resolução de exercícios de geometria...
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Vetores e Álgebra Vetorial Prof. Júlio César TOMIO
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## RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MATERIAL BÁSICO DE ESTUDO ##
LISTA DE EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no ℝ2 [página 27]
5) Dados os vetores jiu
2 e iw
3 , determine t
de modo que:
wutwut
4
3
2
15)24(3
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, antes de substituir os vetores jiu
2 e iw
3 dados, vamos simplificar a expressão. Assim:
wutwut
4
3
2
15)24(3 Eliminando os parênteses:
wutwut
4
15
2
55243 Unindo os termos semelhantes:
wwuutt
24
15
2
5453 Realizando o m.m.c. no 2º membro da equação:
4
81510168
wwuut
Reunindo os termos semelhantes:
4
23268
wut
Isolando o vetor t
:
32
2326 wut
Agora, substituindo os vetores )1,2( u
e )0,3(w
:
32
)0,3(23)1,2(26 t
Multiplicando os vetores pelos respectivos escalares:
32
)0,69()26,52( t
Subtraindo os vetores e “ajustando” a expressão:
)26,121(32
1
32
)26,121(
t
Multiplicando o escalar pelo vetor:
32
26,
32
121t
Simplificando a coordenada “y”:
16
13,
32
121t
Temos o vetor t
procurado!
6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente: a) RESOLUÇÃO:
Observando o gráfico dado no exercício, temos que: )3,0(u
, )1,4( v
, )2,0( t
e )2,3( w
.
E o vetor resultante procurado, que chamaremos de R
,
é dado por: wtvuR
. Assim:
wtvuR
)2,3()2,0()1,4()3,0( R
)2,1( R
A representação gráfica de R
está apresentada ao lado.
1
–2
0
R
y
x
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9
y
x
T
–12 O
LISTA DE EXERCÍCIOS – Paralelismo [ou Colinearidade] de Vetores [página 35]
2) Dado o vetor w
= (3, 2, 5), determinar “a” e “b” de modo que os vetores u
= (3, 2, –1) e v
= (a, 6, b)+2 w
sejam paralelos.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos calcular o vetor v
.
wbav
2),6,( )5,2,3.(2),6,( bav
)10,4,6(),6,( bav
)10,10,6( bav
Agora, como os vetores u
e v
devem ser paralelos, aplicamos a condição de paralelismo:
nz
z
y
y
x
x
2
1
2
1
2
1
1
10
2
10
3
6
ba Observe que: 5n
Resolvendo a expressão separadamente, temos:
2
10
3
6
a
1
10
2
10
b
30122 a 10202 b
182 a 302 b
9a 15b Que são os valores procurados!
LISTA DE EXERCÍCIOS – Cálculo do Módulo de um Vetor + Vetor Unitário [página 39]
6) Calcule a distância do ponto T(–12, 9) à origem. RESOLUÇÃO:
O problema solicita o cálculo da distância do ponto )9,12(T até a origem )0,0(O .
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos no 2R , teremos:
22 )()( OTOTTO yyxxd
22 )09()012( TOd
22581144 TOd
15TOd uc
Observe na representação abaixo, que a distância do ponto )9,12(T até a origem )0,0(O é, na verdade, o módulo do
vetor posição OT . Então poderíamos calcular diretamente, considerando o vetor posição )9,12(OT .
Assim:
22 )9()12(|| OT
81144|| OT
15|| OT 15TOd uc
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P
T 3
P
T 3
9) Dados os pontos A(3 , m – 1, – 4) e B(8 , 2m – 1, m), determinar “m” de modo que 35|AB| .
RESOLUÇÃO:
Inicialmente vamos definir o vetor AB . Então: )4,,5()4,1,3(),12,8( mmmmmABAB
Como )4,,5( mmAB e 35|| AB , aplicando a fórmula do módulo de um vetor, teremos:
222|| zyxAB 222 )4()()5(35 mm
Desenvolvendo os quadrados... 1682535 22 mmm
Elevando ambos os membros ao quadrado.... 222
418235 mm
418235 2 mm
Organizando a equação do 2º grau... 0682 2 mm )2( 0342 mm
Resolvendo-a, teremos: 3m e 1m .
Logo, os valores procurados para m formam o conjunto solução }1,3{ S .
11) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distância ao ponto T(–1, 2, –2) seja igual a 3. RESOLUÇÃO: Este exercício tem duas maneiras diferentes para ser resolvido, embora utilizem o mesmo raciocínio.
1ª MANEIRA: Se um ponto P pertence ao eixo da cotas (eixo “z”) então ele tem a forma: ),0,0( zP
Temos então que: 3PTd , conforme o enunciado da questão.
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, teremos: 222 )()()( TPTPTPPT zzyyxxd
Então, substituindo os valores... 222 )2()20()10(3 z
Desenvolvendo os quadrados... 44413 2 zz (*)
Elevando ambos os membros ao quadrado... 222 94)3( zz
949 2 zz 042 zz
Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos: 0z e 4z
Logo, o ponto P poderá ser: )0,0,0(P ou )4,0,0( P .
2ª MANEIRA: Se um ponto P pertence ao eixo da cotas (eixo “z”) então ele tem a forma: ),0,0( zP
Podemos considerar então o vetor TP , entre os pontos dados, que escreveremos:
)2,2,1()2,2,1(),0,0( zzTPTP
A distância entre os pontos T e P também é o módulo do vetor TP , ou seja, 3|| TPdPT .
Aplicando a fórmula do módulo de um vetor, temos: 222 )2()2()1(|| zTP
44413 2 zz
E aí segue que a resolução é idêntica à anterior partindo da equação (*) – veja acima.
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A
B C
[Exercício Resolvido Bônus] Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 5), B(3, –2) e C(–3, –2) é isósceles; e calcule o seu perímetro.
RESOLUÇÃO: Primeiramente, queremos provar que o triângulo ABC (veja o “esquema” ao lado) é isósceles. Podemos então considerar os vetores sobre seus lados:
ABu
, BCv
e CAw
.
Então:
)5,0()2,3( ABABu
)7,3( u
)2,3()2,3( BCBCv
)0,6(v
)2,3()5,0( CACAw
)7,3(w
Calculando as distâncias através dos módulos dos vetores, temos:
58499)7()3(|| 22 udAB
6036)0()6(|| 22 vdBC
58499)7()3(|| 22 wdCA
Como BCCAAB ddd temos que o triângulo ABC é isósceles [como queríamos provar].
Agora, o seu perímetro )2( p é:
586582 CABCAB dddp ucp 58262
16) Determine as distâncias do ponto P(1, – 4, –2) aos eixos coordenados x, y e z, representando “P” no ℝ3. RESOLUÇÃO:
Inicialmente representaremos o ponto “P” no ℝ3.
Veja: Para determinarmos as distâncias solicitadas no
exercício em questão, poderíamos utilizar uma relação
[no ℝ3] que calcule a distância entre um ponto “ P ” e
uma reta qualquer (que neste caso seria um dos eixos
coordenados x , y ou z ). Entretanto, neste
momento, ainda não conhecemos tal relação. Todavia
temos que:
A distância do ponto P ao eixo x será a distância do ponto )2,4,1( P ao ponto )0,0,1(xP .
A distância do ponto P ao eixo y será a distância do ponto )2,4,1( P ao ponto )0,4,0( yP .
A distância do ponto P ao eixo z será a distância do ponto )2,4,1( P ao ponto )2,0,0( zP .
Veja na figura a seguir!
Note que, inicialmente, não sabemos quais os lados do triângulo têm o
mesmo comprimento, e também não estamos preocupados com a posição
desse triângulo no sistema de coordenadas cartesianas.
Assim, o triângulo [acima] do nosso esquema de raciocínio é genérico!
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Desta forma, teremos os vetores:
)2,4,1()0,0,1( PPPP xx
)2,4,0(xPP
)2,4,1()0,4,0( PPPP yy
)2,0,1(yPP
)2,4,1()2,0,0( PPPP zz
)0,4,1(zPP
Calculando as distâncias através dos módulos dos vetores, temos:
204160)2()4()0(|| 222 xxeixoaoP PPd ucd xeixoaoP 52
5401)2()0()1(|| 222 yyeixoaoP PPd ucd yeixoaoP 5
170161)0()4()1(|| 222 zzeixoaoP PPd ucd zeixoaoP 17
PS: uma “boa” observação no ℝ3 permite verificar os valores diretamente através do “Teorema de Pitágoras”.
LISTA DE EXERCÍCIOS – Versor de um Vetor [página 42]
2) Determinar o valor de “a” para que u
= (a, –2a, 2a) seja um versor.
RESOLUÇÃO: Para que um vetor qualquer seja um VERSOR, ele deverá inicialmente ser unitário, ou seja, ter módulo 1.
Se o vetor ),2,( aaau
é um VERSOR, então ele deverá ser unitário.
Assim, aplicando a fórmula do módulo de um vetor unitário, teremos:
1222 zyx 1)2()2()( 222 aaa
144 222 aaa
19 2 a
9
12 a 9
1a
3
1a
3) Dados os pontos A(1 , 2 , 3), B(–6 , –2 , 3) e C(1 , 2 , 1), determinar o versor do vetor w
, tal que
BC2BA3w
.
RESOLUÇÃO:
Precisamos definir o vetor w
. Para isso, escreveremos inicialmente os vetores BA e BC . Assim:
Px
Py
Pz
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A
B
C
10 10
10
60º 60º
60º
)0,4,7()3,2,6()3,2,1( BABA
)2,4,7()3,2,6()1,2,1( BCBC
Agora, calcularemos o vetor w
, pois: BCBAw 23
)2,4,7.(2)0,4,7.(3 w
)4,8,14()0,12,21( w
)4,4,7(w
O exercício solicita determinar o VERSOR de w
. Então, aplicando a fórmula do VERSOR de um vetor, teremos:
|| w
wwvers
981161649)4()4()7(|| 222 w
9
)4,4,7(wvers
9
4,
9
4,
9
7wvers
Que é a resposta procurada!
5) Determinar o vetor de módulo 5, paralelo ao vetor v
= (1, –1, 2).
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos calcular o módulo do vetor dado v
.
222 )2()1()1(|| v
411|| v
6|| v
Agora, calcularemos o seu VERSOR, que é unitário (tem módulo 1), que tem mesma direção (paralelo) e mesmo sentido.
|| v
vvvers
6
)2,1,1( vvers
6
2,
6
1,
6
1vvers
Como queremos um vetor de módulo 5, multiplicamos o vvers
por (5) e teremos o vetor pedido que chamaremos de t
.
vverst
.5
6
2,
6
1,
6
15t
6
10,
6
5,
6
5t
Entretanto, como o sentido do vetor procurado t
não foi definido no problema, poderíamos ter multiplicado o vvers
por
(–5), e assim teríamos um outro vetor que também satisfaz as condições dadas. Então:
vverst
.5
6
10,
6
5,
6
5t
Portanto, os 2 vetores possíveis são:
6
10,
6
5,
6
5
t
LISTA DE EXERCÍCIOS – Produto Escalar [página 50]
4) Os pontos A , B e C são vértices de um triângulo equilátero com lado de 10 cm. Calcule o produto escalar
entre A B e A C.
RESOLUÇÃO:
Observando o esquema ao lado, podemos escrever:
cos.||.|| ACABACAB
º60cos.10.10 ACAB
)2/1(.100 ACAB
50 ACAB Que é a resposta procurada!
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Obs.: Vale lembrar que o vetor j
é o
VERSOR do eixo y e, portanto é fato
que )0,1,0(j
e 1|| j
, tornando
o cálculo do seu módulo (ao lado) desnecessário.
6) Calcular “n” para que seja de 30º o ângulo entre os vetores u
= (1, n, 2) e j
.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente vamos calcular o módulo dos vetores u
e j
. Então:
222 )2()()1(|| nu
222 )0()1()0(|| j
41|| 2 nu
222 )0()1()0(|| j
5|| 2 nu
1010|| j
1|| j
Agora, calcularemos o produto escalar entre os vetores u
e j
. Então:
212121 zzyyxxju
)0.(2)1.()0.(1 nju
00 nju
nju
Como sabemos (pelo enunciado) que o ângulo entre os vetores dados é de 30º, aplicamos os valores encontrados
anteriormente na definição geométrica do produto escalar. Assim:
cos.. juju
º30cos).1.(52 nn
2
3.52 nn
2
153 2
nn 1532 2 nn 222 153)2( nn
1534 22 nn 152 n 15n Que é a resposta procurada!
7) Dados os vetores a
= (2, 1, m), b
= (m+2, –5, 2) e c
= (2m, 8, m), determinar o valor de “m” para que o
vetor ba
seja ortogonal ao vetor ac
.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente vamos calcular os vetores ba
e ac
. Então:
)2,4,4()2,5,2(),1,2( mmmmba
)0,7,22(),1,2(),8,2( mmmmac
Agora, para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser ZERO.
Conforme o enunciado )( ba
)( ac
, então 0][][ acba
.
Aplicando a definição algébrica do produto escalar, teremos:
212121][][ zzyyxxacba
Substituindo os valores... )0).(2()7).(4()22).(4(0 mmm
Efetuando as multiplicações... 02888220 2 mmm
Organizando... 36620 2 mm )2(
01832 mm
Resolvendo a equação do 2º grau, teremos: 3m e 6m .
Logo, os valores procurados para m formam o conjunto solução }3,6{S .
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9) Sabendo que o ângulo entre dois vetores )1,1,2( u
e )2,1,1( mv
é 3/ , determinar “ m ”.
11) Qual o valor de “m” para que os vetores k4j5ima
e k4j2i1)(mb
sejam ortogonais?
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13) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor )1,1,2( v
.
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15) Determinar o vetor v
, sabendo que 5|| v
, v
é ortogonal ao eixo Oz , 6wv
e que kjw
32 .
19) Dados os vetores )12,,1( aau
, )1,1,( aav
e )1,1,( aw
, determine o valor de “ a ” de
maneira que wvuvu )( .
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17) Na torre da figura ao lado [veja a figura no Material Básico de Estudo], determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC, e o ângulo agudo que o cabo AD forma com a linha vertical.