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PARTICULAR UNIVERSIDAD
Lgica
Proposicin
Es toda oracin respecto de la cual se puede decir si es verdadero o falso.
Denicin 1 (Proposicin).
Para indicar si una proposicin p es verdadera o falsa lo indicamos de la siguiente manera.v(p) = V o bien v(p) = F u otra forma es p es V o p es F
Conectivos Lgicos
Nombre Conectivo Smbolo
Negacin ,Conjuncin Disyuncin Implicacin Equivalencia o Doble Implicacin
Tablas de Verdad
Conjuncin
p q p qV V V
V F F
F V F
F F F
Disyuncin
p q p qV V V
V F V
F V V
F F F
Negacin
p pV F
F V
Implicacin
p q p qV V V
V F F
F V V
F F V
Equivalencia
p q p qV V V
V F F
F V F
F F V
Diremos que una proposicin es una tautologa, si independientemente de los valores de
verdad que posean las proposiciones intervinientes, la proposicin siempre es verdadera.
Denicin 2 (Tautologa).
Diremos que una proposicin es una contradiccin, si independientemente de los valores
de verdad que posean las proposiciones intervinientes, la proposicin siempre es falsa.
Denicin 3 (Contradiccin).
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Aquellas proposiciones compuestas cuya tabla de valores de verdad dan verdaderos y
falsos se denominan contingencias
Denicin 4 (Contingencia).
La Implicacin
p qSe lee p implica q , donde, p es el antecendente y q el consecuente. Son equivalentes las siguientesformas de escribir una implicacin
1. Si p entonces q
2. p es condicin suciente para q
3. p slo si q
4. q si p
5. q es condicin necesaria para p
Implicaciones asociadas
Directa p q Contrarrecproca q pRecproca q p Contraria q p+
Se dice que las proposiciones p y q son lgicamente equivalentes si p q es unatautologa. La notacin p q denota que p y q son lgicamente equivalente.
Denicin 5 (Proposiciones equivalentes).
Nota : El smbolo no es un conectivo lgico, puesto que p q no es una frmula, sino laarmacin de que p q es una tautologa. El smbolo se usa en ocasiones en lugar de para denotar la equivalencia lgica.
Aclaraciones y deniciones importantes
1. Existe al menos un x: Asegura la existencia de un x, puede haber ms (2 , 3, etc).
2. A lo sumo 1 x: Quiere decir que puede no tener ningn x o tener un x, pero no ms deuno.
P (x) es una funcin proposicional en la variable x, si y slo si, existe al menos unasustitucin de x, por una constante que la transforma en proposicin, es decir, se puedeestablecer su valor de verdad en esas constantes.
Denicin 6 (Funcin proposicional).
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TABLAS DE EQUIVALENCIAS LGICAS
Equivalencia Nombre
p V pLeyes de identidad
p F pp V VLeyes de dominacin
p F Fp p pLeyes idempotentes
p p p ( p) p Ley de la doble negacinp q q pLeyes conmutativas
p q q p(p q) r p (q r)Leyes asociativas
(p q) r p (q r)p (q r) (p q) (p r)Leyes distributivas
p (q r) (p q) (p r) (p q) p qLeyes de De Morgan (p q) p q
p (p q) pLeyes de absorcin
p (p q) pp p VLeyes de negacin
p p FEquivalencias lgicas relacionadas con la implicacin
p q p qequivalencia de la implicacin
p q q pp q p q
p q (p q)
(p q) p q
(p q) (p r) p (q r)
(p r) (q r) (p q) r
(p q) (p r) p (q r)
(p r) (q r) (p q) r
(p q) (p q) (q p)
(p q) ( p q)
(p q) (p q) ( p q)
(p q) (p q)
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MTODOS DE DEMOSTRACIN
Mtodo Directo: H T Mtodos Indirectos:Reduccin al Absurdo: T H AbsContrarrecproca: T H
Tcnicas para demostrar
Tcnica de de-
mostracin
Cundo usarla?
Qu
suponer?
Qu
concluir?
Cmo demostrar?
Directo
Como primer in-tento
Cuando en H setiene ms informa-
cin que en T
H TTrabaje progresiva-
mente partiendo de H
tratando de obtener T
Contrarrecproco
Cuando T contienela palabra NO
Cuando en T setiene ms informa-
cin que en H
T HTrabaje progresiva-
mente partiendo de
T tratando deobtener H
Absurdo
Cuando T contienela palabra NO
Cuando en T setiene ms informa-
cin que en H
H T
Un ab-
surdo o
una con-
tradic-
cin
Partiendo de H Tse obtiene un absurdo
o una contradiccin.
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Cuanticadores
Cuanticador Smbolo
Se lee
Universal x : P (x)Para todo x se verica la propiedad P (x)
Existencial x : P (x)Existe al menos un x en el dominio de inter-
pretacin tal que verique P (x)
Valor de verdad para las proposiciones con cuanticador universal
1. x : P (x) ser verdadera, cuando la propiedad P (x) se verica para todos los x que estnen el dominio de interpretacin.
2. x : P (x) ser falsa, si existe al menos un elemento x en el dominio de interpretacin queno verica la propiedad.
Valor de verdad para las proposiciones con cuanticador existencial
1. x : P (x) ser verdadera, cuando existe al menos un elemento x en el dominio deinterpretacin tal que verique P (x)
2. x : P (x) ser falsa, cuando ninguno de los elementos x del dominio de interpretacinverique la propiedad.
Negacin de los cuanticadores
Cuanticador
Negacin
x : P (x) [x : P (x)] x : P (x)
x : P (x) [x : P (x)] x : P (x)
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