90 12. FUNES INJETORAS. FUNES SOBREJETORAS 12.1 FUNES INJETORAS Definio Dizemos que uma funof: A B injetora quando para quaisquerelementosx1e x2deA, f(x1)=f(x2)implicax1 = x2 . Em outras palavras,quando x1 x2, em A,implicaf(x1) f(x2). Exemplos 1) Sejam as funes definidas pelos diagramas: Ento,apenasf e g sofunes injetoras. A funoh tal queh (1) = h(2), logo no injetora. 91 2) A funoafim f (x) = ax + b com a 0, injetora. Defato,paratodos x1ex2emR, temosf(x1)=f(x2)ax1 + b = ax2 + b ax1= ax2 ax1- ax2 = 0 a(x1- x2 ) = 0. Como a.(x1- x2 ) = 0, com a 0,ento(x1- x2 ) = 0eportantox1= x2 . 3) A funo{ } { } 2 R 1 R : f definida por 1 x1 x 2) x ( f+= injetora. De fato, dados x1 ex2em{ } 1 R , temos f(x1)=f(x2) 1 x x 2 x x 2 1 x x 2 x x 21 x1 x 21 x1 x 21 2 2 1 2 1 2 12211 + = + +=+ 2 1 1 2x x x 3 x 3 = = . 4)Exploraremos a seguir aspectos maisgeomtricos da injetividade. Evidentemente, uma funof: A B injetorase, e somente se, para todo b B, a equaof (x) = b possui no mximo uma soluo a A. Logo,se A eBso subconjuntos de R, f: A B injetora se, e somente se, para toda reta y = b,b B, a interseo do grfico defcom essareta ocorre em no mximo um ponto.Em vista disto temos:Se fe gso funes cujos grficos so representadospor, Grfico def Grfico de g ento fno injetora e g injetora. A funo quadrticaf (x) = ax2 + bx + c , a 0, ( exemplos de grficos a seguir) no injetora. 92 Isto se deve ao fato do seu grfico ser simtrico em relao reta x = -b/(2a). 12.2FUNES SOBREJETORAS Dizemosqueumafunof:ABsobrejetoraquandoparatodoyB,existepelo menos umx A tal que f(x) = y. Exemplos 1)Considere as funes f, g e h definidas pelos diagramas: 93 As funesfegso sobrejetoras porque, em ambos os casos, o conjunto imagem igual ao contradomnio. O mesmo no ocorre com afuno he portanto elano sobrejetora. 2) A funo afim R R f : definida porb ax x f + = ) ( , a 0, sobrejetora. Dado R y ,exibiremos R x tal quef(x) = y.Se R y entoab yx=um nmero real tal quey bab ya x f = + |.|

\| = . ) ( . 3) Exploraremos a seguir aspectos maisgeomtricos da sobrejetividade. Evidentemente,umafunof:ABsobrejetorase,esomentese,paratodobB,a equaof (x) = b possui pelo menos uma soluo a A. Logo,se A eBso subconjuntos de R, f: A B sobrejetorase, e somente se, a interseo entre o grfico defe a retay = b,para todob B diferente do vazio. Usando este critrio temos: Se| | | | | | | | b a, c 0, : g e b a, c 0, : f sofunescujosgrficossorepresentadosaseguir entof sobrejetora egno sobrejetora. 94 Grfico de f Grfico de g A funo quadrticaf(x) = ax2 + bx + c,a 0,no sobrejetora, mas a funog: + ,. 4((

aR ,tal queg(x) = ax2 + bx + c,a>0, sobrejetora. 4)Afunof: N Ndefinidaporf(x) = x +1 ( veja figura abaixo ) no sobrejetora. De fato,f(x) = 0 x + 1 = 0 x = -1. Como-1N ,ento no existex N tal quef(x) = 0. 95 5) A funof: { } R R 1 definida por11 2) (+=xxx f no sobrejetora. De fato, se y est no conjunto imagem de f,Im(f), ento existe{ } 1 R xtal que11 2+=xxy e, consequentemente,(y - 2). x = 1 + y. (I) Fazendoy = 2 em (I) temos: 0 = 3, uma contradio. Logo,2 Im(f). Observe que a funo{ } { } 2 R 1 R : f definida por 11 2) (+=xxx f sobrejetora.

6) Sejaf:| | | | + 0, 1 , R U definida por< 1 2 1 ) 1 - (= ) (2x se xx se xx f ,cujo grfico dado a seguir Mostraremos, atravs da definio, quef sobrejetora. Dadoy CD(f), vamos distinguir dois casos: 1o caso. y| ) + , 0 . Tomandox =1 + y temos quex 1 e ento, ( )221 1 y ) 1 x ( ) x ( f + = == y. 96 2o caso.y( ) 1 , .Tomandox = y + 2temos quex < 1e ento,f(x) = x - 2 = (y - 2) + 2 = y. Portanto f sobrejetora. Proposio Sef: A Beg: B Cso funes sobrejetoras, entog o f sobrejetora. D]Sejaz C,um elemento qualquer. Comog sobrejetora, existe y Btal queg(y) = z.Sendoftambm sobrejetora ey B,existe x Atal quef(x) = y.Logo,(g o f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z. 12. 3 FUNES BIJETORAS Definio Uma funof: A Bchama-se bijetora (ou bijetiva)quando injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Exemplos 1)Sejam as funesf, g e hdefinidas pelos diagramas: 97 A funof bijetora porque , ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. A funogno bijetora porque no sobrejetora. A funohno bijetora porque no injetora.

2) A funo identidadeid: A Adefinida porid(x) = x,para todox A, a mais simples das funes bijetoras. 3)Afunoafimf(x)=ax+b,a 0,bijetoraporque,comojfoivisto,injetorae sobrejetora. 4) A funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c, a0, no bijetora porque no injetora (ou porque no sobrejetora). 5)Evidentemente,umafunof:ABbijetorase,esomentese,paratodobB,a equaof (x) = b possui uma nica soluo a A. Logo,se A eBso subconjuntos de R, f: A B bijetorase, e somente se, para toda reta y = b,b B, a interseo do grfico defcom essareta ocorre em um nico ponto. Proposio Sef: A Beg: B Cso funes bijetoras, entog o f : A C bijetora.D]Jvimosquecompostadefunesinjetorasinjetoraequeacompostadefunes sobrejetoras sobrejetora; logo se f: A B e g: B Cso funes bijetoras, ento g o f : A C bijetora. 98 12.4 FUNO INVERSA Consideremos as funes,f, g e h, definidas pelos diagramas

possvelobtermosfunesdeBemA,oudeDemC,ouaindadeFemE,invertendo os sentidos das flechas? Podemosobservarquespossvelnocasodafunof.Paraasfunesgeh,adefinio de funo no satisfeita. Definio Dizemosqueafunog: B Aainversadafuno f: A B,quandog(f(x)) = xpara todo x Aef(g(y)) = y para todo y B. 99 Decorre da definio: 1) gof = IdAe fog = IdB.2) y = f(x), se somente se, x = g(y), para todo x A e para todoy B. 3) g a inversa de f, se e somente se, f a inversa de g. Da igualdade g(f(x)) = x, para todo x A, segue que f injetora, pois para todo x1 e x2 A , f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2)) x1 = x2 . E se f(g(y)) = ypara todo y B,temos quef sobrejetora pois, dadoy B,arbitrrio, podemos tomarx = g(y) Ae temosf(x) = f(g(y)) = y.Logo , se f: A B possui um inversa ento f bijetora.Poroutrolado,sef:ABbijetoraentopossuiumainversag:BA.Defato, como f bijetora para cada y B, existe um nico x A , tal quey = f(x), definamos g: B Acomo sendo g(y) = x. claro que g(f(x)) = xef(g(y)) = y para quaisquerx Aey B.. Conclumos assim, que Uma funof: A Bbijetora, se e somente se, possui um inversa g: B A. Quandog: B A a inversa def: A B,escrevemos g = 1 f . Exemplos:1)Afuno{ } { } 2 R 1 R : f definidapor 11 2) (+=xxx f bijetora(jfoiprovado anteriormente), a sua inversa a funo{ } { } 1 R 2 R : g , definida por 2 x1 x) x ( g+= . De fato,x21 x1 x 211 x1 x 2)) x ( f ( g =+++= , para todo x R {1} ex12 x1 x12 x1 x2)) x ( g ( f =++|.|

\|+= ,para todo x R {2}. 2) Dadas as funesf: | ) + , 0 R eg: | ) R , 0 +definidas porf(x) = x2 e g(y) = y ,temos quef(g(y)) = ypara todoy 0.No entanto, g(f(x))s igual axquando x 0.Sexfor 100 negativo,g(f(x)= 2x =,x,=-x.Logognoainversadef.Naverdade,fnopossui inversa, pois no injetora. Se considerarmos a funoF: [0, +) [0, +),restrio de f a [0, +),temos que f bijetora, e sua inversa a funo G: [0, +) [0, +), dada porG(y) = y , porque G(F(x)) = 2x= x e F(G(y)) = ( y )2 = y. Grfico da funo inversa Existe uma relao interessante entre o grfico de uma funo f e o de sua inversa1 f .Notemos da equivalncia,y = f(x) x =( ) y f1 que o pontoP = (x,y)est no grfico defse, e somente se, o ponto Q = (y,x)est no grfico de 1 f . Vejamos uma ilustrao desta situao: Como podemos observar os pontos P e Q so simtricos em relao reta r(1a bissetriz ) eportantoogrficodafunofsimtricoaogrficodesuainversa 1 f emrelao1a bissetriz.

101 LISTA DE EXERCCIOS 1) Dadas as funesg x x ( ) ( ) = +12 ex x f = ) ( , determine fog . 2)Um exportador de caf calcula que os consumidores compraro , aproximadamente, C (p) = 4,374 / p2quilogramas de caf por semana, quando o preo de p Reais por quilograma. Estima-seque,daquiatsemanas,opreodocafserdep t t t ( ) , , = + + 0 04 0 2 52Reaispor quilograma. Expresse o consumo semanal de caf como funo de t. 3) Nos exemplos a seguir, determine gof : a)f x x ( ) / = 1 1eg x x ( ) / ( ) = 1 1 b)< =1 se 11 se) (2x xx xx g e f x x ( ) / = 1 4)Use a definio para verificar que as funesa seguir so injetoras: a)f R R : { } { } 1 3definida porf x x x ( ) ( ) / ( ) = + + 3 2 1b)f R R :2 2 definida por f x y x y ( , ) ( , ) = 2 3 5) No exerccio anterior use a definio para verificar que as funes dadas so sobrejetoras. 6) Determine as funes inversas das funes dadas no exerccio4). 7) Esboce o grfico e classifique cada uma das funes seguintes em : i) Injetora ii) Sobrejetora iii) Bijetoraiv) No injetora e no sobrejetora. a)f R R : definida por f x x x ( ) . = 1 . b)f R R : definida por f xx xx x( ) =+ +