rezultate corecte matematica fsega

8/9/2019 Rezultate corecte matematica FSEGA

http://slidepdf.com/reader/full/rezultate-corecte-matematica-fsega 1/5

I

i:

{

t

{

{

x

i

i

1

1

1

s

..

Solu{ie:

.

a)

Facem

chimbarea

e

variabilii

#,

=

t, flx

=

(b

-

a) dt

-+ -

I

( l - 0

b) Facem

schimbarea

de

variabi l i i

x -2= t

+ dx

=

dt

Obt inem

ast fe l :

Ji

xez-,

x

--li

tr

*

2)e-t

=

Jf,

e-t

t+ z

Jf,

e-t

t= |

(2)

(1)

=

11

2 r

=

3

-) Facem

chinibarea

e variabilii

, ,

=

h ,a ,

=

i (h ) - ,

1o t

( *

1 E

- ,

r r

( # ) B

r / , r - l I

)o

iia'= JJ

f

+(;, f '

u|na,

Ji

L-i

-t;I*rnl-z

,

=

+1, ' ' - j

1

r) -3

t

lo( , i )=

s( j ,3)=

4

=

+fr

f t .

1.5

Ter,ne

e control

Problema

1.5.1.

Sd

se calculeze

deriuateleparliale

a)

z

=

f

(x,y)

#,

Ul

=

f

(x,y)

ff i ,

, .

Rdspuns.

t

*

=

#,

*

=

-#,b)

*

=

-,

V r /

Problema

'5.2.

Sdse

calculeze eriuatele

arliale

deofdinul

doi

gi

trei

pentru

funclia

f

(x,y,z)

=

,2y"3

=

6x2yz,

a'

I(*' A'

-

2x*.

a2

4x-41,:zi

6xyz2,

4 g{=

2"

-'^'

'

'6xoz

'

Md'

W=0,

,' rW

=0,

a'fJ?rr't

6*ry

,'%#F

=6x22

//

Problema

1.5.3.

Seconsiderd

funclia

deproducAie

e ip

Cobb-Douglas

f

(xt ,x) =

oxix)

(x1,x2

o).

Sdsedetermine

atele

e schimbare

arlialegi

elasticitdllle

arliale

ale

ui

f.

Problema 1.5.4.Pentrua recolta orumbuldepe un teven u suprafayae x1 ha sunt necesare2 orede muncd

pe

zi. Dupd

4

zile de muncd

s-au ecoltat

kg de

porunab.

ntre aceste

ariabile

xistd

elalia:

g=

f ( x1 ,x2 ,x )=3*? r t r?

Sd se determine productiuitatea

marginald

raportatd

Ia

suprafala terenului, la numdrul

de

ore de muncd pe

zi

gi

respectiu a

numdrul

de zile de

muncd.

IInapoi

a

Cuprins]

L u . = 4 , { f ) u

, z x f

A "

€

a

, * )

' x t

0 4 t \ l t t t

j t t i

\

Lr'

6.xt6* 1

\,

*o +

xrrj

4y"

,

{pxY"

4ilr"'

4e"x,J*

xlk

lt ltl

4"*'"

6r'k

6rv**

J

2z'+L

n l J

Y

u e ' o

d

l 6 a

4;;'

,xL'

6^3k



Problema1.5.5.

dsescr iedi ferensialeledeordineledoigi t re ipentrufuncl iaf(x,y)=x2-xy+2y3+3x-5y+10

Rdspuns.

z

f1,,r1@x,

y)

=

2dxz

2dxdy

+

tzydy/d3

f1,,y14x,

yl

=

tzdy3

L/

P rob lema l .5 .6 .

dsede te rm inepunc te ledeex t remloca lpen t ru func l i a f ( r , y )= -2x2+2xy-5y2+6x+6y ,

(x,

/)

€

lK. '

Rdspuns.

f",o,

=

f

(2,1)

2

Problema

1.5.7.

Seconsiderd

atele

numerice:

Sd eajusteze

ceste

atenumerice

rintr-o

dreaptd i

gdsil i

poi

ualoarea

ui y in punctul

x

=

3.

Rdspuns.

9

=

-10,89x

20,92,

7Q)

=

-5,69

\ /

Problema

1.5.8.

Sdsecalculeze

ilorile

funcli i lor

ui

Euler:

a)

(8) ,

b)

(Z) ,

eB(2,2) ,

l

B(1,1) ,

Rdspuns:

a)5040,

b) +e,

c)

, d) + i

problema

.r.r.

,dr,nrir{i,r,lrrteriene

sa e atcuteze:

d[:'lF4d,,

u

ksin4xcoszxd,, fi

dk

d)

ff,xze- a,,

,)

[f,

,#0.

Rispuns:

a 1 $ , a 1 { , c 1

' / ' iL

Rezumat

a2-

Zn,,l5

-f i - 't

V

In

acestmodul

s-au prezentat

def in i t i i

si concepte

debaza legate

de functii le reale

de mai multe

variabi le

reale

cum

sunt: elemente

de topologie

ale spatiului

IR", imite

de functii

s i cont inuitatea lor

de la lR., la

IR,

derivate partiale

si d i ferent ia la. Au

fost prezentate

notiunile

de derivate partiale

si derivate de

ordin supe-

rior,

extremele functiilor

de mai multe variabile (conditii

necesare

si suficiente

pentru

existenta extremelor

locale). De

asemenea

s-au

prezentat

si

notiuni

legate

de ajustareaprin

metoda

celor mai mici patrate

a da-

telor

experimentale. In f inal

au fost introduse

si

studiate notiunile privind

integrale le Euler

de speta ntai

(functia

beta), de speta a doua

(functia

gama), proprietatile

acestora, precum

si

integrala

Euler-Poisson.

Bibliografie

1. Colectiv Elemente de algebr a liniara, analiza matematica si teor ia probabi l i ta t i lor, Ed. Mega, Cluj-

Napoca,

2009

2.

Colectiv, Matematici

aplicate

in

economie, Ed. Mega,

Cluj-Napoca, 2012.

x l - 2

2

8

IInapoi

a

Cuprins]

39



;t

it**"

medie

Ei

dispersia

e

calculeazd

a

M

(x)

=

,

respectiv

(x)

-

ft:o)2

.Aqadar

obfinem

siste-

(

* = s

\

w - 1 y

,

c u s o l u l i a a = 3 , b = 5 .

(

- - D - = i

Rezultii

cd uncfia

de

repartilie

va

fi :

( 0 ,

x 3

r 1 x ) = {

# ,

3 <

< s

(

1 ,

x

5

2.6

Teme

de

control

tce

prin

3

interseclii

consecutiue,

emaforizate.

La

fiecare

t

cu

A;,

i

=

13

euenimentul

,,ta

intersecl ia

continud

euenimente:

Solulie:

a )

A =

A t n A 2 a A l

b )

B = A 1 n A 2 n A 3

c )

C = 4 1

u A 2 u A 3

d)

D=Au(eroern fu )u (e ,

nArner)u(A,

nernar)

Problema2.6.2.

Se aruncd o moneddde doud on. Care esteprobabilitatea

ca

marca

sd apard

cel

pulin

o

datd?

S o l u f i e :p = 0 . 7 5

- /

Problema

2'6'3'

Doi

trdg-dtori

rag

simultan

asupra

unei

finte.

probabilitatea

de

a

nimeri

linta

este

,

respectiu

'iii,:,;':1")

l":,::',:;';';:

:l;r,l'l: ;:r;:jfil:;;i;;;;;

;,::;:;,:;atua

a

rimut

d

imereascd

inia

i

at

Soluf ie :

. f+ '

V-ry- t l

/

Lz.

+

I

, , /

iiliiii,i;'r:i;ir:raruncd

2

zaruri'

Care

este

robabititatea

a

suma

feyelor

d

fie

6,

stiind

cd

suma

acestor

fele

So lu f ie :Fo los ind fo rmu lap robab i l i t d1 i i cond i1 iona teseob1 ineP=# . /@

Problema

'6'5'

ln

ift

ce

online

persoane

e oate

pri

a

oricare

in-cel

,tffotffiirre#.Yk

r(f)

robabilitateaa2 persoanednu coboareaacela$i tai?

Solu{ ie:

0,15

/

Problema

2'6'6'

ocomoanie

roduce

n

3

schimburi.

ntr-o

anumitd

i,

1%

din

articolele

roduse

e

schimb

unt

defecte'

%

d{n

"i'

p'oiu',

in

al II-Iea

schimb

qi

3%

din

aI

III-lia

schimb.

Dacd

cele

rei

schimburi

au

ceeiasi

roductiuitate'

are

este robabilitate

a

un prod,us.din

cea

"i

,a

7e

defect?

Dacd

un produs

este

efect,

are

este robabilitatea

a

el

sd

fi

fost

abricat

n

schimbur

r II-rea?

[Inapoi

a

Cuprins]

87



solutie: Folosind ormulaprobilitril i i

otalegi

ormula

ui

Bayes

e

obfine:

0,02

Tspecti

0,5

Uz

Problema

2'6'7

Presupunem

d

ocupali i le

n

cadrul

nei

mari

companii

unt

grupate

nl

niuele

eperformanld:

superior

u)'

mijlociu

(M),

si

inferior

(L).

IJfeprezintd

euenimintul

ca tat"al

ste

n

niaelul

superior,

ar

(J2

euenimentul

d

iul

este

n

niuel

superior,

tc.

s-a

determinat

rmdtorul

abel

r iuind

mobilitatea

cupalionald

unde

ndicelel

se eferd

a

tatd,

ar

indicele

Ia

ftu.

0 ,45

0 ,05

0 ,01

solufie:

Folosind

ormula

probilitalii

totare

i

ormula

ui

Bayes

eobline:

Problema

2.6.8.

ntr-un

ot

de

400piese,

0

sunt

defecte.

ealeg

leator

0 piese.

ca

ntre

piesele

lese

a)

4

piese

d

t'ie

defecte;

b) sd

fie

celmult

6 piese

et'ecte;

c)

sd nu

fie

nici

o

piesd

defectd

0 ,07

o ? q

0 ,49

Prima

inie

a tabelului

se

citegte

stfel:

dacd

a.tdl

este

n niuelul

ocupa{ional

J

probabilitatea

a

fiul

sd

fie

in

u este

,45,

probabilitatea

a

fiul

sd

n

M

este

,48, espectiu

robabiliiat'ea

a

fiul

sd

ie

tn L

este

,07

celelalte

Iinii ale abeluluisecitesc nalog).Presupunemd l0% din generaliaatdluisunt[J,'40o/ount M gt 5oo/on L.

Care

este robabilitatea

a un

fiu

din

generalia

rmdtoare

d

fie

tn

i t oaca

un

fiu

esten

niuelul

ocupalional

J

care

ste robabilitatea

a tatdl

sd

i fost

n

U?

0,07

sr

0,64.

, /

/ t /

Sd

se

calculezErobabilitatea

Rispuns :

a lPro ,sso

, t6 \=

# t

b l

f .

&o, rno

,20-k l ;

c )

p1s ,3ese,20)

L+ou

k=o

Problema 2.6.9. o comisie

nternalionald

este

formatd

din

5

romdni,

7 italieni,

4 olandezi

gi

6 eluelieni.

Se aleg

la

intdmplare

70 persoane

pentru

a

forma

o subcomisie.

Sd se

calculeze

robabilitatea

ca

din

c'ele 0

persoane

alese,

2 sd

fie

romhni,

3 italieni,

3

olandezi

si

2

eluetieni.

Rispuns:

Its,z,+,0(2,3,3,2)

#88

f

Problema

2.6.10,

Pe parcursul

a

10

zile de

uard

s-a

dat prognoza

meteo

astfel

ncdt

zilnic pot

cddeaprecipitalii

cu

probabilitatea

,2.Calculayi

robabilitatea

e

a

ploua:

a)

in i zile;

b) in

cel mult

4

zile;

c) in

celpufin

3 zile.

Rdspuns:

)&o(3)=

i '

0 ,

)3

O,s)7;

t

p , , ( f t ) ;

c) -

t '

n

rg1.

W v

KTFO

KJ

ea

ca de

8 ori

sd apard

un numdr

roblema

2.6.11.

se aruncd

un zar

de 20

de

ori .

sd se

calculeze

robabi l i ta t

prim,

de

10 ori

un numdr

compusgi

de

2

ori

fala

cu un punct.

Rdspuns:

P2o€, r0 ,2)

# t

( ; ) ' (? ) "

( i ) '

, /

ul

0 ,48

IInapoi

a

Cuprins]

88



Problema2.6.17 Sdsecalculeze

aloarea

edie,

ispersia

i

momentul

entrat

e

ordinul

3

pentru

urmdtoarea

uariabild

leatoare:

" , (

l

:

\

u . l

0 . 3

0 . 2

0 4

I

Rispuns.

(Xl

=

t.7P

tX)

=

5.2 r, t t t

-6.98.

V/

Problema

2.6.18.

O uariabild

aleatoare

urmeazd

egea

inomiald

cu

ualoarea

medie

egald

u 150gi

de parame-

tru

n

=

200.

Sd

se afle dispersia

uariabilei

aleatoare.

Rdspuns.

(X)

=

37,5.

\ / /

Problema

2'6.19'

Fie

X o

uariabild

aleatoare

e reprezintd

numdrul

persoanelor

e au pri mit

credit

potecar

de

Ia BCR'

considerhnd

d

s-au prezentat

5 cl ienl i

tn

decursul

unei

zi le .

Probabilitatea

a tm

cl ient

sd

primeascd

auiz

fauorabil

n

oblinerea

reditului

este

0,6. Scrie l i d ist r ibul ia uariabi le ialeatoaref i calcula l iualoarea tedie 1i

ab t

erea

mediepdtr

at icd.

R d s p u n s .

( X ) = 3 , q ( X )

=

1 , 0 9 .

/

v v

Problema

2.6.20.

O

persoand.

eSine

12

cdr(i

de

credit.

Dintre

acestea

oar

5 sunt debitoare

de

credit.

Notdm

cu

X

uariabila

aleatoare

ce reprezintd

numd.rul

de cdrli

de

credit

debitoare

utilizate,

dacd

se

6tie

cd

persoann

a

folosit

3 cdrli

de

credit de-a

lungul

unei

sdptdmhni.

Scrieli

distribuyia

uariabilei

aleatoare

X

Si'calculiyi

ualoarea

medie

Si

abaterea

medie

pdtraticd.

,/

Rdspuns.

(Xl

=

y/3,

o

(X\

=

W.

1,7rt

t, * /

Rezumat

modul '

'

d l

f

$

In

acest

modul

s-au introdus

notiunile

de

eveniment,

probabilitate,

operatii

cu

evenimente.S-au

definit

var iabi le le aleatoarede t ip d iscret si continuu, functia de repartit ie precum si caracter istic i lenumerice al e

variabi le lor

aleatoare.

In

cazul

repart i t i i lor

clasice,

s-au

precizat

functii le

de probabilitate

si

densitate

de probabilitate

si au

fost

calculatevalor i le

medii

s i d ispersi i le

acestor

var iabi le

aleatoare.

Bibl iograf ie

modul

1.

Colectiv Elemente

de algebra

liniara,

analiza

matematica

Napoca,2009

si teoria

probabilitatilor,

Ed.

Mega,

Cluj-

2'

Colectiv

Analiza

matematica,

Teoria

Probabilitatilor

si Algebra

liniara

aplicate

in economie,

Ed. Me-

diamira,

Cluj-Napoca,

2008

3. Colectiv,

Matematici

apl icate in

economie,

Ed. Mega,

Cluj

Napoca,

2012.

IInapoi

a

Cuprins]

90

rezultate corecte matematica fsega

Documents