11.- apuntes resumen del semestre curso lógica (1).pdf
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Guía de apoyo Lógica FIL011 Profesor: Manuel Correia M. - [email protected] Ayudante: Enrique Álvarez F. - [email protected]
Este documento no pretende ser un resumen de la materia sino más bien una guía
de ejercicios propuestos con una reseña de los contenidos necesarios para poder enfrentar cada uno de los distintos ejercicios (es importante que el alumno asista a clases para poder entender bien esta guía y así la utilice como complemento).
Recomiendo realizar todos los ejercicios ya que éstos abarcan gran parte de la materia y son de gran utilidad para entender a cabalidad los conceptos, axiomas y demostraciones.
Cualquier observación sobre el documento (pro mejora de su contenido y calidad) será bien recibida.
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Índice
1. Lógica Aristotélica …………………………………………………………………………………………………………..………..…… 3
1.1. Propiedades de las proposiciones ………………………………………………………………………….….……. 3 1.1.1. Propiedades …………………………………..……………………….......…….………………….……….... 3
1.1.2. Ejercicios ……………………………………………………………………………………………………..…….. 5
1.2. Consecuencias lógicas ………………………………………………..……………………………………………………. 7
1.2.1. Consecuencias lógicas inmediatas ….……………….………………….………………….………….. 8
1.2.2. Consecuencias lógicas mediatas: Los silogismos …………………………………………......... 9
1.2.3. Ejercicios ………………….…….……………………………….………………….………………….………... 13 1.3. Demostración por árboles …………………………………………………………………………………………….. 20
1.3.1. Método …………………………..……..…….…………………………………….………………….………… 20
1.3.2. Precaución Aristotélica …………………………………………………………………………………….. 21
1.3.3. Ejercicios ………………………………………………………………………………………………………….. 24
2. Lógica Matemática ……………………………………..………………….………………………………………………………….… 28 2.1. Nociones básicas ……………………………………………………..………………………..……………….…………. 28
2.1.1. Definiciones …………………………………..……………………….......…….………………..………….. 28
2.1.2. Ejercicios ………………………………………………………………………………………………………….. 29
2.2. Lenguaje L …………………………..………………………………………………………………..……………….………. 30
2.2.1. Definiciones …………………………………………………………………………………………………..…. 30
2.2.2. Ejercicios …………………………………………………………………………………………………..………. 33
2.3. Árboles de Gentzen en L ……..……………………………………………..………………….…………….……….. 38
2.3.1. Método …………………………………………………………………………………………………..……….. 38
2.3.2. Ejercicios …………………………………………………………………………………………………..…….. 39
2
2.4 Lenguaje L1 ………………..………………………………………………………………..……………………….……….. 42
2.4.1. Definiciones …………………………………………………………………………………………………..…. 42
2.4.2. Ejercicios …………………………………………………………………………………………………..……… 43
2.5. Árboles de Gentzen en L1 ……..……………………………………………….……………..………..…………….. 45
2.5.1. Método ………………………………………………………………………………………….……………..…. 45
2.5.2. Ejercicios ……………………………….……………………………………………………….………..………. 46
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1. Lógica Aristotélica
1.1. Propiedades de las proposiciones
1.1.1. Propiedades
1. Las proposiciones categóricas o simples pueden ser de dos términos (2T) o tres términos (3T).
Ejemplos: 2T: Pedro corre.
3T: Aristocles es Platón (lleva el verbo ser).
2. Las proposiciones pueden ser modales o no modales (asertóricas), siendo la modalidad las distintas
“maneras” para un mismo predicado. Ejemplos: Modal: Euclides camina rápidamente, Necesariamente Javier es alto.
No modal o asertórica: Enrique es astronauta.
Hay tres casos de modalidad, que corresponden a necesidad, posibilidad e imposibilidad. Estos
casos se derivan de que el predicado puede ser relacionado con el sujeto de tres maneras, a saber: el sujeto está “incluido” en el predicado (1), el sujeto está “en parte” en el predicado (2) y el sujeto se encuentra “fuera” del predicado (3).
1. El sujeto puede ser definido (no lo antecede una partícula negativa) o indefinido (lo antecede una partícula negativa).
Ejemplos: Definido: El perro es animal.
Indefinido: no-Lorena es artista (se refiere a todo lo que no es Lorena).
2. El predicado puede ser definido (no lo antecede una partícula negativa) o indefinido (lo antecede una
partícula negativa).
Ejemplos: Definido: Raimundo baila.
Indefinido: Jaime es no-patinador.
3. El sujeto puede ser singular o universal.
Ejemplos:
4
Singular: Pedro es sabio.
Universal: El hombre es sabio.
4. Cantidad de las proposiciones (sólo los objetos universales se pueden cuantificar).
Cuantificadores: Universales: Todo perro es canino (afirmación) - Ningún humanoide es mutante (negación) Particulares: Algún gato es desconfiable (afirmación) - Algún gato no es confiable (negación) Indeterminados
1: Un/El hombre es racional (afirmación) - Un/El hombre no es justo (negación)
5. Calidad de la proposición: una proposición puede ser afirmativa o negativa.
Sobre la negación de proposiciones: “Zeus es no-justo” no es la negación de “Zeus es justo”, ya que para que así sea, la partícula negativa (el “no”) debe anteceder a la parte más importante de la proposición, que corresponde al modo en el caso de las proposiciones modales, al verbo “ser” en las proposiciones de 3T y al verbo en las de 2T (notar que en las proposiciones de 2T no modales el predicado indefinido hace la negación).
En el caso de que la cualidad de la que se habla no se trate de un accidente para el sujeto, la indefinición del predicado también hace la negación. Ejemplo: 2 es par (1)
2 es no-par (2)
Como no-par implica necesariamente impar (no hay una escala gradual entre estos dos términos),
(2) es necesariamente la negación de (1).
6. El tiempo de la proposición puede ser pasado, presente o futuro. 7. Las proposiciones se pueden clasificar según su materia, que corresponde a la relación que guardan
la definición del sujeto con la definición del predicado2. Encontramos tres tipos: contingente (1),
necesaria (2) e imposible (3).
Ejemplos: Contingente: El hombre corre.
Necesaria: El hombre es animal.
Imposible: El hombre es piedra.
Cuando se pide crear, por ejemplo, una proposición con sujeto no definido y de materia
contingente, la contingencia de la materia debe ser con respecto a la parte definida del sujeto, por ejemplo si tomamos “Todo no-Sócrates respira”, tenemos que el predicado (respira) se relaciona necesariamente con el sujeto (Sócrates).
1”El hombre es grande” no especifica si se refiere al hombre como raza humana o a un hombre en particular, de
ahí el nombre de cuantificador indeterminado. 2Para hacerse una mejor idea de la relación en cuestión, se puede mirar el diagrama expuesto anteriormente.
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1.1.2. Ejercicios
1. Ejercicios varios: 1.1 Explique la siguiente afirmación: “El hombre que no es bueno no es necesariamente malo”
Ser bueno se relaciona accidentalmente con el sujeto que es el hombre, luego el hombre que no es bueno puede ser más o menos bueno y un poco malo, más malo que bueno, mitad malo mitad bueno, etc. Sería distinto para el caso de ser no mortal, ya que el hombre que no es mortal es evidentemente inmortal (ya que entre mortal e inmortal no hay término medio ni ningún tipo de graduación).
1.2 La negación de “Juan es injusto” es: a) Juan es justo b) Juan no es justo c) Juan es no-justo d) Otra:_____________ d) Juan no es injusto
1.3 La negación de “Es necesario que el cobre sea conductor eléctrico” es:
a) Es necesario que el cobre no sea conductor eléctrico b) Es necesario que el no-cobre sea conductor eléctrico c) No es necesario que el cobre sea conductor eléctrico d) Otra:_____________
c)
1.4 Comente sobre la proposición: “Todo Sócrates es iracundo” Se podría decir que es una proposición mal formulada ya que Sócrates corresponde a un objeto singular, y como bien sabemos es inapropiado cuantificar objetos singulares.
1.5 Explique por qué la frase “El caudaloso río que mueve la turbina ARP-2X3 que alimenta gran parte de la ciudad de los simios” no es una proposición. Porque no hay ningún verbo y no es capaz de adoptar ningún valor de verdad.
1.6 ¿Por qué la expresión “no-hombre” no es una frase? Porque una frase es un sonido articulado que significa por convención en que sus partes tienen significación por separado (una frase es una composición de palabras que tienen significación por si solas). En este caso “hombre” tiene significación separadamente, pero la partícula negativa “no” no la tiene.
2. Complete la siguiente tabla:
6
Tod
o n
o-h
om
bre
será no
-volad
or
Un
mo
nstru
o n
o fu
e
no
-bo
nito
Do
n G
ato vu
ela, im
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siblem
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Javier corrió
No
-Sócrates es n
o-
veloz, p
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te
El ho
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útil
No
es imp
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nin
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extraterrestre
no
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Es po
sible q
ue
algún
infrah
um
ano
sea no
-
sabio
Pitágo
ras es un
a
parrilla eléctrica
Pro
po
sición
3T
3T
2T
2T
3T
3T
3T
3T
3T
2T/3
T
No
No
Sí
No
Sí
No
Sí
Sí
No
Mo
dal
(Sí/No
)
Un
iv.
Un
iv.
Sing.
Sing.
Sing.
Un
iv.
Un
iv.
Un
iv.
Sing.
Suj.
Sing./U
niv.
Ind
ef.
Def.
Def.
Def.
Ind
ef.
Def.
Def.
Def.
Def.
Suj. D
ef./ In
def.
Ind
ef.
Ind
ef.
Def.
Def.
Ind
ef.
Def.
Def.
Ind
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Def.
Pred
. Def./
Ind
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Fut.
Pas.
Pres.
Pas.
Pres.
Pres.
Pres.
Pres.
Pres.
Tiemp
o
(Pas./P
res.
/Fut.)
Afirm
.
Neg.
Afirm
.
Afirm
.
Afirm
.
Afirm
.
Neg.
Afirm
.
Afirm
.
Calid
ad
(Afirm
./Ne
g.)
Imp
os.
Co
ntin
g.
Imp
os.
Co
ntin
g.
Co
ntin
g.
Co
ntin
g.
Co
ntin
g.
Co
ntin
g.
Imp
os.
Materia
(Imp
os./
Co
ntin
g.
/Nes.)
Un
iv.
Ind
eter.
----------
----------
----------
Ind
eter.
Un
iv.
Part.
----------
Cu
antificad
or
(Part./U
niv./In
deter.)
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3. Indique cuál es la negación de las siguientes premisas: 3.1 Es posible que ningún no-hombre sea no-corredor.
No es posible que ningún no-hombre sea no-corredor.
3.2 No-Pedro no es no-evangélico. No-Pedro es no-evangélico.
3.3 Usualmente Juan corre. Inusualmente Juan corre.
3.4 El cangrejo es no-ballena, posiblemente. El cangrejo es no-ballena, no posiblemente.
4. Encontrar la proposición descrita:
4.1 2T, modal de posibilidad y afirmativa, negativa (respecto de la parte modalizada), sujeto universal e
indefinido, materia necesaria, presente, cantidad universal. Es posible que todo no-hombre no respire.
4.2 3T, modal de necesidad y negativa, afirmativa, materia imposible, pasado, sujeto universal e indefinido, predicado definido, cuantificador universal. No es necesario que todo no-animal haya sido mueble de cocina.
4.3 2T, modal de necesidad y afirmativa, materia imposible, negativa, pasado, sujeto indefinido y universal, particularmente tomada. Es necesario que algún no-marciano no haya sido de la Luna.
4.4 3T, sujeto universal y definido, indeterminadamente tomado, futuro, materia contingente, negativa, modal de posibilidad y afirmativa, predicado definido. El hombre no será inteligente, posiblemente.
4.5 3T, sujeto universal y definido, predicado indefinido, negativa, modal de necesidad y negativa, futuro, materia imposible, particularmente tomada. Algún perro no será no-piedra, no necesariamente.
4.6 3T, sujeto universal e indefinido, presente, indeterminadamente tomada, predicado indefinido, materia imposible, modal de posibilidad y negativa. No es posible que el no-ornitorrinco sea no-reptil.
1.2. Consecuencias lógicas
Dentro de las consecuencias lógicas podemos distinguir dos tipos: las mediatas y las inmediatas. Las
mediatas corresponden a los silogismos (contenido en el que profundizaremos más adelante) y las inmediatas corresponden a la inferencia y a las transformaciones.
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1.2.1. Consecuencias lógicas inmediatas
1. En primer lugar tenemos las inferencias puramente inmediatas (son evidentes), las cuales pueden ser modales y no modales. Ejemplo: Modal: Imposible que sea… = No es posible que sea…
No Modal: Todo A no es B = Ningún A es B o Algún A no es B.
Si es que la proposición “Es imposible que Enriqueta sea piedra” es verdadera, claramente también lo
es “No es posible que Enriqueta sea piedra”.
2. En segundo lugar están las inferencias inmediatas por transformación. Para explicar bien dichas
transformaciones será necesario tener a mano (o más bien memorizar ya que es de gran utilidad) el cuadro de las proposiciones canónicas que se encuentra a continuación:
2.1. Conversión: Se intercambia el sujeto por el predicado.
A: Todo X es Y�Algún Y es X (la A pasa a ser I luego de ser convertida) E: Ningún X es Y � Ningún Yes X I: Algún X es Y �Algún Y es X O: No se convierte.
2.2. Obversión: Se mantiene el sujeto y la cantidad, mientras se cambia la calidad (afirmativo/negativo) y
el predicado (definido/indefinido).
A: Todo X es Y�Ningún X es no-Y E: Ningún X es Y �Todo X es no-Y I: Algún X es Y � Algún X no es no-Y O: Algún X no es Y� Algún X es no-Y
2.3. Contraposición: Se niega el sujeto, se niega el predicado y luego se intercambian.
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A: Todo X es Y� Todo no-Y es no-X E: Ningún X es Y � Algún no-Y no es no-X (la E pasa a ser O luego de ser contrapuesta) I: No se contrapone. O: Algún X no es Y� Algún no-Y no es no-X
La principal idea de las transformaciones recién vistas es que se pueden a aplicar a proposiciones verdaderas para así obtener otras proposiciones distintas a las primeras que siguen siendo verdaderas (consecuencias de las primeras, no necesariamente equivalentes a ellas).
Del cuadro expuesto anteriormente podemos extraer también tres tipos de relaciones de
oposición, que corresponden a la contradicción, la contrariedad y la subcontrariedad (nombradas desde la más “fuerte” a las más “débil”), las cuales se definen de la siguiente manera:
• Dos proposiciones son contradictorias si es que no pueden ser ambas falsas o verdaderas a la vez.
• Dos proposiciones son contrarias si es que no pueden ser ambas verdaderas a la vez pudiendo ser falsas las dos.
• Dos proposiciones son subcontrarias si es que no pueden ser ambas falsas a la vez pudiendo ser verdaderas las dos.
1.2.2. Consecuencias lógicas mediatas: Los silogismos
Un silogismo es una frase donde asentadas dos proposiciones diferentes entre si se sigue una tercera por el solo hecho de haber asentado estas dos anteriores.
Definiremos los siguientes términos más cierta simbología para poder trabajar esta parte:
Todo animal es viviente - término medio (m) A: T m Ningún viviente es canino - término mayor (T) = E: m t Ningún animal es canino - término menor (t) E: T t
A las dos proposiciones sobre la línea se les llama premisas (mayor y menor de arriba hacia abajo) y
a la de abajo conclusión.
1. Figuras silogísticas:
Iº IIº IIIº IVº m T T m m T T m t m t m m t m t t T t T t T t T sub-prae prae-prae sub-sub prae-sub
Cabe mencionar que las cuatro figuras recién expuestas no son las únicas que hay, ya que
podemos aumentar el número de figuras a ocho si es que tomamos las cuatro figuras conocidas e intercambiamos el término mayor por el menor en la conclusión. A estas cuatro nuevas figuras se les conoce como las figuras indirectas.
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Más importante que las figuras silogísticas son los modos silogísticos, que corresponden a todos los silogismos que se pueden formar en cada una de las figuras silogísticas. Ejemplo: Las figuras silogísticas de la segunda figura directa son aquellas en las que el término medio de las
premisas siempre aparece en el predicado y el término mayor (que corresponde al sujeto de la
premisa mayor) aparece como el sujeto de la conclusión y el término menor (que corresponde al
sujeto de la premisa menor) aparece en le predicado de la conclusión. Un modo silogístico de la
segunda figura directa (no necesariamente válido) sería por ejemplo: Todo T es m, Algún t es m,
luego Algún T es t.
2. Axiomas de corrección: estas reglas o axiomas son las que nos permiten verificar si un modo
silogístico es válido o no, es decir, si es que un modo silogístico no cumple con alguna de ellas esto implica que el modo es inválido, dicho de otra manera, la conclusión no se sigue de las premisas.
• Primer axioma: La conclusión siempre hereda lo negativo y la particularidad de las premisas, luego si alguna de las premisas es particular y/o negativa, la conclusión también lo será.
• Segundo axioma: En las proposiciones afirmativas el predicado es tomado particularmente, mientras que en las negativas este es tomado de forma universal.
• Tercer axioma: Los términos mayor y menor no pueden ser tomados particularmente en las premisas y universalmente en la conclusión.
• Cuarto axioma: De dos premisas negativas no sale conclusión.
• Quinto axioma: El término medio debe ser tomado universalmente al menos una vez.
De los cinco axiomas anteriores podemos extraer un teorema que sería el siguiente:
• Teorema: De dos premisas particulares no se puede concluir nada.
Para entender mejor la idea desarrollaremos la primera figura para ver cuáles son sus modos silogísticos válidos. Tenemos entonces que para la primera figura la premisa mayor debe ser siempre universal y que la menor debe ser siempre afirmativa.
Demostración: Supongamos que la premisa menor no es afirmativa (o sea negativa), si es así, por el axioma 1, la conclusión deberá ser negativa, lo que implica que el término mayor estaría tomado universalmente (por el axioma 2), lo que implica que este mismo término debería ser tomado universalmente en la premisa mayor (axioma 3), pero la única manera de que esto se cumpla es suponiendo que la premisa mayor es negativa (axioma 2), cosa que nos impide suponer el axioma 4, ya que de dos premisas negativas no sale nada. En síntesis, la premisa menor debe ser afirmativa.
Si la premisa menor es afirmativa, entonces el término medio está tomado particularmente
(axioma 2), lo que obliga a que éste sea tomado universalmente en la premisa mayor para no transgredir el axioma 5, luego la premisa mayor debe ser universal (fin demostración).
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Tomando en cuenta lo anterior, queda que los modos silogísticos válidos de la primera figura son:
A E
Barbara A I Darii Celarent A I Ferio
A I E O
La lista completa de los modos silogísticos válidos de cada una de las figuras con sus nombres nemotécnicos correspondientes es la siguiente (no es necesario memorizarla):
• Primera Figura: Barbara, Celarent, Darii y Ferio.
• Segunda Figura: Cesare, Camestres, Festino y Baroco.
• Tercera Figura: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo y Ferison.
• Cuarta Figura: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo y Fresison.
• Primera Figura Indirecta: Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo y Frisesomorum.
Además de estos modos también son válidos los siguientes: Barbari, Celaront, Cesaro, Camestros, Calemos y Celantos (fijarse en que estos seis modos son prácticamente iguales a seis de la lista anterior con la diferencia de que sus conclusiones son particulares y no universales como los originales)
3. Más adelante veremos que estos seis modos (y también otros) presentan problemas al
minuto de ser demostrados por el método de los árboles.
En los nombres de los modos válidos podemos encontrar las “pistas” para demostrar su validez, ya que la mayoría de las consonantes tienen algún significado.
3. Demostración de los modos silogísticos: Para ver si un modo silogístico es válido tenemos dos
opciones: la primera es aplicar las transformaciones vistas anteriormente hasta llegar a un modo de la lista (que ya sabemos que contiene únicamente modos válidos) y la segunda es utilizar la demostración por absurdo.
• Aplicación de transformaciones (o también llamado reducción): esta opción se utiliza más que nada para demostrar la validez de los modos de la lista sin contar los de la primera figura (lo que no excluye la posibilidad de demostrar un silogismo cualquiera no perteneciente a la lista), este método consiste en aplicar todas las transformaciones pertinentes a las premisas de un silogismo hasta llegar a un silogismo de la primera figura (considerada perfecta por Aristóteles). Antes de dar un ejemplo al respecto, hay que señalar el significado que tienen las consonantes en los nombres de los modos válidos, esto con el fin de hacer más fácil las demostraciones y no tener que empezar a buscar cual sería la transformación más conveniente en cada caso.
• S: Conversión simple.
3No olvidar que también existen la segunda, tercera y cuarta figura indirecta, luego la lista anterior se puede
extender aún más.
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• P: Conversión accidental (conversión normal con la diferencia de que si es que se le aplica a una I, esta pasa a ser A y viceversa).
• M: Transposición de premisas (cambiar la menor por la mayor y viceversa).
• C: Demostrar por absurdo.
• Primera consonante: Coincide con la del modo de la primera figura correspondiente.
Estas operaciones se llevan a cabo sobre la premisa que antecede a la operación.
Ejemplos: 1.Demostrar que Bamalip de la IV figura directa es un modo válido:
Podemos ver que hay una “m” que nos indica que cambiemos de puesto las premisas y una “p” que
nos dice que hay que convertir la conclusión y transformarla en una A, luego:
Todo Z es H Todo H es T (la premisa menor pasa a ser la mayor)
Todo H es T => Todo Z es H (la premisa mayor pasa a ser la menor)
Algún T es Z Todo Z es T (se convierte la conclusión y se pasa de I a A)
Hemos llegado a un Barbara, luego el modo Bamalip es válido.
2.Demostrar que Dimatis de la IV figura directa es un modo válido:
En este caso vemos que hay una “m” que nos dice que demos vuelta las premisas y una “s” que nos
indica que debemos convertir la conclusión, luego:
Algún Z es H Todo H es T (la premisa menor pasa a ser la mayor)
Todo H es T => Algún Z es H (la premisa mayor pasa a ser la menor)
Algún T es Z Algún Z es T (se convierte la conclusión)
Hemos llegado a un Darii, luego el modo Dimatis es válido.
• Demostración por absurdo (todos los modos, pertenecientes a la lista o no, son demostrables mediante el uso de este método): Dado un silogismo, se supone que las premisas son verdaderas pero no la conclusión, luego se toma la contradictoria de la conclusión dada y con ella más alguna de las dos premisas tomadas como verdaderas se arma un silogismo de la primera figura, si la conclusión de este nuevo silogismo es contradictoria con la otra premisa (que también se supuso que era verdadera), el silogismo original es correcto.
Ejemplo: Demuestre que Bocardo de la III figura directa es válido:
La única consonante importante aquí es la “c” que nos indica que debemos demostrarlo por
absurdo, luego:
Algún F no es Q
Todo F es R
Algún R no es Q
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Tomamos las premisas como verdaderas más la contradictoria de la conclusión que corresponde a
Todo R es Q, luego armamos un Barbara con la contradictoria de la conclusión y la premisa menor y
vemos que conclusión sale:
Todo R es Q
Todo F es R
Todo F es Q
Como podemos ver, la nueva conclusión contradice a la premisa mayor (tomada como verdadera
anteriormente), luego no puede ser que la contradictoria de la conclusión original sea verdadera, lo
que implica que el silogismo original es válido (ya que si las premisas son tomadas como verdaderas,
la conclusión “Algún R no es Q” es necesariamente verdadera).
1.2.3. Ejercicios
1. Demuestre si es que es posible (especifique en caso de contradicción, contrariedad o subcontrariedad): a) Si Ningún P es Q, entonces algún P es no-Q.
Ningún P es Q (dada) Algún P no es Q (subalternación) Algún P es no-Q (obversión) -> queda demostrado
b) Si Algún P no es S, entonces algún no-S no es P. Algún P no es S (dada) Algún no-S no es no-P (contraposición) Algún no-S es P (obversión) -> no se puede demostrar, subcontrariedad
c) Si Todo S es P, entonces algún no-S no es P. Todo S es P (dada) Todo no-P es no-S (contraposición) Algún no-S es no-P (conversión) Algún no-S no es P (obversión) -> queda demostrado
d) Si Ningún no-gramático es hombre, entonces algunos hombres no son gramáticos. Ningún no-G es H (dada) Ningún H es no-G (conversión) Ningún H no es G (obversión) Todo H es G <- contradicción -> Algún H no es G
2. Complete el cuadro:
Proposición (Sub)Contraria Contradictoria Obversa Conversa (Sub)Alterna Contrapuesta
Algún N es H Algún N no es H
Ningún N es H Algún N no es no-H
Algún H es N
Todo N es H -----
Ningún no-D es T
Todo no-D es T
Algún no-D es T
Ningún no-D no es
Ningún T es no-D
Algún no-D no es T
Algún no-T no es D
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no-T
Todo no-V es H
Ningún no-V es H
Algún no-V no es H
Ningún no-V es no-H
Algún H es no-V
Algún no-V es H
Todo no-H es V
Algún A no es no-B
Algún A es no-B
Todo A es no-B
Algún A es B
----- Ningún A es no-B
Algún B no es no-A
3. Si es posible, distinga relaciones de oposición (contradicción, contrariedad y subcontrariedad) en el siguiente conjunto de proposiciones.
T= {Ningún S es no-P, Algún S es no-P, Algún S es P, Ningún S es P}
De izquierda a derecha: - La primera y la segunda son contradictorias. - La segunda y la tercera son subcontrarias (Algún S es no-P � Algún S no es P por
obversión) - La primera y la última son contrarias (Ningún S es no-P � Todo S es P por obversión) - La tercera y la cuarta son contradictorias.
4. Determine si los siguientes silogismos son válidos. Si no lo son, establezca según los axiomas
vistos la razón de su invalidez: a) Algún S no es P
Todo P es H Algún H no es S Falla el axioma 3
b) Algún C no es T Todo P es C Algún P no es T
Falla el axioma 5
c) Algún G es M Ningún M es Y Algún G no es Y
Válido, Frisesomorum de la IV indirecta
d) Algún notario es abogado Ningún cirujano es notario Algún cirujano no es abogado Falla el axioma 3
e) Todo civil es miembro del consejo Algunos marinos son miembros del consejo Algunos marinos son civiles Falla el axioma 5
5. ¿Por qué en la III figura la conclusión de los silogismos válidos tiene que ser siempre particular?
Supongamos que es universal y no particular, esto implica que el término menor están tomado universalmente en la conclusión, luego, por el axioma 3, la premisa menor debe ser negativa, lo
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que implica que la conclusión también lo es (axioma 1), luego el término mayor está tomado universalmente en la conclusión, entonces la premisa mayor deberá ser negativa también (axioma 5), luego esto es imposible ya que de dos premisas negativas no sale nada (axioma 4).
6. ¿Por qué en la II figura la premisa mayor de los silogismos válidos tiene que ser siempre
universal? Supongamos que la mayor es particular, luego la conclusión debe ser positiva y particular (axioma 3 y 1), por lo tanto ninguna de las dos premisas puede ser negativa, luego falla el axioma 5 ya que el término medio nunca es tomado universalmente.
7. Explique por qué en la primera figura indirecta la conclusión es particular a pesar de que la primera premisa sea universal positiva y la segunda premisa universal. Al ser la primera premisa universal positiva, el termino mayor T está tomado particularmente, y como en la conclusión T es el sujeto, ésta debe ser particular para no violar el tercer axioma.
8. Basándose en el análisis de las cuatro figuras directas, explique, mediante el uso de axiomas, por qué de dos premisas particulares nunca se puede concluir nada.
Iº IIº IIIº IVº m T T m m T T m t m t m m t m t t T t T t T t T
Si es que las premisas son particulares: En el caso de I° esto implica que la segunda premisa sea negativa, lo que se traduce en que T está tomado universalmente en la conclusión, y para que eso sea posible es necesario que la premisa mayor sea también negativa, luego falla el cuarto axioma. En el caso de II°, es necesario que al menos una premisa sea negativa, lo que implica que T esté tomado universalmente en la conclusión, fallando el axioma tres. Para III°, simplemente falla el axioma cinco. Para IV°, sería necesario que la premisa mayor sea negativa, lo que implica que T esté tomado universalmente en la conclusión, fallando el tercer axioma.
9. Determine la figura y el modo de los siguientes silogismos:
a) Todo profesor es estimado
Todo profesor es justo Algunos justos son estimados Darapti, III
b) Ningún dinosaurio es herbívoro Algunos herbívoros son hippies Algunos hippies no son dinosaurios Fresison, IV
c) Todo incompetente es bien visto Ningún bien visto es demasiado estúpido Algún incompetente no es demasiado estúpido Fapesmo, IV indirecta
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10. a) Determine si el siguiente silogismo es correcto. Identifique su figura y su modo (en caso de que no tenga nombre, nómbrelo usted mismo procurando el uso correcto de las letras utilizadas): Toda persona que cree que las prescripciones de la tercera figura indirecta son prácticamente las mismas que las de la tercera figura directa es inteligente. Toda persona que es inteligente es una persona que tiene buena esta pregunta. Toda persona que cree que las prescripciones de la tercera figura indirecta son prácticamente las mismas que las de la tercera figura directa es una persona que tiene buena esta pregunta. Corresponde a un AAA de la cuarta figura indirecta (lo podríamos llamar Bamara). b) ¿Es verdadera la conclusión del silogismo anterior?¿Por qué? Es verdadera, ya que la tercera figura indirecta corresponde a la tercera directa con las premisas intercambiadas.
11. Dadas las siguientes proposiciones, construya un silogismo conclusivo de la segunda figura: Algún animal es sabio, Algún animal no es hombre y Ningún hombre es sabio. Ningún hombre es sabio Algún animal es sabio Algún animal no es hombre Festino
12. Dados “trilátero” y “triángulo”, términos mayor y menor respectivamente. Construya un silogismo válido con conclusión negativa. Ninguna figura geométrica es un trilátero Todo triángulo es una figura geométrica Ningún triángulo es trilátero Celarent
13. Dando un ejemplo, muestre que la subalternación puede ser equivalente a “obversión +
conversión + obversión + contraposición”. Ningún A es B Ningún A no es no-B (obversión) Todo A es no-B (inferencia inmediata) Algún no-B es A (conversión) Algún no-B no es no-A (obversión) Algún A no es B (contraposición)
14. Reduzca o transforme los siguientes silogismos a uno de la primera figura (especifique claramente los pasos): a) Algún pescado es hipócrita
Todo pescado es infiel Algún infiel es hipócrita Disamis, conversión simple en la premisa mayor y en la conclusión, luego se intercambian las premisas � Darii
b) Todo colchón de pluma es un artículo de cocina Ningún hombre es un colchón de pluma
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Algún artículo de cocina no es hombre Fapesmo, conversión accidental en la mayor y simple en la menor, luego se intercambian las premisas � Ferio
c) Ningún torero es masculino Toda mujer es masculina Ninguna mujer es torero Cesare, conversión simple en la mayor� Celarent
d) Algún asesino es químico Ningún delfín es químico Algún asesino no es delfín Claramente este silogismo no es conocido, pero si lo analizamos podemos ver que es válido y que es de la segunda figura indirecta. Un nombre apropiado para este silogismo es “Fimeso”, ya que luego de aplicar una conversión simple en la menor, y luego de intercambiar las premisas obtenemos un Ferio.
e) Todo astronauta es miedoso Ningún presidente es miedoso Ningún astronauta es presidente Al igual que en el ejercicio anterior este silogismo corresponde a un modo válido de la segunda figura indirecta. Un nombre apropiado sería “Camese”, ya que luego de aplicar una conversión simple en la menor, y luego de intercambiar las premisas obtenemos un Celarent.
15. En este caso, transforme el siguiente silogismo en uno de la primera figura indirecta (recuerde
especificar los pasos). Todo Y es X Ningún Z es X Ningún Y es Z Este modo corresponde a un modo válido de la segunda figura indirecta (“Camese”, es fácil nombrar este modo debido a que se deben usar las mismas letras que para un Cesare más una m para intercambiar las premisas), luego es claro que tenemos que transformarlo en un modo de la primera figura directa y luego convertir la conclusión para así llegar a uno de la primera figura indirecta, es decir: Todo Y es X Ningún X es Z Ningún Z es X �convertimos la menor y trasponemos � Todo Y es X Ningún Y es Z Ningún Y es Z (Celarent I° directa) Y una vez convertida la conclusión (Ningún Y es Z � Ningún Z es Y), llegamos a un Celantes de la I° figura indirecta, que es lo que nos piden.
16. Siguiendo con el ejercicio anterior, si tuviera que nombrar el silogismo de tal manera que el nuevo nombre entregue información suficiente como para transformarlo en un modo de la primera figura indirecta, ¿cómo lo nombraría? Cameses.
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17. Demuestre por absurdo los siguientes silogismos: a. Algún racista no es vegetariano
Todo inmortal es vegetariano Algún racista no es inmortal Tomamos las premisas como verdaderas más la contradictoria de la conclusión que corresponde a Todo R no es I, luego armamos un Barbara con la contradictoria de la conclusión y la premisa menor: Todo I es V Todo R no es I Todo R es V � contradice a Algún R no es V �El argumento inicial es válido
b. Algún no-mapache es ave de rapiña Todo no-mapache es no-mamífero Algún no-mamífero es ave de rapiña Disamis Tomamos las premisas como verdaderas más la contradictoria de la conclusión que corresponde a Ningún no-M es A, luego armamos un Celarent con la contradictoria de la conclusión y la premisa menor: Ningún no-M es A Todo no-P es no-M Ningún no-P es A � contradice a Algún no-P es A �El argumento inicial es válido
c. Alguna ballena no es cantante Toda ballena es compositora Algún compositor no es cantante
Bocardo Tomamos las premisas como verdaderas más la contradictoria de la conclusión que corresponde a Todo C es A, luego armamos un Barbara con la contradictoria de la conclusión y la premisa menor: Todo C es A Todo B es C Todo B es A � contradice a Algún B no es A �El argumento inicial es válido
d. Todo lógico es conocedor del más allá Algún matemático no es conocedor del más allá Algún matemático no es lógico Baroco Tomamos las premisas como verdaderas más la contradictoria de la conclusión que corresponde a Todo M es L, luego armamos un Barbara con la contradictoria de la conclusión y la premisa mayor: Todo L es C Todo M es L Todo M es C � contradice a Algún M no es C �El argumento inicial es válido
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18. Construya un modo válido que no aparezca en la lista y demuéstrelo por algún medio lógico. Barbari (o cualquiera de los nombrados en la página 10 o cualquiera de todos los modos válidos de las figuras indirectas).
19. Si es posible formule un modo válido de la cuarta figura que tenga sus dos premisas universales afirmativas. Sí se puede, es cosa de tomar un Barbara y luego cambiar de posición las premisas, de esta manera queda un modo válido de la cuarta figura indirecta.
20. A partir de los siguientes principios deduzca cuatro teoremas o consecuencias universales: (i) Todo acto de libertad es una acto racional; (ii) Todo acto racional tiene un fin abstracto; (iii) Ningún acto racional tiene una causa física. Celarent(3,1) = Ningún acto de libertad es causado físicamente. Barbara(2,1) = Todo acto de libertad es un acto racional. (4) Barbara(2,4) = Todo acto de libertad tiene un fin abstracto. Calemes(1,3) = Ningún acto causado físicamente es un acto de libertad.
21. Descubra usted mismo cuales son todos los modos válidos de la IIa, IIIa o IVa figura indirecta, demuéstrelos usando los axiomas, luego demuéstrelos por absurdo y por último nómbrelos usando las consonantes indicadas para luego poder reducirlo a un modo de la primera figura mecánicamente. Descubriremos los modos válidos de la IIa indirecta, luego:* En la segunda indirecta la premisa menor debe ser siempre universal y alguna de las dos premisas debe ser negativa (por lo tanto la conclusión también lo será). Demostración: Supongamos que la segunda premisa no es universal, luego el término menor está tomado particularmente, por axioma 3 la conclusión deberá ser afirmativa, lo que implica que ninguna de las premisas es negativa, cosa que no puede ser ya que de ser así el término medio no estaría tomado universalmente en ninguna de las dos premisas (falla el axioma 5). De lo anterior se extrae que la segunda premisa debe ser universal y que alguna de las dos premisas debe ser negativa, lo que, por axioma 1, implica que la conclusión también deberá ser negativa. Por lo tanto los modos válidos son: Camese, Cesare, Fimeso y Bocalo. Además de estos podemos agregar Cameso y Cesaros que no son más que Camese, y Cesare con las conclusiones particulares. Importante es hacer notar que todas las consonantes fueron escogidas de tal manera que los modos encontrados se puedan reducir a uno de la primera figura directa. Respuestas: IIa Indirecta: AE/E, EA/E, IE/O, OA/O, AE/O, EA/O. IIIa Indirecta: AI/I; AO/O; IA/I; IE/O;AA/I;AE/O. IV Indirecta: AA/A, AE/E, IA/I IE/O, AA/I, AE/O. *Notar que encontrar los modos válidos de cualquier figura indirecta es muy fácil, ya que los de la primera indirecta corresponden a los de la cuarta directa con las premisas transpuestas, los de la segunda indirecta a los de la segunda directa con las premisas transpuestas, los de la tercera indirecta a los de la tercera directa con las premisas transpuestas y los de la cuarta indirecta a los de la primera directa con las premisas transpuestas, luego las prescripciones de todas las figuras indirectas ya son conocidas.
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1.3. Demostración por árboles
1.3.1. Método
En esta parte se explicará mecánicamente y a través de ejemplos la demostración por árboles (cuya
gracia es la de poder demostrar la validez de argumentos de más de dos premisas), ya que para entenderla a cabalidad es necesario un poco más de matemática, la cual adquirirán hacia finales del curso (tranquilícese, no es nada de otro mundo, simplemente es aprender un nuevo lenguaje simbólico).
La demostración por árboles se basa en la demostración por absurdo, y consiste en ir descargando
(esto se explica más abajo) las premisas del silogismo en cuestión más la contradictoria de la conclusión, si en una misma rama del árbol se encuentra, por ejemplo, P y no-P, la rama del árbol se cierra y no sigue creciendo. Si es que el árbol completo se cierra significa que el argumento inicial es válido (una explicación más satisfactoria sobre la validez de este método se dará en la parte de lógica matemática del curso) mientras que si el árbol no se cierra por completo, significa que el argumento inicial no es válido ya que el conjunto contraejemplo (las premisas del argumento más la contradictoria de la conclusión) puede ser válido bajo ciertas condiciones.
¿Cómo se descarga cada proposición canónica?:
A: Todos S es P E: Ningún S es P I: Algún S es P O: Algún S no es P no-S P no-S no-P S,P S, no-P ¿En qué orden es más conveniente descargar las premisas del argumento?
Siempre es más conveniente descargar primero las premisas particulares y luego las universales ya
que de este modo es menos engorroso el proceso.
Uso de las letras minúsculas: Cada vez que se descarga una proposición particular se debe descargar agregando una letra minúscula que no esté en las ramas del árbol, mientras que si se descarga una proposición universal esta se debe descargar acompañada de cada una de las letras que hayan aparecido en el árbol (o sea que las proposiciones universales se descargan tantas veces como letras minúsculas hayan), por ejemplo, si ya apareció la letra “a” y la letra “c” (sin importar cual apareció primero o después) y nos toca descargar “Todo S es P” debemos hacer lo siguiente:
Todo S es P
no-Sa Pa no-Sc Pc no-Sc Pc
Es por este motivo que es más conveniente descargar las proposiciones particulares antes que las universales, ya que de esta manera, para cuando nos toque descargar las universales, ya sabremos cuantas veces y con qué letras minúsculas la tendremos que descargar.
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Otra cosa muy importante es tener en cuenta que cada vez que se descarga una premisa, esta debe ser descargada en cada una de las ramas que se encuentren abiertas debajo de ella.
1.3.2. Precaución de Aristóteles
En la sección 1.2.2. se mencionó brevemente que había modos silogísticos válidos que tenían problemas al ser demostrados por el método de los árboles. Estos modos corresponden a aquellos en los que se toma universalmente algún término en las premisas y luego particularmente en la conclusión y también aquellos en los que el término medio siempre está tomado universalmente (como por ejemplo Darapti, Felapton y Fesapo). A través de un ejemplo veremos cuál es la llamada precaución de Aristóteles que hay que tomar al minuto de descargar este tipo de argumentos. Ejemplo: Tomemos un Barbari (que corresponde a un Barbara de la Iª figura directa con su conclusión
subalternada) y tratemos de demostrar su validez con el método de los árboles.
Todo m es T
Todo t es m
Algún t es T
Negamos la conclusión, quedándonos el conjunto contraejemplo dado por Todo m es T, Todo t es m y
Ningún t es T. Procedemos a descargar el árbol.
Todo m es T
Todo t es m
Ningún t es T
no-m T
no-t m no-t m
no-t no-T no-t no-T no-t no-T
Como podemos ver han quedado cuatro ramas abiertas en el árbol, lo que indica que el argumento
inicial no es válido. Para solucionar este problema basta con declarar al principio todas las variables
que son tomadas universalmente en las premisas y particularmente en la conclusión, en este caso
tenemos que el término menor “t” está tomado universalmente en las premisas y tomado
particularmente en la conclusión, luego sólo debemos declarar “t” al principio del árbol, es decir:
t
Todo m es T
Todo t es m
Ningún t es T
no-m T
no-t m no-t m
no-t no-T
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De esta manera el árbol se cierra y la validez del argumento queda probada.
Mediante varios ejemplos se aclarará un poco más cómo es el proceso de demostración por
árboles, el cual deben aprender a utilizar mecánicamente por ahora.
Ejemplos:
1. Algún F no es Q
Todo F es R
Algún R no es Q
Tomamos la contradictoria de la conclusión y armamos un nuevo argumento:
Algún F no es Q
Todo F es R
Todo R es Q
Procedemos a descargar partiendo por las particulares y luego las universales:
Algún F no es Q
Todo F es R
Todo R es Q
(descarga de Algún F no es Q)
Fa
(descarga de Todo F es R)
no-Fa Ra
(descarga de Todo R es Q)
no-Ra Qa
Como podemos ver, todas las ramas se cierran (ya que en una aparece Fa y no-Fa, en otra no-Ra y
Ra y en la última no-Qa y Qa), luego el argumento original es válido ya que el conjunto
contraejemplo es inconsistente.
2. Algún M no es A
Algún R no es M
Todo M es G
Algún R no es A
Tomamos la contradictoria de la conclusión y armamos un nuevo argumento:
Algún M no es A
Algún R no es M
Todo M es G
Todo R es A
Procedemos a descargar partiendo por las particulares y luego las universales:
Algún M no es A
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Algún R no es M
Todo M es G
Todo R es A
(descarga de Algún M no es A)
Ma
no-Aa
(descarga de Algún R no es M)
Rb
no-Mb
(descarga de Todo M es G)
no-Ma Ga
no-Mb Gb
(descarga de Todo R es A)
no-Rb Ab no-Rb Ab
no-Ra Aa no-Ra Aa
Como quedan dos ramas abiertas el argumento inicial es inválido, ya que el árbol de su conjunto
contraejemplo no se cerró completamente.
3. Ningún T es H
Algunos H son G
Algunos G no son T
Tomamos la contradictoria de la conclusión y armamos un nuevo argumento:
Ningún T es H
Algunos H son G
Todo G es T
Procedemos a descargar partiendo por las particulares y luego las universales:
Ningún T es H
Algunos H son G
Todo G es T
(descarga de Algunos H son G)
Hb
Gb
(descarga de Ningún T es H)
no-Tb no-Hb
(descarga de Todo G es H)
no-Gb Tb
Como todas las ramas se cierran podemos decir que el argumento inicial es válido (cosa que no es
rara ya que se trata de un Fresison de la IV figura).
4. Algún C no es E
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Algún E no es C
Algún C es E
Todo C es A
Algún A no es E
Tomamos la contradictoria de la conclusión y armamos un nuevo argumento:
Algún C no es E
Algún E no es C
Algún C es E
Todo C es A
Todo A es E
Procedemos a descargar partiendo por las particulares y luego las universales:
Algún C no es E
Algún E no es C
Algún C es E
Todo C es A
Todo A es E
(descarga de Algún C no es E)
Ca
no-Ea
(descarga de Algún C no es E)
Eb
no-Cb
(descarga de Algún C es E)
Cc
Ec
(descarga de Todo C es A)
no-Ca Aa
no-Cb Ab
no-Cc Ac no-Cc Ac
(descarga de Todo A es E)
no-Aa Ea no-Aa Ea
(como se cerró todo, no es necesario seguir descargando Todo A es E con las letras minúsculas que
faltan)
Como todas las ramas se cierran podemos decir que el argumento inicial es válido.
1.3.3. Ejercicios
1. Mediante el método de los árboles demuestre la validez o invalidez de los siguientes silogismos: a) Todo C es X
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Algún X es M Ningún M es B Algún C no es B Tomamos la contradictoria de la conclusión (Todo C es B) y armamos un nuevo silogismo: Todo C es X Algún X es M Ningún M es B Todo C es B Procedemos a descargar:
Todo C es X Algún X es M
Ningún M es B Todo C es B
Xa Ma
no-Ca Pa no-Ma no-Ba no-Ma no-Ba no-Ca Ba no-Ca Ba Argumento inicial es inválido.
b) Algún Y no es G Algún G no es Y Algún Y es G Todo Y es T Algún T es G Tomamos la contradictoria de la conclusión (Ningún T es G) y armamos un nuevo silogismo: Algún Y no es G Algún G no es Y Algún Y es G Todo Y es T Ningún T es G Procedemos a descargar:
Algún Y no es G Algún G no es Y
Algún Y es G Todo Y es T
Ningún T es G
Ya no-Ga
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Gb
no-Yb
Yc Gc
no-Ya Ta no-Yb Tb no-Yc Tc no-Yc Tc no-Ta no-Ga no-Ta no-Ga
El conjunto contraejemplo es consistente, luego el argumento inicial es inválido.
2. Trate de demostrar la validez de un Bamalip o de un Barbari mediante el método de los árboles, si no es posible, explique por qué no se puede según lo discutido en clases. Barbari Todo M es P Todo C es M Algún C es P Tomamos la contradictoria de la conclusión (Ningún C es P) y armamos un nuevo silogismo: Todo M es P Todo C es M Ningún C es P Procedemos a descargar:
Todo M es P Todo C es M
Ningún C es P
no-M P
no-C M no-C M
no-C no-P no-C no-P no-C no-P
Que el conjunto contraejemplo sea consistente (aunque sabemos que Barbari es un modo válido) se debe a que las proposiciones universales no implican existencia, mientras que las particulares si lo hacen. Para hacer que el árbol se cierre por completo hay que tomar la “precaución de Aristóteles”, que consiste en agregar a las ramas del árbol los sujetos que fueron tomados universalmente en las premisas y particularmente en la conclusión, en este caso hay que agregar C, luego:
C Todo M es P Todo C es M
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Ningún C es P
no-M P
no-C M no-C M
no-C no-P Ahora sí queda demostrado que Barbari es un modo válido ya que el árbol se cerró por completo.
3. Reconozca el siguiente silogismo y trate de demostrarlo con el método de árboles considerando la
precaución de Aristóteles.
Todo millonario es manco Todo millonario es feo Algunos feos son mancos Darapti Tomamos la contradictoria de la conclusión (Ningún F es A) y armamos un nuevo silogismo: Todo M es A Todo M es F Ningún F es A Procedemos a descargar:
Todo M es A Todo M es F
Ningún F es A no-M A no-M F no-M F no-F no-A no-F no-A no-F no-A no-F no-A
Como podemos ver el conjunto contraejemplo es consistente, pero si miramos bien el silogismo nos daremos cuenta de que se trata de un Darapti (silogismo válido), luego si tomamos la “precaución de Aristóteles” e instanciamos M (el término medio que está tomado universalmente en las dos premisas) pasará que se cerraran todas las ramas que quedan. Luego el silogismo inicial es válido (considerando la precaución de Aristóteles)
4. Determine la validez o invalides del siguiente argumento, y luego, en el caso de que sea válido,
identifique cuál o cuáles premisas son irrelevantes para llegar a la conclusión dada.
Todo A es B, Algún F es C, Todo F es A, Todo C es A, Ningún C es B. Por lo tanto Todo C es B.
Todo A es B (1) Algún F es C (2) Todo F es A (3) Todo C es A (4)
Ningún C es B (5)
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Algún C no es B (contradictoria de la conclusión) (6)
(descarga de 6) C,no-B
(descarga de 1) no-A B
(descarga de 4) no-C A
Por lo tanto el argumento inicial es válido y claramente sobran las premisas 2,3 y 5, ya que con las premisas 1 y 4 se puede hacer un modo válido de la cuarta figura indirecta cuya conclusión es Todo C es B.
5. Complemente el trabajo hecho en el ejercicio 21 de la sección 1.2.3. y demuestre mediante árboles
los silogismos descubiertos por usted.
2. Lógica Matemática
2.1. Nociones básicas
2.1.1. Definiciones
1. Argumento correcto: un argumento es correcto sí y sólo sí no es posible que las premisas sean
verdaderas y su conclusión falsa.
Ejemplo: Si llueve entonces me mojo
Llueve
Me mojo
Aquí se ve claramente que es imposible que siendo las dos premisas verdaderas la conclusión sea
falsa.
2. Argumento incorrecto: un argumento es incorrecto si es que hay al menos una situación o
interpretación en que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
Ejemplo: Si llueve entonces me mojo
Me mojo
Llueve
Para este caso particular, perfectamente uno se podría mojar por otro motivo aparte de la lluvia,
luego concluir que llueve a partir de las dos premisas expuestas no es válido (ambas premisas
pueden ser verdaderas y la conclusión falsa).
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3. Conjunto de oraciones satisfactible: un conjunto de oraciones es satisfactible o consistente si es que hay al menos una situación en que todas las oraciones del conjunto son verdaderas a la vez. Ejemplos: {llueve, hace calor} → conjunto satisfactible.
{hace calor, si llueve hace frio, llueve} → conjunto insatisfactible (entendiendo “hace frio” como lo
opuesto a “hace calor”).
Hay que notar un detalle importante en esas definiciones, el cual generalmente causa confusión:
que un argumento sea correcto no significa que su conclusión sea verdadera, sólo implica que el argumento está bien hecho, es decir, que dadas las premisas asentadas, la conclusión se sigue de ellas.
2.1.2. Ejercicios
1. Determine cuáles de los siguientes argumentos son correctos y explique por qué lo son (¡aplique la definición!): a) Esa flor es roja
Esa flor no es roja Marte es el planeta rojo Correcto (de una contradicción se sigue cualquier cosa), ya que al tratarse de una contradicción, no existe caso alguno en el que las dos premisas sean verdaderas y la conclusión falsa (ya que nunca las premisas pueden ser verdaderas a la vez).
b) __________________ Mañana tomaré el metro o no tomaré el metro Correcto (no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, ya que no hay premisas y además la conclusión es siempre verdadera).
c) Todos los elefantes que son oriundos de Australia son elefantes Todos los elefantes que son oriundos de Australia son oriundos de Australia Algunos elefantes son oriundos de Australia Incorrecto (en estricto rigor nunca se habla de la existencia de los elefantes oriundos de Australia).
d) Todos los hombres que ven nuevos esquemas en cosas familiares son inventores Todos los hombres que ven nuevos esquemas en cosas familiares son excéntricos Todos los inventores son excéntricos. Incorrecto (fácil de corroborar con diagramas de conjuntos).
e) Todos los senadores son viejos Todos los octogenarios son senadores Todos los octogenarios son viejos Correcto.
2. Dé un ejemplo de un argumento correcto con conclusión falsa y luego de un argumento incorrecto con conclusión verdadera.
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Argumento correcto: Si los monos vuelan entonces los chanchos hablan Los monos vuelan Los chanchos hablan Que un argumento sea correcto no implica que la conclusión de este sea siempre verdadera, sólo implica que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también debe serlo.
Argumento incorrecto:
Si el ser humano es mortal entonces el cielo es celeste El cielo es celeste El ser humano es mortal Mismo argumento anterior.
2.2. Lenguaje L
2.2.1. Definiciones
1. Símbolos:
Conjunción Disyunción Implicación Bicondicional Negación
Y o Si…entonces… Sí y sólo sí no Letras proposicionales (oraciones)
� � → ↔ ¬ p,q,r,s,p1,p2,q1,q2,etc…
Ejemplos: Si mañana llueve entonces saltaré = (mañana llueve → saltaré)
Si salto o me caigo, entonces comeré y celebraré = ((salto v me caigo) → (comeré ^ celebraré))
2. Sintaxis de L:
Una oración de L es una expresión construida con las siguientes reglas:
• Toda letra proposicional es una oración.
• Si ψ es oración entonces ¬ψ también lo es.
• Si ψ y φ son oraciones entonces (ψ^φ), (ψνφ), (ψ→φ) y (ψ↔φ) son oraciones.
Ejemplo: Determine si las siguientes expresiones son fórmulas válidas de L o no:
a) ((p→(¬qνr)) ^p)
Sí lo es.
b) ((pν(¬(¬q^p)))→(¬(¬q) νp))
Sí lo es.
c) (p→¬(q ν r)
No lo es, ya que falta un paréntesis al final, en cambio (p→¬(q ν r)) sí lo es.
d) ((q^rvp)↔s)
No lo es, ya que faltan paréntesis en el lado izquierdo del ↔. Tanto (((q^r)vp)↔s) como ((q^(rvp))
↔s) sí son expresiones válidas de L.
e) (p→)
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No lo es, ya que no significa nada.
3. Tablas de verdad: Dado un valor de verdad (verdadero o falso) para un par de letras proposicionales p y q (no olvidemos que una letra proposicional representa una oración), es necesario saber cuál es el valor de verdad que adoptan expresiones como (pvq), (p→q), (p↔q) y (p^q). En la siguiente tabla de verdad podemos ver resumida dicha información.
Para entender un poco más de donde provienen los valores mostrados en la tabla analizaremos los casos de (p→q) y (p↔q). Supongamos que p corresponde a la oración “Sócrates es filósofo” y que q corresponde a “Joey DeFrancesco toca muy bien el órgano Hammond” y ahora consideremos las oraciones (1) “si Sócrates es filósofo entonces Joey DeFrancesco toca muy bien el órgano Hammond” y (2) “Sócrates es filósofo sí y sólo sí Joey DeFrancesco toca muy bien el órgano Hammond” para luego ver qué valores de verdad adoptan cuando cambiamos los valores de verdad de las proposiciones p y q. Analicemos por casos:
• p y q verdaderos: En este caso claramente se cumple tanto (1) como (2) (ambos son verdaderos), ya que si se cumple que Sócrates es filósofo, según (1) y (2) también debiese ser verdadero que Joey DeFrancesco toca muy bien el órgano Hammond (que es justamente lo que ocurre ya que q es verdadero).
• p verdadero y q falso: Según (1) si p es verdadero entonces q debe ser verdadero, pero como en este caso p es verdadero y q es falso no puede ser que (p→q) sea verdadero (o sea que es falso). Para el caso de (2) ocurre lo mismo, ya que (2) implica que: o los dos son verdaderos o los dos son falsos, luego basta que p y q tengan valores de verdad distintos para decir que (p↔q) es falso.
• p falso y q verdadero: Si suponemos que efectivamente Joey DeFrancesco toca muy bien el órgano Hammond, según (1) esto no implica nada con respecto a la calidad de filósofo de Sócrates, por lo tanto podemos decir que (1) es verdadero. En este caso (2) es falso por el mismo motivo explicado en el punto anterior.
• p y q falsos: Si Sócrates no es filósofo y Joey DeFrancesco toca muy mal el órgano Hammond la expresión (1) se sigue cumpliendo, luego (1) es verdadero. Para el caso de (2) tenemos que la expresión es falsa por el motivo ya explicado en el segundo punto.
En resumen tenemos que la expresión (p→q) es verdadera cuando p es falso o cuando q es
verdadero (es exactamente equivalente a la expresión (¬pvq)), mientras que (p↔q) es verdadera cuando los valores de verdad de p y q son iguales. Esquemáticamente:
(p→q)
(es verdadero cuando ocurre no-p o q) ¬p q
(p↔q)
(es verdadero cuando ocurre p y q o no-p y no-q) p,q ¬p,¬q
p q (pνq) (p^q) (p→q) (p↔q)
V V V V V V
V F V F F F
F V V F V F
F F F F V V
r ¬r
V F
F V
32
Dentro del contexto de las tablas de verdad es importante explicar lo que es una valuación,
ya que justamente lo que uno hace en una tabla de verdad es ver los distintos valores de verdad que adopta una expresión para todas las valuaciones posibles. Si tomamos la proposición X: (p→q), una valuación v(.) cualquiera sería por ejemplo p verdadero y q verdadero, luego v(X) también sería verdadero; ahora si tomamos la valuación v’(.) donde p es verdadero y q falso, tenemos que v’(X) es falso.
Ejemplos: Complete las siguientes tablas y en caso de que sea posible encuentre una expresión simplificada del
argumento:
a)
p q ((p→q) ^ (q→p)) ((pνq) ^ ¬ (q^p))
V V V F
V F F V
F V F V
F F V F
El primer argumento es igual a (p↔q) y el segundo a ¬(p↔q)
b)
p q r ((p→q)ν (r→¬p)) (((p^q) ^r) → ((p^q) νr))
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F V V
F V V V V
F V F V V
F F V V V
F F F V V
El primer argumento es igual a (¬pvqv¬r) y el segundo corresponde a una tautología.
4. Consecuencia lógica: una oración ψ es consecuencia lógica de las premisas φ1, φ2, φ3,…, φn si toda valuación que asigna V (verdadero) a φ1, φ2, φ3,…, φn también asigna V a ψ. Dicho de otra manera, una oración es consecuencia lógica de un conjunto de oraciones cuando corresponde a la conclusión de un argumento correcto.
Ejemplo: Determine en los siguientes casos si la premisa propuesta es o no consecuencia lógica del conjunto
de premisas.
a) ¿Es (¬q→¬p) consecuencia lógica de (p→q)?
Sí lo es, ya que siempre cuando (p→q) es verdadero (¬q→¬p) también lo es. Además en este caso
particular ambas premisas resultan ser equivalentes (esto no ocurre siempre).
p q (p→q) (¬q→¬p)
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
33
b) ¿Es (((p→q) ^ (q→p)) →((pνq) ^ ¬ (q^p))) consecuencia lógica de (¬q→¬p)? No lo es, ya que mirando la tabla uno se puede percatar de que hay dos casos (marcados en rojo) en los
que (¬q→¬p) es verdadero y (((p→q) ^ (q→p)) →((pνq) ^ ¬ (q^p))) no lo es. También hay otros casos
donde se cumple que cuando el antecedente es verdadero el consecuente también lo es, pero esto no
importa debido a que basta que haya un solo caso que falle para determinar que no hay consecuencia
lógica.
p q (¬q→¬p) ((p→q) ^ (q→p)) ((pνq) ^ ¬ (q^p)) (((p→q) ^ (q→p))→((pνq) ^ ¬ (q^p)))
V V V V F F
V F F F V V
F V V F V V
F F V V F F
2.2.2. Ejercicios 1. Determine cuáles de las siguientes sucesiones de símbolos son fórmulas bien formadas, en sentido
estricto, de L. Justifique su respuesta en caso de que no lo sean:
a) (pvqvrvs) Bien formada.
b) ¬(((¬¬¬p1→q)^(r↔r1))vq21) Bien formada.
c) ¬(¬(¬(¬(¬(¬(r→q)))))) Bien formada.
d) (((p→q) ^ (q→p)) →(pνq) ^ ¬ (q^p))) Mal formada, la expresión correcta es (((p→q) ^ (q→p)) → ((pνq) ^ ¬ (q^p)))
2. Traduzca los siguientes argumentos a lenguaje L (lógica proposicional):
a) Si Sócrates es músico entonces Brian Auger es filósofo.
Sócrates no es músico. Brian Auger no es filósofo. (p→q) ¬p ¬q p: Sócrates es músico q: Brian Auger es filósofo
b) Compraré entradas para el concierto de Yes sí y sólo sí Chris Squire viene con ellos. Si el estadio es grande entonces vendrá Chris Squire o lloverá mucho el día del concierto. El estado es grande y no lloverá mucho el día del concierto. Es falso que no compraré entradas para el concierto de Yes. (p↔q) (r→(qvs)) (r^¬s) p p: Compraré entradas para el concierto de Yes
34
q: Chris Squire vendrá con Yes r: El estadio es grande s: Lloverá mucho el día del concierto
c) Todo músico es poseedor de buen gusto Todo organista es músico Todo organista es poseedor de buen gusto p q r p: Todo músico es poseedor de buen gusto q: Todo organista es músico r: Todo organista es poseedor de buen gusto En este caso uno podría cometer el error de traducir las premisas de la siguiente manera: Si alguien es músico entonces es poseedor de buen gusto (p→q) Si alguien es organista entonces es músico (r→p) Si alguien es organista entonces es poseedor de buen gusto (r→q) p: músico q: poseedor de buen gusto r: organista El error cometido aquí es que las letras proposicionales deben utilizarse para representar oraciones (algo que pueda ser verdadero o falso).
3. Tome los tres argumentos del ejercicio anterior y mediante el uso de tablas de verdad determine si
es que son argumentos correctos o no. a)
p q (p→q) ¬p ¬q
V V V F F
V F F F V
F V V V F
F F V V V
Como podemos ver el argumento no es correcto, ya que hay un caso en que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa.
b)
p q r s (p↔q) (r→(qvs)) (r^¬s) p
V V V V V V F V
V V V F V V V V
V V F V V V F V
V V F F V V F V
V F V V F V F V
V F V F F F V V
V F F V F V F V
V F F F F V F V
F V V V F V F F
F V V F F V V F
35
F V F V F V F F
F V F F F V F F
F F V V V V F F
F F V F V F V F
F F F V V V F F
F F F F V V F F
Como podemos ver el argumento es correcto, ya que siempre que las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es.
c)
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Según la tabla de verdad el argumento no es correcto, pero la verdad es que eso no es cierto y la falla se debe a la negligente traducción del argumento. Esto deja en evidencia la necesidad de un lenguaje que nos permita representar cuantificadores y oraciones como las oraciones canónicas (como el lenguaje L1 que veremos más adelante).
4. Clasifique las siguientes expresiones de L como contradicciones, tautologías o contingencias: a) (p→p)
p (p→p)
V V
F V
Tautología.
b) ((pvq)↔(qvp))
p q ((pvq)↔(qvp))
V V V
V F V
F V V
F F V
Tautología.
c) ((p^q)→p)
p q ((p^q)→p)
V V V
V F V
F V V
F F V
36
Tautología.
d) (p^(q^(r^s))) Contingencia. No es necesario hacer la tabla de verdad, al ojo para {p,q,r,s}={V,V,V,V} la expresión es verdadera, mientras que para la valuación {p,q,r,s}={V,V,F,V} la expresión es falsa.
e) (p↔¬p)
p (p↔¬p)
V F
F F
Contradicción.
f) (¬(p→q)→¬q)
p q (¬(p→q)→¬q)
V V V
V F V
F V V
F F V
Tautología.
5. Comente las siguientes afirmaciones: a) La negación de una tautología es una contradicción.
Verdadero, ya que una tautología es siempre verdadera sin importar la valuación, luego su negación es siempre falsa.
b) La negación de una contingencia es una tautología. Falso, ya que una contingencia es verdadera para ciertas valuaciones y falsa para otras valuaciones, por lo tanto con su negación ocurre lo mismo.
c) Si (ψ→ϕ) es tautología y ψ es contradicción, entonces ϕ es contradicción. Falso. Que (ψ→ϕ) sea una tautología implica que para cualquier valuación v(.) ocurre que v(ψ) es falso o que v(ϕ) es verdadero, y como además nos dicen que para cualquier valuación v(.) ocurre que v(ψ) es falso (ya que es una contradicción), no podemos decir nada acerca de ϕ (puede ser cualquier cosa).
6. Hay tres sospechosos de un crimen, que llamaremos A, B y C. Estas son sus declaraciones: A: Yo no soy el culpable. La víctima era un conocido de B. También sé que C lo odiaba. B: Yo no soy el culpable. Yo no conocía a la víctima. Además, ese día ni siquiera pude haberme topado con la víctima, no estuve en la ciudad. C: Yo no soy el culpable. A y B se toparon con la víctima el día del crimen, yo los vi.
Asumiendo que uno de ellos es el culpable y que el miente, y que los dos inocentes no mienten,
encuentre al culpable. Al traducir al lenguaje proposicional, elija cuidadosamente las afirmaciones (deben bastar siete letras proposicionales).
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A: {pA,q,r} B: {pB,¬q,¬sB} C: {pc,(sA^sB)} pi : El individuo i no es culpable. q : B conocía a la víctima. r : C odia a la víctima. si : El individuo i se encontró con la víctima el día del crimen. Como sabemos que un solo individuo miente, claramente su conjunto de declaraciones no puede ser satisfactible junto con el conjunto de declaraciones del resto. Para determinar esto tenemos dos opciones: la primera es hacer una tabla de verdad gigante y luego ver todos los casos que quedan y la segunda es mirar bien las declaraciones y darse cuenta que el único personaje conflictivo es B, ya que él dice lo contrario que A (¬q) y lo contrario que C (¬sB), mientras que entre A y C no hay problema alguno. Por lo tanto B es el culpable.
7. Complete la tabla de verdad para la expresión ((((p→¬¬q)^s)v¬s)→((rvs)↔¬s)) (*).
p q R s (p→¬¬q) (1) (1)^s (2) (2)v¬s (rvs) (4) (4)↔¬s (*)
V V V V V V V V F F
V V V F V F V V V V
V V F V V V V V F F
V V F F V F V F F F
V F V V F F F V F V
V F V F F F V V V V
V F F V F F F V F V
V F F F F F V F F F
F V V V V V V V F F
F V V F V F V V V V
F V F V V V V V F F
F V F F V F V F F F
F F V V V V V V F F
F F V F V F V V V V
F F F V V V V V F F
F F F F V F V F F F
8. Suponga que (ψ→ϕ) y (¬ψ→ϕ) son ambas tautologías. A partir de lo anterior demuestre que ϕ es
una tautología (tanto ψ como ϕ corresponden a un conjunto de proposiciones, no a letras proposicionales). Que (ψ→ϕ) sea una tautología significa que (ψ→ϕ) es siempre verdadera, y para que un argumento de esta forma sea siempre verdadero tiene que ocurrir que v{ψ}=F o que v{ϕ}=V, esto quiere decir que para cualquier valor de verdad que tengan las letras proposicionales contenidas en los conjuntos de proposiciones ψ y ϕ, ocurre que ψ es falso y ϕ es verdadero. Que (¬ψ→ϕ) sea una tautología significa que (¬ψ→ϕ) es siempre verdadera, y para que un argumento de esta forma sea siempre verdadero tiene que ocurrir que v{ψ}=V o que v{ϕ}=V . Como tanto (1) como (2) son tautologías, la única manera de que esto se cumpla es que v{ϕ}=V para toda valuación (la intersección entre las posibilidades antes mencionadas). *v(.) corresponde a cualquier valuación posible.
38
2.3. Árboles de Gentzen en L
2.3.1. Método
Ya en el ejemplo b) de la sección 2.2.1. uno se puede dar cuenta de que las tablas de verdad son bastante extensas cuando se trata con tres o más letras proposicionales (de hecho el número de valuaciones posibles está dado por 2
n, siendo n la cantidad de letras proposicionales). Por esto mismo
se hace necesario recurrir a un método que sea más breve y menos engorroso, que corresponde al método de los árboles de Gentzen (el método de árboles visto en lógica aristotélica es justamente una aplicación de este método).
El método de los árboles de Gentzen consiste en ir descargando las premisas del conjunto de
interés desde un nodo principal y luego seguir descargando las premisas faltantes en las ramas abiertas que se encuentran debajo de ellas. Una rama se da por terminada cuando no queda ninguna premisa por descargar sobre ella y cuando ésta termina en una letra proposicional o con su negación. Por último tenemos que una rama se cierra cuando dentro de la misma rama aparece una letra proposicional y su negación o una expresión y su negación.
Las ramas de un árbol nos indican qué valuaciones hacen que todo el conjunto de oraciones
descargado sea verdadero, es por este motivo que las ramas que contienen letras proposicionales y sus negaciones se deben cerrar (ya que no es posible una valuación donde, por ejemplo, p pueda ser verdadero y no-p pueda ser verdadero a la vez). A continuación se presenta cómo es que se deben descargar los diferentes tipos de oraciones junto con una explicación intuitiva:
• Conjunción: Para que una oración del tipo “La avena Quaker es nutritiva o Pink Floyd es un grupo de rock progresivo” sea verdadera basta que cualquiera de las dos oraciones sea verdadera (hay “dos caminos” para que la expresión sea verdadera), mientras que para que una oración del tipo “No es verdad que la avena Quaker es nutritiva o Pink Floyd es un grupo de rock progresivo” debe ocurrir que ambas oraciones sean falsas a la vez, luego la regla de descarga de la conjunción y su negación es la siguiente:
(pνq) ¬(pνq)
p q ¬p,¬q
• Disyunción: Para que una oración del tipo “El castor barracuda es una bestia misteriosa y no hay vida en Plutón” sea verdadera, las dos oraciones involucradas deben ser verdaderas a la vez, mientras que para que una oración del tipo “No es verdad que el castor barracuda es una bestia misteriosa y no hay vida en Plutón” basta que una de las dos oraciones sea falsa, luego la regla de descarga de la disyunción y su negación es la siguiente:
(p^q) ¬(p^q)
p,q ¬p ¬q
• Implicación: En la sección 2.2.1. ya explicamos qué tenía que ocurrir para que una implicación fuese verdadera o falsa, y llegamos a la conclusión de que habían dos opciones, a saber: que el antecedente fuese falso o que el consecuente fuese verdadero. Para el caso de la negación de una
39
implicación es claro que ésta no se cumple cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso a la vez. Si tenemos la oración “Si aprendo griego entonces me ganaré la lotería” y resulta que efectivamente aprendo griego pero no me gano la lotería, es claro que la oración en cuestión no es verdadera. A continuación se muestra la regla de descarga de una implicación.
(p→q) ¬(p→q)
¬p q p,¬q
• Bicondicional: Al igual que la con la implicación, ya se discutió con anterioridad cuándo la la bicondicionalidad era verdadera, llegando a la conclusión de que el antecedente y el consecuente debían ser ambos verdaderos o ambos falsos. En el caso de la negación lo que debe ocurrir es que los valores de verdad del antecedente y el consecuente sean distintos, luego la regla para descargar un bicondicional es la siguiente:
(p↔q) ¬(p↔q) p,q ¬p,¬q ¬p,q p,¬q
2.3.2. Ejercicios 1. Mediante el uso de árboles evalúe la consistencia (i.e. pruebe si el conjunto de oraciones es
satisfactible) de los siguientes grupos de proposiciones y especifique si es posible una valuación para la cual todo el conjunto es verdadero: a) (p→(q^r)); (q↔s); (¬s→(qνr))
(p→(q^r)) (q↔s)
(¬s→(qνr))
¬p (q^r)
q,r
q,s ¬q,¬s q,s ¬q,¬s
s (qvr) s (qvr) s (qvr)
q r q r q r
Como queda al menos una rama abierta el conjunto de oraciones es consistente. Cada rama abierta da una valuación para la cual las tres oraciones del conjunto son verdaderas, tomando la tercera rama abierta (de izquierda a derecha) tenemos que para la valuación {p,q,r,s}={F,F,V,F} todas las oraciones son verdaderas. b) ((p→q)^r); ( (q→p) ^r); (¬p^(r→q))
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((p→q)^r) ((q→p)^r)
(¬p^(r→q))
¬p,(r→q)
¬r q
r,(p�q) r,(p→q)
¬p q
(q→p),r (q→p),r
¬q p ¬q p
Como todas las ramas se cierran el conjunto de oraciones es inconsistente. c) (¬q→p); (p↔(¬q^¬p)); (); (¬qvr)
2. Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías:
a) ((p→q)↔(¬pνq))
Tomamos la negación de la expresión para luego hacer el árbol y mostrar que ninguna rama queda abierta (ya que de ser así la negación de la expresión corresponde a una contradicción y por ende la expresión original a una tautología).
¬((p→q)↔(¬pνq))
(p→q) , ¬(¬pνq) ¬ (p→q) , (¬pνq)
p, ¬q p, ¬q
¬p q ¬p q
b) (p→(q→p))
¬(p→(q→p))
p, ¬(q→p)
q,¬p
3. ¿Es (p↔q) igual que (¬p↔¬q)? (Ayuda: todo está en plantear ¬((p↔q)↔(¬p↔¬q)) y luego demostrar que el árbol se cierra completamente) Seguimos la ayuda que nos dan en el ejercicio.
¬((p↔q)↔(¬p↔¬q))
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(p↔q), ¬(¬p↔¬q) ¬(p↔q), (¬p↔¬q) p,q ¬p,¬q ¬p,q p,¬q
¬p,q p,¬q ¬p,q p,¬q ¬p,¬q ¬p,¬q ¬p,¬q ¬p,¬q
Sí son equivalentes. 4. Determine por medio de un árbol la validez de los siguientes argumentos:
a) (((p→q)^(r→s)^p) → ((pvr)^(qvs)))
Como ya sabemos, lo que debemos hacer es hacer el árbol del conjunto contraejemplo, que corresponde a la negación de la expresión entregada.
¬(((p→q)^(r→s)^p) → ((pvr)^(qvs)))
((p→q)^(r→s)), p ¬((pvr)^(qvs))
(p→q), (r→s)
¬p q
¬r s ¬(pvr) ¬(qvs) ¬(pvr) ¬(qvs) ¬p, ¬r ¬q, ¬s ¬p, ¬r ¬q, ¬s El argumento es válido.
b) ((((pv¬q)→(p^q))↔(q→p)) → q) Procedemos igual que en la parte a).
¬((((pv¬q)→(p^q))↔(q→p)) → q)
(((pv¬q)→(p^q))↔(q→p)) ¬q
((pv¬q)→(p^q)), (q→p) ¬((pv¬q)→(p^q)), ¬(q→p)
¬(pv¬q) (p^q) q, ¬p ¬p, q p, q El argumento es válido.
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2.4. Lenguaje L1
Ya vimos cuando trabajamos con lógica clásica que ésta no era lo suficientemente buena como para traducir todo tipo de expresiones. En la sección 2.2.2. se nos pidió traducir un argumento del tipo:
Todo A es B Todo C es A Todo C es B
Y luego se nos pidió probar su validez, cosa que no se podía hacer a pesar de que sabemos que se trata de un argumento correcto. Este problema se puede solucionar introduciendo una lógica más elaborada que nos permita representar mejor las expresiones traducidas.
2.4.1. Definiciones
• Símbolos: En L1 tenemos cinco tipos de símbolos importantes: variables (en general x, y, z, etcétera), constantes (en general a, b, c, d, etcétera), símbolos de predicado que representan oraciones o relaciones entre variables o constantes (P(x,y), R(x), Q(z,z), etcétera), conectores lógicos (→, v, ^, etcétera) y cuantificadores, que corresponden a ∃ (existe al menos un) y ∀ (para todo). Las reglas utilizadas para el uso de paréntesis en L son las mismas que se utilizan para L1, con la diferencia de que en L1 hay que tener más cuidado ya que la existencia de cuantificadores hace que la posición de los paréntesis afecte directamente el significado de las expresiones.
• Sintaxis de L1:
Una fórmula de L1 es una expresión construida con las siguientes reglas:
• Toda fórmula atómica (un símbolo de predicado como R(x,y) o Q(z)) es una fórmula.
• Si ψ es una fórmula entonces ¬ψ también lo es.
• Si ψ y φ son fórmulas entonces (ψ^φ), (ψνφ), (ψ→φ) y (ψ↔φ) son fórmulas.
• Si ψ es una fórmula y x una variable entonces ∃xψ y ∀xψ también son fórmulas.
Las variables cuantificadas se llaman variables ligadas, mientras que las no cuantificadas se llaman variables libres. Para que una fórmula de L1 sea válida, es necesario que no haya ninguna variable libre. En la expresión (∀xP(x,y)→∀zQ(z)) podemos ver que las variables x y z están ligadas mientras que la variable y no lo está.
Para interpretar una fórmula de L1 también es importante definir un universo, que corresponde
al conjunto de objetos del cual estamos hablando. Ejemplos: Para entender mejor la sintaxis de la lógica de predicados (L1) armaremos algunos argumentos y
oraciones para luego traducirlas de manera de aclarar el uso de los distintos símbolos.
Consideremos las siguientes oraciones y argumentos:
a) “Robert Fripp es el guitarrista de King Crimson”
Universo = Gente del mundo.
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R(x,y) = x es el guitarrista de y.
a = Robert Fripp
b = King Crimson
Luego la oración queda “R(a,b)”.
b) “Para todos los niños que son morenos y ególatras existe una persona que es su madre”
Universo = Personas y cosas del mundo.
M(x) = x es un niño moreno.
E(x) = x es un niño ególatra.
P(x,y) = x es madre de y.
Luego la oración queda “∀x∃y((M(x)^E(x))→P(y,x)))” y se lee “Para todo x existe un y tal que si x
es un niño moreno y ególatra entonces y es la madre de x”. Otra opción sería:
Universo = niños del mundo.
T(x) = x es moreno y ególatra.
P(x,y) = x es madre de y.
Luego la oración queda “∀x∃y(T(x)→P(y,x)))”.
c) Todo A es B, todo C es A, luego todo C es B.
A(x) = x es A.
B(x) = x es B.
C(x) = x es C.
Luego el argumento queda ((∀x(A(x)→B(x))^∀x(C(x)→A(x)))→∀x(C(x)→B(x))).
d) “Todos los niños hombre tienen como padre a Juan, quien además no es padre del pez
Mutancio”
Universo = Seres humanos.
P(y,z) = y es padre de z.
N(x) = x es un niño hombre.
a = Juan
b = el pez Mutancio
Luego la oración queda “(∀x(N(x)→P(a,x))^¬P(a,b))”.
2.4.2. Ejercicios 1. Traduzca las siguientes premisas: (i) Todo S es P, (ii) Ningún Q es W, (iii) Algún A es B, (iv) Algún R
no es T y (v) Todo F no es R. (i) ∀x(S(x)→P(x)) (ii) ∀x(Q(x)→¬W(x)) (iii) ∃x(A(x)^B(x)) (iv) ∃x(R(x)^¬T(x)) (v) ∀x(F(x)→¬R(x))v∃x(F(x)^¬R(x))
2. Traduzca a L1 los siguientes argumentos y premisas:
a) Los gatos son gordos o arisco, Todos los gatos que son gordos son felices, Existen gatos que son
ariscos y felices, luego Los gatos flacos no son felices. (∀x(G(x)→(O(x)vA(x)))^∀x(G(x) ^O(x)→(F(x))^∃x(G(x) ^A(x) ^F(x)) →(∀x(G(x)^¬O(x)→(¬F(x))) G(x) = x es gato, O(x) = x es gordo, A(x) = x es arisco, F(x) = x es feliz.
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b) Para todos los hombres que son atletas, existe una persona tal que esta última es madre del
primero. ∀x (A(x)→∃yM(y,x)) A(x) = x es atleta, M(y,x)= y es madre de x.
c) Existe un pez gordo tal que para todos los peces el primero es padre del segundo y además el
segundo es madre del primero. ∃x∀y (G(x) ^ (P(x,y) ^M(y,x))) G(x) = x es un pez gordo, P(x,y) = x es padre de y ,M(y,x) = y es madre de x.
3. Encuentre un modelo que haga válido los siguientes argumentos (por modelo se refiere a
encontrar: un universo, interpretación para los símbolos de predicado y un valor para las constantes):
a) ∀x(H(x)→A(x)), ∀x(M(x)→H(x)) entonces ∀x(M(x)→A(x)). H(x)=x es hombre, A(x) = x es bombero, M(x) = x cocineros, Universo = gente en la sala
b) N(a,b), N(c,b) entonces N(a,c).
N(x,y) = x ≥ y, a=3,b=1,c=2, Universo = números Naturales (números enteros mayores o iguales a 1)
4. Bajo cualquier modelo que se le ocurra explique por qué la expresión ∀x∃y(M(y,x) ^∀z(M(z,x) →z=y)) es válida (o al menos puede serlo). M(y,x)=y es madre de x, y se leería: para todo x existe un y tal que y es madre de x, y para todo z, si z es madre de x, entonces z es igual a y.
5. Use interpretaciones para demostrar que el conjunto de oraciones S = {∀x∀y(P(x,y)→¬P(y,x)),
∀x∃yP(y,x), ∀x∀y∀z((P(x,y)^P(y,z))→P(x,z))} es satisfactible. Universo = números Naturales. P(x,y) = x es mayor que y. S = {Para todo x y para todo y, si x es mayor que y entonces y no es mayor que x, Para todo x existe un número y tal que y es mayor que x, Para todo x, para todo y y para todo z, si x es mayor que y e y es mayor que z entonces x es mayor que z}.
6. Use interpretaciones para demostrar que las oraciones (i) ∀x∃yP(y,x) y (ii) ∀x∀y∀z((P(x,y)^P(y,z))→P(x,z)) son mutuamente independientes (i.e. una puede ser verdadera y la otra falsa y viceversa). Universo = números Naturales. P(x,y) = x es menor que y. (i) Para todo x existe un número y tal que y es menor que x. (ii) Para todo x, para todo y y para todo z, si x es menor que y e y es menor que z entonces x es menor que z. Para la interpretación escogida es claro que (ii) es verdadera (por transitividad), mientras que (i) puede ser falsa ya que no se cumple para todos los valores de x, ya que falla para x=1 (el 1 es el número más pequeño dentro de los números Naturales.
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2.5. Árboles de Gentzen en L1
2.5.1. Método
El método de los árboles de Gentzen en L1, al igual que en L, consiste en ir descargando las premisas del conjunto de interés desde un nodo principal y luego seguir descargando las premisas faltantes en las ramas abiertas que se encuentran debajo de ellas. Una rama se da por terminada cuando no queda ninguna premisa por descargar sobre ella y cuando ésta termina en un símbolo de predicado o con su negación. Una rama se cierra cuando dentro de la misma rama aparece un símbolo predicado y su negación o una fórmula y su negación.
La única diferencia que tienen los árboles de L1 con respecto a los de L es que en el primer caso hay
que tener un par de consideraciones adicionales con respecto a los cuantificadores. Cada vez que se descarga un cuantificador particular se debe descargar agregando una letra minúscula que no esté en las ramas del árbol, mientras que si se descarga una proposición universal esta se debe descargar acompañada de cada una de las letras que hayan aparecido en el árbol (las proposiciones universales se descargan tantas veces como letras minúsculas hayan, al igual que en los primeros árboles que vimos). Otra cosa importante es que las variables siempre se deben instanciar de izquierda a derecha, es decir, si tenemos una fórmula como ∀x∃yP(x,y), ésta se debe descargar de la siguiente manera:
∃y∀xP(x,y)
∀xP(x,a)
P(a,a)
Ejemplos:
1. En lógica de primer orden, determine si la siguiente equivalencia o definición es correcta:
∀x∃y(F(x)^F(y)) ↔(∀xF(x)^∃yF(y)).
Negamos la definición y vemos si es que el árbol se cierra o no.
¬(∀x∃y(F(x)^F(y)) ↔(∀xF(x)^∃yF(y)))
∀x∃y(F(x)^F(y)) ¬∀x∃y(F(x)^F(y))
¬(∀xF(x)^∃yF(y)) (∀xF(x)^∃yF(y))
∀x∃y(F(x)^F(y)) ∃x¬∃y(F(x)^F(y))
¬(∀xF(x)^∃yF(y)) (∀xF(x)^∃yF(y))
∀x∃y(F(x)^F(y)) ∃x∀y¬(F(x)^F(y))
¬∀xF(x)v¬∃yF(y) (∀xF(x)^∃yF(y))
∀x∃y(F(x)^F(y)) ∃x∀y(¬F(x)v¬F(y))
∃x¬F(x)v∀y¬F(y) (∀xF(x)^∃yF(y))
∃x¬F(x) ∀y¬F(y) ∀y(¬F(a)v¬F(y))
¬F(a) ¬F(a) ∀xF(x), F(b)
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F(a), ∃yF(y) F(a), ∃yF(y) F(a)
¬F(a) ¬F(a)
La definición es correcta.
2. Determine si D es consistente. D={∀x(A(x)→B(x)); ∃x(C(x)^¬¬B(x)); ∃x(C(x)^A(x)); ∀x(D(x)→¬B(x));
∃x(A(x)^D(x))}.
Hacemos el árbol para ver si al menos una rama abierta.
D = {…}
C(a), A(a)
A(b), D(b)
C(c), B(c)
¬A(a) B(a)
¬A(b) B(b)
¬A(c) B(c)
¬D(a) ¬B(a) ¬D(a) ¬B(a)
¬D(b) ¬B(b) ¬D(b) ¬B(b)
El conjunto D es inconsistente.
2.5.2. Ejercicios
1. Mediante árboles determine la consistencia de los siguientes grupos de oraciones:
a) ∀x(P(x)→Q(x)), ∃yP(y), ¬∃zQ(z). Inconsistente.
∀x(P(x)→Q(x)) (1) ∃yP(y) (2)
¬∃zQ(z) (3) (descarga de (2))
P(a) (descarga de (3))
¬Q(a) (descarga de (1))
¬P(a) Q(a) b) ¬∀x(P(x)→Q(x)), ∃x(P(x)→Q(x)).
47
Consistente. ¬∀x(P(x)→Q(x)) (1) ∃x(P(x)→Q(x)) (2)
(descarga de (2)) ¬P(a) Q(a)
(descarga de (1)) P(b),¬Q(b) P(b),¬Q(b)
2. Demuestre la validez de los siguientes argumentos:
a) ∀x(P(x)→Q(x)) ∀x(Q(x)→T(x)) ∀x(P(x)→T(x)) Tomamos la contradictoria de la conclusión ∃x¬(P(x)→T(x)) y hacemos el árbol del conjunto contraejemplo.
∀x(P(x)→Q(x)) (1) ∀x(Q(x)→T(x)) (2) ∃x¬(P(x)→T(x)) (3)
(descarga de (3)) P(a),¬T(a)
(descarga de (1)) ¬P(a) Q(a)
(descarga de (2)) ¬Q(a) T(a)
Válido.
b) ∃x∀yR(x,y) ∀y ∃xR(x,y)
∃x∀yR(x,y) ¬∀y∃xR(x,y)
∃y∀x¬R(x,y)
∀yR(a,y), ∀x¬R(x,b)
R(a,b), ∀x¬R(a,b)
Válido.
c) ∀x(P(x)→Q(x))
∃x(P(x) ^T(x)) ∃x(Q(x) ^T(x))
∀x(P(x)→Q(x)) ∃x(P(x) ^T(x))
¬∃x(Q(x) ^T(x)) (=∀x¬(Q(x) ^T(x)))
P(a), T(a)
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¬P(a) Q(a)
¬Q(a) ¬T(a)
Válido.
3. Complete el árbol de la siguiente expresión: (∀xR(x)→∀x(R(x)v∃yP(x,y))) y explique qué es lo que
pasa. (∀xR(x)→∀x(R(x)v∃yP(x,y)))
¬∀xR(x) ∀x(R(x)v∃yP(x,y))
¬R(a) ∀xR(x) ∀x∃yP(a,y) R(a) ∃yP(a,y)
P(a,b)
∃yP(b,y)
P(b,c)
∃yP(c,y)
P(c,d)
∃yP(d,y)
…
∀x∃y genera árboles infinitos.
4. Evalúe si el siguiente argumento es correcto, y de no serlo, agregue la premisa que hace falta para hacerlo correcto: ∀x(P(x)→Q(x)) ∀x(Q(x)→R(x)) ∃x(P(x) ^R(x))
∀x(P(x)→Q(x)) ∀x(Q(x)→R(x)) ∀x¬(P(x)^R(x))
¬P(a) Q(a)
¬Q(a) R(a) ¬Q(a) R(a)
¬P(a) ¬R(a) ¬P(a) ¬R(a) ¬P(a) ¬R(a)
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No es correcto, falta agregar ∃xP(x) o P(a) que es prácticamente lo mismo (en el fondo l oque falta es la precaución de Aristóteles).
5. Evalúe la consistencia del siguiente grupo de oraciones: F(a,b)^¬F(b,a), ∃x(R(x)^F(x,b)),
∃xR(x)v∀xF(x,x) y ∀x(R(x) →¬F(x,b)). Desarrollamos el árbol.
R(d), F(d,b)
F(a,b), ¬F(b,a)
R(c) F(a,a)
F(b,b) F(d,d) ¬R(d) ¬F(d,b) ¬R(d) ¬F(d,b) El conjunto de oraciones es inconsistente.