxxxy
6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s 24 xy −= lanko, esančio tarp jos susikirtimo su ašimi Ox taškų.
-
9 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.41
4lim,
33lim,
53
32lim
03
24 x
xxx x
x
xx
x
xx
xx
++−−−
+−
∞→→∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką 21
2
x
xy
+=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.)2
(;ln;.;13
;sin)32(
,5
cos21;4
;4
1
3
22;)4ln5)4ln5(;
4
1
3
1
34
1
1
0
3
226
2
2
dxx
xxxdxx
e
dxe
x
dxxdxx
dxx
dxx
xdx
xxxxdx
x
dx
e
x
x
++
−
+
−+−++
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .,32 xyyx ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OY ašį figūrą, apribotą kreive xy −= 42 ir tiese 0=x .
6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreivių 2xy = ir xy = , mas÷s centro koordinates.
-
10 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.31
3lim,
66lim,
3
1
9
6lim
023
x
xxx x
x
xx
x
xx
++−−
−−
− ∞→→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.6
2
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
.)3
2(;cossin;3sin;94cos
;cos
cos2;32ln.;
5
1
246.;)lnln);(3
4
0
2
0
23
0
3
022
2
24522
dxx
xxdxxxdxxx
dxdx
x
dx
dxx
xdxxdx
xxxxxdxdx
+−
−−
−+−
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫ππ
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2
3,3 22 yxxyx =+=
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Oy ašį figūrą, apribotą linijomis kreive 3xy = ir ties÷mis .8,0 == yx 6. 10 N j÷ga ištempia spyruoklę 3 cm. Pradinis spyruokl÷s ilgis 12 cm. Kokį darbą reikia atlikti, ištempiat spyruoklę iki 20cm?
-
11 Variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.31
3lim,
66lim,
3
1
9
6lim
023
x
xxx x
x
xx
x
xx
++−−
−−
− ∞→→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .1
2
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.ln)32(;1
;2sin
,sin9
cos;
cos
3
;3
;26
;2
.5.2;)4ln)4cos(ln);2(sin4
1
1
0
6
8
222
22sin
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
+++
−
−++
e
x
x
xx
xdxxe
dxe
x
dx
x
xdx
x
dx
dxx
dxxtgdxx
xxdxxd
π
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .9,9 22 yxxy ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 2xy = ir tiese 04 =− yx . 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 6m ir aukštin÷ 4 m?
-
12 Variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.4
1lim,52
25lim,
15
4lim
2
2
2
0
x
xxx xxx
xx
x
+
−
−
+ ∞→→∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .1
2
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.)4
(;ln)23(;1
;1
.;cos
)2(;sin
;43
;23
;)2ln3)2ln3();4(sin
48
0
2
1
1
0
2
122
2
2
44sin
dxx
xxdxxe
dxe
x
xdx
x
dxxxdxx
dxxtgdxx
xxdxxde
x
x
x
++++
+
−
−++
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .3,76 2 −=−−= xyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Ox ašį figūrą, apribotą kreive 1582 +−= xxy ir tiese 0=y .
6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 8m ir aukštin÷ 4 m?
-
13 Variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.4
1lim,53
25lim,
15
3lim
3
2
2
0
x
xxx xxx
xx
x
+
−
−
+ ∞→→∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .4
2
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
( ) .)2
(;3ln;2,;cos
,3
;23sin.;2
1
53;)2ln)2sin(ln);3(sin7
8
0
3 21
0
3
1
4242
3
6233sin
dxxx
dxxdxxdxex
dxxxdxarctg
dxxdxx
xxxdxxd
x
x
+++
−
−+−
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
−
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,2 =−= yxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,9,1,9 ==== yxxxy
6. 10 N j÷ga ištempia spyruoklę 2 cm. Pradinis spyruokl÷s ilgis 16 cm. Kokį darbą reikia atlikti, ištempiat spyruoklę iki 20cm?
-
14 variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .21lim,4lim,15
4lim
22
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .9
2
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
.cossin;3sin;16
;ln1
;
;218
;62sin.;2
1
53
2;)3ln)3sin(ln);3(cos4
2
0
22
0
4
02
33
23
23cos
4
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
−
+
+−
−+−
ππ
xdxxxdxxx
dx
x
dxxdxxe
dxx
xdxxdx
xx
xxdxxd
x
x
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,322 =++−= yxxy 5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į trapecijos pavidalo užtvanką, jei viršutinis pagrindas 10 m (vandens paviršiuje), apatinis 5 m ir aukštis 36 m?
-
15 variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .21lim,3lim,15
4lim
222
2
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.16
2
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.)2cos(.;2sin)13(;16
;41
;cos2
;;16sin;13
;3
183);2(sin3;
cos
cos
0
2
0
4
024
sin
222sin
dxxexdxxx
dx
x
xdxxdxe
dxxdxx
xdxxxxd
x
xd
xx
x
−+−−
−+
−+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki 2
π
5. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu ( ) smttv /63 2 += , antrasis- greičiu ( )106 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu
atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?
6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s2
2xy = lanko, esančio tarp O (0; 0) ir
2
3;3 .
-
16 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .41lim,5lim,15
4lim
222
2
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.12 +
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )( )
( )( )
( ) .1;sin;cos1
sin
1sin;3
;1
;)2ln(;2
;)4ln5)4ln5(;32
4
2
1
322
0
cos2
6
2
22
23332
dxxxdxxex
xdx
e
dxedxxctg
dxx
xdxxxdx
x
xxdx
xxx
x
x
x
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
−
−++
+
+
+++
−+−
ππ
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2
3,3 22 yxyx =+=
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreiv÷mis 24
1xy = ir
xy 42 = .
6. Raskite sunkio centrą figūros, kurią riboja abscisių ašis ir parabol÷s 22 xxy −= .
-
17 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .11lim,lim,15
4lim
222
3
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.4
92
2
−
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.)1
(;ln)3(;)6
2cos(;cos
)2(;4
;2
;2
;3
2
62;)2ln)2(ln);8(sin8sin
4
11
4
6
2
2
2
292
dxx
xxdxxdxxx
dxxxdxarctg
dxx
dxx
xdx
xxxxdxxxd
e
x
−−−−
−
++−++
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫−
π
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .1,1,0,43 =−==−= xxyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 42 −= xy ir tiese 0=y .
6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreiv÷s xy 42 = , ašies Ox ir ties÷s 4=x , mas÷s centro koordinates.
-
18 variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .11lim,5lim,15
lim
222
3
x
xxx xxxx
x
x
−−+
+ ∞→∞→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .4
92
2
−
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )( )
( )
( ) .)3
(;32ln;3sin2
cos;;)14(
;32
;34sin;4
;ln
)ln);3(cos9
8
0
3 21
0
2
0
34
6
5
3
23cos
dxxx
dxxdxx
xdxedxex
dxx
xdxxdx
x
x
x
xdxd
xx
x
+++
−
−+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
−
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .1,1,0,3 =−==−= xxyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,2,1,1 ==== yxxxy
6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s 29 xy −= lanko, esančio tarp jos susikirtimo su ašimi Ox taškų.
-
19 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) ( ) .21lim,4lim,65lim22
22x
xxx xxxxxx
−−++−
∞→∞→−∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką 24 x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )
.)2
(;sin1
cos;
)1(,
25
3;sin)34(
;3;5
cos21.;4
1
34;)4ln5)4ln5(.;
4
1
22
6
1
02
3222633
33
dxx
xx
x
xdx
xx
dx
e
dxexdxx
dxxdxx
dxx
xxxdxx
dx
x
x
x
+++−
−
−+−++
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫−
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2,3 xyxy ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OY ašį figūrą, apribotą kreive 422 =− yx ir tiese 2±=y .
6. Ištempiant spyruoklę 0,04 m, reikia atlikti 20J darbą. Kiek galima ištempti spyruoklę, atlikus 90 J darbą?.
-
20 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .41lim,2lim,15
32lim
222
x
xxx xxxx
x
x
−−+
+
+
∞→∞→−∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .12
3
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
.)2
(;2sin;16
.1.3.5cos
;cos3
;cos
cos2;32ln;
5
1
342;)ln2)ln2cos();(3
4
0
2
0
4
022
sin
2
24533
dxx
xxdxxx
dxdx
x
dxdxe
dxx
xdxxdx
xxxxdxxd
x
x
+−
−+
−+−
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2
3,3 22 yxxyx =+=
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Oy ašį figūrą, apribotą linijomis kreive 3xy = ir ties÷mis .27,0 == yx 6. Ištempiant spyruoklę 0,04 m, reikia atlikti 18J darbą. Kiek galima ištempti spyruoklę, atlikus 70 J darbą?.
-
21 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.4
1lim,33
6lim,
15
3lim
22
6
x
xxx xx
x
x
x
+
−+
−
+
+
∞→→−∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .2
2
+=
x
xy
3. Apskaičiuokite neapibr÷žtinius integralus:
( ).)
3(;;sin;
sin1
cos;
1cos
;4
;2
;3
1sin4);2(sin4;52
42
3
02
3
4
23
0
cos2
6
32
2
2sin23
dxx
xdxtgdxxe
x
xdx
x
dxx
dxx
dxx
tgdxx
xdex
xx
x
xx
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
+
+−
+
−+−
π
π
ππ
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2
3,3 22 yxyx =+=
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreiv÷mis 2
4
1xy = ir xy 42 = .
6. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu ( ) smttv /34 2 += , antrasis- greičiu ( )106 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu atstumu
nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?
-
22 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.4
1lim,33
6lim,
15
3lim
22
6
x
xxx xx
x
x
x
+
−+
−
+
+
∞→→−∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką
.2
2
+=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
.)3(;ln;4sin
,sin49
cos;
cos
)1(
;3
;32;23
52;)2ln3)2ln3sin();(sinsin
338
01
26
8
222
26
dxxxxdxxx
dx
x
xdx
x
dxx
dxx
dxxtgdxx
xxxdxxxd
e
x
++
−
−
++−++
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2,1,0,43 =−==−= xxyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 92 −= xy ir tiese 0=y .
6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreivių 2xy = ir xy = , mas÷s centro koordinates.
-
23 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.4
1lim,33
6lim,
15
3lim
2
62
x
xxx xx
x
x
x
+
−+
−
+
+
∞→→−∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .22
2
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
( ) .)4
(;3ln;3
;cos
;)12(
;52
;24sin;4
1
532;)lnln);3(cos4
8
0
3 21
0
3
3222
6
543cos
dxxx
dxxx
dx
x
dxxdxex
dxx
xdxxdx
xxxxxdxd
x
x
+++
−
−+
++−
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .182,1882 +−=+−= xyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,4,1,1 ==== yxxxy
6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s 24 xy −= lanko, esančio tarp jos susikirtimo su ašimi Ox taškų.
-
24 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.4
1lim,22
2lim,
15
3lim
2
22
x
xxx xx
x
x
x
−
−+
−
+
+
∞→→−∞→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .22
2
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )
.)2
(;ln;;13
;)ln31(
2
;sin)32(;5
cos21;4
1
3
22;)4ln5)4ln5(;
4
1
3
1
34
1
1
0
262
2
dxx
xxxdxx
e
dxe
x
dx
xx
dx
xdxxdxx
dxx
xxxdxx
dx
e
x
x
+++
−
−+−++
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .,32 xyyx ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OY ašį figūrą, apribotą kreive xy −= 42 ir tiese 0=x .
6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreivių 2xy = ir xy = , mas÷s centro koordinates.
-
25 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( )( ).
31
3lim,
33lim;
1
23lim
01
x
xxx x
x
xx
x
x
xx
++−−+
−+
∞→→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .12
3
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite neapibr÷žtinius integralus:
( ) ( )
.)(;ln)32(;1
;2sin
;ln2
;cos
cos2;32ln;
5
1
246;)lnln;
3
)3(
38
01
1
0
6
8
2
2
245
3
dxxxxdxxe
dxe
x
dx
x
dxx
dxx
xdxxdx
xxxxxd
x
xd
e
x
x
+++
+
−−
−+−
+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .9,9 22 yxxy ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Oy ašį figūrą, apribotą linijomis kreive 3xy = ir ties÷mis .8,0 == yx
6. 10 N j÷ga ištempia spyruoklę 3 cm. Pradinis spyruokl÷s ilgis 12 cm. Kokį darbą reikia atlikti, ištempiat spyruoklę iki 20cm?
-
26 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( )( ).
21
2lim,
55lim;
2
13lim
01
x
xxx x
x
xx
x
x
xx
++−−+
−+
∞→→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .
1
12
2
+
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
( ) .)4
(;3ln;3
;cos
;)12(
;52
;24sin;4
1
532;)lnln);3(cos4
8
0
3 21
0
3
3222
6
543cos
dxxx
dxxx
dx
x
dxxdxex
dxx
xdxxdx
xxxxxdxd
x
x
+++
−
−+
++−
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .182,1882 +−=+−= xyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,4,1,1 ==== yxxxy
6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s 24 xy −= lanko, esančio tarp jos susikirtimo su ašimi Ox taškų.
-
27 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
.31
3lim,
22lim,
4
1
16
6lim
024
x
xxx x
x
xx
x
xx
++−−
−−
− ∞→→→ 2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką.
42
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.ln)3(;1
;2sin
,sin9
cos;
cos
2
;3
;26
;2
.5.2;)4ln)4cos(ln);3(sin4
1
1
0
6
8
222
23sin
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
+++
−
−++
e
x
x
xx
xdxxe
dxe
x
dx
x
xdx
x
dx
dxx
dxxtgdxx
xxdxxd
π
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis:.9,9 22 yxxy ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 2xy =
ir tiese 04 =− yx . 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 6m ir aukštin÷ 4 m?
-
28 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .11lim,2lim,15
4lim
222
2
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .4
12
2
−
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.)1
(;ln)3(;)6
2cos(;cos
)3(;4
;2
;2
;3
2
63;)2ln)2(ln);3(sin3sin
4
11
4
6
2
2
2
292
dxx
xxdxxdxxx
dxxxdxarctg
dxx
dxx
xdx
xxxxdxxxd
e
x
−−−−
−
++−++
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫−
π
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .1,1,0,43 =−==−= xxyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 42 −= xy ir tiese 0=y .
6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreiv÷s xy 42 = , ašies Ox ir ties÷s 4=x , mas÷s centro koordinates.
-
29 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .51lim,3lim,13
4lim
222
1
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .16
2
2
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.)2cos(.;2sin)13(;16
;41
;cos2
;;16sin;13
;3
183);2(sin3;
sin
sin
0
2
0
4
024
sin
222sin
dxxexdxxx
dx
x
xdxxdxe
dxxdxx
xdxxxxd
x
xd
xx
x
−+−−
−+
−+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki
2
π
5. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu ( ) smttv /63 2 += , antrasis- greičiu ( )106 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu
atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?
6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s2
2xy = lanko, esančio tarp O (0; 0) ir
2
3;3 .
-
30 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .41lim,4lim,15
2lim
22
2
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .12 +
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )( )
( )( )
( ) .1;sin;cos1
sin
1sin;2
;1
;)2ln(;2
;)4ln5)4ln5(;32
2
2
1
322
0
cos2
6
2
22
23432
dxxxdxxex
xdx
e
dxedxxctg
dxx
xdxxxdx
x
xxdx
xxx
x
x
x
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
−
−++
+
+
+++
−+−
ππ
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2
3,3 22 yxyx =+=
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreiv÷mis 2
4
1xy = ir xy 42 = .
6. Raskite sunkio centrą figūros, kurią riboja abscisių ašis ir parabol÷s 22 xxy −= .
-
31 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas
( ) .41lim,lim,15
4lim
2
2
0
x
xxx xxxx
x
x
+−−
+ ∞→∞→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .4
92
2
−
−=
x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.)1
(;ln)3(;)6
2cos(;cos
)3(;2
;2
;2
;3
2
62;)2ln)2(ln);3(sin3sin
4
11
4
6
2
2
2
292
dxx
xxdxxdxxx
dxxxdxarctg
dxx
dxx
xdx
xxxxdxxxd
e
x
−−−−
−
++−++
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫−
π
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .1,1,0,43 =−==−= xxyxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 42 −= xy ir tiese 0=y .
6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreiv÷s xy 42 = , ašies Ox ir ties÷s 4=x , mas÷s centro koordinates.
-
32 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
.3
1lim,3
1
9
6lim,,
84
5lim
7
23
2
2
x
xxx xxxx
x
+
−−
−− ∞→→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .92 −
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )( )
.ln)1(;1
;2sin
.;cos
)1(;;
3
;;2
;33
5;)2ln3)2ln3cos(.);4(sin5
1
1
0
6
8
22
222354sin
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
++
+
−
++−++
e
x
xx
x
xdxxe
dxe
x
dx
x
dxxarctgxdxdx
x
dxx
xdx
xxxxdxxd
π
π
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .4,4 22 yxxy ==
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 42 −= xy ir tiese 0=y .
6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 6m ir aukštin÷ 4 m?
-
33. Variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
( )( ).
1lim,
22lim;
2
32lim
2
01
x
xxx x
x
xx
x
x
xx
++−−+
−+
∞→→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .12 −
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
( )
( ) dxxx
xdxxdxx
x
dxxxdxarctg
dxdxxdx
xxxdx
xdx
xx
)2
(;1ln;1;cos
;2
;644
8;24sin,
4
1
53);3(sin2;
1
)1(
8
0
3 21
0
3
122
233sin
3 2
2
+++
+−
−+−
+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,2 2 =−= yxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,4,1,4 ==== yxxxy
6. 6 N j÷ga ištempia spyruoklę 2 cm. Pradinis spyruokl÷s ilgis 14 cm. Kokį darbą reikia atlikti, ištempiat spyruoklę iki 20cm?
-
34 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:
.3
1lim,1
132lim,
84
5lim
2
2
2
x
xxx xxx
xx
x
−
++
+−
− ∞→∞→→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .162 −
=x
xy
3. Apskaičiuokite:
( ) ( )
.)4
3(;cossin;2sin;4
;ln1
;sin;32sin;4
1
5
33
2;)ln)sin(ln;
2
)2(
4
0
2
0
222
0
2
02
cos3
3 2
2
dxx
xxdxxxdxxx
dx
x
dxx
xdxedxxdxx
xx
xdxx
xd x
+−
+
−
−+−
+
+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫ππ
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,6,2,ln ==== yxxxy
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į trapecijos pavidalo užtvanką, jei viršutinis pagrindas 20 m (vandens paviršiuje), apatinis 10 m ir aukštis 6 m?
-
35 variantas
1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas: ( )( )
.53
32lim,
3
1
9
6lim,;
2
21lim
3
24
231 xx
xx
xxx
xx
xxx −
+−
+−
−+
−+
∞→−→−→
2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos
grafiką .42
x
xy
−=
3. Apskaičiuokite:
( )
( ).)cos(;cossin;2sin)1(;
9,
21sin
2
;cos,;3
;3
186);2(cos3;
sin
sin
0
2
0
232
0
3
022
sin3
22cos
dxxexdxxxdxxx
dxdx
xdxedxx
xdxxxxd
x
xd
x
x
x
xx
−+−+
+
−+
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
π
ππ
4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki
2
π
5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π 6. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu
( ) smttv /43 2 += , antrasis- greičiu ( )126 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks