rezultat : 436 dag. zadatak 165 (sandra, srednja škola) cijena robe smanjena je za 20%. za koliko...

1

Zadatak 161 (Davor, srednja škola)

U boci je 6 litara 30% – tnoga alkohola. Nakon što je ishlapila dvostruko veća količina alkohola nego što je ishlapilo vode, u boci je ostao 25% – tni alkohol. Koliko je litara tekućine ostalo u boci?

Rješenje 161 Ponovimo! Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj

jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

.100

px⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

U boci je 6 litara 30% – tnoga alkohola. To znači da ima:

• 70% vode

706 4.2

100L L⋅ =

• 30% čistog alkohola

306 1.8 ili 6 4.2 1.8 .

100L L L L L⋅ = − =

Neka je ishlapilo x litara vode. Prema uvjetu zadatka ishlapilo je 2 · x litara čistog alkohola. Dakle,

ukupno je ishlapilo 3 · x litara tekućine. Od 1.8 litara čistog alkohola ishlapilo je 2 · x litara pa je u 6 – 3 · x litara tekućine ostalo 25% alkohola. Zapišimo to u obliku jednadžbe!

( )1.8 2 6 3 0.25 1.8 2 1.5 0.75 2 0.75 1.5 1.8x x x x x x− ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ − ⋅ = − ⋅ ⇒ − ⋅ + ⋅ = − ⇒

( )1.25 0.3 1.25 0.3 0/ : 1.25 .24.x x x⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − =− ⇒

U boci je ostalo tekućine:

[ ]6 3 6 3 0.24 6 0.720.24 5.28 .xx L− ⋅ = = − ⋅ = − ==

2.inačica

Rješenje je ponudila Sofija ��.

Neka je ishlapilo x litara vode. Prema uvjetu zadatka ishlapilo je 2 · x litara čistog alkohola pa je

ukupno ishlapilo 3 · x litara tekućine. Uočimo da je jakost čistog alkohola 100%, a vode 0%. Zato možemo napisati sljedeću jednadžbu:

( ) ( )30 0 100 25

6 2 6 3 1.8 0 2 6 3 0.25100 100 100 100

x x x x x⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ − − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒

1.8 2 1.5 0.75 2 0.75 1.5 1.8 1.25 0.3x x x x x⇒ − ⋅ = − ⋅ ⇒ − ⋅ + ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒

( )/ :1.25 0.3 0.24.1.25x x−⇒ − ⋅ = − ⇒ =

U boci je ostalo tekućine:

[ ]6 3 6 3 0.24 6 0.720.24 5.28 .xx L− ⋅ = = − ⋅ = − ==

2

Vježba 161

U boci je 60 dl 30% – tnoga alkohola. Nakon što je ishlapila dvostruko veća količina alkohola nego što je ishlapilo vode, u boci je ostao 25% – tni alkohol. Koliko je litara tekućine ostalo u boci?

Rezultat: 5.28 L. Zadatak 162 (4B, TUPŠ)

Broj stanovnika u nekome gradu svake se godine povećao za isti postotak u odnosu na prethodnu godinu. Za šest se godina broj stanovnika povećao s 1635000 na 2010000 stanovnika. Koliko posto iznosi godišnje povećanje broja stanovnika toga grada?

Rješenje 162 Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅

Kako zapisati da se x poveća za p% ?

100.

px x+ ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka je S0 broj stanovnika na početku vremenskog razdoblja mjerenog u godinama n, a Sn broj stanovnika na kraju. Neka je p postotak za koji se godišnje poveća broj stanovnika grada. Broj

stanovnika iznosit će nakon:

• prve godine

11 100 100

p pS S S S= + ⋅ = ⋅ +

� � �

• druge godine 2

1 1 1 1 12 100 100 100 100 100 100

p p p p p pS S S S S= ⋅ + + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

� � � �

• treće godine 2 2 2 3

1 1 1 1 13 100 100 100 100 100 100

p p p p p pS S S S S= ⋅ + + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

� � � �

• četvrte godine

3

3 3 3 4

1 1 1 1 14 100 100 100 100 100 100

p p p p p pS S S S S= ⋅ + + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

� � � �

……….

• n – te godine

1 .100

np

S Sn = ⋅ + �

Računamo postotak p.

1 11

/1100 100 100

n n np p

S

pS S S S S Sn n n= ⋅ + ⇒ ⋅ + ⇒ + = ⇒⋅= ⋅

� �

�

�

1 1 1 1100 100 100 100

/

n nS S S Sp p p pn n n nn n

S

n

S S S⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

� � � �

6

/ 100 20101 100 000

16350000

1100

S Sp n nn npS S

n

Sn

S

⇒ = − ⇒ = ⋅ ⇒⋅ − ⇒

=

=

=

� �

2 010 0006100 1 3.5.1635000

p p⇒ = ⋅ − ⇒ =

Godišnje povećanje iznosi 3.5%.

Vježba 162

Broj stanovnika u nekome gradu svake se godine povećao za isti postotak u odnosu na prethodnu godinu. Za šest se godina broj stanovnika povećao s 817500 na 1005000 stanovnika. Koliko posto iznosi godišnje povećanje broja stanovnika toga grada?

Rezultat: 3.5%. Zadatak 163 (Kristina, ekonomska škola)

Marko je imao 1000000 kn koje je uložio u dva posla. Jedan mu posao donosi zaradu od 8% godišnje, a drugi 10% godišnje. Ove je godine Marko zaradio 87000 kn. Koliki je dio novca Marko uložio u posao koji mu donosi 8% zarade?

. 350 000 . 550 000 . 600 000 . 650 000A B C D


.a

b ab

⋅ =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

4

Neka je x glavnica uložena na 8% godišnje. Tada je 1000000 – x glavnica uložena na 10% godišnje. Budući da je Marko ukupno zaradio 87000 kn, vrijedi jednadžba:

( ) ( )8 10 8 10

1000 000 87 000 1000 000 87 000100 100 100 1 0

/ 1000

x x x x⋅ + ⋅ − = ⇒ − = ⋅⋅ + ⋅ ⇒

( )8 10 1000 000 8700 000 8 10 000 000 10 8700 000x x x x⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ = ⇒

( )8 10 8700 000 10 000 000 2 130 / :0 000 2 1300 0 0 20x x x x⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ − −= ⇒

650 000.x⇒ =

Odgovor je pod D.

Vježba 163

Marko je imao 1000000 kn koje je uložio u dva posla. Jedan mu posao donosi zaradu od 8% godišnje, a drugi 10% godišnje. Ove je godine Marko zaradio 87000 kn. Koliki je dio novca Marko uložio u posao koji mu donosi 10% zarade?

. 350 000 . 550 000 . 600 000 . 650 000A B C D

Rezultat: A.

Zadatak 164 (Mario, ekonomska škola)

Od 3270 g 28‰ otopine joda u alkoholu trebala bi se dobiti otopina jakosti 12‰. Koliko grama alkohola treba dodati u postojeću otopinu?


.1

nn=

Tisućiti dio nekog broja naziva se promil. Piše se kao razlomak s nazivnikom 1000. Promil p je broj jedinica koji se uzima od 1000 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 0.39 ‰ , 81 ‰ , 4.5 ‰ , 0.3 ‰ , .

1000 1000 1000 100 1 00‰

00

pp == = = =

Kako se računa ''... p‰ od x...''?

.1000

px⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka je x količina alkohola koju treba doliti u otopinu. Prema uvjetu zadatka postavljamo jednadžbu:

( ) ( )28 12 28 12

3270 3270 3270 32701000 1000 1000 1000

/ 1000x x⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅+ ⇒ = ⋅ ⇒

( )28 3270 12 3270 28 3270 12 3270 12x x⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( )12 3270 12 28 3270 12 28 3270 12 3270 12 28 12 3270x x x⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒

16/ : 12

16 3270 327012 16 3270 12 16 3270

1212x x x x

⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒

5

3270

3

4 3270 44 1090 4360 .

3x x x x g

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 164

Od 327 dag 28‰ otopine joda u alkoholu trebala bi se dobiti otopina jakosti 12‰. Koliko grama alkohola treba dodati u postojeću otopinu?

Rezultat: 436 dag. Zadatak 165 (Sandra, srednja škola)

Cijena robe smanjena je za 20%. Za koliko posto, nakon toga, treba povećati cijenu robi da se vrati na početnu cijenu?

Rješenje 165

Ponovimo!


9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅

Kako zapisati da se x smanji za p% ?

1100 100

.p p

x x x− ⋅ = − ⋅


1100 100

.p p

x x x+ ⋅ = + ⋅

Decimalni broj dijelimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku pomaknemo ulijevo za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula. Decimalni broj množimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku pomaknemo udesno za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula. Neka je x početna cijena robe, a p traženi postotak. Najprije cijena x smanjena je za 20%.

200.20 0.80 .

100x x x x x− ⋅ = − ⋅ = ⋅

Dobivenu cijenu moramo povećati za p% da se vrati na početnu cijenu x.

0.80 0.80 0.80 0.80 80 0.80 100100 100

100/

x

p px x x x x x p⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒

0.80 100 80 0.80 20 / : 0.0. 8080 20 25.p p p p⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 165

Cijena robe smanjena je za 25%. Za koliko posto, nakon toga, treba povećati cijenu robi da se vrati na početnu cijenu?

Rezultat: 33.33%.

6

Zadatak 166 (4B, TUPŠ, Tonka ��, , , , gimnazija)

Trgovac je prodao dva motora, svaki za 7500 kn. Na jednome je zaradio 25%, a na drugome izgubio 25%. Je li trgovac izgubio novac, zaradio novac ili je na nuli?

Rješenje 166

Ponovimo!


9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


1100 100

.p p

x x x− ⋅ = − ⋅


1100 100

.p p

x x x+ ⋅ = + ⋅

Decimalni broj dijelimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu

decimalnu točku pomaknemo ulijevo za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula. Neka je x cijena motora na kojem je trgovac zaradio 25%. Vrijedi jednadžba:

257 500 0.25 7 500 1.25 7500

100x x x x x+ ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 1.21.25 57500 6 000 .x x kn⇒ ⋅ = ⇒ =

Dakle, trgovac je na prvom motoru zaradio

7 500 6 000 1500 .kn kn kn− =

Neka je y cijena motora na kojem je trgovac izgubio 25%. Vrijedi jednadžba:

257 500 0.25 7 500 0.75 7500

100y y y y y− ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 0.750.75 7500 10 000 .x x kn⇒ ⋅ = ⇒ =

Dakle, trgovac je na drugom motoru izgubio

10 000 7 500 2500 .kn kn kn− =

Trgovac je na tim prodajama izgubio

2500 1500 1000 .kn kn kn− =

- 25%+ 25%

Vježba 166

Nema vježbe.

Rezultat: …

7

Zadatak 167 (Bucka i Medo, TUPŠ)

Ako je cijena rabljenog automobila 48000 kn, a želimo je spustiti ispod 45000 kn, tada sniženje mora biti veće od:

. 5% . 5.5% . 6.25% . 7.5%A B C D

Rješenje 167

Ponovimo!

, 0 .a b

a b cc c

< < ⇒ >


Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


1100 100

.p p

x x x− ⋅ = − ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ Neka je p traženi postotak.

48000 48000 45000 4 4800010

8000 45000 0

01 0

p p− ⋅ < ⇒ − ⋅ < ⇒

48000 480 45000 480 45000 48000 480 3000p p p⇒ − ⋅ < ⇒ − ⋅ < − ⇒ − ⋅ < − ⇒

( )/ :480 3000 6.25.480p p⇒ − ⇒ >−⋅ < −

Odgovor je pod C.

Vježba 167

Ako je cijena rabljenog automobila 24000 kn, a želimo je spustiti ispod 22500 kn, tada

sniženje mora biti veće od:

. 5% . 5.5% . 6.25% . 7.5%A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 168 (Tonka, maturantica)

Mirkova je ušteđevina 20% veća od Slavkove, a 25% manja od Filipove. Koliko je posto Filipova ušteđevina veća od Slavkove?

Rješenje 168

Ponovimo!


Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


8

.100

px⋅


1100 100

.p p

x x x+ ⋅ = + ⋅


1100 100

.p p

x x x− ⋅ = − ⋅

Decimalni broj dijelimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku pomaknemo ulijevo za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula. Neka je x Slavkova ušteđevina, a y Filipova ušteđevina. Mirkova je ušteđevina:

• 20% veća od Slavkove

200.20 1.20

100x x x x x+ ⋅ = + ⋅ = ⋅

• 25% manja od Filipove

250.25 0.75

100y y y y y− ⋅ = − ⋅ = ⋅

pa vrijedi

1/0.75 1.20 0.75 1.20 1.60 0.60

0.75y x y x y x y x x⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

6060 % .

100y x x y x x⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅

Filipova ušteđevina je 60% veća od Slavkove.

Vježba 168

Nema pitanja!

Rezultat: … Zadatak 169 (Dona, Katarina, Marina, TUPŠ)

Sav svoj novac Marko je uložio u dva posla; u posao A uložio je 70%, a u posao B 30% od

ukupne svote. Posao A mu je donio dobitak 20%, a posao B dobitak 120%. Ukupno, Marko je ostvario dobitak od

. 42 % . 50 % . 53% . 57 % . 61%A B C D E

Rješenje 169

Ponovimo!


Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


1100 100

.p p

x x x+ ⋅ = + ⋅

Decimalni broj dijelimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku

9

pomaknemo ulijevo za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula. Decimalni broj množimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku pomaknemo udesno za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula.

Neka je x ukupna svota. U posao A uloženo je 70%.

700.70 .

100x x⋅ = ⋅

U posao B uloženo je 30%.

300.30 .

100x x⋅ = ⋅

Posao A donio je dobitak 20%.

( )20

0.70 0.70 0.70 0.20 0.70 0.70 1 0.20 0.70 1.20100

x x x x x x⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ =

0.70 1.20 0.84 .x x= ⋅ ⋅ = ⋅

Posao B donio je dobitak 120%.

( )120

0.30 0.30 0.30 1.20 0.30 0.30 1 1.20 0.30 2.20100

x x x x x x⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ =

0.30 2.20 0.66 .x x= ⋅ ⋅ = ⋅

Ukupan dobitak izražen u postotku p iznosi:

0.84 0.66 1 0.84 0.661

/1100 100

p px x x x x

xx⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒⋅

0.84 0.66 1 1.50 1 1 1.50 1 1.50100 100 10

/ 100 10

00

p p p p⇒ + = + ⇒ = + ⇒ + = ⋅+ = ⇒ ⇒

100 150 150 100 50.p p p⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 169

Nema pitanja!

Rezultat: …

Zadatak 170 (Katarina, maturantica)

Majica košta 85 kn, a hlače 199 kn. U petak je cijena majice snižena 10%, a cijena hlača 25%. Koliko će se posto uštedjeti kupovinom obaju artikala toga petka?

. 15% . 17.51% . 20.51% . 35%A B C D

Rješenje 170

Ponovimo!


9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


1100 100

.p p

x x x− ⋅ = − ⋅

Kako u postotku izraziti smanjenje broja a za broj b?

10

0 %.1 0a b

pa

−= ⋅

Prije sniženja za majicu i hlače plaćeno je 284 kn.

85 199 284 .kn kn kn+ =

Snižene cijene su:

• za majicu

101 85 76.50

100kn− ⋅ =

• za hlače

251 199 149.25 .

100kn− ⋅ =

Nakon sniženja majica i hlače koštaju 225.75 kn.

76.50 149.25 225.75 .kn kn kn+ =

Računamo postotak uštede.

284 225.75100 % 20.51%.

284p p

−= ⋅ ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 170

Nije bilo sniženja!

Rezultat: �� Zadatak 171 (Tomislav, ekonomska škola)

Marko je imao 1000000 kn koje je uložio u dva posla. Jedan mu posao donosi zaradu od 8% godišnje, a drugi 10% godišnje. Ove je godine zaradio 87000 kn. Koliki je dio novca Marko uložio u

posao koji mu donosi 8% zarade?

. 350 000 . 550 000 . 600 000 . 650 000 . 700 000A kn B kn C kn D kn E kn

Rješenje 171

Ponovimo!


Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅

Neka je x glavnica uložena na 8%. Tada je 1000000 – x glavnica uložena na 10%. Iz uvjeta zadatka slijedi:

( ) ( )8 10 8 10

1000 000 87 000 1000 000 87 000100 100 100 1 0

/ 1000

x x x x⋅ + ⋅ − = ⇒ − = ⋅⋅ + ⋅ ⇒

( )8 10 1000 000 8700 000 8 10 000 000 10 8700 000x x x x⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ = ⇒

11

8 10 8700 000 10 000 000 2 1300 000x x x⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒

( )/2 1300 000 650 00 .: 02x x⇒ ⇒ =−− ⋅ = −

Odgovor je pod D.

Vježba 171

Marko je imao 1000000 kn koje je uložio u dva posla. Jedan mu posao donosi zaradu od 8%

godišnje, a drugi 10% godišnje. Ove je godine zaradio 87000 kn. Koliki je dio novca Marko uložio u posao koji mu donosi 10% zarade?

. 350 000 . 550 000 . 600 000 . 650 000 . 700 000A kn B kn C kn D kn E kn

Rezultat: A.

Zadatak 172 (Ante, tehnička škola)

Učinak 4 poskupljenja od po p% jednak je učinku 2 poskupljenja od po 200%. Postotak p je u intervalu:

] ] ] ] [ ]. 100, 110 . 90, 100 . 80, 90 . 70, 80 . 60, 70A B C D E

Rješenje 172

Ponovimo!

.n r nm r m

a a⋅ ⋅

=


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Ako veličinu x najprije povećamo za p1%, a zatim još za p2% pišemo:

1 21 1100 10

.0

p px ⋅ + ⋅ +

( )4 2 4 2 4

200 21 1 1 1 1 1 2

100 100 100 100

200

100

p p p+ = + ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒

4 4 442 2 24

1 3 1 3 1 3100 100 1

4/

00

p p p⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒

1 3 1 3 3 1100 100 10

44

0

4 2p p p⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

( ) ]džepno

/ 100računa

3 1 100 3 1 73.21 70, 80 .100 lo

pp p p⋅⇒ = − ⇒ = ⋅ − ⇒ ⇒ = ⇒ ∈

Odgovor je pod D.

Vježba 172

Odmor!

Rezultat: …

12

Zadatak 173 (Lily, bivša maturantica)

Na testiranju iz Matematike bilo je 9700 pristupnika. Na tome je testiranju 11 % pristupnika postiglo najviše 25 % mogućih bodova, a 23 % pristupnika najmanje 75 % mogućih bodova. Odredite broj pristupnika koji su na tome testiranju postigli više od 25 % i manje od 75 % mogućih bodova.

Rješenje 173

Ponovimo!


Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅

1.inačica

Broj pristupnika koji su postigli najviše 25 % mogućih bodova bio je 11 % i iznosi:

119 700 1067.

100⋅ =

Broj pristupnika koji su postigli najmanje 75 % mogućih bodova bio je 23 % i iznosi:

239700 2 231.

100⋅ =

Broj pristupnika koji su napisali test između 25 % i 75 % mogućih bodova jednak je

( )9700 1067 2 231 9700 3298 6 402.− + = − =

2.inačica

Ako je 11 % pristupnika postiglo manje od 25 % mogućih bodova, a 23 % više od 75 % mogućih bodova, onda postotak pristupnika koji su postigli između 25 % i 75 % iznosi:

( )100 % 11 % 23 % 100 % 34 % 66 %.− + = − =

Broj pristupnika je:

669700 6 402.

100⋅ =

Vježba 173

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 174 (Paula, srednja škola)

Cijena robe povećana je za 50 %. Za koliko posto treba smanjiti novu cijenu da bi bila jednaka početnoj?

Rješenje 174

Ponovimo!

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj


9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


13

.100

px⋅


1100 100

.p p

x x x+ ⋅ = + ⋅


1100 100

.p p

x x x− ⋅ = − ⋅

Decimalni broj dijelimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku pomaknemo ulijevo za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula. Decimalni broj množimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku pomaknemo udesno za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula. Početnu cijenu robe označit ćemo s x. Cijena robe povećana je za 50 % pa zapisujemo:

500.50 1.50 .

100x x x x x+ ⋅ = + ⋅ = ⋅

Pitamo se za koliko posto p treba smanjiti novu cijenu da bi bila jednaka početnoj.

1.50 1.50 1.50 1.50 150 1.50 100100 100

100/

x

p px x x x x x p⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ − ⋅ =⋅ ⇒

( )1.50 100 150 1.50 50 1.50 50 33/ : 1.50 .33%.p p p p⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ ⇒ =−− ⋅ = −

- p %+ 50 %

xx

Vježba 174

Cijena robe povećana je za 100 %. Za koliko posto treba smanjiti novu cijenu da bi bila

jednaka početnoj?

Rezultat: 50 %.

Zadatak 175 (Paula, srednja škola)

2017. godine udžbenici su poskupjeli 8 %, a 2016. godine 6 % u odnosu na prethodnu školsku godinu. Koliko posto su udžbenici poskupjeli 2017. u odnosu na 2015. godinu?

Rješenje 175

Ponovimo!


9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


1100 100

.p p

x x x+ ⋅ = + ⋅

Decimalni broj dijelimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, …) tako da mu decimalnu točku pomaknemo ulijevo za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula.

14


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Početnu cijenu 2015. godine označit ćemo nepoznanicom x. Cijena udžbenika je godine:

• 2016. povećana za 6 % i iznosila je

60.06 1.06

100x x x x x+ ⋅ = + ⋅ = ⋅

• 2017. povećana za 8 % i iznosila je

( )8

1.06 1.06 1.06 0.08 1.06 1.06 1 0.08 1.06 1.08 1.1448100

x x x x x x x⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅ =

( )14.48

1 0.1448 0.14410

8 .0

x x x x x= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅

Udžbenici su od 2015. godine do 2017. godine poskupjeli za 14.48 %.

+ 8 %

2016.

+ 6 %

2017.2015.

Vježba 175

2017. godine udžbenici su poskupjeli 9 %, a 2016. godine 7 % u odnosu na prethodnu školsku godinu. Koliko posto su udžbenici poskupjeli 2017. u odnosu na 2015. godinu?

Rezultat: 16.63 %. Zadatak 176 (Stjepan, obrtnička škola)

Pčelar nakon vrcanja sprema med u posude od 50 litara. Napunio je 4 takve posude, a ostatak

je stavio u petu posudu napunivši je 40%. Koliko je kilograma meda pčelar dobio ako je specifična gustoća meda ρ = 1.4 kg / dm3? (Napomena: 1 litra je 1 dm3, m = V · ρ)

Rješenje 176

Ponovimo!

1 .3

1dm L=



9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅

Pčelar je napunio medom 4 posude od 50 litara. To iznosi:

4 50 200 .L L⋅ =

Petu posudu napunio je samo 40%. To iznosi:

4050 20 .

100L L⋅ =

Ukupno je spremio

3200 20 220 220 .V L L L dm= + = =

15

Masa meda iznosi:

3220 1.4 308 .

3

3220

1.43

kgm V m dm

V dm

kg m kg

mdm

d

ρρ

= ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒

=

==

Vježba 176

Pčelar nakon vrcanja sprema med u posude od 50 litara. Napunio je 8 takvih posuda, a ostatak je stavio u petu posudu napunivši je 50%. Koliko je kilograma meda pčelar dobio ako je specifična gustoća meda ρ = 1.4 kg / dm3? (Napomena: 1 litra je 1 dm3, m = V · ρ)

Rezultat: 595 kg. Zadatak 177 (Ema, srednja škola)

Obiteljska primanja u mjesecu svibnju iznosila su 8750 kuna. Mjesečni troškovi režija iznosili su 24% obiteljskih primanja. Za podmirenje preostalih potreba, u mjesecu svibnju, obitelji je potrebno

6200 kuna.. Koliko je kuna preostalo obitelji?

. 250 . 450 . 650 . 850A kn B kn C kn D kn

Rješenje 177

Ponovimo!



9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅

Najprije izračunamo iznos mjesečnih troškova režija. On je 24%.

248750 2100 .

100kn kn⋅ =

Za podmirenje preostalih potreba obitelji je potrebno 6200 kn. Stoga je obitelji preostalo

8750 2100 6 200 450 .kn kn kn kn− − =

Odgovor je pod B.

Vježba 177

Obiteljska primanja u mjesecu svibnju iznosila su 17500 kuna. Mjesečni troškovi režija

iznosili su 24% obiteljskih primanja. Za podmirenje preostalih potreba, u mjesecu svibnju, obitelji je potrebno 12450 kuna.. Koliko je kuna preostalo obitelji?

. 250 . 450 . 650 . 850A kn B kn C kn D kn

Rezultat: D.

16

Zadatak 178 (Marina, srednja škola)

Knjigovodstvena vrijednost uredskog namještaja smanjuje se 12.5% godišnje. Kolika je knjigovodstvena vrijednost radnog stola nakon triju godina ako mu je početna knjigovodstvena vrijednost iznosila 1030 kn?

. 368.25 . 643.75 . 690.02 . 992.50A kn B kn C kn D kn

Rješenje 178

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =


9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Pretpostavimo da je C0 početna knjigovodstvena vrijednost radnog stola. Njegova knjigovodstvena vrijednost je:

• nakon prve godine

11 100 100

p pC C C C= − ⋅ = ⋅ −

� � �

• nakon druge godine 2

1 1 1 12 1 1 1100 100 100 100 100

p p p p pC C C C C C= − ⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ −

� �

• nakon treće godine 2 3

1 1 1 13 2 2 2100 100 100 100 100

p p p p pC C C C C C= − ⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ −

� �

…

• nakon n – te godine

1 .100

np

C Cn = ⋅ − �

Sada je

1100

12.5 312.5

3 1030 1 690.02 .3 3100

1030

p

n C C kn

C

np

C Cn

=

= ⇒ ⇒ = ⋅ − ⇒ == −

=

⋅

�

�

Odgovor je pod C.

- 12.5%

17

Vježba 178

Knjigovodstvena vrijednost uredskog namještaja smanjuje se 12.5% godišnje. Kolika je knjigovodstvena vrijednost radnog stola nakon triju godina ako mu je početna knjigovodstvena vrijednost iznosila 2030 kn?

. 1359.94 . 1243.75 . 1030.02 . 1234.50A kn B kn C kn D kn

Rezultat: A. Zadatak 179 (Tina, gimnazija)

Morska voda sadrži 0.4 % soli. Koliko litara vode treba ispariti da od 900 litara morske vode ostane otopina od 1 % soli?

. 90 . 225 . 360 . 540A litara B litara C litara D litara

Rješenje 179

Ponovimo!


9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Decimalni broj množimo dekadskom jedinicom (10, 100, 1000, 10000, … ) tako da mu decimalnu točku pomaknemo udesno za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula.

1.inačica

Promatrajmo ono što je nepromjenljivo, a ovdje je to sol. U 900 litara morske vode soli ima

9000.4 0.4

900 0.41

9 3.6100 0

.0

litara⋅ = ⋅ = ⋅ =

Tih 3.6 litara soli treba biti 1 % u x litara morske vode.

1 13.6 3. / 106 360 .

100 100

0x x x litara⋅ = ⇒ ⇒ =⋅⋅ =

Ispariti mora 540 litara morske vode. 900 360 540 .L L L− =

Odgovor je pod D.

2.inačica

Promatrajmo ono što je nepromjenljivo, a ovdje je to sol. U 900 litara morske vode soli ima 0.4 %. Neka je x količina morske vode koja mora ispariti da bi u 900 – x litara vode bilo 1 % soli. Vrijedi

jednadžba:

( ) ( )0.4 1 0.4 1

900 900 900 900 0.4 900 900100 100 100 10

/ 100

0x x x⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = −⋅ ⇒

360 900 900 360 540 .x x x litara⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Odgovor je pod D.

18

Vježba 179

Morska voda sadrži 0.4 % soli. Koliko litara vode treba ispariti da od 1800 litara morske vode ostane otopina od 1 % soli?

. 1080 . 960 . 860 . 1040A litara B litara C litara D litara

Rezultat: A. Zadatak 180 (Maturant, strukovna škola)

Ispitu je pristupilo 48 učenika i svi su ga položili. Ocjenu dovoljan dobilo je 31.25% učenika.

Od preostalih učenika trećina je dobila ocjenu odličan. Koliki je broj učenika iz ispita dobio ocjenu odličan?

Rješenje 180

Ponovimo!



9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


.100

px⋅


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Kako se računa n – ti dio od broja x?

1.x

n⋅

1.inačica

Od 48 učenika ocjenu dovoljna dobilo je 31.25%. To je 15 učenika.

31.2548

100⋅ = 15.=

Druge pozitivne ocjene dobila su preostala 33 učenika.

48 15 33.− =

Od njih trećina je dobila ocjenu odličan.

333

1 133 11.

3⋅ = ⋅ =

Ocjenu odličan dobilo je 11 učenika.

2.inačica

Ocjenu dovoljan dobilo je 31.25% učenika. Budući da su svi učenici položili ispit, postotak učenika koji nisu dobili ocjenu dovoljan je 68.75%.

100 % 31.25% 68.75%.− =

Od toga broja trećina učenika je dobila ocjenu odličan što iznosi

1 68.7548

3 100⋅ ⋅ = 11.=

19

Vježba 180

Ispitu je pristupilo 96 učenika i svi su ga položili. Ocjenu dovoljan dobilo je 31.25% učenika. Od preostalih učenika trećina je dobila ocjenu odličan. Koliki je broj učenika iz ispita dobio ocjenu odličan?

Rezultat: 22.

rezultat : 436 dag. zadatak 165 (sandra, srednja škola) cijena robe smanjena je za 20%. za koliko...

Documents