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7/21/2019 RRendimientos sociales crecientes en la acumulacin.endimientos Sociales Crecientes en La Acumulacin

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Repblica de ColombiaDepartamento Nacional de Planeacin

Direccin de Estudios Econmicos

ARCHIVOS DE ECONOMA

Rendimientos sociales crecientes en la acumulacin decapital humano y financiacin pblica de la educacin

(Trabajo de tesis para optar al ttulo de Magster en Economa de laUniversidad Nacional de Colombia)

Oliver Enrique PARDO REINOSO

Documento 32712 de Enero de 2007.

La serie ARCHIVOS DE ECONOMIA es un medio de divulgacin de la Direccin de Estudios Econmicos, noes un rgano oficial del Departamento Nacional de Planeacin. Sus documentos son de carcter provisional, deresponsabilidad exclusiva de sus autores y sus contenidos no comprometen a la institucin.

Consultar otros Archivos de economaen http://www.dnp.gov.co/paginas_detalle.aspx?idp=282


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Rendimientos sociales crecientes en la acumulacin de

capital humano y financiacin pblica de la educacin

Oliver Enrique PARDO REINOSO*

Departamento Nacional de Planeacin,Direccin de Estudios Econmicos

[email protected]@gmail.com

Resumen

Este trabajo pretende evaluar el impacto de la financiacin pblica de la educacin sobreel crecimiento econmico cuando la acumulacin de capital humano exhibe rendimientossociales crecientes. Con este fin, se desarrolla una extensin del modelo de Azariadis yDrazen (1990). La acumulacin de capital humano de cada individuo se especifica comouna funcin creciente del tiempo dedicado al estudio, el gasto en educacin y el capitalhumano medio de la sociedad. Como resultado, la tasa de crecimiento de largo plazo esalta o baja dependiendo de la dotacin inicial de factores de produccin. En contraste conAzariadis y Drazen (1990), el modelo muestra que, an si la dotacin inicial de capitalhumano es alta, la tasa de crecimiento puede ser baja si el capital fsico por unidad deeficiencia es lo suficientemente bajo. Bajo ciertas condiciones, la financiacin pblica de laeducacin puede ayudar a escapar de esta trampa de pobreza. Sin embargo, mientrasms escasos sean los factores, mayor tiene que ser el nivel de financiacin necesario paralograr esta meta. Si los factores son demasiado escasos puede que no exista un nivel quepermita lograrlo.

Abstract

This paper evaluates the effect of public financing of education on economic growthwhen human capital accumulation exhibits increasing social returns. An extension of theAzariadis and Drazen (1990) model is constructed for this purpose. Individual humancapital accumulation is formulated as an increasing function of the time devoted tostudying, the education expenditure and the mean human capital in society. As a result,the long run growth rate is high or low depending on initial factor endowments. Incontrast with Azariadis and Drazen (1990), the model shows that, even with a highhuman capital endowment, the growth rate could be low when initial physical capitalper efficient unit is sufficiently low. In some circumstances, public financing of education

could help avoid this poverty trap. However, the lower the level of physical and humancapital, the higher the level of public financing required for this aim. If factorendowments are sufficiently low no level can achieve this goal.

Clasificacin JEL:O41, I28.Palabras clave:capital humano, rendimientos sociales crecientes, crecimiento endgeno, financiacin

pblica de la educacin.

Primer borrador: Octubre de 2006. Esta versin: Enero de 2007*Se agradecen los comentarios y sugerencias de Francisco LOZANO, Manuel RAMREZ, Diego CORREDOR,Enrique PINZN y Oscar VALENCIA. El contenido del documento es responsabilidad exclusiva de su autor yno compromete a la institucin para la cual trabaja.


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1. Introduccin

Cul es el efecto de la financiacin pblica de la educacin sobre el crecimientoeconmico? El objetivo del presente documento es responder tericamente estapregunta mediante la construccin de un modelo de crecimiento endgeno que decuenta de un hecho sobresaliente del cual se ha encontrado evidencia emprica: laacumulacin de capital humano presenta rendimientos sociales crecientes.

A travs de la interaccin dentro de las firmas, las escuelas o las vecindadesgeogrficas, el aprendizaje de los individuos se ve potencializado por elconocimiento y las capacidades de quienes los rodean. Esto implica que la fronteraque define las posibilidades de acumulacin de capital humano de cada individuose expande a medida que aumenta el capital humano medio de su entorno. De estaforma, el capital humano medio de la sociedad tendra propiedades de un bienpblico, pues entrara como un insumo social en la funcin de acumulacin decapital humano de cada individuo. Si por otro lado este proceso exhiberendimientos constantes a escala en los insumosprivados, se obtienen rendimientossociales crecientes: al duplicar los insumos tanto privados como sociales elaumento neto en el stock de capital humano es ms del doble.

Son estos rendimientos crecientes empricamente relevantes? La evidenciamuestra que el capital humano genera externalidades positivas para nadadespreciables. Rauch (1993) muestra que individuos con las mismas capacidades

obtienen una distinta remuneracin dependiendo de la educacin promedio de laciudad donde habiten. Rauch estima que un ao adicional en la escolaridadpromedio de las ciudades de Estados Unidos implica un aumento del 3% en losingresos laborales de sus habitantes. Marcelo (2006) realiza un ejercicio similarpara diferentes localidades de la capital de Colombia y encuentra que un aumentode un ao en la escolaridad promedio en cada barrio implica un incremento en losingresos laborales de sus habitantes, el cual vara entre un 8% y un 9%.

No obstante, la literatura que ha abordado los efectos de la financiacin pblica dela educacin sobre el crecimiento no ha tenido en cuenta la existencia de

rendimientos crecientes. La tabla 1 enumera algunos trabajos que abordan el efectodel gasto pblico en educacin sobre el crecimiento. La acumulacin neta decapital humano se especifica generalmente como una funcin Cobb-Douglas dondeparticipan uno o ms insumos.

Lo que sobresale en la tecnologa especificada en todos estos trabajos es el supuestode que los rendimientos sociales de la acumulacin de capital humano sonconstantes. Aunque trabajos como el de Bnabou (1996, 2003) incluyenexternalidades generadas por el capital humano, el supuesto de que losrendimientos sociales es constante no se abandona: al duplicar todos los insumos


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3

(tanto privados como sociales) la acumulacin neta de capital humano sloaumenta el doble.

Azariadis y Drazen (1990) son los pioneros en construir un modelo de crecimientodonde la acumulacin de capital humano presenta rendimientos socialescrecientes. El resultado ms sobresaliente es que una economa puede tender haciauna tasa de crecimiento alta o baja dependiendo de si su dotacin inicial de capitalhumano se encuentra por encima o por debajo de cierto umbral1. No obstante,Azariadis y Drazen no formalizan el papel de la financiacin pblica de laeducacin en este contexto. El objetivo del presente documento es complementarsu anlisis.

Tabla 1

Tecnologa de acumulacin del capital humano segn varios autores

31 2 4

1 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t h h B u h h + =

:th Capital humano

:tu Fraccin de tiempo dedicada al estudio

:t Gasto en educacin

:th Capital humano medio

: Tasa de depreciacin del capital humano

:B Constante positiva

:i Parmetro de participacin menor a uno a no ser que se especifique lo contrario

Referencia 1 2 3 4 Otras restriccionesGlomm y

Ravikummar(1992)

= 1 = 0 > 0 > 0 = 0 2 3 1 + =

Boldrin (1993) = 1 = 0 = 1 > 0 = 0

Soares (2003) = 0 > 0 = 0 > 0 = 0 1 3 1 + =

Pardo (2007) = 0 > 0 > 0 > 0 = 0 1 2 = 2 3 1 + = Bnabou (1999,

2003) = 1 = 0 > 0 > 0 > 0 2 3 4 1 + + =

La definicin de capital humano utilizada en el presente documento se reducir alas habilidades que el individuo obtiene a travs de la educacin formal, aunque elconcepto ms general incluye muchos otros elementos (salud, aprendizajemediante la experiencia, etc.). Por financiacin pblica de la educacin se entiendetodo el proceso mediante el cual el gobierno subsidia el aprendizaje en la escuela.La financiacin puede tomar forma de subsidios a la oferta o subsidios a la

1Una descripcin simplificada del modelo y sus resultados puede encontrarse en de la Croix y Michel (2002,cap. 5).


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4

demanda. Dado que en el contexto en el cual se trabajar la incidencia es la misma,esta distincin es irrelevante. Por lo tanto trminos como gasto pblico eneducacin y financiacin pblica de la educacin son tratados como sinnimos.

El plan del resto del documento es el siguiente. En la seccin 2 se plantean lossupuestos y se formula el modelo. En la seccin 3 se define y caracteriza elequilibrio. En la seccin 4 se estudia la dinmica del modelo, mostrando que conrendimientos sociales crecientes pueden aparecer mltiples equilibrios localmenteestables. En la seccin 5 se analiza el efecto de la financiacin pblica de laeducacin. La seccin 6 concluye. En el apndice se demuestran algunasproposiciones contenidas en el documento.

2. Modelo

Supngase que existe una sucesin de generaciones traslapadas constituidas porindividuos idnticos que viven durante dos periodos. El tamao de la poblacin esconstante e igual a uno. Para cada generacin existe un agente representativo quederiva utilidad exclusivamente de su consumo en cada uno de los dos periodos,por lo cual el ocio no brinda utilidad y no existe altruismo intergeneracional.

En el primer periodo de vida el agente tiene la posibilidad de dedicar su tiempo altrabajo o al estudio. Sus ingresos laborales pueden ser destinados al consumo, elahorro o el gasto en educacin. En el segundo periodo de vida no existe unincentivo para acumular capital fsico o humano, por lo cual todo el tiempo sededica al trabajo y todo el ingreso se destina al consumo.

Las firmas contratan capital fsico y capital humano, con los cuales producen unbien que puede ser destinado al consumo, el gasto en educacin o a la acumulacinde capital fsico. Tanto en el mercado de bienes como en el mercado de factores seasume la existencia de competencia perfecta.

Existe un gobierno que tiene la posibilidad de recaudar impuestos con el fin desubsidiar la educacin. La poltica educativa es exgena. Los impuestos se ajustanendgenamente con el fin de garantizar la igualdad entre los ingresos y gastos delgobierno.

El incentivo para que los consumidores acumulen capital humano durante elprimer periodo de vida es aumentar sus ingresos laborales durante el segundo.Comenzaremos por especificar la tecnologa utilizada en la acumulacin del capitalhumano, dado que este es el elemento distintivo del modelo.


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5

2.1 Acumulacin de capital humano

Cada generacin hereda de la anterior una fraccin (0,1] del capital humano. Si

th denota el stock de capital humano en el momento tdel agente representativonacido en t-1, el stock inicial de capital humano del agente nacido en t seraentonces

th .

Al inicio de su ciclo de vida, el agente representativo puede utilizar su tiempo endos actividades rivales: trabajo o estudio. Sea ut la fraccin del tiempo que elagente nacido en tdedica al estudio. La dotacin inicial de tiempo disponible esigual a uno, por lo cual 0 1tu . El stock de capital humano dedicado a laacumulacin de capital humano por parte del agente nacido en t sera

t tu h ,

mientras el stock dedicado a las actividades laborales sera (1 )t tu h .

Cada agente puede destinar parte de su ingreso al gasto en educacin, al cualdenotaremos como

t . El gasto en educacin comprende a los bienes y serviciosque sirven de apoyo al estudio, como libros, computadores, aulas y serviciosdocentes. El modelo supone que estos bienes se combinan en un bien compuesto elcual se produce con la misma tecnologa con la que se producen los bienesutilizados para el consumo o la acumulacin de capital fsico.

El gasto en educacin ( t ) y el capital humano destinado al estudio ( t tu h ) secombinan para dar lugar al stock de capital humano del siguiente periodo ( 1th + ). Latecnologa que describe la combinacin de insumos y el proceso de acumulacin decapital humano se describe mediante la siguiente funcin:

1

1 ( )( )t t t t t h h u h + = (1)

donde (0,1) es un parmetro de participacin. Ntese que la acumulacin decapital humano presenta rendimientos constantes en los insumos t tu h y t . Elgasto en educacin es un insumo que est ausente en el anlisis de Azariadis y

Drazen (1990) y es el elemento que genera diferencias con respecto a lasconclusiones de los dos modelos.

La funcin que define la acumulacin de capital humano en (1) incluye un factorde escala ( ) . Este factor es a su vez una funcin continua del capital humanomedio, denotado por

th . Dado el supuesto del agente representativo,

t th h= .


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6

El modelo supone dos escenarios. En el primero el factor de escala ( ) es unafuncin constante, de manera que no existen externalidades en la acumulacin decapital humano2. En el segundo la funcin ( ) es estrictamente creciente en elintervalo [ , ]a bh h , mientras que por fuera de este intervalo es constante. La figura 1representa una forma funcional que satisface estas condiciones3.

La idea detrs de que el factor de escala ( ) sea una funcin creciente del capitalhumano es que en la medida en que los individuos se rodean de otros mscapacitados, sus posibilidades de aprendizaje se multiplican. Esta especificacinformaliza la idea de los rendimientos sociales crecientes en la acumulacin decapital humano.

2.2 Consumidores

Sean 1tc y2

1tc + el consumo de la generacin nacida en t en los perodos t y t+1,respectivamente. El agente representativo busca maximizar la suma descontadadel logaritmo de su consumo en cada perodo:

2Aparte de la que se genera por la herencia involuntaria de capital humano.3Para eliminar que la posibilidad de que la tasa de crecimiento de la economa aumente indefinidamente, sesupone que en algn momento desaparecen los rendimientos crecientes. Otra alternativa para lograr este

objetivo es suponer que la funcin ( ) se encuentra acotada.

( )h

h bhah

( )b

h

( )ah

Figura 1Externalidad en la acumulacin de capital humano


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7

1 2

1ln lnt tc c ++ (2)

donde el parmetro (0,1) representa el factor de descuento.

Los nicos ingresos con los que cuenta el individuo al inicio de su ciclo de vidaprovienen de la actividad laboral. Sea wt el salario por unidad de eficiencia en elmomento t(se asume como numerario el bien de consumo). Dado que una fraccin(1 )

tu del stock de capital humano inicial th es dedicada al trabajo, los ingresoslaborales brutos seran (1 )

t t tw u h . Sobre estos ingresos el gobierno cobra unatarifa impositiva t. Por lo tanto los ingresos laborales netos de impuestos seran(1 ) (1 )

t t t t w u h .

Los ingresos en el primer perodo de vida pueden tener como destino el consumo( 1

tc ), el ahorro (

ts ) o el gasto en educacin ( t ). Una fraccin [0,1)t del gasto eneducacin es subsidiada por el gobierno. El gasto privado en educacin sera(1 )

t t mientras que el gasto pblico en educacin sera t t . Por lo tanto larestriccin presupuestaria para el primer periodo de vida sera

1 (1 ) (1 ) (1 )t t t t t t t t c s w u h + + = (3)

En el segundo perodo de vida cada agente nacido en tobtiene un retorno bruto

Rt+1 sobre su ahorro y dedica todo su tiempo a trabajar. Dado que no existenherencias voluntarias, todo su ingreso se destina al consumo y todo su tiempo sedestina al trabajo. Por lo tanto la restriccin presupuestaria en el segundo periodosera

2

1 1 1 1 1(1 )t t t t t t c R s w h+ + + + += + (4)

Mediante la tecnologa descrita por la ecuacin (1) se acumula capital humano parael segundo periodo de vida. El problema del consumidor es maximizar (2) sujeto a(1), (3), (4) y a las restricciones de desigualad sobre tu , t ,

1

tc y 2 1tc + :

1 21 1

1 2

1, , , , ,

max ln lnt t t t t t

t tc c s h u

c c

+ +

++ s. a.

1 (1 ) (1 ) (1 )t t t t t t t t c s w u h + + = 2

1 1 1 1 1(1 )t t t t t t c R s w h+ + + + += + 1

1 ( )( )t t t t t h h u h + =

0 1tu


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8

0t 1 0t

c

2 1 0tc + (5)

La solucin del problema del consumidor se describe en la seccin 3.

2.2 Firmas

El bien producido por las firmas puede tener como destino el consumo, laacumulacin de capital fsico o el gasto en educacin. Los insumos utilizados en laproduccin de este bien son el capital fsico y el capital humano. La tecnologa que

define las posibilidades de produccin de las firmas se describe mediante unafuncin Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala. Por simplicidadanaltica se asume que la tasa de depreciacin del capital fsico es igual a uno.

Sea Kt el capital fsico agregado de la economa, Htel nivel agregado del capitalhumano destinado al trabajo y la participacin de la remuneracin al capitalfsico sobre el producto. La produccin bruta vendra dada por la funcin

1( , )t t t t F K H K H = (6)

2.3 Gobierno

La variable de polticat

se determina exgenamente. El gobierno subsidia la

misma fraccin del gasto en educacin a travs del tiempo, de manera quet

= para todo t. Los choques de poltica analizados se representan como cambios noesperados y permanentes sobre el nivel de la variable .

En cada instante del tiempo los ingresos del gobierno son iguales a sus gastos. Lavariable t se ajusta endgenamente con el fin de garantizar esta igualdad. Elrecaudo en el momento t vendra dado por (1 )t t t t t t t w u h w h + (el provinente delos jvenes ms el proveniente de los adultos). El nico gasto en que incurre elgobierno es el gasto pblico en educacin, por lo cual para todo tse tiene que

[ ](1 ) 1t t t t t w h u + = (7)


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9

3. Equilibrio

En esta seccin se define el equilibrio y se especifican las condiciones de primerorden que describen la solucin ptima para el consumidor y las firmas. El finltimo de esta seccin es derivar un sistema de ecuaciones en diferencia quecaracterice la trayectoria de las variables.

3.1 Definicin

Dados unos niveles iniciales de capital fsico K0y de capital humano h0 y un valorpara el parmetro de poltica , el equilibrio se define como una trayectoria para

1

tc ,2

1tc + , ts , 1th + , tu , t , t , tK , tH , tw y tR tal que para todo t = 0, 1, 2, se tiene

que:

1) Para el agente nacido en t, los argumentos 1tc ,2

1tc + , ts , 1th + , tu y t constituyen una solucin al problema de maximizacin (5).

2) Los factores son remunerados segn su productividad marginal:

(1 )( / )t t tw K H = (8)

1( / )t t tR K H = (9)

3) La variablet

garantiza la igualdad de ingresos y gastos del gobierno, y por

lo tanto, satisface la ecuacin (7).4) La oferta iguala a la demanda en los mercados de factores:

[ ](1 ) 1t t tH u h= + (10)

1t tK s+ = (11)

5) El mercado de bienes se encuentra en equilibrio:

1 1 2

t t t t t t K H c c s

= + + + (12)

3.2 Solucin al problema del consumidor

El problema de maximizacin (5) puede dividirse en dos etapas. La primeraconsiste en la maximizacin del valor presente de los ingresos disponibles para elconsumo, la cual define la solucin para 1th + , tu y t . La segunda consiste en laasignacin intertemporal del consumo entre los dos periodos, dada la solucin dela primera etapa. De esta forma se define 1

tc , 2 1tc + y ts .


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10

3.2.1 Maximizacin del valor presente de los ingresos disponibles

Este problema, formulado originalmente por Ben-Porath (1967), puede separarsedel problema de maximizacin de la utilidad gracias a que el ocio no proporcionautilidad. El valor presente de los ingresos disponibles para el consumo puededescribirse como la diferencia entre el valor presente del capital humano, dado por

1 1 1 1(1 ) (1 ) /t t t t t t t w h w h R + + + + + , y el costo de los insumos utilizados en suacumulacin, dado por (1 ) (1 )t t t t t w u h + .

El precio del insumot t

u h sera (1 )t tw , que representa el costo de oportunidad

por estudiar en vez de trabajar. El precio del insumo t sera 1 , que representalos costos directos que se asumen por estudiar (matrculas, libros, transporte,).

El gasto pblico en educacin, tal como est formulado en el modelo y tal comofunciona normalmente en la realidad, se encuentra sesgado, ya que subsidia solouno de los dos insumos utilizados en la acumulacin de capital humano.

La maximizacin del valor presente de los ingresos disponibles para el consumoest sujeta a la restriccin tecnolgica que define la acumulacin del capitalhumano y a la restriccin en la dotacin del tiempo. Por lo tanto el problemaconsiste en

1

1 1 1

, , 1

(1 )max (1 ) (1 ) (1 )t t t

t t tt t t t t

h u t

w hw u h

R

+

+ + +

+

+ s. a.

1

1 ( )( )t t t t t h h u h

+ =

0 1tu

0t (13)

Si la solucin es interior, la tasa marginal de sustitucin de los insumos utilizadospara acumular capital humano debe ser igual a la relacin entre sus respectivos

precios:

(1 )/

1 1

t t t t t h u w

=

(14)

La ecuacin (14) muestra que el gasto pblico en educacin distorsiona los preciosrelativos de los insumos utilizados en la acumulacin de capital humano. Lafinanciacin pblica de la educacin genera un efecto sustitucin: un aumento de incentiva a utilizar ms bienes y servicios (

t ) y reducirel tiempo dedicado al


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11

estudio ( tu ). Se trata de un efecto parcial dado que se asume que 1th + permanececonstante.

De esta forma la ecuacin (14) describe la relacin entret

yt

u . Qu hay conrespecto a su nivel? La solucin depender de la desigualdad entre dos trminos: elbeneficio marginal de acumular capital humano y su respectivo costo marginal.

El beneficio marginal del capital humano es sencillamente el valor presente delsalario por unidad de eficiencia neto de impuestos, o 1 1 1(1 ) /t t tw R + + + . El costomarginal es una expresin que depende de los precios de los insumos y de losparmetros tecnolgicos de la funcin de acumulacin de capital humano:

1

(1 )1 1

( ) 1

t t

t

w

h

Un aumento un reduce el costo marginal de acumular capital humano, dado quereduce el precio de uno de sus insumos. Ntese tambin que si (.) es creciente en

th , el costo marginal tambin se reduce cuando aumenta el capital humano mediode la economa: Si las personas que rodean al individuo estn ms capacitadas,adquirir una unidad adicional de capital humano es ms fcil.

Si el beneficio marginal es mayor que el costo marginal, conviene dedicar todo eltiempo posible al estudio, y por lo tantotu = 1. Si por el contrario es menor,

conviene dedicar todo el tiempo al trabajo, por lo cualt

u = 0. En caso de que seaniguales, el agente es indiferente con respecto a la distribucin de su tiempo entretrabajo y estudio.

Proposicin 1: En equilibrio, (0,1)tu para todo t.

La proposicin 1, demostrada en el apndice, implica que en el equilibrio elbeneficio marginal de acumular capital humano debe ser igual a su costo marginal:

1

1 1

1

(1 ) (1 )1 1

( ) 1

t t t t

t t

w w

R h

+ +

+

=

(15)

El valor de tu quedara indeterminado. Utilizando la ecuacin (14) y la ecuacin (1)se puede expresar la tasa a la cual se acumula capital humano como una funcinde

tu ,

tw ,

t , y

th :


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12

1(1 )

( )1 1

t t tt t

t

h wh u

h

+ = (16)

Dados tw , t y tu , se observa que si ( ) es una constante en vez de un funcincreciente la tasaa la cual se acumula capital humano es independiente del niveldelmismo. No ocurre los mismo cuando existen rendimientos sociales crecientes: unvalor alto de

th implica una alta tasa de acumulacin y viceversa. Esto insinatanto el crculo virtuoso como el crculo vicioso que caracteriza la dinmicaexpuesta en la seccin 4.3.

3.2.2 Maximizacin de la utilidad

Dados unos valores para tu , t y 1th + , el resto del problema del consumidorconsiste en la asignacin ptima de su consumo entre los dos periodos de vida:

1 21

1 2

1, ,

max ln lnt t t

t tc c s

c c+

++ s. a.

1 (1 ) (1 ) (1 )t t t t t t t t c s w u h + + = 2

1 1 1 1 1(1 )t t t t t t c R s w h+ + + + += + 1 0tc

2 1 0tc + (17)

La solucin del problema implica la usual condicin de Euler, que junto a lasrestricciones presupuestarias implica la siguiente funcin de ahorro:

1 1 1

1

(1 )1(1 ) (1 ) (1 )

1

t t tt t t t t t

t

w hs w u h

R

+ + +

+

=

+ (18)

Reemplazando dentro de esta ecuacin la igualdad entre el beneficio marginal y elcosto marginal de acumular capital humano (ecuacin 15) se tiene

( )

1

1

(1 )1 1 1(1 ) (1 ) (1 )

1 ( ) 1

t tt t t t t t t

t

ws w u h h

h

+

=

+

(19)

Al dividir por th ambos lados de la ecuacin (19) e introducir dentro de ella lasecuaciones (14) y (16) se obtiene la siguiente expresin para la funcin de ahorro:


14/42

13

1

(1 )

1 1

t t t t t s u w h

=

+

(20)

As, el ahorro es decreciente en la fraccin de tiempo dedicada al estudio, crecienteen los ingresos salariales netos de impuestos e independiente del factor de escala

( )th , del parmetro de poltica y de la remuneracin al capital 1tR + .

A partir de la caracterizacin de la solucin para el consumidor y las demscondiciones de equilibrio podemos construir una historia con respecto al canal detransmisin mediante el cual opera . Si aumenta la financiacin pblica de laeducacin, se reduce el costo marginal de acumular capital humano. Si el costo

marginal se ubica por debajo del beneficio marginal, todo el tiempo se dedicara alestudio. Lo anterior implica un aumento en la acumulacin de capital humano yun menor nivel de ahorro. Esto conlleva a un menor nivel de capital fsico porunidad de eficiencia en el siguiente periodo, lo que se traduce en una menorremuneracin al capital humano y una mayor remuneracin al capital fsico. Estasvariaciones en los precios de los factores implican una reduccin en el beneficiomarginal del capital humano. El mecanismo opera hasta que el beneficio marginalvuelve a igualar al costo marginal.

Existe otro mecanismo indirecto omitido en el prrafo anterior: el aumento en la

financiacin pblica de la educacin implica la necesidad de una mayorfinanciacin del gobierno a travs de mayores impuestos. Esto reduce el costo deoportunidad de educarse como consecuencia del aumento en

t , pero tambin

reduce el beneficio marginal dado que 1t + tambin aumenta.

3.3 Caracterizacin del equilibrio

Esta ltima parte de la seccin busca derivar un sistema de ecuaciones endiferencia de que permita un anlisis cualitativo de la dinmica del modelo. Esto serealiza a partir de de la caracterizacin de la solucin al problema del consumidor

y de las dems condiciones de equilibrio. Puede ser omitida o ledasuperficialmente por quienes no estn interesados en detalles algebraicos.

Dada la definicin de equilibrio (seccin 3.1) y la caracterizacin de la solucin alproblema del consumidor (seccin 3.2), el equilibrio puede reformularse como latrayectoria de las variables ts , 1th + , tu , t , t , tK , tH , tw y tR que satisface lassiguientes ecuaciones para K0, h0y dados:

[ ](1 ) 1t t t t t w h u + = (7)


15/42

14

(1 )( / )t t tw K H = (8)

1( / )t t tR K H = (9)

[ ](1 ) 1t t tH u h= + (10)1t tK s+ = (11)

(1 )/

1 1

t t t t t h u w

=

(14)

1

1 1

1

(1 ) (1 )1 1

( ) 1

t t t t

t t

w w

R h

+ +

+

=

(15)

1 (1 )( )1 1

t t tt t

t

h wh u

h

+ = (16)

1 (1 )1 1

t t t t t s u w h

= + (20)

Sea t el capital fsico por unidad de eficiencia en t. El objetivo ahora es obtenerun sistema de ecuaciones en diferencia de primer orden donde las variables 1t + ,

1th + , 1t + y 1tu + se expresen como funcin de t , th , t y tu .

3.3.1 Capital fsico por unidad de eficiencia

Reemplazando las ecuaciones que definen la remuneracin a los factores (8 y 9)dentro de la igualdad entre el beneficio marginal y el costo marginal de acumularcapital humano (ecuacin 15) se obtiene que

1

(1 )

1

1

(1 )(1 )1 1 1( )

1 1 ( ) 1

tt t

t th

+

+

=

(21)

3.3.2 Capital humano

Al reemplazar tw por la remuneracin marginal al trabajo (ecuacin 8) dentro de

(16) se tiene

1

(1 )(1 )( ) ( )

1 1t

t t t t t h u h h

+

=

(22)

3.3.3 Tasa impositiva

Al introducir (14) dentro de (7) se tiene que


16/42

15

[ ]

1 1(1 ) 1

1 1

t

t

t

u

u

= +

+

(23)

La especificacin del modelo tiene la ventaja de que en equilibrio t slo dependede

tu y no de los precios de los factores, condicin que ser explotada msadelante.

3.3.4 Fraccin de tiempo dedicada al estudio

Introduciendo las condiciones de vaciamiento de los mercados de factores (10) y

(11) dentro de las ecuaciones (16) y (20) se tiene que

[ ]1 1(1 )

(1 ) 1 ( )1 1

t tt t t t t

wH u h u h

+ +

= +

(24)

1

1(1 )

1 1t t t t t

K u w h

+

= +

(25)

Al dividir (25) sobre (24) y reemplazar tw por (8) se tiene

[ ]

1 (1 )

1

1

1 (1 )1 1

(1 ) ( )(1 )

(1 ) 1 ( )1 1

t t

t t

tt t t

u

u h u

+

+

+ =

+

(26)

Pero al reemplazar 1t + en (26) por el resultado de la ecuacin (21) se obtiene quelos trminos

t , t y ( )th desaparecen de la ecuacin:

[ ]1 1

1

1 11 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1

t

t t t

u

u u

+ +

+ = +

(27)

Finalmente, al utilizar la ecuacin (23) para despejar 1t + de la ecuacin (27) y algoms de lgebra se obtiene que

1

1 (1 )(1 ) 11 (1 )(1 ) ( ; )

(1 ) 1t t

t

u g uu

+

= +

+ (28)


17/42

16

Por lo tanto, 1tu + depende exclusivamente de tu y es independiente de las demsvariables endgenas del modelo.

Cualquier trayectoria de equilibrio debe satisfacer las ecuaciones (21), (22), (23) y(28). La dinmica de este sistema de ecuaciones se analiza en la seccin 4.

4. Dinmica

Dado que la dinmica de la fraccin de tiempo dedicada al estudiotu no depende

del factor de escala ( )th , su comportamiento es independiente de la existencia deexternalidades contemporneas en la acumulacin de capital humano. A su vez, elcomportamiento de t depende nicamente del valor contemporneo tu . En laseccin 4.1 se analiza la dinmica de estas dos variables.

Sin embargo, para el resto del modelo la dinmica es cualitativamente distintadependiendo de si existen o no rendimientos sociales crecientes en la acumulacinde capital humano. En la seccin 4.2 se analiza la dinmica de

t y

th cuando ( )

es una funcin constante y en la seccin 4.3 se analiza cuando ( ) es creciente enalgn intervalo. En este ltimo caso se muestra la posibilidad de que exista unatrampa de pobreza4.

4.1 Dinmica de la fraccin de tiempo dedicada al estudio y de la tarifa impositiva

Las figuras 2a y 2b grafican la funcin ( ; )tg u definida segn la ecuacin (28).Ambas ayudan a ilustrar la siguiente proposicin, demostrada en el apndice:

Proposicin 2: La variable tu tiene un nico estado estacionario inestable en el

intervalo (0,1).

4Se entiende por trampa de pobreza una situacin que se refuerza a s misma y que implica una baja tasa decrecimiento.


18/42

17

Para el caso en el que (1 ) > , ( ; )tg u es una funcin continua y estrictamente

creciente. Adicionalmente, (0; ) 0g < y (1; ) 1g > , por lo cual la funcin ( )g cortala recta de 45 grados en un nico punto que pertenece al intervalo (0,1). A estepunto fijo lo denominamos ( )u , por ser una funcin del parmetro de poltica .

La figura 2a tambin ilustra que cuando ( )tu u = , se tiene que '( ; ) 1tg u > , por loque en el estado estacionario la fraccin de tiempo dedicada al estudio es inestable.Por otro lado, si ( )tu u la variable tu se saldra tarde o temprano del intervalo(0,1). Dado que en equilibrio esto no puede ocurrir, tu debe saltar inmediatamentea su valor de estado estacionario5.

5El anlisis es muy similar para el caso en el que (1 ) < , como lo ilustra la figura 2b.

1

( ; )tg u

g(1)

45o

(1 ) >

Figura 2aDinmica de la fraccin de tiempo dedicada al estudio

tu

tu

(u

(u


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18

4.2 Dinmica del capital fsico y del capital humano sin externalidad

El anlisis de la seccin 4.1 y las ecuaciones (21) y (22) implican que la trayectoriade equilibrio se puede resumir en un sistema de dos ecuaciones en diferencia deprimer orden. Estas ecuaciones definen el comportamiento del capital humano ydel capital fsico por unidad de eficiencia:

1

(1 ) 1

1

1 1 1(1 ) ( )

1 1 ( )t t t

h

+

=

(29)

1

1 ( )(1 ) ( ) ( )

1 1t t t t h u h h

+

=

(30)

Las ecuaciones (29) y (30) constituyen el ncleo de la dinmica del modelo y son elobjeto de anlisis del resto del documento.

Supongamos que no existen rendimientos sociales crecientes en la acumulacin decapital humano, de manera que ( )th es una constante a la cual llamaremos .

Ntese que (29) se convierte en una ecuacin en diferencia donde 1t + slo

depende de t y no de th . De las ecuaciones (29) y (30) se deriva la siguienteproposicin:

1(u

g(1)

45o

Figura 2bDinmica de la fraccin de tiempo dedicada al estudio

(1 ) , la desigualdad t ah h< no semantendra y tarde o temprano aparecern los rendimientos sociales crecientes.

Sea b el capital fsico por unidad de eficiencia definido por (31) con ( )bh en vez

de .Si t b = , la tasa de crecimiento de la economa mientras t bh h sera

( ) 1b b bh =

Dado que ( ) ( )b ah h > , b a > . Anlogamente, para que la desigualdad t bh h se

mantenga, se debe tener que 0b > .

Este anlisis implica que si 0b a > > existe un nico estado estacionario donde latasa de crecimiento sera b . La tasa de crecimiento podra ser cercana a a por un

amplio lapso de tiempo, pero cuando aparecen los rendimientos crecientes en laacumulacin de capital humano se acelerar el crecimiento de la economa.Cuando

th supere a

bh , la economa tendera a crecer a la tasa

b . Si 0a b < < elanlisis se invierte y el nico estado estacionario sera aquel donde la economacrece a la tasa a .

Qu pasara si 0a b < < ? Tanto a como b representaran dos estados estacionariospara la economa, dado que la desigualdad t bh h se mantendra si la economa crecea la tasa

b y la desigualdad t ah h tambin se mantendra si la economa crece a la

tasa a .

El anterior sera el anlisis cuando la dotacin inicial de capital humano seencuentra por fuera del intervalo [ , ]a bh h y el capital fsico por unidad de eficienciase encuentra en su valor a o b dependiendo de a qu lado del intervalo se

encuentre th . A continuacin se realiza el anlisis cuando la dotacin inicial de

capital humano se encuentra dentro del intervalo [ , ]a bh h , suponiendo que0

a b < < .


23/42

22

Para comenzar conviene graficar las curvas donde 1t t + = ( 0 = ) y donde

1t th h+ = ( 0h = ). De la ecuacin (33) se tiene que los pares ( , )t th tales que 0 = satisfacen

(1 ) 1( )t th

= (35)

mientras que de la ecuacin (34) se tiene que los pares ( , )t th tales que 0h = satisfacen

1( )t th

= (36)

La figura 4 grafica estas dos curvas en el plano donde el eje horizontal mide el

capital fsico por unidad de eficiencia y el eje vertical mide el capital humano.Dado que ( ) es creciente en el intervalo [ , ]a bh h , de (35) y (36) se deduce queambas curvas tienen pendiente negativa.

Se cruzan estas dos curvas en algn punto? La respuesta es afirmativa dado elsupuesto de que 0a b < < :

Proposicin 4: El punto ( , )h donde 0 = y 0h = existe si y slo si0a b .

0 =

0h =

( , )h

Figura 4

Locusdonde 0 = y donde 0h =

h

ah

h


24/42

23

Si 0

a b < < , la proposicin 4 implica la existencia de un tercerestado estacionario

donde la tasa de crecimiento de la economa sera cero.

La curva donde 0 = tiene (en valor absoluto) una mayor pendiente que la curvadonde 0h = . Esta afirmacin se demuestra en el apndice (proposicin 5).

Cul es la dinmica alrededor de ( , )h ? Con las ecuaciones (33) y (34) se puededeterminar el jacobiano y demostrar la siguiente proposicin:

Proposicin 6:La pareja ( , )h es un punto de silla.

La figura 5 presenta el diagrama de fase del sistema de ecuaciones (33) y (34). Deella se deduce que la tendencia hacia a o hacia b depende de la posicin relativa

de la dotacin inicial de factores con respecto a la senda convergente hacia ( , )h .

h0 =

0h =

Figura 5Diagrama de fase entre el capital fsico por unidad de eficiencia y el capital humano

( , )h


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24

La senda divide el espacio estado en dos: por encima se tiende a la tasa decrecimiento

b y por debajo se tiende a la tasa a .

La figura 6 ilustra este punto con mayor claridad. Las economas Ay Bcompartenlos mismos parmetros, mas su dotacin inicial de factores es distinta. Mientras ladotacin inicial de la economa Bse encuentra por debajo de la senda convergente,la dotacin inicial de la economaAse encuentra por encima. Mientras que enAelcapital humano tiende a aumentar, en B tiende a disminuir. Un mayor capitalhumano medio reduce el costo marginal del aprendizaje, y por lo tanto incentivauna mayor acumulacin de capital humano. Lo contrario ocurre en la economa B,en la cual el stock de capital humano tiende a decrecer.

Una vez desaparecen los rendimientos sociales crecientes, la economa Atiende ala tasa de crecimiento 0

b > , mientras la economa Btiende a la tasa de crecimiento0

a < . La senda convergente del diagrama de fase presentado en la figuras 5 y 6constituye un umbralpor encima del cual se tiende hacia una tasa de crecimientopositiva y por debajo del cual se cae en una trampa de pobreza.

La figura 6 tambin hace nfasis en otro resultado: Aunque las dos economasparten con la misma dotacin inicial de capital humano, sus diferencias en la

h

Figura 6Anlisis cualitativo del efecto de la dotacin inicial de factores


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25

dotacin inicial de capital fsico hacen que tiendan a tasas de crecimiento distintas.Como se vio en la seccin 4.2, un mayor capital fsico por unidad de eficienciareduce el costo relativo del gasto en educacin. Esto induce que al principio existauna mayor acumulacin de capital humano, lo cual puede lograr que la economaentre en la trayectoria donde se aprovechan los rendimientos sociales crecientes. Sipor el contrario el capital fsico por unidad de eficiencia es escaso, el costo relativodel gasto en educacin es alto, y como consecuencia la acumulacin de capitalhumano es menor. En este caso se entrara en la espiral donde el capital humanotiende a decrecer.

Un ejemplo numrico de estas consideraciones es expuesto en la figura 7. Laseconomas Ay B comparten los mismos parmetros, la misma dotacin de capitalhumano pero una distinta dotacin inicial de capital fsico. La brecha en nivel de

ingreso, el capital humano y el capital fsico se ampla a travs del tiempo, dadoque la economaAtiende a crecer a una tasa mayor que la economa B.

En conclusin: con la aparicin de rendimientos crecientes a escala en laacumulacin de capital humano, la tendencia de una economa hacia una tasa decrecimiento alta o baja depende de su dotacin inicial en los factores deproduccin.

Figura 7Ejemplo numrico de la dinmica de las variables endgenas con rendimientos sociales

crecientes


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26

5. Efecto de la financiacin pblica de la educacin

En la seccin 4 se ha demostrado que la dinmica del sistema es completamentedistinta dependiendo de si existen o no rendimientos sociales crecientes a escala enla acumulacin de capital humano. Como consecuencia, el efecto de la financiacinpblica de la educacin tambin es cualitativamente distinto en los dos escenarios.En particular, se mostrar que con rendimientos sociales crecientes la financiacinpblica de la educacin puede crear una bifurcacin: un cambio marginal en puede llevar a un comportamiento dinmico radicalmente distinto. Para identificarel papel de los rendimientos crecientes analizaremos, en primer lugar, el efecto dela financiacin cuando stos no existen.

5.1 Efecto de la financiacin pblica de la educacin sin externalidad

Volvamos al escenario donde ( )th = para todo th . La proposicin 3 mostraba laexistencia de un nico estado estacionario caracterizado por las ecuaciones (31) y(32). De estas dos ecuaciones se obtiene la tasa de crecimiento a la cual tiende laeconoma:

(1 )

1 (1 )1 ( )( ) 1

1u

=

(37)

donde es una constante positiva que no depende de .

Al derivar (37) con respecto a se obtiene que

1 (1 ) 1 '( ) '( )

1 1 (1 ) 1 1 ( ) ( )

d u

d u

= + +

(38)

Las ecuaciones (37) y (38) muestran los canales a travs de los cuales acta lafinanciacin pblica de la educacin ( ) sobre la tasa de crecimiento. En primer

lugar reduce el costo marginal de acumular capital humano, lo cual tiene un efectopositivo directo sobre la tasa de acumulacin de capital humano. Sin embargo, sufinanciacin requiere de un aumento de , lo cual reduce . Por ultimo, crea unefecto sustitucin que incentiva a la reduccin del tiempo dedicado al estudio, yaque '( )u tiene signo negativo (proposicin 7).


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27

Tabla 2Efecto de la financiacin pblica de la educacin sobre el crecimiento

para diferentes valores de los parmetros.

0.00 0.25 0.35 0.7 0.25 0.220

0.10 0.25 0.35 0.7 0.25 0.244

0.60 0.25 0.35 0.7 0.25 0.550

0.95 0.25 0.35 0.7 0.25 1.622

0.96 0.25 0.35 0.7 0.25 -0.401

0.00 0.75 0.5 0.9 0.25 0.427

0.10 0.75 0.5 0.9 0.25 0.475

0.60 0.75 0.5 0.9 0.25 0.976

0.80 0.75 0.5 0.9 0.25 0.074

0.81 0.75 0.5 0.9 0.25 -0.159

0.00 0.90 0.1 0.5 0.8 0.806

0.10 0.90 0.1 0.5 0.8 0.909

0.50 0.90 0.1 0.5 0.8 0.258

0.60 0.90 0.1 0.5 0.8 -0.080

0.70 0.90 0.1 0.5 0.8 -0.222

11

d

d

+

Aunque se puede obtener una expresin analtica para la derivada expresada en laecuacin (38), su signo es ambiguo. La tabla 2 muestra el valor de /d d paraalgunos parmetros. La experimentacin con diferentes valores numricos sugiereque el efecto de la financiacin pblica de la educacin sobre el crecimiento esnegativo slo si es relativamente alto. En ese caso las distorsiones de latributacin y los subsidios son tan altas que contrarrestan los incentivos paraacumular un mayor nivel de capital humano.

En resumen, si no existen rendimientos crecientes en la acumulacin de capitalhumano y no es muy alto, un aumento marginal de la financiacin pblica de laeducacin implica un aumento marginalen la tasa de crecimiento de largo plazo.

5.2 Efecto de la financiacin pblica de la educacin con externalidades

El efecto de la financiacin pblica de la ecuacin en el escenario con rendimientossociales crecientes es cualitativamente distinto. En este caso, un aumento marginalde la financiacin pblica de la educacin puede producir un salto en la tasa decrecimiento de largo plazo.

Considrese el caso en el quea < 0 < b . Del anlisis de la seccin 5.1 se deduce

que un aumento de tiene un efecto positivo sobre a y b si no es muy alto.Cuando existen rendimientos crecientes, existe la posibilidad de que lafinanciacin pblica de la educacin revierta la tendencia hacia a y logre que la

economa tienda hacia b .


29/42

28

Supongamos que una economa se encuentra sobre la senda convergente al punto( , )h , en el cual la economa no crece. Qu ocurrira si aumenta

marginalmente? Si la senda se desplaza hacia abajo, la economa tender a crecer ala tasa 0b > . De esta forma, el efecto de la financiacin pblica de la educacindepende de la forma como la posicin de la senda convergente cambie en relacincon el nivel de los factores de produccin:

Proposicin 8: El efecto de sobre es negativo, mientras que el efecto de

sobre h tiene el signo contrario al efecto de sobre a y b .

De la proposicin 8 se deduce que un aumento del gasto pblico en educacindesplaza el punto ( , )h en direccin suroeste para valores no muy altos de , demanera que lo mismo debe ocurrir con la senda convergente (al menoslocalmente).

h

Senda convergente con

Senda convergente con '

Trayectoria con

Trayectoria con '

( ,h

( ', ')h

x

y

Figura 8Efecto de la financiacin pblica de la ecuacin sobre la

trayectoria de las variables estado


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29

La figura 8 ilustra el efecto de un aumento de la financiacin pblica de laeducacin en una economa cuya dotacin inicial de factores se seala mediante elpunto x. Con un nivel de subsidio igual a , la dotacin de factores se encuentrapor debajo de la senda convergente que conduce ( , )h .Por lo tanto, el stock decapital humano decrece y la tasa de crecimiento tiende a a . Pero con un subsidio

' mayor a , la dotacin de factores se encuentra por encimade la nueva sendaconvergente. Como consecuencia el capital humano tiende a crecer y la tasa decrecimiento tiende a b .

Figura 9Ejemplo numrico del efecto de la financiacin pblica de la ecuacin con rendimientos sociales

crecientes

La lgica del subsidio a la educacin en presencia de rendimientos crecientes esque gracias a una reduccin en el costo marginal de educarse la tendencia haciauna baja acumulacin de capital humano se revierte. Con un mayor nivel decapital humano medio, el costo marginal se reduce an ms, entrando en uncrculo virtuoso que permite obtener una tasa de crecimiento ms alta.

La figura 8 tambin ilustra que si el aumento en la financiacin pblica de laeducacin se aplica cuando el nivel de los factores es yen vez de xla economa noalcanza a escapar de la trampa de pobreza. En ese caso la poltica implementada noalcanza a contrarrestar el efecto nocivo de un bajo nivel en los factores deproduccin.


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30

El ejemplo numrico de la figura 9 ilustra la trayectoria de las variables endgenaspara tres economas que tienen los mismos parmetros estructurales y la mismadotacin inicial de factores. La nica diferencia es la trayectoria del gasto eneducacin. Para la economaA, 0.1= desde t = 0en adelante, mientras que en laeconoma B 0.0= para todo t. La economa Afinaliza en el estado estacionarioasociado con una tasa de crecimiento alta mientras que la economa Btiende haciael estado estacionario asociado a una tasa de crecimiento baja.

Para la economa Cel parmetro esigual a 0 desde t = 0 hastat = 5. De ah enadelante 0.1= .Como resultado la economa Cno alcanza a entrar en la senda deun crecimiento econmico alto. Ntese, sin embargo, que la tasa de crecimientobajo ( a ) aumenta marginalmente. El problema es que si la poltica no seimplementa a tiempo se desaprovecha la oportunidad de obtener una dinmica decrecimiento significativamente mejor.

La figura 10 ilustra otro ejemplo numrico donde se representa el efecto de lafinanciacin pblica de la educacin sobre la tasa de crecimiento de largo plazo. Lafigura ilustra la existencia de un nivel de financiacin por encima del cual sepresenta un saltoen la tasa de crecimiento. Para una dotacin inicial de factoresdada, el valor de sera aqul que ubica a la economa sobre la senda convergentehacia ( , )h . El parmetro es una bifurcacin, pues crea una discontinuidad sobreel comportamiento dinmico del sistema6.

No obstante, el valor de depende de la dotacin inicial de factores 0 0( , )h .Mientras ms bajo sean los niveles de 0 y de 0h , mayor es el valor de . Estoobedece a que mientras menor sea la dotacin de factores mayor tiene que ser eldesplazamiento en la senda convergente que define el umbral de la trampa depobreza. Por lo tanto, mientras ms pobre sea una economa mayor debe ser elesfuerzo educativo para escapar de la trampa de pobreza.

La figura 11 ilustra el efecto de la financiacin pblica de la educacin para unaeconoma idntica a la de la figura 10 excepto por su dotacin inicial de capital

humano, la cual es la mitad de lo que es en la economa de la figura 10. Comoconsecuencia, el valor de que permite un salto en la tasa de crecimiento es msalto. La figura 12 ilustra el caso extremo donde la dotacin de factores es tan bajaque no existe un valor de que permita escapar de la trampa de pobreza.

6Ver Azariadis (1993)


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31

Figura 10Efecto de la financiacin pblica de la educacin sobre la tasa de crecimiento de largo plazo (I)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Ta

sadecrecimientodelargoplazo

Figura 11Efecto de la financiacin pblica de la educacin sobre la tasa de crecimiento de largo plazo (II)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Tasadecrecimientodelargoplazo


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32

Figura 12Efecto de la financiacin pblica de la educacin sobre la tasa de crecimiento de largo plazo (III)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Tasadecrecimientodelargoplazo

Tambin hay que anotar que este efecto puede tener un amplio rezago: aunque laeconoma implemente un nivel de financiacin mayor a , la tasa de crecimientopuede exhibir un salto slo despus de muchos periodos, ya que para valores

cercanos a la economa puede encontrarse en una trayectoria que la mantengapor algn tiempo cerca del estado estacionario ( , )h .

En conclusin, si existen rendimientos sociales crecientes en la acumulacin decapital humano, el efecto del gasto pblico de la educacin no es continuo. Esfactible que cuando el gasto pblico en educacin supere cierto nivel se presenteun salto en la tasa de crecimiento de largo plazo. Sin embargo, tambin es factibleque para una economa demasiado pobre no exista un nivel de financiacin pblicade la educacin que le permita escapar de la trampa de pobreza. La anteriorafirmacin debe ser matizada recordando que la existencia de la trampa de

pobreza depende de que a < 0 < b . Si la poltica de financiacin logra que a pasede ser negativa a positiva, la trampa de pobreza desaparecera. La economatendera a la tasa de crecimiento b , aunque podra transcurrir un amplio lapso de

tiempo mientras que el capital humano supera el nivel ah y se aprovechan losrendimientos crecientes.


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33

6. Conclusiones

Con rendimientos sociales crecientes en la acumulacin de capital humano, la tasade crecimiento de largo plazo depende de la dotacin inicial en los factores deproduccin. Esto obedece a la existencia de crculos virtuosos y crculos viciososque se producen cuando los factores son relativamente abundantes o escasos.

Cuando los individuos se ven rodeados de personas ms capacitadas, el costomarginal del aprendizaje es menor. Por lo tanto si el capital humano medio de lasociedad es alto, el incentivo de los individuos para educarse es mayor. Estopermite entrar en una espiral de crecimiento. Lo contrario ocurre cuando el capitalhumano es relativamente escaso.

En contraste con Azariadis y Drazen (1990), no slo por un nivel insuficiente decapital humano se puede caer en una trampa de pobreza. Si no se cuenta con elsuficiente capital fsico por unidad de eficiencia, la economa puede entrar en unatrayectoria que la lleve a una baja tasa de crecimiento.

Es factible que la financiacin pblica de la educacin pueda ayudar a unaeconoma a escapar de la trampa de pobreza. Pero mientras ms escasos sean losfactores mayor es el esfuerzo pblico que se debe realizar para cumplir con esteobjetivo. En el caso lmite es probable que no exista un nivel de gasto pblico eneducacin que permita escapar de la trampa de pobreza.

Si la financiacin pblica de la educacin puede ayudar a escapar de una trampade pobreza, qu impedira que las sociedades adoptaran las medidas necesariaspara lograrlo? Para responder formalmente esta pregunta sera necesarioendogenizar la poltica de financiacin pblica dentro del modelo. Soares (2003),Boldrin (1993) y Bnabou (2003) realizan esta tarea mediante la caracterizacin deequilibrios poltico-econmicos. Sus conclusiones dan sugerencias con respecto alos determinantes del gasto pblico en educacin.

Dado que el gasto pblico en educacin representa una transferencia

intergeneracional de las generaciones ms viejas a las ms jvenes, la viabilidadpoltica depender de la estructura demogrfica. La financiacin pblica de laeducacin, sin embargo, no necesariamente perjudica a los ms viejos, pues unmayor stock de capital humano aumenta la remuneracin al capital y por lo tantola tasa de retorno del ahorro. Como consecuencia, los viejos pueden ser partidariosde la financiacin pblica de la educacin an en ausencia de altruismointergeneracional (Soares 2003, Boldrin 1993).

Si se introducen agentes heterogneos, la implementacin de la poltica pblicatambin depender de la distribucin del ingreso, pues la tributacin implicara un


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34

proceso de transferencias intrageneracionales. En este caso la financiacin de laeducacin depender de la propia distribucin inicial del capital humano, talcomo lo muestra Bnabou (2003).

Por ltimo, si existen umbrales de crecimiento y valores crticos para losparmetros de poltica que permiten escapar de trampas de pobreza, su estimacinemprica sera muy importante, lo cual puede ser una futura agenda deinvestigacin.


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35

Apndice

En este apndice se demuestran las proposiciones contenidas en el documento

Proposicin 1: En equilibrio, (0,1)t

u para todo t.

Si tu = 1, no existira ingresos laborales en el primer periodo de vida. Dadoque el consumo en el primer periodo tiene que ser positivo, el ahorro seranegativo. Por lo tanto el capital fsico del siguiente periodo sera negativo, locual no puede ser una situacin de equilibrio. Si tu = 0, no existira capitalhumano para el siguiente periodo, y por lo tanto el capital fsico por unidadde eficiencia y el salario tenderan a infinito, mientras la remuneracin al

capital fsico tendera a cero. Por lo tanto 1 1 1(1 ) /t t tw R + + + tendera a infinito,en cuyo caso el beneficio marginal de acumular capital humano sera mayoral costo marginal. En este caso le convendra al individuo dedicar todo sutiempo al estudio, de manera que tu debera ser 1 en vez de cero.

Proposicin 2: La variabletu tiene un nico estado estacionario inestable en el

intervalo (0,1).

De la ecuacin (28) se tiene que si 1 es mayor (menor) que ,( ; ) /

t tg u u es mayor (menor) que cero. Por lo tanto ( )g seraestrictamente creciente (decreciente) en

tu .

Por otro lado (1; ) 1g > si 1- > y (1; ) 0g < si 1- < , mientras que

0

si 1-lim ( ; )

si 1-tt

ug u

>=

+


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36

( )

( ; )1

t

t

t u u

g u

u

=

>

Por lo cual ( )u es un estado estacionario inestable.

Proposicin 3:Si no existen rendimientos sociales crecientes en la acumulacin decapital humano, el capital fsico por unidad de eficiencia tiende asintticamente a

1

1 1 (1 )1 1 1 1

(1 )1 1 ( )

=

(31)

mientras la tasa de crecimiento de largo plazo del capital humano tiende a

1 ( )(1 ) ( ) 1

1 1u

=

(32)

La ecuacin (31) proviene de la ecuacin (29) igualando 1t + a t ydespejando. Para probar su estabilidad se deriva la ecuacin (29) conrespecto a t y se evala cuando t = :

10 (1 ) 1

t

t

t

d

d

+

=

< = < (A2)

Por lo tanto es localmente estable. Adicionalmente, si t < se tiene que

1t t + > y viceversa. Por lo tanto es un punto globalmente estable.

Dado quet

, de la ecuacin (30) se tiene que 1( / ) 1t th h + .

Proposicin 4: El punto ( , )h donde 0 = y 0h = existe si y solo si0a b < < .

Primero determinemos el valor dea

y deb

. Utilizando (31), (32) y la

definicin de a y de b se tiene que

1

1 (1 ) 1 (1 )( ) 1j jh

= paraj = a, b. (A3)


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37

Demostraremos ahora que 0a b < < es una condicin necesaria para que( , )h exista. A partir de (35) y (36), se obtiene que si existiera un punto

( , )h que cumpla con las condiciones 0 = y 0h = este debe satisfacer:

[ ]1

1 = (A4)1

1 (1 ) 1( )h = (A5)

Para que esto se cumpla se debe cumplir que ( ) ( ) ( )a bh h h . Por lotanto

11 (1 ) 1( ) ( )a bh h

(A6)

Tras algo de manipulacin algebraica, de (A6) se obtiene que

11 1

1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )( ) ( )a bh h

y por lo tanto

1 1

1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )( ) 1 0 ( ) 1a bh h

(A7)

De (A3) se obtiene que el lado izquierdo y el lado derecho de la desigualdad(A7) corresponden a

a y b respectivamente. Por lo tanto 0a b < < .

Demostraremos ahora que 0a b < < es una condicin suficiente para que( , )h exista. De (A7) se obtiene (A6), y dado que ( ) es continua y creciente

se obtiene que existe un [ , ]a bh h h que satisface (A5). Dado que (35)

especfica una funcin contina y decreciente existet

tal que t

= .

Proposicin 5:Si los locus definidos por (35) y (36) se cruzan en el punto ( , )h ,

la curva donde 0 = tiene (en valor absoluto) una mayor pendiente que la curvadonde 0h = .

Al derivar las ecuaciones (35) y (36) con respecto a t se obtiene que

[ ] (1 ) 2'( ) 1 (1 )tt tt

dhh

d

=


39/42

38

1 1'( ) tt t

t

dhh

d

=

Al evaluar estas dos derivadas cuando t = (ecuacin A4) se tiene

[ ][ ] [ ](1 ) 2 1

1 1

'( ) 1 (1 )

t

tt

t

dhh

d

=

= (A8)

[ ] [ ](1 ) 2 1

1 1

'( )

t

tt

t

dhh

d

=

= (A9)

Dado que 1 (1 ) > , el lado derecho de (A8) es mayor (en valor

absoluto) que el lado derecho de (A9).

Proposicin 6:La pareja ( , )h es un punto de silla.

De las ecuaciones (33) y (34) se obtiene el jacobiano:

[ ]

1 1

(1 ) 1 1 (1 ) 2

1

1 1

(1 ) ( ) ( ) '( )

( ) ( ) '( )

t t

t t t t t t t

t t t t t t t t t

t t

h h h hJ

h h h h h h h

h

+ +

+ +

= = +

Al evaluar el jacobiano en el estado estacionario ( , )h caracterizado por(A4) y (A5) se tiene

[ ]

[ ]

1

1

1

1

'( )(1 )

( ) '( ) 1( )

h

hJ

h hh

h

= +

(A10)

La traza (T) y el determinante (D) vienen dados por

ln ( )(1 ) 1

ln h h

d hT

d h

=

= + +

ln ( )(1 )

ln h h

d hD

d h

=

= +

Si 2( )p T D = + representa el polinomio caracterstico se tiene que:


40/42

39

ln ( )(1) 1 (1 ) 0

ln( )h h

d hp T D

d h

=

= + + = + + +

Lo cual implica que una raz del polinomio caracterstico se encuentradentro del crculo unitario mientras que la otra se encuentra por fuera, porlo cual ( , )h es un punto de silla.

Proposicin 7: '( ) 0u < .

De la ecuacin (28) evaluada cuando 1 ( )t tu u u + = = se tiene que

(1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 11 '( ) ( )

(1 ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) 1u u

u u

= +

(A11)

Utilizando (A1), la ecuacin (A11) se transforma en

( )

1( )

(1 ) 1'( )

( ; )1

t

t

t u u

u

u

g u

u

=

=

(A12)

Si (1 ) > , se tiene que( )

( ; )1

t

t

t u u

g u

u

=

>

, y por lo tanto '( ) 0u < .

Si (1 ) < se tiene que( )

( ; )0

t

t

t u u

g u

u

=

rrendimientos sociales crecientes en la acumulación.endimientos sociales crecientes en la...

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