black-scholes difuzyon

Türev Fiyatlaması ve Difuzyon Matematiği

Türev Fiyatlamaları Stokastik Süreç olarak bilinen matematik teknikleri gerektirir. Stokastik süreçler dinamik

rastgeleliğin matematik modelidir.

Myron Scholes (Matematikçi)ve Fischer Black (Fizikçi)

Black-Scholes Matematiğine Giriş

Sunumda John C. HULL tarafından geliştirilen yaklaşım ve teknoloji kullanılmıştır.

DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ

Doç. Dr. Kutlu MERİH

)( 1dSNC )( 2dNKe RT

Cash Inflow Cash Outflow



Notasyonlar

C Call Opsiyonun Fiyatı ya da Pirmi

P Put Opsiyonun Fiyatı ya da Primi

S Opsiyona Dayanak Oluşturan Varlığın Spot Fiyatı

X Opsiyonun Anlaşma Fiyatı

r Yerli Para Risksiz Faiz Oranı

R Yabancı Para Risksiz Faiz Oranı

σ Dayanak Varlığın Volatilitesi

T Opsiyonun Vade Tarihi

t Opsiyonun Hesaplanma Tarihi (Başlangıç Tarihi)

N(X) Normal Dağılım Fonksiyonu

d1 Kümülative Distribution function

d2 Kümülative Distribution function



Arka Plan:

Türev Güvencesi:

Örnek: Avrupa Call Opsiyonu.

Burada opsiyon sahibinin belirli bir tarihte (the maturity date).Belirlenmiş bir fiyat K dan (the maturity date) bir finansal varlığı satın alma hakkı olması fakat yükümlülüğü olmaması.

Bir türev (veya türev güvencesi) değeri diğer bir daha temel dayanak aktife bağlı olan bir finansal araçtır. ([Hull, 1999]).

Arbitraj:

Yatırım gerektirmeyen risksiz bir kazanç olanağı (Bedava yemek - A free lunch)



Geçerli Varsayımlar

•İşlem maliyetleri (transaction costs) yok. Pazarlar sürtüşmesiz (frictionless)

•İşlemler sürekli olarak gerçekleştirilebilir.

•Açığa satış engeli yok.

•Risksiz faiz oranı borç alma ve verme için aynı.

•Aktifler mükemmel olarak bölünebilir.

Bunlar “standart varsayımlarımız” olacak.

Bunlardan sapılması gerektiğinde durum özellikle belirtilecek. Aksi halde bunlar hep geçerli sayılacak.



Türevsel Aktifler için Formül Geliştirmek

Üç adımlı bir yaklaşım uygulayacağız

(1) Ticari türevlerin getirisi için dinamikfaktör modelleri oluştur. (genellikle Ito’nun lemması uygulanır)

(2) Arbitraj durumu yok.

(3) Sınır koşullarını uygula ve çöz.



Ön Tanımlar:

Varlıkların Dinamikleri:

Tahvil: rBdtdB

Senet: SdzSdtdS

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

Tahvil:-Deterministik-Exponential Büyür-Sürekli bileşik faiz

rtt eBB 0



Ön Tanımlar:

Varlıklar:

Tahvil: rBdtdB

Senet: SdzSdtdS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

Senet:-Geometrik Brown Hareketi-Log-Normal Dağılım-Daima Pozitif Değer Alır

tztt eSS )(

0

221


Geometrik model gerçekçi değil ama çözülebilir

Grafikten geometrik Brown Hareketinin Gerçekte neden uygun olmadığı görülebiliyor.

Diferansiyel S ile orantılı Olduğundan S ile birlikte volatilite de büyüyor veya küçülüyor.

Bu gerçekçi değil ama elegant bir analitik çözüme olanak sağlıyor


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8



Ön Tanımlar:

Şimdi c fiyatı St ve t değerlerine bağlı olan bir türev olsun.

Bunun tanımı: ),( tSc t

Varlıklar:

Tahvil: rBdtdB

Senet: SdzSdtdS

Ito’nun lemması ile:

dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221

Burada cx gösterimi c fiyatının x değişkenine göre kısmi türevleridir.



Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:

Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS

dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221 Türev:

Black-Scholes Kabulleri :

İki aktiften oluşan bir portföyümüz olsun ve bu üçüncüyü tamamen yansıtsın.

Bu portföy üçüncü ile aynı fiyata sahip olmalıdır.

Portföy için herhangi iki aktifi seçebiliriz. Bir senet ve türev seçelim ve bunları tahvil ile dengeleyelim.

Senedin değeri Geometrik Brown hareketine uygun olarak Log-normal dağılsın





Portföyümüzde pay senet ve pay türev olsun.

ttttt cSP


Bir tahvil yaratmak için and öyle seçilmelidir ki, portföyümüz risksiz olsun. (yani. dP içinde dz terimi olmasın).

Volatilite yok

Portföy risksiz olacağı için tahvil ile aynı oranda getiri sağlamalıdır. Buna göre

dP=rPdt olmalıdır. (Aksi halde küçük getirili üzerinde arbitraj yaparakYüksek getirili satın alırız ve para koymadan para kazanırız.

Şimdi bu hesapları gerçekleştirelim



TahvilrBdtdB Senet:SdzSdtdS


Portföyümüz pay senet ve pay türevden oluşuyor.

dP yi hesaplamak için, Ito’nun lemmasından yararlanabiliriz:

......)()( cddcSddScdSddP

Ayrıca portföyümüzün kendi kendine finanslanmasını da istiyoruz. Bunu da hesaba katalım.


İlk yapacağımız şey, dP değerini hesaplamak ve ve değerlerini dz teriminiElimine edecek şekilde bulmaktır.

Volatilite yok

ttttt cSP



Senetten t pay ve Türevdent pay aldınız

dt donemi

Bakalım bir portföy nasıl çalışır?

Portfoyünüzün değeri

ttttt cSP

Şimdi portfoyün değeri

dtttdtttdtt cSP

İsterseniz portföyü yeniden dengeleyebilirsiniz.Şayet yeni para koymaz veya çekmez iseniz

dttdttdttdtt

dtttdtttdtt

cS

cSP

)( ttttdtttdttttdttt cScSPPdP

)()( tdttttdttt ccSS

tttt dcdS






dP denklemi oto-finans kısıtı (self-financing constraint) olarak bilinir.

Portföye para eklenemedciği veya çekilmediği sürece verilen dinamikler geçerli olacaktır.

Portföyümüz pay senet ve pay türevden oluşuyor.

cSP dcdSdP

Buna göre dP:

Volatilite yok



Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS Türev:

+

dzScSdtcSSccSdP SSSSt )())(( 2221

Volatilite yok


0 SScS


cSP dcdSdP

Diferansiyel bağıntılar:

Şimdi biraz aritmetik ile dP değerini hesaplayalım.

Portföyün riskten bağımsız yapmak için dz stokastik terimini elimine edelim

ScDenkleme yerleştirelim



Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS Türev:

+

Volatilite yok


dtcScdP SSt )( 2221 Volatilite kalmadı

rPdt Tahvil ile aynı olmalı

dtcSr )( Yerine koy cSP

ScdtSccr S )( Yerine koy

)( 2221

SSt cSc )( Sccr S

rccSrScc SSSt 2221 Ve işte Black-Scholes Equation Dif. Denklemi


Denklemdeki terimleri normal sırasına koy



Bu hangi türden türev olsun?

Şayet Avrupa call opsiyonu ise ve strike K ve maturity T ise:

Şayet Avrupa put opsiyonu ise ve strike K ve maturity T ise:

Genel olarak ne türden türev olduklarını hudut şartları tayin eder.

)(),( KSTScHudut şartıdır.

0),0( tc

)(),( SKTScHudut şartıdır.

0),( tc



Black-Scholes Denklemi (Avrupa Call Opsiyonu İçin)

Çözüm (Verilen hudut şartlarına göre) :

)()(),( 2)(

1 dNKedSNtSc tTr

tT

tTrKSd

))(()/ln( 221

1

tTdd 12

Burada;

)(N standard Normal dağılımı (yani. N(0,1)) gösterir.

Çözümlerin elde edilmesi rutin fakat karmaşık bir entegrasyon işlemi gerektiriyor.(Bu işlemler matematiğe meraklı olanlar için ekte verilmektedir.)

rccSrScc SSSt 2221

)(),( KSTSc 0),0( tc



Genel Olarak:

Avrupa Alış (Calls) ve Satışları (Puts)

rccSrScc SSSt 2221

)(),( KSTSc 0),0( tc

rppSrSpp SSSt 2221 )(),( SKTSp )(),0( tTrKetp

Çözüm:

)()(),( 2)(

1 dNKedSNtSc tTr

tT

tTrKSd

))(()/ln( 221

1

tTdd 12

Burada:

)(N Standard Normal dağılımı ( N(0,1) ) gösterir.

)()(),( 12)( dSNdNKetSp tTr

Bu formüller Black-Scholes analizinin temelini oluştururMutlaka ezberlenilmelidir.



)()(),( 2)(

1 dNKedSNtSc tTr )()(),( 12)( dSNdNKetSp tTr

Bu bağıntıları hareketin bir geometric Brown hareketi olduğu varsayımı ile elde ettik. Fakat bu denklemler ortalama getiriyi yansıtmazlar..

Dayanak aktifler;

SdzdttSdS ),( 0),0( tand

Genel olarak:


Şeklinde zamanla değişen ortlama getiri şeklinde verilse dahi Black-Scholes formülasyonu geçerlidir.



75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1250

5

10

15

20

25

75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1250

5

10

15

20

25

30

S S

c p

Call fiyatı Put fiyatı

)25.0%,20%,5,100( TrK


)()(),( 2)(

1 dNKedSNtSc tTr )()(),( 12)( dSNdNKetSp tTr

Genel olarak:



Black-Scholes çözümünün diğer özellikleri:

-Çözüm senedin ortalama getirisine (bağlı değildir.

Bu özellikleri ilerde daha kapsamlı inceleyeceğiz...

]|),([),( )(tT

tTrt STScEetSc

SdzrSdtdS

Çözümü aşağıdaki gibi de yazabiliriz:

Burada;

Risk Nötral Fiyatlama.

Risk nötral faiz oranına bağlı. Senedin gerçek dinamikleri değil!



Amerikan Alış (Calls) ve Satış (Puts) Opsiyonları:Burada opsiyonu süresinden önce işleme koymak söz konusudur.

Buna göre aşağıdaki koşullara göre opsiyon geçerli tutulur:

)0,max(),( KStSc Call için

)0,max(),( SKtSp Put için

Temettü ödemeyen bir aktife bağlı bir Amerikan call opsiyonun hiçbir zaman optimal olmayacağı ve Avrupa call ile aynı değeri alacağı gösterilebilir.

Buna karşılık bir put erken işlemde optimal olabilir.

Genel olarak Amerikan opsiyonların çözümü için nümerik teknikler gerekecektir. Verilen sınır koşulları sorun çıkartabilir.

Genel Olarak:



Terminoloji:

Avrupa ve Amerika alış (call) ve satış (put) genellikle plain vanilla opsiyonları Olarak adlandırılır.

Diğer türevler ise exotikler olarak bilinirler. Bunlara “exotik” denmesi zor oldukları anlamına gelmez. Bunlar sadece Black-Scholes denklemleri için farklı sınır şartlarına sahiptirler.

Bunların sayısı (oldukça) fazladır:Binary veya digital opsiyonlarBariyer opsiyonlarıBileşik opsiyonlarseçmeli opsiyonlar v.s....



Bu sunum temel Black-Scholes modeli için ilk yaklaşım idi.

Eğitim programında bu modelin arkasında yatan temel Matematik teknikler ve bunlardan kaynaklanan alternatif

Modeller daha yakından ve kapsamlı incelenecektir..

Bu modeller temel bir matematik-istatistik bilgisinin yanındaKısmi diferansiyel/diferans denklemleri konusunda da yeterli

Bir bilgi düzeyi gerektirmektedir.



SC

Rho Changes in the risk-free borrowing rate

Theta Decay of time to maturity

Vega Changes in volatility of share values

Gamma: orChanges in delta(convexity)

Delta: orChanges in the value of underlying shares

Greek orFormulaRisk Factor

2SC

C

TC

rC

black-scholes difuzyon

Data & Analytics