Respostas do problemas mparesRespostas selecionadas

CAPTULO 1

Exerccios avanados1. (a) y f(U) x U tal que y = f(x). Como x U V, g = f(x)

f(V).

(b) x f 1(W) f(x) W. Como W Z, f(x) Z e x f 1(Z).

(c) y f(U V ) x U V tal que f(x) = y. Se x U, y f(U) e se x V, y f(V). Logo, y f(U) f(V ). Isso prova que f(U V ) f(U) f(V). As outras incluses so anlogas.

(d) x f 1(W Z) f(x) W Z. Se f(x) W, x f 1(W), e se f(x) Z, x f 1(z). Logo x f1(W) f1(Z), ou seja, f 1(W Z) f 1(W) f 1(Z). As outras incluses so anlogas.

3. g : B A, tal que g o f(x) = x, x A. Se f(x1) = f(x2), ento x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2. No nica: g(y) = y

2, se y 0 e g(y) = c, se y 0 inversa esquerda de f Ax B = " x, A = R+, B = R , para todo c real.

5. (a) Sobrejetora. g A y B = " y .

(b) Bijetora. g A y B = " y .

(a) Bijetora. g(y) = y2.

(a) Injetora. g(y) = y2.

7. Nem par nem mpar.

4

f(x)

x

1 1221

1f(x)

3x

9. (a) x0 a f(x0) f(a) x1 a f(x1) f(a) x2 a; o resultado geral segue do princpio de induo finita.

(b) xn a se n for mpar e xn a se for n par.

11.

x

y

1

1

2

3

4

2

3

4

11 22 33 44 55

x

y

1

1

2

3

4

2

3

4

11 22 33 44 55

19 calc0308_RESPOSTAS 1 a 9 BR.indd 1 11/10/08 10:20:23 AM

2 Clculo

CAPTULO 2

Exerccios avanados1. 1, 258, depois de 7 iteraes, com erro menor que 0,008.

3.

x

y

1

1

2

3

4

2

3

4

11 22 33 44 55

5. 0 |f(x) . g(x)|M . |f(x)| perto de a. O resultado segue do teorema do confronto.

7. (a) limx f(x) = limx f(x) = 1

(b) limx0+ f(x) = limx0 f(x) = 0 = f(0), logo f contnua em zero.

(c) Com a resoluo do computador, o grfico coincide com o da funo nula perto da origem.

(d) f muito "achatada" perto da origem (f (k) (0) = 0, k N).

9. (a) (iii); (b) (i); (c) (ii); (d) (iv).

11. (a) cos x.

(b) y = " 32 x " 312 +

12

CAPTULO 3

Exerccios avanados 1. a = 0, b = " 2

3. (a) Asenh x Br = a e

x ex2 b =

ex + ex2 = cosh x. A outra relao

anloga.

(b) cosh x e cosh x, respectivamente.

5. (a) Como o tringulo retngulo, sen = rr + h

(b) 2" 3

7. Verdadeiro. A derivada de um polinmio de grau n um poli-nmio de grau n 1, se n 1, e a derivada de um polinmio de grau zero identicamente nula.

9. (a) Sim, pois, se f(x + T) = f(x), ento f '(x + T) = f '(x).

(b) Sim, perodo 2T.

11.

a = " 2,a" 22 ,

" 22

b : y 1 = x + " 2 e y 2 = xa" 22 ,

" 22

b : y 1 = x " 2 e y 2 = x

a = " 2,a" 22 ,

" 22 b : y 1 = x + " 2 e y 2 = x

a " 22 , " 22 b : y 1 = x " 2 e y 2 = x

CAPTULO 4

Exerccios avanados1. (a) 1x a

1x b , (b) ln x, (h mais de uma resposta correta).

3. Basta observar que p Ak 1B+ = a ap ln bp bAk B

e usar induo finita.

5. Observe que |xn+1 a| = |g(xn) g(x)| = g'(c)|xn a| M|xn x0| (pelo teorema do valor mdio) e use induo finita.

7. Use o teorema do valor mdio para mostrar que xn+1 a e xn a tm sinais opostos.

9. g"(x) 0 implica que g'(x) = f '(x) f '(a) crescente e, portanto, g'(x) 0 se x a e g'(x) 0 se x a. Assim, a um mnimo de g e g(x) g(a) = 0.

11. P3 = x x3

3! ; P3(0, 5) = 0, 479, E 0, 003

CAPTULO 5

Exerccios avanados1. Observe que Sk+1i=1 Aa i a i1 B = Ski=1 Aa i a i1B + Aak+1 akB e

use induo finita.

3. m = minx[a,b] f(x), M = maxx[a,b] f(x). Como g positiva, mg(x) f(x)g(x) Mg(x). Integrando, obtemos m 2

ba g Ax B dx 2

ba f Ax B g Ax B dx M 2

ba g Ax B dx

m 2b

a g Ax B dx 2b

a f Ax B g Ax B dx M 2b

a g Ax B dx. Se 2b

a g AxB dx = 0, o resul-

tado trivialmente verdadeiro. Caso contrrio, observe que

m 2b

a f Ax B g Ax B dx

2b

a g Ax B dx M e use o teorema do valor intermedi-

rio. Esse teorema ainda vlido se g for sempre negativa, mas no se g trocar de sinal em [a, b], como mostra o exemplo f(x) = g(x) = x, 1 x 1.

5. Verdadeira, pois f '(x) = 0 para todo x.

7. Verdadeira, pois, se existir x0 em [a, b], tal que f(x0) = d 0, ento existir um subintervalo de [a, b] de comprimento no nulo tal que f Ax B d2 , pois f contnua. Absurdo, pois, nesse caso, 2

ba f Ax B dx 0.

9. Basta fazer a mudana de varivel y = x na integral 2a

0 f Ax B dx . No vale se o extremo inferior for no nulo.

11. g Ax B = ex 22

19 calc0308_RESPOSTAS 1 a 9 BR.indd 2 11/10/08 10:20:52 AM

3Respostas selecionadas

CAPTULO 6

Exerccios avanados1. (a) 9 (b) 3 (c) 153. A = 15 , xCM =

56 , yCM =

518 ; V Aa B =

15

. 2 518 =9 , V b =

15

. 2 56 =3A B

A = 15 , xCM =56 , yCM =

518 ; V Aa B =

15

. 2 518 =9 , V b =

15

. 2 56 =3A B , V(c) =

15. 2 a1 56 b =

15

.

5. (a) a. 512 4

b. 5" 348 " 3 (b) a.

512

4

b. 5" 348 " 3

7. f Ax = 8 ae x4 1bB . nica.

9. a7544 + 45b a40 +92b1

L 7,3

11. 49 (9 h2)32 + 2h23 " 9 h2 + 6h aarcsen

h3

2b

CAPTULO 7

Exerccios avanados1. (a) M: rea abaixo dos retngulos mais altos, m: rea abaixo dos

retngulos mais baixos.

(b) M = Sn1i=0 a 1n+ i(a 1) ; m = Sni=1 a 1n+ i(a 1) . (c) n = 5, m = 0, 66

1 a

1

(a)

ln a

a 1n

y

x

3. P2 = 1 + x +x 22 , P2 A0 ,5B = 1 , 63, E 0,06

5. m = p q; a relao continuaria vlida.

7. Basta usar as definies de senh e cosh e efetuar os produtos nos segundos membros.

9. Retngulo c " 22

, " 22

d c0 , e12 d .

11. P = ab, a cosh ba b ; L : y a = x

senh ba; G A0, a B Aa senh ba , 0B G = a cosh

ba

P = ab, a cosh ba b ; L : y a = x

senh ba; G A0, a B Aa senh ba , 0B G = a cosh

ba .

CAPTULO 8

Exerccios avanados1. 65 A1 + " x B

53 3A1 + "x B

23 .

3. 18 ln `x 1x +1 `

14 arctg x +

18"2

ln x2 "2x +1x 2 + "2 + 1

14"2

arctg "2x1 x 2 .

5. Observe que a 2dx

xn" a+ bx+ b 2

dxx n1 " a+ bx

= 2"a+bx

xn dx Faa integrao por partes na ltima integral e isole a integral pedida. (Errata: Na ltima integral do enunciado do exerccio, onde est " ax + b leia-se " a + bx, " ax + b leia-se " a + bx ).

7. Observe que 2dx

(x 2 a 2 )n2 1

= a2 2dx

(x2 a2 )n2+ 2

x2dx

(x2 a2 )n2

Faa integrao por partes na ltima integral e isole a integral pedida.

9. 2

a1

sen xx dx =

cos aa + cos 12

a1

cos xx2 dx . Como `

cos xx2 `

1x2 ,2

1

cos xx2 dx

`cos x

x2 `1x2 ,2

1

cos xx2 dx convergente. Alm disso, limaS

cos aa = 0 e assim

2

1sen x

x dx convergente.

11. P A 180B = 1" 2

2" 21

" 2

ey2dy + 1

" 2

2" 2 ey2dy. Pelo Exer-

ccio 10, a ltima integral menor que 105. Usando a frmula do erro do mtodo dos trapzios, conclumos que n = 29 suficiente para garantir um erro menor que o pedido. P( 180) 0, 16.

CAPTULO 9

Exerccios avanados1. f Ax B = ax n ou f Ax B = ax 1n , a 0 .

3. y Ax B = 1 ; 35 a1 + A x 1B a2x3 + 1b

32 b .

5. yr= yx ; x1y 2x 2 ; famlia ortogonal yr =

xy; x" x2 y2

.

7. y' Qy = P.

9. u' = (q + 2ry1) u + ru2.

11. y = 0: instvel; y = 1: estvel.

0

19 calc0308_RESPOSTAS 1 a 9 BR.indd 3 11/10/08 10:21:32 AM