Rijit Cisimlerin Dengesi

• Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: – Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması

– Rijit cisimler için serbest cisim diyagramı çizilmesi

– Denge denklemlerini kullanarak, rijit cisimlerin denge problemlerinin çözülmesi

• Denge, hem ivmeli hareketle cismin ötelenmesini önlemek için kuvvetlerin dengesini, hem de cismin dönmesini önlemek için momentlerin dengesini gerektirir.

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit cisim denge koşulları

• Şekilde cisme, kuvvet ve moment (kuvvet çifti) vektörleri etkimektedir.

• Bu kuvvetler, yerçekimi, elektriksel, manyetik veya temas kuvvetlerinden dolayı olabilir.

• İç kuvvetlerin toplamı sıfırdır, çünkü cisim içindeki parçacıklar arasındaki iç kuvvetler, Newtonun üçüncü kanununa göre eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklindedir, yani dengededir.

• Bir önceki bölümde anlatılan yöntemle, bir cisme etki eden kuvvet ve moment çifti sistemi, cismin herhangi bir O noktasına eşdeğer bir bileşke kuvvet ve bileşke moment çiftine indirgenebilir. Bu bileşke kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse, cismin dengede olduğu söylenebilir.

0)(

0

OOR

R

MM

FF

0)(00

0)(

ORR

ORRA

MveFr

MFrM

Bu denklemler, bir rijit cismin dengede olması için, cisim üzerine etkiyen

bütün dış kuvvetlerin toplamının ve dış kuvvetlerin bir noktaya göre

momentleri toplamının sıfıra eşit olması gerektiğini ifade eder. Bu iki şart,

sadece gerek değil, denge için ayrıca yeter koşuldur. Bunu göstermek için,

bir başka nokta olan A’ya göre moment alalım:

Konum vektörü sıfırdan farklı bir değer aldığı

için kuvvet ve momentin sıfır olması gerekir.

Önemli !!!

• Denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit kaldığı, şekil değiştirmediği kabul edilmektedir. Gerçekte ise, yüklere maruz kalan cisimler deforme olur. Bununla birlikte, beton ve çelik gibi oldukça rijit olan malzemelerde bile durum böyledir. Ancak, birçok mühendislik uygulamasında denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit olduğu kabulü yapılır. Cisim şekil değiştirse bile, bu şekil değişiminin kuvvetlerin doğrultusunu ve moment kollarının sabit bir referans eksenine göre değişmediği kabul edilir.

İki Boyutta Denge

• Bu bölümde aynı düzlemdeki kuvvetlerin ve bu düzleme dik momentlerin dengesi incelenecek.

• Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir.

• Şekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu için, tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak gösterilmiştir.

Serbest Cisim Diyagramları • Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması için, cisim üzerine

etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin cisim üzerinde gösterilmesi gerekir. Bunun için serbest cisim diyagramı çizilmelidir. Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş veya serbest kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir “serbest cismi” gösteren bir taslaktır. Serbest cisim diyagramını çizmek için:

1) Cisim üzerine etkiyen dış kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm

kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen dış

kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır.

2) Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle

gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve şiddetleri

harflerle gösterilmelidir

3) Bir x-y koordinat ekseni oluşturulmalı ve bilinmeyen kuvvetler, bu

eksenlerdeki bileşenlerine ayrılarak gösterilmelidir.

4) Cismin boyutları belirtilmelidir (bu boyutlar momentler bulunurken

kullanılacaktır.)

Mesnet Reaksiyonları

• Genel kural: bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini

engelliyorsa, cisim üzerinde sözkonusu doğrultuda bir kuvvet ortaya

çıkar. Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde

bir kuvvet çifti momenti uygulanır.

• Örneğin, bir kirişte görülen üç mesnet türüne bakalım:

– Kayar mesnet: sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini

önler, tekerlek kiriş üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet

uygular.

Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim üzerinde)

Mesnet serbestçe döndüğü için ve yatay yönde hareket edebildiği için o

yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz.

– Mafsallı (pimli) mesnet: kiriş şekildeki gibi, bir pim kullanılarak daha kısıtlayıcı bir şekilde mesnetlenebilir. Pim yere tutturulmuş iki elemandan ve kirişteki bir delikten geçer. Pim kirişin herhangi bir doğrultusunda, ötelenmesini önler ve bu yüzden pim kiriş üzerinde bu doğrultuda bir F kuvveti uygulamalıdır. Bu etkiyi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade etmek daha kolaydır. Hem düşey hem yatay yönde hareket engellenmiştir, dolayısıyla reaksiyon kuvvetleri bu iki yönde oluşur. Kiriş sadece serbestçe dönebilir.

– Ankastre mesnet: Kirişi mesnetlemenin en kısıtlayıcı yolu, şekildeki gibi bir sabit mesnet (ankastre mesnet) kullanmaktır. Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine engel olur. Bu durumda, mesnette x ve y yönlerinde kuvvetler ve z ekseni doğrultusunda (moment ekseni) moment oluşacaktır. Kuvvet mafsallı mesnette olduğu gibi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade edilir, ve bu kuvvetler bilinirse açısı da kolaylıkla bulunur. Kirişin bir noktadan her yöndeki hareketi sınırlanmıştır.

Diğer Rijit Cisim Mesnet Türleri • Tabloda, sıklıkla kullanılan diğer mesnet türleri verilmiştir. Tüm

durumlarda açısının bilindiği kabul edilmiştir.

Kablo: 1 bilinmeyen, tepki

kablo doğrultusunda

elemandan uzaklaşan yönde

etkiyen bir çekme kuvveti

Ağırlıksız çubuk; 1

bilinmeyen, tepki bağlantı

çubuğu ekseni boyunca iki

yönlü kuvvet

Kayar mesnet: 1 bilinmeyen,

tepki temas noktasında

yüzeye dik etkiyen bir

kuvvettir.

Sürtünmesiz yuva içinde kayar

mesnet: 1 bilinmeyen, tepki

yuvaya dik etkiyen bir

kuvvettir.

Sallanan mesnet: 1

bilinmeyen, tepki temas

noktasında yüzeye dik etkiyen

bir kuvvettir.

Mafsallı kayar eleman: 1

bilinmeyen, tepki elemana dik

etkiyen bir kuvvettir.

Sürtünmesiz yüzey: 1

bilinmeyen, tepki temas

noktasında yüzeye dik etkiyen

bir kuvvettir.

Mafsallı sabit mesnet: İki

bilinmeyen, kuvvetin iki bileşeni

veya bileşke kuvvetin büyüklüğü

ve doğrultusu.

Ankastre kayar mesnet: iki

bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti

ve çubuğa dik etkiyen bir kuvvet

Ankastre mesnet: üç bilinmeyen.

Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet

bileşeni veya kuvvet çifti momenti

ve bileşke kuvvetin büyüklüğü ve

doğrultusu.

Kayar

mesnet Sürtünmesiz

yüzey

ankastre Sabit mesnet

kablo

Dış ve İç kuvvetler

• Bir rijit cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem dış hem de iç yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim diyagramında iç kuvvetler gösterilmez. İç ve dış kuvvetler daima eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklinde ortaya çıkar ve bu nedenle cisim üzerindeki net etkileri sıfırdır.

Motora etkiyen tüm iç kuvvetler ( bulon, vida vb. kuvvetleri) birbirlerini dengeler.

Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı serbest cisim diyagramında gösterilir.

Ağırlık ve Ağırlık Merkezi

• Cismin ağırlığı önemli mertebedeyse bu

sorularda belirtilir. Ayrıca cisim üniformsa (aynı

malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi cismin

geometrik merkeziyle çakışır. Cisim üniform

değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse

bu durumda ağırlık merkezi verilecektir.

İdealize edilmiş modeller

Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı zaman, gerçek duruma en

yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir. Bunun için mesnet tipleri,

malzeme davranışı ve cismin boyutları uygun bir şekilde seçilmelidir.

Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi gerekebilir.

Örnek 40

• Şekildeki üniform kirişin serbest cisim diyagramını çiziniz. Kirişin kütlesi 100 kg’dır.

Örnek 41

300’er kg kütleli iki sürtünmesiz boru şekildeki görüldüğü gibi traktörle

taşınmaktadır. Serbest cisim diyagramını her boru için ve birlikte çiziniz.

Örnek 42

Şekilde gösterilen sistemin

matematiksel modelini kurun

ve serbest cisim diyagramını

çiziniz.

Denge denklemleri

00 0MveF

Rijit bir cismin dengesi için gerekli ve yeterli olan iki koşul:

Cisim x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruzsa,

kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir.

0

0

0

O

y

x

M

F

FCisim üzerine etkiyen

tüm kuvvetlerin x ve y

bileşenlerinin toplamı

Kuvvet çifti momentleri ile tüm kuvvet

bileşenlerinin x-y düzlemine dik olan ve

cismin üzerinde veya dışındaki keyfi bir O

noktasından geçen bir eksene göre

momentlerinin toplamı

Alternatif Denge Denklemi Setleri

0

0

0

O

y

x

M

F

F denklemleri düzlemsel denge problemlerinin çözümünde

sıklıkla kullanılmakla birlikte üç bağımsız denklemden oluşan

iki alternatif denklem seti de kullanılabilir:

0

0

0

B

A

x

M

M

F Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A ve B moment

noktalarının, x eksenine dik bir doğru üzerinde yer

almamaları gerekir. Aksi durumda denklemler birbirinden

bağımsız olmaz.

1

0

0

0

C

B

A

M

M

M

2

Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A, B ve C aynı doğru

üzerinde olmamalıdır.

Analizde İzlenecek yol:

Serbest Cisim Diyagramının çizilmesi:

Cisim üzerine etkiyen tüm dış kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinin gösterilmesi

gereklidir. Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen takımına göre

belirlenen doğrultuları belirtilmelidir. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması için

gerekli olan cismin boyutları da serbest cisim diyagramına dahil edilir.

Bilinmeyenler belirlenir. Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü bilinmeyen bir kuvvet

veya kuvvet çifti momentinin yönü varsayım ile belirlenebilir.

Denge denklemlerinin uygulanması:

Bütün denklemleri aynı anda çözmek zorunda kalmamak için iki bilinmeyen

kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer alan bir O noktasına göre M0=0

moment denklemi uygulanır (ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre

momentleri sıfır olsun). Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak Fx=0 ve Fy=0

denge denklemleri uygulanır. Denge denkleminin çözümü sonucunda negatif bir

skaler çıkarsa, sözkonusu kuvvet veya momentinin yönünün, serbest cisim

diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır.

Örnek 43

Şekildeki yüklemeye maruz

kalan kirişteki mesnet

kuvvetlerini bulunuz.

1- Serbest cisim diyagramı

* Bilinmeyen reaksiyon kuvvetleri mesnet noktalarına, yön kabuluyle etki ettirildi.

2- Denge Denklemleri

kontrol

Örnek 44

750 N

2 m

3 m 3 m

750 N

3 m 3 m

2 m

A ve B noktasında oluşan

reaksiyon kuvvetlerini

bulunuz.

Denge Denklemleri

NB reaksiyonunu bulmak için A noktasına göre moment alınır:

NAy

NNAyFy

NAx

NAxFx

NN

mNmNmN

M

B

BB

A

286

075030cos)2.536(0

268

030sin)2.536(0

2.536

0)3.(750)2.(30sin)6.(30cos

0

750 N

3 m 3 m

2 m

Örnek 45

Şekildeki sistemin mesnet

reaksiyonlarını bulunuz.

Not: Ankastre kayar

mesnet : A noktası düşey

yönde hareket edebiliyor

SERBEST CİSİM DİYAGRAMI

DENGE DENKLEMLERİ

Ax ve NB kuvvet denklemlerinin dengesinden bulunabilir:

daha sonra A noktasına göre moment alınır:

veya

=

Örnek 46

A noktasından mafsallı

(sabit) eleman B

noktasında sürtünmesiz

bir mesnetle

desteklenmiştir. A

mafsalındaki mesnet

kuvvetlerini bulunuz.

Örnek 47

A mesnedinde oluşan reaksiyon

kuvvetlerini bulunuz.

kNmM

MM

NAAF

NAAF

A

AA

yyy

xxx

90.3

0)60sin3(30cos.400)5.4(30sin.400

)5.4(200)5.3(200)5.2(2000

800030sin.4002002002000

346030cos.4000

Örnek 48

Mesnet tepkilerini ve C

noktasında oluşan kuvveti

bulunuz.

Örnek 49

Verilen yükleme durumunu dikkate alarak A ve B mesnet reaksiyonlarını

hesaplayınız.

Ax

Ay

By

Örnek 50

Verilen yükleme durumunu dikkate alarak A ve B mesnet reaksiyonlarını

hesaplayınız.

15 kN 12 kN

6 kN

A B

1.5 m 2 m

1 m

1 m

1.5 m

600

kNR

kNR

kNR

R

M

RR

RR

Fy

RR

RR

Fx

Ay

Ax

B

B

A

BAy

BAy

BAx

BAx

91.13

59.9

69.15

016)5.160sin15()5.312()545sin(

0

25707.0

045sin1260sin15

0

5.1707.0

045cos660cos15

0

15 kN 12 kN

6 kN

A B

1.5 m 2 m

1 m

1 m

1.5 m

RAx

RAy RB

RBx

RBy

600

450

Örnek 51

Verilen yükleme durumunu dikkate alarak A ve E mesnet reaksiyonlarını

hesaplayınız.

Sınıfta çözülecektir.

Örnek 52

Şekilde gösterilen sistemin A ve B mesnetlerindeki reaksiyon

kuvvetlerini bulunuz.

Not: B mesnedi hareket sadece ettiği yöne dik yönde mesnet

reaksiyonu oluşturmaktadır (kayar-pinli mesnet – AB kolu, B pini

etrafında dönebilmekte).

Sınıfta çözülecektir.

Örnek 53

Şekilde gösterilen sistemin A ve B mesnetlerindeki reaksiyon kuvvetlerini

bulunuz. Not: B mesnedi sadece hareket ettiği yöne dik ve dönme

yönünde mesnet reaksiyonları oluşturmaktadır (kayar-ankastre mesnet)

Sınıfta çözülecektir.