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Conservatoire National des Arts et Métiers
Mémoire présenté devant la Chaire d’Actuariat
pour soutenance à l’Institut des Actuaires.
Soutenu le 19 juin 2012.
Application du mouvement Brownien fractionnaireal’ evaluation des engagements sur des contrats enunite de compte.
Gael DIDIER
Directeur de memoire en entreprise :
Frederic PLANCHET(WINTER & Associes)
Jury
Président : Michel FROMENTEAUMembres : Pierre PETAUTON
Alexis DUPONTVincent RUOLFrancois WEISSFrederic PLANCHET
PARIS, le 6 juin 2012
Abstract
Since several decades the Black & Scholes model is the subject of debate, as a consequence,some new alternatives models have been introduced, for example those which renounce to thecontinuity of the price with the introduction of jumps. According to some works, these newmodels have a downward impact on the cost of a minimum death-guarantee of unit-linkedlife insurance contracts. The ojective of this dissertation, from which the main mathematicaltool comes from the world of the fractals, is (i) to introduce the (multi)fractional Brownianmotion and study the fractional stochastic differential equations driven by such a motion whichwill model the underlying assets; (ii)to discuss the violation of the hypothesis of absence ofarbitrage opportunity which is a consequence of a market considered as fractional; (iii) topresent the fractional option pricing in a market which is in fact incomplete; (iv) to present ahedging portfolio method for such a fractional incomplete market; (v) to measure the impact ofthe fractal nature of the modelisation on the cost of a minimum death-guarantee of unit-linkedlife insurance contracts.
Keywords Unit-linked life insurance contracts, hedging for a fractional incomplete market,fractional SDE, minimum death-guarantee, Hurst, indirect inference, Incremental Ratio, α-Stable Law, incomplet market, fractal modelling, (multi)fractional Brownian motion, fractionaloptions, quadratic variations.
Résumé
Depuis plusieurs décennies le modèle de Black & Scholes est controversé, aussi un cer-tain nombre de modèles alternatifs ont vu le jour, comme par exemple ceux renonçant àl’hypothèse de continuité des prix via l’introduction de sauts. D’après certains travaux cesnouveaux modèles ont un impact baissier sur le coût d’une garantie plancher dans les contratsen unité de compte. L’objectif de ce mémoire, dont l’outil mathématique principal est issudu monde des fractales, est de (i) présenter le mouvement Brownien (multi)-fractionnaire etd’étudier les équations différentielles dirigées par un tel mouvement qui serviront à modéliserles sous-jacents ; (ii) de discuter de la violation de l’hypothèse d’absence d’opportunité arbi-trage qu’entraîne un marché supposé fractionnaire ; (iii) de présenter l’évaluation d’optionsfractionnaires dans un marché qui se révèle être incomplet ; (iv) de présenter une méthode decouverture adaptée à un tel marché fractionnaire incomplet ; (v) de mesurer l’impact de laprise en compte du caractère fractal sur le coût de la garantie plancher dans les contrats enunité de compte.
Mots-clés Contrat en unité de compte, couverture en marché incomplet, EDS fraction-naires, garantie plancher, Hurst, inférence indirecte, Incremental Ratio, loi α-Stable, marchéincomplet, modélisation fractale, mouvement brownien (multi)fractionnaire, options fraction-naires, variations quadratiques.
Remerciements
L’écriture de ce mémoire, en l’espèce l’apothéose d’une reprise d’études, doit beaucoupà certaines personnes qui ont eu un rôle très important et qu’il convient de remercier ici.
Je remercie chaleureusement Frédéric PLANCHET, directeur scientifique chez WINTER& Associés et Professeur associé à l’ISFA pour avoir accepté d’encadrer ce travail, pour lesuivi, les relectures et pour ses précieux conseils. Plus généralement, je remercie le cabinetWINTER & Associés pour m’avoir accueilli et ainsi permis de faire mes premiers pas dans lemonde professionnel de l’actuariat.
Je remercie également l’ensemble des enseignants que j’ai pu avoir tout au long de mesétudes et en dernier lieu les enseignants du CNAM (les Masters d’Actuariat & de Statistiquespour la Finance et l’Assurance), pour m’avoir transmis leur savoir, souvent leur passion.
Grâce à la richesse des fonds de la bibliothèque du CNAM et de son accessibilité, grâceau partage de nombreux documents provenant de la communauté scientifique et disponibleslibrement sur Internet, j’ai pu écrire ce mémoire dans les meilleures conditions.
Enfin, mes plus affectueux remerciements vont à mes proches, qu’ils soient bipèdes ouquadripèdes, ici sur Terre ou plus haut dans les Cieux, pour leur rôle au-delà de ce mémoire.
A la mémoire de Paule et Jean,mes grands-parents maternels.
Festina lente
5
Table des matières
Introduction 1
1 Présentation de la loi α stable univariée et applications 5
1.1 Définitions de la loi α stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Signification des paramètres α, β, γ, µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Propriétés de la loi α stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Simulation d’une loi α stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Estimation des paramètres de la loi α stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 McCulloch : statistique d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Koutrouvélis : fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 U-statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.4 Test d’ajustement à une loi stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Application sur données réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 CAC40 de 1995 à 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.2 CAC40 de 2008 à 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Evaluation d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1 Généralisation du modèle de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.2 Option de Margrabe (option d’échange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Introduction au mouvement Brownien (multi)fractionnaire 19
2.1 Présentation du mouvement Brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Fonction de covariance Γ et d’autocovariance γ . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Simulation du mouvement Brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Représentation stochastique du mBf de Mandelbrot et Van Ness . . . . 21
2.2.2 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Méthode de Wood et Chan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Estimation de H pour un échantillon d’un mBf non standard . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Méthode d’analyse des fluctuations redressées . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Maximum de vraisemblance : estimateur de Whittle . . . . . . . . . . . 23
2.4 Mouvement Brownien multifractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i
TABLE DES MATIÈRES
3 EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire 27
3.1 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Intégration stochastique par rapport au mBf . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.3 Formule d’Itô multi-fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 Linéarisation exacte d’EDS unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Schéma numérique de Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Estimation du paramètre de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Variations quadratiques du premier et second ordre . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Estimateur IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.3 Comparatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.4 Cas du mouvement Brownien multifractionnaire . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.1 Solution théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck non linéaire avec mBf . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Modèle de Black & Scholes fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7.1 Modélisation du sous-jacent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7.2 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Rappel d’éléments de théorie financière 51
4.1 AOA, complétude, probabilité risque neutre, martingale . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Absence d’opportunité d’arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2 Risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.3 Complétude du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Options européennes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Evaluation d’options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3 Parité Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Fonctions d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Arbitrage dans un modèle fractionnaire 57
5.1 Exemple d’arbitrage dans un modèle fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Modèle fractionnaire avec coûts de transaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Modèle fractionnaire mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Renoncement à la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Evaluation d’options dans un marché fractionnaire 63
6.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Black & Scholes fractionnaire "naïf" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Black & Scholes fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.1 Formule pour un Call et un Put européen . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.2 Eléments de preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.4 Etude de l’impact de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5 Etude de la volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
ii
TABLE DES MATIÈRES
6.6 Les grecs fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Contrats en euro et en unités de compte, garanties en cas de décès/vie 75
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Contrat en euro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3 Contrat en unités de compte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4 Garanties en cas de décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4.1 Garantie plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4.2 Garantie majorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4.3 Garantie plancher indexée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4.4 Garantie cliquée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4.5 Garantie décès accidentel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4.6 Garantie bonne fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5 Garanties plancher en cas de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5.1 Garantie coup dur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5.2 Garantie en cas de vie pour un enfant mineur . . . . . . . . . . . . . . . 79
8 Coût d’une garantie plancher 81
8.1 Sans lissage du coût de la garantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Avec lissage tout au long de la durée du contrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3 Avec également prise en compte des taux de départ . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.4 Le coût de la garantie dépend de l’âge de l’assuré . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9 Couverture de portefeuilles en marché incomplet 83
9.1 Liminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Couverture en marché incomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.2.1 Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.2.2 Monte Carlo - méthode avancée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.3 Application sur un modèle non fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Couverture de portefeuilles fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.1 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.2 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.4 Imperfection de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4.1 Erreurs de réallocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4.2 Coûts de transaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4.3 Total des coûts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4.4 Charge future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4.5 Stratégies de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4.6 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10 Contrat en UC avec garantie plancher : application 99
10.1 Présentation du support : CAC40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 Estimation de la constante de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.3 Estimation de la fonction de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.4 Estimation des paramètres µ et σ par inférence indirecte . . . . . . . . . . . . . 104
10.5 Valorisation de la garantie plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.5.1 Valorisation des Puts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.5.2 Coût de la garantie plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
iii
TABLE DES MATIÈRES
10.6 Couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Conclusion 111
A EDS dirigées par un mouvement brownien standard IA.1 Définition d’un processus standard de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IA.2 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IA.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
A.3.1 EDS réductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIA.3.2 Résolution des EDS linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
A.4 Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIIA.4.1 Intégrales stochastiques multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIIA.4.2 Schémas de Taylor : Euler et Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
B Inférence indirecte VB.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
B.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VB.1.2 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VB.1.3 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIB.1.4 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIB.1.5 Choix de la fonction critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIIB.1.6 Méthode équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
B.2 Propriétés asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIIIB.2.1 Considérations pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXB.2.2 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
B.3 EDS et Vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
C Approximation d’un mouvement brownien fractionnaire XI
D Code informatique XIIID.1 Mouvement brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIID.2 Mouvement brownien multifractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV
iv
Introduction
Il est apparu il y a déjà quelques décennies la nécessité de devoir améliorer les modèlesfinanciers utilisés et en particulier celui de Black et Scholes. Cependant il semble nécessaire
de concilier finesse de la modélisation et maniabilité/rapidité de calcul et ce, surtout pour lesopérations financières nécessitant des actualisations fréquentes. On peut notamment remettreen cause :
– L’hypothèse de normalité des rendements. Ces derniers exhibent en pratique des asymé-tries et des queues épaisses. L’utilisation de la loi stable en lieu et place de la loi normaleest préconisée par Mandelbrot (cf. [Man99]) ;
– La continuité des cours. Elle est purement théorique, il suffit en effet d’observer certainscours pour s’en rendre compte. Randrianarivony ([Ran06])) cite par exemple le cas d’AIGpour un saut négatif et le CAC40 pour un saut positif ; ses travaux traitent de l’impact deces sauts dans les domaines de la finance (notamment l’évaluation de produits dérivés) etde l’assurance-vie. L’article [CGMY02] constitue un article fondateur sur l’introductiondes processus purement discontinus ;
– L’hypothèse d’indépendance des accroissements. Elle consiste à ignorer l’impact des réa-lisations passées dans les réalisations présentes et à venir. Mandelbrot propose d’utiliseren lieu et place du mouvement Brownien le mouvement Brownien fractionnaire.
Avec Benoit Mandelbrot 1 dont l’article "Il était inévitable que des choses très graves seproduisent" publié dans le journal Le Monde en date du 17 octobre 2009 nous a inspiré l’utili-sation d’outils issus du monde des fractales pour la réalisation d’un mémoire en actuariat, nousnous proposons d’étudier l’apport de tels outils 2 dans la modélisation financière. Il n’existe pasde définition mathématique de ce qu’est un objet fractal faisant l’unanimité. B. Mandelbrota pendant un très court temps avant de se rétracter 3 proposé une définition en proposant decomparer différentes dimensions ; ainsi un objet sera fractal si DHB > DT avec DT la dimen-sion topologique bien connue, à valeur entière, et DHB la dimension de Hausdorff-Besicovitchà valeur non entière. La dimension de Hausdorff-Besicovitch fait partie des diverses dimensionsfractales existantes, donnant le même résultat pour des fractales strictement auto-similaires,dont nous en présentons succintement trois :
– Dimension de Hausdorff-Besicovitch : limδ→0lnNn
ln 1η
avec Nn le nombre minimal de boules
de diamètre η nécessaires au pavage de l’objet ;– Dimension d’auto-similarité : donnons un exemple simple à savoir le fameux flocon de
Koch de dimension ln 4ln 3 qui s’obtient comme le rapport entre les logarithmes du nombre
de reproduction de la figure de départ (on part d’un segment pour en arriver à 4) et du
1. Mathématicien français (20/11/1924-14/10/2010) considéré comme l’inventeur de la théorie mathéma-tique des fractales.
2. Le lecteur pourra consulter le mémoire d’actuariat de Céline Azizieh, [Azi02] qui s’intéresse à l’utilisationde modèles fractals dans les séries financières.
3. Nombre de documents continuent pourtant de garder cette définition.
Introduction
facteur de contraction/dilatation (13p pour le flocon) ;– Dimension de Minkowski-Bouligand est le rapport du logarithme du volume minimal N
de boules nécessaires au recouvrement d’un objet lui-même contenu dans une boule derayon r sur le logarithme du rapport de r sur η qui est la taille des boules recouvrant lagrande boule : lnN
ln rη.
Nous copions un extrait de la définition de l’auto-similarité telle qu’elle est donnée dans[Man99] : "Un objet est dit auto-similaire si le "tout", c’est-à-dire l’objet tout entier, peutêtre découpé en "parties", dont chacune se déduit du tout par une similitude, c’est-à-direune réduction ou compression linéaire. Du point de vue mathématique, le processus de ré-duction peut être répété indéfiniment. Il s’ensuit nécessairement qu’un objet mathématiqueauto-similaire contient des détails infinitésimaux." Mathématiquement cela s’écrit : un proces-sus X = X(t), t ≥ 0 est dit auto-similaire 4 de paramètre H si ∀t1, · · · , td ∈ R
+ et ∀δ > 0 on
a l’égalité en loi suivante : (X(t1), · · · , X(td))L= (δ−HX(δt1), · · · , δ−HX(δtd)). Le paramètre
H ci-introduit s’appelle le paramètre de Hurst, il appartient à l’intervalle [0, 1]. Celui-ci estégalement défini à partir de la dimension fractale D d’un processus : on a presque sûrementD = 2−H 5.
Un exemple d’objet issu des fractales est le mouvement brownien fractionnaire qui seprésente comme une extension du mouvement brownien standard (où H = 0, 5) dont lesaccroissements ne sont plus indépendants comme c’est le cas avec le mouvement brownienstandard. Le paramètre de Hurst, H ∈ [0, 1], est intimement lié à la régularité des trajectoires :les trajectoires sont d’autant plus régulières que H augmente et au contraire sont d’autant plusirrégulières que H diminue, dans le premier cas on parle de processus à mémoire longue etdans le second cas de processus à mémoire courte.
L’objectif de ce mémoire est d’étudier l’impact de la prise en compte des corrélations dansles réalisations du mouvement Brownien dans l’évaluation du coût d’une garantie plancherpour les contrats en unité de compte et de leur couverture. Ces contrats relèvent à la foisde la modélisation financière via l’évaluation d’options et de leur couverture d’une part et demodélisation actuarielle via la prise en compte de la mortalité d’autre part. Nous verrons que lesoutils présentés sont à la fois efficaces d’un point de vue temps d’exécution et économiquementjustifiables. Enfin, nous verrons si le coût de la garantie est impacté à la baisse par rapport aumodèle standard comme c’est le cas avec d’autres modèles plus sophistiqués (cf. [MP01]).
Dans le premier chapitre nous nous intéressons à la loi stable qui constitue une premièrealternative à la loi normale. Cette loi a, entre autres, la propriété d’autoriser des queues dedistribution plus épaisses que la loi normale et permet ainsi une meilleure prise en comptedes événements les moins probables. Nous verrons dans une application sur les rendementsdu CAC l’intérêt d’introduire une telle loi. Nous finirons ce chapitre par la présentation del’évaluation d’options lorsque l’actif est modélisé en utilisant la loi stable au lieu de la loinormale.
L’introduction au mouvement Brownien fractionnaire et au mouvement Brownien multi-fractionnaire fera l’objet du deuxième chapitre : ces mouvements contrairement au mouvementbronwien classique permettent via la corrélation entre les réalisations de prendre en compteles valeurs passées du bruit dans la modélisation. Les trajectoires seront influencées par un
4. Cf. [ST94].5. Cf. [SGTSGP08].
2
paramètre dit de Hurst, nous distinguerons deux types de trajectoires, celles avec persistanceet celles avec anti-persistance. Nous exposerons plusieurs méthodes de simulation et plusieursméthodes pour estimer le paramètre de Hurst. Nous conclurons par quelques mots sur unprocessus encore plus général qui combine à la fois les propriétés des mouvements browniens(multi)fractionnaires et du processus de Lévy.
Le troisième chapitre est dédié à l’étude des équations différentielles stochastiques dirigéespar un mouvement Brownien fractionnaire. Nous y aborderons la formule d’Itô, les conditionsde linéarisation des EDS et présenterons le schéma de Milstein. Nous étudierons en détail leprocessus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire en donnant quelques exemples de trajectoires,en étudiant l’impact sur l’estimation des paramètres d’un choix erroné du paramètre de Hurst.Nous dirons quelques mots sur le modèle de Black & Scholes renvoyant le lecteur vers unchapitre ultérieur pour une étude approfondie, seuls seront étudiés l’estimation des paramètreset l’impact du choix du schéma numérique d’approximation.
Le quatrième chapitre est réservé à des rappels de théorie financière : absence d’oppor-tunité d’arbitrage, complétude des marchés, probabilité risque neutre, valorisation d’options,couverture, fonctions d’utilité.
Le chapitre cinq fera l’objet d’une discussion à propos de la violation de l’hypothèse d’ab-sence d’opportunité d’arbitrage (AOA) lorsque l’on considère le marché fractionnaire. Nousprésenterons plusieurs alternatives permettant de rétablir cette hypothèse, primordiale en théo-rie financière.
Au sixième chapitre, une fois rétablie l’hypothèse d’AOA, nous dirons comment établir unegénéralisation de la célèbre formule de Black & Scholes au cas d’un marché fractionnaire. Uneétude de l’impact du paramètre de Hurst sur le prix d’une option d’achat et sur la volatilitésera menée.
Dans le septième chapitre nous faisons une présentation des contrats en euros et en unitéde compte, et donnons quelques exemples de garantie plancher. L’étude mathématiques desgaranties planchers, avec ou sans lissage du coût de la garantie, fera l’objet du chapitre suivant.
L’incomplétude d’un marché rendant la réplication impossible, le neuvième chapitre seraconsacré à la présentation d’une méthode de duplication d’options, basée sur les préférencesde l’utilisateur via l’utilisation des fonctions d’utilité, facilement implémentable dans un telmarché. Nous proposons d’adapter cette méthode au cas d’un marché fractionnaire. Nousconclurons ce chapitre par l’étude des coûts engendrés lors de la mise en oeuvre de la couver-ture.
Enfin dans le dernier chapitre nous rassemblerons les résultats obtenus dans les chapitresprécédents pour les appliquer au cas d’un contrat en unité de compte avec garantie plancher.Le sous-jacent considéré sera le CAC40, après avoir estimé la fonction de Hurst nous cherche-rons à la modéliser via une approche relativement simple. Une fois estimés les paramètres, etplus particulièrement la volatilité, nous serons en mesure de calculer les prix des puts qui inter-viennent dans les formules du calcul du coût de la garantie plancher ; il en va de même pour lecalcul de la couverture. L’étude sera réalisée en comparant les résultats avec une modélisationclassique.
3
Chapitre 1
Présentation de la loi α stableunivariée et applications
Sommaire
1.1 Définitions de la loi α stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriétés de la loi α stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Simulation d’une loi α stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Estimation des paramètres de la loi α stable . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Application sur données réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Evaluation d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Après avoir défini la loi stable univariée et énoncé différentes propriétés en sui-vant principalement [LVW02] nous comparons sur données réelles issues du
CAC40 les lois α-stable et normale ; nous donnons une version généralisée du cé-lèbre modèle de Black & Scholes basée sur l’utilisation de la loi stable.
1.1 Définitions de la loi α stable
1.1.1 Cas général
Il existe plusieurs façons de caractériser une loi α-stable :Définition 1 Soit X une variable aléatoire. Elle est dite α-stable si ∀n ≥ 2 ∃cn > 0, dn ∈R tels que
∑ni=1Xi
L= cnX + dn où Xi, i = 1, · · · , n est une copie de X.
En fait on a cn = n1α . Lorsque dn = 0 on dira de X qu’elle est strictement stable.
Définition 2 Une variable aléatoire X est dite stable si elle admet un bassin d’attraction.
On rappelle la définition d’un bassin d’attraction :
Définition 3 Le bassin d’attraction est défini par l’existence d’une suite de variables aléatoires
Y1, Y2, · · · iid, une suite dn > 0, une suite an ∈ R tels que∑n
i=1 Yi
dn+an converge en loi vers X.
On peut représenter la loi stable à partir de sa fonction caractéristique :
5
Chapitre 1 : Présentation de la loi α stable univariée et applications
Définition 4 Une variable aléatoire α- stable X de paramètres 0 < α ≤ 2, γ ≤ 0,−1 ≤ β ≤1, µ ∈ R a pour fonction caractéristique la fonction suivante :
ΨX(t) = E[exp(itX)] = exp(iµt− γα|t|α(1− iβsigne(t)W (α, t))), ∀t ∈ R, (1.1)
où W (α, t) =
tan(πα
2) si α 6= 1,
− 2
πlog(|t|) si α = 1;
et
signe(t) =
1 si t > 0,
0 si t = 0,
− 1 si t < 0.
Remarquons que contrairement à la loi normale qui ne possède que deux paramètres la loistable en possède quant à elle quatre (α, β, γ, µ), ce qui pourrait a priori penser à un meilleurajustement. Nous reviendrons ultérieurement sur leur signification.
Nous verrons plus loin l’intérêt de la fonction caractéristique car il n’existe en général pasde forme analytique de la fonction de densité associée.
Il est de coutume de noter XL= Sα,β(µ, γ) pour dire que X suit une loi stable de paramètres
α, β, µ et γ.
1.1.2 Signification des paramètres α, β, γ, µ
Les figures 1.1 et 1.2 permettent de comprendre la signification des différents paramètrestoutes choses égales par ailleurs. :
– Le paramètre α, appelé indice de stabilité, mesure l’épaisseur de la queue ;– Le paramètre µ, paramètre de localisation, est le point autour duquel il y a le plus de
réalisations. Pour α ∈ (1, 2] alors µ équivaut à la moyenne tandis que lorsque α ∈ (0, 1)alors µ correspond à la médiane ;
– Le paramètre β mesure la symétrie autour de µ : si β < 0 alors il y a étalement à gauche,si β > 0 alors il y a étalement à droite ;
– Le paramètre γ dont le rôle est similaire à l’écart type pour la loi normale est appeléparamètre de dispersion ou paramètre d’échelle.
1.1.3 Cas particulier
Nous poursuivons à présent la description de la loi stable dans le cas particulier où lesparamètres β et µ sont nuls, on appelle alors cette loi, loi symétrique par rapport à β etµ que nous noterons alors X ∼ SαS pour indiquer que X suit une loi stable symétriqueSα,0(0, γ). Nous obtenons alors une expression simple de la fonction caractéristique en utilisantla définition 4 :
ΨX(t) = exp(−γα|t|α).
Dans le cas où l’on a γ = 1 alors la variable aléatoire est dite SαS standard.
6
1.2 Propriétés de la loi α stable
−5 0 50.
000.
100.
200.
30
Variation de alpha
alpha=1.1alpha=1.5alpha=1.7alpha=2
−6 −4 −2 0 2 4
0.00
0.10
0.20
Variation de beta
beta=−0.95beta=0beta=0.95
Figure 1.1 – Variation des paramètres α et β.
1.2 Propriétés de la loi α stable
Tout comme dans le cadre gaussien il est possible d’exhiber des opérations simples sur ceslois stables. Présentons-en quelques-unes qui nous seront utiles par la suite :
Proposition 1 Soit X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes et suivant chacune une
loi α-stable de paramètres (αi, βi, γi, µi) avec i = 1, 2. Alors X1 + X2L= Sα,β(µ, γ) avec β =
β1γα1 +β2γα
2γα1 +γα
2, γ = (γα1 + γα2 )
1α et µ = µ1 + µ2.
Présentons quelques résultats importants sur les moments d’une loi stable.
Proposition 2 Si X suit une loi stable avec α ∈ (0, 2) alorsE[|X|p] < +∞ si p ∈ (0, α),
E[|X|p] = +∞ si p ≥ α.
Proposition 3 Soit X suivant une loi stable avec α ∈ (1, 2] alors E[X] = µ.
Retenons particulièrement que d’après la première proposition :– Le premier moment d’une loi stable n’existe pas si α ≤ 1 ;– Le second moment, i.e. la variance, d’une loi stable n’existe pas si α < 2.
Le comportement de la loi stable est donc assez différent de la loi normale. On voit 1 tout desuite que cela pose un problème pour l’approche Moyenne-Variance en gestion de portefeuilles.
1. Cf. [LVW02] et [Bel65].
7
Chapitre 1 : Présentation de la loi α stable univariée et applications
−10 −5 0 5 100.
00.
40.
8
Variation de gamma
gamma=0.3gamma=0.5gamma=1
−10 −5 0 5 10
0.00
0.10
0.20
Variation de mu
mu=−2mu=0mu=2
Figure 1.2 – Variation des paramètres γ et µ.
Une autre différence, qui est à l’origine de l’introduction de cette loi, concerne l’épaisseurdes queues de distribution qui sont plus épaisses dans le cas des lois stables et donc reflètemieux la réalité des données.
La proposition suivante caractérise la décroissance selon une loi de puissance de la queue dedistribution d’une loi stable, alors que dans le cas gaussien cette décroissance est exponentielleet donc plus rapide interdisant de fait les forts mouvements 2 :
Proposition 4 Soit X une loi stable de paramètres α ∈ (0, 2), β, γ et µ alors
limx→+∞
xαP(X > x) = Cα1 + β
2γα
limx→+∞
xαP(X < −x) = Cα1− β
2γα
où
Cα =(∫ +∞
0 x−α sinx dx)−1
=
1− α
Γ(2− α) cos(πα2 )si α 6= 1
2
πsi α = 1
2. Ou plus précisément et plus rigoureusement rendant peu probables ces forts mouvements.
8
1.3 Densité de probabilité
1.3 Densité de probabilité
Nous avons déjà indiqué qu’il n’existait pas de forme analytique de la densité dans le casgénéral. Dans certains cas particuliers il est possible d’en obtenir une :
– Loi normale S2,0(µ, γ) de densité f(x) = 12γ
√πexp(− (x−µ)2
4γ2 ) ;
– Loi de Cauchy S1,0(µ, γ)de densité f(x) = 2γπ((x−µ)2+4γ2)
;
– Loi de Lévy S 12,1(µ, γ) de densité f(x) =
( γ2π
) 12 (x− µ)−
32 exp
(
− γ2(x−µ)
)
1(µ,+∞)(x).
On peut toutefois écrire la densité f(x) sous forme intégrale faisant intervenir directementla fonction caractéristique ΨX(t) d’une loi α-stable, c’est-à-dire à l’aide d’une transformée deFourier inverse de la fonction caractéristique ([Azz06]) :
f(x) =1
2π
∫ +∞
−∞e−itxΨX(t)dt =
1
2π
∫ +∞
−∞e−itx exp (−γα|t|α(1− iβ(signe(t) tan
πα
2) + iµt)dt.
Lorsque la distribution est symétrique (β = µ = 0) la formule précédente se simplifie enf(x, α, γ) = 1
π
∫ +∞0 exp(−γα|t|α) cos(tx)dt.
On peut obtenir un développement en série entière lorsque γ = 1 mais le calcul numériquepose quelques problèmes à cause de la présence de la fonction gamma avec signes alternés, destechniques ont été développées pour réduire ces problèmes.
Pour éviter des problèmes d’ordre numérique Nolan [Nol99] travaille sur la représentationde la fonction caractéristique sous la forme de Zolotarev qui, dans le cas d’une variable aléatoirenormalisée (γ = 1 et µ = 0) Z s’écrit :
E[exp(itZ)] =
exp
−|t|α(1 + iβ(signe(t))(tanπα
2)(|t|1−α − 1))
si α 6= 1
exp
−|t|(1 + iβ(signe(t))2
πln(|t|))
si α = 1
Notons p(x;α, β) la densité de Z, la densité de X ∼ Sα,β(µ, γ) s’écrit alors
f(x;α, β, σ, µ) =
1
σp
((x− (σβ tan(πα2 ) + µ))
σ;α, β
)
si α 6= 1
1
σp
(
(x− (β 2πσ ln(σ) + µ))
σ; 1, β
)
si α = 1
où la fonction de densité p est obtenue à partir de l’inversion de la formule
p(x;α, β) =1
π
∫ +∞
0cos(h(x, t;α, β))e−tαdt
avec h(x, t;α, β) = xt− I(ln(E[exp(itZ)])) (I désigne la partie imaginaire).
9
Chapitre 1 : Présentation de la loi α stable univariée et applications
1.4 Simulation d’une loi α stable
L’algorithme 3 suivant dû à Weron [Wer01] constituant une version améliorée de l’algo-rithme de Chembers, Mallow et Stuck (voir [Wer95] et [CMS93]) permet de simuler aisémentune loi stable Sα,β(0, 1) avec α ∈ (0, 1) ∪ (1, 2] et β ∈ [−1, 1] :
– Simuler une variable aléatoire V de loi uniforme sur [−π2 ,+
π2 ] ;
– Simuler une variable aléatoireW de loi exponentielle de paramètre 1 comme suit : générerune variable aléatoire uniforme U sur [0, 1] et poser W = − log(U) ;
– On calcule X définie comme suit :Si α 6= 1
X = Sα,βsin(α(V +Bα,β))
(cos(V ))1α
cos(V − α(V +Bα,β))
W
1−αα
où Bα,β =arctan(β tan πα
2)
1−|1−α| et Sα,β =1 + β2 tan(πα2 )2
− 1α .
Si α = 1
X =2
π
[
(π
2+ βV ) tan(V )− β ln
(W cos(V )π2 + βV
)]
.
Pour générer une variable aléatoire de loi Sα,β(µ, γ) à partir de cet algorithme il suffit degénérer une variable aléatoire de loi Sα,β(0, 1) puis la multiplier par γ et d’ajouter µ.
1.5 Estimation des paramètres de la loi α stable
Nous allons présenter plusieurs types de méthodes dont une basée sur la statistique d’ordre 4
et l’autre sur la fonction caractéristique.
1.5.1 McCulloch : statistique d’ordre
Introduisons la variable aléatoire U = S−µγ de loi stable centrée réduite obtenue à partir
de S. Soient Fx et fx les quantiles d’ordre x des distributions non réduite et réduite respecti-vement, on a Fx = γfx + µ.
McCulloch ([McC86]) 5 introduit les deux quantités να et νβ définis comme suit :
να =F0.95 − F0.05
F0.75 − F0.25
νβ =F0.95 + F0.05 − 2F0.50
F0.95 − F0.05
Les valeurs empiriques να et νβ obtenues à partir de l’échantillon en sont des estima-teurs consistants. Etant donné να (respectivement νβ), à partir d’une fonction φ1(α, β) (resp.φ2(α, β)) tabulée par DuMouchel ([DuM71]) on obtient une valeur approximative pour α (resp.β).
3. Une application est donnée par les figures 1.1 et 1.2.4. C’est-à-dire basée sur les quantiles de la distribution de la loi stable.5. L’algorithme tel qu’écrit par McCulloch est disponible sur Internet :
http://www1.american.edu/cas/econ/gaussres/regress/STABDIST.SRC. La boîte à outils MFE du lo-giciel Matlab due à Rafal Weron implémente cet estimateur, via la fonction stabcull, et se trouve à l’adressesuivante : http://www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/weron/MFE/MFE_Toolbox.html
10
1.5 Estimation des paramètres de la loi α stable
Pour résumer on a donc obtenu des valeurs approximatives de α et de β comme solutiondu système suivant (où les fonctions φ1 et φ2 sont tabulées) :
να = φ1(α, β)
νβ = φ2(α, β)
En inversant ce système on obtient alors des estimateurs consistants de α et de β :
α = ψ1(να, νβ)
β = ψ2(να, νβ)
Afin d’obtenir des estimateurs des paramètres γ et µ, sont introduites deux nouvellesquantités νc et νµ :
νc =F0.75 − F0.25
γ= f0.75 − f0.25 = φ3(α, β)
νµ =µ− F0.50
γ= −f0.50 = φ4(α, β)
Là encore φ3 et φ4 sont des fonctions tabulées. On obtient des estimateurs consistantscomme suit :
γ =F0.75 − F0.25
φ3(α, β)
µ = γφ4(α, β) + F0.75
1.5.2 Koutrouvélis : fonction caractéristique
La méthode précédente a l’inconvénient de ne considérer que les queues de distribution,la méthode que nous présentons dans cette section utilise, via la fonction caractéristique,l’ensemble de la distribution.
La méthode de Koutrouvelis, exposée dans [AO05] par exemple, fait intervenir dans unpremier temps une régression linéaire à partir de la fonction caractéristique ce qui permetd’obtenir des estimateurs de α et γ ; ensuite une nouvelle régression permet d’estimer les deuxautres paramètres.
A partir de la fonction caractéristique (1.1) on peut écrire 6 |ψ(t)|2 = exp(−2|γt|α). Ouencore, en appliquant la fonction logarithmique deux fois (en faisant attention au signe) :log(− log(|ψ(t)|2)) = log(2γα)+α log(t). On reconnaît l’écriture d’une régression linéaire clas-sique, on obtient donc facilement des estimateurs de α et γ.
Une fois obtenus des estimateurs de α et γ, on peut estimer β et µ à partir de arctan(ℜ(φ(t))ℑ(φ(t))
)
=
µt+ βγα tan πα2 signe(t)|t|α.
L’algorithme s’écrit :
– Fixer K et calculer la fonction caractéristique empirique 7 φ(tk) pour tk = πk25 avec
k = 1, · · · ,K ;– Calcul de yk = ln(− ln(|φ(tk)|2)) ;– Ajustement par régression linéaire y = m+αw+ e pour obtenir des estimateurs de α etγ avec m = ln(2γ)α ;
– Calcul de z(ui) avec z(t) = arctan(ℜ(φ(t))ℑ(φ(t))
)
pour ui =πi50 avec i = 1, · · · , L ;
6. Il suffit de prendre le module de la fonction caractéristique.
7. La fonction caractéristique peut être approchée par son équivalent empirique : φ(t) = 1n
∑n
i=1 eitxj .
11
Chapitre 1 : Présentation de la loi α stable univariée et applications
– Ajustement par régression linéaire zi = µui + βγα tan πα2 signe(ui)|ui|α + ηi pour i =
1, · · · , L pour obtenir des estimateurs de β et µ.
Des valeurs 8 pour K et L ont été proposées par Koutrouvélis.
Malheureusement cet algorithme souffre de quelques défauts lorsque l’échantillon n’est pasnormalisé. Koutrouvélis propose une variante itérative pour contourner ce problème. Au pask on normalise l’échantillon à partir des estimations obtenues au pas précédent, l’échantillons’écrit ainsi
X−µk−1
γk−1. A nouveau on estime les paramètres via la méthode précédente sans
oublier d’actualiser les paramètres γ et µ :
– γk = γk−1γ∗k ;
– µk = µk−1 + µ∗kσk−1.
L’algorithme peut être initialisé en utilisant au préalable la méthode de McCulloh.
1.5.3 U-statistique
Nous présentons une méthode (cf [Fan06]) valable uniquement dans le cas de variablesstrictement α-stables 9 et présentant de très bons résultats.
Si X a une loi symétrique strictement α-stable alors
E[ln(|X|)k] <∞ ∀k ∈ N.
Pour k = 1 nous avons E[ln(|X|)] = ln(γ) + C(1α − 1
)avec C = 0.577 la constante
d’Euler. Il a été proposé d’estimer α et γ à partir de E[ln(|X|)] et V(ln(|X|)). Pour ce fairenous introduisons les deux fonctions suivantes :
h(x1, x2) =
(ln(|x1 + x2|)− 1
2(ln(|x1|) + ln(|x2|)))
ln(2)
hσ(x1, x2) =ln(|x1|) + ln(|x2|)
ln(2)− C(h(x1, x2)− 1).
La quantité
Un(h) =1
C2n
∑
1≤i<j≤n
h(Xi, Xj)
constitue selon la proposition suivante un estimateur pour α :
Proposition 5 Soit X1, X2, · · · , Xn des variables aléatoires iid suivant une loi strictementα-stable. Supposons de plus que S2
1 = 1n−1
∑ni=1(Yi − Y )2 où Yi = 1
n−1
∑
j 6=i h(Xi, Xj), i =
1, · · · , n et Y = 1n
∑ni=1 Yi. Alors a
√n
2S1
(Un(h)− 1
α
) d→ Z quand n tend vers l’infini avec Zune variable aléatoire normale centrée réduite.
On peut énoncer un résultat identique pour l’estimation de σ :
8. Selon la valeur de α par rapport aux valeurs [1.9, 1.5, 1.3, 1.1, 0.9, 0.7, 0.5, 0.3] on choisira : K =[9, 11, 16, 18, 22, 24, 68, 124] ; L = [10, 14, 16, 18, 14, 16, 38, 68]. Plus α sera petit plus les valeurs de K et L
seront donc élevées.9. C’est-à-dire quand la quantité dn est nulle dans la définition 1 ; lorsque α 6= 1 cela revient à dire que
µ = 0, par contre lorsque α = 1 alors β = 0.
12
1.6 Application sur données réelles
Proposition 6 Soit X1, X2, · · · , Xn des variables aléatoires iid suivant une loi strictementα-stable. Un estimateur de 1
σ non biaisé et suivant une loi asymptotique gaussienne est définicomme suit :
Un(hσ) =1
C2n
∑
1≤i<j≤n
hσ(Xi, Xj).
On a√n
2S1σ(Un(hσ)− ln(σ))
d→ Z quand n tend vers l’infini avec S21σ = 1
n−1
∑ni=1(Wi−W )2
où Wi =1
n−1
∑
1≤i<j≤n hσ(Xi, Xj), W = 1n
∑ni=1Wi et Z une variable aléatoire normale.
1.5.4 Test d’ajustement à une loi stable
Il est nécessaire de vérifier le bon ajustement des données à la loi α-stable obtenue aprèsestimation des paramètres. Pour ce faire nous pouvons utiliser un test d’ajustement classique 10,comme par exemple celui de Kolmogorov-Smirnov ([Bor87]) dont nous rappelons la démarcheci-dessous :
– Calcul des rentabilités ;– Estimation des paramètres 11 ;– Calcul de la fonction de répartition théorique F (t) à partir des paramètres obtenus dans
l’étape précédente aux points disponibles dans l’échantillon ;– Calcul de la statistique D
n = supt(F∗n(t)−F (t))n avec F ∗
n la fonction de répartition empirique.On compare cette valeur avec la valeur κ√
(n)où κ provient de la table de Kolmogorov-
Smirnov 12. Si Dn < κ√
(n). alors les données suivent bien une loi α-stable.
La fonction de répartition a été tabulée et est disponible dans certains ouvrages / logiciels.
1.6 Application sur données réelles
Nous allons présenter un cas concret sur données réelles, à savoir le CAC40.
1.6.1 CAC40 de 1995 à 2010
Nous considérons la valeur du CAC40 pour la période du 3 janvier 1995 au 30 décembre
2010 et nous calculons le rendement ln(CACt+1
CACt
)
. Les paramètres sont estimés à partir des
méthodes de McCulloh et de Koutrouvélis 13. Le tableau 1.2 suivant donne les valeurs desparamètres et la figure 1.3 présente un comparatif d’ajustement des données à la loi normaleet à la loi stable 14 :
L’ajustement à vu d’oeil est de bien meilleure qualité qu’avec la loi normale, pour êtrerigoureux il faudrait effectuer un test d’ajustement.
On retrouve ici α = 1.7 pour la méthode de Koutrouvélis, valeur que l’on retrouve souventdans la littérature (Cf. par exemple [LVW02] et [Man99] 15 à propos de sa fameuse étude surle prix du coton.).
10. Nous ne discutons pas dans le cadre de ce mémoire de la puissance des tests d’ajustement et renvoyonsle lecteur intéressé vers un ouvrage spécialisé.
11. Par exemple à l’aide de la méthode de Koutrouvélis.12. Par exemple pour un test à 95% κ = 1.358 si n > 100.13. Le logiciel Matlab et la boîte à outils MFE déjà décrite précédemment, via la fonction stabreg, implémente
la méthode de Koutrouvélis.14. Nous utilisons un paquet R disponible à http://www.commanster.eu/rcode.html.15. Nous copions ci-dessous un passage de [Man99] que nous trouvons particulièrement intéressant : "Décri-
13
Chapitre 1 : Présentation de la loi α stable univariée et applications
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
010
2030
Densités des rendements du CAC40 1995−2010
Densité empirLoi StableLoi Gaussienne
Figure 1.3 – CAC40 du 03/01/1995 au 30/12/2010 : densités : empirique, normale et stable.
Koutrouvélis McCulloch
α 1,7029 1,5511
γ 0,0081 0,0077
β -0,2985 -0,1303
µ -2,56E-04 -2,60E-04
Table 1.1 – CAC40 du 03/01/1995 au 30/12/2010 : Estimation des paramètres de la loi stable.
1.6.2 CAC40 de 2008 à 2009
Ici (cf. le tableau 1.2 et la figure 1.4) nous reproduisons la même analyse que précédemmentmais sur une période plus restreinte à savoir 2008-2009, période au plus fort de la dernièrecrise financière.
Si l’on compare ces résultats à ceux de la période 1995-2010 on remarque une distributionà queue plus large et également plus étalée vers la gauche comme en témoigne la figure 1.5.
Quelle période choisir pour l’estimation des paramètres ? Nous venons de voir que lesparamètres varient selon la période considérée : choisir une période trop courte privilégieraitprobablement plutôt une situation particulière et non représentative. Par exemple estimer les
vons un test réalisé aux Bell Telephone Laboratories. Puisque 2− α est une mesure du degré de discontinuitédu mouvement, on a simulé divers mouvements d’exposants α égaux (je crois), à 1.5 ; 1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.9. Cescourbes, mélangées avec un mouvement brownien (α = 2), ont été montrées à un agent de change, en pré-tendant qu’elles étaient relatives à diverses simulations, sauf une, qui illustrait le comportement de la Bourse,qu’on lui demandait précisément d’identifier.
L’expert élimina d’emblée le movement brownien α = 2, ainsi que la courbe de α = 1.9 comme beaucouptrop réguliers dans leur détail. Ensuite, il élimina la courbe de α = 1.5 comme trop irrégulière. Le degréd’irrégularité de α = 1.7 lui parut à peu près raisonnable. Il se trouve que c’est précisément cette valeur quel’on obtient par estimation directe comme l’exposant de α de maintes chroniques économiques."’
14
1.7 Evaluation d’options
Koutrouvélis McCulloch
α 1,6656 1,5793b 0,0113 0,0113β -0,4946 -0,2503µ -2,40E-03 -1,80E-03
Table 1.2 – CAC40 du 02/01/2008 au 31/12/2009 : Estimation des paramètres de la loi stable.
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
05
1015
2025
Densités des rendements du CAC40 2008−2009
Densité empirLoi StableLoi Gaussienne
Figure 1.4 – CAC40 du 02/01/2008 au 31/12/2009 : densités : empirique, normale et stable.
données sur une période particulièrement favorable consisterait à négliger de façon inconsidéréele risque baissier. Au contraire, nous pensons qu’il est préférable de considérer des périodeslongues afin de capter un maximum d’informations.
1.7 Evaluation d’options
Avant de clore ce chapitre sur la loi α-stable nous donnons un exemple d’application enévaluation d’option.
Rappelons qu’une option d’achat sur un instrument financier permet à son détenteurd’acheter ledit instrument financier au prix d’exercice fixé à la date d’achat à une date dé-terminée T dans le cas d’une option européenne ou à une date prématurée dans le cas d’uneoption américaine.
Nous donnons deux formules théoriques d’évaluation d’options, lorsqu’une formule théo-rique n’est pas possible à établir et/ou est trop complexe il est possible d’utiliser une approchenumérique en se souvenant de la définition mathématique d’une option 16.
16. Dans le cas d’un Call : max(XT −K, 0) avec K le prix d’exercice, XT la valeur du sous-jacent en T .
15
Chapitre 1 : Présentation de la loi α stable univariée et applications
−0.15 −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
05
1015
2025
3035 1995−2010
2008−2009
Figure 1.5 – Comparatif des densités du CAC40 1995-2010 et CAC40 2008-2009.
1.7.1 Généralisation du modèle de Black et Scholes
Une version généralisée du modèle de B&S pour une option européenne est donnée dans[HPR99] :
Proposition 7 La valeur en t d’un Call européen de prix d’exercice K et de maturité T estdonnée par
Ct = S(t)F−
(
lnS(t)
Kr,t,T
)
− Kr,t,TF+
(
lnS(t)
Kr,t,T
)
,
avec Kr,t,T = K exp(−r(T − t)) et F+/− =∫ +∞0 ϕ
(x−/+( 1
2)y√
y
)
dFY (y).
Il faut alors évaluer numériquement les fonctions F+/− =∫ +∞0 ϕ
(x−/( 1
2)λv√
λv
)
fV (v)dv avec
fV la fonction densité de V et ϕ la fonction de répartition de la loi normale standard etλ = 2γ2 cos(πα4 )
2α (T − t)
2α .
Nous donnons quelques éléments de la démonstration technique de ce résultat.
Introduisons tout d’abord quelques quantités qui nous seront utiles :– Soit T = T (t), t ≥ 0 un processus stochastique positif appelé processus de temps in-
trinsèque défini sur l’espace (Ω0,F0, P0) et générant la filtration FT = F T
t = σT (s), 0 ≤s ≤ t, t ≥ 0 et supposé être un processus de Lévy stable de paramètre α
2 avec α ∈ (0, 2) ;– Soit W = W (u), u ≥ 0 un processus de Wiener défini sur l’espace (Ω1,F1, P1) et
générant la filtration FW = FW
u = σW (v), 0 ≤ v ≤ u, u ≥ 0 ;– Soit le processus subordonné Z = Z(t) =W (T (t)), t ≥ 0 défini sur le produit P0 ⊗P1
des deux espaces introduits ci-dessus, la filtration FZ = FZ
t = FTt ⊗F
WT (t), t ≥ 0] découle
des deux filtrations introduites ci-dessus. On peut montrer que Z est un produit de Lévystable symétrique de paramètre α ;
16
1.7 Evaluation d’options
– Soit la filtration FZ = FZ
t = FTτ ⊗ F
WT (t), t ∈ [t0, τ ], elle est plus riche que F
Z .
Le sous-jacent est modélisé comme suit : S(t) = S(T0)eµ(t−t0)+ρ(T (t)−T (t0))+σ(W (T (t)))−W (T (t0))))
avec µ le paramètre de dérive par rapport au temps ordinaire, ρ le paramètre de dérive parrapport au temps intrinsèque et σ la volatilité ; ces trois paramètres sont supposés constants.
On introduit le taux d’intérêt r considéré constant. Le prix actualisé du sous-jacent s’écritS(t) = S(T0)e
(µ−r)(t−t0)+ρ(T (t)−T (t0))+σ(W (T (t)))−W (T (t0)))).
A présent nous introduisons une mesure de probabilité équivalente P = P0 ⊗ P1 fai-sant ainsi de S = S(t), t ∈ [t0, T ] une (P ,FZ)-martingale ; cette mesure P sera inter-prétée comme une mesure risque neutre et caractérisée par la mesure de Radon-Nikodym
ψ = dP1dP1
de telle sorte que le processus W = W (u), u ≥ 0 avec W (u) = W (u) −∫ u0 ψ(v)dv
est un P1 processus de Wiener. Le prix actualisé du sous-jacent s’écrit finalement S(t) =
S(s)eσ(W (T (t))−W (T (s)))− 12σ2(T (t)−T (s)).
La valeur Ct d’un Call européen au temps t à maturité en T est le payoff actualisé s’écrivantsous la mesure neutre P et relativement à la filtration F
Zt : Ct = E[e−r(T−t)(S(T )−K)+|FZ
t ].
Compte tenu des éléments ci-dessus on peut écrire :
Ct = E[(S(t)eσ(W (T (τ))−W (T (t)))− 12σ2(T (τ)−T (t)) − Kr,t,τ )
+
︸ ︷︷ ︸
Ct
|FZt ] avec Kr,t,τ = Ke−r(τ−t). A
présent on conditionne Ct par rapport à la filtration FZt , c’est-à-dire que l’on a
Ct = E[(S(t)eσ(W (T (τ))−W (T (t)))− 12σ2(T (τ)−T (t)) − Kr,t,τ )
+|FZt ]. Le processus dans l’espé-
rance conditionnelle s’avère être un processus classique qui permet d’aboutir au prix d’un Callclassique. Ct est une quantité aléatoire dépendant uniquement du temps intrinsèque T , Ct secalcule ainsi à partir de la mesure P0 uniquement ; il vient Ct = E0[Ct|FZ
t ]. Et l’on conclut.
1.7.2 Option de Margrabe (option d’échange)
Une autre option importante est l’option de Margrabe qui consiste en la possibilité d’échanged’un actif risqué (dont le prix est noté S1) contre un autre (de prix S2).
Pour obtenir la valeur de l’option il suffit de considérer le prix d’exercice comme étant lavaleur de l’actif risqué 2 à l’échéance. On obtient donc ainsi aisément sa valeur :
Proposition 8 La valeur en t d’une option de Margrabe d’un actif risqué de prix S1 contreun autre actif risqué de prix S2 et de maturité T est donnée par
Xt = S1(t)F−
(
lnS1(t)
S2(t)
)
− S2(t)F+
(
lnS1(t)
S2(t)
)
.
17
Chapitre 2
Introduction au mouvement Brownien(multi)fractionnaire
Sommaire
2.1 Présentation du mouvement Brownien fractionnaire . . . . . . . . 19
2.2 Simulation du mouvement Brownien fractionnaire . . . . . . . . . 20
2.3 Estimation de H pour un échantillon d’un mBf non standard . . . 22
2.4 Mouvement Brownien multifractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . 23
Ce chapitre est consacré à la présentation du mouvement Brownien fractionnaire,noté mBf, et au mouvement Brownien multifractionnaire, noté mBm.
2.1 Présentation du mouvement Brownien fractionnaire
Après avoir défini le mouvement Brownien fractionnaire nous indiquerons comment le si-muler puis comment estimer le paramètre de Hurst.
2.1.1 Définitions
Un mouvement Brownien fractionnaire de paramètres (H,C) ∈]0, 1] ∗R+∗ est le processusnoté BH,C(t), t ≥ 0 défini par
BH,C(t) = CV12H
∫
R
ft(s)dB(s) (2.1)
avec ft(s) = 1Γ(H+ 1
2)|t − s|H− 1
2 1−∞],t](s) − |s|H− 12 1−∞],0](s) où BHC
(0) = 0 et VH =
Γ(2H + 1) sin(πH), Γ désignant la fonction Gamma et B un mouvement Brownien standard.
Il est également possible de le définir comme étant l’unique processus gaussien centré, nulà l’origine, à accroissements stationnaires et auto-similaires, tel que
E[(BH,C(t)−BH,C(s)))2] = C2|t− s|2H , ∀s, t ∈ R
+
Lorsque C = 1 le mBf sera dit mBf standard. De plus lorsque H = 12 alors le mBf
correspond à un Brownien standard.
19
Chapitre 2 : Introduction au mouvement Brownien (multi)fractionnaire
2.1.2 Fonction de covariance Γ et d’autocovariance γ
La propriété d’auto-similarité permet d’écrire :
Γ(t, s) = Cov(BH,C(t), BH,C(s)) =C2
2(|t|2H + |s|2H − |t− s|2H)
γ(t, s) = Cov(BH,C(t+ 1)−BH,C(t), BH,C(s+ 1)−BH,C(s))
=C2
2(|t− s− 1|2H − 2|t− s|2H + |t− s+ 1|2H)
où Γ(t, s) et γ(t, s) sont respectivement les fonctions de covariance et d’autocovariance dumBf.
Lorsque H = 12 alors γ(k) = 0, ∀|k| ≥ 1 et les accroissements sont donc indépendants.
Le processus des accroissements, appelé bruit gaussien fractionnaire, est une série chro-nologique stationnaire de densité spectrale f(λ) = f(λ,H,C) = 2cλ(1 − cosλ)
∑
j∈Z |2πj +λ|−1−2H , ∀λ ∈ [0, 2H] avec cλ = C2
2π sin(πH)Γ(2H + 1).
2.1.3 Dimension de Hausdorff
La dimension de Hausdorff 1 d’un mBf de paramètre H ∈]0, 1[ est presque sûrement égaleà 2−H 2, ce qui implique que :
– Si H < 12 alors les trajectoires sont plus irrégulières que le mouvement Brownien. Il y a
phénomène d’anti-persistance, ainsi par exemple en finance une période de hausse auratendance à être suivie par une période baissière et vice versa ;
– Si H > 12 alors les trajectoires sont plus régulières que le mouvement Brownien. Il y
a phénomène de persistance, ainsi par exemple en finance une période de hausse auratendance à se poursuivre.
La figure 2.1 présente les représentations graphiques d’un mouvement Brownien fraction-naire pour différentes valeurs de H, on observe ainsi le caractère irrégulier pour H < 1
2 et lecaractère régulier pour H > 1
2 .
2.2 Simulation du mouvement Brownien fractionnaire
Dans ce qui suit nous présentons trois méthodes de simulation d’un mouvement Brownienfractionnaire BH,C standard avec C = 1 de taille N aux instants i
N , i = 0, · · · , N − 1. Une
trajectoire générale se calculera comme C(
N∆n
)HBH
(iN
).
Nous avons utilisé dans ce mémoire le paquet appelé "dvfBm" et développé sous R parJ.F. Coeurjolly ([Coe00]).
1. Le lecteur intéressé pourra consulter la thèse de Frostman, cf. [Fro35].2. Plus généralement, la dimension de Hausdorff d’une combinaison linéaire de mBf indépendants est égale
à 2 - la valeur du plus petit des paramètres de Hurst ([Thä09]). Notons d’ailleurs qu’en général la combinaisonde mBf indépendants n’est en général pas un mBf ([Rab02]) ; dans le cas contraire le paramètre de Hurst
vaut
ln
22Hxσ2x
σ2y
+22Hy
σ2x
σ2y
+1
2 ln 2pour la combinaison linéaire de X et Y deux mBf de paramètre de Hurst Hx et Hy
respectivement, σx et σy étant les variances respectives.
20
2.2 Simulation du mouvement Brownien fractionnaire
0 200 400 600 800 1000
−1.
5−
1.0
−0.
50.
00.
51.
01.
5
H=0.15
0 200 400 600 800 1000
−0.
50.
00.
51.
01.
5
H=0.35
0 200 400 600 800 1000
0.0
0.5
1.0
1.5
H=0.50
0 200 400 600 800 1000
0.0
0.5
1.0
1.5
H=0.65
0 200 400 600 800 1000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
H=0.85
0 200 400 600 800 10000.
00.
20.
40.
60.
81.
01.
21.
4
H=0.95
Figure 2.1 – Exemples de mouvements Browniens fractionnaires.
2.2.1 Représentation stochastique du mBf de Mandelbrot et Van Ness
Nous présentons cette méthode de simulation, bien que peu performante, car elle a le mérited’être naturelle et d’être la première méthode mise au point.
L’idée est de discrétiser l’intégrale 2.1 comme suit :
BH
(t
n
)
= KH
0∑
k=−aN
[
(t− k)H− 12 − (−k)H− 1
2
]
B1(k) +
t∑
k=0
(t− k)H− 12B2(k)
avec KH =V
12
H
Γ(H+ 12)
1NH et où B1 (respectivement B2) est un vecteur de aN +1 (respectivement
N) variables aléatoires gaussiennes standards et indépendantes de B2.
Cette définition dépend de la valeur de aN qui doit être choisie comme un compromis entreprécision et le nombre de points souhaités.
2.2.2 Méthode de Cholesky
Nous présentons une méthode exacte en théorie mais relativement coûteuse en temps carle nombre d’opérations nécessaires est en O(n3) et souffre d’un problème de conditionnementde matrice.
21
Chapitre 2 : Introduction au mouvement Brownien (multi)fractionnaire
Cette méthode consiste à calculer une matrice L de Cholesky à partir de la matrice Γ decovariance du mBf discrétisé aux instants i
N pour i = 0, · · · , N−1 et plus précisément à partirde la matrice Γ′ déduite de Γ en supprimant la première ligne et la première colonne. Une foiscette matrice L obtenue on la multiplie par un vecteur Z composé de N−1 variables aléatoiresindépendantes de loi normale centrée réduite ainsi on aura LZ un vecteur gaussien centré etE[(LZ)(LZ)′] = Γ′. La trajectoire recherchée s’écrit finalement (0, LZ)′.
2.2.3 Méthode de Wood et Chan
Cette méthode, conseillée par J.F. Coeurjolly ([Coe00]), a l’avantage d’être exacte, d’avoirune complexité en N log (N) et est par conséquent très rapide.
L’algorithme nécessite quatre grandes étapes que nous décrivons ci-dessous :
1. Calcul du M-vecteur V =(r(0), r(1), · · · , r
(M2 − 1
), r(M2
), · · · , r(2), r(1)
)où r(k) =
12n2H
[|k + 1|2H − 2k2H + |k − 1|2H
]est la fonction d’autocovariance du bruit gaussien
fractionnaire et M est une puissance de 2 supérieure à 2(n− 1) ;
2. On calcule la transformée de Fourier rapide de V pour obtenir le vecteurW = (w1, · · · , wn).Tous les wi doivent être positifs, si tel n’est pas le cas alors on choisit une nouvelle valeurde M jusqu’à ce que cette condition soit satisfaite ;
3. On simule un vecteur M-aléatoire complexe Z = ξ + iη avec ξ et η deux M-vecteursgaussiens indépendants de variance 1√
2; puis nous calculons le vecteur U tel que Uk =√
wkZk, k = 1, · · · ,M ;
4. On calcule Y la transformée inverse de Fourier du vecteur U et on définit Xk = Xk−1 +ℜ(Yk) quel que soit k = 1, · · · , n avec X0 = 0 ou ℜ désigne la partie réelle d’un nombrecomplexe.
Le vecteur X ainsi obtenu est une trajectoire d’un mouvement Brownien fractionnaire deparamètre de Hurst H.
2.3 Estimation de H pour un échantillon d’un mBf non standard
Nous considérons disposer d’une trajectoire BH,C de taille N d’un mouvement Brownienfractionnaire, X désignera le vecteur des accroissements et C, le coefficient d’échelle, serasupposée inconnu.
Il existe un grand nombre de méthodes pour résoudre ce problème, toutes ne sont pas trèsefficaces. Nous nous contentons d’en présenter deux.
J.F. Coeurjolly consacre une partie de sa thèse ([Coe00]) sur des méthodes basées sur desvariations discrètes. Ces méthodes sont très efficaces et s’appliquent aussi bien pour des mBfstandards que non standards ; néanmoins nous avons décidé de ne pas les présenter afin denous concentrer sur l’estimation dans le cas d’EDS fractionnaires.
2.3.1 Méthode d’analyse des fluctuations redressées
Il existe plusieurs versions de la méthode 3, en voici une avec Y la série étudiée :– On intégre la série : calcul de Yt =
∑ti=1(yi− < yi >) ;
– Yt est découpée en plusieurs trajectoires de longueur même longueur L ;
3. Detrended fluctuation analysis en anglais.
22
2.4 Mouvement Brownien multifractionnaire
– Sur chaque morceau de trajectoires on fait un ajustement par régression linéaire puis oncalcule le carré du résidu ;
– Sur un graphe log-log on représente la somme des résidus en fonction de L et on calculeune équation linéaire.
Le coefficient de la régression linéaire α est lié au paramètre de Hurst H :
où α =
H si Y est le processus des accroissements issus de Y ;
H + 1 si Y est un mBf.
Cette méthode, peu efficace, fut une des premières méthodes mises au point.
2.3.2 Maximum de vraisemblance : estimateur de Whittle
Une approche naturelle consiste à estimer les paramètres à l’aide de la méthode du maxi-mum de vraisemblance. Malheureusement, comme indiqué dans [Coe00], cette méthode souffrede nombreux défauts :
– Coûteuse en temps ;– Matrices mal conditionnées ;– Biaisée pour de petits échantillons ;– Sensible à la présence d’un bruit blanc additif.
2.4 Mouvement Brownien multifractionnaire
Le paramètre de Hurst d’un mBf est une constante H ∈ (0, 1] identique tout au long dela trajectoire ce qui semble assez restrictif. En effet on peut s’attendre à ce que ce paramètreévolue, on parle alors de fonction 4 de Hurst notée H(t).
2.4.1 Définition
Une façon de voir un mouvement Brownien multifractionnaire, que l’on désignera par lasuite par l’abréviation mBm, est de le considérer localement comme un mBf, c’est d’ailleurs enfaisant ce genre de considérations que l’on estimera la fonction H(t). Une des deux construc-tions d’origine est d’ailleurs basée sur une approche moyenne mobile.
Nous reprenons la définition selon [Coe00] : le mBm est un processus gaussien de carréintégrable défini comme étant l’unique processus gaussien centré et nul à l’origine et de fonctionde covariance :
E[W (t)W (s)] =C(t)C(s)
2g(H(t), H(s))
|t|H(t)+H(s) + |s|H(t)−H(s) − |t− s|H(t)+H(s)
avec s, t ∈ [0, 1] où
g(H(t), H(s)) = K(H(t) +H(s))−1 K(2H(t))K(2H(s))12
etK(u) = Γ(u+ 1) + sin(
uπ
2)/π.
Le mBm, ou plutôt ses accroissements ne sont stationnaires et auto-similaires que de ma-nière asymptotiquement locale .
4. Coeurjolly ([Coe00]) considère des fonctions höldériennes mais il existe des versions du mBm plus géné-rales.
23
Chapitre 2 : Introduction au mouvement Brownien (multi)fractionnaire
2.4.2 Simulation
Nous présentons deux méthodes assez faciles à mettre en oeuvre.
2.4.2.1 Méthode de Cholesky
Cette méthode coûteuse en temps mais la seule exacte en théorie procède en trois étapes :
1. Soit GH la matrice de covariance d’un mBm standard et G′
H , matrice symétrique définiepositive, la matrice GH de laquelle ont été supprimées la première ligne et la premièrecolonne ;
2. Décomposition de Cholesky : GH = LL′ ;
3. Calcul de W = LZ avec Z un vecteur de variables aléatoires identiquement distribuéeset indépendantes de loi normale centrée réduite.
Le vecteur (0, W ) ainsi obtenu est une simulation d’un mBm.
2.4.2.2 Approche moyenne mobile
Cette approche est due à Peltier et Lévy-Véhel (cf. [PLV95]). L’idée est de générer autantde mBf, par exemple via la méthode Chood et Chan, que de points de discrétisation quidéfinissent la trajectoire du mBm, notons N ce nombre. On aura ainsi
W
(i
N
)
= BH( iN )
(i
N
)
∀i = 1, · · · , N
où les BH( iN ) sont des mBf de paramètre de Hurst H
(iN
), W est le mBm de fonction de
Hurst H que l’on cherche à simuler.
Un exemple de ces trajectoires est donné en figure 2.2.
24
2.4 Mouvement Brownien multifractionnaire
0 200 400 600 800 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
Fonction d’Hurst linéaire
0 200 400 600 800 1000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fonction d’Hurst sinosoïdale
0 200 400 600 800 1000
−1.
5−
1.0
−0.
50.
00.
51.
0
mbm ave fonction d’Hurst Linéaire
0 200 400 600 800 1000
−2
−1
01
2
mbm ave fonction d’Hurst sinosoïdale
Figure 2.2 – Exemples de mouvements Browniens multifractionnaires.
25
Chapitre 3
EDS dirigées par un mouvementBrownien fractionnaire
Sommaire
3.1 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Schéma numérique de Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Estimation du paramètre de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec mBf . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck non linéaire avec mBf . . . . . . . 40
3.6 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Modèle de Black & Scholes fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . 44
Nous abordons quelques notions essentielles, à savoir la linéarisation de certainesEDS menant à leur résolution théorique puis donnons des schémas numériques,
utiles lorsque l’obtention de solutions théoriques n’est pas possible.
Après avoir exposé plusieurs méthodes d’estimation de la fonction de Hurst,nous présentons quelques exemples dont le processus d’Ornstein-Uhlenbeck
fractionnaire et le modèle de Black & Scholes fractionnaire. Le chapitre 6 étantdédié au modèle de Black & Scholes fractionnaire, nous ne nous intéressons iciqu’à l’estimation des paramètres.
3.1 Linéarisation
Soit l’équation différentielle stochastique suivante
dYt = f(Yt, t)dt+ g(Yt, t)dWHt (3.1)
avec WHt un mouvement Brownien fractionnaire standard.
3.1.1 Intégration stochastique par rapport au mBf
On peut également présenter cette EDS sous forme intégrale :
Yt = Ys +
∫ t
sf(Yu, u)du+
∫ t
sg(Yu, u)dW
Hu ,
27
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
cependant nous utiliserons plutôt la forme précédente par simple goût personnel.
La forme intégrale fait apparaître la présence de deux intégrales dont la première que noussavons calculer (théorie classique de l’intégrale de Lebesgue), par contre concernant la secondeintégrale, de nature stochastique, il est nécessaire de mettre en place une nouvelle théorie pourêtre en mesure de la calculer.
De nombreuses théories ont vu le jour mais elles présentent le défaut de n’être valable quesous certaines restrictions vis-à-vis de la valeur de H. Par exemple la construction selon Linest trop complexe pour la modélisation financière, la théorie de Hu, Oksendal basée sur leproduit de Wick est limitée au cas où H > 1
2 ... Sauf erreur de notre part seules deux théoriesne souffrant pas de ce défaut ont été mises au point, nous n’évoquerons que celle de [Ben03]écrite en 2002, date assez récente, car la suite de ce mémoire est basée dessus ; aussi nous nepréciserons plus selon quelle théorie nous nous basons.
La théorie est compliquée et sa présentation dépasserait largement le cadre de ce mémoire.Seuls quelques résultats pratiques et facilement utilisables seront présentés dans ce qui suit,nous ne pensons pas que cela nuise à la compréhension de ce document.
3.1.2 Formule d’Itô
Sous des conditions de régularité détaillées dans [Ben03] et pour 0 < H < 1 on a
F (b,WHb )−F (a,WH
a ) =
∫ b
a
∂F
∂t(t,WH
t )dt+
∫ b
a
∂F
∂x(t,WH
t )dBHt +H
∫ b
at2H−1∂
2F
∂x2(t,WH
t )dt.
3.1.3 Formule d’Itô multi-fractionnaire
Sous des conditions de régularité détaillées dans [LLV11] et pour la fonction de Hurst h ona :
F (b,W(h)b )− F (a,W (h)
a ) =
∫ b
a
∂F
∂t(t,W
(h)t )dt+
∫ b
a
∂F
∂x(t,W
(h)t )dB
(h)t
+1
2
∫ b
a(2t2h(t)−1(h′(t)t ln t+ h(t)))
∂2F
∂x2(t,W
(H)t )dt.
3.1.4 Linéarisation exacte d’EDS unidimensionnelle
Tout comme dans le cadre des EDS classiques 1 il est possible de linéariser certaines EDS,nous allons procéder de même ici. Nous suivons la présentation de [UD07] qui s’appuie sur laconstruction de l’intégrale selon [Ben03] pour l’établissement des règles de linéarisation et laconstruction des solutions théoriques.
Soit le théorême suivant :
Théorème 1 L’EDS
dx = f(x, t)dt+ g(x, t)dWH(t) (3.2)
1. Cf. le chapitre A en annexe qui constitue un rappel sur les EDS standards.
28
3.1 Linéarisation
avec x(0) = x0, t ≥ 0, H ∈ (0, 1) et dWH(t) l’incrément du mBf WH(t) où f et g sontsupposées assez régulières, peut s’écrire sous la forme linéaire suivante
dy = (a(t)y + b(t)dt)dt+ (c(t)y + e(t))dWH(t) (3.3)
via la transformation inverse y = h(x, t) avec sa dérivée partielle par rapport à x non nulle siet seulement si l’on a, soit
∂
∂x(g(x, t)L) = 0 (3.4)
soit
∂
∂x
(∂∂x(g(x, t))
∂∂x(g(x, t)L)
∂∂x(g(x, t)L)
)
= 0 (3.5)
avec L = ∂∂x
(1g
)
+ ∂∂x
(fg −Ht2H−1 ∂g
∂x
)
.
Pour résoudre (3.2) il suffit alors de résoudre (3.3).
Précisons les principales étapes de la démarche de linéarisation. Il faut distinguer deux casselon que c(t) est nulle ou pas :
– Si c(t) = 0 alors on aura
h(x, t) =
(∫
α(t)dt
)−1(∫ 1
g(x, t)dx
)
(3.6)
la condition (3.4) sera alors satisfaite. L’EDS linéaire (3.3) s’écrit alors :
dy = β(t)e(t)dt+ e(t)dWH ; (3.7)
où e(t) =(∫α(t)dt
)−1et α et β sont définies en les identifiant dans l’égalité suivante
α(t)y + β(t) =
∫∂
∂t
(1
g
)
+f
g−Ht2H−1 dg
dx; (3.8)
– Si c(t) <> 0 alors on aura
h(x, t) = e−M(t)
∫
1gx,t)
dx
où M(t) =∂∂x
(g(x,t)) ∂∂x
(g(x,t)L)∂∂x
(g(x,t)L); la condition 3.5 sera alors satisfaite.
Notons que la démonstration est basée sur la formule d’Itô ci-dessus, le lecteur pourra sereporter à l’article de référence pour la démonstration.
Une fois obtenue la forme linéaire il est nécessaire de la résoudre. Pour ce faire nous utilisonsla technique du facteur intégrant :
Définition 5 La fonction F = F (t,WH) vérifiant d(Fy) = D1(t,WH)dt + D2(t,W
H)dWH
est un facteur intégrant pour des EDS linéaires unidimensionnelles.
Avec les notations de l’EDS (3.3) on peut écrire
F (t,WH) = exp
(
−∫ t
c(s)dWH(s) +H
∫ t
s2H−1c2(s)ds−∫ t
a(s)ds
)
(3.9)
29
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
ce qui conduit à la solution de l’EDS linéaire
y(t) =1
F
(∫ t
F (s)b(s)ds− 2H
∫ s
s2H−1F (s)c(s)e(s)ds+
∫ t
F (s)e(s)dWH(s) + y0
)
.
(3.10)
Nous présentons plusieurs exemples concrets plus bas, cf les sections 3.4 et suivantes.
3.2 Schéma numérique de Milstein
Lorsqu’il n’est pas possible d’obtenir une solution théorique à une EDS il est alors né-cessaire de rechercher un schéma numérique pour l’approcher. Nous donnons ci-dessous lareprésentation du schéma de Mistein dans le cadre fractionnaire, due à [UD07], valable quelque soit le paramètre de Hurst :
χ(ti+1) = χ(ti) + f(χ(ti), ti)∆t (3.11)
+g(χ(ti), ti)∆WHi +
1
2g(χ(ti), ti)g
′(χ(ti), ti)[(∆WHi )2 − (t2Hi+1 − t2Hi )] +Ri.
Le calcul des deux intégrales stochastiques suivantes a été nécessaire :–∫ tt0WH
s dWhs = 1
2 [(WHt )2 − (WH
t0 )2]− 1
2 [t2H − t2H0 ] ;
–∫ tt0
∫ s1t0
= 12 [(W
Ht )2 − (WH
t0 )2]− 1
2 [t2H − t2H0 ]−WH
t0 (WHt −WH
t0 ).
Ci-dessous nous en donnons une version modifiée où l’approximation supplémentaire sui-vante est faite : t2Hi+1 = (ti +∆t)2H ≈ t2Hi + 2Ht2H−1
i ∆t :
χ(ti+1) = χ(ti) + (f(χ(ti), ti)− g(χ(ti), ti)g′(χ(ti), ti)Ht
2H−1i )∆t (3.12)
+g(χ(ti), ti)∆WHi +
1
2g(χ(ti), ti)g
′(χ(ti), ti)(∆WHi )2 +R′
i
où Ri et R′i représentent la différence entre la solution théorique et son approximation.
3.3 Estimation du paramètre de Hurst
L’estimation du paramètre de Hurst d’un processus X suivant une EDS est un problèmerelativement récent dans la littérature et a connu plusieurs développements très récemment.
Nous présentons uniquement deux méthodes, la première car elle est simple et très efficaceet la seconde car elle est plus générale.
3.3.1 Variations quadratiques du premier et second ordre
Ces deux estimateurs valables pour H > 12 sont dus à [KM10] 2.
Soit Xt suivant l’équation différentielle stochastique :
Xt = ξ +
∫ t
0f(Xs)ds+
∫ t
0g(Xs)dB
Hs , t ∈ [0, T ], T > 0.
2. We would like to thank one of the author, as it happens D. Melichov, for his kindness and his help.
30
3.3 Estimation du paramètre de Hurst
Soit πn = 0 = tn0 , · · · , tnNn= T > 0 une séquence de subdivisions de l’intervalle [0, T ] sur
lequel nous possédons ou nous sommes en mesure de calculer des valeurs de 3 X, avec Nn uneséquence croissante d’entiers.
Notons ∆tnk = tnk − tnk−1 le kième pas de la discrétisation, mn et pn seront définis commeétant le pas maximal et minimal respectivement. Lorsque le pas est constant quel que soit nalors mn = pn et la séquence de subdivisions est dite régulière.
On définit les estimateurs de variations quadratiques du premier et du second ordre commesuit :
V (1)πn
=
Nn∑
k=1
(∆Xnk )
2
(∆tnk)2H−1
où ∆Xnk = X(tnk)−X(tnk−1)
et
V (2)πn
= 2
Nn−1∑
k=1
∆tnk+1(∆(2)IRX
nk )
2
(∆tnk)12+H(∆tnk+1)
12+H(∆tnk +∆tnk+1)
où ∆(IR)(2)Xnk = ∆tnkX(tnk) + ∆tnk+1X(tnk−1)− (∆tnk +∆tnk+1)X(tnk).
Lorsque (πn)n∈N est régulière alors ces expressions se simplifient en
V (1)πn
(X, 2) = N2H−1n V
(1)Nn
(X, 2)
et
V (2)πn
(X, 2) = N2H−1n V
(2)Nn
(X, 2),
où
V(1)Nn
(X, 2) =
Nn∑
k=1
(∆Xnk )
2, V(2)Nn
(X, 2) =
Nn∑
k=1
(∆(2)Xnk )
2
et enfin
∆(2)Xnk = X(tnk)− 2X(tnk) +X(tnk−1).
Introduisons de nouvelles quantités : soient i((n)) et j((n)) deux séquences d’entiers tellesque la subdivision générée par la première séquence soit incluse dans la subdivision généréepar la seconde séquence ; i(n) < j(n) quel que soit n entier.
Nous définissons alors l’estimateur de variations quadratiques du premier ordre de Hlorsque n tend vers l’infini comme la quantité suivante :
H(1)n =
1
2− 1
2lnmin
pjn
lnV
(1)j(n)(X, 2)
V(1)j(n)(X, 2)
, V(1)i(n)(X, 2) =
(1)∑
i(n)
(X, 2) = (∆Xnk )
2
où mi(n) = max1≤k≤i(n)∆tnk , pi(n) = min1≤k≤i(n)∆t
nk sous certaines conditions : f est une
fonction Lipschitz continue, g ∈ C1+α avec 0 < α < 1 ; limn→+∞ | ln mi(n)
pj(n)| = +∞ et pj(n) 6=
mi(n).
3. Pour être plus précis, la méthode est d’abord définie pour les solutions théoriques et s’étend au cas d’unschéma numérique lorsqu’il n’est pas possible d’obtenir une solution théorique.
31
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
Lorsque les subdivisions sont régulières alors les conditions de convergence asymptotique
de H(1)n vers H sont plus faibles : soient i(n) = Nn et j(n) = N2n, si 1
ln(N2nNn
)est bornée alors
H(1)n =
1
2− 1
2 ln N2nNn
lnV
(1)N2n
(X, 2)
V(1)Nn
(X, 2), limn→0
H(1)n = H.
L’estimateur du second ordre est défini par la quantité suivante, sous les mêmes conditionsque pour l’estimateur du premier ordre :
H(2)n =
1
2− 1
2 ln N2nNn
lnV
(2)N2n
(X, 2)
V(2)Nn
(X, 2).
Ce dernier estimateur est plus précis pour des valeurs élevées de H, cela dit les écarts-types ne présentent pas de grandes différences. Ces deux estimateurs sont de plus en plusperformants à mesure que le nombre d’observations croît.
La syntaxe est donnée en annexe page XIII.
3.3.2 Estimateur IR
4
Soit le processus X défini sur [0, 1] aux points tnk = kn , k = 0, 1, · · · , n, l’estimateur HIR de
H s’écrit à partir du ratio d’accroissements suivant de la fonction réelle f :
Rp,n(f) :=1
n− p
n−p−1∑
k=0
∣∣∆p,n
k f +∆p,nk+1f
∣∣
|∆p,nk f |+ |∆p,n
k+1f |, (3.13)
avec pour convention 00 := 1 où ∆p,n
j f correspond à l’increment d’ordre p de f aux points dediscrétisation et est défini comme suit :
∆1,nj f := f
(j + 1
n
)− f
( j
n
),
∆p,nj f := ∆1,n
j ∆p−1,nj f =
p∑
i=0
(−1)p−i
(p
i
)
f(j + i
n
). (3.14)
Lorsque n tend vers l’infini alors Rp,n tend asymptotiquement vers Λp(H) pour p = 1, 2avec
Λp(H) := λ(ρp(H)), (3.15)
λ(r) :=1
πarccos(−r) + 1
π
√
1 + r
1− rlog
(2
1 + r
)
, (3.16)
ρp(H) := corr(∆p
0BH ,∆p1BH
), (3.17)
4. Nous conseillons au lecteur intéressé de consulter le site Internet du SAMOShttp://samm.univ-paris1.fr/Sofwares-Logiciels dont fait partie, J.M. Bardet, l’un des auteurs del’article [BS11].
32
3.3 Estimation du paramètre de Hurst
et où ∆1jBH = BH(j + 1) − BH(j), ∆2
jBH = BH(j + 2) − 2BH(j + 1) − BH(j) sont lesaccroissements du fbm.
La fonction λ(r) est monotone croissante sur [−1, 1]; λ(1) = 1, λ(−1) = 0. Après calculon obtient
ρ1(H) = 22H−1 − 1, ρ2(H) =−32H + 22H+2 − 7
8− 22H+1(3.18)
qui sont des fonctions croissantes. Finalement on peut réécrire Λp(H) sous la forme suivante
Λp(H) = λ(ρp(H))
pour p = 1, 2.
L’estimateur IR de H, présenté dans [BS11], est basé sur la statistique R2,n et se calculecomme suit 5 :
– Calcul de R2,n ;– On cherche H tel que Λp(H) < R2,n.
Il est possible d’utiliser une approximation dans le cadre gaussien pour p = 2 :
HIR =1
0.1468
(
1
n− 2
n−2∑
k=1
|∆(2)k X +∆
(2)k+1X|
|∆(2)k X|+ |∆(2)
k+1X|− 0.5174
)
(3.19)
où ∆(2)k = X(tnk+1)− 2X(tnk) +X(tnk−1).
Remarque 1 Sur de longues trajectoires cet estimateur a tendance à sous-estimer H lorsquecelui-ci est inférieur à 3
4 et au contraire à le surestimer sinon, ceci est probablement dû àl’approximation dans les constantes 0.1468 et 0.2174, il serait alors préférable d’utiliser laformule plus générale mais plus coûteuse en temps de calculs.
Dans le tableau 3.1 nous donnons les résultats de l’estimation moyenne de H réalisée sur100 processus d’Ornstein-Uhelnbeck fractionnaires simulés (cf page 35 avec T = 50,∆t = 1
250)de paramètres θ = 0.8, µ = 0.2, σ = 0.06, y0 = 0.6.
H Estimateur de H Différence Ecart-type
0,55 0,533 0,0172 0,020266
0,65 0,636 0,0136 0,021478
0,75 0,743 0,0067 0,021488
0,85 0,860 0,0101 0,019195
0,95 0,978 0,0278 0,020619
Table 3.1 – Estimation de H avec l’estimateur IR.
Avant de clore cette partie réservée à l’estimateur IR indiquons qu’une nouvelle méthoded’estimation de H basée sur l’estimateur IR a été proposée dans [FGR11], elle a l’avantaged’être plus rapide tout en étant aussi robuste.
5. On se reportera à la syntaxe donnée en annexe D.1.0.1.
33
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
H Estimateur de H Différence Ecart-type
0,55 0,551 0,001 0,0075
0,65 0,649 0,001 0,0067
0,75 0,745 0,005 0,0060
0,85 0,838 0,012 0,0065
0,95 0,926 0,024 0,0088
Table 3.2 – Estimation de H avec l’estimateur quadratique du 1er ordre.
H Estimateur de H Différence Ecart-type
0,55 0,552 0,002 0,0126
0,65 0,651 0,001 0,0132
0,75 0,749 0,001 0,0123
0,85 0,851 0,001 0,0126
0,95 0,949 0,001 0,0123
Table 3.3 – Estimation de H avec l’estimateur quadratique du 2nd ordre.
3.3.3 Comparatif
Nous reprenons les conclusions de [KMnt] en nous restreignant aux estimateurs présentésici. La préconisation des auteurs est que si la trajectoire est suffisamment longue ou que H estprésumée élevée alors il est préférable d’utiliser la version quadratique du second ordre.
3.3.4 Cas du mouvement Brownien multifractionnaire
Nous utilisons une version locale de l’estimateur IR due à [BFG10] qui consiste à construireun estimateur de H(t) à partir de l’estimateur IR obtenu sur des intervalles réduits et centréspar rapport à t, la largeur de l’intervalle sera prise comme 2N1−γ + 1 avec γ ∈ (0, 1).
Remarque 2 Si γ est petit alors la largeur des intervalles sera importante et l’estimationmanquera de diversité. Sur la figure 3.4 cela se traduit par la courbe en rouge qui est plusplate pour γ = 0.2 que γ = 0.3 ; au contraire si γ est grand alors la largeur des intervallessera faible, la fonction obtenue aura un comportement erratique. Dans [BFG10] les auteurschoisissent γ = 0.3.
Là encore nous utilisons le fait que le mBm peut être vu localement comme un mBf,aussi apparaît-il nécessaire de disposer de bons estimateurs de H pour les mBf et de qualitécorrecte lorsque les tailles des sous-trajectoires ne sont pas élevées. Il s’ensuit que la qualitéde l’estimation au "bord" de la trajectoire du mBm sera de moindre qualité.
Cette technique d’estimation est aussi bien valable pour un mBm pur que pour une équationdifférentielle stochastique dirigée par un mBm.
Nous présentons en figures 3.1 et 3.2 le résultat de l’estimation de H(t) = 0.1 + 0.8t pourun mBm et pour un processus d’Ornstein-Uhlenbeck multifractionnaire respectivement lorsqueH(t) est linéaire.
En moyenne l’ajustement de la fonction estimée est proche de la véritable fonction. Néan-moins cela ne doit pas cacher le fait que pour une trajectoire donnée les choses se présententmoins joliment comme on peut le constater sur l’image 3.3. Il devient alors nécessaire de régu-lariser H(t) en la modélisant. Toutefois il faut rester prudent dans cette phase de modélisation
34
3.4 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec mBf
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
H(t)=0.1+0.8t
H
Est
imat
eur
de H
Estimateur IRPremière diagonale
Figure 3.1 – Mouvement Brownien multifractionnaire avec H(t) = 0.1 + 0.8t.
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Ornstein−Uhlenbeck multifractionnaire avec H(t)=0.1+0.8t
H
Est
imat
eur
de H
Estimateur IRPremière diagonale
Figure 3.2 – Processus d’Ornstein-Uhlenbeck multifractionnaire avec H(t) = 0.1 + 0.8t.
en évitant une modélisation trop complexe ; en effet d’après la figure 3.3 on pourrait penser àune approche stochastique alors que la fonction h est déterministe, dans [BHK10] une approchede mouvement Brownien multifractionnaire parcimonieux est considérée.
3.4 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec mBf
Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, utilisé pour modéliser des taux, dirigé par un mouve-ment Brownien fractionnaire s’écrit sous la forme suivante
dx = θ(t)(µ(t)(t)− x)dt+ σ(t)dWH(t).
35
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Ornstein−Uhlenbeck multifractionnaire avec H(t)=0.1+0.8t
H
Est
imat
eur
de H
Estimateur IR
Première diagonale
Figure 3.3 – Cas particulier d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck multifractionnaire avecH(t) = 0.1 + 0.8t.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Index
h sinusoïdale
sigma=0.2
sigma=0.3
Figure 3.4 – Impact de σ sur l’estimation de la fonction de Hurst dans le cas d’une fonctionde Hurst sinusoïdale.
36
3.4 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec mBf
3.4.1 Solution théorique
Cette EDS est déjà sous forme linéaire, il ne nous reste donc qu’à en déterminer sa solution
en utilisant la technique du facteur intégrant (3.9) qui s’écrit ici somme suit : F (t) = e∫ t θ(s)ds.
La solution vient en utilisant 3.10 :
y(t) = e−∫ t θ(s)ds
(∫ t
e∫
θ(s)dsθ(s)µ(s)ds+
∫ t
e∫
θ(s)dsσ(s)dWH(s) + y0
)
.
Dans le cas particulier où les coefficients sont constants, l’équation précédente s’écrity(t) = y0e
−θt+µ(1−e−θt)+σ∫ t0 e
θ(s−t)dWH(s). Pour obtenir une trajectoire de cette solutionexacte nous procédons à une évaluation numérique de l’intégrale. Supposons que nous décou-pions l’intervalle [0, T ] en petits intervalles de longueur h et notons Ip =
∫ ph0 eθ(s−ph)dWH(s)
avec ph ∈ [0, T ] et p entier, alors on a la relation de récurrence suivante Ip = e−hθ(Ip−1 +∆WH
(p−1)h). Pour ce faire on fait le même type d’approximation qu’en A.4.2.1 ce qui donne∫ hp(p−1)h e
θ(s−hp)dWH(s) = e−θh∆WH .
0 1 2 3 4
−1.
00.
00.
51.
01.
52.
0
Ornstein−Uhlenbeck H= 0.75
y0=2
y0=−1
y0=1
0 1 2 3 4
−1.
00.
00.
51.
01.
52.
0
Ornstein−Uhlenbeck H= 0.5
y0=2
y0=−1
y0=1
0 1 2 3 4
−1.
00.
00.
51.
01.
52.
0
Ornstein−Uhlenbeck H= 0.25
y0=2
y0=−1
y0=1
Figure 3.5 – Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire.
Sur la figure 3.5 nous présentons l’influence du paramètre de Hurst et du point de départsur plusieurs trajectoires. Nous avons utilisé un schéma de Milstein que l’on peut écrire :
Xj+1 = Xj + θ(µ−Xj)∆t+ σ∆WHj . (3.20)
37
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
3.4.2 Estimation des paramètres
Nous allons utiliser la méthode d’inférence indirecte 6 présentée en annexe, chapitre B, aveccomme fonction critère la fonction de contraste également présentée en annexe. Celle-ci s’écritdans le cas présent, en utilisant le schéma 3.20, comme suit :
T∑
i=1
1
2lnσ2 +
yi − yi−1 − hθ(µ− yi−1)
2hσ2. (3.21)
Il faut à présent chercher la valeur des paramètres qui annulent la dérivée de la fonctionde contraste et vérifier que celles-ci constituent un minimum global. Notons que lorsque lescalculs sont trop difficiles voire impossibles une méthode numérique pourra être entreprise sousréserve de s’assurer de disposer d’une bonne procédure d’optimisation 7.
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
01
23
4
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre theta
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre mu
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre sigma
H
Figure 3.6 – Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire (θ = 0.8, µ = 0.1, σ = 0.06,∆t = 0.2) avecl’hypothèse H = 0.5.
Nous ne détaillons pas les calculs et donnons simplement les grandes étapes : un esti-
6. Dans l’étape 2 de la méthode nous avons considéré une seule trajectoire, cf page VI.7. En effet, nous avons constaté sous R des fonctions d’optimisation plus efficaces que d’autres. Eventuel-
lement il est possible de comparer la valeur de la fonction objective pour différentes méthodes et choisir lameilleure mais cela a l’inconvénient de rendre les calculs plus lents.
38
3.4 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec mBf
mateur de µ est donné par µ =yT−y1+hθ
∑T−1i=1 yi
hθT , un estimateur de θ est donné par θ =
− µ(yT−y1)+∑T
i=2 y2i−1−yiyi−1
h(2µ∑T
i=2 yi−1−µ2T−∑Ti=2 y
2i−1)
, enfin un estimateur de σ2 est donné par σ2 =∑T
i=1(yi−yi−1−hθ(µ−yi−1))2
hT .
En injectant µ dans θ il vient : θ =−(yT−y1)
∑Ti=2 yi−1−T (
∑Ti=2)y
2i−1yiyi−1
h(∑T
i=2 yi−1−T∑T
i=2 y2i−1)
.
Sur la figure 3.6 sont présentés les résultats des estimations des paramètres θ, µ, σ enfaisant l’hypothèse que H = 0.5 pour des données simulées avec différentes valeurs de H =0.1, 0.2, · · · , 0.9. Considérer cette hypothèse permet de mesurer l’erreur qui est faite lorsquel’on décide de ne pas considérer le bruit comme étant un mouvement Brownien fractionnaire.
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre theta
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre mu
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.01
0.03
0.05
0.07
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre sigma
H
Figure 3.7 – Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire (θ = 0.8, µ = 0.1, σ = 0.06,∆t = 0.2) avec Hsupposée connue.
Considérer H = 0.5 conduit donc à de grosses erreurs d’estimation, ainsi ce qui est faithabituellement, c’est-à-dire ignorer le caractère fractal des données, est entaché d’erreurs. Noussupposons maintenant connaître la vraie valeur de H et estimons les paramètres. Ce faisantnous étudions la performance de la méthode d’inférence indirecte. Les résultats sont présentéssur la figure 3.7. Les résultats sont de bonne qualité, toutefois note-t-on une légère perte dequalité pour H = 0.9 et un écart-type plus élevé.
A présent nous estimons les valeurs de H avec une des méthodes présentées dans le chapitre
39
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
01
23
4
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre theta
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.00
0.10
0.20
0.30
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre mu
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre sigma
H
Figure 3.8 – Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire (θ = 0.8, µ = 0.1, σ = 0.06,∆t = 0.2) avec Hestimée.
précédent ; plus précisément nous utiliserons la méthode IR. Pour des valeurs de H > 0.5 ilest conseillé de choisir plutôt une méthode basée sur des variations quadratiques 8. La figure3.8 présente les résultats de cette estimation. Les résultats restent bons, l’écart-type est quantà lui, logiquement, plus important.
Nous reproduisons la même analyse que précédemment en prenant cette fois-ci un pasplus petit ce qui permet d’avoir une trajectoire plus longue et donc permettre une meilleureestimation du paramètre H. Les résultats sont donnés sur la figure 3.9. L’estimation de µest meilleure, l’estimation de θ est meilleure pour H = 0.9 mais moins bonne pour H = 0.1c’est-à-dire pour une trajectoire avec un bruit très irrégulier.
3.5 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck non linéaire avec mBf
Nous donnons à titre d’exemple la méthodologie calculatoire pour déterminer la solutionthéorique d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck non linéaire dirigé par un mBf en la linéarisant.
8. On pourrait tout d’abord estimer H avec la méthode IR et procéder à une nouvelle estimation avec unestimateur basé sur les variations quadratiques si H > 0.5.
40
3.5 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck non linéaire avec mBf
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
01
23
4
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre theta
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre mu
H
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Ornstein−Uhlenbeck Paramètre sigma
H
Figure 3.9 – Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire (θ = 0.8, µ = 0.1, σ = 0.06,∆t = 0.05) avecH estimée.
Ce processus est défini comme suit :
dx = p(t)x(q(t)− ln(x))dt+ r(t)xdWH(t).
Il a l’avantage, contrairement au précédent, de ne pas autoriser des valeurs négatives.
Nous récrivons dans un premier temps (3.8) avec f(x, t) = p(t)(q(t) − ln(x)) et g(x, t) =
r(t)x ce qui donne ln(x)
(∂
∂t
1
r(t)− p(t)
r(t)
)
︸ ︷︷ ︸
α(t)y
+p(t)q(t)
r(t)−Ht2H−1r(t)
︸ ︷︷ ︸
β(t)
.
D’après (3.6) on a y =(∫α(t)dt
)−1 ln(x)r(t) , en multipliant cette quantité par α(t) et en égali-
sant avec la valeur de αty obtenue précédemment on obtient α(t) = r(t)(
∂∂t
1g − p(t)
r(t)
) ∫α(t)dt.
Notons Z(t) =∫α(t)dt, la dernière équation donne z′−z
(
r ∂∂t
1r(t) − p(t)
)
= 0, on reconnaît
ainsi une équation différentielle ordinaire du premier ordre sans second membre que l’on saitrésoudre. La solution définie à une constante près que nous prenons par simplicité égale à 1 est
z(t) = e∫
(r ∂∂t
1r(t)
−p(t))dt. La dernière intégrale se calcule aisément et vaut −
∫p(t)dt− ln(r(t)),
en effet une intégration par parties donne∫r ∂∂t
1r(t) = ln(r(t)) en posant u′ = ∂
∂t1
r(t) et v = r.
41
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
Enfin, la valeur de la fonction inversible y est y = e∫
p(t)dt ln(x).
Il vient aisément que l’EDS (3.7) s’écrit alors dy = e∫
p(t)dt(p(t)q(t) − Ht2H−1r2(t))dt +r(t)e
∫
p(t)dtdWH(t).
Son intégration donne y(t) =∫ t0 e
∫
p(s)ds(p(s)q(s)−Ht2H−1r2(s))ds+∫ t0 r(s)e
∫
p(s)dsdWH(s)+K1.
Nous concluons en donnant la solution au problème initial :
x(t) = exp
(
e−∫
p(t)dt
(∫ t
0e∫
p(s)ds(p(s)q(s)−Ht2H−1r2(s))ds+
∫ t
0r(s)e
∫
p(s)dsdWH(s) + ln(x(0))
))
.
0 2 4 6 8 10
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Ornstein−Uhlenbeck non linéaire H= 0.75
y0=1.5y0=0.5
0 2 4 6 8 10
0.6
1.0
1.4
Ornstein−Uhlenbeck non linéaire H= 0.5
y0=1.5y0=0.5
0 2 4 6 8 10
0.6
1.0
1.4
1.8
Ornstein−Uhlenbeck non linéaire H= 0.25
y0=1.5y0=0.5
Figure 3.10 – Ornstein-Uhlenbeck non linéaire fractionnaire pour différentes valeurs de Havec p = 1, q = 0.2, r = 0.15,∆t = 0.01.
Sur la figure 3.10 nous présentons l’influence du paramètre de Hurst et du point de départsur plusieurs trajectoires. Nous avons utilisé un schéma de Milstein que l’on peut écrire :
Xj+1 = Xj + (pXj(qXj − lnXj)−Hr2Xjt2H−1i )∆t+ rXj∆W
Hj +
1
2r2Xj(∆W
Hj )2.
L’estimation des paramètres peut se faire de façon identique au processus d’Ornstein-Uhlenbeck linéaire, les calculs de l’EMV se présentant de la même façon.
42
3.6 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross
3.6 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross
Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross utilisé pour modéliser l’évolution des taux d’intérêt àcourt terme est défini par l’EDS suivante :
dx = γ(t)(θ(t)− x)dt+ σ(t)√xdWH(t).
Ce modèle présente, tout comme le précédent, l’avantage d’interdire des taux négatifs.
Posons f(x, t) = γ(t)(θ(t) − x) et g(x, t) = σ(t)√x. On a L = 1
2σ(t)√
x+ γ(t)
σ(t)−12 x
− 32 θ(t) −
12x
− 12 )−Ht2H−1−σ(t)
4 x−32 puis ∂
∂xg(x, t)L = x−2(12γ(t)θ(t)−σ(t)2
4 Ht2H−1).
On remarque que cette dernière quantité s’annule pour la valeur particulière suivante de
σ(t) :√
2γ(t)θ(t)Ht2H−1 . La condition (3.4) est ainsi remplie et l’EDS peut donc être mise sous forme
linéaire.
Nous déterminons α(t)y à partir de (3.8)
α(t)y + β(t) = 2x12∂
∂t
1
σ(t)+γ(t)
σ(t)(θ(t)x−
12 − x
12 )− 1
2Ht2H−1σ(t)x−
12
soit
α(t)y + β(t) = x−12 (γ(t)θ(t)
σ(t)− 1
2Ht2H−1σ(t)
︸ ︷︷ ︸
=0
) + x12 (−γ(t)
σ(t)+ 2
∂
∂t
1
σ(t)).
Le terme β(t) vaut ici 0, l’EDS linéaire que l’on obtiendra ne comportera donc qu’un seulterme, à savoir celui en dWH .
En égalisant la quantité α(t)y obtenue précédemment et α(t)y = α(t) 2σ(t)
(∫α(t)dt
)−1√x
obtenue à partir de (3.6) et en notant Z =∫α(t)dt il vient l’équation différentielle ordi-
naire suivante Z ′ + (γ(t)2 + σ(t) ∂∂t
1σ(t))Z = 0 dont on obtient facilement une solution Z =
e−∫ γ(t)
2dtσ(t)−1 9. On obtient donc y = 2e
∫ γ(t)2
dt√x.L’EDS linéaire s’écrit donc dy = e
∫ γ(t)2 σ(t)dWH(t) dont la solution s’obtient en intégrant :
y(t) =∫ t0 e
∫ γ(t)2 σ(t)dWH(t) +K2. Enfin la solution du modèle de Cox-Ingersoll-Ross est
x(t) =
(1
2exp
(
−∫
1
2γ(t)dt
)(∫ t
0exp
(∫1
2γ(t)dt
)
σ(t)dWH(t) +√
x(0)
))2
.
Sur la figure 3.11 nous présentons l’influence du paramètre de Hurst sur plusieurs tra-jectoires selon le point de départ. Nous avons utilisé un schéma de Milstein que l’on peutécrire :
Xj+1 = Xj + (γ(θ −Xj)−1
2Hσ2t2H−1
i )∆t+ σ√
(Xj)∆WHj +
1
4σ2(∆WH
j )2.
9. Le raisonnement est identique au cas du processus d’OU.
43
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
0 2 4 6 8 10
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
CIR H= 0.75
y0=1.5y0=0.5
0 2 4 6 8 10
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
CIR H= 0.5
y0=1.5y0=0.5
0 2 4 6 8 10
0.6
1.0
1.4
CIR H= 0.25
y0=1.5y0=0.5
Figure 3.11 – Cox-Ingersoll-Ross fractionnaire pour différentes valeurs de H avec γ = 1, θ =1.2, σ = 0.2,∆t = 0.01.
3.7 Modèle de Black & Scholes fractionnaire
Il est possible d’écrire une version fractionnaire de la célèbre EDS de Black & Scholes.Toutefois ce modèle souffre d’un grave défaut puisqu’il viole l’hypothèse d’absence d’opportu-nité d’arbitrage requise en théorie financière. Un article intéressant et faisant le point sur lespossibilités d’arbitrage est [BSV06], nous nous contentons d’en reporter la conclusion car uneprésentation plus détaillée nécessiterait une présentation d’outils supplémentaires et compli-qués. Il est néanmoins possible de contourner ce problème et ce de plusieurs façons différentes.Au vu de l’importance de ce problème un chapitre ultérieur (6) lui sera consacré.
L’étude de l’estimation des paramètres est présentée ci-dessous.
3.7.1 Modélisation du sous-jacent
Le sous-jacent sera censé suivre l’EDS fractionnaire suivante
dSt = µSt + σStdWHt .
Nous cherchons à estimer les paramères µ, qui est la dérive, et σ qui est la volatilité.
44
3.7 Modèle de Black & Scholes fractionnaire
3.7.2 Estimation des paramètres
3.7.2.1 Méthode d’Inférence Indirecte
Le schéma de Milstein selon les deux variantes étudiées (cf. 3.2) :
Sti+1 = Sti + rSti∆t + σSti∆WHi +
1
2σ2Sti [(∆W
Hi )2 − (t2Hi+1 − t2Hi )];
Sti+1 = Sti + rSti∆t − σ2StiHt2H−1i ∆t+ σSti∆W
Hi +
1
2σ2Xti(∆W
Hi )2.
Avec la fonction de contraste 10 (cf. B.3) nous avons présenté une méthode simple d’es-timation des paramètres lorsque la fonction de vraisemblance du modèle alternatif n’est paspossible à obtenir, une application a été présentée avec le modèle d’Ornstein-Uhlenbeck (cf.3.5). Ici, nous proposons d’approcher l’EDS fractionnaire par une EDS standard, ainsi nous se-rons en mesure d’écrire facilement la fonction de vraisemblance et d’en obtenir des estimateurspar maximum de vraisemblance.
La solution s’écrit Sti = Sti−1e(µ− 1
2σ2)h+
√hσUt avec Ut une variable aléatoire suivant une
loi normale centrée réduite et h le pas. En passant au logarithme en désignant ξt = ln(St) lelogarithme de St il vient ξti+1−ξti ∼ N(h(µ− 1
2σ2), hσ2). Pour arriver à ce résultat on peut par
exemple utiliser la formule analytique de Si qui s’écrit Si = S0eµih− 1
2σ2hi+σWih et poursuivre
les calculs en étudiant log Si
Si−1ou bien utiliser la formule d’Itô à la fonction logS. Ainsi on en
déduit la fonction de vraisemblance suivante L(θ) =∏N
i=11
(√2πσ2∆)N
e−1
2σ2h(ξti−ξti−1−rh)2 avec
θ = (r := µ− 12σ
2, σ2) le vecteur des paramètres à estimer.
En dérivant la log-vraisemblance par rapport à r et σ on obtient les estimateurs suivants :
r =1
Nh(ξT − ξ0);
σ2 =1
Nh
N−1∑
i=0
(ξti+1 − ξti − rh)2.
Pour être rigoureux il faut bien entendu vérifier que ces estimateurs minimisent bien lalog-vraisemblance ce qui est simple à faire.
On conclut que
µ = r +1
2σ2
σ2 =1
Nh
N−1∑
i=0
(ξti+1 − ξti − rh)2.
En résumé, la méthode d’inférence indirecte est basée sur :– Fonction critère : la fonction de vraisemblance du cas Brownien standard ;– Paramètres auxiliaires : les estimateurs issus de l’EMV.
10. Ici la fonction de contraste s’écrit
n∑
i=1
1
2log 2hπσ2
S2i−1 +
1
2σ2h[Si − Si−1
Si−1− hµ]2
et les estimateurs sont : µ = 1hN
∑N
i=1
Si−Si−1
Si−1et σ2 = 1
Nh
∑N
i=1
(
Si−Si−1
Si−1− hµ
)2
.
45
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
3.7.2.2 Résultats
Nos applications numériques se limitent à des valeurs de H ∈ [0.3, 0.7] afin de rester auplus près des valeurs trouvées dans la réalité.
Nous avons utilisé les estimateurs par variations quadratiques du premier ordre et l’esti-mateur IR général et avons adopté deux modèles différents pour générer les trajectoires del’étape 2 de la méthode d’inférence indirecte :
– Schéma numérique de Milstein que nous avons présenté en 3.2 :– La figure 3.12 présente les résultats issus de l’estimation par variations quadratiques
du premier ordre ;– La figure 3.14 présente les résultats issus de l’estimation avec l’estimateur IR général ;– La figure 3.16 présente les résultats lorsque c’est l’estimation par fonction de contraste
qui est utilisée, H étant supposée connue.Les résultats obtenus sont globalement bons pour la volatilité σ même avec l’utilisationde la fonction de contraste même si ceux-ci sont de moindre qualité ; pour la dérive µl’écart-type n’est pas négligeable ;
– Schéma numérique d’Euler qui s’écrit χ(ti+1) = χ(ti)+f(χ(ti), ti)∆t+g(χ(ti), ti)∆WHi .
En effet à l’heure où nous écrivons ce mémoire il n’existe pas encore à notre connaissancede schémas numériques - hors schéma "naïf" d’Euler- pour des EDS dirigées par unmBm 11 :– La figure 3.13 présente les résultats issus de l’estimation par variations quadratiques
du premier ordre ;– La figure 3.15 présente les résultats issus de l’estimation avec l’estimateur IR général ;– La figure 3.17 présente les résultats lorsque c’est l’estimation par fonction de contraste
qui est utilisée, H étant supposée connue.Le même type de constation que pour l’utilisation du schéma d’Euler peut être fait maisen remarquant que les résultats sont moins bons.
Ce qui est à retenir c’est que l’utilisation d’un modèle d’Euler pour simuler les donnéesde l’étape 2 de la méthode d’inférence indirecte génère une baisse notable de la qualité desestimations, et ce surtout en cas d’anti-persistance marquée (H petit), c’est-à-dire pour lestrajectoires irrégulières. L’ordre de convergence du modèle d’Euler, plus faible que celui deMilstein, en est la raison.
Sur les figures 3.18 et 3.19 nous regardons l’impact de T sur la qualité d’estimation desparamètres pour deux cas particuliers 12, H = 0.45 et H = 0.55 , lorsqu’un schéma d’Eulerest utilisé. Nous en déduisons l’impact bénéfique d’une augmentation de T sur l’écart-type desestimateurs, c’est-à-dire que si nous possédons une série d’observations longue - ce qui sera lecas au chapitre 10- le résultat de l’estimation en sera d’autant meilleure.
La comparaison entre les deux types de modèles (Milstein versus Euler) que nous avonsmenée sur un mBf est de nature à rassurer quant à l’estimation de la volatilité 13 lorsque noustravaillerons avec des EDS dirigées par un mBm 14.
11. Les auteurs de [LLV11] travaillent sur la théorie de telles EDS, le lecteur est donc invité à consulterultérieurement leurs futurs travaux.
12. Ces valeurs sont issues de notre application du chapitre 10 et il apparaît important de s’y attarder ici.13. Rappelons qu’en risque neutre seule l’estimation de la volatilité est nécessaire.14. Nous insistons sur le fait qu’il n’existe pas encore à notre connaissance de schémas numériques pour des
EDS dirigées par un mBm.
46
3.7 Modèle de Black & Scholes fractionnaire
Remarque 3 L’estimateur par variations quadratiques est consistant pour H > 12 , les ré-
sultats obtenus sont meilleurs que ceux obtenus avec l’estimateur IR gaussien 15, cela dit, cedernier conduit à des résultats corrects. Pour H < 1
2 les auteurs de la méthode ne précisentrien puisque leur article ([KM10]) ne traite que du cas H > 1
2 , les résultats obtenus et nonprésentés dans ce mémoire restent bons et sont eux aussi meilleurs que ceux obtenus à partirde l’estimateur IR gaussien.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
−0.
2−
0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
Black & Scholes − mu
H
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.15
0.20
0.25
0.30
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.12 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 5, h = 1/252) simulé avecH estimée par l’estimateur par variations quadratiques du premier ordre ; schéma de Milstein.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
−0.
3−
0.2
−0.
10.
00.
10.
20.
30.
4
Black & Scholes − mu
H
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.15
0.20
0.25
0.30
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.13 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 5, h = 1/252) simulé avecH estimée par l’estimateur par variations quadratiques du premier ordre ; schéma d’Euler.
15. Voir la remarque 1 sur la qualité des résultats obtenus avec cet estimateur IR gaussien.
47
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
−0.
2−
0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Black & Scholes − mu
H
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.1
0.2
0.3
0.4
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.14 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 5, h = 1/252) simulé avecH estimée par la méthode IR générale ; schéma de Milstein.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
−0.
20.
00.
20.
4
Black & Scholes − mu
H
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.1
0.2
0.3
0.4
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.15 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 5, h = 1/252) simulé avecH estimée par la méthode IR générale ; schéma d’Euler.
48
3.7 Modèle de Black & Scholes fractionnaire
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
−0.
2−
0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
Black & Scholes − mu
H
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.21
00.
215
0.22
00.
225
0.23
0
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.16 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 5, h = 1/252) simulé avecH supposée connue ; utilisation de la fonction de contraste ; schéma de Milstein.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
−0.
3−
0.2
−0.
10.
00.
10.
20.
30.
4
Black & Scholes − mu
H
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.21
00.
215
0.22
00.
225
0.23
0
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.17 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 5, h = 1/252) simulé avecH supposée connue ; utilisation de la fonction de contraste ; schéma d’Euler.
49
Chapitre 3 : EDS dirigées par un mouvement Brownien fractionnaire
0.45 0.55
−0.
2−
0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
Black & Scholes − mu
H
0.45 0.55
0.21
00.
215
0.22
00.
225
0.23
0
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.18 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 5, h = 1/252, replica-tion=100) simulé avec H supposée connue ; utilisation de la fonction de contraste ; schémad’Euler.
0.45 0.55
−0.
10−
0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Black & Scholes − mu
H
0.45 0.55
0.21
40.
216
0.21
80.
220
0.22
20.
224
0.22
6
Black & Scholes − sigma
H
Figure 3.19 – Black Scholes fractionnaire (µ = 0.04, σ = 0.22, T = 15, h = 1/252, replica-tion=100) simulé avec H supposée connue ; utilisation de la fonction de contraste ; schémad’Euler.
50
Chapitre 4
Rappel d’éléments de théoriefinancière
Sommaire
4.1 AOA, complétude, probabilité risque neutre, martingale . . . . . . 51
4.2 Options européennes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Fonctions d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Il nous a semblé bienvenu de consacrer un chapitre au rappel de certaines no-tions plus ou moins élémentaires mais toutes importantes comme par exemple
l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbritrage, la complétude du marché. Noussuivons en partie [PP08], le lecteur pourra également consulter [Bou00].
4.1 AOA, complétude, probabilité risque neutre, martingale
4.1.1 Absence d’opportunité d’arbitrage
Commençons par rappeler l’une des hypothèses fondamentales de la théorie financière àsavoir l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage (notée AOA) : une stratégie autofinan-çante 1 et admissible 2 est un arbitrage si elle génère un flux en T presque sûrement positifet d’espérance strictement positive sachant qu’elle requiert un investissement initial nul ounégatif.
Cette hypothèse est souvent expliquée par le fait que s’il apparaissait une possibilité d’ar-bitrage alors le marché se chargerait de la faire disparaître quasi instantanément.
Nous verrons que dans le cadre d’un marché fractionnaire cette hypothèse est violée ; pourcontourner ce problème il sera nécessaire de restreindre l’ensemble des stratégies possibles.
1. Un portefeuille est dit autofinançant s’il est exempt d’apports et de retraits sur la période considérée.2. Une stratégie autofinançante est dite admissible si sa valeur terminale est une variable aléatoire dont le
second moment est fini.
51
Chapitre 4 : Rappel d’éléments de théorie financière
4.1.2 Risque neutre
Soient P et P ′ deux mesures de probabilité équivalentes 3, il existe une variable aléatoireξ > 0 p.s., IT - mesurable et d’espérance 1 sous la mesure P , telle que pour tout A ∈ IT l’onait P ′(A) =
∫
A ξ(w)dP (w). La quantité ξ ainsi définie est la dérivée de Radon-Nikodym de P ′
par rapport à P et l’on posera ξ = dP ′
dP .
Pour tout λ(t) correspondant au prix du marché du risque, on définit une probabilitéQ à partir de la probabilité historique P par la dérivée de Radon-Nikodym, soit dQ
dP =
e−12
∫ T0 ||λ(s)||2ds−
∫ T0 λ′(s)dW . La probabilité Q ainsi définie est appelée probabilité risque neutre.
L’existence d’une telle probabilité est subordonnée à l’absence d’abitrage, son unicité quantà elle dépend de la complétude 4 du marché. Pour un marché complet cette mesure est unique 5,pour un marché incomplet il existe plusieurs mesures possibles et son choix, basé sur lespréférences face au risque des investisseurs, revêt une grande importance.
Sous la probabilité risque neutre tous les actifs du marché ont la même espérance, égaleau taux sans risque r, ainsi aucune prime de risque n’est exigée. Cela est bien évidemmenttout à fait différent sous une probabilité historique, appelée également probabilité réelle ouencore physique. Si l’on considère le modèle de Black & Scholes, l’EDS en probabilité historiques’écrit dX(t) = Xt(µdt+σdWt) tandis qu’en univers risque neutre elle s’écrit dX(t) = Xt(rdt+σdWRN (t)) avec WRN (t) = W (t) +
∫ t0 γ(s)ds ; ce brownien d’après le théorème de Girsanov
est un brownien standard sous la probabilité risque neutre.
La probabilité risque neutre constitue donc un artifice de calcul, bien pratique, pour valo-riser des produits.
4.1.3 Complétude du marché
Une autre notion importante est celle de complétude des marchés. On dit qu’un marchéest complet si tous les titres contingents 6 sont atteignables 7.
Comme nous venons de le dire, la complétude du marché, en AOA, assure l’unicité de laprobabilité risque neutre.
Dans la réalité des marchés cette notion de complétude peut être remise en cause, citonspar exemple :
– A cause de l’impossibilité d’agir en continu sur le marché ;– A cause de la non disponibilité sur le marché de tous les biens, ce qui est le cas notamment
des marchés illiquides ;– A cause de l’utilisation de processus de Lévy, de processus fractionnaire, de modèle à
volatilité stochastique.
Les biens contingents ne peuvent plus être alors répliqués, il n’y a plus unicité de la pro-babilité de risque neutre.
3. C’est-à-dire que les événements de probabilité nulle sont les mêmes sous les deux mesures. On note cetterelation d’équivalence P ′ ∼ P .
4. Voir section suivante.5. L’ensemble des prix du marché du risque est réduit à un seul élément.6. Un titre contingent simple est un droit à un flux unique CT en T où CT est une variable aléatoire dont
le deuxième moment est fini.7. Un titre contingent simple CT est atteignable s’il existe au moins une stratégie autofinançante et admis-
sible, combinaison dynamique des n titres de la base, dont la valeur terminale est égale aux flux CT .
52
4.2 Options européennes classiques
4.1.4 Martingale
La notion de martingale joue un rôle important dans la théorie financière et ce depuis lestravaux de Louis Bachelier en 1900.
Un processus adapté 8 est une martingale si E[|X(t)|] < +∞ et E[X(t)|Is] = X(s) quelsque soient s et t tels que 0 ≤ s ≤ t ≤ T . Dit simplement, cela signifie que sa valeur à chaqueinstant est égale à l’espérance de ses valeurs futures.
Cette propriété de martingale est utilisée pour modéliser les actifs financiers. Il est naturelde supposer que le "juste" prix d’un actif financier, celui pour lequel l’acheteur et le vendeurse mettent d’accord pour effectuer une transaction d’achat/vente, suive cette propriété demartingale.
Un portefeuille composé d’actifs ayant cette propriété de martingale possède égalementcette propriété.
On peut transformer les prix en martingales en déflatant les prix en univers risque neutrepar la valeur de l’actif sans risque à partir de la probabilité risque neutre.
4.2 Options européennes classiques
Le développement de l’activité des marchés financiers doit beaucoup au développement dela théorie des options suite aux travaux de Black, Scholes et Merton qui a permis une meilleurecompréhension des mécanismes financiers. Les options interviennent dans de nombreux pro-duits financiers, dans l’étude du risque de crédit, dans l’assurance de portefeuille (notons lescontrats en unité de compte avec garantie plancher qui constituent l’application principale dece mémoire) ...
4.2.1 Définitions
Nous rappelons les définitions suivantes :
Acheter un Call sur le sous-jacent S au prix d’exercice K pour une maturité T confère ledroit à l’acheteur d’acheter au vendeur de l’option le sous-jacent en T au prix K. Concrètementl’exercice de ce droit ne se fera que si le cours de S est supérieur au prix K, l’acheteur auradonc anticipé une hausse du sous-jacent. Le Payoff, qui correspond au gain engendré par ladétention de l’option, en T sera ainsi max(ST −K, 0).
Acheter un Put sur le sous-jacent S au prix d’exercice K pour une maturité T confère àl’acheteur le droit de vendre au vendeur de l’option le sous-jacent en T au prixK. Concrètementl’exercice de ce droit ne se fera que si le cours de S est inférieur au prix K, l’acheteur auradonc anticipé une baisse du sous-jacent. Le Payoff en T sera ainsi max(K − ST , 0).
Une option sera dite à la monnaie si le prix d’exercice est égal au prix du sous-jacentà la date d’évaluation de l’option. L’option sera dite dans (hors respectivement) la monnaiesi le prix d’exercice est inférieur (supérieur respectivement) au prix du sous-jacent à la dated’évaluation de l’option.
8. C’est-à-dire que sa valeur en date t est connue en t.
53
Chapitre 4 : Rappel d’éléments de théorie financière
4.2.2 Evaluation d’options européennes
Une option européenne ne peut être exercée qu’à une date précise, en l’occurrence la datede maturité. Il existe plusieurs autres types d’options : les options américaines qui peuventêtre exercées à n’importe quel moment et dont le prix est par conséquent plus élevé que pourles options européennes ; les options bermudéennes possédant plusieurs dates d’exercice fixéesà l’avance...
Le plus souvent il est difficile d’obtenir des formules analytiques pour évaluer les options,il est alors nécessaire de recourir à d’autres méthodes comme les arbres binomiaux. Nousrappelons ci-dessous la valeur en t d’un Call européen :
CT (t) = StN(d1)−Ke−r(T−t)N(d2), (4.1)
avec
d1 =ln(St
K ) + r(T − t) + 12σ
2(T − t)
σ√T − t
d2 =ln(St
K ) + r(T − t)− 12σ
2(T − t)
σ√T − t
(4.2)
et celle d’un Put par
PT (t) = Ke−r(T−t)N(−d2)− StN(−d1). (4.3)
4.2.3 Parité Call-Put
En AOA il est possible d’établir une relation entre le prix du Call et celui du Put :
CT (t)− PT (t) = St −Ke−r(T−t).
4.3 Couverture
Nous verrons plus loin (cf. chapitre 8) que le calcul du coût d’une garantie plancher d’uncontrat en unité de compte repose sur l’utilisation d’un ou plusieurs Put or il est souventdifficile, voire impossible, et/ou onéreux de s’en procurer :
– Les options disponibles sur le marché sont souvent américaines et donc trop chères ;– Les caractéristiques (prix d’exercice, maturité) ne correspondent pas à celles désirées ;– Il existe un risque de contrepartie.
Une stratégie de couverture ou de duplication est une prise de position en date initialeconsistant à dupliquer le payoff de l’option à la date de maturité. On parle ainsi d’optionsynthétique.
Nous rappelons la méthode de duplication d’un Put européen dans le modèle standard deBlack & Scholes.
Notons P (S, t) le prix théorique d’un Put à l’instant t dont le prix du sous-jacent estS. On a le résultat suivant : à l’instant t une position comprenant P − δPS euros d’actifsmonétaires et δPS d’euros d’actifs sous-jacent se comporte comme un Put dans un petitintervalle de temps (t, t+dt) pendant lequel seules de petites variations dS sont envisageables.
54
4.4 Fonctions d’utilité
Quand ces proportions sont respectées pour tout t entre 0 et T alors cette combinaison sous-jacent/monétaire se comporte comme un Call acheté en 0, d’échéance T .
Un portefeuille auto-finançant comportant en t = 0 l’actif sous-jacent de valeur S et unPut de valeur P servant à protéger le portefeuille devra maintenir en permanence S + δPSeuros de l’actif sous-jacent et P − δPS euros de monétaire afin de maintenir une duplicationparfaite. Les proportions s’écrivent :
P − δPS
S + Pen monétaire ;
S(1 + δP )
S + Pen actif sous-jacent.
Nous exposerons plus loin une méthode basée sur les fonctions d’utilité dans le cas desmarchés incomplets.
4.4 Fonctions d’utilité
La fonction d’utilité, définie à une transformation affine près et spécifique à chaque individu,traduit notamment l’aversion au risque qui caractérise la plupart des agents économiques.L’aversion au risque est liée au fait que l’utilité marginale de l’euro supplémentaire décroît.
Mathématiquement cette aversion au risque se traduit par la concavité que doit avoir lafonction d’utilité. Plus la richesse croît, plus l’aversion au risque augmente et donc la fonctiond’utilité est croissante. On notera A, défini comme la négation de la dérivée seconde sur ladérivée première de la fonction d’utilité, le coefficient, positif, d’aversion absolue par rapportau risque.
Un comportement rationnel conduit à maximiser l’espérance de la fonction d’utilité de larichesse.
Le plus souvent la fonction d’utilité U(x) (définie pour x > 0) est choisie de telle sorte quel’aversion au risque, définie par −xU ′′(x)/U ′(x), est constante.
Il existe une multitude de fonctions d’utilité, citons-en quelques-unes :– Utilité à aversion absolue au risque constante, dénommée CARA, U(W ) = − exp (−A(w + θ′R)) ;
– Utilité à aversion relative constante, CCRA ou Power, U(R;β; θ) = (θ′R+w)1−γ
1−γ avec γ lecoefficient d’aversion relative au risque et β = (γ, w) ;
– Utilité logarithmique : U(W ) = log (θ′R+ w) dont l’aversion au risque vaut 1 ;
– Utilité puissance : U(W ) = W 1−γ
1−γ avec γ > 1 correspondant à l’aversion au risque ;
– Utilité quadratique : U(W ) = W − aW 2 avec a une constante positive. Cette fonctionn’est croissante que pour W < 1
2a ;– Utilité linéaire : U(W ) = aW + b notant une aversion neutre au risque
où W est la richesse, θ l’allocation en actif risqué du portefeuille et R les rendements nets 9
des actifs risqués.
9. Le rendement brut moins le rendement de l’actif non risqué.
55
Chapitre 5
Arbitrage dans un modèlefractionnaire
Sommaire
5.1 Exemple d’arbitrage dans un modèle fractionnaire . . . . . . . . . 57
5.2 Modèle fractionnaire avec coûts de transaction . . . . . . . . . . . 59
5.3 Modèle fractionnaire mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Renoncement à la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Le mouvement Brownien fractionnaire n’est pas une semi-martingale (sauf pourH = 1
2) et cela a été considéré pendant de longues années comme un handicapsuffisamment sérieux - puisqu’il y alors violation de l’hypothèse d’AOA - pourne pas chercher à contourner le problème et donc à considérer que le mBf n’esttout simplement pas apte à modéliser le cours d’un sous-jacent ; certains articlesattestent d’ailleurs une certaine hostilité envers ce modèle 1.
Dans ce chapitre nous discutons de la violation de l’hypothèse d’absence d’op-portunité d’arbitrage induite par un marché supposé comme étant fractionnaire
et de diverses méthodes introduites dans la littérature pour contourner cette vio-lation.
5.1 Exemple d’arbitrage dans un modèle fractionnaire
Nous présentons un exemple tiré de [Pot09] présentant un cas de violation de l’hypothèsed’AOA.
Sur la figure 2 5.1 nous donnons les trajectoires obtenues pour un sous-jacent dont le prixest modélisé 3 par St = St−1(1+Xn) qui, d’après [Sot01], converge faiblement vers la solutionthéorique.
1. Cf. la conclusion de l’article [Rog97] : "We have seen that fractional Brownian motion is an absurdcandidate for a log-price process.".
2. On remarquera que l’arbre obtenu n’est pas recombinant et ceci une spécificité du cas fractionnaire.3. Le lecteur est prié de se reporter au chapitre C de l’annexe concernant la construction de cet arbre ; il
est supposé ici r = µ = 0, σ = 1 et S0 = 1.
57
Chapitre 5 : Arbitrage dans un modèle fractionnaire
1.00000
1.33763
2.03725
3.31497
2.17609
1.27794
1.63028
0.915878
0.662369
0.691928
0.887962
0.501153
0.315929
0.2944
0.117786
Figure 5.1 – Exemple d’arbitrage, H =.85
Nous avons représenté sur l’arbre les trajectoires possibles selon le modèle décrit ci-dessusen t = 0 et ce jusqu’au temps t = 3. Si l’on se place en t = 2 et que l’on regarde la trajectoire duhaut, en vert, on constate qu’une personne achetant le sous-jacent au prix de 2.03725 pourraalors le revendre en t = 3 avec certitude avec un bénéfice strictement positif au moins égal à
58
5.2 Modèle fractionnaire avec coûts de transaction
2.17609− 2.03725.
Cet exemple prouve qu’il n’est pas possible dans ces conditions de faire de l’évaluation d’op-tions respectant la condition de non arbitrage, aussi est-il nécessaire de procéder à différentsaménagements.
5.2 Modèle fractionnaire avec coûts de transaction
Dans [Gua06] l’auteur, Paolo Guasoni, introduit des coûts de transaction dans le modèledans le but de rétablir l’AOA. Nous donnons ici les grandes lignes de la justification sansrentrer dans les détails.
Nous introduisons dans un premier temps l’hypothèse et la définition suivante après avoirsupposé que nous sommes dans un marché composé d’un actif sans risque et d’un actif risquédans un espace probabilisé avec Ft une filtration :
Hypothèse (A) : Soit (Xt)t∈[0,+∞[ un processus càdlàg, presque sûrement strictement po-sitif, adapté à la filtration Ft et quasi continu à gauche par rapport à cette filtration.
Définition 6 Un processus Y sera dit sticky 4 par rapport à la filtration Ft si quel que soitǫ, T > 0 et pour tous les temps d’arrêt τ tels que P(τ < T ) > 0 on a
P
(
supt∈[τ,T ]
|Yτ − Yt| < ǫ, τ < T
)
> 0.
Paolo Guasoni énonce la proposition suivante :
Proposition 9 Soient X un processus satisfaisant l’hypothèse (A) introduite ci-dessus etk, T > 0 avec k le coût des frais de transaction. Si pour tous les temps d’arrêt τ tels queP(τ < T ) > 0 on a
P
(
sup
∣∣∣∣
Xτ
Xt− 1
∣∣∣∣< k, τ < T
)
> 0
alors, sous des frais de transaction, X respecte l’AOA.
Arrêtons-nous un instant sur la signification de ce critère. Afin de procéder à un arbi-trage il est nécessaire d’effectuer une première transaction, disons au temps τ . Cette décisionimplique nécessairement des frais liés aux coûts de transaction qu’il faudra recouvrir à untemps ultérieur et cela ne sera possible que si le prix de l’actif bouge suffisamment. Si entout temps de transaction futur il existe une probabilité faible pour que les prix changent defaçon arbitrairement petite alors un risque de baisse n’est pas à exclure ce qui rend l’arbitrageimpossible.
De cette proposition on en tire le corollaire suivant :
Corollaire 1 Soit X satisfaisant l’hypothèse (A). Si logX est sticky alors, sous des frais detransaction, X est libre d’arbitrage sur [0, T ] avec T > 0.
Le caractère sticky d’un processus X est une condition faible et est respectée par de nom-breux processus de type Markov. Pour le mouvement Brownien fractionnaire nous énonçonsla proposition suivante :
4. Nous reprenons directement le terme utilisé par l’auteur.
59
Chapitre 5 : Arbitrage dans un modèle fractionnaire
Proposition 10 Soit Yt = ft+σBHt avec σ > 0 et f : R+ 7−→ R une fonction continue. Alors
Y est sticky et par conséquent quel que soit k, T > 0 le processus Xt = X0eft+σBH
t est libred’arbitrage sur l’intervalle [0, T ].
Cette proposition achève la démonstration : avec l’utilisation d’un mouvement Brownienfractionnaire l’introduction de frais de transaction rétablit l’AOA.
5.3 Modèle fractionnaire mixte
Une autre possibilité due à [Che01] consiste à introduire dans la modélisation un mouve-ment Brownien classique, ie que l’on suppose que le cours du sous-jacent suit l’EDS suivante :
dSt = µStdt+ ǫStdWt + σStdWHt
avec ǫ une quantité strictement positive mais suffisamment petite ; le mouvement engendré parla somme des deux Browniens sera appelé mouvement mixte.
Nous nous plaçons dans le cadre où H ∈ (34 , 1) car nous avons alors que 5 (ǫBt+BHt )t∈[0,1]
est équivalent à (ǫBt)t∈[0,1].
La quantité ǫStdWt + σStdWHt suit une loi normale et a pour covariance Cov(ǫStdWt +
σStdWHt , ǫStdWt + σStdW
Ht ) = ǫ2min (t, s) + Cov(WH
t ,WHs ).
Le prix d’un Call, fonction de ǫ, dans ces conditions serait 6 C0(ǫ) = BS(σǫ) avec BS(.)le prix de Black & Scholes d’une option ayant pour variance σǫ (les autres paramètres sontsous-entendus).
Plus ǫ est petit plus le mouvement mixte est proche du mouvement Brownien fractionnairetout en respectant l’hypothèse d’AOA. Cependant on se rend compte également que la valeurde l’option tend vers la limite max(S0 −Ke−rt, 0) qui est la valeur intrinsèque 7 de l’option.
Ce résultat est troublant puisqu’en effet le prix de l’option est déterministe et ne dépendpas du futur et de l’aléatoire associé. Une raison évoquée pour expliquer cela est qu’un opéra-teur de marché peut agir aussi vite que nécessaire et ainsi exploiter le caractère fractionnairedu modèle. Dit autrement, C0(ǫ) correspond au capital nécessaire pour couvrir l’option avecune stratégie qui semble exploiter de petits mouvements du processus stochastique sur desintervalles de temps très courts.
Ce modèle ne saurait par conséquent retenir notre attention.
5.4 Renoncement à la continuité
Le modèle précédent évoquait la possibilité d’agir sur le marché aussi vite que souhaité,ici c’est l’hypothèse contraire qui va être considérée.
5. La démonstration est faite dans [Che01], pages 18 à 20.
6. En effet pour ǫ donné, sous l’unique mesure Qǫ on a C0(ǫ) = EQǫ [max(S0eµT+σ(ǫBT+BH
T ) − e−rTK, 0)] =BS(σǫ). Cette dernière égalité tient grâce à l’équivalence entre (ǫBt + BH
t )t∈[0,1] et (ǫBt)t∈[0,1] ; la premièreégalité elle découle de la modélisation de l’actif par un modèle de Samuelson-Black-Scholes.
7. Nous rappelons que la valeur intrinsèque d’une option est la valeur qu’aurait l’option si le jour del’échéance était le jour d’achat de l’option.
60
5.4 Renoncement à la continuité
Soit [a, b] un intervalle de temps arbitraire sur lequel on suppose pouvoir investir en mo-nétaire Xt et en actif Yt avec t ∈ [a, b].
Une stratégie de transactions est définie par le couple ϑ = (ϑ0, ϑ1) de processus stochas-tiques ϑ0t et ϑ1t . ϑ
0tXt décrit la part en monétaire détenue par le portefeuille et ϑ1tYt décrit la
part en actif. La valeur du portefeuille selon la stratégie ϑ s’écrit donc V ϑt = ϑ0tXt + ϑ1tYt.
Soient les ensembles S(F), Sh(F) et θhsf (F) suivants :
– S(F) = g01a +∑n−1
j=1 gj1(τj ,τj+1] : n ≥ 2, a = τ1 ≤ · · · ≤ τn = bavec F = (Ft)t∈[a,b] une famille de σ algèbre, τj des temps d’arrêt, g0 une variablealéatoire Fa-mesurable, et gj , ∀j ∈ 1, · · · , n des variables aléatoires Fτj -mesurables ;
– Sh(F) = g010 +∑n−1
j=1 gj1(τj ,τj+1] ∈ S(F) : ∀j, τj+1 ≥ τj + h avec h > 0 ;
– θhsf (F) = ϑ = (ϑ0, ϑ1) : ϑ0, ϑ1 ∈ Sh(F).Pour les modèles– Yt = ν(t) + σBH
t , t ∈ [0, T ] et H ∈ (0, 12) ∪ (12 , 1) qui est une version fractionnaire dumodèle de Bachelier,
– Yt = eν(t)+σBHt , t ∈ [0, T ] et H ∈ (0, 12) ∪ (12 , 1) qui est une version fractionnaire du
modèle de Samuelson-Back-Scholes ;
on peut montrer 8 qu’il n’existe pas de stratégie permettant de profiter d’un arbitrage sil’ensemble des stratégies possibles est restreint à l’ensemble
⋃
h>0 θhsf (F
Y ).
Cette quantité h > 0 introduite dans la définition de Sh(F) définit le temps minimal néces-saire entre deux transactions afin de rétablir l’hypothèse d’AOA. Dit autrement, en interdisantà l’opérateur d’agir en continu sur le marché ou, dit encore autrement, d’être plus rapide que lemarché, la possibilité d’arbitrage est levée. Cette restriction est en somme assez peu limitative !Sous cette restriction nous rejetons la possibilité de couverture dynamique en temps continu.
Une conséquence importante de cette restriction de stratégies (en se limitant à⋃
h>0 θhsf (F
Y ))est que le marché devient incomplet, c’est-à-dire qu’en exigeant un temps h > 0 minimal entredeux transactions alors la probabilité qu’il existe au moins un titre contingent qui ne soit pasatteignable est strictement positive.
Les conséquences de cette incomplétude sont étudiées dans le chapitre 6 à propos du choixde la mesure risque neutre pour l’établissement de la formule d’évaluation d’une option d’achatet dans le chapitre 9 à propos de la couverture en marché incomplet.
8. Cf. [Che03] pour la démonstration.
61
Chapitre 6
Evaluation d’options dans un marchéfractionnaire
Sommaire
6.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Black & Scholes fractionnaire "naïf" . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Black & Scholes fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 Etude de l’impact de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5 Etude de la volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6 Les grecs fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Nous donnons une formule fermée pour les options, de type européen , d’achatet de vente en marché fractionnaire et étudions l’impact du paramètre H.
Les actifs suivants sont supposés exister :
– Un actif monétaire A au taux sans risque modélisé par At = A0ert avec r
constant ;– Un sous-jacent S dont le prix est modélisé par l’EDS :
dSt = µStdt+ σStdWHt (6.1)
avec µ, le paramètre de dérive, σ, la volatilité, ces deux paramètres étant consi-dérés constants.
6.1 Modèle
Le sous-jacent S supposé suivre l’E.D.S. fractionnaire 6.1 a pour solution théorique en T
ST = S0eµT− 1
2σ2T 2H+σ(WH
T −WH0 ).
Pour s’en convaincre il suffit d’utiliser la méthode de résolution des EDS fractionnaires li-néaires, présentée en 3.1.4, puisque cette EDS est déjà sous cette forme la solution vient doncimmédiatement.
63
Chapitre 6 : Evaluation d’options dans un marché fractionnaire
6.2 Black & Scholes fractionnaire "naïf"
Plusieurs articles ([Nec08, EvdH03] dont les approches sont différentes donnent la formulesuivante pour l’évaluation d’un Call fractionnaire européen :
CT (t) = StN(dH1 )−Ke−r(T−t)N(dH2 )
avec
dH1 =ln(St
K ) + r(T − t) + 12σ
2(T 2H − t2H)
σ√
(T 2H − t2H)
dH2 =ln(St
K ) + r(T − t)− 12σ
2(T 2H − t2H)
σ√
(T 2H − t2H)
Il apparaît que la valeur d’un Call fractionnaire selon ce modèle dépend à la fois de T etde t et donc pas uniquement de la différence T − t comme dans le modèle de Black & Scholesclassique. Donc, contrairement à ce dernier, la valeur d’un Call ici dépendra du moment oùl’évaluation est réalisée : ainsi évaluer l’option en date t = 0 ou en date t > 0, à maturité T − tidentique et toutes choses égales par ailleurs, donnera des résultats différents.
Cette formule entraîne un non-sens économique (voir [BH04] pour plus de détails) et nesera pas utilisée dans ce mémoire.
6.3 Black & Scholes fractionnaire
6.3.1 Formule pour un Call et un Put européen
Nous donnons ci-dessous la formule d’un Call due à Stephan Rostek ([Ros09] 1) :
CT,H(t) = StN(dH1 )−Ke−r(T−t)N(dH2 ), (6.2)
avec
dH1 =ln(St
K ) + r(T − t) + 12ρHσ
2(T − t)2H√ρHσ(T − t)H
dH2 = dH1 −√ρHσ(T − t)H
(6.3)
où
ρH =sin(π(H − 1
2))
π(H − 12)
Γ(32 −H)2
Γ(2− 2H). (6.4)
La formule analytique, qui ressemble à celle du cas standard, est donc très simple et n’estguère plus compliquée ou plus longue à mettre en oeuvre que la formule du cadre classique nonfractionnaire, tout juste doit-on calculer en plus la fonction Γ qui est largement implémentéedans les logiciels usuels.
1. Nous rappelons que nous exigeons un temps minimal h entre deux transactions, cf 5.4.
64
6.3 Black & Scholes fractionnaire
Remarque 4 A partir des équations (6.2) et (6.3) on constate aisément que l’on peut établirune relation entre la formule du Call fractionnaire et la formule du Call non fractionnaire,cette relation s’écrit CT,H(t, σ) = CT, 1
2(t, σ
√ρHt
H− 12 ). L’EDS associée à cette relation est la
suivante dSt = rStdt+ σ√ρHt
H− 12StdWt, bien entendu elle n’est valable que pour le calcul du
Payoff de maturité T − t et en aucun cas en un autre point.
Il est bien entendu possible de faire le même raisonnement pour obtenir la valeur théoriqued’un Put mais on peut également se souvenir de la relation de parité qui existe entre les troisquantités S, C et P ; cette parité qui, pour mémoire s’écrit
CT,H(t)− PT,H(t) = St −Ke−r(T−t)
reste valable dans le cadre fractionnaire et conduit à la formule suivante pour le Put fraction-naire :
PT,H(t) = Ke−r(T−t)N(−dH2 )− StN(−dH1 ). (6.5)
6.3.2 Eléments de preuve
Nous donnons les grandes lignes de la démonstration. Avant de poursuivre, informons lelecteur que le même auteur, Stephan Rostek, a publié plus récemment un article, [RS10], pré-sentant une autre façon d’arriver aux mêmes conclusions en adaptant la méthode de Brennan 2
et en utilisant les facteurs d’escompte stochastiques 3.
6.3.2.1 Théorème d’Itô fractionnaire
Soit St un mouvement Brownien fractionnaire géométrique décrit ci-dessus, et soit F (t, St)une fonction continuement différentiable une fois par rapport à t et deux fois par rapport à Stalors on peut énoncer le théorème d’Itô fractionnaire suivant dû à [DHPD00] :
F (T, ST ) = F (t, St) +
∫ T
t
∂
∂sF (s, Ss)ds+
∫ T
t
∂
∂xF (s, Ss)µSsds+ σ
∫ T
t
∂
∂xF (s, Ss)SsdB
Hs
+Hσ2∫ T
ts2H−1 ∂
2
∂x2F (s, Ss)S
2sds. (6.6)
6.3.2.2 Distribution conditionnelle du mouvement Brownien fractionnaire
6.3.2.2.1 L’historique est connu en totalité On suppose ici connaître l’intégralité del’historique du chemin étudié.
Nous allons étudier la distribution conditionnelle de E[BHT |FH
t ], T > t où FHt = σ(BH
s , s ≤t) est la filtration générée par tous les BH
s , s ≤ t.
D’après un résultat dû à Nuzman et Poor ([NP00]) on peut écrire l’espérance conditionnellede BH
T sachant FHt comme suit :
2. Cette méthode utilise des fonctions d’utilité. Cf. [Bre79].3. Stochastic discount factor ou sdf en anglais, sont des outils permettant la valorisation de produits finan-
ciers complexes, tels les dérivés. Cf. [GM03] à ce sujet.
65
Chapitre 6 : Evaluation d’options dans un marché fractionnaire
BHT,t = E[BH
T |FHt ] = BH
t + (T − t)H+ 12
∫ t
−∞g(T, t, s)ds, (6.7)
avec g(T, t, s) =sin(π(H− 1
2))(BH
s −BHt )
π(t−s)H+12 (T−s)
et BHs , s ∈ R un mBf et T > t > 0.
Nous pouvons remarquer que l’espérance conditionnelle se décompose en deux parties :– BH
t qui est la valeur présente (en date t donc) du processus ;
– (T − t)H+ 12
∫ t−∞ g(T, t, s)ds qui constitue un terme aléatoire prenant en compte l’inté-
gralité de l’historique du processus. Pour H = 12 ce terme est évidemment nul.
Nous donnons une forme équivalent à 6.7 lorsque H > 12 :
BHT,t = E[BH
T |FHt ] = BH
t +
∫ t
−∞g(T − t, s− t)dBH
s , (6.8)
avec
g(v, w) =sin(π(H− 1
2))
π (−w)−H+ 12
∫ v0
xH−12
x−w dx.
De cette dernière équation on voit que la relation liant g et le temps restant à maturitéτ := T − t est d’ordre H − 1
2 . Ceci implique une relation concave entre τ et l’espéranceconditionnelle en cas de persistance. Dans le cas d’anti-persistance il existe au contraire unerelation convexe.
Sur la figure 6.1, directement empruntée à [Ros09], oùH > 12 , on observe que les réalisations
les plus anciennes ont un impact limité sur l’espérance conditionnelle, nous y reviendrons en6.3.2.2.2 ; cela est également vrai lorsque H < 1
2 .
Figure 6.1 – Représentation de g pour H = 0.8.
Pour t fixé nous définissons une classe d’équivalence en groupant les chemins wi, ∀i ayantdes trajectoires identiques jusqu’au temps t dans la classe [w1]t.
66
6.3 Black & Scholes fractionnaire
Nous nous intéressons à présent à la distribution conditionnelle de BHT à l’intérieur de la
classe d’équivalence [w1]t et notons w1 un élément représentatif de cette classe.
Il est possible de montrer 4 que la distribution conditionnelle de BHT à l’intérieur de la
classe d’équivalence [w1]t est une loi normale de paramètres :
– E[BHT |FH
t ](w1) = BHt (w1) +
∫ t−∞ g(T, t, s)(w1)ds := BH
t (w1) + µT,t ;
– Var(BHT |FH
t )(w1) = E[(BHT − BH
T,t)2|FH
t ] = ρH(T − t)2H := σ2T,t
avec ρH =sin(π(H− 1
2))
π(H− 12)
Γ( 32−H)2
Γ(2−2H) .
Nous pouvons faire les remarques suivantes :
– La variance ne dépend pas de la trajectoire suivie et dépend uniquement de T − t et deH, elle s’écrit comme le produit de deux termes :– (T − t)2H correspondant à la variance inconditionnelle. Selon la valeur de H la courbe
représentatrice de la variance est concave ou convexe, pour H = 12 la variance croît
linéairement,– ρH , qui est représentée sur la figure 6.2 atteint un maximum en H = 1
2 pour valoir1, ainsi variance conditionnelle et variance inconditionnelle sont égales, ce qui estlogique puisque l’historique n’intervient pas dans ce cas particulier. Lorsque H tendvers 1 alors ρH tend vers 0, dans le cas extrême où H = 1 il y a persistance totaleet par conséquent le futur peut être extrapolé exactement en connaissant les valeurspassées. A mesure que H augmente le doute ne subsiste plus et par conséquent lavariance conditionnelle diminue. Au contraire en cas d’anti-persistance la varianceconditionnelle est seulement réduite de moitié.
– La moyenne quant à elle dépend de la trajectoire suivie et doit être calculée sur l’ensemblede l’historique (l’intégrale est définie sur ]−∞, t]).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H
Rho
Figure 6.2 – Représentation de ρH .
4. Nous renvoyons le lecteur à [Ros09] pour la preuve, notons simplement que la normalité de la distributionconditionnelle est la conséquence du caractère gaussien du processus BH
T .
67
Chapitre 6 : Evaluation d’options dans un marché fractionnaire
6.3.2.2.2 L’historique est connu en partie Nous supposons à présent connaître seule-ment une partie du passé, disons de longueur de temps a.
Soit la filtration FHt,a = σ(BH
s , t−a ≤ s ≤ t). Nous allons à nouveau étudier la distribution
conditionnelle mais cette fois relativement à la filtration FHt,a. D’après [NP00] on a
BHT,t,a = E[BH
T |FHt,a] =
∫ t
t−aga(T − t, t− s)BH
s ds
où ga(x, y) = a−1(ya
)−H− 12(1− y
a
)−H− 12
[(12 −H
)βx/(x+1)
(H + 1
2 , 1− 2H)+ xH+1
2 (1+x)H−12 (1−y/a)
x+y/a
]
.
Soit la classe d’équivalence [w1]at =
w ∈ Ω|BH
s (w) = BHs (w1), ∀t− a ≤ s ≤ t
. La distri-
bution conditionnelle de BHT basée sur l’observation [w1]
at est une loi normale de paramètres :
– µT,t,a = E[BHT |FH
t,a](w1) =∫ tt−a ga(T − t, t− s)BH
s (w1) ds ;
– σ2T,t,a = Var(BHT |FH
t,a)(w1) := E[(BHT − BH
T,t,a)2|FH
t,a](w1) = (T − t)2H(1− ρH,a)
avec ρH,a := 1−H∫ a/(T−t)0 ga/(T−t)(1,−s)((1 + s)2H−1 − s2H−1)ds.
Il est intéressant de regarder ce qu’il se passe lorsque a→ T − t. Dans ce cas il a été prouvépar Gripenberg et Norros ([GN96]), que ρH,a → ρH et σT,t,a → σT,t. Concernant la variance,un historique limité est justifié. Il n’en va pas de même pour la moyenne, toutefois nous noussouvenons à propos de la figure 6.1 avoir remarqué que les réalisations les plus anciennes ontun impact limité. Ainsi est-il possible de ne considérer qu’une partie de l’historique, toutefoisil est évident qu’il est préférable de disposer de l’ensemble des informations possibles.
6.3.2.3 Théorème d’Itô fractionnaire conditionnel
Nous considérons à présent le processus de prix géométrique St d’un point de vue condi-tionnel. Soit Ss = Ss|[w1]t la restriction du processus St à l’espace probabilisé généré par laclasse d’équivalence [w1]t.
On a en utilisant 5 6.6 :
F (T, ST ) = F (t, St) +
∫ T
t
∂
∂sF (s, Ss)ds+
∫ T
tµ(s)
∂
∂xF (s, Ss)Ssds
+ σ
∫ T
t
∂
∂xF (s, Ss)SsdB
Hs + ρHHσ
2
∫ T
t(s− t)2H−1 ∂
2
∂x2F (s, Ss)S
2sds (6.9)
6.3.2.4 Evaluation du prix d’une option européenne
Nous disposons à présent des éléments nécessaires pour établir le prix d’une option euro-péenne.
Nous ne nous intéressons qu’au cas d’une option d’achat dont le prix en date t sur la basede la classe d’équivalence [w1]t s’écrit CT,H(t) = e−r(T−t)
E[(St −K, 0)+|Ft].
En marché incomplet il n’y a pas unicité de la mesure risque neutre. Une possibilité est deconsidérer la mesure QSV satisfaisant :
EQSV [e−r(T−t)ST ] = St.
5. Cf. [Ros09] pour la démonstration.
68
6.3 Black & Scholes fractionnaire
Malheureusement cette mesure ne permet pas d’exploiter l’information disponible à partir del’historique des données.
Stephan Rostek propose au contraire d’exploiter l’historique disponible et introduit unemesure Q satisfaisant l’égalité suivante :
EQ[e−r(T−t)ST |FH
t ] = St. (6.10)
Dans les deux cas il s’agit de considérer que l’espérance actualisée de la valeur de l’actif enT est égale à sa valeur courante St.
Nous allons voir que pour obtenir l’égalité 6.10 nous allons introduire un paramètre d’ajus-tement que l’on notera µ, nous verrons également que ce paramètre est unique.
Afin d’exploiter 6.10 nous devons considérer la distribution conditionnelle de ST sachant[w1]t. Pour ce faire appliquons 6.9 avec F (s, Ss) = ln Ss, nous obtenons
ln ST = ln St + µ(T − t)− 1
2ρHσ
2(T − t)2H + σ(BHT − BH
t ).
Nous pouvons à présent appliquer les résultats de la partie 6.3.2.2.1 et obtenir les momentssuivants en ayant préalablement remarqué que les trois premiers termes de cette dernièreéquation sont déterministes :
– m = E[ln ST ] = E[ln ST |FHt ](w1) = lnSt + µ(T − t)− 1
2ρHσ2(T − t)2H + σµT,t ;
– v = E[ln ST −m]2 = E[(ln ST −m)2|FHt ](w1) = ρHσ
2(T − t)2H ;
avec µT,t et ρH déjà introduits.
Nous en déduisons que ST suit une loi log-normale de moments :
M = em+ 12v = Ste
µ(T−t)+σµT,t (6.11)
V = e2m+2v − e2m+v = S2t e
2µ(T−t)(
eρHσ2(T−t)2H − 1)
. (6.12)
Or la moyenne M du processus conditionnel St est égale à la moyenne du processus condi-tionnel St d’où
E[ST |FHt ] =M = Ste
µ(T−t)+σµT,t . (6.13)
Nous pouvons écrire à présent le processus de prix sous la forme suivante où µ est leparamètre d’ajustement dont nous avons déjà parlé :
ST = St +
∫ T
tµSsds+
∫ T
tσSsdB
Hs (6.14)
En insérant 6.13 dans 6.10 on obtient
µ(T − t) = r(T − t)− σµT,t. (6.15)
Nous remarquons que µ(T − t) se décompose en deux parties :
– r(T − t) qui est la composante que l’on retrouve dans le modèle standard de Black &Scholes ;
– −σµT,t, terme correctif qui se déduit de l’historique et qui vaut évidemment 0 dans lemodèle standard. Plus la volatilité σ est élevée plus la correction est importante.
69
Chapitre 6 : Evaluation d’options dans un marché fractionnaire
En combinant 6.11, 6.12 et 6.15 il vient les moments conditionnels de lnST :
m = lnSt + r(T − t)− 1
2ρHσ
2(T − t)2H ;
v = ρHσ2(T − t)2H .
(6.16)
La densité associée au processus conditionnel ST - qui est naturellement la densité condi-tionnelle de ST relativement à la classe d’équivalence [w1]t - s’écrit :
f(x)|[w1]t =1
x√2πv
e−12
(ln x−m)2
vIx>0 .
A partir de cette densité et en utilisant les calculs menant à l’établissement de la formulede Black & Scholes classique on obtient
CT,H(t) = e−r(T−t)EQT,t [max(ST −K, 0)|FH
t ] = Stem+ 1
2v−r(T−t)N(d1)−Ke−r(T−t)N(d2).
où
dH1 =m+ v − lnK√
v;
dH2 =m− lnK√
v= d1 −
√v.
(6.17)
On conclut en insérant m et v du système 6.16 dans 6.17, ce qui donne le résultat recherché(6.2 et 6.3).
6.4 Etude de l’impact de H
Nous allons étudier l’impact de H sur le prix d’un Call fractionnaire.
Sur la figure 6.3 on peut observer un comportement du prix du Call différent selon lamaturité τ := T − t. De façon plus précise 6 :
– A très court terme, ie τ ≤ 14 , le prix décroît lorsque H augmente ;
– Pour τ ∈]14 , 1[ le prix connaît un maximum pour une valeur de H < 12 ;
– Pour τ = 1 le prix connaît un maximum lorsqu’il y a indépendance, c’est-à-dire lorsqueH = 1
2 ;– Pour τ > 1 le prix connaît un maximum lorsque H > 1
2 .
En résumé, plus la maturité τ est élevée plus la valeur critique de H qui maximise le prixd’un Call est élevée.
Sur les figures 6.4, 6.5 et 6.6 nous donnons à titre informatif l’évolution du prix d’un Putà la monnaie, hors de la monnaire et dans la monnaie respectivement.
6. Une présentation analytique et plus détaillée est fournie dans [Ros09] ; nous n’abordons pas certainspoints qui ne présentent qu’un intérêt d’ordre théorique car les valeurs de H considérées ne se retrouvent pasdans les applications réelles.
70
6.5 Etude de la volatilité
Figure 6.3 – Evolution du prix d’un Call à la monnaie en fonction de H, T − t (K = 100, r =0.2, σ = 0.2. En noir H = 0.5, en rouge H = 0.1, en vert H = 0.9).
6.5 Etude de la volatilité
La remarque 4 nécessite que l’on s’y arrête quelques instants. L’EDS associée et qui pourmémoire s’écrit St = rStdt + σ
√ρHt
H− 12StdW
Ht laisse apparaître une volatilité, σ
√ρHt
H− 12 ,
qui varie à la fois avec le temps et avec le paramètre de Hurst H. Plus précisément, avec poursupport visuel la figure 6.7, on peut dire que :
– Pour H = 12 la volatilité reste constante quel que soit t ;
– Pour H > 12 , donc en période de persistance, la volatilité croît avec le temps. A court
terme les trajectoires sont régulières, la volatilité est donc relativement faible. A pluslong terme, le caractère de longue dépendance du mBf conduit à des déviations parrapport à la moyenne plus importantes que dans la cas H = 1
2 ;– Pour H < 1
2 , donc en période d’anti-persistance, la volatilité décroît avec le temps. Atrès court terme celle-ci est normalement élevée puisque les trajectoires sont irrégulières,mais à plus long terme le caractère de retour à la moyenne des trajectoires se traduitpar une incertitude moins élevée que dans le cas H = 1
2 .
6.6 Les grecs fractionnaires
Tout comme dans le cadre standard il est possible de calculer des dérivées partielles deS par rapport aux différents paramètres et ce dans le but d’obtenir des formules analytiquespour les grecs ; les formules, dont le lecteur trouvera le détail des calculs dans [Ros09], sontdonnées ci-dessous :
71
Chapitre 6 : Evaluation d’options dans un marché fractionnaire
Figure 6.4 – Evolution du prix d’un Put à la monnaie en fonction de H, T − t (K = 100, r =0.2, σ = 0.2. En noir H = 0.5, en rouge H = 0.1, en vert H = 0.9).
Figure 6.5 – Evolution du prix d’un Call hors de la monnaie en fonction de H, T − t (K =120, r = 0.2, σ = 0.2. En noir H = 0.5, en rouge H = 0.1, en vert H = 0.9).
Figure 6.6 – Evolution du prix d’un Call dans la monnaie en fonction de H, T − t (K =80, r = 0.2, σ = 0.2. En noir H = 0.5, en rouge H = 0.1, en vert H = 0.9).
72
6.6 Les grecs fractionnaires
Figure 6.7 – Volatilité implicite σ√ρHt
H− 12 avec σ = 1. En noir H = 0.5, en rouge H = 0.1,
en vert H = 0.9.
∆H =∂CH
∂S=N(dH1 )
ΓH =∂2CH
∂S2=
ϕ(dH1 )
St√ρHσ(T − t)H
ΘH =∂CH
∂T=H
Stϕ(dH1 )
√ρHσ
(T − t)1−H+ rKe−r(T−t)N(dH2 )
H =∂CH
∂r=K(T − t)e−r(T−t)N(dH2 )− (T − t)StN(dH1 )
νH =∂CH
∂σ=Stϕ(d
H1 )
√ρH(T − t)H
avec ϕ la dérivée de la loi normale.
L’utilisation des grecs fractionnaires est à proscrire pour l’usage de couverture puisqueleur calcul nécessite de travailler sur des temps très petits (puisque découlant de calculs dedérivées) ce qui est contraire à l’hypothèse assurant le respect de l’AOA. L’étude de sensibilitépar rapport à T reste possible.
73
Chapitre 7
Contrats en euro et en unités decompte, garanties en cas de décès/vie
Sommaire
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Contrat en euro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3 Contrat en unités de compte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4 Garanties en cas de décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5 Garanties plancher en cas de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Dans ce chapitre nous discutons des contrats en euro et des contrats en unitésde compte et des garanties que l’on peut éventuellement y adosser.
7.1 Introduction
Les contrats en euro et les contrats en unités de compte représentent deux types d’investis-sement bien différents. Dans le premier cas la prudence est de mise tandis que dans le secondcas un risque plus ou moins important est accepté par le souscripteur de tels contrats.
Les figures 7.1, 7.2 et 7.3 donnent un aperçu des sommes investies dans l’assurance vie etcapitalisation depuis 2002. Juillet 2011 est le huitième mois de baisse de la collecte, ainsi surles sept premiers mois de l’année 2011 le montant des cotisations collectées est en baisse de12% par rapport à la même période en 2010.
Pour avoir une idée de la proportion des deux types de contrat donnons les chiffres del’année 2010 où la part des contrats en UC représente 13% et 87% pour les contrats en euro,ces pourcentages évoluent d’une année sur l’autre mais restent malgré tout dans des proportionstrès avantageuses pour les contrats en euro.
Détaillons à présent ces deux types de contrats.
75
Chapitre 7 : Contrats en euro et en unités de compte, garanties en cas de décès/vie
Figure 7.1 – Collecte nette (en milliards d’euros).
Figure 7.2 – Encours (en milliards d’euros).
Figure 7.3 – Cotisation assurance vie et capitalisation (en milliards d’euros).
76
7.2 Contrat en euro
7.2 Contrat en euro
Le capital investi dans les contrats en euro est garanti par l’assureur, ainsi le contrat neperd pas d’argent. Le capital est investi dans des fonds monétaires 1 et obligataires, seule unepetite partie peut être investie dans des actifs risqués comme les actions.
Les produits financiers proviennent des coupons pour les obligations, des dividendes pourles actions, des loyers pour l’investissement immobilier, il convient ensuite de retirer les éven-tuelles provisions (dotation pour la provision pour dépréciation durable, dotation à la participa-tion aux excédents), les frais de gestion ; s’ajoutent éventuellement les reprises à la participationaux bénéfices dotée lors des exercices précédents.
Le taux technique constituant le taux minimum garanti, le cas échéant, doit être inférieurà min (60% du TME , 3.5%) vu à la date de souscription. En pratique il s’agit du taux desOAT à échéance 10 ans ; c’est une moyenne glissante des 6 derniers mois avec arrondi à 0.25%.Pour les contrats à prime unique, pendant les huit premières années, l’assureur peut garantir75% du TME 2.
Les bénéfices non versés une année doivent l’être dans un délai de 8 ans, en effet l’assureurn’est pas obligé de verser l’intégralité 3 chaque année, il peut en effet en garder à titre deréserve ce qui lui permet de lisser les performances d’une année sur l’autre. Les bénéfices sontversés de façon discrétionnaire, aucune règle ne fixe la répartition entre les différents contrats.
Nous donnons dans le tableau 7.1 le rendement moyen annuel constaté sur le marchédepuis 2001. Pour analyser la performance en terme de pouvoir d’achat il faut tenir comptede l’inflation, ainsi l’année 2009 est une bonne année selon ce critère.
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Rentabilité 5.3 % 4.8 % 4.5 % 4.4 % 4.2 % 4.1 % 4.1 % 3.9 % 3.7 % 3.2 %
Table 7.1 – Rendement des Contrats en euro.
7.3 Contrat en unités de compte
Tandis que le capital investi dans des contrats en euro est garanti il n’en va pas de mêmedans les contrats en unités de compte où seul le nombre d’unités de compte est garanti ; la listedes supports admissibles est détaillée aux articles L131-1 et R131-1 du Code des Assurances.La valeur de ces unités de compte peut fluctuer en fonction des conditions du marché aussibien à la baisse qu’à la hausse entraînant donc un risque non négligeable de pertes financièrescomme on a pu le constater ces dernières années 4 ; autant ces contrats peuvent donc subir des
1. Emprunts d’Etat.2. TME = Taux Moyen des Emprunts d’Etat3. Le montant minimal de la PB est égal à la somme de 85% des bénéfices financiers et du solde des
bénéfices techniques (différence entre les frais prélevés et les frais réels) s’il est débiteur ou de 90% s’il estcréditeur. Notons l’existence des contrats d’assurance vie à participation aux bénéfices différée qui reportent leversement des bénéfices, ce report étant au maximum de 8 annnées. Ainsi tout rachat partiel ou total avant leterme du contrat entraîne la perte des droits aux bénéfices, en cas de décès la perte est également totale, saufsouscription à une garantie. L’intérêt de tels contrats est fiscal.
4. Notons toutefois que ce genre d’investissement s’apprécie sur du long terme, la fiscalité est d’ailleurs plusgénéreuse pour les contrats ayant au moins huit années d’existence.
77
Chapitre 7 : Contrats en euro et en unités de compte, garanties en cas de décès/vie
pertes plus ou moins sérieuses et ce, selon le type de gestion actif passif mis en place 5 autantils peuvent également être favorables au souscripteur. On peut remarquer sur le tableau 7.2que ces contrats ont tendance à suivre de plus ou moins près la performance du CAC40 6 .
2005 2006 2007 2008 2009 2010
unités de compte 14,60% 8,90% 1,30% -22,30% 14,80% -1,10%
CAC40 23,40% 17,50% 1,50% -42,70% 22,30% -3,30%
Table 7.2 – Rendement des contrats en UC et du CAC40.
Ce type de contrat est souvent proposé aux souscripteurs sous différentes formes selonleur aversion au risque : prudent (peu risqué), équilibré (moyennement risqué), dynamique(relativement risqué), profilé (contrat "sur-mesure") ...
Une fois le contrat souscrit, le capital, net de frais, est converti en un nombre d’unités decompte indiqué dans le contrat remis par l’assureur au souscripteur, le contrat indique pourles années futures le nombre d’unités garanties par l’assureur. La valeur de rachat de ces unitésde compte, inconnue par le souscripteur au moment du rachat, est une valeur d’inventaire.
Pour conclure, indiquons que depuis la loi du 26 juillet 2005, si l’assureur l’autorise 7, il estpossible de transformer un contrat d’assurance vie monosupport en un contrat multisupportsans perdre l’antériorité fiscale du contrat original sous la condition d’un minimum 20% del’épargne transférée investie en unités de compte . Pour l’assureur, cela permet de diminuer lesfonds propres puisque le risque est alors assumé par les souscripteurs et non par la compagnied’assurance.
7.4 Garanties en cas de décès
Les contrats en unités de compte, peuvent présenter des risques importants pour le sous-cripteur/bénéficiaire. L’assureur a la possibilité de prendre en charge une partie du risque encontre-partie d’une prime.
7.4.1 Garantie plancher
Certains contrats prévoient à la souscription du contrat une garantie plancher en cas dedécès de l’assuré venant compléter, le cas échéant, le versement de la valeur de rachat. Lecapital versé au décès de l’assuré ne pourra être inférieur à la somme des versements nets defrais, nets des éventuels rachats partiels. Ce capital peut toutefois être plafonné à un certainpourcentage de la valeur de rachat.
7.4.2 Garantie majorée
Le capital garanti peut être égal à la valeur de rachat plus un capital - fixe ou en pourcentagedu capital atteint - supplémentaire sur lequel porte donc la garantie.
5. Mesuré par le tracking error.6. Nous parlons du CAC40 par simplicité mais ce n’est pas, bien entendu, la seule référence.7. Il s’agit ainsi d’une possibilité offerte par la loi et non d’une obligation.
78
7.5 Garanties plancher en cas de vie
7.4.3 Garantie plancher indexée
Il s’agit d’une garantie plancher classique dont le montant garanti est revalorisé périodi-quement à partir d’un certain taux d’intérêt.
7.4.4 Garantie cliquée
Ici, quelle que soit la valeur d’une unité de compte au moment du rachat, le capital seravalorisé en fonction du plus haut cours enregistré depuis la souscription, par exemple 85%.
7.4.5 Garantie décès accidentel
En cas de décès accidentel de l’assuré un capital complémentaire pourra être versé auxbénéficiaires.
7.4.6 Garantie bonne fin
Sur certains types de contrat, des versements réguliers sont obligatoires, un arrêt des ver-sements entraînerait la clôture du contrat. La garantie bonne fin assure qu’en cas de décès oude coup dur l’ensemble des primes à verser jusqu’au terme du contrat sera pris en charge parl’assureur ; ainsi le contrat se déroule normalement jusqu’à son terme.
7.5 Garanties plancher en cas de vie
Moins répandues que les garanties en cas de décès les garanties en cas de vie se développent.
7.5.1 Garantie coup dur
Ce type de garantie permet de garantir le capital investi sur le contrat lorsque l’assuré estvictime d’un "coup dur" comme le décès du conjoint, atteinte d’une maladie grave, période dechômage, perte totale et irréversible d’autonomie.
7.5.2 Garantie en cas de vie pour un enfant mineur
Le principe est le même que celui d’une garantie plancher simple, l’élément déclencheurest le passage de la minorité à la majorité d’un enfant détenteur du contrat.
79
Chapitre 8
Coût d’une garantie plancher
Sommaire
8.1 Sans lissage du coût de la garantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Avec lissage tout au long de la durée du contrat . . . . . . . . . . . 82
8.3 Avec également prise en compte des taux de départ . . . . . . . . 82
8.4 Le coût de la garantie dépend de l’âge de l’assuré . . . . . . . . . . 82
En suivant la démarche d’évaluation d’une garantie plancher en marché standardnous donnons les formules valables dans un cadre fractionnaire. Un comparatif
entre ces deux cadres sera effectué. Nous suivons les notes de cours de FrédéricPlanchet donné à l’ISFA.
8.1 Sans lissage du coût de la garantie
Par souci de simplicité dans les notations, nous omettons la mesure sous laquelle les espé-rances sont calculées sachant que nous nous plaçons dans un cadre risque neutre et fraction-naire.
En cas de décès de l’assuré entre les dates i et i+ 1 que l’on supposera uniforme au coursde l’année, l’assureur devra verser max(K,Si+1), ce qui s’écrit également max(K,Si+1) =Si+1 + [K − Si+1]
+. Il vient immédiatement que le risque auquel est soumis l’assureur lors dudécès porte sur le deuxième terme de l’équation précédente, à savoir [K − Si+1]
+ qui est pardéfinition un Put.
En tenant compte de la mortalité et de l’actualisation il vient que la somme Vx, vue àl’origine, dont l’assureur doit supporter le risque pour un assuré d’âge x est
Vx =T∑
n=1
n−1pxqx+n−1E[e−rn[K − Sn]
+].
Connaissant l’expression d’un Put fractionnaire donnée en page 65 dont on reconnaît laprésence dans la formule précédente on peut écrire :
Vx =T∑
n=1
n−1pxqx+n−1[Ke−r(T−t)N(−dH2 )− StN(−dH1 )]. (8.1)
81
Chapitre 8 : Coût d’une garantie plancher
8.2 Avec lissage tout au long de la durée du contrat
Supposons à présent, situation plus réaliste, que l’assureur prélève un pourcentage α surl’encours des placements afin de financer la garantie tout au long de son existence.
A présent un décès ayant lieu entre les dates i et i + 1 coûte à l’asssureur Gi = [K −Si+1(1− α)i+1]+ −∑i
j=1 α(1− α)kSker(j+1−k).
En actualisant cette valeur il vient la formule suivante pour la garantie pour un assuré dex années :
Gx =T∑
i=1
ipxqx+i[P (S0(1− α)i+1,K, i+ 1)− (1− (1− α)i+1)S0].
On peut réécrire cette formule comme suit en utilisant la formule du Put fractionnaire :
Gx =
T∑
i=1
ipxqx+i[Ke−r(i+1)Φ(−dH2 (i+ 1))− S0(1− α)i+1Φ(−dH1 (i+ 1))]. (8.2)
Le taux de prélèvement servant à financer cette garantie s’obtient facilement en égalisantles engagements des deux parties, soit
Gx(αx) = 0.
8.3 Avec également prise en compte des taux de départ
Par simplicité nous supposons le taux de départ τ constant et ce quel que soit l’âge del’assuré. A la probabilité de décès s’ajoute donc également la probabilité de départ. Il vient :
Gx =T∑
i=1
ipx(1− τ)i[dx+i
lx+i(1− τ)P (S0(1− α)i+1,K, i+ 1)− (1− (1− α)i+1)S0
]
.
8.4 Le coût de la garantie dépend de l’âge de l’assuré
Le coût de la garantie dépend de l’âge de l’assuré ce qui peut avoir un effet rédhibitoirepour celui-ci, ceux en bonne santé auront alors moins d’intérêt à souscrire une telle assurancepar rapport à ceux en mauvaise santé, il y a donc un risque d’anti-sélection.
Un moyen de contourner cela peut consister à travailler par tranche d’âge : on créera destranches d’âge en fonction du risque encouru. Sur les populations très âgées et au vu du faibleeffectif de cette population l’assureur pourrait même aller au-delà en faisant supporter le risquepar tout le portefeuille par exemple.
82
Chapitre 9
Couverture de portefeuilles en marchéincomplet
Sommaire
9.1 Liminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Couverture en marché incomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3 Couverture de portefeuilles fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.4 Imperfection de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Après avoir expliqué la nécessité de disposer d’une procédure de couverture enmarché incomplet nous en exposons une en détail et étendons les résultats à
la couverture de portefeuilles fractionnaires.
9.1 Liminaire
Ce paragraphe est fortement inspiré de [SG08, Poc03].
L’incomplétude des marchés invalide le paradigme en finance de la réplication parfaite, lesbiens contingents ne peuvent ainsi plus être répliqués parfaitement par un portefeuille constituéd’actifs de base et le respect de l’hypothèse d’AOA n’est plus suffisant pour conduire à un prixunique 1. Il est ainsi nécessaire de concevoir des stratégies pour contourner ce problème touten admettant qu’il existera un risque lié à cette réplication imparfaite.
La solution que nous avons retenue repose sur l’introduction de critères additionnels depréférence basés sur la fonction d’utilité 2. Notons qu’un inconvénient des fonctions d’utilitéest justement le choix de cette fonction puisqu’il diffère d’un individu à l’autre, l’aversionétant propre à chaque individu. Ainsi, le gestionnaire devra faire un choix en tenant compte dedifférents paramètres, il pourra par exemple décider d’utiliser une fonction d’utilité qui pénaliseles pertes au-delà d’un certain seuil 3. Un avantage est qu’elles seront faciles à manipuler dansle cadre de notre étude.
1. Rappelons que nous avons proposé une mesure de risque neutre au chapitre 6.2. Cf. 4.4 pour un rappel sur les fonctions d’utilité.3. C’est le choix qui est réalisé par Benoit Pochard dans sa thèse ([Poc03]).
83
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
Notons que dans leur étude ([SG08]) sur la couverture d’options en présence de sauts(le marché est alors également incomplet), F.Gabriel et P. Sourlas ont opté pour une autresolution. Après avoir évoqué la possibilité d’utiliser une approche de surcouverture 4 ils utilisentune méthode de minimisation sous probabilité risque neutre de la variance des pertes résiduellesdu portefeuille de couverture.
9.2 Couverture en marché incomplet
9.2.1 Monte Carlo
Nous présentons une méthode de construction de portefeuille autofinançant adaptée à unmarché incomplet et valable pour un sous-jacent modélisé par une large classe de modèles etreposant sur l’utilisation d’une fonction d’utilité. Le portefeuille à couvrir sera constitué d’uneoption européenne. Nous suivons [Poc03].
Introduisons les notations suivantes :– Soit xk le cours du sous-jacent en date tk ;– Soit T la date de maturité ;– Soit δ le temps entre deux dates de rebalancement du portefeuille qui sont au nombre
de N ;– Soit Ck(xk) le prix de l’option au temps tk, sa valeur à maturité sera supposée connue ;– Soit U la fonction de risque choisie ;– Soit φk(xk) la part du sous-jacent dans le portefeuille en date tk.
La condition d’auto-financement mène à l’équation suivante 5 sur la richesse entre les tempstk et tk+1 :
∆Wk = eρCk(xk)− Ck+1(xk+1) + φk(xk)(xk+1 − eρxk)
avec ρ = rδ et r le taux de l’actif sans risque supposé exister.
La mesure, locale, de la qualité de la duplication est donnée par la fonction de risqueU(Wk). On notera RK le risque moyen obtenu à partir de l’ensemble des trajectoires utiliséespour le calcul.
Il convient à présent de minimiser Rk. Pour ce faire nous pouvons utiliser une approchepar simulation de Monte Carlo, NMC trajectoires devront être simulées. Il est nécessaire dedonner une forme particulière aux Ck(x) et φk(x), nous choisissons la suivante :
Ck(x) =
p∑
a=1
γkaCka (x)
φk(x) =
p∑
a=1
ΦkaF
ka (x)
avec p suffisamment grand pour garantir une bonne qualité dans les résultats des estima-tions.
Indiquons à présent comment trouver les valeurs de γka et Φka. Ceci peut se faire via un
algorithme à deux étapes en partant de la date de maturité pour remonter à la date deconstitution de la couverture :
4. Stratégie où le couvreur de l’option calcule le montant qu’il lui faut pour, dans tous les états du monde,construire une richesse terminale supérieure au payoff qu’il doit fournir à l’acheteur.
5. Cf. [Bou97].
84
9.2 Couverture en marché incomplet
– Si δ est suffisamment petit 6 alors on peut approcher Ck(xk) par Ck+1(xk+1) qui est déjàconnue puisque l’algorithme se fait à reculons. Il suffit alors de minimiser le problèmesuivant :
NMC∑
l=1
U(∆0, eρCk+1(x
lk)− Ck+1(x
lk+1) + (xlk+1 − eρxlk)
p∑
a=1
φkaFka (x
lk))
où ∆0 désigne un seuil de pertes ;– On recherche γ en résolvant un programme d’optimisation :
minγ
NMC∑
l=1
[
p∑
a=1
γkaCka (x
lk)− e−ρ(Ck+1(x
lk+1)− φk(xk)(x
lk+1 − eρxlk))]
2.
Nous donnons quelques précisions sur la mise en oeuvre. F ka sera choisie comme une fonc-
tion linéaire par morceaux, et Cka comme une fonction quadratique par morceaux. Ces deux
fonctions seront construites à partir de points d’arrêt qui seront déterminés de telle sortequ’entre deux points d’arrêt successifs il y ait toujours le même nombre de trajectoires, cespoints ne seront pas forcément les mêmes quel que soit k. On aura F k
a (x) = 0, si x < a,F ka (x) = 1 si x > a+ 1, et pour x ∈ [a, a+ 1] la fonction F k
a sera linéaire. La fonction Cka est
l’intégrale de F ka .
9.2.2 Monte Carlo - méthode avancée
La méthode précédente présente certains inconvénients. En effet, les valeurs de φk et Ck sontdépendantes de φk+1 et Ck+1 ce qui engendre un risque cumulatif d’erreurs numériques, d’autrepart l’hypothèse qui consiste à admettre que Ck(xk) peut être approché par Ck+1(xk+1) peutengendrer une source d’approximations trop grossières. Enfin, cet algorithme est gourmand entemps puisqu’il est nécessaire pour obtenir les φk et Ck de son choix d’en calculer un nombred’autant plus important que δ est petit et que T est grand. Aussi suivrons-nous la premièredes deux alternatives proposées dans [Ham10] et décrite ci-dessous.
Cette alternative, également basée sur une approche de Monte Carlo, ne fait intervenirqu’un seul et unique programme d’optimisation qui en plus est relativement rapide à exécuter.Ce programme qui permet d’estimer en 0 le prix Ck du Call et φk la part en actif dans lacouverture en date k, à l’horizon T est le suivant :
minCk,φk
MC∑
l=1
U(∆0 − (eρ − Ck + φk(xlk − eρxl0)))
sous la contrainte de richesse moyenne nulle : ∆W = 0.
6. Il est utile de préciser ce que nous entendons par le terme "petit". Nous sommes ici dans le cadred’une couverture où les transactions se font selon un certain rythme (qui peut éventuellement être adapté sinécessaire), plus ou moins fréquemment mais qui n’ont pas lieu de façon continue (par voie de conséquenceelles respectent au minimum un certain temps entre deux temps de transaction et vérifient ainsi l’hypothèsede rétablissement de l’AOA présentée en 5.4) ; du reste une couverture en temps continu est impossible dans laréalité mais la continuité est utile dans les calculs pour le cadre standard. Pour la mise en oeuvre de l’algorithmeil suffit donc d’avoir un δ > 0 qui puisse permettre d’approcher Ck(xk) par Ck+1(xk+1) tout en restant dansun cadre de couverture en temps non-continu. Notons tout de suite que, selon le niveau de fréquence destransactions choisi, approcher Ck(xk) par Ck+1(xk+1) prête à discussion, ce qui nous amènera à y revenir en9.2.2 en proposant une alternative à cette méthode.
85
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
On peut écrire ce programme de minimisation avec une écriture matricielle comme suit :
min∑
U(∆0 − (AY − Payoff))
s.c. Aeq Y = beq(9.1)
avec
A =
eρ x1k − eρx10...
eρ xMCk − eρxMC
0
Y =
(Ck
φk
)
Payoff =
C1k...
CMCk
beq =∑MC
l=1 Clk
Aeq =(
MCeρ∑MC
l=1 (xlk − eρxl0)
)
9.2.3 Application sur un modèle non fractal
Sur les figures 9.1, 9.2, 9.3 et 9.4 nous mettons en oeuvre la méthode alternative présentéeprécédemment et comparons avec les résultats théoriques 7 dans le cas d’une option d’achat.Nous avons décidé de choisir la fonction d’utilité de telle sorte qu’elle puisse permettre d’obtenirdes résultats proches entre ces deux types de couvertures, notre choix s’est porté sur la fonctiond’utilité linéaire 8, ce qui correspond à un investisseur neutre au risque. Comme nous pouvonsle constater les résultats sont bons, aussi bien pour le calcul du prix de l’option que pour lacouverture. Toutefois, il est à noter que pour des échéances très courtes (quelques jours) etpour une option clairement hors de la monnaie 9 (ici pour un prix d’exercice K = 105) alorsles résultats ne sont plus comparables.
9.3 Couverture de portefeuilles fractionnaires
9.3.1 Méthodologie
Nous allons appliquer les résultats de la partie précédente à des portefeuilles fractionnaires.Cependant il est nécessaire de s’arrêter quelques instants afin de discuter de l’une des hypo-thèses des méthodes présentées ci-dessus, à savoir la nécessité de connaître la valeur à maturitéde l’option à couvrir.
Nous avons vu que lorsque le sous-jacent suit une trajectoire fractionnaire alors le marchéest incomplet, il est donc tentant d’utiliser la démarche précédente. Néanmoins se pose unsouci. La méthode de couverture présentée ci-dessus déduit des trajectoires simulées, à partirde la valeur supposée connue de l’option à maturité, et le prix de l’option et la couverture,or nous savons qu’il faut introduire un paramètre d’ajustement (Cf. 6.3.2.4.) pour être en
7. La part investie dans le sous-jacent est donnée par le delta, qui vaut pour rappel N(d1) pour un Call et−N(−d1) pour un Put.
8. Cette fonction d’utilité conduit au paradoxe de Saint-Pétersbourg. Le lecteur/utilisateur est libre d’uti-liser toute fonction d’utilité à sa convenance, la méthodologie reste identique en tout point.
9. Le prix de cette option d’achat hors la monnaie est alors près de 400 fois inférieur au prix de la mêmeoption mais à la monnaie pour une maturité de 2 jours.
86
9.3 Couverture de portefeuilles fractionnaires
0 2 4 6 8 10
−0.
51.
5
Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique (K= 100 )
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−80
−20
Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique (K= 105 )
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
52.
0
Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique (K= 101 )
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
0.0
0.6
Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique (K= 90 )
Temps en année
%
Figure 9.1 – Prix de l’option obtenue selon la méthode de couverture par MC - alternative(S0 = 100, r = 0.04, σ = 0.2, T = 10, h = 1/252) pour plusieurs valeurs du prix d’exercice.
mesure de calculer le prix de l’option sous peine de violer l’AOA. En effet dans le cas continul’introduction de ce paramètre d’ajustement permet d’obtenir la formule fermée 10 6.2 .
Pour contourner ce problème nous nous proposons de construire des trajectoires qui devrontsatisfaire les deux critères suivants :
– Les trajectoires auront pour payoff ladite valeur de l’option considérée ;– Les trajectoires auront pour espérance la valeur initiale du sous-jacent considéré.
Nous proposons ainsi de considérer un faisceau de trajectoires et plus précisément autantde faisceaux qu’il y a de points pour lesquels nous souhaitons calculer la couverture, disons F .
Pour le faisceau f ∈ [1, F ] nous chercherons uniquement à respecter les deux critèresen une seule et unique date tf ∈ [0, T ]. En fait cela est très simple à faire et ne nécessiteaucune résolution numérique de problème d’optimisation. En effet, il suffit de se rappeler de la
10. Le lecteur intéressé par la méthode d’évaluation par arbre binomial constatera qu’il en est de même dansce cas : on introduit un paramètre d’ajustement à chaque niveau de l’arbre.
87
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
0 2 4 6 8 10
−0.
10.
3
Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique(K= 100 )
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
02
4
Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique(K= 105 )
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
20.
4
Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique(K= 101 )
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
20.
1
Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique(K= 90 )
Temps en année
%
Figure 9.2 – Etude de la méthode de couverture par MC - alternative (S0 = 100, r = 0.04, σ =0.2, T = 10, h = 1/252) pour plusieurs valeurs du prix d’exercice.
remarque 4 qui lie le prix d’un Call (resp. Put) fractionnaire au prix d’un Call (resp. put) non
fractionnaire : l’EDS cherchée pour le faisceau f s’écrira donc dSt = rStdt+σ√ρHt
H− 12
f StdWt,l’EDS est ainsi non fractionnaire. Cette EDS permet donc d’avoir un payoff égal à la valeurthéorique de l’option fractionnaire et sa valeur actualisée est égale à la valeur initiale. Laméthode de couverture en marché incomplet peut donc s’appliquer aisément.
9.3.2 Exemple d’application
Par simplicité 11 nous nous plaçons ici dans le cas où l’option d’achat est à la monnaieet où nous utilisons une fonction d’utilité linéaire. En effet, nous avons vu que pour H =12 la couverture obtenue selon la méthode présentée 9.2.2 est comparable à la couverturethéorique 12.
11. Dans le cas général la part en actifs risqués est donnée par φk (cf. 9.3.1).
12. Pour éviter toute confusion nous rappelons que la volatilité s’écrit σ√ρHt
H−12
f .
88
9.3 Couverture de portefeuilles fractionnaires
0 2 4 6 8 10
−0.
51.
5
(a) Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
51.
5
(b) Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
51.
5
(c) Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
51.
5
(d) Erreur relative du prix estimé de l’option par rapport au prix théorique
Temps en année
%
Figure 9.3 – Etude de la méthode de couverture par MC - alternative (S0 = 100,K = 100)pour plusieurs valeurs du prix d’exercice : (a) r = 8%, σ = 35%, (b) r = 2%, σ = 15%, (c)r = 10%, σ = 35%, (d) r = 4%, σ = 45%.
Aussi pour les calculs de la couverture nous prendrons les formules théoriques 13 issues ducadre standard et noterons 14 N(dH1 ) la quantité de sous-jacent présente dans la couverture.
La figure 9.5 ci-dessous représente la quantité N(dH1 ) et ce, pour différentes valeurs duparamètre de Hurst et pour différentes maturités.
Avec ces paramètres on note que dans les cas extrêmes l’allocation en actifs risqués variedu simple au double.
13. Vue en 0 la couverture comprendra N(dH1 ) d’actifs dans le cas d’un Call européen, et −1 +N(dH1 ) dansle cas d’un Put européen.
14. Cf. 6.3 pour la définition de dH1 .
89
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
0 2 4 6 8 10
−0.
40.
2
(a) Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
100.
15
(b) Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
60.
2
(c) Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique
Temps en année
%
0 2 4 6 8 10
−0.
20.
2
(d) Erreur relative de la couverture simulée par rapport à la couverture théorique
Temps en année
%
Figure 9.4 – Prix de l’option obtenue selon la méthode de couverture par MC - alternative(S0 = 100,K = 100) pour plusieurs valeurs du prix d’exercice : (a) r = 8%, σ = 35%, (b)r = 2%, σ = 15%, (c) r = 10%, σ = 35%, (d) r = 4%, σ = 45%.
9.4 Imperfection de couverture
Nous suivons ici [NTPT11].
Dans la mise en oeuvre de la couverture deux facteurs engendrent des imperfections :
– La mutualisation imparfaite des décès ;– L’impossibilité de réajuster la position suffisamment fréquemment.
Nous considérons pour la suite, par simplification, qu’il y a mutualisation parfaite desdécès, hypothèse considérée vraie pour des portefeuilles de taille suffisante.
L’analyse du coût de l’imperfection peut être évaluée en introduisant des coûts de transac-tion, supposés proportionnels aux volumes échangés. Ces coûts de transaction sont de deuxnatures :
– D’une part le coût dû aux transactions (achats/ventes) ;
90
9.4 Imperfection de couverture
Figure 9.5 – Couverture d’un Call fractionnaire : quantité en sous-jacent (S0 = 100,K =100, r = 0.04, σ = 0.3, T = 10, h = 1/52).
– D’autre part le coût dû au caractère discret des réallocations.
Nous introduisons les notations suivantes :– δ le pas de réallocation du portefeuille ;– αi la part en actif risqué en date i et βi la part en actif sans risque du portefeuille en
date i permettant la duplication du put [K − ST ]+ ;
– Wt = −P (St, T − t,K, r, σ) + αtSt + βt la valeur du portefeuille d’arbitrage en date t ;– c le taux de transaction, supposé constant.
Nous avons vu précédemment comment obtenir 15 αt, la valeur de βt en découle : βt =P (St,−tT,K, r, σ)− αtSt puisque l’on cherche à avoir Wt = 0 quel que soit t.
9.4.1 Erreurs de réallocation
L’erreur de réallocation
Wt = P (St, T − t,K, r, σ)− αt−1St−1 − βt−1e−rh = (αt − αt−1)St + (βt − βt−1e
rh)
correspond à la différence entre le nouveau portefeuille construit en t et la valeur en t duportefeuille construit en t− 1, c’est ainsi le montant échangé en t.
9.4.2 Coûts de transaction
Le coût de transaction
Ct = c(|αt − αt−1|St + |βt − βt−1|)
correspond aux coûts engendrés par la vente et l’achat des deux types d’actifs pour maintenir enpermanence (à chaque date de rebalancement) les quantités assurant la réplication de l’option.
15. Dans le cas général il s’agit de la quantité φk de 9.2.2, pour notre choix de fonction d’utilité il s’agit dela quantité N(dH1 ), cf. 9.3.
91
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
9.4.3 Total des coûts
La valeur totale
WTotal = c(α0S0 + β0) +
T/δ−1∑
t=1
(Wt + Ct)e−t∗δ∗r
correspond à la somme des coûts de transaction et des coûts liés aux erreurs de réallocation.
9.4.4 Charge future
La valeur actuelle de la charge future s’écrit :
L = E[([K − St]+ − (1− c)(αt−1St + βt−1e
hr))e−rT +WTotal + (1 + c)(α0S0 + β0)].
9.4.5 Stratégies de couverture
Parmi les stratégies possibles citons-en quelques-unes :
1. Aucune stratégie : le portefeuille est figé dès le départ, les conséquences peuvent êtrecatastrophiques ;
2. Rebalancement périodique (journalier, hebdomadaire, mensuel ...) du portefeuille : onintervient de façon fixée à l’avance selon une certaine fréquence ;
3. Rebalancement n’intervenant que lorsque les frais de rebalancement du portefeuille dé-passent un seuil fixé à l’avance.
9.4.6 Résultats
Nous comparons ici les deux premières stratégies décrites ci-dessus sachant que la méthodede couverture utilisée est celle décrite en 9.3.1 et que nous faisons les mêmes considérationsqu’en 9.3.2, c’est-à-dire que nous utilisons les formules d’une couverture standard. Nous dési-gnerons cette stratégie sous le nom de stratégie Delta par analogie avec le modèle classique deBlack & Scholes. A ce titre nous considérons le portefeuille suivant :
– 10000 trajectoires ;– Volatilité σ = 0.25 ;– Dérive historique µ = 0.085 ;– Taux d’intérêt sans risque r = 0.05 ;– Prix d’exercice K = 100 ;– Durée du contrat T = 10 ;– Prix initial du sous-jacent S0 = 100 ;– Coût de transaction c = 0.01 ;– 1000 assurés âgés de 45 ans ;– Pas h = 1/12.
Les tableau 9.1 et figures 9.6 à 9.14 présentent les résultats de l’étude de la mesure d’im-perfection de la couverture pour le portefeuille décrit ci-dessus pour différentes valeurs de Hallant de 0.1 à 0.9.
Commençons par remarquer qu’à mesure que H croît les indicateurs se dégradent lors-qu’aucune stratégie particulière ("No Hedging") n’est mise en oeuvre, cela se traduit sur lesfigures 9.6 à 9.14 par une distribution qui s’étale de plus en plus à mesure que H croît ; au
92
9.4 Imperfection de couverture
contraire les indicateurs s’améliorent à mesure que H croît pour la stratégie Delta, sur lesfigures cela se voit à travers la distribution du coût qui se concentre autour du mode, lequelse rapproche de zéro.
Lorsque H ≤ 12 , contrairement à l’absence de stratégie de couverture, les indicateurs pour
la stratégie Delta se dégradent à mesure que H diminue et la méthode de couverture finit parêtre en défaut, ceci peut s’expliquer par le phénomène d’anti-persistance. En effet :
– En cas de non couverture ("No Hedging") : le caractère de retour à la moyenne 16 en-gendrera des coûts faibles ;
– En cas de stratégie Delta : au contraire, sur de courtes périodes l’irrégularité des trajec-toires engendrera des transactions qui finiront par être nombreuses et donc coûteuses.
Pour H ≥ 12 :
– En cas de non couverture ("No Hedging") : la hausse du coût moyen s’explique par lefait que les trajectoires, de plus en plus régulières à mesure que H croît, s’écartent deplus en plus de leur valeur initiale et ainsi engendre des coûts de plus en plus élevés ;
– En cas de stratégie Delta : le coût moyen baisse à mesure que H croît, cette stratégie estclairement efficace même si l’écart-type augmente. Le fait que la volatilité des trajectoiressur du court terme est de plus en plus faible à mesure que H croît rend les transactionsmoins nombreuses et par voie de conséquence les coûts baissent.
Expected MedianStandarddeviation
VaR99.75% VaR1% VaR5% CTE99.75% CTE1% CTE5% Maximum
H = 0.1No Hedging 140 63 202 1251 972 554 1252 974 566 2140
Delta Hedge 4848 4864 2144 10189 9462 8318 10190 9467 8352 11233
H = 0.2
No Hedging 215 89 309 1777 1411 886 1778 1414 903 2847
Delta Hedge 3183 3258 1170 6011 5621 5011 6011 5624 5030 7106
H = 0.3No Hedging 309 124 432 2302 1923 1271 2303 1926 1291 3311
Delta Hedge 1989 2022 606 3520 3285 2953 3521 3287 2964 4358
H = 0.4No Hedging 428 168 570 2838 2400 1684 2839 2403 1705 3664
Delta Hedge 1206 1197 253 1954 1827 1634 1954 1828 1639 2330
H = 0.5No Hedging 575 240 722 3318 2834 2134 3319 2837 2155 3947
Delta Hedge 804 795 173 1404 1270 1088 1405 1271 1094 1789
H = 0.6No Hedging 757 368 883 3698 3228 2571 3698 3231 2592 4221
Delta Hedge 574 577 184 1340 1150 868 1341 1151 876 1683
H = 0.7
No Hedging 976 578 1045 4057 3619 2989 4057 3622 3008 4589
Delta Hedge 463 444 243 1444 1225 869 1445 1226 879 1928
H = 0.8No Hedging 1232 939 1192 4339 3934 3357 4339 3937 3375 4956
Delta Hedge 405 379 301 1594 1308 918 1594 1310 930 2149
H = 0.9No Hedging 1521 1464 1307 4551 4200 3655 4551 4203 3672 5181
Delta Hedge 325 312 337 1576 1282 890 1576 1284 902 2196
Table 9.1 – Indicateurs de risque du coût
16. Cf. 6.5.
93
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
0.00
00.
002
0.00
40.
006
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 9.6 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.1
0 2000 4000 6000
0.00
00.
001
0.00
20.
003
0.00
40.
005
DFC
Den
sity
No hedging
Delta hedging
Figure 9.7 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.2
94
9.4 Imperfection de couverture
0 1000 2000 3000 4000
0.00
00.
001
0.00
20.
003
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 9.8 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.3
0 1000 2000 3000 4000
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
0.00
200.
0025
DFC
Den
sity
No hedging
Delta hedging
Figure 9.9 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.4
95
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
0 1000 2000 3000 4000
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
0.00
200.
0025
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 9.10 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.5
0 1000 2000 3000 4000
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
0.00
200.
0025
0.00
30
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 9.11 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.6
96
9.4 Imperfection de couverture
−1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 9.12 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.7
−1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
0.00
000.
0002
0.00
040.
0006
0.00
080.
0010
0.00
120.
0014
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 9.13 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.8
97
Chapitre 9 : Couverture de portefeuilles en marché incomplet
−1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0e+
002e
−04
4e−
046e
−04
8e−
041e
−03
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 9.14 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.9
98
Chapitre 10
Contrat en UC avec garantieplancher : application
Sommaire
10.1 Présentation du support : CAC40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 Estimation de la constante de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.3 Estimation de la fonction de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.4 Estimation des paramètres µ et σ par inférence indirecte . . . . . 104
10.5 Valorisation de la garantie plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.6 Couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Dans ce chapitre nous étudions un portefeuille constitué d’un contrat en unitésde compte avec garantie plancher. La garantie reposera sur le CAC40. Nous
supposons que le montant garanti est équivalent à la somme versée en début decontrat.
10.1 Présentation du support : CAC40
Sur la figure 10.1 nous présentons l’évolution du CAC40, sur la période allant du 31/12/1987au 02/09/2011, dont nous allons modéliser le cours à l’aide d’une EDS dirigée par un mouve-ment Brownien (multi)fractionnaire.
10.2 Estimation de la constante de Hurst
Dans un premier temps nous considérons que l’EDS suivie par le CAC40 est dirigée par unmBf. Le tableau 10.1 donne les valeurs de H estimées selon les différentes méthodes étudiéesdans ce mémoire et présentées en 3.3.
Outre des résultats relativement proches entre les différentes méthodes, ce qui est à retenirc’est que si l’on considère la fonction de Hurst constante alors celle-ci est très proche de H = 1
2 ,ce qui signifie qu’il y a quasi-indépendance des réalisations du mouvement Brownien dirigeantl’EDS et donc que l’approche fractale n’est pas nécessaire dans le cas présent.
99
Chapitre 10 : Contrat en UC avec garantie plancher : application
1990 1995 2000 2005 2010
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Année
CA
C40
Figure 10.1 – CAC40 du 31/12/1987 au 02/09/2011
IR Variations quadratiques
Approximation gaussienne Cas général Premier ordre Deuxième ordre
CAC40 0,482 0,5005 0,476 0,513
Table 10.1 – Estimation de h(t) pour le CAC40 (31/12/1987 - 02/09/2011).
Ce résultat est, heureusement, à tempérer puisque nous l’avons déjà dit, considérer lafonction de Hurst constante est un choix erroné, presque aussi réducteur d’ailleurs que l’estl’approche classique consistant à supposer H = 1
2 .
10.3 Estimation de la fonction de Hurst
A présent nous considérons que l’EDS est dirigée par un mBm.
Dans un premier temps nous utilisons l’estimateur IR général (i.e. sans prendre en comptel’approximation gaussienne 3.19) et obtenons la figure 1 10.2 puis dans un second temps re-faisons la même approche avec cette fois l’estimateur par variations quadratiques du premierordre et obtenons la figure 10.3. Les estimations ont été réalisées pour plusieurs valeurs deγ mais nous ne gardons que 2 γ = 0.3 ; pour une meilleure visibilité nous représentons sur lamême figure, 10.4, les deux estimations de h(t) retenues.
Même si les deux méthodes présentent des différences plus ou moins marquées en certainspoints 3 nous pouvons distinguer des tendances assez semblables :
– Une première phase traduite par un phénomène de persistance qui elle-même pourraitéventuellement être divisée en 2 parties :– Une premère phase descendante,– Une seconde phase montante ;
1. Le cours du CAC40 a également été représenté sur la même figure après avoir procédé à un changementd’échelle.
2. Cf. la remarque 2 à ce sujet.3. Comme nous l’avons déjà dit il faut faire attention aux estimations proches des bords, celles-ci étant
réalisées sur des trajectoires de taille réduite et peuvent donc être fortement biaisées, aussi nous ne nousattardons pas sur leur interprétation.
100
10.3 Estimation de la fonction de Hurst
1990 1995 2000 2005 2010
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
CAC40
sigma=0.2
sigma=0.3
sigma=0.4
H=0.5
Figure 10.2 – Estimation de h(t) pour le CAC40 (31/12/1987-02/09/2011), estimateur IR.
– Une deuxième phase qui marque le passage du stade de persistance que nous venons dedécrire au stade d’anti-persistance décrit ci-dessous ;
– Une troisième phase traduite par un phénomène d’anti-persistance.
Nous avons décidé d’adopter une approche simple pour la modélisation de h(t) en repre-nant l’idée utilisée dans l’article [BHK10], ainsi nous la considérons linéaire par morceau ;cette remarque peut être déduite de la figure 3.3 où l’on se rend compte des difficultés pourreconstituer correctement la fonction h(t).
Nous allons utiliser la description en phases ci-dessus pour modéliser h(t). La premièrephase sera modélisée par une fonction constante, la deuxième phase par une fonction linéairedécroissante et enfin, la dernière phase également par une fonction constante.
Afin de déterminer les points de changement de phase une approche visuelle peut êtreenvisagée, néanmoins nous utilisons une approche un peu différente consistant à s’appuyerégalement sur un changement de régime dans la fonction u(t) définie en t comme la moyennede l’ensemble des estimateurs calculés jusqu’à t :
u(t) =1
t
t∑
j=1
h(j), ∀t ∈ [0, T ]
avec [0, T ] l’intervalle des observations (31/12/1987 au 02/09/2011). Cet exercice est ici faitdeux fois :
– Phase 1 : les calculs se font pour t allant de 4 0 à T ;
4. Courbes en vert sur les figures ci-dessous.
101
Chapitre 10 : Contrat en UC avec garantie plancher : application
1990 1995 2000 2005 2010
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
CAC40
sigma=0.2
sigma=0.3
sigma=0.4
H=0.5
Figure 10.3 – Estimation de h(t) pour le CAC40 (31/12/1987-02/09/2011), estimateur desvariations quadratiques du premier ordre.
– Phase 3 : les calculs se font pour t allant de 5 T à 0.
IR
Approximation gaussienne Cas général
Phase 1 0,534 0,552
Phase 3 0,412 0,439
Table 10.2 – Approximation de h(t) (obtenue avec la méthode IR).
Les résultats sont donnés sur la figure 10.5 et dans le tableau 10.2 pour l’estimation à partirde l’estimateur IR non gaussien et sur la figure 10.6 et le tableau 10.3 pour l’estimation à partirde l’estimateur défini à partir des variations quadratiques du premier ordre. Les résultats sontrelativement proches.
Finalement, les valeurs retenues pour les estimateurs sont résumées dans le tableau 6 10.4.
5. Courbes en bleu sur les figures ci-dessous.6. Pour information, pour l’estimateur IR la phase 1 commence à partir du point 1 jusqu’au point 536, la
phase 2 du point 537 au point 611 et la phase 3 du point 612 au point 5958 (qui est le nombre d’observationsde la série du CAC40). Pour l’estimateur à variations quadratiques la phase 1 commence à partir du point 1jusqu’au point 506, la phase 2 du point 507 au point 682 et la phase 3 du point 683 au point 5958.
102
10.3 Estimation de la fonction de Hurst
1990 1995 2000 2005 2010
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
CAC40IR non gaussienVariation quadratique 1er ordreH=0.5
Figure 10.4 – Estimation de la fonction de Hurst h(t) pour le CAC40 (31/12/1987-02/09/2011) avec les estimateurs IR non gaussien et variations quadratiques du premier ordre.
Variations quadratiques
Premier ordre Deuxième ordre
Phase 1 0,558 0,62
Phase 3 0,452 0,45
Table 10.3 – Approximation de h(t) (obtenue avec la méthode des variations quadratiquesdu premier ordre).
Phase Estimateur
Phase 1 0.55
Phase 3 0,45
Table 10.4 – Approximation de h(t) : estimateurs retenus.
103
Chapitre 10 : Contrat en UC avec garantie plancher : application
1990 1995 2000 2005 2010
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Temps
Moy
enne
de
l’est
imat
eur
CAC40
Moyenne des estimateurs : Gauche à droite
Moyenne des estimateurs : Droite à gauche
Estimateur IR brut du mBm
Modélisation de l’estimateur IR
Figure 10.5 – Valeur de h(t) pour les deux phases. L’analyse est faite en utilisant l’estimateurIR.
10.4 Estimation des paramètres µ et σ par inférence indirecte
Nous utilisons la méthode d’inférence indirecte 7 pour déterminer les paramètres tout ense souvenant que seule la valeur de σ est utile lorsque l’on travaille en univers risque neutre.
L’estimation a été réalisée selon les hypothèses suivantes :
– Hypothèse H0.5 : en supposant h(t) = 12 afin de pouvoir assurer le comparatif avec le
cadre standard ;– Hypothèse HIR : en supposant h(t) déterminée via l’estimation par IR ;– Hypothèse HV Q1 : en supposant h(t) déterminée via l’estimation par variations quadra-
tiques du premier ordre.
Les résultats, donnés avec un seul chiffre apres la virgule, sont présentés dans le tableau10.5 ci-dessous :
Nous observons un impact important sur l’estimation de la volatilité.
7. Un exemple de la méthode sur un sous-jacent modélisé par une EDS fractionnaire est donné en 3.7.2.1.Précisons toutefois un peu la mise en oeuvre de la méthode dans le cas présent :
– La fonction critère considérée sera obtenue en supposant que l’EDS est dirigée par un mBf et non parun mBm (on réalise donc une approximation du modèle théorique) ;
– Les données seront simulées selon un schéma d’Euler (décrit page 46).
104
10.5 Valorisation de la garantie plancher
1990 1995 2000 2005 2010
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Temps
Moy
enne
de
l’est
imat
eur
CAC40
Moyenne des estimateurs : Gauche à droite
Moyenne des estimateurs : Droite à gauche
Estimateur IR brut du mBm
Modélisation de l’estimateur IR
Figure 10.6 – Valeur de h pour les deux phases. L’analyse est faite en utilisant l’estimateurdes variations quadratiques du premier ordre.
µ σ
H0.5 8% 21.9%
HIR 7.3% 17.3%
HV Q1 7.3% 17.3%
Table 10.5 – CAC40 : Estimation de la fonction de Hurst h(t) par inférence indirecte.
10.5 Valorisation de la garantie plancher
10.5.1 Valorisation des Puts
A ce jour nous ne savons pas encore calculer le prix d’une option lorsque la fonction deHurst est non constante. Ainsi est-il nécessaire de devoir contourner ce problème en procédantà une simplification en choisissant une fonction de Hurst constante. Dans le cas du lissage ducoût de la garantie il est possible de choisir une valeur H différente selon la maturité du Putconsidéré. Il reste donc à déterminerH pour les différents Put. Cet exercice est particulièrementdélicat, par exemple il n’y a aucune raison de supposer une quelconque périodicité, le fait queles méthodes d’estimation de h demandent des trajectoires assez longues nous privent deprécision quant à l’estimation aux bords.
Une possibilité serait de considérer H égale à celle de la troisième phase pour les Puts dematurité courte, et pour ceux de maturité plus longue prendre la valeur de la première phase
105
Chapitre 10 : Contrat en UC avec garantie plancher : application
et ce dans un but de précaution puisque la valeur du Put - et par conséquent le montant dela garantie - est alors plus élevée ; le tableau 10.6 chiffre cette approche.
T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.50(T,17.3%)P0.45(T,22%) 1.39 1.53 1.66 1.77 1.88 2.00 2.11 2.23 2.35 2.47P0.50(T,17.3%)P0.55(T,22%) 1.39 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34
Table 10.6 – Impact du caractère fractal du marché sur le ratio des prix des Put avec r = 0.05,le prix d’exercice (montant garanti) étant égal au prix du sous-jacent en 0.
L’influence du caractère fractal du marché est nette, à cela deux raisons :– L’influence du paramètre de Hurst dans le prix d’un Put fractionnaire ;– L’influence de l’introduction d’un mouvement brownien fractionnaire dans la modélisa-
tion du sous-jacent sur l’estimation du paramètre σ.
L’approche précautionneuse que nous préconisons est de retenir H = 0, 55, ainsi les prixdes Puts seront environ 25% moins chers qu’ils ne sont dans le modèle standard.
10.5.2 Coût de la garantie plancher
Le coût d’une garantie plancher, avec ou sans lissage, découle du calcul de Puts commenous l’avons montré dans le chapitre 8 (cf. 8.1 et 8.2).
Nous allons comparer les deux portefeuilles décrits dans le tableau 10.7 pour des personneesâgées de 20 à 100 ans, les résultats sont représentés sur la figure 10.7 sous la forme d’un ratioentre le prix de la garantie plancher pour un marché considéré fractionnaire et le prix de lagarantie plancher pour un marché considéré non fractionnaire.
B&S fractal B&S standard
Volatilité 17,90 % 21,90%
Taux de départ τ 0 % 0 %
Prix initial du sous-jacent S0 100 100
Montant garanti K 100 100
Durée du contrat T 10 10
Taux d’intérêt sans risque r 5% 5%
Table 10.7 – Descriptif des portefeuilles standard et fractal pour le calcul du coût de lagarantie plancher.
Les résultats sont en accord avec 10.5.1. Nous remarquons un coût légèrement inférieurpour les personnes âgées par rapport au reste de la population.
10.6 Couverture
Nous mesurons les coûts de couverture en nous inspirant de ce qui a été fait en 8 9.4. Lesdeux portefeuilles considérés sont ceux décrits dans le tableau 10.8.
8. Dans cette application nous avons supposé en introduction que le montant garanti est égal à la sommeversée en début de contrat, les options de vente intervenant dans les calculs seront ainsi à la monnaie. Il est
106
10.6 Couverture
20 40 60 80 100
0.74
00.
744
0.74
8
Sans lissage
Age
20 40 60 80 100
0.73
00.
740
Avec lissage
Age
Figure 10.7 – Coût de la garantie plancher : ratio portefeuille fractal / standard.
B&S fractal B&S standard
Volatilité 17,30% 21,90%
Dérive 7,30% 8%
Taux d’intérêt sans risque r 5% 5%
Prix initial du sous-jacent S0 100 100
Montant garanti K 100 100
Durée du contrat T 10 10
Coût de transaction c 1% 1%
Nombre d’assurés de 45 ans 1000 1000
Fréquence de rebalancement h 112
112
Trajectoires 10000 10000
Table 10.8 – Caractéristiques des portefeuilles standard et fractionnaire.
Nous donnons dans le tableau 10.9 et sur les figures 10.8 et 10.9 le résultat de la mesuredu coût de la couverture.
Dans le tableau 10.10 nous produisons le ratio des indicateurs entre les deux portefeuilles.La prise en compte de la fractalité du marché conduit à proposer une garantie dont la mise enoeuvre de la couverture sera, en moyenne, environ 40% moins onéreuse.
donc légitime de faire les mêmes hypothèses qu’en 9.3 sur le choix de la fonction d’utilité linéaire. Sous cettehypothèse les calculs sont facilités et plus rapides puisque l’on peut utiliser les formules du cadre standard (onrappelle toutefois que la couverture ne peut pas se faire en temps continu, cf. 5.4 ) ; toutefois, le lecteur pourraà sa guise choisir la fonction d’utilité correspondant à ses critères, à l’aversion au risque qu’il souhaite prendreen compte.
107
Chapitre 10 : Contrat en UC avec garantie plancher : application
Expected MedianStandarddeviation
VaR99.75% VaR1% VaR5% CTE99.75% CTE1% CTE5% Maximum
Portefeuille standard
No Hedging 458 156 621 3003 2534 1837 3003 2536 1857 3654
Delta Hedge 678 666 152 1211 1095 933 1212 1096 937 1540
Portefeuille fractal
No Hedging 345 82 523 2659 2173 1525 2659 2177 1545 3234
Delta Hedge 399 391 106 849 723 571 850 724 575 1063
Table 10.9 – Indicateurs de risque du coût pour le portefeuille basé sur le CAC40.
0 1000 2000 3000 4000
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
0.00
200.
0025
0.00
30
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 10.8 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.55 pour le portefeuillesupposé standard basé sur le CAC40.
0 1000 2000 3000
0.00
00.
001
0.00
20.
003
0.00
40.
005
0.00
6
DFC
Den
sity
No hedgingDelta hedging
Figure 10.9 – Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.55 pour le portefeuillesupposé fractal basé sur le CAC40.
10.7 Conclusion
Il découle des résultats précédents que :
108
10.7 Conclusion
Expected MedianStandarddeviation
VaR99.75% VaR1% VaR5% CTE99.75% CTE1% CTE5% Maximum
Delta Hedge 1,7 1,7 1,4 1,4 1,5 1,6 1,4 1,5 1,6 1,4
Table 10.10 – Indicateurs de risque du coût pour le portefeuille basé sur le CAC40 : ratioentre les portefeuilles standard et fractal.
– Le coût de la garantie plancher est inférieur lorsque l’on considère le marché comme étantfractionnaire 9. Ce constat est en accord avec ce que nous évoquions en introduction dece mémoire : le modèle de Black & Scholes standard surévalue le coût de la garantieplancher. Toutes choses égales par ailleurs, le souscripteur de tels contrats devrait ainsipouvoir bénéficier d’une baisse de tarif sur cette option de garantie plancher ;
– Le coût de la couverture est nettement inférieur lorsque le marché est considéré commeétant fractionnaire. Ceci est donc un avantage pour l’assureur qui devrait donc enmoyenne réduire ses frais de transaction.
9. Rappelons que nous avons adopté une démarche prudente dans la prédiction de H.
109
Conclusion
Dans ce mémoire nous nous sommes attachés à montrer l’intérêt de l’utilisation d’objetsmathématiques issus du monde des fractales, à savoir la loi stable et le mouvement Brow-
nien multi-fractionnaire, dans le domaine des sciences actuarielles et en particulier dans l’étudedes contrats en unités de compte avec garantie plancher (évaluation de cette garantie, mise enoeuvre de la couverture).
Le premier outil fractal que nous avons présenté est la loi α stable. Nous avons vu qu’ellepermet un meilleur ajustement théorique que la loi normale en autorisant des queues de distri-bution plus épaisses. Les exemples étudiés, à savoir la rentabilité du CAC40 sur deux périodesdifférentes, ont mis en évidence l’attrait pour cette loi. Nous avons également vu que dans cecadre il est possible de généraliser les formules d’évaluation d’option habituelles.
Nous avons ensuite présenté une extension du mouvement Brownien ordinaire à savoir lemouvement Brownien fractionnaire dépendant d’un paramètre constant H dit de Hurst, cetoutil constitue le coeur mathématique de ce mémoire. A travers ce paramètre H les trajectoiresprésentent l’avantage de permettre une meilleure modélisation puisqu’elles présentent selon lavaleur de H un comportement différent : pour H < 0, 5 synonyme de trajectoires irrégulièresil y a anti-persistance, au contraire il y persistance lorsque H > 0, 5, pour H = 0, 5 lesaccroissements sont indépendants. Nous avons également étudié le mouvement Brownien multi-fractionnaire qui en est une généralisation dans le sens où la valeur de H n’est plus contrainteà rester constante tout au long d’une trajectoire. Nous avons présenté des outils efficaces pourdéterminer la valeur du paramètre H dans le cadre d’EDS dirigées par de tels mouvementsBrowniens fractionnaires, dans le cadre des EDS dirigées par des mouvements Browniens multi-fractionnaires la méthode présentée pour l’estimation de la fonction h est moins performantemais permet néanmoins d’en avoir une approximation.
Ensuite nous avons expliqué comment contourner les difficultés engendrées par un modèlede Black & Scholes fractionnaire, à savoir (i) la violation de l’hypothèse d’absence d’arbitrageen supposant - légitimement - qu’il n’est pas possible d’être plus rapide que le marché oudit autrement en renonçant à la possibilité d’agir sur le marché de façon continue (entredeux transactions il doit exister un temps minimal h > 0), (ii) l’incomplétude du marchéengendrée par le renoncement à la possibilité d’agir en continu sur le marché puisqu’il n’ya alors plus unicité de la mesure de risque neutre. Une formule, facile et rapide à calculer,de Black & Scholes fractionnaire ayant un sens économique a été donnée, elle généralise laformule classique ; l’EDS associée à cette formule permet, comme nous l’avons vu, de mieuxcomprendre l’impact de la fractalité à travers la volatilité qui évolue dans le temps et ne restepas figée comme dans le modèle standard. Nous n’avons fait que l’évoquer, il est possibled’adopter une technique d’arbre binomial pour calculer le prix d’options.
L’incomplétude du marché fractionnaire nous a conduit à considérer une approche de cou-verture d’un portefeuille qui utilise des fonctions d’utilité. Cette approche est simple à mettre
111
Chapitre 10 : Contrat en UC avec garantie plancher : application
en oeuvre et ne nécessite que la résolution d’un problème d’optimisation pour chaque dateà laquelle on souhaite calculer un portefeuille de couverture pour une fonction d’utilité quel-conque.
Enfin, nous avons utilisé les résultats obtenus décrits ci-dessus dans le cadre d’une ap-plication concrète. L’actif de référence est le CAC40 (31/12/1987 au 02/09/2011). Commenous nous y attendions suite à son étude théorique nous avons vu que la détermination de lafonction de Hurst est une tâche délicate car le résultat obtenu a un comportement irrégulier,cependant nous avons pu distinguer une courbe de tendance. Une fois réalisée l’estimationdes paramètres nous avons pu constater que le prix des Puts intervenant dans la formule dedétermination du prix de la garantie plancher est inférieur d’environ 25% par rapport au prixissu du modèle de Black & Scholes standard. Nous avons également vu que la mise en oeuvrede la couverture était impactée bénéfiquement, elle coûte en moyenne environ 40% de moins.Ainsi, cette constatation est en accord avec les conclusions réalisées à partir de modèles plussophistiqués que le mouvement Brownien standard : le modèle standard surévalue le coût dela garantie.
La modélisation fractionnaire que nous avons présentée est simple à mettre en oeuvre maisprésente quelques inconvénients et engendre certaines questions que nous énonçons et qui nouspermettent également de donner des pistes de réflexion :
1. La génération des mBm pour de longues trajectoires est relativement longue, l’estimationdes paramètres 10 s’en ressent ;
2. Les méthodes d’estimation du paramètre de Hurst pour le mBf sont efficaces mais né-cessitent un support de taille importante ;
3. Les méthodes d’estimation de la fonction h de Hurst ne sont, à ce jour, pas suffisammentefficaces pour obtenir une fonction plus "régulière" que celle que nous obtenons aujour-d’hui ; il est donc nécessaire d’avoir une approche simple dans la modélisation de h. Pourfaciliter la "lecture" de l’estimation de h il conviendrait de s’intéresser à des méthodesde détection de rupture ;
4. L’EDS fractionnaire considérée reste relativement simple, par exemple nous ne considé-rons pas de saut, la volatilité est considérée constante ;
5. Il n’existe pas, à notre connaissance, d’études théoriques des EDS dirigées par un mBmni de schémas numériques pour de telles EDS ;
6. La formule de Black & Scholes fractionnaire ne considère que le cas de h constante ornous avons vu que cela est restrictif - presque autant que pour le cas standard- et necorrespond pas à ce qui se passe dans la réalité. Pour contourner cela nous avons dûfixer une valeur arbitraire - malgré tout en accord avec les résultats obtenus dans notreapplication - pour le calcul des Puts fractionnaires ;
7. Le calcul du coût de la garantie plancher ne porte que sur un seul sous-jacent, le CAC40dans notre application, ce qui semble restrictif. Une première approche pour tenir comptede plusieurs supports serait de considérer la volatilité comme une volatilité pondérée desdifférents supports, cette approche simpliste est parfois utilisée dans le cadre classiqueet a au moins le mérite d’exister et de proposer une solution, faudra-t-il toutefois queles paramètres de Hurst retenus des différents cours des supports ne soient pas tropdifférents les uns des autres.
10. Dans ce mémoire nous avons utilisé la méthode d’inférence indirecte mais d’autres méthodes promet-teuses, telle la filtration par noyau de convolution ([Ros04]), mériteraient d’être examinées surtout pour desmodèles plus complexes où l’obtention d’une fonction de vraisemblance s’avère délicate.
112
10.7 Conclusion
La recherche est active (sans tenter d’être exhaustif voir par exemple les travaux deM.Fhima pour le point 3, J.Lebovits et J.Lévy Vehel pour le point 5) et nous pensons que cer-tains points devraient probablement être résolus, en partie du moins, dans les mois ou annéesà venir. Aussi invitons-nous le lecteur intéressé par cette approche nouvelle et prometteuse,du moins le pensons-nous, à suivre les différents travaux qui seront publiés dans le futur.
113
Annexe A
EDS dirigées par un mouvementbrownien standard
Sommaire
A.1 Définition d’un processus standard de Wiener . . . . . . . . . . . . I
A.2 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
A.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
A.4 Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III
Ce chapitre consacré aux équations différentielles stochastiques classiques consti-tue un rappel et se veut être pour partie un guide pour le chapitre 3 consacré
aux EDS dirigées par un mouvement Brownien plus général. Nous présentons lalinéarisation des EDS et l’écriture de schémas numériques et suivrons [KP99].
A.1 Définition d’un processus standard de Wiener
Un processus standard de Wiener W est un processus gaussien à accroissements indépen-dants tel que :
– W (0) = 0 ;– E[Wt] = 0 ;– V(Wt −Ws) = t− s.
L’intégrale d’Itô rappelée ci-dessous permet d’écrire :∫ t0 Ws(w)dWs(w) =
12(W
2t (w))
2− 12 t.
A.2 Formule d’Itô
Soient e et f telles que√e et f ∈ Lw
T , i.e. e et f vérifient les conditions relatives aux
fonctions appartenant à LwT exceptée la condition sur e(t, w)2 remplacée par
∫ T0 |e(s, w)| ds <
+∞.
Soit l’EDS
dXt(w) = e(t, w) dt+ f(t, w) dWt(w),
rappelons la formule d’Itô :
I
Chapitre A : EDS dirigées par un mouvement brownien standard
Théorème 2 (Formule de Itô) Soit Yt = U(t,Xt), 0 ≤ t ≤ T.U vérifie : U : [0, T ] ∗ IR → IR, dUdt ,
dUdt ,
dUdt et Xt vérifie dXt(w) = e(t, w) dt + f(t, w) dWt(w)
avec√e, f ∈ Lw
T .Alors on a ∀ 0 ≤ s ≤ t ≤ T
Yt − Ys =
∫ t
sdUdt
(u,Xu) + eudU
dx(u,Xu) +
1
2f2ud2U
dx2(u,Xu) du+
∫ t
sfudU
dx(u,Xu) dWu p.s.
A.3 Linéarisation
Le plus souvent il est impossible de déterminer les solutions théoriques des EDS, nous allonsmontrer comment, lorsque cela est possible, mettre une EDS sous une forme plus simple afinde la résoudre, cette forme sera une forme linéaire. Les solutions peuvent alors être trouvéesexplicitement.
A.3.1 EDS réductibles
Nous allons montrer comme mettre une EDS de forme générale
dYt = a(t, Yt)dt+ b(t, Yt)dWt (A.1)
sous la forme dXt = (a1(t)Xt + a2(t)) dt+ (b1(t)Xt + b2(t)) dWt en choisissant une trans-formation U de Yt adéquate . Nous présentons la façon de choisir cette fonction U et ce dansdeux cas distincts.
1. Supposons dans un premier temps que a1(t) = b1(t) = 0 et que b(t, y) 6= 0 alors on peutchoisir U comme suit :
U(t, y) = C exp
(∫ t
0γ(s, y)ds
∫ y
0
1
b(t, z)ds
)
où C est une constante arbitraire et où la fonction γ est telle que
γ(t, y) = 1b(t,y)
∂b∂t (t, y)− b(t, y) ∂
∂y
(a(t,y)b(t,y) −
12∂b∂y (t, y)
)
.
Notons qu’une EDS linéaire peut se réduire à ce cas précis qui est, pour mémoire, dXt =(a1(t)Xt) dt+ (b1(t)Xt) dWt.
2. Supposons cette fois les fonctions a et b indépendantes de t. Notons A(t) la quantité
a(y)b(y) − 1
2dbdy et supposons que l’on ait soit dA
dy = 0 soit ddy
(ddy
(
b dAdy
)
dAdy
)
= 0 pourvu que
b1 = −ddy
(
b dAdy
)
dAdy
. Si b1 = 0 alors on a U(y) = C exp (b1B(y)) et si b1 <> 0 alors on aura
U(y) = b2B(y) + C avec C une constante arbitraire, B(y) =∫ yy0
dsb(s) et c2 est choisi de
façon à satisfaire b(y)dUdy (y) = b1U(y) + b2.
A.3.2 Résolution des EDS linéaires
La forme générale d’une EDS linéaire est dXt = (a1(t)Xt+a2(t))dt+(b1(t)Xt+b2(t))dWt.Pourvu que les ai et bi soient Lebesgues mesurables et bornées sur un intervalle 0 ≤ t ≤ T , lethéorème d’existence et d’unicité assure l’existence d’une solution forte Xt, t0 ≤ t ≤ T pour
II
A.4 Schémas numériques
chaque 0 ≤ t0 ≤ T et chaque valeur initiale Xt0-At0-mesurable, correspondant à un processusde Wiener donnée Wt, t ≥ 0 et une famille de σ-algèbre At, t ≥ 0 associées.
Avant de présenter le cas général nous donnons la solution d’une EDS particulière où lebruit apparaît additionnellement : dXt = (a1(t)Xt + a2(t)) dt+ b2(t) dWt .
Notons Φt,t0 = exp∫ tt0a1(s) ds. la solution fondamentale de l’équation homogène ordinaire
associée : Φt,t0 = exp∫ tt0a1(s) ds. En appliquant la formule de Itô à la transformation U(t, x) =
Φ−1t,t0x et à la solution Xt de cette EDS on obtient comme solution
Xt = Φt,t0(Xt0 +
∫ t
t0
a2(s)Φ−1s,t0
ds+
∫ t
t0
b2(s)Φ−1s,t0
dWs) (A.2)
Passons à présent au cas général. En appliquant la formule d’Itô à Φt,t0 définie précédem-
ment il vient lnΦt,t0 =∫ tt0(a1(s)− 1
2b21(s)) ds+
∫ tt0b1(s) dWs. i.e.
Φt,t0 = exp (
∫ t
t0
(a1(s)−1
2b21(s)) ds+
∫ t
t0
b1(s) dWs). (A.3)
On applique le même raisonnement à Φ−1t,t0
. Ensuite, on applique la formule de Itô à la
transformation U(X(1)t , X
(2)t ) = X
(1)t X
(2)t avec X
(1)t = Φ−1
t,t0et X
(2)t = Xt.
On obtient finalement :
Xt = Φt,t0(Xt0 +
∫ t
t0
[a2(s)− b1(s)b2(s)]Φ−1s,t0
ds+
∫ t
t0
b2(s)Φ−1s,t0
dWs). (A.4)
A.4 Schémas numériques
Lorsque la résolution analytique n’est plus possible il faut alors procéder à une résolutionnumérique via des approximations. Nous allons présenter dans différents schémas numériquesd’ordre croissants puis des schémas numériques explicites qui ne nécessitent pas le calcul desdérivées de a ou b .
Notons que nous ne présentons que le cas unidimensionnel, la forme générale de l’EDSconsidérée est A.1.
A.4.1 Intégrales stochastiques multiples
Nous introduisons quelques intégrales stochastiques multiples qui interviennent très souventdans les schémas :
Ij1,··· ,jl =∫ τn+1
τn
· · ·∫ s2
τn
dW j1s1 · · · dW
jlsl
quels que soient j1, · · · , jl ∈ 0, 1 , l = 1, 2, · · · et n = 0, 1, · · · avec la convention W 0t = t
pour t ∈ R+
Il est possible d’obtenir des formules analytiques simples que nous indiquons ci-dessous :– I(0) = τn+1 − τn = ∆ ;– I(1,0) =
∫ τn+1
τn
∫ s2τndWs1ds2 = ∆Z où ∆Z est normalement distribuée, de moyenne nulle,
de variance 13∆
3 et de covariance E[∆Z∆W ] = 12∆
2 ;
III
Chapitre A : EDS dirigées par un mouvement brownien standard
– I(0,1) = ∆W∆− I(1,0) ;
– I(1,1) =12((∆W )2 −∆) ;
– I(1,1,1) =12
13(∆W )2 −∆
∆W ;
– I(0,0) =12∆
2.
Dans la suite, nous utiliserons directement la forme simple mais il nous semblait importantde souligner d’où viennent certaines quantités puisque nous nous contenterons de donner desschémas numériques sans donner le détail des calculs.
A.4.2 Schémas de Taylor : Euler et Milstein
Nous présentons quelques méthodes de résolution numérique qui se caractérisent par l’ordrede convergence. Plus l’ordre de convergence est élevé meilleure sera la convergence vers lasolution théorique.
A.4.2.1 Schéma d’Euler : γ = 0.5
Il s’agit de la méthode la plus simple. Le schéma s’écrit comme suit :
Yn+1 = Yn + a∆n + b∆W
avec ∆ = τn+1 − τn et ∆W =Wτn+1 −Wτn ∼ N(0,∆).
L’idée est tout simplement de faire la considération suivante
∫ τn+1
τn
b(s,Xs)dWs = b(τn, Xn)∆Wn.
Ce schéma a le mérite de la simplicité mais souffre souvent d’un manque d’efficience nu-mérique, ainsi il apparaît nécessaire de le modifier.
A.4.2.2 Schéma de Milstein : γ = 1
Le schéma de Milstein comprend un terme en plus et voit ainsi sa précision augmenter :
Yn+1 = Yn + a∆n + b∆W +1
2bb′((∆W )2 −∆).
IV
Annexe B
Inférence indirecte
Sommaire
B.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
B.2 Propriétés asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
B.3 EDS et Vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
B.1 Présentation
B.1.1 Notation
Soit (P ) le problème dont nous cherchons à estimer les paramètres, écrit sous la formesuivante :
(P )
yt = r(yt−1, xt, ut, θ)
ut = ϕ(ut−1, ǫt, θ), θ ∈ Θ ∈ Rp (B.1)
où les xt sont les observations des variables exogènes, tandis que les variables ut et ǫt nesont pas observées. Enfin θ est le paramètre que nous cherchons à estimer. Sa vraie valeur seranotée θ0.
Faisons l’hypothèse (H1) suivante :– xt est un processus de Markov homogène ;– le processus ǫt est un bruit blanc dont la distribution G0 est connue ;– le processus yt, xt est stationnaire.
Notons f0(xt|xt−1) la fonction de densité conditionnelle. Du fait du caractère markoviendu processus xt nous pouvons évidemment écrire f0(xt|xt−1) = f0(xt|xt−1) où xt−1 =(xt−1, xt−2, · · · ).
Il est possible en augmentant la dimension du processus de prendre en compte des processusd’ordre plus élevé ou des processus de forme réduite.
B.1.2 Problématique
Il est théoriquement possible de déterminer la valeur du paramètre θ0 du modèle paramé-trique (P ) à l’aide d’une approche par Estimateur du Maximum de Vraisemblance. Malheu-reusement en pratique le calcul s’avère très souvent impossible, aussi faut-il contourner cette
V
Chapitre B : Inférence indirecte
impossibilité. Ceci peut-être fait numériquement à l’aide de la méthode que nous étudionsdans ce rapport, à savoir la méthode de l’Inférence Indirecte.
B.1.3 Principe
Afin de calculer le paramètre θ nous allons introduire un nouveau paramètre, dit paramètreauxiliaire, et une fonction critère.
Sur la base des observations nous maximiserons une certaine quantité à l’aide du critèreintroduit ci-dessus. Puis nous simulerons des trajectoires en utilisant le paramètre auxiliaire,et à partir de ces simulations en maximisant ledit critère nous tenterons de nous rapprocherde la valeur obtenue dans le cas des chemins observés. Le paramètre auxiliaire et la fonctioncritère sont les éléments clefs de la méthode.
B.1.4 Méthodologie
L’Inférence Indirecte nécessite 2 étapes que nous décrivons ci-dessous.
Avant tout, notons β ∈ B ⊂ Rq le paramète auxiliaire. Remarquons que β sera au moins
de dimension égale à celle du paramètre θ à estimer.
Soit T le nombre d’observations disponibles. Nous noterons QT (y1T , x
1T , β) la fonction cri-
tère, avec y1t = (y1, · · · , yT ) et x1t = (x1, · · · , xT ). Introduisons également une matrice définiepositive ΩT convergeant vers une matrice définie positive Ω.
Faisons aussi quelques hypothèses :– (H2) limT→∞QT (y
1T , x
1T , β) = Q∞(F0, G0, θ0, β), la fonctionQ∞ étant non stochastique,
continue en β et possédant un maximum unique β0 ;– (H3) La fonction b(F,G, θ) = argmaxβ∈BQ∞(F,G, θ, β) est appelée fonction de lien ou
binding function. Il vient donc β0 = b(F0, G0, θ0)– (H4) b(F0, G0, .) est calculable terme à terme et sa dérivée par rapport au paramètre θ
est de rang plein.
Décrivons à présent les 2 étapes évoquées ci-dessus :
– 1ère étape Calcul de βT = argmaxβ∈BQT (y1T , x
1T , β)à partir des observations. βT est un
estimateur consistant du paramètre auxiliaire β0 sous les hypothèses réalisées précédem-ment.
– 2ème étape Pour un θ donné :
i) Simulation de H trajectoires [yht (θ, zh0 ), t = 0 · · · , T ], h = 1 · · · , H basées sur des
tirages indépendants de ǫt et sur les valeurs initiales zh0 , h = 1, · · · , H.
ii) Maximisation pour chacune de ces trajectoires de la fonction critère, notons βhT (θ, zh0 ) =
argmaxβ∈BQT ((yh)1T , x
1T , β)
iii) Résolution du problème de minimisation suivant afin d’obtenir un estimateur indi-rect de θ
minθ∈Θ
[
βT − 1
H
H∑
h=1
βhT (θ, zh0 )
]′
ΩT
[
βT − 1
H
H∑
h=1
βhT (θ, zh0 )
]
.
Le minimum, noté θHT (Ω), est un estimateur consistant de θ0 sous les quatre hypo-thèses précédentes.
VI
B.1 Présentation
Remarquons que la 2ème étape requiert H programmes d’optimisation pour chaque valeurde θ. Comme nous allons le voir il est possible de se ramener à un seul programme d’optimi-sation.
En effet, considérons TH valeurs de x (variables exogènes) obtenues en répétant H fois lesvaleurs x1, · · · , xT , i.e. x1 = x1, · · · , xT = xT , x = x1, · · · , xT = xT . Puis nous calculons
yt(θ, z0), t = 0, · · · , TH
avec
y0(θ, z0) = y0
yt(θ, z0) = r[yt−1(θ, z0), xt, ut(θ, z0), θ]
ut(θ, u0) = ϕ(ut−1(θ, u0), ǫt, θ)
(B.2)
Réécrivons la 2ème étape compte tenu de cette remarque :
2ème étape Pour un θ donné :
i) Calcul des yh1 , · · · yhT à partir des valeurs initiales z0, zT = (yT , uT ), · · · , zT (H−1) = (yT (H−1), uT (H−1)) ;
ii) A partir de ces simulations nous déterminons βHT (θ, z0) = argmaxβ∈BQT [y1TH , x
1TH , β] ;
iii) Nous résolvons le problème de minimisation suivant afin d’obtenir un estimateur indirectde θ
minθ∈Θ
[
βT − βHT (θ, y0)]′
ΩT
[
βT − βHT (θ, y0)]
.
Cet estimateur est un estimateur consistant de θ0 sous les mêmes hypothèses que précé-demment.
Nous remarquons qu’il n’est pas nécessaire de calculer les valeurs de βhT (., zh0 ) ou βHT (., z
h0 )
pour toutes les valeurs possibles de θ mais uniquement pour celles intervenant dans le pro-gramme de minimisation.
Notons enfin que pour chaque valeur de θ, les mêmes valeurs simulées pour les ǫh1 , · · · , ǫh1 , h =1, · · · , H seront utilisées (soit stockées en mémoire, soit générées à partir du même générateurde nombre aléatoire).
B.1.5 Choix de la fonction critère
On pourra chercher une fonction r∗ approximant r pour laquelle la log-vraisemblanceconditionnelle L∗
T (β) peut être facilement dérivable et nous prendrons QT = 1T L
∗T (β).
Puis approximer QT par 1T LT (β) avec LT (β) la log-vraisemblance exacte.
La valeur de l’estimateur indirect θ est fonction du choix de la matrice ΩT . Or il est uncas particulier fréquent où la valeur de θ est indépendante du choix de cette matrice : lorsquedim(θ) = dim(β).
Considérons par exemple pour la matrice ΩT la matrice identité. La minimisation de[
βT − βHT (θ, y0)]′
ΩT
[
βT − βHT (θ, y0)]
revient à minimiser la somme des carrés des élé-
ments du vecteur βT−βHT (θ, y0), et nous obtenons dans ce cas particulier βT = 1H
∑h=Hh=1 βhT (θ, z
h0 )
ou encore βT = βHT (θ, z0).
VII
Chapitre B : Inférence indirecte
B.1.6 Méthode équivalente
Il est possible d’envisager un autre estimateur basé sur les dérivées partielles de la fonctionQT . Cet estimateur contrairement aux deux précédents, ne nécessite qu’une seule optimisation.Il est donné par
˜θHT (Σ) = argminθ
∂QT
∂β′(y1TH(θ), x1TH , βT )Σ
∂QT
∂β(y1TH(θ), x1TH , βT )
Cet estimateur, introduit par les travaux de Gallant et Tauchen dans un cas particulier(la fonction critère est une fonction de vraisemblance, pas de variable exogène, nombre desimulation illimité, le modèle correspondant à la fonction de pseudo-vraisemblance est asymp-totiquement bien spécifiée), est consistant. Il est asymptotiquement équivalent à θHT (J0ΣJ0)
1
mais non efficace asymptotiquement.
B.2 Propriétés asymptotiques
Nous donnons quelques résultats permettant de déterminer le choix optimal de la matriceΩ.
Avant tout faisons de nouvelles hypothèses :– (H5) La quantité suivante tend asymptotiquement vers une loi normale centrée et de
matrice de variance-covariance asymptotique indépendante des données initiales ;
√T∂QT
∂β(y1T , x
1T , β0)−
√T
1
H
h=H∑
h=1
∂QT
∂β(yhT (θ0, z
h0 ), x
1T , β0);
– (H6) limT→+∞V
√T ∂QT
∂β (yhT (θ0, zh0 ), x
1T , β0)
= I0 est indépendant de zh0 ;
– (H7) limT→+∞Cov√
T ∂QT
∂β (yhT (θ0, zh0 ), x
1T , β0),
√T ∂QT
∂β (ylT (θ0, zl0), x
1T , β0)
= K0 in-
dépendant des zl0 ;
– (H8) plimT→+∞ − ∂2QT
∂β∂β′ [[yhT (θ0, z
h0 )]
1T , x
1T , β0] = −∂2Q∞
∂β∂β′ (F0, G0, θ0, β0) = J0 est indé-
pendant de zh0 .
Sous l’ensemble des hypothèses précédentes et des conditions de régularité habituelles nousaffirmons √
T (θHT (Ω)− θ0) → N(0,W (H,ω))
avec
W (H,ω) =
(
1 +1
H
)(
∂b′
∂θ(F0, G0, θ0)Ω
∂b
∂θ′(F0, G0, θ0)
)−1
(
∂b′
∂θ(F0, G0, θ0)ΩJ
−10 (I0 −K0)
−1J−10 Ω
∂b
∂θ′(F0, G0, θ0)
)
(
∂b′
∂θ(F0, G0, θ0)Ω
∂b
∂θ′(F0, G0, θ0)
)−1
1. Voir la section B.2 pour la définition de la matrice J0.
VIII
B.2 Propriétés asymptotiques
Remarquons que du fait de l’indépendance conditionnelle aux variables exogènes de√T ∂QT
∂β [[yhT (θ0, zh0 )]
1T , x
1T , β0] et
√T ∂QT
∂β [[ylT (θ0, zl0)]
1T , x
1T , β0] , et qu’ils possèdent la même
distribution asymptotique, nous pouvons écrire :
K0 = limT→∞V0
(
E0
[√T ∂QT
∂β′ [y1T , x
1T , β0]/x
1T
])
;
I0 −K0 = limT→∞V
(√T ∂QT
∂β [y1T , x1T , β0]− E0
[√T ∂QT
∂β [y1T , x1T , β0]/x
1T
])
.
Le choix optimal pour la matrice Ω est Ω∗ = J0(I0 −K0)−1J0. La matrice asymptotique
de variance-covariance se simplifie alors en
W ∗H =
(
1 +1
H
)(
∂b′
∂θ(F0, G0, θ0)J0(I0 −K0)
−1J0∂b
∂θ′(F0, G0, θ0)
)−1
Nous pourrions aussi écrire cette matrice à l’aide de la fonction de lien introduite supra.
Nous avons déjà évoqué un cas particulier important, lorsque le paramètre d’intérêt θet le paramètre auxiliaire β sont de même dimension. En effet nous avions alors dit que lechoix de la matrice Ω n’influençait pas la valeur de l’estimateur obtenu par Inférence Indi-recte. Nous obtenons un nouveau résultat concernant cette fois-ci la matrice asymptotique devariance-covariance, à savoir que W (H,Ω) =W ∗
H . Notons également qu’il s’agit de la matrice
asymptotique de variance-covariance de l’estimateur solution de βT = βHT (θ, z0).
B.2.1 Considérations pratiques
Le calcul de l’estimateur optimal par Inférence Indirecte nécessite un estimateur prélimi-naire consistant de Ω∗ pour l’initialisation des calculs.
Selon les cas, nous pourrons choisir un tel estimateur directement basé sur les observationsou à partir des simulations en prenant pour la matrice Ω la matrice identité afin de déterminerl’estimateur qui en découle, ou encore en prenant la quantité
argmaxθQT
[
y1T , x1T ,
1
T
h=H∑
h=1
yhT (θ, zh0 )
]
.
B.2.2 Cas particulier
Considérons la situation suivante :
– Une fonction k dépendante des variables observables k(yt, · · · , yt−r, xt, · · · , xt−r) ;– La fonction critère QT = −1
2(kT − β)′
(kT − β).
Nous obtenons ainsi pour la valeur du paramètre auxiliaire basé sur les observations, lamoyenne empirique de la fonction k, ce qui s’écrit
kT =1
T
t=T∑
t=1
k(yt, · · · , yt−r, xt, · · · , xt−r).
puis déduisons un estimateur indirect de θ par un programme de minimisation comme déjàvu auparavant.
IX
Chapitre B : Inférence indirecte
Ce cas particulier de la méthode d’Inférence Indirecte généralise l’estimateur proposé parDuffie et Singleton en 1993 basé sur la méthode des moments simulés.
Remarquons, que dans le cas où il n’y a pas de variables exogènes, alors les estimateursd’Inférence Indirecte et de Duffie et Singleton sont identiques.
La détermination de la matrice de variance-covariance optimale suit toujours la mêmelogique. Ici elle se simplifie car la matrice J0 n’est autre que la matrice identité, et s’écritΩ∗ = (I0 − J0)
−1.
Le calcul de cette matrice optimale se simplifie encore dans le cas de séries pures car nous
aurons alors J = 0, ce qui donnera Ω∗ =(
Vas
(√T kT
))−1.
B.3 EDS et Vraisemblance
Considérons un processus de diffusion représenté par l’E.D.S suivante
dyt = g(θ, yt)dt+ h(θ, yt)dwt
avec wt un Brownien.
Sauf cas particuliers la résolution de ce type d’E.D.S. est en général impossible 2. La pra-tique consiste à discrétiser l’E.D.S. et en l’estimation des paramètres à partir de la formediscrète. Il existe de nombreuses façons de discrétiser une E.D.S.
Supposons disposer des y1, · · · , yT et soit k(y) une fonction suffisamment régulière (2 foisdérivables), inversible. En appliquant la formule d’Ito on obtient la version discrétisée suivante :
k(yt) = k(yt−1) +∂k
∂y(yt−1)g(β, yt−1) +
1
2
∂2k
∂y2(yt−1)h
2(β, yt−1) +∂k
∂y(yt−1)h(β, yt−1)ǫt
où ǫt ∼ IIN(0, 1).
On estime β par maximisation de la log-vraisemblance ou de la quantité suivante
Qt,k =1
T
t=T∑
t=2
− log h(β, yt−1)−1
2T
k(yt)− k(yt−1)− ∂k∂y (yt−1)g(β, yt−1)− 1
2∂2k∂y2
(yt−1)h2(β, yt−1)
2
∂k∂y
2yt−1h2(β, yt−1)
.
Dans le cas d’une discrétisation par méthode d’Euler on définit la fonction de contrastecomme l’opposé de la log-vraisemblance
C(θ) =N∑
i=1
1
2log 2πh(θ, yi−1)
2δ +1
2δ
(yi − yi−1 − g(θ, yi−1)δ
h(θ, yi−1)
)2
avec δ le pas de la discrétisation et N le nombre de points de discrétisation.
En effet, le modèle d’Euler s’écrivant yn = yn−1 + gδ + hU avec U une variable aléatoiresuivant une loi normale centrée et de variance δ2 on déduit le noyau de transition N(gδ, h2δ)et par voie de conséquence la fonction de vraisemblance puis la fonction de constraste.
Les estimateurs ainsi obtenus sont appelés estimateurs de minimum de contraste.
2. On pourra consulter [KP99] à ce sujet ou le chapitre A.
X
Annexe C
Approximation d’un mouvementbrownien fractionnaire
Nous avons présenté en 5.1 un arbre binomial fractionnaire simple. Pour ce faire il a éténécessaire d’utiliser une approximation d’un mBf à partir de variables suivant une loi deBernoulli, notées ξ par la suite. Le théorème suivant, dû à Sottinen [Sot01] précise commentobtenir une marche aléatoire convergeant vers un mouvement Brownien fractionnaire :
Théorème 3 Soit le processus Z(n) défini comme suit
Z(n)t =
∫ t
0z(n)(t, s)dW (n)
s =
⌊nt⌋∑
i=1
n
∫ i
i− 1n
z(⌊nt⌋n
, u)du
︸ ︷︷ ︸
z(n)(t,i)
1√nξ(n)i
avec
z(t, s) = cH(H − 1
2)s
12−H
∫ t
suH(u− s)H− 3
2du
le noyau déterministe. Ce processus converge faiblement vers un mouvement brownien frac-tionnaire.
Avec n croissant l’approximation sera d’autant meilleure.
L’idée de base de cette approximation vient de l’utilisation du théorème de Donsker quiétablit la convergence en loi d’une marche aléatoire vers un mouvement brownien standard, et
plus précisément l’on a que W(n)t := 1√
n
∑⌊nt⌋i=1 ξ
(n)i converge faiblement vers W un mouvement
brownien standard, où les ξ(n)i sont des variables aléatoires iid centrées et de variance l’unité.
Il est possible d’obtenir une expression plus simple pour le noyau z lorsque H > 12 : d’après
[NVV99] on peut écrire
z(t, s) = (H − 1
2)cHs
12−H
∫ t
suH− 1
2 (u− s)H− 32du.
On peut également réécrire cette expression en utilisant la fonction hypergéométrique de Gauss
2F11 :
z(t, s) = cH(t− s)H− 12 2F1(
1
2−H,H − 1
2, H +
1
2, 1− t
s).
1. Pour simuler 2F1 sous R on pourra utiliser le paquet hypergeo et la fonction éponyme qui possède uneimplémentation efficiente. Le lecteur intéressé par ces fonctions hypergéométriques pourra consulter le célèbreouvrage d’Abramowitz & Stegun ([AS64])
XI
Annexe D
Code informatique
Sommaire
D.1 Mouvement brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII
D.2 Mouvement brownien multifractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . XIV
D.1 Mouvement brownien fractionnaire
D.1.0.1 Estimateur IR : Approximation dans le cas gaussien
Pour le cas général voir D.2 fonction HestIR .
(mean(abs(diff(diff(X[-1])) + diff(diff(X[-length(X)])))/(abs(diff(diff(X[-1])))
+ abs(diff(diff(X[-length(X)]))))) - 0.5174)/0.1468
D.1.0.2 Estimateurs de H par variations quadratiques
La première fonction, fH1 , donne l’estimateur du premier ordre et la seconde fonction,fH2, l’estimateur du second ordre pour une trajectoire X solution d’une EDS fractionnaire.
fH1 <- function(X)
X2n <- X
dX2n <- X2n[-1] - X2n[-length(X2n)]
Xn <- X2n[-c(seq(2,length(X2n),2))]
dXn <- Xn[-1] - Xn[-length(Xn)]
V2n <- sum(dX2n^2)
Vn <- sum(dXn^2)
H <- 1/2 - 1/(2*log(2)) * log(V2n/Vn)
return(H)
fH2 <- function(X)
X2n <- X
Xn <- X2n[-c(seq(2,length(X2n),2))]
XIII
Chapitre D : Code informatique
dX2n=diff(X2n[-1])-diff(X2n[-length(X2n)])
dXn=diff(Xn[-1])-diff(Xn[-length(Xn)])
V2n <- sum(dX2n^2)
Vn <- sum(dXn^2)
H <- 1/2 - 1/(2*log(2)) * log(V2n/Vn)
return(H)
D.2 Mouvement brownien multifractionnaire
Nous donnons ci-dessous la syntaxe qui permet d’estimer la fonction h de Hurst d’unprocessus X suivant une EDS fractionnaire.
HestIR <- function(R,p)
H=seq(0.0001,0.9999,0.0001)
if (p==1)r=2.0^(2*H-1)-1
if (p==2)r=(-3.0^(2*H)+2.0^(2*H+2)-7)/(8-2.0^(2*H+1))
Lambda=1/pi*acos(-r)+sqrt(1-r^2)/(pi*(1-r))*log(2/(r+1))
return(sum(R>Lambda)/10000)
############################################################
IRS <- function(X)
# X : solution d’une EDS
n=length(X)
res=c()
gamma=0.3
mfGn=X[2:n]-X[1:n-1]
l=0
for(t in 1:99)
l=l+1
res[t]=0
debut=trunc(n*t/100-n^(1-gamma))+1
fin =trunc(n*t/100+n^(1-gamma))
p=max(1,debut):min(fin,length(mfGn)-3)
# Calcul de (4.13) avec p=2 (on travaille sur les accroissements -mfGn-
donc la prog est adaptée à ce cas)
R2[t]=mean(abs(mfGn[3+p]-mfGn[1+p])/(abs(mfGn[3+p]-
mfGn[2+p])+abs(mfGn[2+p]-mfGn[1+p])))
est[t]=HestIR(R2[l],2)
est
XIV
Table des figures
1.1 Variation des paramètres α et β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Variation des paramètres γ et µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 CAC40 du 03/01/1995 au 30/12/2010 : densités : empirique, normale et stable. 14
1.4 CAC40 du 02/01/2008 au 31/12/2009 : densités : empirique, normale et stable. 15
1.5 Comparatif des densités du CAC40 1995-2010 et CAC40 2008-2009. . . . . . . . 16
2.1 Exemples de mouvements Browniens fractionnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Exemples de mouvements Browniens multifractionnaires. . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Mouvement Brownien multifractionnaire avec H(t) = 0.1 + 0.8t. . . . . . . . . . 35
3.2 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck multifractionnaire avec H(t) = 0.1 + 0.8t. . . . 35
3.3 Cas particulier d’un processus d’OU multifractionnaire avec H(t) = 0.1 + 0.8t . 36
3.4 Impact de σ sur l’estimation d’une fonction de Hurst sinusoïdale . . . . . . . . 36
3.5 Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire avec l’hypothèse H = 0.5 . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire avec H supposée connue . . . . . . . . . . . . 39
3.8 Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire avec H estimée . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire avec H estimée . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.10 Ornstein-Uhlenbeck non linéaire fractionnaire pour différentes valeurs de H . . 42
3.11 Cox-Ingersoll-Ross fractionnaire pour différentes valeurs de H . . . . . . . . . . 44
3.12 B&S : estimation paramètres avec H estimée via V.Q. 1er ordre . . . . . . . . . 47
3.13 B&S : estimation paramètres avec H estimée via V.Q. 1er ordre & Euler . . . . 47
3.14 B&S : estimation paramètres avec H estimée via IR général . . . . . . . . . . . 48
3.15 B&S : estimation paramètres avec H estimée via IR général & Euler . . . . . . 48
3.16 B&S : estimation paramètres avec fonction de contraste, H connue & Milstein . 49
3.17 B&S : estimation paramètres avec fonction de contraste, H connue & Euler . . 49
3.18 B&S : estimation paramètres avec fonction de contraste, H connue & Euler . . 50
3.19 B&S : estimation paramètres avec fonction de contraste, H connue & Euler . . 50
5.1 Exemple d’arbitrage, H =.85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1 Représentation de g pour H = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Représentation de ρH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Evolution du prix d’un Call à la monnaie en fonction de H, T − t . . . . . . . . 71
6.4 Evolution du prix d’un Put à la monnaie en fonction de H, T − t . . . . . . . . 72
6.5 Evolution du prix d’un Call dans la monnaie en fonction de H, T − t . . . . . . 72
6.6 Evolution du prix d’un Call hors la monnaie en fonction de H, T − t . . . . . . 72
6.7 Volatilité implicite σ√ρHt
H− 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
XV
TABLE DES FIGURES
7.1 Collecte nette (en milliards d’euros). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2 Encours (en milliards d’euros). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.3 Cotisation assurance vie et capitalisation (en milliards d’euros). . . . . . . . . . 76
9.1 Etude de la méthode de couverture par MC alternative : prix option . . . . . . 879.2 Etude de la méthode de couverture par MC alternative . . . . . . . . . . . . . . 889.3 Etude de la méthode de couverture par MC alternative . . . . . . . . . . . . . . 899.4 Etude de la méthode de couverture par MC alternative . . . . . . . . . . . . . . 909.5 Couverture d’un Call fractionnaire : quantité en sous-jacent . . . . . . . . . . . 919.6 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . 949.7 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . 949.8 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . 959.9 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.4 . . . . . . . . . . . . . . 959.10 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . 969.11 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.6 . . . . . . . . . . . . . . 969.12 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . 979.13 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . 979.14 Imperfection de couverture : densité du coût, H = 0.9 . . . . . . . . . . . . . . 98
10.1 CAC40 du 31/12/1987 au 02/09/2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.2 Estimation de H pour le CAC40 (31/12/1987 - 02/09/2011) avec la méthode IR 10110.3 Estimation de h pour le CAC40 avec la méthode de V.Q. 1er ordre . . . . . . . 10210.4 Estimation de h (méthodes IR non gaussien et V.Q. 1er ordre) pour le CAC40 . 10310.5 Valeur de h(t) (estimée par estimateur IR) pour les deux phases . . . . . . . . . 10410.6 Valeur de h (estimée par V.Q. de 1er ordre) pour les deux phases . . . . . . . . 10510.7 Coût de la garantie plancher : ratio portefeuille fractal / standard. . . . . . . . 10710.8 Imperfection de couverture : portefeuille CAC40 standard . . . . . . . . . . . . 10810.9 Imperfection de couverture : portefeuille CAC40 fractal (H = 0.55) . . . . . . . 108
XVI
Liste des tableaux
1.1 CAC40 - 03/01/1995 - 30/12/2010 : Estimation des paramètres de la loi stable 141.2 CAC40 - 02/01/2008 - 31/12/2009 : Estimation des paramètres de la loi stable 15
3.1 Estimation de H avec l’estimateur IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Estimation de H avec l’estimateur quadratique du 1er ordre. . . . . . . . . . . . 343.3 Estimation de H avec l’estimateur quadratique du 2nd ordre. . . . . . . . . . . 34
7.1 Rendement des Contrats en euro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Rendement des contrats en UC et du CAC40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.1 Indicateurs de risque du coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.1 Estimation de h(t) pour le CAC40 (31/12/1987 - 02/09/2011). . . . . . . . . . 10010.2 Approximation de h obtenue avec la méthode IR . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.3 Approximation de h(t) obtenue avec la méthode des variations quadratiques . . 10310.4 Approximation de h(t) : estimateurs retenus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.5 CAC40 : Estimation de h(t) par inférence indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.6 Impact du caractère fractal du marché sur le ratio des prix desPut . . . . . . . 10610.7 Descriptif portefeuilles standard / fractal : coût de la garantie plancher . . . . . 10610.8 Caractéristiques des portefeuilles standard et fractionnaire. . . . . . . . . . . . . 10710.9 Indicateurs de risque du coût pour le portefeuille basé sur le CAC40. . . . . . . 10810.10Ratio indicateurs de risque du coût : portefeuille standard / fractal . . . . . . . 109
XVII
Bibliographie
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