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Rojwan SUSLU Mémoire d’Actuariat p. 1 / 98


RESUME

Mots-clés : ALM ; SCR ; Monte-Carlo ; générateur de scénarios économiques ; GSE ;

Hull-White ; Black-Scholes ; Cox-Ingersoll-Ross ; Heston ; calibration.

Au cœur de la réforme Solvabilité II se trouve le calcul du capital réglementaire à

immobiliser au titre de l’ensemble des risques afférents à l’activité d’assurance.

Dans le cadre des risques de marché se trouvent notamment les risques liés à la chute du

cours et du rendement des actions, ainsi que les risques liés à la volatilité des taux

d’intérêt. Le calcul de l’impact de ces risques passe par une modélisation de l’activité de

la compagnie, et la projection de son bilan sur un certain horizon. La comparaison des

bilans projetés selon un scénario classique appelé "Central" et ceux projetés selon des

scénarios économiques adverses dits "choqués" donne accès à la mesure du capital à

immobiliser afin d’éviter la faillite à horizon 1 an avec une probabilité de 99,5%.

Nous avons souhaité nous intéresser, dans le présent mémoire, à l’impact de la

modélisation choisie sur ces projections et à leurs résultats, toutes choses égales par

ailleurs. Pour ce faire, nous avons modélisé, sous certaines hypothèses simplificatrices,

l’activité d’une compagnie d’assurance-vie, de sorte qu’en réponse à un certain scénario

économique utilisé (chroniques de taux et d’actions), nous obtenions la projection de son

bilan à un horizon de 60 ans. Puis, nous avons créé en amont un générateur de scénarios

économiques s’appuyant sur plusieurs modèles reconnus : Hull-White (taux et actions),

Black-Scholes (actions), Heston (actions) et Cox-Ingersoll-Ross (taux), que nous avons

calibrés selon les mêmes données de marché.

En utilisant alternativement un certain modèle de taux et un certain modèle d’actions,

nous avons pu observer la réponse du modèle assurantiel, et avons tenté d’en tirer des

conclusions quant à sa sensibilité à la modélisation des scénarios économiques.

Nous avons pu constater que l’utilisation d’un certain générateur de scénarios

économiques (GSE) plutôt qu’un autre a une influence significative sur la qualité de la

convergence des résultats, c’est-à-dire le nombre de simulations nécessaires à l’obtention

d’une distribution homogène des résultats au regard de la loi normale. Sont par ailleurs

apparues des différences significatives dans la valeur de marché projetée du portefeuille

d’actifs. Cependant, il est également apparu que la valeur actualisée des flux futurs de

passif (le Best Estimate) ainsi que les montants de capital exigibles au titre du risque

Actions et Taux (les SCR) n’exhibent qu’une variabilité très faible au regard des

différences de modélisation parfois fondamentales.


ABSTRACT

Keywords: ALM; SCR; Monte-Carlo; economic scenario generator; ESG; Hull-White ;

Black-Scholes ; Cox-Ingersoll-Ross ; Heston ; calibration.

At the heart of the Solvency II reform is the computation of regulatory capital

requirements in response to a set of risks borne by insurance companies.

The subset of financial risks includes risks related to a fall in share prices and dividends,

as well as an increased volatility of interest rates. Computation of the impact of these

risks requires creating a model of the insurance company’s financial situation (typically

called an asset-liability model), enabling the forecast of its balance sheet up to a certain

time horizon. By comparing forecasts created according to a certain economic scenario

called “Central” in that no particular risk is exacerbated, to forecasts created according to

certain “Shocked” economic scenarios where a particular risk is exacerbated, one is able

to measure the amount of capital that must be immobilized in order to prevent

bankruptcy at a one-year horizon with a probability of 99.5%.

In this paper, we wished to focus on the impact of the choice of one economic model

instead of another, on the resulting solvency capital computations by the insurance

model. To do so, we have created an insurance model that, given a certain equity and

interest rate scenario provided by an economic scenario generator, projects the financial

situation of the company up to a 60 year horizon. Then, we created the corresponding

scenario generator using several well-known models: Hull-White (equity and interest),

Black-Scholes (equity), Heston (equity) and Cox-Ingersoll-Ross (interest), that we

calibrated using the same market data.

By alternately using one particular interest rate model and one particular equity model,

we have been able to observe the insurance model’s reaction in terms of financial

projections and solvency computations, and have attempted to draw conclusions

regarding its sensitivity to economic scenario modelling.

We discovered first of all that using a certain economic scenario generator (ESG) among

others has a significative influence on the quality of the convergence, i.e. on the number

of simulations that are required to obtain a homogenous distribution of results with

respect to the normal distribution. There have also been significant differences in the

projected market value of the asset portfolio. However, we discovered that the discounted

value of future liabilities (the Best Estimate) and the required solvency capital (SCR)

associated with both Equity and Interest Rate risk show very little variability, considering

the fundamental differences in modelling from which they originate.


TABLE DES MATIÈRES

Résumé .................................................................................................................................................... 2

Abstract ................................................................................................................................................... 3

I. Contexte .......................................................................................................................................... 5

1. Solvabilité II ............................................................................................................................ 5

1.1. Présentation de la réforme ............................................................................................... 5

1.2. Le bilan dans Solvabilité 2 .............................................................................................. 5

1.3. Le Pilier I ......................................................................................................................... 6

1.4. Le SCR Marché ............................................................................................................... 8

2. Les GSE en Assurance .......................................................................................................... 10

2.1. Valeur ajoutée des GSE en Assurance .......................................................................... 10

2.2. Approches risque-neutre et monde réel ......................................................................... 15

3. Modèles de taux et modèles d’actions ................................................................................... 17

3.1. Modèles de taux ............................................................................................................ 17

3.2. Modèles d’actions ......................................................................................................... 27

II. Implémentation .............................................................................................................................. 29

1. Support de modélisation ........................................................................................................ 29 1.1. Modèle assurantiel utilisé .............................................................................................. 29

1.2. Architecture du GSE ..................................................................................................... 35

1.3. Calcul du SCR ............................................................................................................... 39

2. Sélection de GSE retenue pour l’étude .................................................................................. 42

2.1. Taux-Actions : Hull-White à un facteur, cadre HJM .................................................... 44

2.2. Actions : Black-Scholes ................................................................................................ 52

2.3. Taux : Cox-Ingersoll-Ross ............................................................................................ 53

2.4. Actions : Heston ............................................................................................................ 54

3. Calibration et validation des modèles ................................................................................... 55

3.1. Vérification de la cohérence des GSE ........................................................................... 55

3.2. Validation des modèles ................................................................................................. 55

3.3. Calibration du modèle de taux Hull-White ................................................................... 60

3.4. Calibration du modèle de taux Cox-Ingersoll-Ross ...................................................... 65

3.5. Paramètres retenus pour la modélisation ....................................................................... 66

III. Résultats ........................................................................................................................................ 67

1. Calibration du modèle Actif-Passif ....................................................................................... 67

1.1. Considérations initiales sur le modèle ........................................................................... 67

1.2. Paramétrage initial ......................................................................................................... 68

1.3. Etude de la sensibilité du modèle .................................................................................. 69

2. Analyse de sensibilité des GSE ............................................................................................. 80 2.1. Evolution des variables financières ............................................................................... 80

2.2. Réponse du modèle Actif-Passif en fonction du GSE ................................................... 83

2.3. Application des chocs sous Solvabilité 2 ...................................................................... 91

3. Conclusion ............................................................................................................................. 95

IV. Conclusion générale ...................................................................................................................... 96

V. Bibliographie ................................................................................................................................. 97


I. CONTEXTE

1. Solvabilité II

1.1. Présentation de la réforme

La réforme Solvabilité 2 vise à redéfinir les exigences applicables aux compagnies

d’assurances en termes de solvabilité et de pilotage des risques. Elle se décompose en

trois principes généraux, appelés piliers.

Le Pilier I définit les règles quantitatives à respecter dans le calcul des provisions

techniques et de l’exigence minimale de fonds propres. Le Pilier II définit les normes

qualitatives de suivi des risques et de contrôle interne. Le Pilier III concerne

l’information publique dans le cadre de la discipline de marché

C’est donc au sein du Pilier I que s’inscrit la problématique de la modélisation propre à

notre étude.

1.2. Le bilan dans Solvabilité 2

Sous Solvabilité 2, l’actif et le passif ne sont plus évalués en valeur comptable mais en

valeur de marché. Ceci redéfinit le calcul des provisions techniques et du besoin en

capital :

- Les actifs doivent être évalués à la valeur à laquelle ils pourraient être échangés

entre deux parties informées et consentantes, et dans des conditions de

concurrence normales.

- Les provisions techniques peuvent être évaluées au montant auquel elles

pourraient être transférées entre deux parties informées et consentantes, et dans

des conditions de concurrence normales.

Les passifs sont évalués à leur juste valeur selon la méthode du BE et de la marge pour

risques. La marge pour risques correspond au coût des fonds propres permettant de porter

les engagements de l’assureur à leur terme.

Cette vision du bilan permet d’avoir une approche plus réaliste de la gestion comptable

de la compagnie. En effet, elle impose une identification et une estimation cohérente des

risques qui lui sont propres.


1.3. Le Pilier I

1.3.1. Segmentation des risques et SCR

Dans le cadre du Pilier I, le calcul du capital de solvabilité passe par une segmentation

des risques :

- le risque de souscription, lié à une tarification inadaptée des garanties

- le risque de crédit, lié au défaut d’une contrepartie

- le risque opérationnel, lié à une défaillance du contrôle interne

- le risque de marché, lié aux produits financiers et aux investissements

Segmentation des risques dans le cadre du Pilier I :

Organigramme d’agrégation des SCR associés à chaque risque

En regard de chaque risque, est calculée une exigence de capital appelée SCR (Solvency

Capital Requirement). Ce montant doit permettre d’absorber les pertes financières

imprévues afin de continuer à honorer les engagements faits aux assurés tout au long de

l’exercice. Il est calculé de telle sorte que la probabilité de ruine de la compagnie, à

horizon un an, soit inférieure à 0,5 %.

Pour déterminer le SCR, les compagnies d’assurances ont le choix entre deux méthodes :

le modèle interne, et la formule standard.


Dans le cadre de notre étude, nous nous intéresserons tout particulièrement au calcul du

SCR associé au risque de marché – appelé SCR Marché – dans le cadre de la formule

standard. En effet, ce calcul appelle la mise en place d’un générateur de scénarios

économiques.

1.3.2. Le Best Estimate

Le BE est égal à la somme des flux futurs actualisés des engagements du passif. Dans la

réglementation, il est défini comme « la meilleure estimation correspondant à la moyenne

pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie future, compte tenu de la valeur

temporelle de l’argent estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinents. »

Ces flux futurs de trésorerie incluent les prestations, les coûts liés à la gestion des

contrats, et les prélèvements sociaux.

1.3.3. La Risk Margin

La marge de risque s’ajoute aux BE, et correspond au coût d’immobilisation des fonds

propres. Son calcul nécessite de déterminer le SCR de la compagnie à chaque date de

projection. Compte tenu de la complexité de ce calcul, sont prévus plusieurs niveaux de

simplification.

Schéma récapitulatif de la vision du bilan en valeur de marché

1.3.4. Les facteurs d’atténuation des risques

Les chocs qui matérialisent les différents risques sous Solvabilité 2 peuvent être atténués

par deux facteurs :

- La capacité d’absorption des chocs par les passifs d’assurance par le biais des PB

discrétionnaires versées aux assurés

- La capacité d’absorption des chocs par les impôts différés au passif du bilan

Actifs en

valeur

marché

P.T.

« marché » Provisions Techniques

Best Estimate

Marge de Risque

(MVM)

MCR

SCR

Capital libre

Actifs en

valeur

marché

P.T.

« marché » Provisions Techniques

Best Estimate

Marge de Risque

(MVM)

MCR

SCR

Capital libre


1.3.5. Calcul du SCR en pratique

En pratique, le SCR se calcule par la méthode « Delta NAV ».

La NAV – Net Asset Value – est la valeur de l’actif net. Autrement dit, c’est la différence

entre la valeur de marché des actifs, et celle des provisions techniques.

Le « Delta NAV » représente la variation de NAV produite entre le scenario choqué et le

scenario central.

1.4. Le SCR Marché

1.4.1. Présentation

Le risque de marché découle du niveau ou de la volatilité des prix de marché des

instruments financiers. L’exposition au risque de marché est mesurée par l’impact de

variations telles que le prix des actions, les taux d’intérêts, les taux de change, etc.

Le SCR Marché est composé de 7 sous-modules :

- Taux d’intérêt

- Actions

- Immobilier

- Spread

- Devises

- Concentration

- Illiquidité

Le périmètre de notre étude sera ramené aux deux risques actions et taux d’intérêt.

1.4.2. Le risque de taux

Le module relatif au risque de taux a pour objectif de tester l’impact sur l’engagement de

l’assureur d’une évolution des taux d’intérêts, à la hausse comme à la baisse.

Les assureurs devront simuler deux combinaisons de hausse / baisse des taux :

On effectue ensuite le calcul du SCR Marché Taux avec ces deux montants, et le plus

grand est retenu.

Ce risque concerne tous les actifs et passifs sensibles à un changement de la structure des

taux d’intérêt ou à la volatilité des taux d’intérêt, y compris les provisions techniques.


Le calcul est fondé sur des déformations positives et négatives de la courbe des taux. Ci-

dessous, se trouvent les déformations L21 de la courbe des taux.

Il s’agit de chocs multiplicatifs :

Avec :

- : le taux choqué d’échéance n

- : le taux original, provenant courbe des taux swap

- : l’amplitude du choc (explicitée ci-contre)

Ces taux de chocs préconisés par le L2 seront mis à jour lors des mesures dites de niveau

2, comme suit :

Choc à la hausse : +20% pour des maturités supérieures à 20 ans (anciennement +26%).

Choc à la baisse : -20% pour des maturités supérieures à 20 ans (anciennement -30%).

1.4.3. Le risque Actions

Le risque actions résulte du niveau ou de la volatilité de la valeur de marché des actions.

Sur le principe, on effectue un choc pour chaque titre. Son amplitude dépend de la

catégorie de l’action : Global pour les actions cotées, et Other pour les actions non-cotées

ou provenant de pays émergents.

Le choc théorique à appliquer est de 39% / 49%, mais les conditions initiales du

31/12/2009 intègrent une chute de 9%. Les montants sont agrégés pour donner le capital

final à immobiliser au titre de la valeur de marché des actions.

Dans le cadre de notre étude, nous considérerons que l’ensemble du portefeuille est

constitué d’actions de type Global.

1 Mesures d’implémentation de niveau 2 de l’EIOPA dans le cadre de Solvabilité 2


2. Les GSE en Assurance

2.1. Valeur ajoutée des GSE en Assurance

2.1.1. Introduction

Toute compagnie d’assurances doit gérer deux classes de risques : d’une part, les risques

assurantiels résultant des engagements souscrits auprès des assurés, d’autre part, les

risques financiers inhérents aux actifs de son portefeuille.

L’environnement économique actuel est celui d’une évolution des normes comptables et

prudentielles, plaçant des exigences toujours croissantes sur les assureurs en termes de

gestion des risques. En parallèle, les cinq dernières années ont vu un ralentissement

prononcé de l’économie, entraînant une diminution drastique des résultats financiers des

compagnies qui se voient obligées de piloter leurs investissements et leur activité avec

une précision accrue. C’est pour ces raisons qu’aujourd’hui, dans le référentiel

Solvabilité 2, l’utilisation d’un générateur de scénarios économiques s’avère

indispensable.

a. Approche statique par stress-test

L’utilisation de stress tests au sein d'une étude ALM consiste à projeter le bilan et le

compte de résultat de l'assureur sous des scénarios d'actifs déterministes, tracés

manuellement pour simuler certaines évolutions de l’environnement économique. Elle

permet d'aborder les risques financiers de manière proactive via un ajustement des taux

de provisionnement et des taux servis. Cependant, de par son caractère déterministe, elle

ne donne pas accès à la probabilité de survenance de chaque scénario et ne permet pas de

calculer des indices de confiance quantitatifs. En effet, elle ne capture pas le caractère

stochastique des risques assurantiels via la loi des grands nombres.

Au vu de ces limitations, nous introduirons la nécessité d'une modélisation dynamique.

En effet, des modèles financiers performants ont été créés durant les deux dernières

décennies, et leur implémentation dans les modèles ALM permet d'aller au-delà des

limitations actuelles des stress tests déterministes.


b. Approche dynamique par GSE

Un générateur de scénarios économiques permet, via la projection stochastique des

variables financières, de générer la distribution en probabilité du rendement financier

d’une compagnie d’assurances un horizon donné. Il doit être capable de capturer de façon

réaliste les risques économiques auxquels l'assureur est exposé. Pour ce faire, il produit

un ensemble de scénarios économiques correspondant à chaque facteur de risque

considéré : structure par terme des taux d'intérêt, inflation, rendement des actions,

rendements obligataires, rendement immobilier, etc. Les résultats ainsi obtenus

permettent de mesurer le coût des options et garanties financières : BEL, EV, garanties

plancher, variable annuities.

Un bon GSE est plus qu'un simple modèle mathématique. Il doit reposer sur une théorie

économique robuste, être calibré sur des données fiables et récentes, et doit être adapté au

profil de risque de l'assureur. Le GSE, couplé à un modèle assurantiel prospectif, permet

non seulement de projeter l’univers économique de l’assureur, mais aussi les interactions

entre l’actif et le passif, ainsi que le comportement des assurés en réponse à la situation

financière de l’assureur. Il permet finalement de quantifier et d’analyser l’impact sur son

activité d’une variation imprévue de l’environnement financier, comme l’exige

aujourd’hui la réglementation européenne.

Le GSE, associé à un modèle assurantiel, permet d’examiner l’impact d’un ensemble de

scénarios économiques sur le calcul des provisions techniques ou des exigences de

capital. Le caractère stochastique de cette génération donne accès aux indicateurs

statistiques appelés mesure de risque, tels que la VaR ou la TVaR, qui forment la base

des calculs de solvabilité.

Il existe plusieurs avantages notables au développement d’un modèle assurantiel à GSE

dans le cadre de la gestion des risques.


2.1.2. Principales possibilités offertes par le développement d’un GSE

a. Il permet de modéliser plus fidèlement le comportement des assurés

Le comportement des assurés est la résultante d’un processus complexe dépendant entre

autres de la situation économique, de l’état de la concurrence et de l’efficacité de la

communication financière.

Les assurés comparent les taux servis de l’assureur au niveau des marchés financiers et

prennent la décision de racheter ou non leur contrat. Du point de vue de l’assureur, ces

rachats peuvent provoquer la réalisation de moins-values latentes qui viennent se

répercuter sur le bilan.

Le modèle assurantiel prospectif permet de modéliser des populations d’assurés sensibles

à ce phénomène, appelé « rachat dynamique », et d’en prévoir les conséquences

financières à court et long terme, sous de nombreux scénarios.

b. Il permet de se couvrir plus efficacement contre les variations des taux

À travers les engagements de taux pris par l’assureur (garantie plancher, garantie

cliquet), les variations de taux d’intérêt peuvent avoir un impact sur son résultat

financier. Ainsi, quand bien même une baisse des taux permet à court terme d’afficher

des plus-values latentes bénéfiques pour la communication financière, elle est

généralement le signe d’une augmentation des engagements financiers à moyen et long

terme.

A l’inverse, une hausse des taux entraîne une baisse de la valeur de marché des

obligations détenues dans le portefeuille, et donc une baisse du rendement financier de

l’actif. À terme, cela peut empêcher l’assureur d’afficher des taux servis alignés avec le

marché ou avec la concurrence, causant potentiellement des vagues de rachats.

Le GSE permet à la gestion actif-passif d’anticiper les évolutions possibles des

conditions de marché et leur impact potentiel sur le bilan, offrant une aide précieuse dans

la décision de se couvrir contre certaines variations de taux.


c. Il permet de modéliser les risques de placement

Un GSE permet à l’assureur d’appréhender les risques susceptibles d’impacter son

rendement financier, tels qu’une baisse du marché des actions ou de l’immobilier. Par

ailleurs, bien que l’évolution du cours des actions soit généralement corrélée à

l’évolution des taux d’intérêt, il est arrivé de façon régulière dans le passé que les

marchés évoluent de façon decorrélée (crises de corrélation). Par exemple, l’année 2001

a vu une hausse de la valeur de marché des obligations alors même que le cours des

actions effondrait.

A travers la modélisation de ces dynamiques d’actifs et de leurs corrélations, l’assureur

est capable de se projeter dans des situations de crise et d’en déduire les précautions

nécessaires.

d. Il permet d’évaluer la juste valeur de la compagnie

Les contrats d’assurance-vie sont souvent complexes et possèdent de nombreuses

garanties leur permettant de rester attractifs : taux minimum garanti, participation aux

bénéfices, garantie de capital, clause de rachats, etc. Ces garanties sont équivalentes à des

options financières et jouent un rôle central dans le passif de l’assureur. En tant

qu’options, elles se prêtent mal à une valorisation déterministe, qui ne considère qu’un

seul scénario financier. Il est nécessaire d’utiliser des méthodes stochastiques pour

capturer l’ensemble de leurs valeurs possibles.

Un GSE équipé d’une librairie de fonctions ad hoc permettra au modèle Actif-Passif qui

lui est associé de calculer une valeur de marché réaliste pour ces garanties, donnant ainsi

accès à une juste valorisation du passif.

e. Il offre une indépendance par rapport au marché

Nous avons vu qu’un jeu de scénarios économiques est nécessaire pour la valorisation

des options et garanties financières. Or, dans le cadre de la directive Solvabilité 2,

l’autorité de contrôle prudentiel ne fournit pas de tels scénarios d’actifs. Il est possible

d’en faire l’acquisition auprès d’agences spécialisées – telles que Barrie et Hibbert – mais

cela peut s’avérer très coûteux.

En développant son propre modèle, l’assureur a ainsi la possibilité de challenger les

scénarios qu’il se serait autrement procuré auprès d’une agence spécialisée. Par ailleurs,

il serait très mal indiqué que la majorité des compagnies d’assurances se basent sur les

mêmes scénarios pour l’évaluation de leurs risques, et c’est probablement la raison pour

laquelle l’ACP n’en fournit pas.


f. Un modèle maîtrisé

Le développement d’un générateur de scénarios économiques robuste est devenu

aujourd’hui une étape nécessaire vis-à-vis du régulateur, et ces dernières années ont vu

une démocratisation croissante des modèles assurantiels. Ils sont devenus un élément

essentiel de la valuation « market-consistent » en assurance-vie, et un moyen efficace

d’appréhender les risques de marché auquel l’assureur est exposé.

Les outputs du modèle n’ayant de sens que s’ils résultent de scénarios économiques

pertinents en input, la maîtrise du GSE est une étape incontournable à la bonne

interprétation des résultats.

2.1.3. Phases de l’implémentation d’un GSE

Selon le contexte dans lequel l’implémentation du GSE s’inscrit, il existe plusieurs

étapes essentielles dans sa mise en place.

Phase 1 : Définition du besoin et identification des sources de risques. Il s’agit

d’identifier les variables financières et économiques qui seront modélisées par le

générateur. Elles peuvent inclure : les taux d’intérêt, la courbe des taux zéro-coupon, les

rendements et indices actions et immobilier, le taux d’inflation, etc.

Phase 2 : Détermination du modèle de projection. Étant donné que l’évaluation du

besoin en capital passe par le calcul de la probabilité de ruine à 0,5 % à horizon un an, il

est crucial que le modèle choisi se montre capable d’envisager tous les scénarios, même

les plus extrêmes. Cela se traduit mathématiquement par des queues de distribution

suffisamment épaisses sur toutes les dynamiques modélisées.

Phase 3 : Choix d’une structure de dépendance entre chaque source de risque. Bien

que l’utilisation de copule représente l’approche idéale à la modélisation des variables

financières souvent intimement corrélées, la formule standard autorise une approche plus

simple faisant usage des matrices de corrélation. Dans ce cas, l’identification des

coefficients de corrélation doit faire l’objet d’une attention toute particulière, car elle

déterminera à travers les dépendances entre actifs, la cohérence des scénarios projetés.

Phase 4 : Calibration. Cette phase est souvent la plus délicate, car elle nécessite

d’identifier le paramétrage et les contraintes imposées au GSE, lui permettant de produire

des scénarios économiques réalistes vis-à-vis de la conjoncture économique actuelle.


2.2. Approches risque-neutre et monde réel

Les modèles stochastiques assurantiels peuvent être divisés en 2 catégories, selon que

leur modélisation s’effectue en monde réel ou en univers risque-neutre.

2.2.1. Approche monde réel

Dans cette approche, les trajectoires des actifs sont projetées le plus fidèlement possible à

l’environnement observable sur les marchés. Ces modèles se calibrent en utilisant un

historique de données représentatif de l’économie actuelle.

Cette approche est celle utilisée dans les études ALM : pilotage financier et allocation

d’actifs.

Dans cet univers, le caractère risqué de certains actifs se traduit par un rendement en

excès du taux sans risque. Ce différentiel de rendement est appelé prime de risque. Dans

le taux d’actualisation des flux futurs de ces actifs, il est donc nécessaire de prendre en

compte ces primes de risque. En pratique néanmoins, elles sont très complexes à

modéliser et très différentes d’un actif à un autre.

2.2.2. Approche risque-neutre

Pour éviter d’avoir à calculer les primes de risque des actifs financiers lors de

l’actualisation de leurs flux futurs, nous pouvons les évaluer dans l’univers risque-neutre.

Dans cet univers théorique, les agents économiques sont considérés comme neutre face

au risque. Les primes de risque sont alors nulles. L’actualisation de tous les actifs risqués

se fait au même taux, appelé taux sans risque.

L’utilisation de cet univers permet d’évaluer les passifs d’assurance de façon market-

consistent, c’est-à-dire de manière cohérente avec les prix observés sur le marché à la

date de projection. Ce calcul nécessite parfois de connaître la valeur d’options à la date

t=0.

La mesure (i.e. probabilité) risque-neutre donne accès à une large palette d’outils

mathématiques permettant de valoriser les actifs. En effet, étant donné que le rendement

espéré des actifs est égal au taux sans risque, leur prix actualisé suit une martingale, ce

qui valide le principe d’absence d’opportunité d’arbitrage. C’est cette approche qui est

préconisée pour l’évaluation des engagements de l’assureur sous le Pilier I de Solvabilité

2.

Dans cette approche, le modèle doit être calibré sur les prix de marché, et de manière

market-consistent : absence d’opportunités d’arbitrage et liquidité des données du

marché.


2.2.3. Mesure risque-neutre et notions associées

La mesure risque-neutre, aussi appelée mesure martingale équivalente, est utilisée de

manière intensive dans la valorisation des produits dérivés sur les marchés financiers.

Cette mesure s’appuie sur le théorème fondamental d’évaluation par arbitrage, qui

postule que dans un marché complet, le prix d’un produit dérivé est égal à l’espérance

actualisée de ses flux futurs sous la mesure risque-neutre.


3. Modèles de taux et modèles d’actions

3.1. Modèles de taux

3.1.1. Détermination de la courbe des taux zéro-coupon

La structure par terme des taux d’intérêt (ou courbe des taux) est la fonction qui à une

date donnée et pour chaque maturité en abscisse, indique le niveau du taux d’intérêt

associé en ordonnée.

a. Multitude de courbes des taux

A une date donnée et dans un pays ou une zone économique unifiée, il existe une

multitude de courbes de taux. On distingue les courbes de marché et les courbes

implicites.

- Les courbes de marché sont construites directement à partir des cotations de

marché d’instruments comme les obligations et les swaps.

- Les courbes implicites sont dérivées indirectement à partir des cotations de

marché d’instruments comme les obligations et les swaps.

Parmi les courbes de marché, on compte :

- La courbe des taux de rendement à maturité. Elle est construite à partir des taux

de rendement des obligations.

- La courbe des taux swap: elle est construite à partir des prix des swaps.

Parmi les courbes implicites, on compte :

- La courbe des taux zéro-coupon

- La (les) courbe(s) de taux forward

- La courbe des taux forward instantanés

- La courbe des taux de rendement au pair

On distingue les courbes de taux selon l’émetteur, le secteur auquel il appartient et son

niveau de rating. Par exemple, la courbe des taux de rendement du Trésor ; la courbe des

taux de rendement des entreprises du secteur bancaire disposant du rating A, ou encore la

courbe des taux de rendement de la société Air France.

b. Le taux swap

Un swap standard (ou plain vanilla) est caractérisé par :

- L’échange d’une patte (ou jambe) fixe dont les paiements dépendent d’un taux

fixe pour une patte variable dont les paiements dépendent d’un taux variable.

- Un montant principal constant tout au long de la vie du swap.


- La maturité du taux variable est identique à la durée entre deux paiements de la

patte variable.

La valeur d’un swap standard de montant nominal N est égale à celle d’une obligation à

taux fixe de maturité identique à celle du swap et de même montant nominal que le swap,

à laquelle on soustrait le montant nominal du swap.

A une date t donnée, le taux fixe est déterminé de telle façon que la valeur du swap soit

égale à 0. Ce taux fixe est appelé taux de swap.

Les taux de swap cotés sur le marché sont issus de swaps standards entre banques. C’est

la raison pour laquelle la courbe des taux swap est couramment appelée courbe

interbancaire. En zone Euro, elle est construite à l’aide des taux Euribor de maturité 1

jour à 1 an pour la partie courte et des taux de swaps pour les maturités au-delà. A

l’instant t, c’est une véritable photo des cotations sur le marché interbancaire.

c. Le taux zéro-coupon

Le taux zéro-coupon est implicitement défini par la relation suivante :

ttRtB

),0(1

1),0(

où :

- B(0,t) : prix de marché à la date 0 d’une obligation zéro-coupon délivrant 1 euro à la

date t. On appelle aussi B(0,t), le facteur d’actualisation en 0 pour la maturité t.

- R(0,t) : taux de rendement en 0 de l’obligation zéro-coupon délivrant 1 euro en t. R(0,t)

est aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t.

NB. Les concepts de taux de rendement à maturité et de taux zéro-coupon sont identiques

pour des obligations zéro-coupon (appelées strips).

Reprenons l’équation qui caractérise le prix de l’obligation en utilisant le taux de

rendement à maturité R :

m

titi

tR

iFtV

1 )(1

)()(

En l’absence d’opportunités d’arbitrages, il est équivalent de détenir cette obligation ou

l’ensemble des m strips Vi qui la composent et délivrent chacune le flux F(i) à la date i.


)()(1

tVtVm

ti

i

Le fait d’utiliser le taux de rendement à maturité revient à actualiser chacun des flux au

même taux et donc à donner des prix erronés aux obligations zéro-coupon sauf dans le

cas où la courbe est plate.

Dans la pratique les taux de rendement associés à chacune des obligations zéro-coupon

sont différents (sauf quand la courbe est plate).

Le prix du strip Vi est égal à :

),()(

),(1

)()( itBiF

titR

iFtV

tii

où :

- R(t, ) : taux de rendement de l ’obligation zéro-coupon d’échéance t +

- B(t, T) : prix à la date t de l’obligation zéro-coupon rapportant 1 euro en T

(«facteur d’actualisation»)

On appelle plus simplement R(t, ) le taux zéro-coupon en t d’échéance t + .

Le prix V de l’obligation à la date t s’écrit donc plus justement :

m

ti

m

titii itBiF

titR

iFtV

11

),()(),(1

)()(

Pour évaluer convenablement une obligation, il suffit donc de connaître les taux zéro-

coupon associés aux maturités de chacun des flux de l’obligation.

Ces taux zéro-coupon n’existent malheureusement pas sur le marché pour un continuum

de maturité. Il n’existe en effet que trop peu d’obligations zéro-coupon.

Les courbes de taux zéro-coupon obtenues directement en utilisant les strips sont en effet

fortement discontinues :


Taux zéro-coupon du Trésor Américain (Bloomberg)

Il est donc nécessaire d’estimer cette courbe des taux zéro-coupon, par une méthode

appelée « stripping » de la courbe des taux, qui consiste à découper les obligations (à

coupon) cotées sur le marché, en autant d’obligations zéro-coupon qu’il y a de flux.

Chacun des zéro-coupon synthétiques ainsi créé est appelé strip, du nom des actifs

synthétiques cotés sur le marché US permettant d’obtenir une courbe des taux zéro-

coupon plus fournie. STRIPS signifie : Separate Trading of Registered Interest and

Principal Securities.

En effet, en l’absence d’opportunité d’arbitrage, le prix d’une obligation à coupon, de

maturité n, de nominal N et de coupons C est égal à :

où est le taux zéro-coupon correspondant à la maturité i.

La résolution de cette équation pour autant de prix d’obligations que nécessaire, donne

accès au prix des zéro-coupon des maturités désirées.


3.1.2. Revue de la littérature existante

Il y a de nombreux problèmes à considérer dans la construction d’un GSE à usage

actuariel. Dans cette partie, nous passerons en revue la littérature afférente à la

modélisation des taux d’intérêt.

Le rôle d’un GSE n’est ni d’expliquer les évolutions passées des taux d’intérêt2, ni de

prédire à la perfection ses évolutions futures dans le but de réaliser des plus-values. Son

rôle est de représenter des scénarios plausibles de taux qui pourront survenir dans le

futur. Idéalement, il doit donner accès à une large palette d’environnements économiques

auquel l’assureur peut se voir exposé.

La littérature existante dans le domaine de la modélisation des taux d’intérêt et très

volumineuse. Une branche de cette littérature s’est donné pour objectif d’explorer les

caractères prédictifs de la courbe des taux actuelle. Dans cette veine, Eugene Fama

(1984) se sert des taux forward pour établir un modèle de projection des taux spot futurs.

Il fait la découverte que les taux forward à très court terme (un mois) sont dans une

certaine mesure capable de prédire les taux spot à horizon un mois.

Une autre branche de la recherche s’est intéressée aux évolutions historiques des taux

d’intérêt, dans le but d’en faire ressortir des caractéristiques générales. Les principales

découvertes sont énumérées ci-après :

- La volatilité des taux d’intérêt est plus importante à court terme qu’à long terme.

Ahlgrim, D’Arcy et Gorvett (1999) observent, sur la période de 1953 à 1999, que

les taux d’intérêt à court terme sont sensiblement plus dispersés que leurs

équivalents de long terme.

- Les taux d’intérêt exhibent un phénomène de retour à la moyenne. En effet,

lorsque les taux d’intérêt sont élevés, ils ont généralement une tendance baissière,

et vice versa. Bien que cette notion soit économiquement plausible, Chapman et

Pearson (2001) font l’argument qu’étant donné l’historique de taux relativement

court, la théorie du retour à la moyenne n’est pas nécessairement très robuste. Les

seules situations où ce phénomène apparaît de manière claire sont les situations

extrêmes.

2 Il est d’ailleurs intéressant de noter que, malgré l’important volume de recherche existant à ce jour, aucun

modèle sérieux n’a été capable d’expliquer de manière satisfaisante les évolutions passées des taux

d’intérêt.


- Bien que les taux exhibent des évolutions complexes, 99 % des variations

observées dans la courbe des taux peuvent être expliqués par trois caractéristiques

fondamentales. Litterman et Sheinkman (1988) montrent que 90 % des variations

de la courbe des taux peuvent être expliquées par de simples translations – cette

composante est appelée niveau de la courbe. Par le biais d’un facteur additionnel

appelé pente de la courbe, on explique alors 95 % des variations. Finalement, en

tenant compte de sa courbure, on atteint 99 % de variations rationalisées.

- La volatilité du taux est généralement fonction, à un instant donné, de sa valeur.

3.1.3. Modèles d’équilibre

La plupart des modèles de taux font usage d’un seul facteur stochastique : les variations

du taux court (taux instantané). Une forme générique des modèles de taux à un facteur est

la suivante :

Lorsque , la volatilité du taux est liée à sa valeur. Lorsque = 0, on obtient le

modèle de Vasicek, et lorsque = 0.5, on obtient le modèle de Cox-Ingersoll-Ross

(CIR).

Les modèles de ce type exhibent le phénomène de retour à la moyenne. En effet, ici,

lorsque le taux court est supérieur à la moyenne , la variation est d’espérance

négative. La force de ce retour à la moyenne est quantifiée par le facteur k.

Sous l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage, le prix à tout instant t d’une

obligation zéro-coupon de maturité T est donné par l’expression :

0 . ∫

/ | 1

où F est une filtration adaptée au processus de taux.

L’un des avantages majeurs des modèles d’équilibre est que les prix des obligations, ainsi

que le prix d’autres instruments financiers utilisant le taux d’intérêt en tant que sous-

jacent, peuvent s’exprimer de façon explicite par le biais d’une formule analytique. Dans

les modèles CIR et de Vasicek, les prix d’obligations s’écrivent :

où et sont des fonctions déterministes des paramètres Il en résulte

qu’avec la donnée d’une certaine valeur du taux , il est possible de déterminer les taux

d’intérêt pour toutes les maturités.


Un problème immédiat qui se pose avec les modèles d’équilibre est que la courbe des

taux calculée par le modèle n’est pas cohérente avec les prix de marché observés, et ce,

même si les paramètres du modèle ont été soigneusement ajustés. En effet, bien que

bénéficiant d’une certaine cohérence interne – et de l’accès à des expressions analytiques

pour les prix de certains produits dérivés – les modèles d’équilibre vont à l’encontre de la

méthode utilisée par le marché lui-même pour valoriser les obligations.

3.1.4. Modèles à absence d’opportunité d’arbitrage (AOA)

Alors que les modèles d’équilibre génèrent la courbe des taux en tant qu’output, les

modèles à AOA ont l’approche opposée : ils prennent la courbe des taux actuelle comme

input.

Le modèle de Ho-Lee est un modèle discret de type AOA et inclut un coefficient de drift

fonction du temps, de sorte que les prix de marché actuels des obligations puissent être

répliqués. L’équivalent en temps continu du modèle de Ho-Lee est :

Le drift est pris dépendant du temps afin que les taux d’intérêt projetés puissent être

cohérents avec la courbe des taux existant à l’instant initial de la projection. Ce drift est

très proche de la courbe des taux forward à la date initiale.

Le modèle de Hull-White s’inspire du drift fonctionnel du modèle de Ho-Lee pour

améliorer les modèles de Vasicek et CIR. Le modèle résultant, dans sa forme

monofactorielle, s’écrit :

[ ]

Heath, Jarrow et Morton vont plus loin dans l’approche AOA en incluant la possibilité

que la courbe des taux toute entière puisse varier, plutôt que simplement le processus lié

au taux court. Il en résulte une famille de processus de taux forward définis par la

relation :

( ) ( )

où :


Quelle approche privilégier ? Le choix d’une approche par équilibre ou d’une approche à

AOA dépend de l’application souhaitée du modèle. En effet, malgré leur aspect attractif,

les modèles AOA accusent certains inconvénients.

a. Pricing de dérivés de taux

Les modèles AOA sont utiles à des fins de pricing, tout particulièrement de dérivés de

taux. Puisque les produits dérivés sont pricés en fonction de la valeur de marché de l’actif

sous-jacent, un modèle qui permette de capturer explicitement les prix de marché de ces

actifs affiche un avantage net sur des modèles qui ignorent plus ou moins les prix de

marché.

Hull (2003) fait toutefois l’argument que les modèles d’équilibre sont inférieurs, car les

prix d’options qu’ils permettent de calculer ont une pertinence limitée du fait de leur

incapacité à évaluer précisément l’actif sous-jacent. Cet argument trouve son soutien

dans la recherche : Jegadeesh (1998) a considéré le pricing de caps de taux et a tiré la

conclusion que les modèles à AOA obtiennent des prix plus précis que les modèles

d’équilibre.

Ceci étant dit, la précision des modèles à AOA a seulement été évaluée sur des horizons

de court terme. Il n’existe pas à l’heure actuelle de tests formels ayant évalué leur

précision dans les cas d’actifs à maturité longue.

b. Cas du court terme

Fitton et McNatt (1997) établissent que les modèles à AOA sont les plus utiles à des fins

de pricing à court terme, lorsque les données de marché nécessaires à la calibration sont

aisément accessibles. Cependant, ces modèles sont plus difficiles à maîtriser sur le long

terme.

Dans plusieurs des modèles AOA, le taux forward joue un rôle central dans la projection

des taux d’intérêt. Les taux forward sont une fonction de la pente de la courbe des taux et

peuvent exhiber un comportement étrange lorsque celle-ci est très raide. Le taux forward

est alors susceptible d’exploser, impactant fortement les projections résultantes. De plus,

pour certains segments de la courbe des taux exhibant une pente négative, comme c’est

parfois le cas à long terme, les taux forward correspondants peuvent également ressortir

négatifs.

Ainsi, dans le cas de projections à long terme, les trajectoires simulées sont susceptibles

d’exhiber des comportements extrêmes, dans la mesure où d’infimes fluctuations de la

courbe des taux se voient démultipliées à travers le calcul des taux forward. C’est

pourquoi, pour les analyses portant sur le long terme, les modèles d’équilibre sont à

privilégier.


c. Cohérence des résultats dans le temps

Pour Wilmott (1998), les modèles AOA accusent une certaine incohérence dans le temps.

Comme mentionné ci-dessus, plusieurs modèles AOA font l’hypothèse que le taux sans

risque est très lié à la courbe des taux forward. Si ce modèle était exact, il en découlerait

que les taux forward sont d’excellents prédicteurs des taux spot futurs. En effet, à toute

date de projection, la courbe des taux donne accès aux différents taux spot futurs, ainsi

qu’à leurs volatilités.

Il est pourtant clair que la véritable trajectoire des taux d’intérêt sera différente de la

courbe des taux forward modélisée, ce qui signifie que les projections futures font des

hypothèses différentes concernant les taux spot futurs et leurs volatilités. Les modèles

d’équilibre fournissent des résultats plus cohérents dans le temps que les modèles AOA.

d. Incomplétude éventuelle des données de marché

La détermination des inputs d’un modèle AOA n’est pas aisée. Il est généralement

d’usage de considérer la courbe des taux déduite des obligations sans risque telles que les

obligations d’Etat. Cependant, il existe certaines difficultés dans l’utilisation des données

de marché relatives à ces obligations.

Tout d’abord, la liquidité de ces obligations à long terme est discutable. Sachant que les

obligations d’émission la plus récente sont plus liquides que des obligations équivalentes

plus anciennes, les taux de ces dernières sont nécessairement plus bas. La courbe des

taux est initialement déterminée par les taux forward, mais pour des maturités plus

longues, les problèmes de liquidité prennent le dessus. Il en résulte une courbe des taux

pouvant adopter des formes étranges, et pouvant exhiber des ondulations causées par les

problèmes d’illiquidité sur certaines obligations.

De plus, quand on sait que le Trésor Américain a annulé l’émission de bons de maturité

30 ans, il en résulte une diminution du nombre de points sur le segment à long terme de

la courbe, ce qui rend les modèles AOA particulièrement vulnérables à des inefficiences

de ce type. Les modèles d’équilibre, quant à eux, ne souffrent pas de ces problèmes de

données de marché incomplètes.


3.1.5. Modèles monofactoriels et modèles multifactoriels

Les modèles présentés ci-dessus sont tous des modèles monofactoriels, étant donné que

pour chacun d’entre eux, on ne dénote qu’une seule variable à l’origine de mouvements

stochastiques dans la dynamique du taux.

Un des problèmes inhérents à l’approche monofactorielle est que cette unique source

d’incertitude détermine tous les mouvements exhibés par la courbe des taux. Par

conséquent, quelles que soient leurs maturités, les taux sont tous parfaitement corrélés à

cet unique facteur stochastique, et l’univers des courbes des taux possibles en est donc

d’autant limité.

Les effets de mouvements multifactoriels de la courbe des taux peuvent avoir

d’importantes conséquences sur le portefeuille. Reitano (1992) démontre que même de

petites variations non-corrélées de la courbe des taux peuvent occasionner des variations

extrêmes dans la valeur de marché des actifs dérivés.

L’introduction de sources additionnelles d’incertitude – telles que des fluctuations du

segment de long terme de la courbe, ou le caractère stochastique du paramètre de

volatilité – permettent d’enrichir l’ensemble des formes et des évolutions possibles de la

courbe des taux projetée.

L’inconvénient de cette approche est que l’introduction de dimensions supplémentaires à

la courbe des taux augmente exponentiellement la complexité mathématique du modèle

résultant. Il y a donc un choix à faire sur le nombre de facteurs stochastiques à introduire

dans le modèle de taux, et ce choix reflète l’arbitrage à effectuer entre précision du

modèle et simplicité des calculs.

Un exemple de modèle de taux multifactoriel est le modèle de Hull-White à 2 facteurs

(1994), dont la moyenne inclut à présent un terme stochastique :

[ ]

où et sont deux mouvements browniens standards.

De même que dans le modèle de Hull-White à 1 facteur, le taux court instantané a

tendance à revenir vers une moyenne, qui ne vaut plus mais

, incluant

un terme stochastique . Si l’on considère cette moyenne comme étant le taux espéré

d’une obligation de maturité infinie, il en résulte que l’ajout de ce second facteur

stochastique rend possible des ajustements des deux côtés de la courbe : au départ, et à

son asymptote (à maturité infinie).


De plus, toute corrélation entre les maturités courtes et les maturités longues est

déterminée par le coefficient de corrélation entre les deux mouvements browniens du

système précédent.

3.1.6. Récapitulatif sur les modèles de taux

La décision finale quant au choix du modèle de taux à implémenter n’est pas aisée, et

peut faire l’objet de longs débats au sein d’une compagnie. De nombreuses décisions

sous-jacentes sont à prendre concernant : le nombre de paramètres, le nombre de facteurs

stochastiques, la prise en compte ou non de la courbe des taux initiale (modèles à AOA

vs. équilibre), etc.

Afin de guider ces choix, il est essentiel de bien garder à l’esprit le champ d’application

prévu du modèle. En effet, le modèle adapté n’est pas le même selon que l’objectif soit

des calculs de court terme, nécessitant des projections précises et une comparabilité aux

données de marché, ou alors des exercices de pilotage stratégique nécessitant des

projections de long terme.

3.2. Modèles d’actions

3.2.1. Introduction

La projection de scénarios de cours d’actions est intéressante pour deux raisons :

- Elle donne accès à une distribution de chroniques de rendement, permettant de

simuler les évolutions possibles du portefeuille d’actions de l’assureur.

- Dans une optique plus spéculative, elle permet de modéliser l’évolution du prix

de nombreuses classes de produits dérivés dont le sous-jacent est le cours d’une

action.

3.2.2. Hypothèse de normalité des rendements

Généralement, les rendements d’actions sont modélisés selon une loi normale. Par

exemple, dans le développement de leur célèbre formule de valuation d’options, Black et

Scholes font cette hypothèse de normalité des rendements. Cependant, une observation

des taux de rendement historiques (Campbell, Lo et MacKinlay, 1997) montre que leur

distribution possède des queues plus épaisses que celles prédites par l’hypothèse de

normalité.


3.2.3. Hypothèses alternatives

Il existe des hypothèses alternatives pour la modélisation des actions. Hardy (2001)

propose un modèle à changement de régime qui montre une meilleure performance que

les modèles concurrents. La motivation de Hardy derrière son modèle, a été de considéré

le fort déclin du marché des actions d’Octobre 1987. Cet évènement paraît trop extrême

et improbable pour s’inscrire de manière réaliste dans un modèle à une seule variance.

C’est pourquoi, en lieu et place de cela, l’hypothèse est faite que les taux de rendement

des actions peuvent, à tout instant, être produits à partir de l’une de deux distributions

distinctes : un régime dit de « haute volatilité », et un régime de « basse volatilité ». Les

passages d’un régime à l’autre sont dictés par des probabilités de transition.

En période d’instabilité économique, les rendements des actions sont plus incertains, ce

qui reflète un régime à haute volatilité. Par conséquent, l’observation d’Octobre 1987

peut être interprétée comme un tirage du régime à haute volatilité.


II. IMPLEMENTATION

L’objet de ce mémoire est d’observer l’impact quantitatif du choix du modèle de GSE sur

les calculs de solvabilité et autres résultats financiers de l’assureur : indicateur de

rendement, de volatilité, SCR marché, Best Estimate.

Afin de permettre une comparaison toutes choses égales par ailleurs, il est essentiel de

pouvoir remplacer un GSE par un autre sans aucune conséquence sur le reste du modèle.

Il en découle une exigence de modularité à prendre en compte lors de la phase

d’implémentation. Nous illustrerons dans les paragraphes suivant, les choix de

modélisation ayant permis d’atteindre cet objectif.

1. Support de modélisation

1.1. Modèle assurantiel utilisé

1.1.1. Introduction au modèle

Nous avons implémenté un modèle d’assurance-vie. Il a été voulu suffisamment

complexe pour capturer l'essentiel du mécanisme économique de la compagnie, mais

suffisamment simple pour permettre une interprétation cohérente des résultats obtenus.

a. Passif

Au passif, nous avons implémenté les prestations décès, rachats statiques et rachats

dynamiques. Les primes et prestations décès sont proportionnelles à la PM d’ouverture

de chaque exercice. Sont également implémentés des taux de frais et de commission.

b. Actif

À l’actif, nous avons implémenté un portefeuille constitué d’actions, d'obligations

d'entreprise et d'obligations souveraines. Il est fait l'hypothèse d'une répartition statique

des investissements dans chacune de ces classes d'actifs. Les montants à investir et à

désinvestir sont calculés à chaque exercice de manière à faire face aux prestations,

compte tenu des revenus financiers générés par les actions (dividendes) et les obligations

(coupons).

Les rendements et trajectoires des actions sont calculés par le modèle d’actions, et ceux

des obligations par le modèle de taux.


c. Stratégie actif-passif

Nous avons implémenté le circuit de participation aux bénéfices, central à l’activité

d’assurance-vie. Par ailleurs, plusieurs des montants de SCR sont sensibles à la

participation bénéfice, via sa capacité à absorber les chocs de trésorerie.

d. Hypothèses de projection

L’outil de calcul ERM System permet de procéder à des projections stochastiques basées

sur une famille de générateurs de nombres aléatoires. Le paramétrage retenu pour cette

étude est celui d’une projection de pas annuel, d’horizon 40 ans, et utilisant le moteur de

calcul stochastique « Mersenne Twister ». Nous examinerons l’impact du nombre de

simulations sur les résultats obtenus. Il est possible de lancer jusqu’à 1 million de

simulations. La quantité de simulations pouvant être lancée est plafonnée par la quantité

de mémoire vive (RAM) disponible. Passé ce seuil, il devient nécessaire de stocker les

résultats intermédiaires sur le disque dur, ce qui entraîne des temps de traitement

dissuasifs.

e. Indicateurs financiers à calculer

Hormis les indicateurs purement financiers de type rendement et volatilité, nous

calculerons aussi des indicateurs de solvabilité et de convergence.

1.1.2. Modélisation du Passif

a. Hypothèses et paramétrages

Plusieurs hypothèses simplificatrices ont été faites, afin de limiter au maximum le

nombre de facteurs pouvant causer une différence de SCR, hormis le changement des

modèles de GSE :

- une seule tête assurée

- une garantie de capital décès

- un taux de décès constant

- des taux de prime, de frais et de commission constants

Les valeurs suivantes ont été retenues comme paramètre :

Paramètre Valeur

Répartition Actions-Obligations 20% - 80%

Taux de prime périodique 1%

Taux de frais 1%

Taux de commissions 0%

Taux garanti 2%

Taux de chargement 2%

Seuils de rachat dynamique 1,5% à la baisse, 4,5% à la hausse


b. Calcul de la Provision Mathématique

La provision mathématique initiale est fixée à 100.

Chaque année, elle est recalculée selon la relation suivante, avec les notations

pour la PM de clôture et pour la PM d’ouverture :

( )

[

]

c. Calcul du Best Estimate Liabilities (BE)

Le Best Estimate est calculé par récurrence inverse à chaque pas de projection P selon la

formule :

[

]

où est le taux de maturité 1 an de l’année P.

d. Calcul des prestations

Les prestations sont calculées sur l’assiette de la PM d’ouverture à chaque année P :

[ ]

Dans le cas particulier où P atteint l’horizon (pas final de la projection), on a :

( )

[

]

et ce, de sorte à annuler la provision mathématique restante à cette date.


e. Calcul des décès, primes, frais et commissions

Les décès, primes, frais et commissions (comm) sont calculés sur l’assiette de la PM

d’ouverture, et par le biais de taux fixes placés en hypothèse du modèle.

{

f. Calcul des revenus financiers de l’exercice

A chaque fin d’exercice au cours de la projection, les revenus financiers sont calculés sur

l’assiette de la PM d’ouverture, et via le rendement de l’actif général (défini plus loin) :

g. Calcul du taux de rachat

A chaque année de projection, le taux de rachat est calculé à partir des rachats structurels

et des rachats dynamiques.

Le taux de rachats structurels est fixé en hypothèse :

Les rachats dynamiques se déclenchent si, à une année de projection donnée, le taux de

rendement de l’actif général (actions et obligations) descend sous un seuil prédéfini. S’ils

se déclenchent, leur taux est alors égal à un taux fixe placé en hypothèse du

modèle :

D’où l’expression du taux de rachat de l’année de projection P :

|


1.1.3. Modélisation de l’Actif et ALM

a. Portefeuille d’actifs initial

La répartition des actifs est constante et fixée à 20% d’actions et 80% d’obligations.

L’actif étant adossé à la provision mathématique, initialement fixée à 100, cela implique

des valeurs de marché initiales de 20 pour les actions, et 80 pour les obligations.

b. Modélisation des actions

Le cours du panier d’actions suit l’indice Actions modélisé par Le GSE.

c. Modélisation des obligations

L’hypothèse est faite que la duration du panier obligataire est égale à tout instant à celle

du passif.

Leur rendement, à chaque pas de projection, est calculé à partir de la courbe des taux de

l’année en cours, en prenant le taux correspondant à la duration des obligations. Soit :

d. Mécanisme de gestion Actif-Passif (ALM)

Les quantités d’actifs à investir et à désinvestir à chaque année de projection sont

déterminées via le calcul d’une variable CashFlowTotal, qui représente le flux monétaire

– positif ou négatif – de l’exercice. Elle est calculée ainsi :

où :

et :

[ ]

[ ]

Il en résulte le flux à investir (si positif) ou à désinvestir (si négatif) dans chaque classe

d’actifs, égal au CashFlowTotal multiplié par le coefficient de répartition de la classe

(20% pour les actions, 80% pour les obligations).

Les valeurs de marché des paniers d’actions et d’obligations sont alors mises à jour après

affectation du flux d’investissement-désinvestissement :


e. Evaluation du portefeuille d’actifs

Afin de calculer la Net Asset Value (NAV), il est nécessaire de calculer une valeur de

marché du portefeuille d’actifs. Elle est calculée comme la somme des valeurs de marché

de chaque actif, considéré avant les transactions de l’année en cours.

Pour rappel, la NAV représente la valeur de l’actif net i.e. la valeur de marché des actifs

moins la valeur des provisions techniques.

La ΔNAV représente la variation de NAV produite entre le scenario choqué et le scenario

central.


1.2. Architecture du GSE

1.2.1. Schéma global

1.2.2. Structure

Tel qu’il sera décrit plus en détail ci-après, le GSE de notre étude est composé de 2

modèles de taux :

- Hull-White cadre HJM

- Cox-Ingersoll-Ross

et de 2 modèles d’actions :

- Black-Scholes

- Heston

Avant le lancement du modèle, l’utilisateur effectue le choix des modèles de taux et

d’action qui seront utilisés pour les projections du modèle assurantiel et le calcul du

SCR.


Dans la partie qui suit, nous aborderons le déroulement des calculs lors d’une simulation

donnée. Chaque simulation prend sa source dans un tirage issu du générateur de nombres

aléatoires. Par conséquent, à chaque simulation, les variables financières sont projetées

de manière unique.

A chaque simulation, le circuit de calcul est parcouru du début à la fin, en passant

également par le calcul de chaque SCR. C’est donc par l’exécution d’un grand nombre de

simulations que nous pourrons raffiner la valeur des SCR obtenus, en capturant

notamment la valeur temps des options et garanties financières par la méthode de Monte-

Carlo.

1.2.3. Déroulement des calculs

a. Tirage de nombres aléatoires

Le générateur de nombres aléatoires de notre étude est le Mersenne Twister.

C’est un générateur de nombres pseudo-aléatoires développé en 1997 par les

mathématiciens Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura de l’Université de Keio au

Japon. Il a été conçu dans le but de pallier aux insuffisances de plusieurs algorithmes

existants.

Il est basé sur un système de bascules logiques synchrones, et tient son nom de

l’utilisation du nombre premier de Mersenne -1, auquel sa période est égale. Il est

uniformément distribué sur 623 dimensions, et possède une rapidité supérieure à la

majorité des autres générateurs.

C’est ce générateur qui fournit leurs valeurs aux variables de mouvement brownien des

modèles.

b. Modélisation de la dynamique des taux

Chronologiquement, la première partie du modèle à entrer en mouvement est le modèle

de taux.

Il prend en input la courbe des taux forward observée sur le marché, pour des maturités

allant de 1 à 100 ans. Puis, suivant le modèle de taux choisi (CIR ou Hull-White), il

établit la projection, année après année, de la courbe des taux forward pour ces mêmes

maturités.

Les données projetées sont stockées sous la forme d’une matrice, contenant autant de

lignes que de maturités, et autant de colonnes que d’années de projection.

Les courbes des taux projetés servent de base à la valorisation des obligations.

Les taux forward projetés de maturité 1 an, considérés comme sans risque, servent quant

à eux de base à la projection en univers risque-neutre des indices d’actions.


c. Modélisation de la dynamique des actions

Selon le modèle d’actions choisi, les inputs sont :

- les taux d’intérêt à 1 an fournis par le modèle de taux

- la volatilité empirique de l’indice d’actions à modéliser

- le cours initial (pris en général égal à 100)

- la famille de paramètres ( , etc.) propre au modèle choisi

La projection des indices d’actions s’effectue dans l’univers risque-neutre.

Les données projetées sont stockées sous la forme d’un tableau à une seule colonne, et

possédant autant de lignes que d’années de projection.


d. Application des chocs taux

Les chocs utilisés sont ceux spécifiés dans les mesures d’implémentation de niveau 2 de

l’EIOPA (appelées L2), et ils sont appliqués sur une copie des données de projection

relatives aux taux.

Dans l’exemple suivant, nous ne ferons figurer que les maturités 1 à 20 ans pour des

raisons de clarté.

Courbe_i correspond à la courbe des taux du pas de projection i. Mat correspond à la

maturité, et Stress_Up reflète les chocs haussiers à appliquer par maturité. Il en résulte

les courbes de taux CourbeChoc_i correspondant aux courbes Courbe_i après

application de ces chocs.

Application d’un choc haussier sur 3 courbes de taux projetées

e. Application du choc actions

Ici, l’EIOPA recommande l’application d’un choc baissier de 30% sur le cours des

actions, ce qui se traduit ici par la baisse de 30% de la chronique de l’indice d’actions.

Sont alors stockées :

- la chronique de l’indice d’actions modélisée

- une copie de cette chronique sur laquelle on applique le choc.

Mat Courbe_1 Courbe_2 Courbe_3 Stress_Up CourbeChoc_1 CourbeChoc_2 CourbeChoc_3

1 0,30% 1,25% 1,75% 0,78 0,53% 2,23% 3,11%

2 0,70% 1,83% 2,42% 0,73 1,21% 3,16% 4,19%

3 1,04% 2,31% 2,90% 0,86 1,94% 4,30% 5,39%

4 1,52% 2,71% 3,26% 0,85 2,82% 5,02% 6,03%

5 1,97% 3,05% 3,54% 0,78 3,51% 5,42% 6,31%

6 2,36% 3,32% 3,77% 0,70 4,01% 5,64% 6,41%

7 2,69% 3,54% 3,94% 0,64 4,41% 5,80% 6,47%

8 2,96% 3,72% 4,08% 0,60 4,74% 5,95% 6,53%

9 3,19% 3,87% 4,19% 0,58 5,04% 6,11% 6,62%

10 3,38% 3,98% 4,27% 0,55 5,24% 6,17% 6,63%

11 3,53% 4,08% 4,34% 0,53 5,41% 6,24% 6,64%

12 3,66% 4,15% 4,38% 0,51 5,53% 6,26% 6,62%

13 3,76% 4,20% 4,42% 0,49 5,61% 6,26% 6,58%

14 3,84% 4,24% 4,44% 0,47 5,65% 6,24% 6,52%

15 3,91% 4,27% 4,45% 0,45 5,67% 6,20% 6,45%

16 3,96% 4,29% 4,45% 0,43 5,66% 6,14% 6,37%

17 4,00% 4,31% 4,45% 0,42 5,68% 6,12% 6,32%

18 4,03% 4,31% 4,45% 0,42 5,72% 6,13% 6,32%

19 4,05% 4,31% 4,44% 0,42 5,75% 6,13% 6,30%

20 4,06% 4,31% 4,43% 0,42 5,77% 6,12% 6,29%

21 4,07% 4,31% 4,42% 0,42 5,78% 6,12% 6,27%


1.3. Calcul du SCR

1.3.1. Obtention des scénarios choqués

Comme nous l’avons vu en 1.2, au début de chaque simulation, le GSE produit 5

chroniques :

1. [Ac] Une chronique d’actions projetée.

2. [AcDn] Cette même chronique après application d’un choc baissier.

3. [Tx] Une chronique de courbes des taux projetée.

4. [TxUp] Cette même chronique après application d’un choc haussier.

5. [TxDn] Cette même chronique après application d’un choc baissier .

Les scénarios de choc du peuvent alors être représentés par des combinaisons des

chroniques de taux et d’actions, comme l’illustre le tableau suivant :

Scénario Chronique de taux

associée

Chronique d’actions

associée Donne accès au :

Central Ac Tx -

Choc Actions AcDn Tx SCR Actions

Choc Taux Up Ac TxUp SCR Taux Up

Choc Taux Down Ac TxDn SCR Taux Down

En envoyant au sein du modèle assurantiel, les chroniques de taux et d’actions

correspondant à chaque scénario, nous obtiendrons en output une NAV spécifique à ce

scénario. Par différence avec la NAV du scénario Central, nous aurons alors accès aux

SCR correspondant à la simulation en cours, qui correspond à la VaR à 99,5% de cette

différence.


1.3.2. Schéma récapitulatif du calcul des SCR

a. Partie de gauche : Combinaisons de scénarios taux-actions

Suivant le principe établi en 1.2, le GSE est configuré pour simuler un certain modèle de

taux conjointement à un certain modèle d’actions, et produit alors à chaque simulation 5

chroniques telles que décrites ci-dessus : taux (avec versions haussière et baissière) et

actions (avec version baissière).

b. Partie Modèle : Utilisation des scénarios économiques

Les 5 chroniques sont alors combinées de 4 manières différentes et évaluées en parallèle

dans le même modèle assurantiel (projection sur 60 ans) pour obtenir l’évolution des

variables du bilan en réponse à ces scénarios économiques.

c. Résultats en sortie : Net Asset Value

La variable de sortie la plus importante est la NAV définie précédemment. Le modèle

traite chaque jeu de scénarios économiques différemment et renvoie une NAV différente

à l’issue de la projection.


d. Calcul des SCR

Les 4 NAV sont alors comparées entre elles comme suit :

Différence entre et donne dont la VaR 99,5% est

NAV Actions NAV Central DeltaNAV Actions SCR Actions

NAV Taux Up NAV Central DeltaNAV Taux Up SCR Taux Up

NAV Taux Down NAV Central DeltaNAV Taux Down SCR Taux Down


2. Sélection de GSE retenue pour l’étude

Ci-après se trouve un tableau récapitulatif des GSE retenus pour l’étude. Les détails et

développements relatifs à chaque modèle se trouvent dans les sections suivantes.


Nom Modèle Type Dynamique Particularités

HW Hull-White

HJM Hybride

{

√

• Modèle AOA : Rendement de

• Dynamique de taux gaussienne, plusieurs degrés de

liberté, permet de générer de nombreux scénarios.

• Cohérence entre Hull-White et le cadre HJM ssi :

( )

où est la volatilité de la dynamique taux.

CIR

Cox-

Ingersoll-

Ross

Taux √ •

BS Black-

Scholes Actions

• Volatilité constante : formules analytiques simples

mais pas toujours réalistes.

HT Heston Actions

{

√

√

• Le carré de la volatilité suit un processus CIR.

• : corrélation rendement-volatilité.

• Permet de modéliser le skew de volatilité.

• : distr. log-rdts à queue épaisse pour la partie

négative, en accord avec les phénomènes de crise.


2.1. Taux-Actions : Hull-White à un facteur, cadre HJM

2.1.1. Le modèle de Hull-White à un facteur

Dans ce modèle, le taux court suit la dynamique suivante :

où et sont respectivement la force de rappel, la moyenne à long terme, la

volatilité, et un mouvement brownien standard.

Le paramètre contient les informations de la courbe des taux initiale.

2.1.2. Le cadre Heath-Jarrow-Morton

Le cadre HJM s'appuie sur le modèle de Hull-White pour exprimer, sous la probabilité

risque-neutre, la dynamique à tout instant t du zéro-coupon de prix et de maturité

T.

Soit, pour les calculs à venir :

2.1.3. Lien entre Hull-White et HJM

Ces deux modèles sont cohérents si l'on pose :

( )

2.1.4. Dynamique du taux forward instantané

On définit le taux forward instantané f de sorte que :

, ∫

- et

Il s'écrit donc :


Afin de calculer , on rappelle le lemme d'Itô.

Pour toute fonction g de classe et tout processus d'Itô (processsus stochastique de

la forme avec mouvement brownien), on a :

.

/

Ici, en posant et , il vient :

.

/

Donc :

.

/

[

]

0

1

En posant :

En conclusion, le taux forward instantané à tout instant t et pour toute maturité T, s'écrit :

∫

∫

∫

La dynamique des taux est donc gaussienne, déterminée par la courbe des taux initiale

, la force de retour à la moyenne et la volatilité du taux court .


2.1.5. Dynamique du taux court

Partant de la relation établie ci-dessus, et sachant que , on peut montrer que :

0

( )1

2.1.6. Reconstruction des zéro-coupons

Posons comme intermédiaire de calcul.

On a alors :

[ ]

avec :

( )

L'objectif est d'exprimer le prix du zéro-coupon comme une fonction

déterministe de . On cherche donc déterministe, telle que :

Commençons par exprimer en fonction de . Pour cela, on se servira du fait que

et ont le même terme stochastique. De fait, par intégration des termes

différentiels dégagés ci-avant, il vient :

∫

( )

Soit :

∫

( )

Puis, comme ( ∫

), on calcule :

∫

∫

∫

∫ ∫

( )


Le premier terme donne :

∫

∫ ∫

Le second terme donne :

∫

avec :

Le troisième terme donne :

∫ ∫

( )

Par conséquent, le prix à tout instant t du zéro-coupon de maturité T est :

∫

(

)


2.1.7. Simulation exacte par la méthode des différences finies

La diffusion Actions est évaluée selon un modèle Black-Scholes déterministe couplé à la

diffusion taux Hull-White HJM établie ci-dessus.

Sous la probabilité risque neutre, la dynamique de l'actif risqué s'ecrit :

où est sa volatilité (distincte de la volatilité du modèle de taux), et :

√

où et sont deux mouvements browniens indépendants.

Finalement, le facteur d'intérêt de la diffusion taux s'écrit :

( )

comme établi précédemment.

On a alors, pour un pas h fixé (que nous choisirons égal à 1 an), une simulation

séquentielle exacte selon les équations :

2∫

* √ ( )+3

et :

[ ] ∫

Les facteurs et suivent une loi normale .

Les quatre facteurs en rouge sur les équations précédentes sont normaux, et il conviendra

donc de les simuler par le biais de quatre lois normales corrélées.


On montre qu'il convient de simuler le vecteur normal :

(

)

(

∫

)

de moyenne nulle et de matrice de variance-covariance :

(

∫

∫

∫

)

(

)

Ensuite, on construit par récurrence, et en partant de conditions initiales nulles :

tel que :

[

( )

( ) ]

( )

* √ +

et tel que :

[ ]


Mise sous forme pratique

En pratique, d’un point de vue modélisation, il est plus simple d’exprimer ces relations

de récurrence sous la forme ce qui donne par simple

changement de variable :

tel que :

[

( )

( ) ]

( )

* √ +

et tel que :

[ ]

Simulation du vecteur Y =

Cette simulation s’effectue en déterminant la matrice L, transformée de Cholesky de la

matrice M. C’est une matrice triangulaire inférieure vérifiant :

et nous permettant d’écrire :

où et .

Les coefficients de la matrice de Cholesky de M s’obtiennent comme suit.

On détermine d’abord la première colonne de L :

- √

- pour tout :

√

Puis on détermine la colonne après avoir déterminé les premières colonnes :

- √ ∑

- ∑


Après calculs, il vient :

6√

√

7

avec :

8

√

La relation peut alors se décomposer :

√

√

√

où :


2.2. Actions : Black-Scholes

2.2.1. Hypothèses du modèle de Black-Scholes

Les hypothèses formulées dans le modèle de Black-Scholes sont les suivantes :

- L’achat et la vente de titres s’effectue de manière continue dans le temps

- L’action modélisée ne produit pas de dividende

- Il n’existe pas de frais relatifs à l’achat et à la vente de titres sur le marché

- La vente à découvert est autorisée

- Il n’existe pas d’opportunités d’arbitrage

Sous ces hypothèses, le rendement S du prix de l’action s’écrit :

où est un mouvement brownien standard sous la probabilité historique P, et et

sont des paramètres positifs de valeur moyenne et de volatilité, respectivement.

Cette équation régit la dynamique du rendement sous la probabilité historique i.e. dans

l’approche « monde réel ». On cherche à présent une nouvelle probabilité Q sous laquelle

le rendement espéré du cours S* est égal au taux sans risque r. Q est alors appelée

probabilité risque-neutre.

2.2.2. Passage sous la probabilité risque-neutre

Notons M le cours de l’actif sans risque. On a alors :

D’après le théorème de Girsanov, il existe tel que :

est un mouvement brownien sous la probabilité Q.

Posons alors :

. Le processus S* sous la probabilité Q s’écrit alors :

Etant donné que l’on ne se placera plus que sous la probabilité risque-neutre, on fera

l’abus de notation qui consiste à ne pas noter mais S.


2.2.3. Formulation explicite

Par application du lemme d’Itô, on obtient la solution explicite suivante :

2.

/ 3

En discrétisant par la méthode des différences finies, il vient :

2

√ 3

2.3. Taux : Cox-Ingersoll-Ross

2.3.1. Dynamique du taux court

Dans le modèle CIR, le taux court s’écrit :

√

avec et constantes positives et

La dynamique ci-dessus se discrétise ainsi :

√

2.3.2. Prix d’un zéro coupon

Le prix en t du zéro-coupon de maturité de maturité T s’écrit alors :

avec :

4

5

( )

et :

√


2.4. Actions : Heston

2.4.1. Formalisation

Notons le taux d’intérêt court, provenant d’un modèle de taux.

Notons le cours de l’action considérée et sa volatilité. Dans le modèle de Heston, le

rendement instantané

suit la dynamique suivante :

√

où est un mouvement brownien standard.

Le modèle de Heston est dit « modèle à volatilité stochastique », car le terme est

stochastique et suit une dynamique de type Cox-Ingersoll-Ross (CIR) :

√

où est un second mouvement brownien standard, corrélé au premier tel que :

.

est la variance moyenne à long terme du prix de l’action. En effet, lorsque t tend vers

l’infini, l’espérance de tend vers . est la force de rappel, c’est-à-dire la vitesse à

laquelle est ramené vers . Finalement, est la « volatilité de la volatilité », c’est-à-

dire la variance du processus .

2.4.2. Propriétés et avantages

On retrouve une des propriétés des processus de type CIR, qui est que sous la condition

appelée condition de Feller, alors le processus reste strictement positif.

Ce modèle présente les avantages suivants :

- Evidences empiriques de queues de distribution plus épaisses pour les rendements

des actifs, on parle de phénomène de leptokurtosis.

- Empiriquement, les rendements actions et la volatilité implicite sont négativement

corrélés, i.e. . La volatilité implicite est définie ci-après.


3. Calibration et validation des modèles

Pour calibrer un modèle de taux ou d’actions, il existe deux visions :

- Calibration sur des prix de marché à l’aide de formules fermées. Ceci permet de

rechercher les paramètres donnant accès à la meilleure approximation des prix de

marché observés.

- Calibration sur des données historiques de l’actif sous-jacent modélisé.

La partie qui suit présente les instruments et les données disponibles sur le marché afin

de réaliser une telle calibration.

3.1. Vérification de la cohérence des GSE

Sur les marchés financiers, les produits dérivés sont évalués par différentes méthodes :

- Prix par formule fermée s’il existe une formule analytique pour calculer

directement le prix en accord avec les dynamiques taux et actions.

- Prix par la méthode de Monte-Carlo : On simule un grand nombre de trajectoires,

et on calcule le payoff des options à l’aide de ces trajectoires. On déduit alors la

moyenne actualisée de ces payoffs, qui converge vers le prix du produit.

Avec la plateforme de modélisation utilisée, il est possible de calculer :

- les prix en formule fermée de divers instruments de taux et actions

- les prix Monte-Carlo de ces instruments

Si, avec l’augmentation du nombre de simulations, ces différents prix convergent vers

une unique valeur commune, alors on pourra attester de la cohérence des générateurs

ainsi implémentés

3.2. Validation des modèles

3.2.1. Validation des modèles Actions

a. Calcul par formule fermée

Pour valider le modèle, nous allons calculer le prix d’un Call Européen de maturité T et

de prix d’exercice K.

Le payoff d’un tel instrument est : . Autrement dit, en T, le détenteur de

l’option reçoit si (car il exerce l’option), et 0 sinon (car il ne l’exerce

pas).


Il existe une formule fermée permettant de calculer la valeur de ce Call, il s’agit de la

formule de Black-Scholes. Notons C la valeur du Call et soient les notations classiques :

- la valeur actuelle de l’action sous-jacente

- le nombre d’années restantes avant échéance de l’option

- le prix d’exercice de l’option (strike)

- le taux d’intérêt sans risque

- la volatilité du prix de l’action

On a :

avec N la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite , d’expression :

∫

√ (

)

et :

√ [

(

) ]

√

Pour un strike donné et une maturité T, il y a bijection entre le prix de l’option et la

volatilité de la formule. Lorsque cette volatilité est déduite, via la formule, des prix

observables sur le marché, on l’appelle volatilité implicite de l’option.

b. Evaluation Monte-Carlo

Pour l’évaluation du prix par méthode de Monte-Carlo, il convient de simuler un grand

nombre de fois (notons N le nombre de simulations) et de déduire le prix de la façon

suivante :

∑ (

)


c. Comparaison des approches

Après modélisation de ces deux formules sur l’outil, nous avons évalué les prix de calls

de maturité croissante via la formule fermée (PrixCallFF) et via la méthode de Monte-

Carlo (PrixCallMC), afin d’observer si la convergence de ces deux courbes a lieu après

un nombre de simulations suffisant.

Convergence entre les calls évalués par formule fermée et par Monte-Carlo

3.2.2. Validation des modèles de Taux

De la même manière, nous allons tester la diffusion des modèles de taux en calculant les

prix formule fermée et les prix Monte-Carlo d’un instrument de taux appelé caplet. Sa

définition sera explicitée plus en détail dans la partie suivante.

Un caplet est une option sur taux, de maturité T et de strike K, donnant le droit à son

détenteur de toucher en T+1, si

, et 0 sinon.

Le payoff de l’option est donc

Le prix par formule fermée s’obtient de manière directe en travaillant sur la dynamique

des prix zéro-coupon et la mesure de probabilité forward.

Le prix Monte-Carlo, de manière analogue aux actions, est :

∑ (

)

Le modèle est validé dès lors qu’il y a convergence des deux courbes (prix en fonction de

la maturité) avec l’accroissement du nombre de simulations.


Convergence entre les caplets évalués par formule fermée et par Monte-Carlo

3.2.3. Convergence par la méthode de Monte-Carlo

La convergence du prix est un enjeu majeur en calcul de Monte-Carlo. A partir de

combien de simulations, le prix est-il stable ?

Le graphique suivant présente le tracé de 100 simulations du prix Monte-Carlo d’un call

en fonction de la maturité. Les bandes en pointillé indiquent la zone d’incertitude du prix.

100 simulations Monte-Carlo du prix d’un call


Pour 1000 simulations, on obtient :

1000 simulations Monte-Carlo du prix d’un call

On constate que les prix calculés présentent une incertitude moindre : il y a convergence

vers une courbe finale.

L’exemple présenté précédemment est relativement évident et rapide puisque

l’instrument calculé (le call) ne comporte qu’un seul flux à une date précise. Dans une

utilisation pratique, les instruments actuariels et financiers considérés sont beaucoup plus

complexes et nécessiteront un nombre de simulations beaucoup plus important.

D’un point de vue machine, il est donc nécessaire d’optimiser son code de façon à limiter

les redondances et boucles de calcul inutiles.

D’un point de vue algorithmique, on pourra implémenter des méthodes de réduction de

variance pour accélérer la convergence de ces méthodes de Monte-Carlo.


3.3. Calibration du modèle de taux Hull-White

3.3.1. Les dérivés de taux

a. L’option sur LIBOR

L’option sur taux LIBOR, notée , donne la possibilité d’emprunter un montant

M en et de recevoir ( ) ) en date

Sous l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage, on a :

( ( ) ( ))

Ainsi :

( )

.

( ) /

b. Le cap et le caplet

Un cap acheteur sur LIBOR de notionnel M et de strike K est produit dérivé permettant

de se couvrir contre une hausse des taux en recevant à chaque date Ti le payoff :

représente la maturité du taux considérée en fraction d’année.

Si on définit le caplet de notionnel M, de strike K et de maturité Ti comme étant

l’instrument de payoff F(Ti), il en découle qu’un cap est une somme de caplets de

différentes maturités :

Soit PrixCap le prix du cap de maturité T. On a alors (avec ) :

∑


3.3.2. Calcul de la valeur de l’option sur taux

Sur le marché, on peut soit accéder au prix des options pour des maturités et strikes

différents, soit accéder à la volatilité implicite des options pour des maturités et strikes

différents. Connaitre la volatilité implicite ou le prix d’une option est équivalent.

Ces volatilités implicites sont appelées volatilités flat pour les caps. C’est en quelque

sorte une volatilité moyenne appliquée aux différents caplets.

De manière analogue aux actions et dans un souci d’uniformisation des données sur le

marché, le prix d’un caplet est calculé avec la formule de Black en considérant que le

taux LIBOR suit une dynamique lognormale.

Par analogie avec la formule de Black-Scholes pour les actions, on trouve :

( )

A noter toutefois que pour un caplet de maturité le flux financier est versé en .

Cependant comme pour le cas des calls de différentes maturités, afin de minimiser les

prix de marché caplets, on voudrait une unique volatilité dite spot pour chaque maturité

de caplet de telle sorte que :

∑

3.3.3. Volatilité spot et volatilité flat

On va estimer la volatilité spot exactement de la même façon qu’on estimerait les taux

sur des obligations de différentes maturités.

On pose

et on déduit de proche en proche à l’aide de la formule de Black

les volatilités spot. Cette approche est résumée par le graphique ci-dessous :


On trouve alors pour les volatilités spot des caplets à la monnaie (at-the-money) pour

différentes maturités (en abscisse) :

Volatilités spot (en fonction de la maturité) de caplets à la monnaie

La formule de Black nous permet alors de calculer les prix des caplets à la monnaie pour

différentes maturités (en abscisse) :

Prix (en fonction de la maturité) de caplets à la monnaie

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0,5 3 5,5 8 10,5 13 15,5 18

Volatilité Spot

Volatilité Flat

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,5 3 5,5 8 10,5 13 15,5 18

PrixBlack


3.3.4. Prix par formule fermée (Hull-White) d’un caplet

Considérons par la suite un caplet de maturité T avec un versement en date T+D. Le

payoff d’une telle option est:

Comme nous l’avons vu précédemment, plaçons nous dans le numéraire zéro-coupon

forward B(0,T+D). On a alors le prix d’un caplet en période 0 :

[ ]

En remplaçant le taux LIBOR on obtient :

[.

/

]

Ainsi :

[(.

/ )

]

On sait que sous la probabilité forward , les actifs écrits dans le numéraire zéro-

coupon sont martingales.

Pour rappel :

.

/

( )

On peut alors se ramener à ce qui a été réalisé précédemment en considérant un strike

non plus égal à K mais égal à :

avec :

(

)

et :

∫ ( )


3.3.5. La calibration

a. Méthode

Le but est maintenant de minimiser l’écart entre les prix de marché et les prix de notre

modèle qui dépend de et . Il convient de trouver ces paramètres tels que

( ) ∑

Une pratique de marché consiste alors à fixer à un niveau conservateur et de minimiser

cette fonction en . Pour la suite, nous prendrons .

b. Résultats

Une volatilité égale à 2,39% permet de minimiser l’écart (par la méthode des moindres

carrés) entre la courbe des prix observés sur le marché (PrixBlack), et la courbe des prix

obtenue par formule fermée (PrixFitHW), pour des maturités différentes en abscisse :

Prix observés sur le marché (bleu) et prix évalués par la formule fermée ainsi calibrée

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

1 6 11 16 21 26 31 36

PrixBlack

PrixFitHW


3.4. Calibration du modèle de taux Cox-Ingersoll-Ross

3.4.1. Rappel des dynamiques

√

√

3.4.2. Formule de calibration

√ √ √

On obtient alors une formule de régression linéaire à estimer sur des données historiques.

Le problème de ce type de calibration est de bien choisir le pas de temps et la longueur

des données historiques.


3.5. Paramètres retenus pour la modélisation

3.5.1. Courbe initiale des taux zéro-coupon

La courbe des taux zéro-coupon a été établie par stripping3 à partir des prix observables

sur le marché au 1er

Juillet 2012.

3.5.2. Paramétrage des modèles

a. Modèle de Hull-White, cadre HJM

0,33 0,01 0,29

Le paramètre restant – – correspond à la courbe des taux zéro-coupon ci-dessus.

b. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross

0,36 0,041 0,02 0,007

c. Modèle de Heston

1,00 0,04 0,23 -0,90

d. Modèle de Black-Scholes

taux forward 1 an (variable) 0,21

3 Voir en p.16 pour une brève description du procédé.

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

4,5%

0 10 20 30 40 50

Maturité en années

Taux Zéro-Coupon


III. RESULTATS

1. Calibration du modèle Actif-Passif

1.1. Considérations initiales sur le modèle

Nous avons fixé une provision mathématique initiale de 100, représentant un assuré

global, autrement dit une tête – communément appelée model point – payant des primes

périodiques, et produisant chaque année des rachats et des décès partiels, résultant en

autant d’entrées et de sorties monétaires.

Ces entrées et sorties servent de base au mécanisme de gestion actif-passif, qui en déduit

un flux d’investissement-désinvestissement à répartir entre chaque classe d’actifs – sous

réserve qu’ils ne s’épuisent pas.

Ce modèle doit être calibré afin de représenter de façon réaliste le fonctionnement d’une

compagnie d’assurance. Par conséquent, pour des raisons de réalisme et de cohérence des

résultats, il est important de prendre en considération les points suivants :

- Il faut éviter que la tête soit encore majoritairement en vie à l’issue de la

projection.

La détermination du Best Estimate Liabilities repose sur le calcul de l’ensemble des flux

futurs actualisés sur l’étendue de la projection. Si, à l’issue de la projection (ex. 40 ans),

la tête est encore majoritairement en vie (ex. une provision mathématique résiduelle de

50), alors les flux futurs postérieurs à 40 ans et jusqu’à extinction de la tête seront non-

négligeables mais ne pourront être modélisés, et ne seront donc pas correctement pris en

compte dans le calcul du Best Estimate.

- Il faut éviter que la tête ne s’éteigne prématurément au cours de la projection.

Si le paramétrage des taux de décès et de rachat est tel que la tête s’éteint

considérablement avant la fin de la projection, c’est le signe d’un paramétrage inadéquat

du modèle. En effet, la tête éteinte continue d’être calculée jusqu’à l’issue de la

projection, générant des flux nuls et consommant inutilement du temps de calcul. Il faut

alors soit réduire la durée de projection, soit réajuster les taux de décès et de rachat afin

que la tête s’éteigne à une date plus proche de l’horizon de projection.

- Il faut éviter que le portefeuille d’actifs ne soit prématurément épuisé.

Si le paramétrage est tel que le taux garanti est très élevé au regard des taux de prime et

de chargements, alors il est possible que les flux entrants soient insuffisants pour faire

face aux forts flux sortants, résultant en un épuisement du portefeuille d’actifs avant

l’extinction de la tête assurée.


- Il faut éviter que la provision mathématique, sous l’effet d’un déséquilibre des

entrées-sorties, adopte une croissance exponentielle.

Ce cas correspond à la situation inverse du cas précédent. Le but de l’assureur étant

l’équilibrage des engagements assureur-assuré, il n'est pas non plus souhaitable que les

entrées soient très supérieures aux sorties, entraînant – via la capitalisation des fonds

investis – une explosion de la provision mathématique. Cette situation irréaliste n’entre

évidemment pas dans le cadre des environnements que nous souhaitons modéliser.

1.2. Paramétrage initial

Afin de débuter la calibration du modèle, nous avons proposé le paramétrage suivant.

Les pourcentages ci-dessous ont pour assiette la provision mathématique de l’année de

projection considérée, à l’exception du taux de participation aux bénéfices (TauxPB) qui

s’applique aux revenus financiers annuels.

Hypothèses de Passif

PMouv TauxPrime TauxChgt TauxGar TauxPB

100 2,00% 1,00% 2% 85,00%

TxRachStat TxRachDyn SeuilMin SeuilMax AbatQx

5,00% 1,00% 1,00% 3,00% 0%

Ce paramétrage est donc : une provision mathématique initiale (PMouv) de 100, un taux

de prime périodique (TauxPrime) de 2%, un taux de chargement de gestion (TauxChgt)

de 1%, un taux garantie (TauxGar) de 2,25%, un taux de participation aux bénéfices

(TauxPB) de 85%, un taux de rachat statique (TxRachStat) de 5%, pouvant varier

dynamiquement de plus ou moins 1% (TxRachDyn) selon que le taux de rendement de

l’actif général passe en-dessous (SeuilMin) de 1% ou au-dessus (SeuilMax) de 3%.

Finalement, la possibilité d’ajouter un abattement de la table de mortalité (AbatQx) a été

mise en place.

Pour rappel, la provision mathématique initiale a été fixée à 100 afin que toute valeur

calculée puisse être immédiatement exprimée en pourcentage de sa valeur initiale. Par

exemple, une valeur observée de 82 correspond à 82% de la valeur initiale de la

provision mathématique, indépendamment de son montant initial.

Les résultats exposés dans ce chapitre résultent, sauf mention contraire, d’une projection

stochastique à 50 000 simulations.


L’évolution résultante de la provision mathématique est la suivante :

Sa valeur finale est de 22,37 – soit 22,37% de la valeur initiale – ce qui n’est pas

souhaitable d’après les points mentionné ci-dessus, car le calcul résultant du Best

Estimate perd en précision du fait des données non-projetées après 40 ans.

Il convient donc d’augmenter les sorties par rapport aux entrées. Pour cela, nous pouvons

travailler sur plusieurs degrés de liberté. D’une part, les variables que nous pouvons

qualifier de « gestion » : taux de chargement, taux de prime, taux garanti, et d’autre part

les variables que nous pouvons nommer « démographiques » : le taux de rachat et le taux

de décès.

Nous allons explorer chacune de ces voies afin d’acquérir une compréhension de la

réactivité du modèle, qui sera fondamentale à l’étape suivante : sa réactivité vis-à-vis du

GSE.

1.3. Etude de la sensibilité du modèle

1.3.1. Variables démographiques

a. Taux de rachat

Afin d’étudier l’influence du taux de rachat – ou de toute autre variable – sur l’évolution

de la provision mathématique (PM), il convient avant tout de s’assurer que les autres

degrés de liberté ont été bloqués. A ce titre, nous allons placer la composante dynamique

du taux de rachat à zéro. En effet, une composante dynamique non-nulle signifie que le

taux de rachat est sensible à l’évolution des taux d’intérêt, et donc que l’évolution de la

PM dépend également de cette dernière variable. Cette dépendance est souhaitable dans

le cadre de projections déjà paramétrées, mais doit être maîtrisée dans le cadre d’une

étude de sensibilité.


Pour rappel, le taux de rachat est calculé dans le modèle comme suit :

où :

avec :

⟨

où RdtAG est le rendement de l’actif général, recalculé chaque année et entre autres

fonction du GSE choisi.

Les rachats sont ensuite pris en compte dans le calcul de la PM comme suit :

Voici l’évolution de la PM pour un taux de rachat conservé à 5% comme précédemment,

mais avec une composante dynamique passée à 0% (au lieu de 1%).

La valeur finale de la PM est de 16,02, soit une valeur inférieure de 6,35 points de base

par rapport à la projection originale. Les sorties ont donc augmenté avec la suppression

de la composante dynamique du rachat. Ceci est cohérent avec l’évolution du rendement

de de l’actif général, représenté ci-dessous :


En effet, le rendement de l’actif général demeure supérieur au seuil maximum fixé pour

le taux de rachat dynamique, ce qui signifie que le taux de rachat statique est en

permanence diminué d’un point de base par rapport à sa valeur initiale. La disparition de

cette composante dynamique négative entraîne donc des sorties monétaires plus élevées,

et une provision mathématique finale plus faible.

Ce premier fait étant établi, nous allons étudier la sensibilité de la provision

mathématique aux variations du taux de rachat statique. Pour ce faire, nous allons faire

varier le taux de rachat entre 0% et 15%, capturant ainsi un grand nombre de

conjonctures économiques :


Nous constatons tout d’abord que l’augmentation du taux de rachat s’accompagne d’une

modification de la convexité de la courbe, avec une inversion de la courbure entre 6% et

7% (courbe en pointillés courts).

Il vient ensuite que des taux de rachat inférieurs à 4% (courbe en pointillés longs) ne

conduisent pas à des résultats réalistes, car dans ce cas la PM finale est supérieure à 25%

de sa valeur initiale.

Nous souhaitons que l’ensemble des courbes réalistes se trouve plutôt dans l’intervalle

des taux de rachats supérieurs à 2%. Il convient donc d’augmenter les sorties afin

d’obtenir des montants de PM plus faibles tout au long de la projection. Pour ce faire,

nous allons augmenter le taux de chargement de gestion à 3% au lieu de 1%.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution de la provision mathématique pour un ensemble de taux de rachat compris entre 0% et 15%

[ Taux de chargement de gestion : 1% ] 0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

11%

12%

13%

14%

15%


La famille de courbes résultante est la suivante :

Le modèle produit à présent des résultats plus réalistes. Premièrement, même avec un

taux de rachat nul, l’évolution de la PM n’exhibe plus un maximum à 230 mais à 140.

Deuxièmement, comme désiré, dès lors que le taux de rachat dépasse 2%, la PM finale se

trouve inférieure à 25% de sa valeur initiale (courbe en pointillés longs).

Finalement, nous observons une inversion de la courbure à partir d’un taux de rachat de

5%. Ce phénomène est intéressant : le taux de rachat possède une influence significative

sur la pente initiale de la courbe. Plus il est faible, plus la pente à l’origine est élevée.

Ceci peut s’expliquer (et sera vérifié par la suite) par le fait que lorsque le taux de rachat

dépasse une certaine valeur déterminée par les paramètres du modèle, alors les sorties

monétaires – et notamment les rachats – sont immédiatement supérieurs aux entrées

(primes et revenus financiers), ce qui cause une décroissance de la PM d’autant plus

marquée que ce déséquilibre est prononcé.

0

25

50

75

100

125

150

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution de la provision mathématique pour un ensemble de taux de rachat compris entre 0% et 15%

[ Taux de chargement de gestion : 3% ]

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

11%

12%

13%

14%

15%


b. Taux de décès

Pour l’étude de la sensibilité du modèle au taux de décès, il nous faut fixer une valeur

pour le taux de rachat, étudié auparavant. Afin d’éviter autant que possible les effets de

bord causés sur la PM par des taux de rachat extrêmes (courbure prononcée, valeur finale

élevée), nous avons choisi un taux de rachat statique de 6%. La composante dynamique

est toujours fixée à 0%, car elle dépend du rendement financier, qui sera étudié ci-après.

La table de mortalité utilisée est la TGH05 tronquée à gauche jusqu’à 60 ans et

représente donc un individu masculin d’âge moyen 60 ans. Le taux d’abattement réglable

en paramètre s’applique comme suit :

où représente la probabilité de décès (à un âge quelconque), est le taux

d’abattement choisi, et est la probabilité de décès après abattement.

Afin de comprendre l’influence du facteur d’abattement sur l’évolution de la PM, nous

allons procéder à sa projection pour des abattements allant de -60% à +60%, par tranches

de 20%. Les résultats sont les suivants :

Il apparaît tout d’abord que les valeurs de PM finales sont bien moins dispersées que

précédemment, lorsque nous avions testé les taux de rachat.

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution de la provision mathématique pour un ensemble d'abattements de décès compris entre -60% et +60%

[ Chargements de gestion : 3% - Rachats : 6% ]

-60%

-40%

-20%

0%

+20%

+40%

+60%


Par ailleurs, nous pouvons constater que la table de mortalité originellement utilisée

convient bien à la projection, et qu’il ne serait pas intéressant, dans une première

approche, de surcharger ou de sous-charger les taux de mortalité à des fins de calibration.

1.3.2. Variables de gestion

a. Taux de chargement

Avec les taux de rachat et de décès précédemment fixés, nous allons observer la

sensibilité du modèle au choix du taux de chargement.

Pour rappel, les chargements sont calculés à chaque année de projection comme suit :

et sont pris en compte dans le modèle comme suit :

Après avoir fait varier le taux de chargement entre 0% et 6%, les résultats sont les

suivants :

Nous constatons que la courbe d’évolution de la PM réagit de manière comparable à une

modification du taux de rachat, exhibant une convexité croissante lorsque le taux de

chargement augmente, avec une inversion de courbure aux alentours de 2% (courbe en

pointillés).

Ceci s’explique par la forte similarité, du point de vue informatique, des mécanismes

sous-jacents. Il s’agit d’un taux constant appliqué à la PM d’ouverture, qui se traduit

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution de la provision mathématique pour un ensemble de taux de chargement compris entre 0% et 6%

[ Rachats : 6% - Abattement décès : 0% ]

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%


alors en un montant monétaire sortant chaque année. Par conséquent, il est possible de

contrôler la forme de la courbe en manipulant soit le taux de rachat, soit le taux de

chargement, et la distinction entre ces taux se base essentiellement sur des considérations

de pertinence économique : un taux de rachat nul avec un taux de chargement de 10%

donnent la même évolution de PM qu’un taux de rachat de 6% et un taux de chargement

de 3%, mais ces deux choix n’ont pas la même pertinence, le second choix étant bien

plus réaliste.

Les taux de chargement compris entre 3% et 5% conduisent à des résultats réalistes, et

nous avons choisi pour le moment de fixer ce paramètre à 3%. S’il devenait nécessaire

d’obtenir la fermeture de la PM (valeur finale nulle) par ce moyen, nous pourrons

augmenter le taux de chargement de quelques points de base afin d’obtenir ce résultat.

b. Taux de prime

Les primes versées par la tête assurée sont à caractère périodique, et déterminées par un

taux fixe appelé taux de prime périodique. L’assiette de ce taux est la provision

mathématique, recalculée chaque année.

Cependant, dans les cas isolés où la provision mathématique dépasse sa valeur initiale de

100, l’assiette de calcul est prise égale à 100, et ce afin d’éviter des phénomènes de

croissance exponentielle de la PM. En effet, dans notre étude, une augmentation de la PM

ne signifie pas une augmentation du nombre d’assurés. Par conséquent, il ne serait pas

pertinent d’augmenter les montants des primes au-delà de leur valeur initiale.

La formule de calcul du montant des primes annuelles est donc :

Les projections précédentes ont toutes été lancées avec un taux de prime de 2%. Nous

allons à présent faire varier ce taux entre 0% et 10% afin d’observer la réponse du

modèle.


Les résultats sont les suivants.

Ces résultats sont en accord avec l’intuition : des taux de prime périodique supérieurs à

5% conduisent à des résultats irréalistes (PM finale supérieure à 25% de sa valeur

initiale).

Pour l’heure, nous avons choisi de conserver un taux de prime périodique de 2%, tout en

sachant qu’il pourra être augmenté jusqu’à 4%.

c. Taux garanti

Le taux garanti est un élément important du calcul de la revalorisation annuelle de la

provision mathématique. En effet, la revalorisation est calculée selon deux méthodes.

Méthode 1 :

[ ]

Méthode 2 :

[ ]

où RdtAG est le rendement de l’actif général, et TauxPB est le taux de participation aux

bénéfices financiers, égal à 85%.

0

25

50

75

100

125

150

0 10 20 30 40

Evolution de la provision mathématique pour un ensemble de taux de prime compris entre 0% et 10%

[ Rachats : 6% - Chargements : 3% - Abattement décès : 0% ]

10%

9%

8%

7%

6%

5%

4%

3%

2%

1%

0%


La revalorisation finale est alors la valeur maximale obtenue par ces deux méthodes. Par

conséquent, le taux garanti rentre en jeu lorsque :

[ ] [ ]

autrement dit, lorsque :

et ce, à chaque année de projection.

Ces considérations étant établies, nous avons choisi de faire varier le taux garanti entre

0% (absence de taux garanti) et 6%, afin d’observer la réponse du modèle en termes

d’évolution de provision mathématique. Les résultats sont les suivants :

Il apparaît que pour des taux garantis inférieurs à 4%, les variations dans l’évolution de la

PM sont très faibles. Cela s’explique par le fait que pour ces valeurs de taux garanti, c’est

la méthode n°2 qui prime pour le calcul de la revalorisation, méthode ne tenant pas

compte du taux garanti. La tendance s’inverse, en revanche, lorsque l’on dépasse 5%,

mais de tels taux ne sont pas pertinents au vu de la conjoncture économique actuelle.

Pour un maximum de pertinence économique, nous avons choisi de fixer le taux garanti à

sa valeur légale pour 2012, soit 3,375%, qui correspondent au taux minimum garanti

(TMG) pour les fonds en euros de l’assurance-vie.

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40

Evolution de la provision mathématique pour un ensemble de taux garantis compris entre 0% et 10%

[ Rachats : 6% - Chargements : 3% - Prime : 2% - Abattement décès : 0% ]

6%

5%

4%

3%

2%

1%

0%


1.3.3. Récapitulatif du paramétrage

Ceci clôt la phase de calibration du modèle Actif-Passif. A titre de récapitulatif, voici le

tableau des valeurs retenues pour les variables démographiques et de gestion, nous

permettant de poursuivre vers l’étape d’analyse des GSE. A titre de comparaison, nous

avons également rappelé le tableau de paramétrage initial.

a. Paramétrage initial



100 2,00% 1,00% 2% 85,00%


5,00% 1,00% 1,00% 3,00% 0%

b. Paramétrage final



100 2,00% 3,00% 3,375% 85,00%


6,00% 0,00% 1,00% 3,00% 0%

Les modifications concernent donc le taux de chargement TauxChgt (3% au lieu de 1%)

et le taux garanti TauxGar (3,375% au lieu de 2%).


2. Analyse de sensibilité des GSE

Dans cette partie, nous allons effectuer des tests de sensibilité sur le modèle lorsque

chacun des GSE est utilisé.

Nous allons commencer par observer la réponse du GSE isolé, c’est-à-dire l’évolution

des variables financières telles que le rendement des actions et l’évolution des taux

d’intérêt.

Puis, nous observerons le comportement du modèle Actif-Passif combiné à chacun des

GSE, et ce, en termes d’évolution des prestations, du Best Estimate et du bilan.

Enfin, nous observerons l’influence de chaque GSE, ainsi que de son paramétrage, sur la

valeur calculée des SCR Taux et Actions, et nous tenterons d’en tirer des conclusions.

2.1. Evolution des variables financières

2.1.1. Evolution des taux d’intérêt

La première variable financière que nous allons étudier est celle du taux d’intérêt

forward, dont la maturité est pour notre étude prise égale à 1 an. Nous appellerons par la

suite ce taux, « taux 1 an ».

Les deux modèles de taux ont été calibrés sur la base des taux observables sur le marché

au 1er

Juillet 2012, via la méthode des moindres carrés.

Les taux modélisés divergent à moyen terme, aux maturités situées entre 5 et 20 ans,

avant de converger à nouveau à long terme. La courbe de taux Hull-White (HW) présente

une « bosse » dans cette zone de maturité, que ne présente pas la courbe de taux Cox-

Ingersoll-Ross (CIR).

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution du taux 1 an selon les modèles Hull-White (HW) et Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

Taux HW

Taux CIR


Cette différence provient du fait que le modèle HW est un modèle d’arbitrage, tandis que

le modèle CIR est un modèle d’équilibre. Dans un modèle d’arbitrage, la courbe des taux

initiale est prise en entrée du modèle. En revanche, dans les modèles d’équilibre, ce n’est

pas le cas. Ici, la courbe des taux initiale observée sur le marché présente une « bosse »

aux moyennes maturités, ce qui introduit la différence que nous observons entre les

résultats fournis par chaque modèle de taux.

2.1.2. Rendement de l’indice actions

a. Dynamique de taux Hull-White

Dans ce paragraphe, nous allons observer la réponse du générateur actions risque-neutre.

Dans ce cadre, le rendement espéré des actions correspond au taux sans risque, autrement

dit le « taux 1 an ». Ce taux peut être fourni par l’un des deux générateurs de

taux implémentés : Hull-White et Cox-Ingersoll-Ross.

Dans ce premier cas, nous avons utilisé le générateur taux Hull-White. La trajectoire du

taux 1 an est représentée par la ligne en pointillés du graphique ci-dessous.

Les deux courbes colorées sont les tracés des rendements actions modélisés par les

générateurs actions Black-Scholes (BS - rouge) et Heston (HT – vert). Il s’agit de valeurs

moyennes sur 50 000 simulations.

La première indication que les modèles actions ont été correctement implémentés est leur

adéquation avec la modélisation risque-neutre, c’est-à-dire, que les rendements espérés

convergent vers le taux sans risque. Ici, la proximité entre le tracé du taux sans risque et

les tracés des rendements actions confirme l’existence de cette propriété.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution du rendement actions selon les modèles Black-Scholes (BS) et Heston (HT)

pour une dynamique de taux Hull-White

Taux HW

Actions BS

Actions HT


En particulier, les rendements actions accusent un maximum autour de la 10ème

année de

projection, correspondant au maximum de taux introduit par le modèle de Hull-White.

La convergence entre les rendements et le taux sans risque est légèrement moins précise

sur les longues maturités, mais cet écart est généralement incompressible car occasionné

d’une part par les particularités de chaque modèle, et d’autre part par l’accumulation

d’erreurs d’arrondi au cours de la projection.

b. Dynamique de taux Cox-Ingersoll-Ross

Nous avons relancé la projection des rendements actions en utilisant cette fois comme

générateur taux le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Il s’agit modèle d’équilibre, ce

qui implique notamment qu’il n’est pas possible de capturer, à l’origine, toutes les formes

de courbes des taux initiales.

A la date de calibration, la courbe des taux initiale de la BCE accusait un maximum local

à maturité 10 ans, comme illustré par la courbe Hull-White ci-dessus. Cette forme de

courbe n’a pu être reproduite par le modèle CIR du fait de ses limitations en termes de

formalisme mathématique.

Cette différence de modélisation nous permettra, entre autres, d’observer l’impact sur les

calculs de solvabilité de l’utilisation d’un générateur taux possédant une telle limitation.

Nous remarquons, dans ce cas également, la convergence entre les rendements actions

(rouge : Black-Scholes et vert : Heston) et le taux sans risque (pointillés) fourni par le

modèle CIR.

Par ailleurs, la convergence est encore plus précise que dans le cas du modèle taux de

Hull-White, car on ne remarque pas d’écart significatif même aux longues maturités.

Ceci peut s’expliquer par la plus faible complexité du modèle CIR par rapport au modèle

0%

1%

2%

3%

4%

5%

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution du rendement actions selon les modèles Heston (HT) et Black-Scholes (BS)

pour une dynamique de taux CIR

Taux CIR

Actions BS

Actions HT


Hull-White, nécessitant un nombre inférieur de simulations pour aboutir au même niveau

de convergence donné.

Nous avons pu constater que les modèles actions risque-neutre se comportent comme

prévu par la théorie, nous confortant dans l’idée que leur implémentation et leur

calibration sont satisfaisantes. Leur comportement reste par ailleurs cohérent à travers la

modification du générateur taux, signe que le raccord entre les générateurs taux et actions

est suffisamment robuste pour permettre la suite de notre étude.

Dans le paragraphe suivant, nous allons étudier la réponse du modèle Actif-Passif, c’est-

à-dire la compagnie que nous avons modélisée, lorsque lui sont fournies les données

relatives aux rendements des actions et aux courbes de taux produites par les GSE

sélectionnés.

2.2. Réponse du modèle Actif-Passif en fonction du GSE

a. Evolution de la Provision Mathématique

Dans un premier temps, nous avons souhaité observer l’évolution de la provision

mathématique au cours du temps pour chaque combinaison de générateur taux et actions,

soit 4 combinaisons au total et 4 trajectoires de PM correspondantes. Elles sont

représentées ci-dessous, avec la nomenclature suivante.

Initiale Modèle associé

tHW Taux Hull-White

tCIR Taux Cox-Ingersoll-Ross

aHT Actions Heston

aBS Actions Black-Scholes


Le premier constat est que cette représentation des données ne fait pas ressortir

suffisamment d’informations. En effet, les 4 courbes sont extrêmement proches, à la

différence près que celles correspondant au modèle de taux Hull-White sont légèrement

supérieures à celles correspondant au modèle de taux CIR, signe d’une extinction plus

lente de la provision mathématique sous l’hypothèse Hull-White.

b. Comparaison du Best Estimate Liabilities

Pour obtenir une vision plus claire des différences entre générateurs, nous allons calculer

le Best Estimate Liabilities que nous appellerons par la suite BE, c’est-à-dire la somme

actualisée des flux futurs de trésorerie. Cette actualisation se fait au taux sans risque, taux

fourni par le générateur sélectionné : Hull-White ou CIR. Les résultats sont les suivants.

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40

Evolution de la provision mathématique par GSE Taux-Actions

tHWaBS

tHWaHT

tCIRaBS

tCIRaHT


Il apparaît que les montants de BE sont très similaires d’un générateur à l’autre, avec un

minimum de 108.14 pour la combinaison CIR / Heston, et un maximum de 108.32 pour

la combinaison Hull-White / Heston.

Pour obtenir des éléments d’explication sur ces résultats, il est nécessaire d’examiner les

montants de primes, de prestations et le taux d’actualisation afin de déterminer

l’influence de chacun de ces facteurs sur les résultats observés.

c. Influence des primes versées

Pour chaque combinaison de générateurs, nous avons relevé la somme des primes versées

au cours de la projection. Pour rappel, il s’agit d’un montant périodique calculé sur la

base d’un taux de prime fixé, ainsi que sur l’assiette de la provision mathématique de

début d’exercice. Son montant est donc d’autant plus faible que la provision est réduite.

Les résultats sont exposés ci-dessous.

108,27 108,32 108,21 108,14

100

105

110

Taux HWActions BS

Taux HWActions HT

Taux CIRActions BS

Taux CIRActions HT

Best Estimate Liabilities par GSE Taux-Actions

37,11 37,14 37,08 37,10

32

34

36

38

Taux HWActions BS

Taux HWActions HT

Taux CIRActions BS

Taux CIRActions HT

Primes totales


Le graphique ci-dessous représente les montants totaux de primes versées au cours de la

projection. Le premier constat est qu’ils sont extrêmement proches, ce qui est peu

surprenant au premier abord, car ces montants sont entièrement déterminés par la valeur

de la provision mathématique, et nous avons vu précédemment que son évolution était

globalement inchangée par l’utilisation d’un GSE plutôt qu’un autre.

Ceci étant dit, les calculs de solvabilité s’appuient non pas sur des montants de primes et

de prestations pris « tels quels », mais sur leurs montants actualisés au taux sans risque.

Or, nous avons pu constater que la modélisation du taux sans risque produisait des

résultats sensiblement différents, selon que le modèle de taux Hull-White ou le modèle

de taux CIR étaient utilisés.

Il convient donc d’observer les montants de primes totales actualisées, dont les résultats

sont représentés sur le graphique ci-dessous.

Les montants de primes totales « telles quelles » peuvent se retrouver en sommant

chaque paire de barres bleue et rouge. La composante bleue correspond ici à la prime

totale actualisée, et la composante rouge correspond au différentiel occasionné par

l’actualisation. Il est d’autant plus grand que le taux d’actualisation est élevé.

Nous constatons désormais que les primes actualisées diffèrent avec l’utilisation du

générateur taux (HW : Hull-White vs. CIR : Cox-Ingersoll-Ross). Avec le générateur

HW, le différentiel d’actualisation est de 1.67, tandis qu’avec le générateur CIR, le

différentiel est de 1.19. Il apparaît donc que les taux plus élevés fournis par le générateur

taux Hull-White ont occasionné la réduction des montants de primes totales actualisées

par rapport au générateur CIR.

Il est intéressant d’examiner à présent si ce phénomène est également présent dans le cas

des prestations actualisées.

35,44 35,47

35,89 35,91

1,67 1,67 1,19 1,19

34

36

38

Taux HWActions BS

Taux HWActions HT

Taux CIRActions BS

Taux CIRActions HT

Primes totales actualisées

Delta actualisation

Primes totales actualisées


d. Influence des prestations

Notre but étant de comparer les montants de prestations à travers l’utilisation de plusieurs

générateurs, il faut garder à l’esprit que les montants de décès ne seront donc pas

affectés. A ce titre, nous avons choisi de représenter uniquement les rachats dans les

graphiques suivants, car leur variation représente l’intégralité des variations dans les

montants de prestations.

Voici tout d’abord les montants de rachats totaux avant actualisation.

Comme précédemment dans le cas des montants de primes, on constate que les montants

de rachats totaux sont identiques à travers les quatre combinaisons de générateurs. Ceci

découle du fait que les rachats sont également fonction linéaire de la provision

mathématique.

Il convient donc d’observer la composante d’actualisation appliquée aux rachats,

représentée dans le graphique suivant.

105,47 105,53 105,52 105,56

95

100

105

110

Taux HWActions BS

Taux HWActions HT

Taux CIRActions BS

Taux CIRActions HT

Rachats totaux


Nous constatons que les rachats actualisés sont différents selon que leur calcul est basé

sur le générateur Hull-White ou le générateur CIR. Le différentiel d’actualisation est de

4.75 dans le premier cas, et de 3.38 dans le second. On retrouve donc le même

phénomène du point de vue des prestations que du point de vue des primes, à savoir que

les taux plus élevés fournis par le générateur Hull-White conduisent à un différentiel

d’actualisation plus important, et à des montants actualisés plus faibles.

e. Point sur le facteur d’actualisation

Nous avons pu constater au fil des paragraphes c. et d. l’influence du facteur

d’actualisation, et plus précisément de l’impact du choix du générateur taux sur

l’actualisation des flux de primes et de prestations. Il est intéressant à présent de

quantifier le facteur d’actualisation « pur » entre chaque générateur.

Pour ce faire, traçons l’évolution du facteur d’actualisation v pour des maturités allant de

0 à 40 ans, à partir du taux d’actualisation r fourni par chaque générateur, et via la

relation :

100,7 100,8

102,1 102,2

4,75 4,75 3,38 3,38

95

100

105

110

Taux HWActions BS

Taux HWActions HT

Taux CIRActions BS

Taux CIRActions HT

Rachats totaux actualisés

Delta actualisation

Rachats totaux actualisés


Pour rappel, l’évolution du taux d’actualisation est la suivante.

Par conséquent, l’évolution du facteur d’actualisation est la suivante :

Afin de quantifier l’influence respective de chaque ’actualisation sur toute la durée de la

projection, définissons le facteur d’actualisation moyen par la relation :

∫

où est la date de début de projection, et la date de fin.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Evolution du taux 1 an selon les modèles Hull-White (HW) et Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

Taux HW

Taux CIR

95%

96%

97%

98%

99%

100%

0 10 20 30 40

Evolution du facteur d'actualisation

Hull-White Cox-Ingersoll-Ross


Le résultat est le suivant :

Il en découle qu’une famille de flux monétaires actualisée par le générateur taux Hull-

White est ramenée, en moyenne, à 95.5% de sa valeur totale, tandis que la même famille

de flux monétaires actualisée par le générateur taux CIR est ramenée en moyenne à

96.1% de sa valeur totale. Cet écart constitue un élément d’explication quant aux

différences relevées dans les valeurs totales actualisées des primes et prestations,

abordées précédemment.

Ces considérations étant établies, il est intéressant de poursuivre vers l’application des

chocs Taux et Actions établis par Solvabilité 2 afin d’observer la réponse du modèle

Actif-Passif via l’utilisation de chaque combinaison de générateurs.

95,5%

96,1%

95%

96%

97%

Hull-White Cox-Ingersoll-Ross

Facteur d'actualisation moyen


2.3. Application des chocs sous Solvabilité 2

2.3.1. Choc de taux

L’application du choc de taux passe par la déformation de la courbe des taux initiale dans

deux directions : haussière et baissière. A ce titre, nous avons utilisé la courbe des taux

zéro-coupon établie au 1er

Juillet 2012, et lui avons appliqué les chocs haussier (noté

ChocUp) et baissier (noté ChocDn) tels qu’établis dans les mesures d’implémentation de

niveau 2 du CEIOPS.

La formule de déformation de la courbe des taux est la suivante.

Choc baissier :

[ ]

où :

- r est le taux d’intérêt correspondant à une maturité donnée

- est le même taux après application du choc

- d est le facteur de déformation correspondant à la maturité de r

Choc haussier :

[ ]

Les facteurs de déformation (appelés stress factors) sont précisés dans le document

Calibration of Market Risk Module du CEIOPS, daté du 29 Janvier 2010.


Les résultats de l’application de ces deux chocs sur la courbe des taux initiale sont les

suivants. La courbe bleue correspond à la courbe initiale, la courbe rouge est celle

obtenue après application du choc haussier, et la courbe verte à celle obtenue après

application du choc baissier.

Ces trois différentes courbes des taux conduisent, via la projection du modèle Actif-

Passif, à l’obtention de trois différents bilans, à partir desquels il est possible de

déterminer trois différentes NAV, Net Asset Value, correspondant à la différence entre

l’actif et le Best Estimate à horizon un an.

On en déduit la DeltaNAV et le SCR au titre du risque de taux, tel qu’abordé dans la

première partie de ce mémoire.

Les résultats pour chaque générateur sont les suivants.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

0 10 20 30 40 50 60

Taux

ChocUp

ChocDn

4,03 4,12 4,52 4,45

6,49 6,54 6,57 6,53

0

2

4

6

8

Taux HWActions BS

Taux HWActions HT

Taux CIRActions BS

Taux CIRActions HT

Montants de DeltaNAV et de SCR par générateur au titre du risque de taux

DeltaNAV Taux

SCR Taux


Nous constatons que les montants de DeltaNAV (barres bleues) sont légèrement

inférieurs dans le cas du générateur taux Hull-White avec 4.03 (actions Black-Scholes) et

4.12 (actions Heston). Les mêmes montants pour le générateur CIR sont respectivement

de 4.52 et 4.45.

En revanche, bien que ces valeurs moyennes de DeltaNAV diffèrent quelque peu, il

apparaît que la valeur du SCR, découlant de la VaR à 99.5% de cette précédente

DeltaNAV, se trouve beaucoup plus groupée, avec un minimum de 6.49 et un maximum

de 6.57. Ainsi, bien que les DeltaNAV fournies via le générateur taux Hull-White soient

inférieures relativement au cas CIR, leur plus grande dispersion fait que les SCR qui en

découlent sont comparables.

Il découle de l’étude du choc taux que les différentes combinaisons de générateurs ne

conduisent pas à un écart significatif en termes de SCR.


2.3.2. Choc actions

Dans le cas du choc actions, nous avons appliqué (comme établi dans la réglementation)

une réduction de 30% de la valeur de marché initiale du portefeuille d’actions, toutes

choses égales par ailleurs, afin d’observer la réponse du modèle Actif-Passif couplé à

chaque combinaison de générateurs taux et actions.

Les résultats sont les suivants.

Nous constatons ici que les valeurs des DeltaNAV ainsi que celles des SCR sont alignées

à travers chaque combinaison de générateurs, avec un SCR minimal de 7.24 pour la

combinaison Hull-White / Heston, et un maximum de 7.31 pour la combinaison CIR /

Heston.

Nous retenons ici encore la conclusion que la modification du générateur, qu’il s’agisse

d’un modèle taux ou actions, n’a pas un impact significatif sur la valeur du SCR au titre

du risque actions.

5,15 5,19 5,18 5,23

7,28 7,24 7,29 7,31

0

2

4

6

8

Taux HWActions BS

Taux HWActions HT

Taux CIRActions BS

Taux CIRActions HT

Montants de DeltaNAV et de SCR par générateur au titre du risque actions

DeltaNAV Actions

SCR Actions


3. Discussion et conclusion

Nous avons modélisé deux générateurs taux et deux générateurs actions parmi ceux qui

sont le plus couramment utilisés sur le marché : Hull-White et Cox-Ingersoll-Ross pour

les taux ; Black-Scholes et Heston pour les actions. Nous avons calibré ces générateurs

sur les données de marché existant au 1er

Juillet 2012 dans un cadre risque-neutre.

Nous avons ensuite implémenté, en aval, un modèle Actif-Passif représentant un produit

d’épargne retraite sur un portefeuille d’une tête, avec des entrées de primes périodiques

et des sorties en rachat structurels, rachats conjoncturels, et décès. Nous avons calibré ce

modèle Actif-Passif de manière à obtenir une fermeture réaliste de la provision

mathématique à l’horizon 40 ans, correspondant à une valeur finale inférieure à 25% de

sa valeur de départ.

A travers cette double modélisation (GSE et modèle Actif-Passif), nous avons pu projeter

sur 40 ans et 50 000 simulations stochastiques, l’activité économique (via les

générateurs) et assurantielle (via le modèle Actif-Passif) du système, afin d’en déduire le

coût du capital à immobiliser – le SCR – au titre de deux modules de risque sous

Solvabilité 2 : le risque taux et le risque actions.

A la lumière de cette première étude, il apparaît que les montants de SCR relatifs aux

risques taux et actions sont bien moins affectés par la modélisation adoptée, que

l’intuition ne pourrait le laisser penser. En effet, les écarts entre chaque projection sont

tous inférieurs à 2%, ce qui ne constitue pas un écart significatif au vu de l’incertitude

inhérente à une projection stochastique sur 50 000 simulations.

Nous avons toutefois constaté un élément déterminant : le processus d’actualisation des

flux. En effet, le générateur taux Hull-White fournit des taux d’intérêt plus élevés, en

moyenne, que le générateur taux CIR. Ceci a introduit une actualisation plus forte dans le

premier cas, conduisant à des montants actualisés plus faibles. Or, nous avons pu

observer que cette différence dans l’actualisation ne se traduit pas en un écart de SCR.

Ceci s’explique principalement par le fait que le calcul du Best Estimate met en regard

les primes et les prestations. En modifiant le générateur taux, nous avons modifié la

courbe des taux servant à l’actualisation. Cependant, comme nous avons pu l’observer,

cette modification a eu un impact relativement égal entre les primes et les prestations. Le

calcul du Best Estimate a alors neutralisé cet écart en effectuant la différence des primes

et prestations.

Par ailleurs, bien que les montants de DeltaNAV Taux s’avèrent légèrement inférieurs

dans le cas du générateur taux Hull-White, la variabilité dans la volatilité des résultats

entre chaque générateur a conduit à la neutralisation – là encore – de cet écart à travers le

calcul du SCR.


IV. CONCLUSION GENERALE

Il apparaît donc que le choix d’un certain générateur de scénarios économiques plutôt

qu’un autre ne doit pas être uniquement gouverné par les calculs de solvabilité qui en

résultent. Il est essentiel de prendre également en compte sa sensibilité au paramétrage,

sa facilité de calibration, et son caractère reconnu par la communauté scientifique.

Parmi les axes qui n’ont pu être explorés dans ce mémoire, il conviendrait d’étudier le

choix d’un GSE à travers le profil de risque de la compagnie d’assurance, ainsi que

l’environnement économique dans laquelle elle se trouve.

En effet, certains modèles d’actions tels que celui de Heston, à volatilité stochastique,

sont généralement plus à même de modéliser fidèlement des environnements

économiques de crise, que ne le serait le modèle de Black-Scholes, dont la volatilité des

indices actions est supposée constante dans le temps.

De plus, pour certaines compagnies possédant une très grande majorité de produits de

taux (obligations et dérivés), il est essentiel d’implémenter un GSE capable de modéliser

l’ensemble des formes possibles de la courbe des taux, chose dont ne sont pas capables la

plupart des modèles monofactoriels.

Dans tous les cas, il est essentiel que l’implémentation d’un générateur de scénarios

économiques s’accompagne d’une calibration minutieuse via l’utilisation de données de

marché précises et exhaustives, et via l’évaluation de produits dérivés par la double

approche formule fermée et Monte-Carlo, en vue d’obtenir leur convergence, signe que

le modèle produit des scénarios en accord avec la théorie.


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