1

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE

YORUMLAMA SÜRECİ

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME

DAĞILIMLARI

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE

YORUMLAMA SÜRECİ

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME

DAĞILIMLARI

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE

TAHMİN TEORİSİ

2

Yorumlama süreci

Populasyon

Örnek

Örnek

İstatistikleri

Tahminler

ve testler

),( spX

3

Örnek Tipleri

Örnek

Tipi

Olasılık Olasılık Dışı

Basit

Şans Tabakalı Sistematik Kümeli

Kitle Yargı Kota

4

Niçin Örnek?

Anakütle parametrelerinin örnek değerleri(örnek istatistikleri)

yardımıyla tahmin edilmesine imkan sağlamak modern

istatistiğin önemli bir görevidir.

Anakütlenin tamamı incelenmez.

Anakütleden bir şans örneği alınır.

Elde edilen örnek değerlerinin anakütle parametresi yerine

kullanılması için iki şart vardır:

a. Örnek şans örneği olmalı. Anakütledeki her birimin örneğe

girme şansı eşit olmalı

b. Örnek yeterince büyük olmalı

5

Örnekleme;

İadeli örnekleme:Çekilen birimin anakütleye tekrar iade

edilmesidir.

İadesiz örnekleme:Çekilen birim anakütleye iade edilmez.

Bir anakütleden alınan şans örneklerinin her birisi için örnek

istatistikleri hesaplandığında örnekleme dağılımları ortaya

çıkar:

Bir örneğin ortalaması hesaplanmışsa elde edilen iX

dağılımı ortalamaların örnekleme dağılımı,

Her örnek için p oranları hesaplandığında oranların örnek

dağılımı elde edilir.

6

İki ayrı anakütlenin karşılaştırılması yapılıyorsa farklarla

ilgili örnekleme dağılımı ortaya çıkar:

Her iki anakütleden alınan nA ve nB büyüklüğündeki

örneklerin ortalamaları hesaplanmış ve bu ve AX BX

değerleri arasındaki farklar belirlenmişse elde edilen

dağılım ortalamalar arası farkların örnekleme

dağılımıdır.

Anakütlelerden alınan örnekler için oranlar hesaplanmış ve

bu oranların anakütleler itibariyle gösterdikleri farklılıklar

ortaya konulmuşsa elde edilen dağılım oranlar arası

farkların örnekleme dağılımıdır.

7

Bir populasyon parametresini tahminlemek için şans

değişkenleri kullanılır:

Örnek ortalaması, örnek oranı, örnek medyanı…

Örnek

hacmi

arttıkça

(n 30) ... Örnekleme

dağılışı normal

dağılıma

yaklaşır.

X

Merkezi Limit Teoremi

8

ORTALAMALARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Ortalamaların örnekleme dağılımı anakütle ortalamasının iyi

bir tahmincisidir.

Her biri n hacimli çok sayıda örneğe ait ortalamaların

gösterdiği dağımın değişkenliği tek örneğin değişkenliğinden

daha azdır.

Standart sapma bir örneğin değişkenliği hakkında bilgi

verirken ,

Ortalamaların örnekleme dağılımının değişkenliği standart

hatayla gösterilir.

9

Aşırı değerlerin etkisinin önemli ölçüde yok edilmesi,

ortalamaların örnekleme dağılımının değişkneliğini azaltıcı bir

faktördür.

Ana kütle standart sapması bilindiğinde standart hata

xx n

eşitliğiyle hesaplanır. Standart z değerleri

XZ

x

formulüyle hesaplanır. Ortalamaların örnekleme dağılımında

XX xx xx yerini alır.

10

XZ

x

xX

Z

x

Herhangi bir değerinin standart Z değerine dönüştürmesinde X

eşitliği kullanılır.

Z = 0

z = 1

Z

Örnekleme dağılımı Standart normal

dağılım

X

X

X

11

Normal populasyondan örnekleme

•Merkezi eğilim

•Yayılım

– yerine koyarak

örnekleme

Populasyon dağılımı

Örnekleme dağılımı

n =16 X = 2.5

n = 4 X = 5

= 10

X

nX

X

50X

50 X

12

Alıştırma

• Türk telekomda çalışan bir operatörsünüz.

Uzun mesafeli telefon görüşmeleri = 8

dk. & = 2 dk. İle normal dağılmakta.

Eğer 25 aramalık örnekler seçerseniz

örnek ortalamalarının % kaçı 7.8 & 8.2 dk.

arasında olacaktır?

13

Çözüm

Örnekleme

dağılımı

.3830

.1915 .1915

Standart normal

dağılım

Z X

n

Z X

n

7 8 8

2 25 50

8 2 8

2 25 50

. .

. .

8

X

= .4

7.8 8.2 0

Z = 1

-.50 Z .50 X

14

ORANLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Oranların örnek dağılımının ortalaması anakütle oranına eşittir.

P

P 1 P

n

p PZ

P 1 P

n

ÖRNEK: Büyük bir alışveriş merkezinde 15000 YTL’den fazla alışveriş yapan müşterilerin %30’unun kredi kartı kullandığı tespit edilmiştir. 15000 YTL’den fazla alışveriş yapan 100 müşteri için oranların örneklem dağılımının standart hatası nedir?

P

P 1 P 0.30 1 0.300.0458

n 100

15

ORANLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI Aynı örnek için 15000 YTL’den fazla alışveriş yapan 100 müşteriden %20 ile %25’inin kredi kartı kullanması ihtimalini hesaplayınız.

1

1

p P 0.20 0.30Z 2.18

0.30(1 0.30)P 1 P

100n

2

2

p P 0.25 0.30Z 1.09

0.30(1 0.30)P 1 P

100n

P(0.20 P 0.25) P( 2.18 Z 1.09) 0.4854 0.3621

P(0.20 P 0.25) 0.1233

-2.18 -1.09

0.4854

0.3621 0.1233

16

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Ortalamalar arası farkın örnek dağılımının ortalaması μ1 – μ2 ve standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

2 2

1 2

X X

1 2n n

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

X XZ

n n

17

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Örnek: İki farklı un fabrikasında paketlenen standart 1 kg’lık un paketleri test edilmiş ve birinci fabrikadan alınan 100 paketin ortalaması 1.03 kg, standart sapması 0.04kg; ikinci fabrikadan alınan 120 paketin ortalaması 0.99 kg, standart sapması 0.05 kg bulunmuştur. Anakütle standart sapmaları bilinmediği için örnek standart sapmalarından hareketle ortalamalar arası farkın standart hatası,

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

X X

1 2 1 2

2 2

s s

n n n n

(0.04) (0.05) =

100 120

= 0.006

18

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Oranlar arası farkın örnek dağılımının ortalaması P1 –P2 ve standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

1 1 2 2

P P

1 2

P 1 P P 1 P

n n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

p p P PZ

P 1 P P 1 P

n n

19

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Örnek: Birinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.08 ve ikinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.05 olduğu bilinmektedir. Tesadüfi olarak birinci fabrikadan 100, ikinci fabrikadan 150 mamul seçilmiş ve birinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.09, ikinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.06 olarak gözlenmiştir. Buna göre kusur oranları arasındaki farkın standart hatası:

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

P P

1 2

P P

P P

P 1 P P 1 P

n n

0.08 0.92 0.05 0.95

100 150

0.0324

20

İstatistiksel metotlar

İstatistiksel

metotlar

Tanımlayıcı

istatistikler

Yorumlayıcı

istatistikler

Tahminleme Hipotez

Testi

21

Yorumlayıcı İstatistikler

• Aralık tahminleme

ve hipotez testlerini

içerir.

• Amacı populasyon

karakteristikleri

hakkında karar

vermektir.

Populasyon?

22

Tahmin süreci

Ortalama, ,

bilinmiyor

Populasyon Şans örneği %95 eminim ki,

, 40 ile 60

arasındadır.

Ortalama

= 50 X

23

Bilinmeyen populasyon

parametreleri tahminlenir...

Populasyon

parametresini

Örnek istatistiğiyle Tahminle!

Ortalama

Oran P p

Varyans s 2

Farklar 1 2 1 2

X

X X

2

24

Tahminleyicilerin Özellikleri

Sapmasız Sapmalı

B A X

)(XP

1. Sapmasızlık

N birimlik aynı anakütleden farklı sayıda örneklem seçilebileceği için tahmin edicinin değeri de seçilen örnekleme göre değişmektedir. Bu durumda örneklem sayısı kadar elde edilen tahmin edici, bir rassal değişken olup, ortalaması ve varyansı olan bir olasılık dağılımına sahiptir. Bu dağılımın beklenen değerinin anakütle parametresine eşit olmasına, diğer bir ifadeyle bir istatistiğin beklenen değeri ile bilinmeyen anakütle parametresi arasındaki farkın sıfıra eşit olmasına “sapmasızlık” denir.

E(X) E(X) 0

25

Tahminleyicilerin Özellikleri

2. Tutarlılık (Kararlılık)

Küçük örnek hacmi

Büyük örnek hacmi

A

B

)X(P

X

Örneklemdeki birim sayısı sonsuza doğru arttırıldığında, tahmin edicinin değerinin anakütle değerine yaklaşması ve n=N olması durumunda aralarındaki farkın sıfıra inmesi özelliğine “tutarlılık” denir.

nlim P 1

,’nın tutarlı tahmincisidir.

26

Tahminleyicilerin Özellikleri

3. Etkinlik

A

B

X

)X(P

Birden fazla sapmasız ve tutarlı tahminci olması durumunda, bir tahmincinin varyansının, aynı anakütle parametresinin başka bir tahmincisinin varyansından daha küçük olması durumunda elde edilen tahmincilere “etkin” tahminci adı verilmektedir.

Etkin Tahminci

27

İstatistiksel Tahminleme

Nokta Tahmini Aralık Tahmini

Pp

σs

μ

X

.035P0.25

3.4σ2.5

60μ20

2

Populasyon parametresinin

tek bir tahmin değerini verir

Populasyon parametresinin

tahmin aralığını verir. Nokta

tahmini kullanılarak

hesaplanır.

28 28

Güven Aralığı Tahmininin Elemanları

Güven aralığı Örnek istatistiği

Alt güven sınırı Üst güven sınırı

Populasyon parametresinin aralık içinde bir yere düşmesinin olasılığı

Güven Aralığı Tahmini

Bir değer aralığı verir.

Populasyon parametresine yakınlık hakkında bilgi verir.

Olasılık terimleriyle ifade edilir.

29

Güven aralığı

Örneklerin 90%

Örneklerin 95%

Örneklerin 99%

x _

nZX

XZX

X

XXXX 58.2645.1645.158.2

XX 96.196.1

30

• Bilinmeyen populasyon parametresinin

aralık içine düşme olasılığıdır.

• %(1 - güven seviyesi

: Parametrenin aralık içinde olmaması

olasılığıdır.

• Tipik değerler %99, %95, %90

Güven Seviyesi

31

Aralıklar ve güven seviyesi

Ortalamanın

örnekleme

dağılımı

Çok sayıda aralık

aralık Aralıkların

%(1 - ) ‘ı

’yü kapsar.

% ‘sı

kapsamaz.

x

=

1 - /2 /2

X

_

x _

uzanirkadaraX

ZX

danX

ZX

'

'

32

Aralık genişliğini etkileyen

faktörler

• Verilerin yayılımı (

• Örnek hacmi X = X / n

• Güven seviyesi (1 - )

© 1984-1994 T/Maker Co.

Aralık

uzanir.ya'

dan'X

ZXX

ZX

33

Populasyon ortalamasının güven

aralığının hesaplanması

x

x

xx

ZX

ZHata

HataXZ

XyadaXHata

HataX

)5(

(4)

(3)

(2)

)1(

Parametre=

istatistik ±hata

34

Güven Aralığı Tahminleri

Ortalama

Güven Aralıkları

Oran

bilinmiyor biliniyor

Varyans

n<30 n30

t dağılımı Z dağılımı

35

Örneklerin 90%

Örneklerin 95%

Örneklerin 99%

x _

X

XXXX 58.2645.1645.158.2

XX 96.196.1

ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI

X X2 X 2P X z X z 1

n n

36

ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Örnek: Bir fabrikada üretilen 100 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. Bu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı %95 güvenle hangi aralıktadır?

Z = 0 z=1.96

/2=0.05/2=0.025

%95 için z değeri ± 1.96 0.475

z=-1.96

37

ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI

X X2 X 2P X z X z 1

n n

X

25 25P 1040 1.96 1040 1.96 0.95

100 100

XP 1035.1 1044.9 0.95

38

Örnek

•n = 25 hacimli bir şans örneğinin

ortalamasıX = 50 dir. Populasyonun

standart sapmasının X = 10 olduğu

bilindiğine göre X için 95% ‘lik güven

aralığını oluşturunuz.

92 . 53 08 . 46

25 10 96 . 1 50

25 10 96 . 1 50

x x

α/2 α/2P(X Z μ X Z ) 1 αn n

P( )=0.95

P( )=0.95

39

Populasyonun St.Sapması X Bilinmediğinde ve n 30

Olduğunda Ortalama İçin Güven Aralığı

• 1. Varsayımlar:

– POPULASYONUN standart sapması

bilinmiyor

– Populasyon Normal dağılımlıdır.

• 2. Merkezi limit teoremi kullanılarak Z Dağılımı

kullanılır.

• 3. Güven aralığı tahmini:

Örneğin st.sapması

x x

α/2 α/2

S SP(X Z μ X Z ) 1 α

n n

40

Populasyon st.sapması bilinmediğinde ve n30

olduğunda ortalama için güven aralığı örneği

•Bir ampul şirketi yeni bir ampul geliştirerek piyasaya

sürüyor. Üretim bandından 100 tanesi rassal olarak

seçiliyor ve bunların standart sapması 140 saat, kulanım

süreleri de ortalama olarak 1280 saat bulunuyor. =0.05

için populasyon ortalamasının güven aralığını bulunuz.

100

14096.11280

100

14096.11280

95.0)44.130756.1252(P

α1)n

SZXμ

n

SZXP( x

α/2x

α/2

Yorum: Şirketin ürettiği ampullerin ortalama ömrü, 0.95 olasılıkla 1252.56 ile 1307.44 saat arasındadır.

P( )=0.95

41

Bir Oranın Güven Aralığı

• 1. Varsayımları

– İki kategorik çıktı vardır.

– Populasyon Binom dağılımı gösterir.

• 2. Güven aralığı tahmini:

α1).SZpP.SZpP( pα/2pα/2

n

qpS p

ˆ.ˆˆ n

xp ˆ

Örnek

hacmi

Özellikli

birim sayısı

42

•400 lise öğrencisinden oluşan bir örnekte 32 öğrenci

üniversite sınavını kazanmıştır. Üniversite öğrencilerinin

sınavı kazanma oranı için %95’lik güven aralığını

bulunuz.

α1).SZpP.SZpP( pα/2pα/2

08.0400

32p

Bir Oranın Güven Aralığı

ÖRNEK:

0.08 1 0.08 0.08 1 0.08P 0.08 1.96 P 0.08 1.96 0.95

400 400

P 0.053 P 0.107 0.95

43

İki Ortalamanın Farkı İçin Güven Aralığı

Populasyon Varyansları Biliniyorsa:

1

nnZXX

nnZXXP

2

22

1

21

2/2121

2

22

1

21

2/21

α1n

S

n

SZXXμμ

n

S

n

SZXXP

2

22

1

21

α/2,2121

2

22

1

21

α/2,21

Populasyon Varyansları Bilinmiyor fakat n > 30 olduğunda:

44

Populasyon st.sapması bilinmediğinde ve n>30

olduğunda iki ortalama farkı için güven aralığı

örneği

Bir yabancı dil kursunun A sınıfında bilgisayar destekli ve B sınıfında klasik yöntemlerle eğitim verilmektedir. Kursun başlangıcından 6 hafta sonra her iki sınıfa da aynı test uygulanarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. A sınıfından rassal olarak seçilen 40 öğrencinin test sonucunda elde ettiği ortalama başarı notu 86 ve standart sapması 12, B sınıfından rassal olarak seçilen 35 öğrencinin ortalama başarı notu 72 ve standart sapması 14’tür. Her iki sınıftaki öğrencilerin ortalama başarı notları arasındaki farkın güven aralığını %99 olasılıkla belirleyiniz.

1 1 1

2 2 2

X 86 S 12 n 40

X 72 S 14 n 35

45

Populasyon st.sapması bilinmediğinde ve n>30

olduğunda iki ortalama farkı için güven aralığı

örneği 1 1 1

2 2 2

X 86 S 12 n 40

X 72 S 14 n 35

α1n

S

n

SZXXμμ

n

S

n

SZXXP

2

22

1

21

α/2,2121

2

22

1

21

α/2,21

99.035

14

40

1258.22768μμ

35

14

40

1258.27268P

22

21

22

99.082.21μμ18.6P 21

46

İki Oran Farkının Güven Aralığı

• 1. Varsayımları

– İki kategorik çıktı vardır.

– Populasyonlar Binom dağılımı gösterir.

• 2. Güven aralığı tahmini:

1SZppPPSZppPr2121 ppα/22121ppα/221

İki oran farkının

standart sapması 2

22

1

11ˆˆ

ˆ.ˆˆ.ˆ21 n

qp

n

qpS pp

47

İki Oran Farkının Güven Aralığına Örnek

İki farklı ilacın bir hastalığı tedavi etme oranlarının farklı olup

olmadığı kontrol edilmek istenmektedir. Bu amaçla 1000’er adet

hasta üzerinde A ve B ilaçları denensin. Tedavi sonunda A ve B

ilaçlarının uygulandığı hastaların sırasıyla 825 ve 760’ının iyileştiği

gözlendiğine göre ilaçların hastalığı tedavi etme oranlarının

farkının %95’lik güven aralığını bulunuz.

n1 = 1000, n2 = 1000 760,01000

760ˆ825,0

1000

825ˆ

21 pp

0.018

1000

)760.01.(760.0

1000

)825.01.(825.0

n

q.p

n

q.pS

2

22

1

11pp 21

48

İki Oran Farkının Güven Aralığına Örnek

95.0018.096.1760.082.0PP018.096.1760.082.0Pr 21

1SZppPPSZppPr2121 ppα/22121ppα/221

95.010.0PP029.0Pr 21

49

STANDART SAPMA İÇİN GÜVEN

ARALIĞI

Örnek standart sapması s,anakütle standart sapması ’nın

nokta tahminidir. Nokta tahmininden hareketle anakütle

standart sapmasının güven aralığı,

n

sZs

n

sZs

2222

/2 /2 1 -

n

sZs

22

n

sZs

22

2Z 2Z

s

50

Standart Sapmalar için Güven Aralığına Örnek

Bir makinada , bir hafta içersinde yapılan 200 bilyeli yatağın çapları ölçülmüş ve ortalama 2.09 cm , standart sapma ise 0.11 cm bulunmuştur. Bütün bilyeli yatakların çaplarına ait standart sapmanın güven sınırlarını bulunuz.

n=200

09.2X 11.0s 01.0

200.(2

11.058.211.0

)200.(2

11.058.211.0

1242.00958.0