repartido i funciones concepto de función · de las dos gráficas siguientes, la de la izquierda...

Prof.: Lucia Tafernaberry 3º EMT – Matemática “A”

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Repartido I FUNCIONES

Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen una única imagen en B. Ejemplo:

De las dos gráficas siguientes, la de la izquierda es una función porque a cada valor de x corresponde uno (o ninguno) de y. sin embargo, la gráfica de la derecha no es una función, pues hay valores de x a los que corresponden más de un valor de y.

ES FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

: ( )f D R x f x y El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente. Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

( )y f x Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

( )f x x x x Dominio Conjunto inicial 0( )D f R

Conjunto final Conjunto imagen o Recorrido 0( )R f R

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

Ejemplo: Indicar en cada caso dominio y recorrido.

( ) , 2 2,2 2,

( ) ,0 15,

D f

R f

0

( ) ,

( ) 0,

D f

R f

( ) , 1 1,

( )D fR f

( )( ) 0,5

D fR f


2

Dominio de definición de una función: Conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir para los que hay un f(x). Razones por las que el dominio de definición debe restringirse: Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x. Por ejemplo: denominadores que se anulan,

raíces cuadradas de números negativos. Contexto real del que se ha extraído la función. Por voluntad de quien propone la función.

Ejemplos:

1( )

3f x

x

, la función no está definida en 3x (el denominador sería 0), su dominio de definición es:

( ) 3 , 3 3,D f R .

( ) 2f x x , la función no está definida para valores de x menores que 2 (x < 2), pues el radicando sería negativo. ( ) 2,D f .

Volumen de un cubo: 3V l , 0l , pues de otra manera no hay cubo. 0,D .

( ) 2 5, 1,6f x x x , ( ) 1,6D f por voluntad de quien propone el enunciado. ………………………………………………………………………………………………………………………………... Funciones constantes La función constante es del tipo:

( )f x n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Rectas verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K Función lineal Función de proporcionalidad

La función lineal es del tipo: ( )f x mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo: f(x) = 2x

Pendiente m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

x 0 2 y = 2x 0 4


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Función identidad ( )f x x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Función afín La función afín es del tipo:

( )f x mx n

m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Funciones lineales de costo, ingreso y utilidad Funciones lineales de costo A las empresas les interesan los costos porque reflejan el dinero que gastan. Esos flujos de dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler, energía, teléfono, calefacción, servicios públicos y otros gastos. El costo total suele definirse en términos de dos componentes: costo total fijo (que NO depende del tamaño de la producción) y el costo total variable (que depende de la cantidad de unidades producidas). Ejemplo:

Una empresa que elabora un sólo tipo de producto quiere determinar el costo total anual en función de la cantidad de unidades producidas. Los contadores indican que los gastos fijos para cada año son de 45000U$S. también han estimado que por cada unidad producida los costos de materias primas ascienden a U$S 5,50 y que los de mano de obra son de U$S 1,50 en el departamento de montaje, U$S 0,75 en la planta de acabado y de U$S 1,25 en el departamento de empaque y embarque. Si designamos con x a la cantidad de productos fabricados durante el año tenemos: Costo fijo anual = U$S 45000 Costo variable anual = 5,50x +1,50x +0,75x +1,25x = 9x U$S El costo total anual C(x) se obtiene sumando los costos totales fijos y variables obteniendo: C(x) = 9x +45000 U$S. Al ser x la cantidad de productos fabricados durante el año 0x . El ejemplo anterior muestra una situación simplificada en donde se supone que los costos variables son directamente proporcionales al tamaño de la producción y que sólo dependen de ella. Hay algunas funciones de costo más complicadas. Funciones lineales de ingreso Supongamos que la empresa del ejemplo anterior vende a U$S 12 la unidad. El dinero que entra por concepto de ventas recibe el nombre de ingreso total. Si suponemos que se venden todos los artículos que se produce, la función de ingreso viene dada por: I(x) = 12x U$S. Funciones lineales de utilidad La utilidad es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:

Utilidad Ingreso Costo

Corte eje Oy (0, n)

Corte eje Ox (mn

,0)

Función Corte Oy Corte Ox f (0,10) (-5,0)

g (0,3) 3 ,0

2

h (0,-2) 1,0

p (0,-10) (5,0)


4

Para el ejemplo que venimos manejando resulta que la función de utilidad U(x) es:

( ) ( ) ( ) 12 (9 45000) 3 45000U x I x C x x x x

El signo de la utilidad es muy importante ya que:

( ) 0( ) 0

U x PÉRDIDAU x GANANCIA

En este caso se verifica que habrá perdida para x < 15000 (si se venden menos de 15000 unidades) y ganancia para x > 15000 (si se venden más de 15000 unidades). El punto en el que la utilidad se anula (costo igual a ingreso) se denomina punto de equilibrio y , en este caso, es de 15000 unidades. Es posible visualizar la situación de dos maneras: graficando la función de utilidad o graficando las funciones de costo e ingreso en un mismo sistema de coordenadas. Para completar la discusión de este ejemplo vamos a responder a la siguiente pregunta: ¿cuántos artículos hay que vender para obtener una ganancia de U$S 255000? Lo que queremos es encontrar aquel (o aquellos) valores de x para el cual la utilidad resulte de U$S 255000. Para ello debemos resolver la ecuación ( ) 255000U x

( ) 255000 3 45000 255000 3 300000 100000U x x x x Para obtener una ganancia de U$S 255000 se deben vender 100000 artículos. ……………………………………………………………………………………………………………………………… Función cuadrática Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

2( ) 0f x ax bx c a

En el ejemplo anterior siempre asumimos que el precio de cada artículo era fijo y que la única variable en consideración era el tamaño de la producción. Otro modelo posible consiste en considerar que la demanda de determinado artículo (número de productos que el mercado está dispuesto a comprar) depende del precio que se fije, ya es razonable pensar que cuanto mayor sea el precio, menor será la demanda. Si designamos con p al precio de cada unidad, la demanda será una función que depende de esta variable p y que simbolizaremos D (p). Si se venden D (p) unidades y el precio de cada una es p entonces el ingreso total (debido a esa venta) se obtiene multiplicando ambas cantidades: ( ) ( )I p p D p . Si consideramos el caso más sencillo de una demanda lineal:

( )D p ap b el ingreso correspondiente resulta ser: 2( ) ( ) ( )I p p D p p ap b ap bp que no es una función lineal, sino una función polinómica de segundo grado. Gráfica de una función cuadrática Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice

abf

abV

abfy

abx vv 2

,222

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es: abx

2

2. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

2 0ax bx c 2 4

2b b acx

a

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0


5

a > 1 f(x) = x2 g (x) = 2 x2 h (x) = 4 x2 p (x) = 6 x2 Dilatación de una función

Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.

Contracción de una función Una función f(k·x) se contrae si K > 1.

f(x) = x2 0 < a < 1 g (x) = 1/2 x2 = x2/2 h (x) = 1/4 x2 = x2/4 p (x) = 1/6 x2 = x2/6

3. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

2

0 0

(0) (0) (0) : 0,f a b c c Corte Oy c

Ejemplo: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice 2( 4) 2 (2) (2) 4(2) 3 1 (2, 1)

2v vx y f V Eje de simetría: x = 2

2. Puntos de corte con el eje OX

2

1

2

4 3 034 16 12 4 2 : 3,0 1,012 2

x xx

x Corte Ox yx

3. Punto de corte con el eje OY

3 : 0,3c Corte Oy

Dilataciones y contracciones de funciones

Las formas de las parábolas (que sus ramas estén hacia arriba o hacia abajo, que sean más o menos anchas…) dependen, exclusivamente, del valor de a.

Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo valor de a (el mismo coeficiente de x2), las parábolas correspondientes son idénticas, aunque situadas en posiciones distintas.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba (concavidad positiva) . Si a < 0, las ramas van hacia abajo (concavidad negativa) .


6

Demanda e ingreso en función del precio Supongamos que en base a una serie de encuestas, una empresa a estimado que la demanda de uno de sus artículos depende del precio p del mismo mediante la función:

( ) 1500 50D p p . En este caso sólo tiene sentido considerar valores de p pata los cuales ( ) 0D p , es decir: 0 30p . Cuando el precio es p = 0 la demanda es de 1500 artículos; la misma decrece hasta llegar al valor 0 cuando el precio es p = 30. Ahora el ingreso también es función de p y viene dado por:

2( ) ( ) (1500 50 ) 50 1500I p p D p p p p p Una pregunta importante es ¿cuál debe ser el valor del precio a fijar para que el ingreso sea máximo? Para resolver este problema graficamos la función ( )I p , teniendo en cuenta que solo nos interesará la región correspondiente a valores de p comprendidos entre 0 y 30. El mayor valor de ( )I p se obtiene para p = 15 y vale (15) 11250I .

Costos y utilidad en función del precio En el ejemplo anterior hallamos el precio para que el ingreso de la empresa fuese máximo, pero no consideramos los costos debidos a la producción. Un problema más interesante consiste en averiguar cuál es el precio que se le debe poner al artículo para que la utilidad sea máxima. Agreguemos (al mismo ejemplo) el siguiente dato: la función de costos por producir x artículos es ( ) 3750 2C x x . Como la empresa conoce la función de demanda ( )D p , es razonable pensar que, dado un precio p, fabricará la cantidad de unidades que se pueden vender a ese precio y esa cantidad es, precisamente, ( )D p . Si en la función de costos sustituimos la x por ( )D p obteniendo el costo total en función del precio: ( ) 3750 2(1500 50 ) 6750 100C p p p La función de utilidad resulta ser: 2 2( ) ( ) ( ) 50 1500 (6750 100 ) 50 1600 6750U p I p C p p p p p p Verifica que el máximo se obtiene cuando el precio es p = 16 y que la utilidad para ese precio es (16) 6050U .

Equilibrio entre oferta y demanda Seguimos considerando un modelo que se refiere a un solo tipo de bien (cierto tipo de artículo, por ejemplo). Por un lado tenemos el grupo de compradores y por otro el de vendedores (la empresa o la fábrica que produce y vende dicho bien). La cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a comprar es la función de demanda (que depende del precio que se le asigne al artículo). En general, esta función es desconocida por parte de los vendedores. La cantidad de artículos que la empresa está dispuesta a fabricar depende (entre otras variables que no consideraremos aquí) del precio por unidad. Cuanto mayor sea el precio, más artículos producirá con la consecuente reducción de costos. La función de oferta es entonces la función que da la cantidad de artículos que una empresa está dispuesta a producir en función del precio que se le fije a cada artículo. Tenemos por un lado lo que la empresa está dispuesta a ofrecer y por otro lado lo que el mercado está dispuesta a comprar. Los puntos en que ambas cantidades coinciden de denominan puntos de equilibrio (de esta microeconomía). Si designamos con ( )S p y ( )D p respectivamente a las funciones de oferta y de demanda del artículo en cuestión, los puntos de equilibrio son aquellos en los cuales se verifica la igualdad ( ) ( )S p D p . Para encontrar los eventuales puntos de equilibrio entre oferta y demanda debemos entonces resolver la ecuación: ( ) ( )S p D p que es equivalente a

( ) ( ) 0S p D p . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

012

2

012

2

......

)(bxbxbxbaxaxaxaxf m

m

nn

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

xkxf )(

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

dcxbaxxf

)(


7

Para representar hipérbolas del tipo dcxbaxxf

)(

1 – Dominio (Asíntota vertical)

cx + d = 0 cdx

D (f) = R -

cd

Asíntota vertical cdx

2 – Cero (Corte con el eje

Ox )

ax + b = 0 abx

Corte

Ox

0,

ab

si a = 0 no corta al eje

Ox

3 – Ordenada en el origen (Corte con el eje

Oy )

dbf )0( Corte

Oy

db,0

si d = 0 no corta al eje

Oy 4 – Asíntota horizontal Indica el comportamiento de la función en valores muy

grandes de x. Asíntota horizontal cay

Ejemplo:

1 - x + 1 = 0 x = -1 D(f) = R - -1 Asíntota vertical x = -1

2 - 3x +5 = 0 67,135

x corte

Ox

0,

35

3 - 515)0( f corte

Oy (0,5)

4 - 313y Asíntota horizontal y = 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Funciones radicales Función radical de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. ( )f x x 4( )f x x

( ) 0,

( ) ,0

D f

R f

( ) 0,

( ) 0,

D f

R f

Función radical de índice impar El dominio es, el dominio del radicando.

3( )f x x


8

Funciones definidas a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. …………………………………………………………………………………………………………………….............................................................................................

Algunas transformaciones de Funciones Representación de ( )y f x k a partir de ( )y f x

Si k es un número positivo, la gráfica de ( )y f x k y la de ( )y f x k son como la de ( )y f x desplazadas k unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Ejemplo:

Representación de ( )y f x a partir de ( )y f x

Las gráfica correspondiente a ( )y f x es la simétrica de la de ( )y f x respecto del eje Ox

.

Ejemplo:

2

2 2 11

( ) 2 1 313 3

( )

x si xx

f x x x si x

D

x s

R

i x

f

2

( ) 2

2( )

4 2x si x

f xsi

D fx

R


9

f (x) = E (x)

Representación de ( )y f x a a partir de ( )y f x Si a es un número positivo, las gráficas de ( )y f x a e ( )y f x a son como las de ( )y f x desplazadas a unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. Ejemplo:

Representación de ( )y f x a partir de ( )y f x

La gráfica de ( )y f x es simétrica de la de ( )y f x respecto al eje Oy

.

Ejemplo:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Función parte entera de x Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2 f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2


10

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2 f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

f (x) = x - E (x)

( 3)Sg x

( )f x x

Función mantisa Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Función signo

0100

01)(

xsixsi

xsixf

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

Función valor absoluto ( ) ( ) 0( )( ) ( ) 0

f x si f xy f xf x si f x

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1 - Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2 - Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3 - Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la función es negativa se cambia el signo. 4 - Representamos la función resultante.

Ejemplo: ( ) 3f x x 303 xx

3333

)(

3)3(3)(

xsixxsix

xf

xxxxf

Otras formas de representar… Simetría axial respecto a Ox

. Ejemplo: 2( ) 2 3y f x x x Traslación. Ejemplo: ( ) 4g x x

f (x) = Sg(x)


11

Valor absoluto propiedades:

22 2

2

,1) 0

7)2) 0 0

8)3) 9)4) 10) ( )5) . .

11)

6) ; 0 12)

x y Rx

x x xx x

x a a x a a Rx x x x a x a x a a Rx y x y x y x y x y D esigualdad triangularx y x y

x xxx y x a x a x a a R

y y

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

Ejemplos: Resolver en R: a) 2x + 3 = 5 b) - 4x + 7 < 9 c) - x + 6 4 d) x2 - 5 < 4

a) 1,44532

1532532

12

Sxx

xxx

P

b)

4,

21

21974

49749749974

8Sxx

xxxx

P

c)

,102,2461046

469

Sxx

xxx

P

d) 3,11,3

33

0945

11

014545445

22

22

2

8

2

S

xx

xx

xx

xxxx

P

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Composición de funciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Ejemplo:

( ) 3 1

( )(( )

) ( )2

( ) 2 23( ) 1 6 1o

f g x xg

xf x g g x

xf x x x


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Dominio ( ) ( ) / ( ) ( )oD g f x D f f x D g

Propiedades Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h No es conmutativa: f o g ≠ g o f El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x. f o i = i o f = f

Ejemplos Sean las funciones:

3( )2 1

( ) 3 2 xg xf x xx

( ) 3 3 5( )2( )

3 3( )2 1 2 1

3 2(1 6 5

7 1

) 3 23 2

13 22 1

xf

x xg

x

x

xg f g gx

xf g f fx

x

x

x

x

2( )2

)1

(xf xx

g x x

2 2( )2 1 2

2(21

( ) )1

g f g g f g f fx xf xx

xx

g x xx

_________________________________________________________________________________________

2 1 1( ) ((2 11 2

1 ))f xg x h xx

xx x

2 32 1

2 3( )( )

2 11 2

2 3

1

2 1

1 2 12 32 1

2 1

1( )12 1

2 1

xg g g

xh g f h h

fx

xg f xxx

xfx

x

xx

x

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Clasificación de funciones Función inyectiva Una función es inyectiva si y solo si a elementos distintos del dominio corresponden elementos distintos en el codominio. Pueden existir elementos en B que no tengan ninguna preimagen en A. Función sobreyectiva Una función es sobreyectiva cuando el recorrido y el codominio son iguales. Todo elemento de B tiene, por lo menos, una preimagen en A. Función biyectiva Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva. Todo elemento de B es imagen de un único elemento de A.


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Función inversa o recíproca Dada una función f biyectiva, se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que: El dominio de f −1 es el recorrido de f. El recorrido de f −1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función

tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

f o f -1 = f -1 o f = x Las gráficas de f y f - 1 son simétricas respecto

de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, 1( )f x , y la inversa de una función, 1( )f x

.

Cálculo de la función inversa

Ejemplo: hallar la inversa de 132)(

xxxf

1 Se escribe la ecuación de la función en x e y.

2 31

xyx

2 Se despeja la variable x en función de la variable y. 3( 1) 2 3 2 3 2 3 ( 2) 32

yy x x xy y x xy x y x y y xy

3 Se intercambian las variables. 1 3( )

2xf xx

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

25

10)7(717)2( 1 ff

Ejemplo: hallar la inversa de 3 1)( xxf

1)(111 31333 xxfyxxyxy

Ejemplo: hallar la inversa de 2)( xxf (No biyectiva) 2y x x y

1( )f x x No es función (no cumple unicidad)

0 0 0 0

1 10

1

2

0 0 0

2

1

: ( ) : (

( )

)

:

(

(

)

:

)

)

( ff R R biyectiva f R R biyectiva

f R R f

f x x

f

x x

R Rx x xf x


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xexf )(

Lxxf )(

y = x

a > 1

x

exf

1)(

xxfe1log)(

y = x

0 < a < 1

Función exponencial

La función exponencial es del tipo: ( ) xf x a Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. Propiedades de la función exponencial Dominio: R. Recorrido: R+. Es continua xR. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva a 1 (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a > 1. Decreciente si 0 < a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a) x son simétricas respecto del eje OY.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

10log)(

aaxxf a

Propiedades de las funciones logarítmicas Dominio: R+ Recorrido: R Es continua xR. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a

la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene

más de un original). Creciente si a > 1. Decreciente si 0 < a <1. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica

(respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

x y = (1/2)x -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8

x y = 2x -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8


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Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplos: Resuelve en R:

a) 16807 5343 16807 343 16807 . 343 16807343 3

x x LL L x L L x xL

S =

35

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

b) 2 2 8235437 823543 (7 ) 823543 ( 2) 7 823543 2 7 57

x x LL L x L L x xL

S = 5 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

c)

2 2

2 2

( 8) 0 : 8 0 8 8 2,8

, 8 8,

1 0 8 1 9 9 3 3,3

L x Existencia x x x

D

L x x x S

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

d) 2( 1)log ( 3) 2x x

2 2 2( 1) .log

2 2

2

log ( 3) 2 ( 1) 3

2 1 3 2 2 1 1: 1 1 1 2 0

3 1 3 4 0

x Defx x x

x x x x x SComprobación x

x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

e)

12 2

1 2

2

2 2

2 2

5 5 1,3825 5 0 : 5 5 0 ,

5 5 3,622

41 0 5 5 1 5 4 0

13

1 0 5 5 1 5 6 0 4, 3, 2, 12

xL x x Existencia x x D R x x

x

xL x x x x

xx

L x x x x Sx

Propiedades:

lo g.1) ( )

2 ) lo g lo g lo g . ( .

3) lo g lo g lo g

4 ) . lo g lo g ( )lo g5 ) lo g ( )lo g

6 ) lo g 1 07 ) lo g 1

8 ) lo g19 ) lo g . lo g

11 0 ) lo g lo g

b aL a k k L a

b b b

b b b

kb b

db

d

b

ba

b

nb b

b b

b a e a a e k Ra c a c L a L b L a b

aa cc

k a a k Raa c a m b io d e b a s eb

bb a

a an

aa

.

)

.

1 01

1 .

1

( )

k

a

n

L a k k L a

aL a L b Lb

k L a L a

LL eL e a

L a L an

L L aa

e a a e k R


16

Función par Una función es par si cumple que:

f(-x) = f(x)

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si ésta es una función par. Ejemplo:

Función impar Una función es impar si cumple que:

f(-x) = -f(x) Una función es simétrica respecto al origen si ésta es una función impar.

Ejemplo:

)()3(3)(3)()(

3)(

353535

35

xfxxxxxxxf

xxxf

Funciones trigonométricas

Función seno

f (x) = sen x Función coseno

f (x) = cos x

Función tangente

f (x) = tg x

Dominio: R Recorrido: [−1, 1] Período: 2 rad Continuidad: Continua xR Par: cos(−x) = cos x

Dominio: R Recorrido: [−1, 1] Período: 2 rad Continuidad: Continua xR Impar: sen(−x) = −sen x

)(434)(3)()(

43)(

2424

24

xfxxxxxf

xxxf

Dominio

ZkkR ,

2

Recorrido: R

Continuidad: Continua en x

ZkkR ,

2

Período: rad Impar: tg (−x) = −tg x


17

Función cotangente f (x) = tg x = 1

tgx

Función secante

f (x) = sec x = xcos

1

Dominio:

ZkkR ,

2

Recorrido: ,11,

Período: 2 rad

Continuidad: Continua en x

ZkkR ,

2

Par: sec(−x) = sec x

Función cosecante f (x) = cosec x =

senx1

Funciones trigonométricas inversas Función arcoseno

f (x) = Arsen x Dominio: 1,1

Recorrido:

2,

2

Continuidad: Continua si -1 x 1 Impar: Arsen(−x) = −Arsen x

Dominio: R - k, kZ Recorrido: R Continuidad: Continua en x R - k, kZ Período: rad Impar: cotg (−x) = −cotg x

Dominio: R - k, kZ Recorrido: ,11,

Período: 2 rad Continuidad: Continua en x R - k, kZ Impar: cosec(−x) = −cosec x


18

Función arcocoseno

f (x) = Arcos x Dominio: 1,1

Recorrido: ,0

Continuidad: Continua si -1 x 1 Función arcotangente

f (x) = Artg x

Dominio: R

Recorrido:

2,

2

Continuidad: Continua si xR Impar: Artg(−x) = −Artg x

Amplitud y período

Por ejemplo para f (x) = sen x Funciones de la forma:

f (x) = a(senx) La función varía desde un mínimo –a hasta un máximo a. El número a es llamado amplitud de f.

-9/2 -7/2 -5/2 -3/2 -/2 /2 3/2 5/2 7/2 9/2

-4 -3 -2 - 0 2 3 4

senxxf )(senxxf 2)( senxxf

21)(

2 1 -1 -2

-9/2 -7/2 -5/2 -3/2 -/2 /2 3/2 5/2 7/2 9/2

-4 -3 -2 - 0 2 3 4

1 -1

senxxf )(xsenxf 3)( xsenxf31)(

Funciones de la forma: f (x) = sen bx

El número b cambia el período de la función. En general con b > 0 el período de f es: b2

repartido i funciones concepto de función · de las dos gráficas siguientes, la de la izquierda...

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