s ondas e linhas - · pdf file• qual é a ordem de grandeza do comprimento de onda...
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OndaseLinhasProf.DanielOrquizadeCarvalhoO
ndas
eLinha
sProf.Dan
ielO
rquiza
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
• Objetivos:
§ Discutir comportamento de L.T. Em altas frequências.
§ Introduzir Eqs. Telegráficas.
§ Soluções das Eqs. Telegráficas.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Linhas de transmissão – aspectos básicos (Páginas 48 a 56 no Livro texto)
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
07/03/17 2
Linhas de transmissão – Principais tipos
2
Cabo coaxial
Microstrip
Par de fios condutores
Seção Transversal
D
w
2a
b
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
OndaseLinhas Prof.DanielOrquiza3
Linhas de Transmissão
Par trançado
Cabo coaxial
Microstrip
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
07/03/17 4
Linhas de transmissão – Visão Geral
4
Linha Carga Gerador
Pergunta: que tipos de carga podemos ter?
Vg( t )
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
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Linhas de transmissão
5
distância
V
V(t)
A B
V(t)
A’ B’
carga
carga
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
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• Qual é a ordem de grandeza do comprimento de onda de um sinal senoidal em:
(a) 60Hz?
(b) 3GHz?
Pergunta?
Linhas de transmissão
• Se as dimensões de um circuito elétrico são comparáveis ao comprimento de onda, a utilização do modelo de parâmetros concentrado deixa de ser válida.
• Temos que começar a falar em parâmetros distribuídos.
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
• Se as dimensões de um circuito elétrico são comparáveis ao comprimento de onda, a utilização do modelo de parâmetros concentrado deixa de ser válida.
• Temos que começar a falar em parâmetros distribuídos.
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distância
V
V(t)
A B
V(t)
A’ B’
carga
carga
Linhas de transmissão
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
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Linhas de transmissão (Compr. Diferencial)
Linhas de transmissão
SJBV SJBV
Circuito Equivalente
Ondas e Linhas
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Linhas de transmissão
SJBV SJBV
Ondas e Linhas
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• Exemplo (parâmetros distribuídos): no lugar de trabalharmos com resistência, utilizamos resistência por unidade de comprimento.
[H/m]
[F/m]
[Ω/m]
[S/m]
Unidades
CaboCoaxial PlacasParalelas
Onde a resistência superficial é definida como: RS =1
σ δsRS =
π fµσ c
Linhas de transmissão
SJBV SJBV
• Podemos obter a equação de onda para linhas de transmissão aplicando a teoria de circuitos para um elemento de comprimento diferencial Δz de linha de transmissão.
• Usamos as Leis de Kirchhoff para relacionar tensões e correntes na saída com as da entrada.
Ondas e Linhas
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Linhas de transmissão (Compr. Diferencial) Circuito Equivalente
Linhas de transmissão
SJBV SJBV
• Utilizando a 1ª L.K. (Lei das Correntes):
• Utilizando a 2ª L.K. (Lei das Tensões):
Ondas e Linhas
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v(z, t) − RΔzi(z, t)− LΔz∂i(z, t)∂t
−v(z+Δz, t) = 0
i(z, t) − GΔzv(z+Δz, t)− CΔz∂v(z+Δz, t)∂t
− i(z+Δz, t) = 0
Linhas de transmissão
SJBV SJBV
• Após alguma manipulação algébrica e tomando o limite de Δz à 0, primeira equação se torna:
• A segunda equação fica:
Ondas e Linhas
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∂v(z, t)∂z
=− Ri(z, t)− L ∂i(z, t)∂t
∂i(z, t)∂z
=− Gv(z, t)− C∂v(z, t)∂t
Equações telegráficas
SJBV SJBV
• Considerando soluções harmônicas e utilizando a forma fasorial, a primeira equação fica:
• A segunda equação fica:
Ondas e Linhas
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∂V (z)∂z
=− (R +jωL)I(z)
∂I(z)∂z
=− (G +jωC)V(z)
Equações telegráficas
SJBV SJBV
• Usando as duas equações anteriores e isolando V(z) e I(z), obtemos as duas equações de onda que descrevem a propagação de ondas em Linhas de Transmissão.
e
• A constante de propagação complexa γ é definida como:
Ondas e Linhas
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d 2V(z)dz2
− γ2V(z) = 0
d 2I(z)dz2
− γ2I(z) = 0
γ = α + jβ = (R+jωL)(G+jωC)
Equações de onda
SJBV SJBV
• A solução da equação de ondas é uma combinação linear de ondas progressivas e regressiva. Na forma fasorial, a tensão ao longo da linha é escrita:
• A corrente ao longo da linha é escrita:
Ondas e Linhas
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V(z) = V0+e−γz +V0
−eγz
I(z) = I0+e−γz + I0
−eγz
Equações de onda
SJBV SJBV
• Utilizando as equações telegráficas, é possível relacionar a corrente ao longo da linha com a tensão ao longo da mesma:
• A definição de Impedância Característica Z0 da linha de transmissão é:
Ondas e Linhas
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Z0 =V0
+
I0+= −
V0−
I0−=
R + jωLG + jωC
I(z) = V0
+
Z0
e−γz − V0
−
Z0
eγz
Equações de onda
SJBV SJBV
• A solução da equação de ondas na forma instantânea é:
• O comprimento de onda pode ser calculado por:
• A velocidade de fase vp é definida por:
Ondas e Linhas
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v(z, t) = V0+ cos(ωt - βz + φ+ )e−αz + V0
− cos(ωt + βz + φ− )eαz
λ =2πβ
v p =ωβ= λf
v(z,0)
V0
-V0
e-αz
Equações de onda
SJBV SJBV
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v(z,0)
V0
-V0
e-αz
Equações de onda
SJBV SJBV
• Linhas de transmissão sem perdas (α = 0):
onde:
• A Impedância Característica Z0 da linha sem perdas é:
Ondas e Linhas
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γ = α+ jβ= jω LC
β=ω LC
Z0 = LC
Equações de onda
SJBV SJBV
• Para Linhas de transmissão sem perdas (α = 0), a tensão ao longo da linha é:
• A corrente ao longo da linha é:
• O comprimento de onda e a velocidade de fase são:
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V(z) = V0+e− jβz + V0
−e jβz
I(z) = V0+
Z0
e− jβz − V0−
Z0
e jβz
λ =2πβ=
2πω LC
vp =ωβ=
1LC
Equações de onda