riduzione e tesi di suszko

Teorema di Riduzione e Tesi di Suszko

Rossella Marrano

Scuola Normale Superiore

25 Novembre 2013

Obviously, anymultiplication of logicalvalues is a mad idea.

Roman Suszko (1919-1979)

Rossella Marrano (SNS) Riduzione e Tesi di Suszko 25 Novembre 2013 2 / 26

The Fregean Axiom and Polish Mathematical Logic in the1920s, Studia Logica, XXXVI (4), 1977.

The main thesis of this talk is two-fold:1. The construction of the so called many-valued logics by Jan

Łukasiewicz was the effective abolition of the FregeanAxiom;

2. Łukasiewicz is the chief perpetrator of a magnificentconceptual deceit lasting out in mathematical logic to thepresent day.


The construction of the so called many-valued logics by Jan Łukasiewiczwas the effective abolition of the Fregean Axiom.

I Assioma di Frege: per gli enunciati ci sono solo due denotazionipossibili: il vero e il falso.

I Łukasiewicz: il valore semantico degli enunciati concernenti il futurocontingente non è né il vero né il falso, ma il possibile.

I Łukasiewicz abolisce l’assioma di Frege costruttivamente: si ammetteuna terza possibile denotazione per gli enunciati, ma non si introduceun nuovo valore logico.

I parlare di un terzo valore logico è un abuso terminologico.

Łukasiewicz is the chief perpetrator of a magnificent conceptual deceitlasting out in mathematical logic to the present day.


Importante

Distinguere tra:

Riduzione di SuszkoOgni logica tarskiana ha unasemantica bivalente.

I Risultato logico-matematico

Tesi di SuszkoOgni logica tarskiana èlogicamente bivalente: vero efalso sono gli unici valori logici.

I Posizione filosofica

Lungo il percorsoConsiderazioni generali sul rapporto logica/filosofia, formale/infomale.


La nozione di conseguenza logica

Alfred Tarski (1902-1983)

1. formulare una definizioneformale della nozione intuitivaseguire logicamente,

2. isolare le proprietà astratte didella nozione di conseguenzalogica.


1. Definizione formalea conclusion follows logically from some premises if and only if,whenever the premises are true, the conclusion is also true.

a conclusion follows logically from some premises if and only ifevery model of the premises is also a model of the conclusion.

Questa definizione dipende dalla particolare logica considerata.

I Variabili proposizionali Var = {p1, . . . , pn}.I Connettivi C = {¬,∧,∨,→} più significato: {f¬, f∧, f∨, f→}.I Enunciati EL.I Valutazioni v ∈ V: v : Var → {0, 1} che si estende a v : EL → {0, 1}

Nozione di conseguenza logica

Γ |= φ⇐⇒ ∀v ∈ V se v(Γ) = 1 allora v(φ) = 1.


2. Proprietà astratte della relazione

Consideriamo un generico linguaggio L,I `⊆ P(L)× L

I per ogni Γ ⊆ L e ogni φ, θ ∈ L e per ogni funzione di sostituzioneuniforme σ:

(RIF) θ ∈ Γ implica Γ ` θ,(MON) Γ ⊆ ∆ e Γ ` θ implica ∆ ` θ,(TRA) Γ ` θ e Γ, θ ` φ implica Γ ` φ.

(STR) Γ ` θ implica σ(Γ) ` σ(θ).

(FIN) Γ ` θ implica che esiste Γ′ ⊆fin Γ tale che Γ′ ` θ.


2. Proprietà astratte della relazione

Relazione di conseguenza tarskianaUna relazione di conseguenza tarskiana per L è una relazione`⊆ P(L)× L che per ogni Γ ⊆ L e ogni θ ∈ L soddisfa le proprietà (RIF),(MON) e (TRA).

Una relazione di conseguenza tarskiana è detta strutturale se soddisfa(STR). Finitaria se soddisfa (FIN).

Definizione astrattaNon dipende né dal significato dei connettivi né dalla funzione divalutazione.


Rapporti tra 1. e 2.

DefinizioneUna relazione di conseguenza è vero-preservante se esiste un insieme V divalutazioni (una semantica) tali che

Γ |= φ⇐⇒ ∀v ∈ V se v(Γ) = 1 allora v(φ) = 1.

I Ogni relazione di conseguenza vero-preservante è tarskiana.

I Ogni relazione di conseguenza tarskiana è vero-preservante?

La risposta positiva a questa domanda è il sorprendente contenuto delteorema di riduzione Suszko.


Logica come relazione di conseguenza

Una logica è una coppia 〈L,`L〉, dove L è un insieme arbitrario e `L unarelazione definita su P(L)× L.

I Una logica L = 〈L,`L〉 è tarskiana se `L lo è.

I Al variare delle proprietà della relazione di conseguenza si ottengonodiverse famiglie di logiche.

I Definizione sintattica o semantica della logica.


Algebra delle formule

Un algebra A è una coppia 〈A,F 〉, con A non vuoto chiamato universo diA, e F = {fi}i∈I sequenza di operazioni finitarie su A. Il tipo di A è lafunzione τ : I → N, dove τ(i) è l’arietà della funzione fi . Due algebre sidicono simili se hanno lo stesso tipo.

Algebra delle formule:universo insieme For delle formule del linguaggio

operazioni per ogni connettivo ? di arietà n si definisce l’operazioneF? : Forn → For .

Algebra delle formuleFM = 〈For , { Fc | c ∈ C }〉

Logica algebricaL = 〈FM,`〉


Semantica algebricaI Algebra simile a FM: A = 〈A, { fc | c ∈ C }〉

I Omomorfismo: s : Var → A che si estende a hs : For → A conhs ∈ Hom(FM,A).

I Matrice logica M = 〈A,D〉 = 〈A,D, { fc | c ∈ C }〉 con D ⊂ A.

I Modello M = 〈M, h〉.

I Sia Γ ⊆ L, Γ ha un modello se esiste un h ∈ Hom(FM,A) tale cheh(Γ) ⊆ D.

I Conseguenza logica:Γ |=M φ⇐⇒ ∀h ∈ Hom(FM,A) se h(Γ) ⊆ D allora h(φ) ∈ D.

Non ci sono limiti alla cardinalità di A.

A funziona essenzialmente come una semantica bivalente.Rossella Marrano (SNS) Riduzione e Tesi di Suszko 25 Novembre 2013 13 / 26

Adeguatezza

I Una logica tarskiana strutturale 〈FM,`〉 si dice essere caratterizzatada una matrice M se e solo se

` = |=M .

I L è caratterizzata da una classe A di matrici se e solo se

` =⋂{|=M |M ∈ A}.

I L è caratterizzata da un modello M se e solo se

` = |=M,

dove |=M è definita da Γ |=M φ⇐⇒ se h(Γ) ⊆ D allora h(φ) ∈ D.


Teorema (Wójcicki)Ogni logica tarskiana strutturale è caratterizzata da una matrice a n valoridove n = |For |.

Dimostrazione.Ogni logica tarskiana L = 〈FM,`〉 è caratterizzata dalla seguente classe dimodelli, chiamata Lindenbaum bundle:{

〈FM, Γ̄, v〉}

dove:I Γ ⊆ ForI Γ̄ = { θ | Γ ` θ }I v endomorfismo su FM.


Il teorema di riduzione

Teorema (Suszko, 1977)Ogni logica Tarskiana strutturale ha una semantica bivalente.

Dimostrazione.Sia L = 〈FM,`〉 una logica tarskiana. Per il teorema di Wójcicki L ècaratterizzata da una classe ML di modelli a n valori. Per ogni〈A,D, { fc | c ∈ C } , h〉 ∈ML, si definisca la funzione h2 : For → {0, 1}come segue:

h2(θ) =

{1, se h(θ) ∈ D;0, se h(θ) /∈ D.

La classe { 〈{0, 1}, {1}, { fc | c ∈ C } , h2〉 | h ∈ Hom(FM,A) } è la classedi modelli a due valori che caratterizza L, cioè la semantica bivalentecercata.


Sul teorema

Idea intuitivaI D si comporta come un predicato di verità classico

I Bivalenza: designati VS non designati

GeneralizzazioniI L’ipotesi di strutturalità non serve

I Versione costruttiva del teorema


Sulla semantica di Suszko

I Troppo generale – family of subset[. . . ] peculiar conception of what is a “two-valued semantics”, and inparticular of what is, or can be, a “semantics”: Suszko and his followersadmit as such an arbitrary family of arbitrary functions from the set ofpropositional formulas to the set of logical values. (Font, 2009)

I non vero-funzionale[. . . ] logical valuations are morphism (of formulas to the zero-onemodel) in some exceptional cases only. (Suszko, 1977)

I Derivata dalla semantica polivalente che caratterizza la logica

L’esistenza di una semantica bivalente si può derivare direttamente dallalogica


Dimostrazione alternativa

TeoremaOgni logica Tarskiana strutturale ha una semantica bivalente adeguata.

Dimostrazione.L = 〈FM,`〉 logica tarskiana strutturale. CL =

{Γ̄ ⊆ For

∣∣ Γ̄ ` φ implies φ ∈ Γ̄}

famiglia degli insiemi deduttivamente chiusi. Per ogni Γ̄ ⊆ For si prende lafunzione caratteristica:

vΓ̄(φ) =

{1, if φ ∈ Γ̄;0, if φ /∈ Γ̄.

La relazione |= canonicamente definita sull’insiemeV =def

{vΓ̄ : For → {0, 1}

∣∣ Γ̄ ∈ CL}, cioè

∆ |= θ ⇐⇒ ∀v ∈ V ∀δ ∈ ∆ if v(δ) = 1 then v(θ) = 1,

è estensionalmente equivalente a `.


Un risultato doppio

SR1 Ogni logica tarskiana strutturale ha una semantica bivalenteadeguata.

SR2 Ogni matrice a n-valori può essere ridotta ad una semanticabivalente.

Questa distinzione si rivela molto importante quando si indaga il contenutodel teorema e a sua portata filosofica.


Tesi di Suszko – Premessa

I Per ogni enunciato: senso, denotazione, valore di verità

Logiche FregeaneI denotazione = valore di verità

FA due possibili denotazioni

Logiche Non Fregeane

I denotazione = situazione (fatto) descritto da

��ZZFA esistono più di due situazioni


Tesi di Suszko

I denotazione di un enunciato 6= valore di verità

I valori algebrici 6= valori logici

I valutazioni algebriche 6= valutazioni logiche

RiduzioneNon importa la cardinalità del codominio delle valutazioni algebriche, uninsieme adeguato di valutazioni logiche può sempre essere trovato.

TesiOgni logica è (logicamente) bivalente.


Due versioni della tesi di Suszko

SST Vero e falso sono gli unici due valori logici.

I q-conseguenza di Malinowski: tre valori logici

I perché vero e falso?

WST Ogni logica tarskiana è (logicamente) bivalente.

I passaggio dalla semantica alla logica

I come si definisce la valenza logica?

Nessuna delle due tesi è supportata dal teorema, serve aggiungereassunzioni filosofiche.


Il contenuto del teorema

SR1 Ogni logica tarskiana strutturale ha una semantica bivalente adeguata

I ad ogni conseguenza tarskiana se ne associa naturalmente una1-preservante (SR1)

I non importa quanti valori di verità ci sono nel modello, gli assiomitarskiani caratterizzano pienamente una conseguenza 1-preservante

SR2 Ogni matrice a n-valori può essere ridotta ad una semantica bivalente

I la distinzione designato/non designato ripristina la bivalenza

I scelta conforme all’idea tarskiana di preservazione di un valore


Sul contenuto del teorema

I SR1 e SR2 mettono in luce aspetti molto diversi...

I ...dello stesso contenuto:

La nozione di conseguenza tarskiana è intrinsecamente bivalente

I contenuto logico non filosofico

I questo contenuto a sua volta ha delle ricadute filosofiche


Feedback filosofico

I compatibilità tra la nozione tarskiana di conseguenza e la polivalenza

I cosa fare quando ci sono più nozioni di verità?

I problema dei “gradi di verità”

I conseguenza come preservazione di un valore


riduzione e tesi di suszko

Documents

the construction

the premises is also

rossella marrano snsriduzione

the main thesis

the conclusion is also

whenever the premises

suszkoogni logica tarskiana

nozione di conseguenza