repuesta en frecuencia

TEORIA DE CONTROLRespuesta en Frecuencia

Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] © 2007

Anexo 3.1Respuesta en Frecuencia:

Filtros

Prof. Francisco M. [email protected]

http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm

ELC-33103Teoría de Control



1. Filtros

• Se denomina filtro a un circuito sensible a la frecuencia que permite excluir señales con frecuencias situadas en un rango dado, permitiendo el paso de las señales de otras frecuencias.

+

−outVinV

in

out

VV

Ganancia =



1. Filtros• Se puede distinguir entre:• Filtros activos: basados en circuitos electrónicos con

elementos amplificadores activos.• Filtros pasivos: basados en elementos pasivos,

básicamente resistencia, inductancia y capacidad.



1. Filtros• Paso-bajo: rechaza señales de frecuencias superiores

a una dada, denominada frecuencia de corte (fc) • Paso-alto: rechaza señales de frecuencias inferiores a

la de corte. • Paso-banda: rechaza todas las señales no situadas en

un rango de frecuencias concreto.• De Rechazo de banda: rechaza las señales situadas en

un rango de frecuencias concreto.



1. Filtros

cf cf

1cf2cf 1cf2cf



1. Filtros• La curva de respuesta de un filtro pasivo real no es

tan ideal como las presentadas. • Un filtro, como todo circuito electrónico, puede ser

analizado en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

• En lo que sigue se analizarán tres tipos de filtros pasivos concretos: – Paso-bajo RC, – Paso-alto RC y, – Paso-bajo LC en ambos dominios.



2. Filtro Pasabajo

• La familia de filtros de pasabajo de primer orden; posee una función de transferencia de la forma:

• El máximo valor de |H(jω)|=|K| y recibe el nombre de ganancia del filtro.

• Nótese que el exponente de ω en el denominador es +1, de modo que |H(jω)| decrece con la frecuencia: filtro pasabajo

( )

c

jkjH

ωω

ω+

=1



2. Filtro Pasa Bajo

• La función de la magnitud y la fase en función de la frecuencia resulta:

( )2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

c

KjH

ωω

ω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∠ −

cKK

jHωωω 1tan



2. Filtro Pasa Bajo

( ) ( ) ( )( ) dBjH

jHjHjH

c

cc 3

21log20log20log20log20

maxmax −≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−

ωω

ωω

ωω1.0 ω10ω5.0

dB1−dB3−

decdB /20−

ω2

dB1

() dB

jH

ω



2. Filtro Pasa Bajo

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∠ −

cjH

ωωω 1tan

-90

-45

0ωω1.0 ω10ω5.0 ω2

°− 6

°− 5

°6

°5

()

ωjH

∠



2.1. Filtro Pasabajo RC

• Análisis en el dominio de la frecuencia, para régimen sinusoidal estacionario:

11

1

1

+=

+=

RCssC

R

sCVV

in

out

C

R

+

−

outVinV




• Se desea examinar la respuesta de un sistema de primer orden, un circuito RC como el mostrado en la siguiente figura, al ser sometido a una señal senoidal.

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C

R

+

−

outVinV0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



2.1. Filtro Pasabajo RC• El circuito actúa como un filtro simple pasa bajo; este

permite que las ondas senos de baja frecuencia pasen a través del filtro, relativamente sin ser afectadas y atenúa las señales de lata frecuencia.

• La definición de baja frecuencia y alta frecuencia, están relacionadas en un filtro simple, con la frecuencia de corte del filtro.

• Este circuito RC es un sistema de primer orden.




C

R

+

−

outVinV

11

+=

RCsVV

in

out




• El modelo en Simulink es mostrado en la siguiente figura.

Archivo: Filtro_RC.mdl

Ejemplo de un Filtro Pasabajo RC 1er OrdenElaborado por: Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt

Salida del CircuitoOnda seno

1s

Integrator

Entrada+Salida

500

1/RC

SalidaSalidaE ntrada




• Representa un sistema de primer orden, un circuito RC con un solo grado de libertad.

• Nótese que la entrada del sistema es una onda seno, este modelo de tal modo, muestra como el circuito RC responderá a una entrada senoidal tal como una corriente electrica alterna.

Salida del CircuitoOnda seno

1s

Integrator

Entrada+Salida

500

1/RC

SalidaSalidaE ntrada




• El sistema mostrado puede también ser descrito con una ecuación diferencial en la forma de:

• donde:x = voltaje de salida del circuito

= tasa de cambio del voltaje de salidaR = valor del resistor C = valor del capacitor, y f(t) = función excitatriz, una onda seno.

( )tfxC

xR =+1

&

x&



2.1. Filtro Pasabajo RC• Se ha tomado para este ejemplo que 1/RC = 500, es

decir RC = 0.002.• Para este circuito, el valor de RC es la constante de

tiempo τ del sistema.

( ) ( ) ( )sFsXRC

ssX =+1

( ) ( ) ( )sFsXssX =+τ

( )( )sFsX

s=

+τ1




• El diagrama de Bode será usado para entender como un circuito RC afecta la entrada de voltaje para mostrar la característica del circuito en el dominio de la frecuencia.

-50

-40

-30

-20

-10

0M

agni

tude

(dB)

100

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)




• La línea azul describe un circuito que posee un valor de RC igual a 0.01 y la línea verde describe un circuito con RC igual a 0.002.

-50

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)01.0=τ segrad /100=ω segrad /500=ω




-50

-40

-30

-20

-10

0M

agni

tude

(dB)

System: G1Frequency (rad/sec): 500Magnitude (dB): -3.01

100

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)




-50

-40

-30

-20

-10

0M

agni

tude

(dB)

System: GFrequency (rad/sec): 50Magnitude (dB): -3.01

100

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)




• En la curva verde posee una constante de tiempo de 0.002 segundos.

-50

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)


0

Bode Diagram segradc /500=ω

decdB20−




• Se muestra una ubicación del punto de 500 rad/seg es denominado el punto de 3 dB por debajo.

• En este punto la magnitud es atenuado por 3 dB

-50

-40

-30

-20

-10

0

g(

)


0

Bode Diagram




• 3 dB es equivalente a una relación de entrada/salida de 22, lo cual es aproximadamente a 0.707.

• La atenuación debido al filtrado gradualmente se incrementa.

• No esta claramente definido el punto que representa el rango de alta y baja frecuencia.

• Aunque un punto debe ser elegido, y el punto de 3 dBes frecuentemente usado.



-40

-30

-20

-10

0M

agni

tude

(dB)

100

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


dB3−segradc /500=ω




• Las señales con frecuencias por debajo de la frecuencia de corte son considerablemente no afectadas por el filtro.

• Se debe notar, sin embargo, que las señales cuyas frecuencias están por debajo de la frecuencia de corte son atenuadas por aproximadamente 30%.

• Otros tipos de filtros pueden proveer una pendiente mayor, pero los circuitos RC poseen la ventaja de ser muy simple y económicos.




• Se aplica una señal de f = 10 Hz, ω = 62.8319 rad/sg




• Atenuacion y defasaje para f = 10 Hz

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

System: GFrequency (rad/sec): 55.6Magnitude (dB): -1.17

100

101

102

103

104

-90

-45

0

System: GFrequency (rad/sec): 55.6Phase (deg): -29.1

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)




0.05 0.1 0.15 0.2-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo [seg]

Salid

a

0.22 0.240.9

0.95

1

seg002.0

xsegseg

→→

002.0180010.0 o

°=×

= 36010.0

180002.0 o

x



100

101

102

103

104

-90

-45

0

System: GFrequency (rad/sec): 67.6Phase (deg): -34.1

Phas

e (d

eg)

Frequency (rad/sec)


• Para una frecuencia f = 10 Hz

69.32−

segrad /8913.62=ω




• Un trazado XY puede ser empleado para calcular el defasaje de las señales de entrada y salida.




0.05 0.1 0.15 0.2-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo [seg]

Salid

a

0.22 0.240.9

0.95

1675.0=inV575.0=outV

8519.0575.0575.0

==G

( )8519.0log20=dBG

dBG dB 3963.1−=




• Se aproxima la salida en f = 10 Hz

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

System: GFrequency (rad/sec): 67.6Magnitude (dB): -1.64

0

Bode DiagramdB3963.1− segrad /8913.62=ω




• Para f = 200 Hz

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

System: GFrequency (rad/sec): 1.27e+003Magnitude (dB): -22.1

100

101

102

103

104

-90

-45

0

System: GFrequency (rad/sec): 1.27e+003Phase (deg): -85.5

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

dB22− dB22−




• f = 1000 Hz

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

System: GFrequency (rad/sec): 3.38e+003Magnitude (dB): -30.6

100

101

102

103

104

-90

-45

0

System: GFrequency (rad/sec): 3.38e+003Phase (deg): -88.3

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)




• La pulsación de corte es : ωc = 1/RC y la frecuencia de corte fc = 1/(2πRC)

• Si ω << ωc el térmico ωRC es despreciable en el denominador y G≈ 1, el desfase entre entrada y salida, resulta despreciable

• Si ω >> ωc el término ωRC es dominante y RCGω1≈, el desfase entre entrada y salida tiende a –90º ( Vs/Ve tiende a 1/j ωRC= -j/ ωRC)

• Para frecuencias muy inferiores a la de corte el filtro tiene ganancia unitaria

• Para frecuencias muy superiores la ganancia cae en forma proporcional a la frecuencia.




• Para f=fc la ganancia cae a 0,7 aproximadamente. • La respuesta en fase (desfase entre señal de entrada y

salida) sigue una evolución análoga variando desde 0ºa bajas frecuencias hasta –90º en altas con un desfase de –45º en la frecuencia de corte.

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

Mag

nitu

de (d

B)

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



2.2 Filtro Pasa bajo RL

• El siguiente circuito RL, corresponde a un filtro pasa bajo de primer orden:

• La función de transferencia resulta:

L

+

−

outVinV R

inout VLjR

RVω+

= ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

==

RLjLjR

RVV

jHin

out

ωωω

1

1



2.2 Filtro Pasa bajo RL

• Si se considera R = 10Ω, L = 100mH.

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

RLsV

VsH

in

out

1

1

segradRL /100==ω

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

decdB20−



2.3. Filtro Pasa Bajo LC

• El siguiente circuito LC, corresponde a un filtro pasa bajo de segundo orden:

• La función de transferencia es:

C

L

+

−

outVinV

LCsVV

in

out211

+=




• En el dominio de la frecuencia:

C

L

+

−

outVinV

LCCj

Lj

CjVout 211

1

1

ωω

ω

ω−

=+

=




• La pulsación de corte es:

• Y la frecuencia de corte es:

LCc

1=ω

LCfc

π21

=




• Si ω << ωc el térmico ω2LC es despreciable y G≈ 1, en cuanto a desfase entre entrada y salida, resulta cercano a 0º

• Si ω >> ωc el término ω2LC es dominante y

el desfase entre entrada y salida tiende a 180º debido a la inversión de signo.

LCG 2

1ω

−=




• Para ω en el rango de ωc se produce el efecto de resonancia el denominador tiende a cero y, por tanto, la ganancia a infinito.

• En la práctica las resistencias parásitas en el filtro y el efecto de la carga en la salida, que se supone fundamentalmente resistiva, provocan que dicha respuesta infinita teórica no sea cierta, sin embargo síse puede tener una ganancia considerable en el punto de resonancia.



-50

0

50

100

150

Mag

nitu

de (d

B)

102

103

104

-360

-315

-270

-225

-180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


segradc /1000=ω

fCmHL

μ10010

==



-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (d

B)

180

Bode Diagram


segradc /1000=ω 000.10

decdB40−



3. Filtro Pasa Alto

• La forma general de la función de transferencia de un filtro pasa-alto es:

• La magnitud y fase quedan dadas por:( )

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

ωω

ωc

KjH

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=∠ −

ωω

ω c

KK

jH 1tan

( )

ωω

ωcj

KjH−

=1



3. Filtro Pasa Alto

ωω1.0 ω10ω5.0

dB1−dB3−

decdB /20+

ω2

dB1

() dB

jH

ω



3. Filtro Pasa Alto

ωω1.0 ω10ω5.0 ω2

°− 6

°− 5

°6

°5()

ωjH

∠



3.1. Filtro Pasa Alto RC

• El siguiente circuito RC, corresponde a un filtro pasa alto de primer orden:

• La función de transferencia resulta ser:

C

R

+

−

outVinV

sRCsRCV

VV in

in

out

+=

1




• En el dominio de la frecuencia:

C

R

+

−

outVinV

RCjRCVj

V

CjR

RV ininout ω

ω

ω+

=+

=11




• Si R = 100Ω y C= 20μf

sec/500rad=ω

ssV

VV in

in

out

002.01002.0+

=

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

101

102

103

104

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

decdB20+



-40

-30

-20

-10

0M

agni

tude

(dB)

101

102

103

104

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


segradc /5001==

τω

decdb20+




• Si ω << ωc el término ωRC es despreciable y G ≅ 0, en cuanto a desfase entre entrada y salida, resulta cercano a 90º (Vs/Ve≈ jωRC )

• Si ω >> ωc el término ωRC es dominante y G ≅ 1, el desfase entre entrada y salida tiende a –0º

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

101

102

103

104

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



3.2. Filtro Pasa-Alto RL

• La forma general de la función de transferencia de un filtro pasa-alto RL es:

LR

c =ω

L

R

+

−

outVinV

( )LR

s

sH11

1

−= ( )

LRs

ssH−

=



3.2. Filtro Pasa-Alto RL

• La forma general de la función de transferencia de un filtro pasa-alto RL es:

LR

c =ω

L

R

+

−

outVinV

( )

ωω

ωcj

jH−

=1

1



3.2. Filtro Pasa-Alto RL• Si se considera R = 10Ω, L = 100mH.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

102

103

104

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

segradc /100=ω

decdB20+



4. Filtro Pasa-Banda

• Un filtro pasa banda, permite el paso de señales con un rango de frecuencia (banda de transmisión) y atenúa con frecuencias fuera de este rango.

highωlowω

( )ωjH

ω




Donde:ωlow : frecuencia de corte mas bajaωhigh : frecuencia de corte mas altaω0 : centro de frecuenciaB: ancho de bandaQ: Factor de calidad

lowhighB ωω −=highlowωωω =0

RQ 0ω

=

highωlowω

( )ωjH

ω




• Un filtro pasa banda de segundo orden incluye dos elementos de almacenaje (dos capacitores, dos inductores o uno de cada uno).

• La función de transferencia de un filtro pasa banda de segundo orden puede ser escrito:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

ωω

ωω

ω0

01 jQ

KjH




• La representación de la magnitud y la fase versus la frecuencia queda:

( )2

0

0

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

ωω

ωω

ω

Q

KjH

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=∠ −

ωω

ωωω 0

0

1tan QKK

jH



4. Filtro Pasa-Banda• El máximo valor de |H(jω)| = |K| es llamado la

ganancia del filtro.• La frecuencias de corte puede ser calculado por el

hecho de que:|H(jω)|max = K

• Y ajustando:

• Y resolviendo para ωc.( ) 2/KjH =ω




10

0±=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

c

cQωω

ωω

( ) ( )2

0

0

2max

122

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

===

c

c

c

Q

KKjHjH

ωω

ωω

ωω

12

0

0

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

c

cQωω

ωω

02

20

2 =±− Qccωω

ωω

QQhigh 2411 0

20ω

ωω ++=QQlow 24

11 020

ωωω −+=



4. Filtro Pasa-Banda• Los trazados de Bode de un filtro de segundo orden

se muestran.• Nótese que así como Q se incrementa el ancho de

banda se hace mas pequeño.




• El trazado de la fase resulta ser:




• A bajas frecuencia ω/ω0 <<1,( a +20dB/década) y,

• A altas frecuencia ω/ω0 >>1,( a +20dB/década), y)

• A altas frecuencia ω = ω0,

(máxima ganancia del filtro)

( ) ωω /1∝jH

( ) ωω ∝jH ( ) °→∠ 90ωjH

( ) °−→∠ 90ωjH

( ) °=∠ 0ωjH

( ) KjH =ω

( ) KjH =ω



4.1. Filtro Pasa Banda RLC

• Un circuito RLC como el siguiente corresponde a un filtro pasa banda:

• La función de transferencia resulta ser:

( )sC

sLR

RVV

jHin

out1

++==ω

L

+

−

outVinV R

C




• La función de transferencia resulta ser:( )

CjLjR

RVV

jHin

out

ωω

ω1

++==

L

+

−

outVinV R

C

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

==

CLjR

RVV

jHin

out

ω

ω1




• Fácilmente se puede resolver y lograr:

• Para encontrar las frecuencias de corte, solo basta resolver:

LC1

0 =ωCR

LLR

Q 20

/ω

=

2112

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

RCRL

c

c

ωω



5. Filtros Pasa Banda, Banda Ancha

• Los filtros pasabanda pueden ser construido colocando un filtro pasa-alto y pasa-bajo en cascada.

• El filtro pasaalto se ajusta a la frecuencia menor.• El filtro pasabajo se ajusta a la frecuencia mayor.




• U ejemplo es dos filtros RC pasa bajo y pasa alto en cascadas.

• Estos filtros son ampliamente usados (cuando son apropiados) en ves de un RLC, ya que los inductores son usualmente grandes y toman mucho espacio.

1C

1R

+

−

outV2C

2R

inV

+

−

1V

Filtro Pasa-bajo Filtro pasa-alto




• A fin de lograr un buen acoplamiento de voltaje en el circuito, la impedancia de entrada del pasa-alto (realmente Zin|min = R1) debe ser mucho mas alta que la impedancia de salida del filtro pasa-bajo (realmente Zout|min = R2), es decir, se debe cumplir: R1 >> R2.

• En este caso la función de transferencia resulta:

( ) ( ) ( )

ωω

ωω

ωωω1

2

211

1

1

1c

c

jjjHjHjH

−×

+=×=

111

1CRc =ω

222

1CRc =ω




• Transformado la función de transferencia a la forma canónica se puede tener:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

2211

1

cc

jjjH

ωω

ωω

ω

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ωω

ωω

ω1

22

11

1

c

cc

c jjH

2

11

1

c

cK

ωω

+=




• Transformado la función de transferencia a la forma canónica se puede tener:

21

21

/1/

cc

ccQωω

ωω+

=

2

11

1

c

cK

ωω

+=

210 cc ωωω =




• Las frecuencias de corte del filtro resulta ser:

• Ignorando el termino 4Q2 comparado con 1 (debido Q es pequeño),se tiene:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=++=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=++=

141224

11

141224

11

20020

20020

QQQQ

QQQQ

low

low

ωωωω

ωωωω

221

210

/c

cc

cclow Q

ωωω

ωωωω ===

repuesta en frecuencia

Documents