16. Kontrolabilnost stanja modela diskretnog sistema Pojam kontrolabilnosti stanja modela u prostoru stanja je novi koncept u teoriji upravljanja sistemima i nastao je onda kada su modeli u prostoru stanja uvedeni kao novi pristup u analizi i sintezi sistema. Jednostavnije ga je objasniti na primeru diskretnog sistema i zato polazimo od pretpostavke da nam je data diferencna jednačina stanja sistema uz poznate početne uslove:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ex k Fu k x+ = + = x (7.1)

Do jednačine kretanja sistema u prostoru stanja je moguće doći i rekurzivnom primenom poslednje relacije na sledeći način:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2

3 2

1 0 0

2 1 1 0 0 1

3 2 2 0 0 1

x Ex Fu

x Ex Fu E x EFu Fu

2x Ex Fu E x E Fu EFu Fu

= +

= + = + +

= + = + + + (7.2)

ili za opšti trenutak odabiranja N:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 20 0 1 2N N Nx N E x E Fu E Fu EFu N Fu N− −= + + + + − + 1− (7.3)

Poslednja jednakost se može napisati i u matričnoj formi:

[ ] [ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

2 2 1

123

0

10

N N N

u Nu Nu N

x N E x F EF E F E F E F

uu

− −

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎡− = ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.4)

Ako uvedemo oznake

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

2 2 1

123

;

10

N NN N

u Nu Nu N

Q F EF E F E F E F U

uu

− −

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.5)

relacija (7.4) postaje

[ ] [ ]0NN Nx N E x Q U− = (7.6)

Postavlja se pitanje: da li je moguće za proizvoljno početno stanje [ ]0x i proizvoljno željeno stanje *x naći sekvencu upravljačkih signala [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1u u u N − tako da naš sistem polazeći iz

početnog stanja posle N trenutaka odabiranja, gde je N nepoznat prirodan broj, stigne u željeno stanje [ ]*x x N= . Ovo pitanje je ekvivalentno pitanju: da li za proizvoljno početno stanje [ ]0x i

proizvoljno željeno stanje [ ]*x x N= postoji matrica koja zadovoljava relaciju (7.6). Drugim rečima, treba da se pozabavimo pitanjem kada jednačina (7.6) ima rešenje. Ako pretpostavimo da je dimenzija vektora stanja x jednaka n (

NU

[ ]{ }dim 1x k n= × ) a dimenzija vektora ulaza jednaka m

( [ ]{ }dim 1u k m= × ) tada će matrica biti dimenzija NQ { } (dim NQ n Nm= × ) a dimenzija

upravljačke sekvence { } ( )dim 1NU Nm= × . To znači da relacija (7.6) predstavlja sistem od n linearnih jednačina i Nm nepoznatih. Bez gubitka opštosti možemo smatrati da je , dakle imamo više nepoznatih nego što je jednačina. Poznati rezultat iz linearne algebre kaže da će ovakav sistem jednačina imati rešenje za proizvoljno početno i željeno stanje ukoliko je rang matrice jednak n, dakle broju jednačina. To znači da mi možemo rešiti naš problem i prevesti sistem iz bilo kog početnog stanja u bilo koje željeno stanje za nekih N trenutaka odabiranja, ukoliko u matrici

možemo da nađemo n linearno nezavisnih kolona. Međutim, treba da se prisetimo i Caley-Hamiltonove teoreme koja kaže da je svaka matrica nula svog karakterističnog polinoma. To važi i za matricu E. Ako je njen karakteristični polinom:

Nm n≥

NQ

NQ

( ) 1 21 2 1

n n nn nf z zI E z a z a z a z a− −−= − = + + + + + (7.7)

tada po Caley-Hamiltonovoj teoremi važi sledeća jednakost:

(7.8) 1 21 2 1 0n n n

n nE a E a E a E a I− −−+ + + + + =

To znači da se matrice , mogu napisati kao linearne kombinacije svojih eksponenata

nE 1 2, ,...n nE E+ +

, 0,1,...,k 1E k n= − . Dakle, ako u matrici 2 1n n N

NQ F EF E F E F E F E F− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦1

tražimo linearno nezavisne kolone jedino ih u prvih n blokova možemo naći, jer se u svim sledećim blokovima, počev od pa do sve kolone mogu napisati kao linearne kombinacije kolona iz prvih n blokova. Drugim rečima, ako rešavamo problem prevođenja sistema iz početnog stanja u željeno stanje, smisla ima jedino razmišljati o tome da li je taj problem moguće rešiti za n perioda odabiranja, gde je n red sistema. Jer, ako taj problem ne možemo rešiti za n perioda odabiranja, sigurno on nije rešiv ni za koji drugi broj perioda odabiranja. Imajući u vidu napred rečeno, možemo dati definiciju potpune kontrolabilnosti stanja diskretnog sistema.

nE F 1NE F−

Def: Za stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema kažemo da su potpuno kontrolabilna ukoliko se za bilo koje početno stanja [ ]0x i bilo koje željeno stanje *x može odrediti upravljačka

sekvenca [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1u u u n − tako da sistem posle n perioda odabiranja, gde je n red sistema,

počev od početnog stanja [ ]0x stigne u željeno stanje [ ] *x n x= .

Na osnovu napred rečenog moguće je postaviti i test kojim se proverava potpuna kontrolabilnost stanja modela. Ovakav test se naziva matričnim testom kontrolabilnosti.

Matrični test kontrolabilnosti kaže da su stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema potpuno kontrolabilna ako i samo ako je zadovoljen sledeći uslov:

[ ] 2 1nrang Q rang F EF E F E F n−⎡= ⎣ ⎤ =⎦ (7.9)

gde je n red sistema. Matrica Q se naziva matricom kontrolabilnosti stanja sistema. Ukoliko je rang matrice kontrolabilnosti manji od n, tj. [ ]rang Q n p= − to znači da p stanja sistema nije kontrolabilno.

Primer 7.1: Diskretni sistem je opisan modelom u prostoru stanja:

[ ] [ ] [0.5 1 1 11

0 0.5 0 1]x k x k

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦u k (7.10)

Ukoliko želimo da prevedemo sistem iz početnog stanja [ ] [ ]0 1 1 Tx = − − u stanje [ ]* 2 2 Tx = prvo treba da proverimo da li su stanja sistema potpuno kontrolabilna. U tu svrhu ćemo primeniti matrični test kontrolabilnosti:

[ ] 1 1 0.5 0.50 1 0 0.5

Q F EF−⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.11)

Odmah detektujemo da u matrici kontrolabilnosti postoje dve linearno nezavisne kolone, recimo prva i druga ili prva i četvrta ili druga i treća ili treća i četvrta. Dakle,

[ ] 2rang Q n= = (7.12)

pa zaključujemo da su stanja sistema potpuno kontrolabilna i problem koji nam je zadat je rešiv. U cilju određivanja konkretnih upravljačkih signala, potrebno je vratiti se na relaciju (7.6)

[ ] [ ]

[ ][ ][ ][ ]

1

2* 2

1

2

1

10

0

0

u

ux E x F EF

u

u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

− = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.13)

Kako je

[ ]2

* 2 2 0.5 1 1 2.250

2 0 0.5 1 2.25x E x

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.14)

naš sistem jednačina postaje:

[ ][ ][ ][ ]

1

2

1

2

1

12.25 1 1 0.5 0.52.25 0 1 0 0.5 0

0

u

u

u

u

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.15)

Ovo je sistem sa dve jednačine i četiri nepoznate. Potrebno je izabrati dve nezavisne kolone iz matrice Q. Ako izaberemo prvu i četvrtu onda upravljanja koja odgovaraju drugoj i trećoj koloni proglašavamo za nule: [ ] [ ]2 11 0u u= = 0 a naš sistem postaje sistem sa dve jednačine i dve nepoznate:

[ ][ ]

1

2

12.25 1 0.52.25 0 0.5 0

u

u

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.16)

pa se rešenje jednostavno dobija invertovanjem odgovarajuće matrice:

[ ][ ]

11

2

1 1 0.5 2.25 00 0.5 2.25 50

u

u

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.17)

Dakle, tražena sekvenca je:

[ ] [ ]0 00 ; 1

4.5 0u u⎡ ⎤ ⎡

=⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.18)

Lako se proverava da li dobijeno rešenje zadovoljava naše uslove:

(7.19) [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 0.5 1 1 1 10 ; 1 0 0

1 0 0.5 1 0 1 4.5 4

0.5 1 4 1 1 0 22 1 1

0 0.5 4 0 1 0 2

x x Ex Fu

x Ex Fu

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 4

Primetimo da ovo nije jedino rešenje. Rešenja zapravo ima beskonačno mnogo i ne vide se samo u izboru para linearno nezavisnih kolona matrice Q već i u proizvoljnom izboru upravljačkih elemenata koji odgovaraju linearno zavisnim kolonama.

Primer 7.2: Model u prostoru stanja diskretnog sistema je

[ ] [ ] [ ]0 1 11

1 0 1x k x k⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u k (7.20)

Pokušajmo da prevedemo sistem iz početnog stana [ ] [ ]0 1 1 Tx = u željeno terminalno stanje

[ ]* 3 2 Tx = . U tom cilju proverimo prvo potpunu kontrolabilnost stanja:

[ ] [ ] 1 11

1 1rang Q rang F EF rang

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦ (7.21)

Očigledno je da stanja nisu kontrolabilna i da problem ne može da se reši u opštem slučaju. Pogledajmo kako izgleda jednačina (7.6) za ovaj konkretan slučaj:

[ ][ ][ ]

* *1 1* 2* *2 2

110 1 1 1 10

1 0 1 1 1 01

ux xx E x

ux x

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.22)

Poslednja relacija nam govori da kako god izaberemo upravljačke sekvence uvek ćemo imati da su prva i druga koordinata stanja jednake: *

1*2x x= . Dakle stanja sistema možemo prevesti u tačku

[ ]3 3 T ili [ ]2 2 T ali ne možemo u tačku [ ]3 2 T kakav je bio zahtev u zadatku. Ovaj rezultat je

potpuno saglasan sa činjenicom da je [ ] 2 1rang Q = − , što znači da se samo jedno stanje može dovesti na željenu vrednost, dok je drugo stanje zavisno od prvog ili potpuno nezavisno od našeg upravljanja kako se nekada dešava.

17. Kontrolabilnost stanja modela kontinualnog sistema Po analogiji sa kontrolabilnošću stanja modela diskretnog sistema može se definisati pojam potpune kontrolabilnosti stanja modela kontinualnog sistema.

Def: Za stanja modela u prostoru stanja kontinualnog sistema čija je jednačina stanja

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t= + (7.23)

kažemo da su potpuno kontrolabilna ako je za svako početno stanje ( )0x i za bilo koje željeno

terminalno stanje *x moguće naći upravljanje ( )u t u nekom konačnom vremenskom intervalu

[ ]0,t τ∈ tako da se obezbedi uslov ( ) *x xτ = .

Osnovna razlika između kontrolabilnosti stanja kod diskretnih i kontinualnih sistema je ta da se kod kontinualnih sistema ne može definisati maksimalno vreme za koje prevođenje sistema iz početne u željenu tačku može biti izvršeno. Naime, može se pokazati da to prevođenje sistema može trajati beskonačno kratko vreme pod uslovom da je na ulaze sistema dozvoljeno dovoditi Dirakove impulse. Za realne sisteme takva pretpostavka nema smisla.

Slično kao i kod diskretnih sistema, moguće je izvesti matrični test kontrolabilnosti kojim se lako ispituje da li su stanja potpuno kontrolabilna ili nisu. Ako krenemo od jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAtx t e x e Bu dλ λ λ−= + ∫ (7.24)

postavimo uslov da je za neko konačno vreme t τ= sistem stigao u željeno stanje ( ) *x xτ = . Tada jednačina (7.24) postaje:

( ) ( ) ( )*

00 AAx e x e Bu d

τ τ λτ λ λ−= + ∫ (7.25)

U ovoj integralnoj jednačina jedino nam je nepoznato upravljanje i naš je zadatak da proverimo pod kojim uslovima to upravljanje postoji tako da jednačina (7.25) postoji za proizvoljno početno i terminalno stanje. Ako ovu jednačinu podelimo sa Ae τ dobijamo:

( ) ( )*

00A Ae x x e Bu d

ττ λ λ λ− −− = ∫ (7.26)

Ponovo, na osnovu Caley-Hamiltonove teoreme, možemo tvrditi da se proizvoljna matrična funkcija može napisati kao linearna kombinacija njenih eksponenata do ( )1n − -og stepena, gde je n dimenzija kvadratne matrice A. Ako ovo tvrđenje primenimo na matričnu funkciju Ae λ− dobijamo relaciju:

( ) ( ) ( ) 10 1 1

Ane I A aλ α λ α λ λ−−= + + + nA − (7.26)

čijom smenom u (7.26) dobijamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 10 1 10

0A nne x x I A A Bu d

ττ α λ α λ α λ λ− −−⎡− = + + +⎣∫ λ⎤⎦ (7.27)

Poslednja jednakost se može prepisati u matričnoj formi:

( )

0

1* 2

2

1

0A

n

rr

e x x B AB A B A B r

r

τ−

−

1n−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡− = ⎣ ⎤⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.28)

gde je

( ) ( )0i ir uτ

dα λ λ= ∫ λ (7.29)

Ponovo, kao u slučaju diskretnih sistema, problem egzistencije željenog upravljačkog signala se svodi na problem rešavanja sistema jednačina (7.28). Matrica

2 nQ B AB A B A B−⎡= ⎣1 ⎤⎦ (7.30)

se ponovo naziva matricom kontrolabilnosti i ona je dimenzija ( )n nm× gde je n dužina vektora stanja a m dužina upravljačkog signala. Ukoliko je

[ ]rang Q n= (7.31)

tada sistem jednačina (7.28) ima rešenje i kažemo da su stanja sistema potpuno kontrolabilna. Pri tome, za razliku od diskretnog sistema, rešavanjem sistema jednačina (7.28) nas ne vodi direktno do

upravljačkih signala, već je naknadno potrebno rešiti i n integralnih jednačina tipa (7.29) kako bi egzaktno došli do željenog upravljanja.

Ukoliko je

[ ]rang Q n p= − (7.32)

p stanja sistema nije kontrolabilno. Kada kažemo da p stanja sistema nije upravljivo to ili znači da našim upravljačkim signalima uopšte ne utičemo na njih ili da se ova stanja postavljaju kao linearna kombinacija preostalih n-p upravljivih stanja, pa ne možemo izvesti prevođenje sistema iz proizvoljnog početno u proizvoljno željeno stanje.

Primer 7.3: Kontinualni sistem je predstavljen modelom u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )0 1 12 3 0

x t x t⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦u t (7.33)

Potrebno je generisati upravljački signal koji će ovaj sistem prevesti iz početno stanja [ ]5 5 T− u

željeno stanje [ ]0 0 T . Za početak proverimo da li rešenje uopšte postoji. Za ovu proveru je najpogodniji matrični test kontrolabilnosti:

(7.34) [ ] [ ] 1 02

0 2rang Q rang B AB rang

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

Dakle, rešenje postoji i potražićemo ga iz jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0

0 AAx e x e Bu dτ τ λττ λ λ−= + ∫ (7.35)

U pitanju je kontinualni sistem, rešenja ima beskonačno mnogo i dajemo sebi slobodu da sistem prevedemo iz početnog u željeno stanje za 2 ln 2secτ = pri čemu će upravljanje imati sledeću strukturu:

(7.36) ( ); [0, ln 2); [ln 2,2 ln 2)

2ln 2

Pu Q

bilo šta za

λλ λ

λ

∈⎧⎪= ∈⎨⎪ ≥⎩

Tada jednačina (7.35) postaje:

( ) ( ) ( )2ln 22ln 2

02 ln 2 0A Ae x x e Bu dλ λ λ− − = ∫ −

d

(7.37)

odnosno

2 2

ln 2 2ln 2

2 20 ln 2

5 2 25 2 2 2 2

e e e eP d Q

e e e e

λ λ λ λ

λ λ λ λλ λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ⎥ (7.38)

Rešavanjem integrala dobija se:

(7.39) 5 0.5 2

5, 1.255 1 8

P Q P Q−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + ⇒ = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Korišćenjem MATLAB programa izvršena je simulacija odziva sistema i na slici 7.1 su prikazani upravljački signal , odzivi stanja sistema ( )u t ( )1x t i ( )2x t kao i fazni portret ( )2 1x x .

a) b)

c) d)

Slika 7.1: a) Odziv prvog stanja; b) Odziv drugog stanja; c) Fazni portret ; d) Upravljački signal

18. Opservabilnost stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema Dok nam za pojam kontrolabilnosti stanja sistema jednačina merenja nije bila od važnosti, pojam opservabilnosti stanja podrazumeva da je jednačina merenja ili opservacije jasno definisana. Pretpostavimo da je model u prostoru stanja diskretnog sistema definisan jednačinom stanja:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ex k Fu k x+ = + = x (7.40)

i jednačinom merenja

[ ] [ ] [ ]y k Cx k Du k= + (7.41)

Problem koji se postavlja je sledeći: da li je moguće na osnovu sekvence od N merenja [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1y y y N − rekonstruisati početno stanje sistema [ ] 00x x= . Zapravo, u ovom problemu

se kriju dva pitanja: da li je uopšte moguće izvršiti jednoznačnu identifikaciju početnog stanja i ako jeste koliko dugačka sekvenca merenja nam je za to potrebna, odnosno koliki je parametar N. Da bismo odgovorili na ova pitanja, pođimo od jednačine kretanja diskretnog sistema u prostoru stanja:

[ ] [ ] [ ]1

1

00

kk k i

ix k E x E Fu i

−− −

=

= +∑ (7.42)

Ako zamenimo relaciju (7.42) u (7.41) dobijamo

(7.43) [ ] [ ] [ ] [ ]1

1

00

kk k i

iy k CE x CE Fu i Du k

−− −

=

= + +∑

Nama je na raspolaganju N merenja počev od 0k = do 1k N= − :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2

1 2

0 0 0

1 0 0 1

2 0 0 1 2

1 0 0 2N N

y Cx Du

y CEx CFu Du

y CE x CEFu CFu Du

y N CE x CE Fu CFu N Du N− −

= +

= + +

= + + +

− = + + + − + −1

(7.44)

ili napisano u matričnoj formi:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]2

12

0 0

1 0 1

2 0 1 2

1 0 2 1 NN

y Du Cy CFu Du CEy CEFu CFu Du CE x

CEy N CE Fu CFu N Du N −−

⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + + − + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

0 (7.44)

Problem rekonstrukcije početnog stanja na osnovu prikupljene sekvence merenja se svodi na problem rešavanja sistema linearnih jednačina datih poslednjom relacijom. Jedine nepoznate u ovom sistemu jednačina su koordinate vektora [ ] 00x x= . U simboličkoj notaciji se poslednji sistem jednačina može napisati kao:

[ ]0oNY Q x= (7.45)

Pod pretpostavkom da je vektor stanja dimenzije { }dim 1x n= × a vektor merenja dimenzije

{ }dim 1y r= × , matrica će biti dimenzija oNQ { } ( )dim oNQ Nr n= × , što znači da poslednji sistem predstavlja Nr jednačina sa n nepoznatih. Dakle, u opštem slučaju više je jednačina nego nepoznatih. Pozivajući se na rezultate iz linearne algebre i Calley-Hamilton-ove teoreme, možemo zaključiti sledeće. Da bi postojalo jedinstveno rešenje postavljenog sistema jednačina u matrici mora postojati n linearno nezavisnih vrsta. Pri tome znajući da se sve matrice mogu napisati kao linearne kombinacije matrica

oNQ, , 1,...kE k n n= +

, 0,1,..., 1kE k n= − jasno je da linearno nezavisne vrste možemo naći samo u prvih n blokova ove matrice. Drugim rečima, ako rešenje postoji, odnosno ako je moguće rekonstruisati početno stanje sistema, za to nam je potrebno samo n odbiraka mernog signala (dakle N=n) i potreban i dovoljan uslov za to je da rang matrice , koja se naziva matricom opservabilnosti modela bude jednak redu sistema n:

0Q

[ ] 2

1

o

n

CCECErang Q rang n

CE −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.46)

Na osnovu ovog rezultata možemo dati sledeću definiciju potpune opservabilnosti stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema.

Definicija: Za stanja modela u prostoru stanju diskretnog sistema kažemo da su potpuno opservabilna ako je na osnovu sekvence od n opservacija [ ] [ ] [ ]0 , 1 ,..., 1y y y n − , gde je n red

sistema odnosno dimenzija vektora stanja, moguće jednoznačno odrediti početno stanje sistema [ ]0x .

Najjednostavniji način da se utvrdi opservabilnost stanja sistema jeste matrični test opservabilnosti koji sumira rezultat do koga smo upravo došli.

Matrični test opservabilnosti kaže da je potreban i dovoljan uslov da stanja modela u prostoru stanja diskretnog sistema budu potpuno opservabilna je da rang matrice opservabilnosti bude jednak n gde je n red sistema, odnosno dimenzija vektora stanja:

[ ] 2

1

o

n

CCECErang Q rang n

CE −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.47)

Ukoliko je

[ ]orang Q n p= − (7.48)

to je znak da p stanja nije opservabilno. To je znak da se posmatranjem vektora merenja nema uvid u sva stanja sistema. Neka od njih mogu da se menjaju i dobijaju dramatične vrednosti a da se to na vektoru merenja uopšte ne odražava. Zbog toga se, u domaćoj literaturi, često umesto termina opservabilnosti koristi termin osmotrivosti.

Primer 7.4: Za diskretni sistem čiji je model u prostoru stanja

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

0 1 01

0.25 0 1

1

x k x k

y k p x k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

u k (7.49)

odrediti početnu vrednost vektora stanja ako se zna da je sekvenca ulaza [ ]0 1u = , [ ]1 0u = ,

sekvenca merenja [ ] [ ]0 2, 1 2y y= = i to u slučaju kada je p=0 i kada je 0.5p = .

Za početak ćemo primenom matričnog testa opservabilnosti da proverimo da li je postupak rekonstrukcije početnog stanja na osnovu sekvence merenja moguć:

[ ] 1 2, 00.25 1, 0.5o

p prang Q rang

p p.5≠ ±⎡ ⎤ ⎧

= = ⎨⎢ ⎥ = ±⎣ ⎦ ⎩ (7.50)

Dakle, ukoliko je parametar p=0 stanja sistema jesu potpuno opservabilna i moguće je odrediti početno stanje. Primenom relacije (7.44) možemo pisati:

[ ][ ] [ ]

[ ]0

01 0

y Cx

CEy CFu

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.51)

odnosno

(7.52) [ ] [ ]2 0 10 0

2 1 0.25 0 2x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

4⎤= ⎥

⎦

U slučaju da je dobija se sledeći sistem jednačina: 0.5p =

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

1 2

1 2

2 0.5 0 02 0.5 10

2 1 0.25 0.5 1 0.25 0 0.5 0

x xx

x x

⎧ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪= ⇒ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎩ (7.53)

koje su linearno zavisne i jednoznačnog rešenja za početna stanja nema. Ovo je primer sistema u kome je jedno stanje neopservabilno, ali ne može se reći koje od dva stanja je neopservabilno. Naime, u sekvenci merenja se uvek uticaj oba stanja pojavljuje kao ista linearna kombinacija njihovih vrednosti, te se odatle ne mogu sračunati ponaosob.

19. Opservabilnost stanja modela u prostoru stanja kontinualnog sistema Vrlo slično, kao u slučaju diskretnih sistema, i za kontinualne sisteme, koji su opisani modelom u prostoru stanja

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0; 0x t Ax t Bu t x x

y t Cx t Du t

= + =

= + (7.54)

se može definisati osobina potpune opservabilnosti stanja.

Definicija: Za stanja modela u prostoru stanja kontinualnog LTI sistema kažemo da su potpuno opservabilna ukoliko je na osnovu merenja vektora opservacije u nekom konačnom intervalu vremena ( ) [ ], 0,y t t τ∈ moguće jednoznačno rekonstruisati početna stanja sistema ( ) 00x x= .

Postavlja se pitanje, kakav uslov treba da zadovolji model u prostoru stanja da bi njegova stanja bila potpuno opservabilna. Da bi odgovorili na ovo pitanje ponovo krećemo od jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAtx t e x e Bu dλ λ λ−= + ∫ (7.55)

odnosno

(7.56) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAty t Ce x Ce Bu d Du tλ λ λ−= + +∫

U poslednjoj jednačini nam je jedino nepoznat vektor početnog stanja ( )0x , pri čemu nam je

jednačina tipa (7.56) poznata za svako [ ]0,t τ∈ , pa je možemo napisati za N različitih vremenskih trenutaka : 1 2, ,..., Nt t t

(7.57)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11

2 22

1 0

2 0

0

0

0

0 N NN

t A tAt

t A tAt

t A tAtN

y t Ce x Ce Bu d Du t

y t Ce x Ce Bu d Du t

y t Ce x Ce Bu d Du t

λ

λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ

−

−

−

= + +

= + +

= + +

∫∫

∫Uzimajući u obzir Caley-Hamilton-ovu teoremu po kojoj se funkcija Ae τ može napisati u kao linearna kombinacija odgovarajućih matričnih eksponenata:

( ) ( ) ( ) 10 1 1

Ane I Aτ α τ α τ α τ nA −−= + + + (7.58)

relacija (7.57) se može napisati u sledećoj matričnoj formi:

(7.59)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2

1 100 1 1 1 1 1

0 2 1 2 1 22 20

10 1 1

0

0

N N

t A t

nt A t

n

Nt N N n NA t

N N

y t Ce Bu d Du t Ct t tCAt t ty t Ce Bu d Du t

x

t t t CAy t Ce Bu d Du t

λ

λ

λ

λ λα α αα α αλ λ

α α αλ λ

−

−−

−

−−−

⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦− −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫

∫Naš problem određivanja početnog stanja sistema ( )0x se svodi na problem jedinstvenosti rešenja postavljenog sistema linearnih jednačina (7.59). Egzistencija rešenja se ne pojavljuje kao problem jer svakako postoji početno stanje iz koga je sistem krenuo, jedino je pitanje da li ga mi možemo sračunati. Prvi zaključak do koga možemo doći jeste da, s obzirom na Caley-Hamilton-ovu teoremu, nema smisla uzimati više od n odbiraka izlaza, jer su sve vrste postavljanog sistema jednačina, počev od n+1-ve pa nadalje, linearne kombinacije prvih n vrsta. Dakle, matrica α koeficijenata je kvadratna matrica i izborom odgovarajućih vremenskih trenutaka ona se može učiniti regularnom, pa onda naš sistem jednačina glasi:

1 2, ,..., nt t t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2

1 1 100 1 1 1 1 1

0 2 1 2 1 2 2 20

10 1 1

0

0

n n

t A t

nt A t

n

ntn n n n A t

n n

y t Ce Bu d Du t Ct t tCAt t t y t Ce Bu d Du t

x

t t t CAy t Ce Bu d Du t

λ

λ

λ

λ λα α αα α α λ λ

α α αλ λ

−−

−−

−

−− −

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫

∫

(7.60)

Dobijeni sistem jednačina ima jednačina i n nepoznatih i pošto svakako znamo da rešenje postoji, problem određivanje početnog stanja se svodi na problem ranga matrice

nm

0

1n

CCA

Q

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.61)

koja se naziva matricom opservabilnosti. Ukoliko je rang ove matrice jednak redu sistema n, odnosno dimenziji vektora stanja, do jednoznačnog rešenja je moguće doći. Na osnovu ove analize je moguće definisati i matrični test opservabilnosti:

Matrični test opservabilnosti stanja kontinualnog sistema: Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog LTI sistema budu potpuno opservabilna jeste da rang matrice opservabilnosti bude jednak redu sistema:

0

1n

CCA

rangQ rang n

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.62)

Ukoliko je

0

1n

CCA

rangQ rang n p

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.63)

to je znak da postoji p stanja koja nisu opservabilna, i koja se, na osnovu izlaznog signala, ne mogu rekonstruisati.

20. Ispitivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja sistema u s ili z domenu U prethodnim analizama je objašnjen pojam kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja modela u prostoru stanja kako kontinualnih tako i diskretnih sistema. Matrični testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti nam daju uputstvo kako se ove osobine proveravaju, međutim, ukoliko je neko od stanja nekontrolabilno ili neopservabilno ne možemo ništa zaključiti o prirodi tih stanja. Testovi u s ili z domenu su numerički nešto zahtevniji ali daju više podataka o nekontrolabilnim ili neopservabilnim modovima sistema.

Ispitivanje kontrolabilnosti stanja modela u 's' domenu Ukoliko je model kontinualnog LTI sistema u prostoru stanja

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (7.64)

na jednačinu stanja možemo primeniti Laplasovu transformaciju:

( ) ( ) ( ) ( )0sX s x AX s BU s− = + (7.65)

Kako osobina kontrolabilnosti predstavlja postojanje veze između ulaznog signala i stanja sistema, nezavisno od početnog stanja, ne umanjujući opštost razmatranja možemo pretpostaviti da je početno stanje jednako nuli. Tada možemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

detadj sI A B

X s sI A BU s U ssI A

− −= − =

− (7.66)

Razlomak

( )( )det

adj sI A BsI A−−

(7.67)

predstavlja vezu između ulaznog signala i stanja sistema, i u njemu se krije kompletna informacija o kontrolabilnosti stanja. U brojiocu ovog razlomka se nalazi polinomijalna matrica (to je matrica dimenzija čiji je svaki element polinom po kompleksnoj promenljivoj s) dok se u imeniocu ovog izraza nalazi karakteristični polinom sistema. Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice

i karakteristični polinom

n m×

( )adj sI A B− ( )det sI A− imaju zajednički faktor

( ) ( ) (1 pR s s s )λ λ= + + koji se može skratiti, tada ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od ulaznog signala do stanja ne vidi, te on predstavlja takozvane nekontrolabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova nekontrolabilnih modova.

Primer 7.5: Ispitati kontrolabilnost stanja sistema čija je jednačina stanja

( ) ( ) ( )1 1

2 0 1a

x t x t⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦u t (7.68)

primenom testa u 's' domenu. Na osnovu dobijenih rezultata (7.66) i (7.67) možemo pisati:

( )( ) ( ) ( )

1 1 12 1

det 2 2

s a sadj

adj sI A B s s asI A s s a s s a

− − +2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

− − + − + (7.69)

Pošto je jedan od polinoma u polinomijalnoj matrici ( )adj sI A B− jednak ( )1s + jedina mogućnost da dođe do skraćivanja faktora u sva tri polinoma jeste da je 1s = − nula i preostala dva polinoma:

(7.70) ( ) ( )( )2 1 3

2 1 2s a s as s a s s a− − = + ⇒ = −

− + = + + ⇒ = −3

Dakle, konačan rezultat glasi: ako je 3a ≠ − stanja sistema su potpuno kontrolabilna, ukoliko je jedno stanje je nekontrolabilno i ono odgovara modu sistema čiji je pol u tački -1. U pitanje

stabilni deo sistema čija je vremenska konstanta T=1sec. 3a = −

Ispitivanje kontrolabilnosti stanja modela u 'z' domenu Ispitivanje kontrolabilnosti stanja model u 'z' domenu se vrši ukoliko je u pitanju model diskretnog LTI sistema. Potpuno analogno relacijama koje su izvedene za kontinualni sistem, posmatra se veza između upravljačkog signala i vektora stanja:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

detadj zI E F

X z zI E FU z U zzI E

− −= − =

− (7.71)

Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice ( )adj zI E F− i karakteristični polinom ( )det zI E−

imaju zajednički faktor ( ) ( ) ( )1 pR z z zλ λ= + + koji se može skratiti, tada ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od ulaznog signala do stanja ne vidi, te on predstavlja nekontrolabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova nekontrolabilnih modova.

Ispitivanje opservabilnosti stanja modela u 's' domenu Ponovo posmatramo model u prostoru stanja kontinualnog LTI sistema:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (7.72)

Kako je opservabilnost osobina stanja koja predstavlja vezu između vektora stanja i merenja, bez gubitka opštosti možemo smatrati da je referentni signal jednak nuli. Primenom Laplasove transformacije na relacije (7.72) dobija se

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 0

detCadj sI A

Y s C sI A x xsI A

− −= − =

−0 (7.73)

Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice ( )Cadj sI A− i karakteristični polinom ( )det sI A−

imaju zajednički faktor ( ) ( ) ( )1 pR s s sλ λ= + + koji se može skratiti, tada ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od početnog stanja do vektora merenja ne vidi, te on predstavlja neopservabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih neopservabilnih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova neopservabilnih modova.

Ispitivanje opservabilnosti stanja modela u 'z' domenu Analogno sa ispitivanje opservabilnosti u 's' domenu, za diskretne LTI sisteme opservabilnost stanja se može ispitivati u 'z' domenu analizom sledećeg količnika:

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ]

111 1

10 0

det

Cadj I z EY z C zI E zx C I z E x x

I z E

−−− −

−

−= − = − =

−0 (7.73)

Ukoliko svaki polinom polinomijalne matrice ( )1Cadj I z E−− i karakteristični polinom

( 1det )I z E−− imaju zajednički faktor ( ) ( ) ( )1 1 11 pR z z zλ λ− − −= + + koji se može skratiti, tada

ovaj polinom reprezentuje deo sistema koji se od početnog stanja do vektora merenja ne vidi, te on predstavlja neopservabilne modove sistema. Stepen ovog polinoma govori o tome koliko je takvih neopservabilnih stanja a nule ovog polinoma govori o položaju polova neopservabilnih modova.

Izvršena analiza kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja u 's' ili 'z' domenu nas dovodi do jedne vrlo važne teoreme koja je posledica navedenih testova. Njeno tvrđenje je sledeće:

Teorema: Ukoliko je LTI sistem (bilo kontinualni ili diskretni) predstavljen funkcijom prenosa pri čemu su brojilac i imenilac uzajamno prosti polinomi (kompleksne promenljive s ili z) a stepen polinoma u imeniocu n, tada će svaki model tog sistema u prostoru stanja n-tog reda biti sa potpuno kontrolabilnim i potpuno opservabilnim stanjima. U protivnom, ako polinomi u brojiocu i imeniocu nisu uzajamno prosti, tada će zajednički faktori ova dva polinoma uticati ili na nekontrolabilnosti ili na neopservabilnost ili i na jedno i na drugo, onoliko stanja koliki je stepen zajedničkog faktora.

Primenom ove teoreme može se u velikoj meri pojednostaviti problem ispitivanja kontrolabilnosti i opservabilnosti stanja. Sledeći primer ilustruje ovo tvrđenje.

Primer 7.6: Funkcija prenosa sistema je

( ) ( )( )( )( )

11 4

s a s aG s

s s s+ + +

=+ +

(7.74)

Ako pretstavimo ovaj sistem kontrolabilnom kanoničnom formom u prostoru stanja

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1 0 00 0 1 00 4 5 1

1 2 1 1

x t x t

y t a a a x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + +⎡ ⎤⎣ ⎦

u t (7.75)

Ispitati opservabilnost stanja ovog sistema zavisno od parametra a postaje vrlo jednostavno ukoliko primenimo navedenu teoremu. Ukoliko je parametar a=0 doći će do skraćivanja polinoma drugog stepena u brojiocu i imeniocu te dva stanja neće biti opservabilna (ovo skraćivanje se ne može odraziti na kontrolabilnost stanja jer je u pitanju kontrolabilna kanonična forma čija su stanja uvek potpuno kontrolabilna). Ukoliko parametar a pripada skupu { }1,1,3, 4a∈ − doći će do skraćivanja polinoma prvog stepena u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa, te jedno stanje neće biti opservabilno. Konačno ako { }1,0,1,3, 4a∉ − stanja modela u prostoru stanja će biti potpuno opservabilna.