GEOMETRIAProfesor Carlos Miguel PachecoROTOTRASLACION DE CONICASAlumno:ROTACION DE EJES COORDENADOS

Se tienen dos sistemas coordenados ortonormales, los cuales comparten el origen de coordenadas. El ngulo entre pares de ejes homlogos es

Un punto P cualquiera del plano tiene coordenadas con referencia al sistema y coordenadas con referencia al sistema

Para encontrar la relacin entre estos sistemas se debe observar la figura:

lo cual es equivalente a:

Por lo tanto cuando se quiera encontrar la ecuacin de algn lugar geomtrico rotado un ngulo (sentido antihorario de x a ) se deben de usar de estas ecuaciones de transformacin

Recordemos que la ecuacin mas general de segundo grado tiene la forma: Donde A, B, C, D, E, F son nmeros reales, con A, B, C no nulos simultneamente.

Demostraremos que siempre es posible rotar los ejes de modo que en el nuevo sistema no haya trmino

Para eso tomamos las ecuaciones y reemplazamos en la ecuacin general de segundo grado. Entonces tenemos:

Sumando estas ecuaciones, obtenemos (despus de desarrollar el segundo miembro):

;

Donde son abreviaturas de:

Nuestro propsito es escoger de modo que el trmino en no aparezca para que sea cero. Igualamos a cero y vemos que ocurre:

Recordemos de la trigonometra: y

Y escribimos o bien

En otras palabras, si elegimos de modo que , obtenemos quesea cero. Siempre existe un ngulo entre 0 y que satisface esta ecuacin.

En vez de la expresin ; podramos usar

ROTOTRASLACION DE CONICAS

Una ecuacin cuadrtica en dos variables es de la forma:

(a)Donde A, B, C, D, E, F son nmeros reales, con A, B, C no nulos simultneamente.La ecuacin anterior representa una cnica rotada (ya sea una cnica no degenerada: elipse, hiprbola o parbola, o una cnica degenerada: par de rectas o puntos). El trmino bxy indica la rotacin, es decir, el eje focal no es paralelo a ninguno de los ejes coordenados x, y con respecto a los cuales est expresada la cnica.La ecuacin (a) puede escribirse en forma matricial como:

Siendo Observemos que la matriz A es una matriz simtrica.

Para identificar a la cnica debemos escribir la ecuacin en otro sistema de coordenadas, rotado con respecto al sistema original, de modo que la cnica tenga su eje focal paralelo a alguno de los ejes de este nuevo sistema de coordenadas cartesianas

Para encontrar este nuevo sistema de coordenadas ser necesario diagonalizar la matriz A, esto permitir anular el coeficiente b del trmino rectangular lo cual significa que la cnica estar expresada en un nuevo sistema de coordenadas con respecto al cual el eje focal ser paralelo, y podremos as identificar a la cnica. Adems por ser la matriz A simtrica, su diagonalizacin ser ortogonal, y sus autovectores normalizados generan el nuevo sistema de coordenadas.El mtodo para rototrasladar una cnica consiste en:1) Encontrar los autovalores de la matriz A.2) Encontrar los autovectores normalizados de la matriz A: . 3) La matriz P que diagonaliza orgonalmente a la matriz A es

Donde el orden de las columnas debe ser tal que , esto nos asegura que se produzca solamente una rotacin de ejes.

Como P es una matriz ortogonal,

4) La ecuacin de la cnica en el nuevo sistema de coordenadas es:

O en forma compacta

Resulta: Y en esta ecuacin no aparece el trmino xy, luego podemos identificar a la cnica

EJEMPLO 1:

Sea identificar la cnica mediante una rototraslacin conveniente y graficar.Escribimos la ecuacin en forma matricial como:

Como A es simtrica, diagonalizamos ortogonalmente, para lo cual debemos encontrar sus autovalores y autovectoresa) Clculo de los autovalores:

(ecuacin caracterstica)

Los autovalores son b) Clculo de los autovectores: i)

Autovector correspondiente al autovalor ,

normalizando el autovector, ii)

Autovector correspondiente al autovalor ,

normalizando el autovector,

Luego la matriz P que diagonaliza a la matriz A es adems , luego el orden de las columnas es el correcto.

Entonces la matriz semejante a la matriz A es

Por ltimo la ecuacin de la cnica rotada es: Con lo cual, es claro que la ecuacin dada inicialmente es una elipse.Los vectores que generan el nuevo sistema de coordenadas son los autovectores.

El nuevo sistema de referencia queda determinado por la direccin de los autovalores de la matriz A

EJEMPLO 2 :

Estudiar la cnica Escribimos la matriz A:

Como A es simtrica, diagonalizamos ortogonalmente, para lo cual debemos encontrar sus autovalores y autovectoresa) Clculo de los autovalores:

Los autovalores son b) Clculo de los autovectores: i)

Autovector correspondiente al autovalor ,

normalizando el autovector, ii)

Autovector correspondiente al autovalor ,

normalizando el autovector,

Luego la matriz P que diagonaliza a la matriz A es adems , luego el orden de las columnas es el correcto.

Entonces la matriz semejante a la matriz A es

Por ltimo la ecuacin de la cnica rotada es:

Completando cuadrados obtenemos:

Con lo cual la traslacin

La transforma en Se trata de una parbola cuya forma cannica es:

ACTIVIDADES:1) Sea , eliminar el trmino rectangular. Hallar el ngulo que elimina dicho trmino2) Escriba las frmulas de transformacin de coordenadas, si los ejes coordenados han girado en un ngulo de 603)

Halle el ngulo es que permite eliminar el trmino rectangular en la ecuacin 4) Dada la ecuacin llevar a la forma cannica, identificar y graficar5) Dada la cnica identificarla mediante una rototraslacin conveniente6) Hallar el ngulo de rotacin de ejes necesario para eliminar el trmino en xy de la ecuacin 7) Mediante una traslacin y una rotacin de ejes, reducir la ecuacin a su forma ms simple. 8) Sea identificar la cnica mediante una rototraslacin conveniente9)

Por medio de una rotacin de ejes de valor simplificar la ecuacin 10)

Halle todos los tales que represente un par de rectas. Grafique para alguno de los valores hallados.11) Dada la cnica a) Clasificacin b) Ecuacin reducidac) Semiejes y excentricidadd) Centro12) Clasificar la cnica y hallar:a) Ecuacin reducida.b) Longitud del eje mayor y del eje menor. c) Excentricidad, distancia entre focos.d) Centro de la cnica

SOLUCIONES1)

; 2) Sea 3) 4) Elipse 5) Elipse 6)

Elipse de ecuacin ; 7) Elipse de ecuacin 8) Hiprbola de ecuacin 9)

10)

.

Si a=2:dos rectas paralelas al eje y y equidistantes del origen. Si a=-2

:dos rectas paralelas al eje x y equidistantes del origen.11) a) Hiprbolab) de ecuacin c)

semieje real ; semieje imaginario , excentricidad d) 12)

a) Elipse b) de ecuacin c)

longitud del eje mayor ; longitud del eje menor d) excentricidad ; distancia entre los focos= 12e) C=(6;-2)