rezonancia matematika

7/31/2019 Rezonancia Matematika

1/7

REZONANCIA MATEMATIKA Sarkadi Dezs 2017.01.28 [email protected] 1/7

REZONANCIA MATEMATIKA

Sarkadi Dezs 2009. mjus

Update: 2012.07.19; 2017.01.28

1. BevezetFizikus vagyok, s ezen bell is elmleti fizikusnak szmtom magam, ennek ellenre nagyon fontosnak tar-

tom a ksrleti fizikt is, st magam is ksrleteztem a gravitci terletn. A matematikval viszont csak a szksgesmrtkben tartom a kapcsolatot. A legfontosabb llts: sikeres fizika nem ltezik matematika nlkl. Ez Newton tamegcfolhatatlan tny, de mr eltte Galilei is szmolt, hogy egyszer mrseit altmassza (mozgs lejtn, a gyor-suls kplete, szabadess vizsglata, stb.).

Mind a ksrleti fizika, mind a matematika fokozott vatossgot kvetel, ezt soha nem szabad elfelejteni. Sze-rencssnek tartom magam, hogy a Debreceni Egyetemen (KLTE) vgeztem (nagyon rgen: 1972-ben), az ottani k-lnleges matematika tanraimnak ksznhetem a matematika irnti tiszteletemet s ignyessgemet. A tudomnylltsait szigoran bizonytani kell, a bizonyts mdszereit a matematika tbb vszzados hagyomnyainak ismere-tn keresztl lehet csak elsajttani. A matematika az alap, melyre minden mszaki -fizikai tudomnyos kutats pl.

Tapasztalataim szerint, aki nem szerzi meg a matematikai alapokat kell idben (elg fiatalon), azt mr ksbb sosemtudja ptolni (esetleges kivtelek persze ltezhetnek, ami csak megersti lltsomat).

A matematikus ernyek sok esetben htrnyokat is jelentenek. A szntiszta matematikai gondolkods hajla-mos elszakadni a valsgtl, pontosabban a valsg ignyeitl. Kellenek a fizikusok, a mrnkk, a vegyszek sms olyanok, akik a gyakorlatban hasznostjk a matematikt, s jelzik az ignyeiket a matematikusoknak, akik in-kbb szeretnek a sajt maguk ltal kiptett elefntcsonttornyukban maradni. A jelen dolgozatomban ppen egy olyanalkalmazott matematikai problmra utalok, ami remlheten csak idleges problma marad. A matematikusok, fizi-kusok, mrnkk vszzadokon keresztl papron, ceruzval szmoltak, egszen az elmlt kt-hrom vtizedig. For-radalmi vltozst jelentett a szmtgp megjelense, ma mr a szmtgpek teljestmnye, gyorsasga s pontos-sga minden kpzeletet fellml. Ennek ellenre a matematikus trsadalomban mg mindig megmaradt a tbb v-szzados tradci, a numerikus szmtsok terjedelmnek cskkentsi ignye, de leginkbb elkerlse. Csak olyanmatematikai problmkkal foglalkoztak vszzadokon keresztl mg a nagynev matematikusok is, amelyek analiti-kus alakban megoldhatk. Arra trekedtek, hogy pldul a differencilegyenletek megoldst jl ismert, analitikus

fggvnyekkel lehessen megadni (ilyen analitikus fggvnyek pldul az exponencilis, trigonometrikus fggvnyeks ezek inverzei). Emlkeztetek arra, hogy kzpiskolban a matematikai pldatrak kizrlag elre gyrtott felada-tokat tartalmaztak, melyek analitikusan, zrt alakban, az ismert fggvnyekkel megoldhatk voltak. Ebben termsze-tesen nincs semmi kivetnival, hiszen a cl ppen a matematikai ismeretek, mdszerek (a matematikai kzgyes-sg) elsajttsa.

A szmtgpek megjelense, mint ltalban minden j tallmny, risi lehetsgeket nyitott meg a matema-tikban is, s termszetesen kros mellkhatsokkal is jrt. A szmtgp elnyeit mindenki jl ismeri, a furcsa ht-rnyai kztt emltend a szmtgp fggsg kialakulsa. De most egszen ms htrnyra szeretnk rmutatni, itta matematikai gondolkods elnyomsra gondolok. A legismertebb plda az EXCEL program, ami felhasznlbart,de az alkalmazkat leszoktatja arrl, hogy sajt maguk ksztsenek szmtgpes programokat a sajt specilis ig-nyk kielgtsre. Ennek mg durvbb pldi is vannak, amikor j pnzrt lehet kapni olyan specilis fizikusi, mrn-ki, kmiai, biolgiai, stb. programcsomagokat, melyekbe csak be kell tpllni a kiindul adatokat s a gp mindentkiszmol. A programcsomag mkdse, minsge, esetleg hibi persze rejtve maradnak, ellenrzskre semmi lehe-tsg. Az ember alapveten lusta (jmagam is), vakon bzik a gyri programokban, megnyugtatva magt azzal,hogy msok is ezt hasznljk. gy vagyunk specilisan a differencilegyenlet megold programokkal is. Ennek hossztv kvetkezmnye az lehet, hogy a lexiklis tudst kvetel egyetemek, fiskolk lassan nem tartjk fontosnak amatematikai alaptuds, kszsg tadst, hivatkozva az egyszerbb szmtgp hasznlatra. Ami szmomra fjda l-mas, hogy a matematika lassan szoftveres rucikkre degradldik, s persze mellkesen a szellemi termk haszntnem a programoz zsebeli be, hanem az zletember, aki az Interneten rulja a portkt. Az ellentmondsok, a prob-lmk felsorolst nem szeretnm itt folytatni, aki benne van a szoftver vilgban, ezeket jl ismeri.

A jelen munkban egy els rnzsre egyszernek tn matematikai problmt, illetve annak megoldstmutatom be. Menet kzben derlt ki, hogy az rdg a rszletekben van, s a rszletek sok fejtrst okoznak a fizikus-nak, aki inkbb a fizikai problmval szeretne foglalkozni s nem a matematikval birkzni. A fradsgos tvutakatnem akarom ismertetni, csupn a nehezen kiizzadott eredmnyeimet szeretnm itt kzkinccs tenni.

2. A gravitcis ksrletA gravitcis ksrleteimet, a nhai Bodonyi Lszl nyomn, fizikai ingval vgeztem. A mrs megbzhatsgnaknvelse cljbl, klnbz fizikai meggondolsok alapjn a kvzi-rezonancia mrs mdszert vlasztottam. Amrsi elrendezs vzlata a kvetkez:
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/7


2.1. bra:A kvzirezonancia mrs vzlata

A fizikai ingt sematikusan brzoltam, als, illetve fels tmege24-24 kg tmeg lomtgla. Az brn lthat kralak forgat asztal kemnyfbl kszlt az esetleges sztatikus mgneses hatsok elkerlse cljbl (az asztalanyaga kszthet brmely, nem ferromgneses anyagbl is: pl. rz, alumnium, stb.). A krasztal tmrje egy m-ter. Az asztal forgatst egy 15 W-os teljestmny egyenram motor biztostja vkony gumiszjon keresztl, a motorfordulatszma elektronikusan szablyozhat. A krasztalon gy helyeztem el a forrstmegeket, hogy azok lehetlegminl kzelebb legyenek az inga als tmeghez (kzelt felletek tvolsga kb. 4-5 centimter). A forgat asztal sa meghajtmotor vibrcis zaja a gumiszjas meghajts miatt csekly, s gyakorlatilag tovbbra sem hatott az ingra,mivel az inga felfggesztse a mennyezeten trtnt. A mrsi vzlat knnyebb rthetsge miatt nincs feltntetve azinga hidraulikus csillaptja s az rnykol vaslemez, mely az ingt rnykolja az esetleges mgneses hatsoktl,valamint a forrstmegek ltal keltett gyenge levegramtl.

A mrs sorn a villanymotor fordulata a nullrl indul, s nagyon lassan emelkedik, automatikus vezrlssel. A

krasztal 280-290 msodperces fordulatnl az inga gravitcis rezonanciba kerl a kt mozgsban lv forrst-meggel. Egy ilyen mrs grafikonjt mutatja a 2.2. bra:

2.2. bra:Egy rezonancia mrs eredmnye

Az bra az inga mozgst mutatja az id fggvnyben. Belthat, hogy egy-egy sikeres mrs elvgzse rendkvlitrelmet ignyel, alaposan el kell kszteni. A mrs csak szlcsendes idben vgezhet, ugyanis a lgszigetelt

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

A [mm]

t [s]


3/7


helyisg ellenre a kls, nagytmeg lgramlatok ers dinamikai gravitcis zavarokat okozhatnak a mrsben. Amrs mszaki rszleteirl itt nem kvnok beszmolni, honlapom gravitcis fejezetben rszletesen rok a gravit-cis ksrleteimrl.

A fizikai ings gravitcis ksrletek szmos meglep eredmnyre vezettek, aminek rszleteivel itt nem foglalko-zom. Kt meglep dolog azonban a jelen rshoz kapcsoldik: a gravitcis er nagysgrendekkel nagyobbnakad-dott, mint ami Newton trvnybl kvetkezne. A msik lnyeges tapasztalat, hogy a gravitcis er egyrtelmensebessgfgg. Mindezekbl kvetkezik, hogy Newton trvnye csak specilis, az eddigi, htkznapi tapasztalt ese-tekben rvnyes. A fizikai ings mrs egy klnleges fizikai llapotot valst meg, ugyanis a fizikai inga lengsidej-nek lehet legnagyobb mrtk megnvelse a fizikai ingk tmegre hat fldi gravitcis teret fokozatosan kikap-

csolja. Mskppen fogalmazva, ezzel az egyszer mdszerrel az ingatmegeket kzel a slytalansg llapotbavisz-szk. Az eddig alkalmazott hagyomnyos gravitcis ksrletekben viszont ez a krlmny nem llt fenn. Szksg-szer teht, hogy Newton gravitcis trvnyt ltalnostsuk a slytalansg krlmnyre is. Jelenleg ugyanis az atvhit uralkodik a fizikban, hogy Newton trvnye univerzlis, minden krlmnyek kztt rvnyes. A fizikai ingsksrleteim ezt egyrtelmen cfoljk.

Krds, hogyan ltalnostsuk Newton trvnyt, mely specilis esetben lnyegesen ersebbnek mutatkozik (agravitcis lland nagysgrendekkel nagyobb), illetve hogyan vegyk figyelembe a sebessgfggst. Newton mso-dik trvnye rtelmben egyszeren kpezzk a mrt ingamozgs idfggvnynek msodik derivltjt, amit meg-szorozzuk a fizikai inga effektv mozg tmegvel, s gy elvileg megkaphatjuk az ltalnostott gravitcis ertr-vnyt. A gyakorlatban ez az egyszer t egyelre jrhatatlannak tnik. A nagy lengsidej fizikai inga, lnyegi mk-dsnek kvetkeztben, mozgsa ersen zavarokkal terhelt. Ezt a problmt elvi okbl a leggondosabb ksrleti kivi-telezsnl sem lehet elkerlni. Matematikai ton meg tudjuk hatrozni az ingra hat gravitcis er idbeli fggst,de ebbl mg nem tudunk egyrtelmen kvetkeztetni a gravitcis er tvolsg, illetve sebessg fggsre. Ehhez

az ingamozgson kvl pontosan kellene mrni a forrstmegek idbeli helyzett s sebessgt is, de erre nem voltlehetsgem a szerny mszaki felttelek mellett. Ha mgis, optimlis esetben, minden mrsi adat rendelkezsemrellna, akkor sem tudnm automatikusan megadni az ltalnostott gravitcis trvnyt. Ehhez ugyanis mg tovbbi,kiegszt elmleti meggondolsok is szksgesek. Nem is beszlve arrl, hogy a mrsek a gravitcis tasztsidleges jelenltt is kimutattk. A rezonanciamrs lnyegt tekintve egy idben ersen vltoz, dinamikus mrs.Sztatikus gravitci mrsre a fizikai inga, rzketlensge miatt nem alkalmas.

Az ingamozgs mrsi adatsorbl azonban szmos kvetkeztets viszonylag gyorsan levonhat. Fouriertranszformcival (FFT) meg lehet hatrozni a mrshez tartoz dominns frekvencikat. A Fourier analzis pldulkimutatta, hogy az inga tmeggel egyenl 24 kg-os forrstmeg gravitcis hatsa egy nagysgrenddel kisebb, mint a12 kg-os forrstmeg hatsa. Ez nmagban ellentmond Newton trvnynek.

Vgl az ingamozgs kirtkelse cljbl egy matematikai modellt lltottam fel, amelyben az ltalnostott(dinamikus) gravitcis trvny alakjt a lehet legegyszerbbre vlasztottam meg. A modell kiszmtja az inga elm-leti mozgst, amit ssze tudok hasonltani a mrt ingamozgssal. A modellben tetszlegesen tudom vltoztatni az

ertrvny alakjt, mindaddig, amg elrem a mrt s szmtott mrsi adatok kzelt egyezst. A mdszer alapjn,viszonylagos biztonsggal meg tudom adni a dinamikus gravitci ertrvnyt. Ez a program mr kezdetben sike-resnek bizonyult, de a tovbbi pontostsokhoz tovbbi mrsek, ksrletek elvgzse elengedhetetlenl szksges.Ehhez szksges mg a mrsi technika tovbbfejlesztse, a megfelel laboratriumi krlmnyek biztostsa.

3. A matematikai modellezsA fizikai inga csillaptott harmonikus oszcilltorral modellezhet, amennyiben az inga kitrse kicsi az inga karhossz-sgval sszehasonltva. A csillaptott harmonikus oszcilltor differencilegyenlete:

(3.1)

aholaz inga csillaptsi tnyezje s 0= k/maz oszcilltor frekvencija. Az inga a srlds miatt exponencilisan

cskken periodikus mozgst vgez, az inga a mozgsi energijt folyamatosan dissziplja. Az ingt fkez er azinga pillanatnyi sebessgvel arnyos. A gravitcis gerjesztshatsra az inga amplitdja idvel bell egy kzellland rtkre, mivel a gravitcis gerjeszts folyamatosan ptolja az inga energiavesztesgt. A fizikai inga gerjesz-tst ler msodrend, inhomogn differencilegyenletet (3.1) kiegsztsvel kapjuk:

(3.2)

ahol f(t) = F(t) / m*a gerjeszt ersrsg,ittm*az inga effektv mozg tmege.A (3.1) differencilegyenlet matematikai elnevezse: kznsges, msodrend, lineris, lland egytthats,

homogn differencilegyenlet. A kznsges sz azt jelenti, hogy nem parcilisdifferencilegyenlet. (Elnzst krekaz Olvastl, de hagyatkoznom kell a korbbi, nmi matematikt tanult emlkekre, ezrt nem rulom el, mit jelent aparcilis jelz. Akikben azonban semmifle matematikai emlk nem maradt a rosszon kvl, azoknak sajnos nemtudom ajnlani a tovbbi elmerlst a tovbbi matematikai szpsgekben.)

A (3.2) differencilegyenlet matematikai elnevezse: kznsges, msodrend, lineris, lland egytthats,inhomogndifferencilegyenlet. A (3.1), illetve (3.2) egyenletek analitikus megoldsai mr az elektronikus szmtg-pek megjelense eltt jval rgebben ismertek voltak. Azt meg kell emlteni, hogy azrt ltalnos alak f(t)gerjesztfggvnyre valsznleg nincs ltalnos, zrt analitikus megolds. Mr sok alkalommal, tbb rt tltttem el Interne-tes keresglssel, hogy magyar, vagy angol nyelven talljak a (3.2) egyenletre ltalnos megoldst, sajnos mg eddig

2

02 0,x x x + + =

2

02 ( )x x x f t + + =


4/7


nem sikerlt tallnom. Krem ezrt a szakmabeli Olvaskat, ha ilyenrl tudnak, felttlenl rjk meg nekem, elre ismegksznm.

A matematika tanknyvek szerint a (3.2) inhomogn egyenlet megoldsa tradicionlisan a kvetkez mdontrtnik. Elszr meg kell keresni a (3.1) homogn egyenlet ltalnos megoldst. Az ltalnos megolds rtheten acsillaptsi tnyeztl, illetve az oszcilltor sajtfrekvencijtl fgg. A tanknyvek rszletesen trgyaljk a klnbzeseteket, melyek az emltett konstans paramterektl fggnek. A fizikai inga szabad mozgst egy csillapod lengsjellemzi, ilyen esetben az ltalnos megolds:

( ) ( )( ) exp sin ,x t A t t = + (3.3)

aholA, illetve alfaa kezdfelttelek ltal meghatrozott llandk, a msodrend differencilegyenlet kt integrcisllandja. A csillapod lengs frekvencija kisebb a csillaptatlan lengs frekvencijnl:

2 2 2

0 0. = > (3.4)

A (3.2) inhomogn (gerjesztett) differencilegyenlet ltalnos megoldsa bizonythat matematikai ttel szerint olymdon adhat meg, hogy a (3.1) egyenlet ltalnos megoldshoz hozzadjuk az inhomogn egyenlet egy partikul-ris megoldst. A (3.1) ltalnos megoldsa alatt azon megoldsok krt rtjk most, mely (3.3)-nak megfelel, csil-lapod lengsnek felel meg. A matematikusok (tanknyvek) gyakorlata szerint a (3.2) inhomogn egyenletben az f(t)gerjesztsi fggvny analitikusan megvlasztott. Radsul mg a kvetkez feltteleket elgti ki:

IDZET:(GRFF JZSEF, BME Gpszeti Kar, 2004) ==============================================

Az f(t) fggvny csak olyan tagokbl ll, amelyeknek csak vges szm linerisan fggetlen derivltjuk van. Ez ms-

kppen azt jelenti, hogy e fggvnyek derivltjai egy id utn vagy arnyosak lesznek az eredeti fggvnnyel, vagy

nullv vlnak. Az els felttelnek megfelel fggvnyek:

exp , sin , cos , sh , cht t t t t

Hiperbolikus fggvnyek esetn azok e-ados alakjt kell hasznlni. A msodik felttelnek a polinomok felelnek meg.

Termszetesen nem csak a felsorolt fggvnyek megfelelek, hanem tetszleges lineris kombincijuk azaz szorza-

taik, s ezek sszegei is. Ha az f(t) fggvny a fent lertak szerinti, akkor a partikulris megolds hasonl lesz hozz,

azzal a kiegsztssel, hogy minden olyan derivltjt szerepeltetni kell, amely eltr tle. Exponencilis fggvny esetn

nincs ilyen, hiszen ez a fggvny arnyos a sajt derivltjval, szinusz, vagy koszinusz esetn mindkettnek szerepelnikell, hiperbolikus fggvnyeknl az e-adnl lertak szerint kell eljrni, mivel az e-ados alakjukat kell hasznlni, poli-

nomoknl pedig az sszes a legnagyobb kitevnl kisebb kitevj tagot.Abban az esetben, ha valamelyik tag szerepel

a homogn ltalnos megoldsban (rezonancia), ugyan gy kell eljrni, mintha a homogn megoldsban tbbszrs

gyk lenne, azaz t legkisebb mg nem szerepl hatvnyval kell szorozni.

IDZET BEZRVA =========================================================================

A bonyolultan hangz idzet jl tkrzi a Bevezetbenlertakat, miszerint a matematikusok ragaszkodnak az analiti-kus fggvnyek hasznlathoz. Ez rendben is volna akkor, ha az jabb matematikai tanknyvek mr tartalmaznnaka modern (rohan) vilgot rdekl, knnyen szmtgpre vihet numerikus megoldsi mdszereket is. A felhaszn-lnak ugyanis elemi rdeke a megoldsi mdszerekhez val gyors hozzjuts az ppen aktulis mrnki, vagy fizikaiproblmk szmtgpes modellezshez. A hibaval keresglseim az Interneten azt mutatjk, hogy egyelre ettl

mg nagyon messzi vagyunk. Ilyenkor mit tesz a mrnk, vagy fizikus: Magad uram, ha nincs szolgd. Pedig a jelenmunkban felvetett matematikai problma megoldsa utlagosan vgtelenl egyszer, ezt adom kzre msok segt-sre is a kvetkezkben:

Az lland egytthats differencilegyenletek megoldsnak legegyszerbb tja az n. Laplace transzformcismdszer. A (3.2) inhomogn differencilegyenlet Laplace transzformcival algebrai egyenlett alakthat t:

2 2

0( 2 ) ( ) ( ),s s x s f s + + = (3.5)

ahol svals vltoz. Az (3.5) algebrai egyenlet abban az esetben ll fenn, ha az inga helyzete s sebessge a t = 0idpontban zrus:

(0) 0; (0) 0.x x= = (3.6)

Az inga mozgst az x(t)fggvny rja le, melynek Laplace transzformltjt az (3.5) egyenletbl kapjuk egyszer os z-tssal:

2 2

0

( )( ) ( ) ( ),

2

f sx s f s g s

s s =

+ + (3.7)


5/7


ahol g(s)az (3.5) egyenlet slyfggvnye, vagy ms elnevezssel tviteli fggvnye:

( )22 2 2

0

1 1( ) .

2g s

s s s =

+ + + + (3.8)

Az inga srlds miatt cskken a szgsebessge, amely (3.4)-gyel azonos:

2 2 2

0 0. = >

(3.9)

Az x(t) ingamozgst ler megolds az (3.7) egyenlet inverz Laplace transzformcijval kaphat meg. A Laplacetranszformci elmlete szerint:

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,t t

x t f g t d f t g d = (3.10)

ahol a g(t)fggvny a Green fggvny. A (3.10) integrlt a Laplace transzformci elmletben konvolcisintegrl-nak nevezik. A (3.8) slyfggvny inverz Laplace transzformltja szerencsre ismert a Laplace transzformcis tbl-zatokbl:

( )( )

2 2exp sint t

s

+ + (3.11)

melynek ismeretben a g(t)slyfggvny (Green fggvny):

( )1

( ) exp sin .g t t t

= (3.12)

Ebbl az inga mozgsa az f(t)gerjeszts hatsra (3.10) szerint:

[ ]0

1 )exp sin ,

t

x(t) f( (t ) (t )d

= (3.13)

amely megolds csak a (3.6) kezdeti felttelek teljeslse esetn rvnyes. A kpletben az az inga srldsa miattilecskkent szgsebessg (mrhet), az inga srldsi tnyezje (mrhet). Ezek a paramterek a mrsekbltbb-kevsb pontosan meghatrozhatk.

Megjegyzem, hogy a kapott eredmny dimenzionlisan is helyes, hiszen az inga x(t)kitrsnek dimenzijahosszsg, SI-ben mter. Az integrandusban az f(t)ersrsg dimenzija SI-ben m/s2, azaz gyorsuls. Az idszerin-ti integrls kiejti a nevezben lv egyik idegysget, az 1/szorz pedig kiejti a nevezben lv msodik idegy-sget is.

4. A numerikus megolds mdszereA (3.13) integrl, egyszersge ellenre, elg ijesztnek tnik. A gyakorlati alkalmazsokban diszkrt mintavteli

jelekkel foglalkozunk, teht a (3.13) integrlt kzelt sszeggel kell helyettesteni. Szerencsre a ksrleteimben azinga mozgsa, illetve a forg krasztal mozgsa szksgszeren igen lass, gy a msodperces mintavteli id iselegend szmtsi pontossgot biztost. Az eddigi vizsglataimban a gerjesztsi fggvny a gravitcis ersrsg-

nek felel meg, amelyet elmleti ton kell gy meghatrozni, hogy a (3.13) kplettel szmtott ingamozgs hasonlt-son a mrt ingamozgshoz.A numerikus integrls cljbl clszer bevezetni a kvetkez komplex integrlt

[ ] ( )0

1)exp ; ,

t

X(t) f( z(t ) d z i

= = (4.1)

amelynek a kpzetes rsze azonos a (3.13) megoldssal

[ ]0

1( ) Im ( ) )exp sin .

t

x t X t f( (t ) (t )d

= (4.2)

Tetszleges gerjesztsi ersrsg esetn az ingamozgst egzakt mdon konvolcis integrllal tudjukszmtani. Aszmtgpes programban ezt az integrlt ltalnos esetben csak kzelt mdszerrel tudjuk kiszmolni


6/7


[ ]0

)exp ,N

k

TX(NT) f(kT zT(N k)

=

=

(4.3)

ahol Ta "mintavteli id" (nem cserlend sszea / 2PT = ingaperidussal). Ha a mintavteli id lnyegesen ki-

sebb az inga lengsi peridusnl, a (4.3) kplet jl kzelti az inga valsgos mozgst. Sajt eredmnyem, hogy azingamozgst rekurzis kplettel lehet szmtani:

[ ]

( )

1 exp( ) ( 1)/ ;

exp( ) exp( ) exp( ) cos sin !

X (N )T X(NT) zT T f N

zT i T T T i T konst

+ + +

+ =

(4.4)

A kezdeti felttel fontos, mely biztostja ennek a rekurzinak az rvnyessgt:

( 0) 0 Re (0) Im (0) 0.X t X X= = = (4.5)

Bizonyts:Kpezem a kvetkez klnbsget:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

1

0 0

1

0 0

( 1) exp( ) ( )

( 1)exp ( 1 ) exp( ) ( )exp ( )

( 1)exp ( 1 ) ( )exp ( 1 )

( 1)exp 1 1 ( 1).

N N

k k

N N

k k

X N zT X N

T Tf k zT N k zT f k zT N k

T Tf k zT N k f k zT N k

T Tf N zT N N f N

+

= =

+

= =

+ =

= + + =

= + + + =

= + + = +

(4.6)

A gerjesztett inga szmtott amplitdja:

( ) ( ) Im ( ).x t x NT X NT= = (4.7)

A gravitcis mrsnl felmerl egy olyan zavar jelensg, hogy az inga lengsi frekvencija nagy lengsidkesetn ersen fgg az inga amplitdjtl. A mrsek azt mutatjk, hogy az inga lengsideje j kzeltsben arnyo-san n a lengsi amplitdval. A gravitcis gerjeszts fokozatosan energit viszbele a rendszerbe, ami egyre nveliaz inga amplitdjt, minek kvetkeztben az inga kiesik a szinkronbl, gy a gerjeszts az inga kaotikus mozgs-

hoz vezet. Ennek elkerlse cljbl vlasztottam a gerjesztsi peridust az inga lengsidejnek tbbszrsre, ami-vel sikerlt cskkenti a frekvenciamodulcibl ered problmt azzal, hogy a gravitcis energia-tads mrtktcskkentettem. Ezrt is neveztem el a mrst kvzirezonancia mrsnek.

A gerjesztett fizikai inga sikeres matematikai modellezse sorn sokat tanultam, fontos tapasztalatokat szereztem:

A gravitcis ksrlet modellezse a (3.2) differencilegyenlettel els nekifutsra egyszernek tnt, s csaka modell alkalmazsa sorn jttek el a nehzsgek, elssorban az inhomogn differenc ilegyenlet numeri-kus integrlsval kapcsolatban.

Kiderlt, hogy a (3.2) differencilegyenlet egyszer szmtgpes integrlshoz elkerlhetetlenl komplexfggvnyt (konkrtan Euler kplett) kellett alkalmazni. gy gondolom, hogy pusztn vals fggvnyekkel aproblma megoldsa lnyegesen komplikltabb lett volna.

Dbbenetes az, hogy egy egyszer fizikai problma, egy rezg rendszer kls gerjesztsnek matematikai

modellezshez a komplex fggvnytan bevonsra van szksg. Ez jra altmasztja a komplex szmfoga-lom (komplex matematika) jelentsgt a termszet lersban, specilisan a fizikban.

A ksrletben megjelen frekvencia-modulcis jelensg mg tovbb bonyoltja a matematikai modellt. To-vbbi feladatot jelent mg a jvben annak szmszer jellemzse, hogy a modellbl kvetkez elmleti in-gamozgs mennyire felel meg (mennyire korrell) a mrt ingamozgsnak. A mszaki gyakorlatban ez egy k-ln tudomnyg, a grafoanalitikus identifikci, amikor egy valsgos fizikai rendszer tviteli fggvnyt gra-fikus mdszerekkel hatrozzk meg.

5. RezonanciaA jelen anyag teljess ttele rdekben rviden ismertetem a mechanikai rezonancia jelensgt, amely szorosan

kapcsoldik a fentiekben ismertetett gerjesztett rezgsek (knyszerrezgsek) matematikjhoz. A rezonancia jelen-sge azokban az esetekben lp fel, amikor a rezg rendszer (specilisan inga) sajtfrekvencija kzeltleg me g-

egyezik a kls gerjeszt er frekvencijval. A rezonancia matematikai modellje a (3.2) specilis esete:

2

0 02 sin ,x x x f t + + = (5.1)


7/7


amelynek bizonythatan ltalnos megoldsa analitikus:

( ) 0 0sin( ) sin( ); !t

x t A t Ce t = + + < (5.2)

A kpletben szerepl konstansok az (5.1) msodrend differencilegyenlet kt fggetlen integrcis llandjval fe-jezhetk ki. Az 0frekvencia a rezg rendszer (pl.inga) sajtfrekvencija, pedig a gerjeszts frekvencija. Az (5.2)ltalnos megolds els tagja az (5.1) inhomogn egyenlet partikulris megoldsa, mg a msodik tag a homognrsz ltalnos megoldsa. Stacionrius llapotban az (5.2) megolds msodik tagja a csillapods miatt eltnik, tehtaz (5.1) differencilegyenlet stacionrius megoldsa:

( ) sin( ),x t A t = (5.3)

amely kt integrcis llandt tartalmaz:

( )

2 2 2002 22

2 2 2 2 00

2; tg ; .

4

fA

= = = +

(5.4)

Az eredmny grafikus szemlltetse:

A stacionrius amplitdt a csillapts korltozza. Ha a gerjesztsi frekvencia megegyezik az rezgrendszer (pl. inga)sajtfrekvencijval, akkor lp fel a rezonanciajelensge. Rezonancia esetn a rezgs amplitdja maximlis. A ter-mszetben szmos rezonancia jelensg elfordul, ennek rszleteire itt most nem trek ki. Kiemelend a rezonancia -katasztrfa jelensge, aminek sokszor idzett pldja egy hd leszakadsa az US-ban, 1940-ben, amelyet egyers szlvihar ltal keltett rezonancia okozott (Tacoma Narrows Bridge).A rszletekrl itt olvashatunk:

http://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_(1940)

A fzistolsnakfontos fizikai jelentse van, amely ugyancsak fgg a gerjeszts frekvencijtl. A fizikai kp alapjntermszetes, hogy a gerjesztett fizikai rendszer rezgsi (lengsi) fzisa mindig ksik a gerjeszt er fzishoz kpest.Az elmleti szmtsokat a gyakorlat is igazolja: a knyszerrezgs fzisksse kis -nl kzel nulla, rezonanciaesetn pontosan /2, majd nvekedsvel fel tart.

A rezonancia-katasztrfa jelensge mgtt egyszer fizikai tartalom hzdik meg, ugyanis rezonancia esetna gerjeszts idben lland energit tpll be a rezg rendszerbe. A rezg rendszer /2 fzisksssel kveti a ger-jeszt ert:

( )0 0 0

0 0

0 0

( ) sin sin ;

( ) sin / 2 cos ;

( ) ( ) sin .

f t f t f t

x t A t A t

x t v t A t

=

=

= =

(5.5)

A gerjeszt er irnya minden pillanatban megegyezik a rezg rendszer sebessgnek irnyval, ami a rezg rend-szer folyamatos energianvelst okozza. A rezg rendszerbe folyamatosan bevitt teljestmny:

2

0 0 0~ ( ) ( ) sin .P f t v t Af t = (5.6)

A rezg rendszer energijt a csillapts korltozza, a bevitt energia disszipldik (hv alakul). Ha a csillaptskicsi, ekkor a rezg rendszer energija folyamatosan nvekszik, ami rezonancia-katasztrfhoz vezet.
mailto:[email protected]:[email protected]://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_(1940)http://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_(1940)http://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_(1940)mailto:[email protected]

rezonancia matematika

Documents