Profs.: Bruno Correia da Nbrega QueirozJos Eustquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros

Sistemas de Equaes Lineares (SEL ) Parte II

* bastante comum encontrar sistemas lineares que envolvem uma grande porcentagem de coeficientes nulos.

Esses sistemas so chamados de sistemas esparsos.

Para esses tipos de sistemas, o mtodo de Eliminao de Gauss no o mais apropriado, pois ele no preserva essa esparsidade, que pode ser til por facilitar a resoluo do sistema.

Mtodo mais apropriado para esse tipo de sistema mtodos iterativo de Gauss-Seidel.

Sistemas Lineares - Mtodos Iterativos

*partem de um vertor de com uma soluco iniciali.e. valor inicial para todas as variveisa cada iteraco:obtem-se um outro vetor de soluces melhoradas, obtido por substituico no sistema de equaces (modificado para o mtodo)calcula-se o erro de todas as variveisat que todos os erros sejam menores que Epsilondependendo de certas condices o mtodo ir convergir para a soluco do sistema de equaces

Mtodos Iterativos

*Mtodos Iterativos vetor solucoinicial XNovo vetor soluco XMais um vetor soluco Xltimo vetor soluco

*Notaco:xik valor da varivel xi na k-zima iteracoerro da varivel xi na k-zima iteraco:| xik - xik-1 |i.e. valor da varivel na iteraco atual menos o seu valor na iteraco anteriorMtodos Iterativos

*Outra vantagem destes mtodos no so to suscetveis ao acmulo de erros de arredondamento como o mtodo de Eliminao de Gauss.

importante lembrar que:

Como todo processo iterativo, estes mtodos sempre apresentaro um resultado aproximado, que ser to prximo do resultado real conforme o nmero de iteraes realizadas.

Alm disso, tambm preciso ter cuidado com a convergncia desses mtodos.

Mtodos Iterativos

*Mtodos Iterativos

Transforma o sistema linear Ax=b em x = Cx +g

A: matriz dos coeficientes, n x mx: vetor das variveis, n x 1;b: vetor dos termos constantes, n x 1.

Mtodos utilizados:Gauss-JacobiGauss-Seidel C: matriz n x n g: vetor n x 1Sistemas de Equaes Lineares

*Mtodo de Gauss-Jacobi

Conhecido x(0) (aproximao inicial) obtm-se consecutivamente os vetores: De um modo geral, a aproximao x(k+1) calculada pela frmula x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ... Sistemas de Equaes Lineares

*Mtodo de Gauss-JacobiDa primeira equao do sistema a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n xn = b1

obtm-se x1 = (1/a11) (b1 - a12 x2 - ... -a1n xn)Sistemas de Equaes Linearesanalogamente x2 = (1/a22) (b2 - a21 x1 - ... -a2n xn) . . . . xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - an,n-1 xn-1 )

*Mtodo de Gauss-JacobiDesta forma para x = C x + g 0 - a12 /a11 ... - a1n /a11Sistemas de Equaes Lineares - a21 /a22 0 ... - a2n /a22.. . - an1 /ann - an2 /ann 0C = g = ( b1 /a11 b2 /a22 . . . bn /ann ) -1

*Mtodo de Gauss-Jacobi - Critrio de paradaDistncia entre duas iteraes d(k) = max xi(k) - xi(k-1) Sistemas de Equaes LinearesCritrio de parada dr(k) = d(k)/ (max xi(k) ) <

*Mtodo de Gauss-Jacobi - EXEMPLOSeja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 = 10x3 = 6Sistemas de Equaes LinearesC = 0 - 2/10 - 1/10 -1/5 0 - 1/5-1/5 3/10 0g = -7/10 -8/5-6/10

*Mtodo de Gauss-Jacobi - EXEMPLOSistemas de Equaes LinearesC = 0 - 2/10 - 1/10 -1/5 0 - 1/5-1/5 3/10 0g = -7/10 -8/5-6/10Com x0 = 0,7 -1,60,6e = 0,05

*Mtodo de Gauss-Jacobi - EXEMPLOSistemas de Equaes Linearesobtemos x(1) = Cx(0) + g = 0,96 -1,860,94 = 0,05|x1(1) x1(0)| = 0,26|x2(1) x2(0)| = 0,26|x3(1) x3(0)| = 0,34dr(1) = 0,34/ (max xi(1) ) = 0,1828 >

*Mtodo de Gauss-Jacobi - EXEMPLOSistemas de Equaes Linearesx(2) = 0,978 -1,980,966 = 0,05dr(1) = 0,12/ 1,98 = 0,0606 > x(3) = 0,9997 -1,98880,984dr(1) = 0,0324/ 1,9888 = 0,0163 <

*Mtodo de Gauss-Seidel

Conhecido x(0) (aproximao inicial) obtm-se x1, x2, ...xk.

Ao se calcularusa-se todos os valores Sistemas de Equaes Linearesque j foram calculados e os valores restantes.

* Descrio do Mtodo

Seja o seguinte sistema de equaes:Mtodos Iterativos Gauss Seidel

*Isolando xi a partir da linha i, tem-se:

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

*O processo iterativo obtido a partir das equaes, fazendo:

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

*Critrio de Parada

Diferena relativa entre duas iteraes consecutivas. Define-se por diferena relativa a expresso:

Fim do processo iterativo - valor de MRk+1 pequeno o bastante para a preciso desejada.Mtodos Iterativos Gauss Seidel

* Exemplo: Resolva:

Soluo:Mtodos Iterativos Gauss Seidel

* x = 1,002 y = 0,998 z = -1Verificao (substituio no sistema):5.(1,002) + (0,998) + (-1) = 5,008 5 ok3.(1,002) + 4.(0,998) + (-1) = 5,998 6ok3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 okMtodos Iterativos Gauss Seidel

*Mtodo de Gauss-Seidel - Critrios de ConvergnciaProcesso iterativo a convergncia para a soluo exata no garantida para qualquer sistema.

No sistema de equaes lineares existem certas condies que, se forem satisfeitas iro garantir a convergncia do mtodo. essas condies so SUFICIENTES para convergencia,mas NO so condies necessrias,significa que seria possvel a convergncia do mtodo para um certo sistema, mesmo no que este no obedea s condies abaixo:

As condies de convergncia so os critrios:Critrio de SassenfeldCritrio das Linhas.

*Mtodo de Gauss-Seidel - Critrios de ConvergnciaOBS: Se um sistema linear obedece aos critrios de Sassenfeld ento tambm obedece aos critrios de linha (diagonal dominate).

*Critrio de SassenfeldSejam as quantidades i dadas por:

para i = 2, 3, ..., n. en - ordem do sistema linear que se deseja resolveraij - so os coeficientes das equaes que compem o sistema. Este critrio garante que o mtodo de Gauss-Seidel convergir para um dado sistema linear se a quantidade M, definida por:

*Exemplo: Seja A, a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos constantes dados por:

Critrio de Sassenfeld

*Exemplo: Mostre que a soluo do sistema linear dado pelas equaes:

convergir pelo mtodo de Gauss-Seidel.Critrio de Sassenfeld

*Soluo: critrio de Sassenfeldcalcular os valores das quantidades i.

M menor que 1 a soluo desse sistema ir convergir usando o mtodo de Gauss-Seidel. Critrio de SassenfeldA B

*Critrio das LinhasSegundo esse critrio, um determinado sistema ir convergir pelo mtodo de Gauss-Seidel, se:

*Exemplo: O sistema do exemplo anterior satisfaz o critrio das linhas e essa verificao pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que:

Critrio das Linhas

* importante saber que:

Os Critrios so condies suficientes, porm no necessrias, para a convergncia do mtodo de Gauss-Seidel para um dado sistema linear Isso significa que um sistema pode no satisfazer esses critrios e ainda convergir.

Um sistema pode no satisfazer o critrio das linhas e satisfazer o critrio de Sassenfeld, o que garantir sua convergncia.

Consideraes Finais

*Exemplo: Seja o sistema:

Note que esse sistema no satisfaz o critrio das linhas, pois:porm, ele satisfaz o critrio de Sassenfeld: Convergncia garantida. Consideraes Finais

*Outra observao importante

A ordem com que as equaes aparecem no sistema.

Apesar da ordem das equaes no alterar a soluo do sistema, ela pode alterar a convergncia do mesmo pelo mtodo da Gauss-Seidel.

Consideraes Finais

*Consideraes FinaisExemplo: Seja o sistema:

Na forma como o sistema est representado, ele no satisfaz o critrio das linhas (verifique isso), portanto sua convergncia no garantida.

Porm, trocando-se a ordem das duas equaes, o sistema satisfaz esse critrio, e sua convergncia pelo mtodo de Gauss-Seidel garantida (verifique isso tambm).

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