rencana penyelenggaraan international conferencesecure site saklar: objek yang mempunyai dua buah...
TRANSCRIPT
ALJABAR
BOOLEAN
Oleh Wayan Suparta, PhD
Prodi Informatika, UPJ
Pertemuan 2: INF 203
OPERASI
PENJUMLAHAN
DAN
PENGURANGAN
Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi Penjumlahan
Aturan umum
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0, simpan (carry) 1
Operasi
Pengurangan
Aturan Umum
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 =1 , pinjam 1
Pemangkatan
Desimal 103
(1000)
102
(100)
101
(10)
100
(1)
Contoh 8
3
2
3
3
8
Simpan (carry) 1 1
Jumlah 1 1 6 1
Penjumlahan Desimal
Pemangkatan
Biner 25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
20
1
Contoh 1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
Simpan (carry) 1 1 1 1
Jumlah 1 1 0 1 0 0
Penjumlahan Biner
Bit Bertanda
Bit 0 menyatakan bilangan positif
Bit 1 menyatakan bilangan negatif
AA66 AA55 AA44 AA33 AA22 AA11 AA00
00 11 11 00 11 00 00 = + 52= + 52
BB66 BB55 BB44 BB33 BB22 BB11 BB00
11 11 11 00 11 00 00 = = -- 5252
Bit Tanda
Bit Tanda
Magnitude
Magnitude
Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem
komplement kedua (2’s complement form)
Komplemen ke 2
Komplemen ke 1
Biner 0 diubah menjadi 1
Biner 1 diubah menjadi 0
11 00 11 11 00 11 00
00 11 00 00 11 00 11
Misal
Biner Awal
Komplemen pertama
Membuat Komplemen ke 2
1. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama
2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB)
11 00 11 11 00 11
00 11 00 00 11 00
11
00 11 00 00 11 11
Misal:
Biner Awal = 45
Komplemen 1
Tambah 1 pada LSB
Komplemen 2
Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 2
1. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan dengan
biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di depan MSB.
2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan dalam
bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1) diletakkan di depan
MSB
00 11 00 11 11 00 11 Biner = + 45Biner = + 45
11 00 11 00 00 11 11 Biner = Biner = -- 4545
Bit Tanda
Bit Tanda Biner asli
Komplemen ke 2
Negasi
Operasi mengubah sebuah bilangan negatif menjadi
bilangan positif ekuivalennya, atau mengubah bilangan
positif menjadi bilangan negatif ekuivalennya.
Hal tersebut dilakukan dengan meng-komplemenkan ke
2 dari biner yang dikehendaki
Misal : negasi dari + 9 adalah – 9
+ 9 = 01001 Biner awal
- 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2)
+ 9 = 01001 Di negasi lagi
Dua bilangan positif Dilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4
Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2
+9+9 00 11 00 00 11
+4+4 00 00 11 00 00
00 11 11 00 11
Bit tanda, ikut dalam operasi penjumlahan
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif
yang lebih kecil
Misal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari
komplemen ke dua dari +4
+9+9 00 11 00 00 11
--44 11 11 11 00 00
00 00 11 00 11 1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif
yang lebih Besar
Misal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari
komplemen ke dua dari +9
--99 11 00 11 11 11
+4+4 00 00 11 00 00
11 11 00 11 11
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Dua Bilangan Negatif
Misal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing –
masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4
--99 11 00 11 11 11
--44 11 11 11 00 00
11 00 00 11 11
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
1
Carry diabaikan
Operasi Pengurangan Aturan Umum
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 =1 , pinjam 1
11 11 11 00
11 00 11 11
11 11 PinjamPinjam
00 00 11 11 HasilHasil
Misal:
Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan melibatkan komplemen ke 2 pada
dasarnya melibatkan operasi penjumlahan tidak berbeda
dengan contoh – contoh operasi penjumlahan
sebelumnya.
Prosedur pengurangan
1. Negasikan pengurang.
2. Tambahkan pada yang dikurangi
3. Hasil penjumlahan merupakan selisih antara
pengurang dan yang dikurangi
Misal : +9 dikurangi +4
+9 01001
+4 00100 -
Operasi tersebut akan memberikan hasil yang sama dengan
operasi
+9 01001
-4 11100 +
+9+9 00 11 00 00 11
--44 11 11 11 00 00
00 00 11 00 11 1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
ALJABAR BOOLEAN 1. Definisi dan Identitas Boolean
2. Bentuk Kanonik
Minterm dan Maxnterm
SOP dan POS
Konversi
3. Aplikasi Boolean
Capaian Pembelajaran Mahasiswa dapat menjelaskan konsep diagram Venn,
teorema Boolean dan membangun fungsi Boolean.
• Misalkan terdapat
• Dua operator biner: + dan
• Sebuah operator uner: ’
• B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ,
dan ’0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
• Tupel
(B, +, , ’)
• disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B
berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington
berikut:
Definisi Aljabar Boolean
1. Closure: (i) a + b B
(ii) a b B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a b = b . a
4. Distributif:(i) a (i) (b + c) = (a b) + (a c)
(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)
5. Komplemen[1]: (i) a + a’ = 1
(ii) a a’ = 0
Postulat Huntington
Aljabar Boolean dua-nilai:
- B = {0, 1}
- operator biner, + dan
- operator uner, ’
- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
A B A B A B A + B A B’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Perjanjian: A B AB
21
Hukum-hukum Aljabar Boolean 1. Hukum identitas:
(i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
2. Hukum idempoten:
(i) a + a = a
(ii) a a = a
3. Hukum komplemen:
(i) a + a’ = 1
(ii) aa’ = 0
4. Hukum dominansi:
(i) a 0 = 0
(ii) a + 1 = 1
5. Hukum involusi:
(i) (a’)’ = a
6. Hukum penyerapan:
(i) a + ab = a
(ii) a(a + b) = a
7. Hukum komutatif:
(i) a + b = b + a
(ii) ab = ba
8. Hukum asosiatif:
(i) a + (b + c) = (a + b) + c
(ii) a (b c) = (a b) c
9. Hukum distributif:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c
10. Hukum De Morgan:
(i) (a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’ = a’ + b’
11. Hukum 0/1
(i) 0’ = 1
(ii) 1’ = 0
Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan
dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya
sebagai
f : Bn B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan
pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah
asal B.
Contoh:
• f(x) = x
• f(x, y) = x’y + xy’+ y’
• f(x, y) = x’ y’
• f(x, y) = (x + y)’
• f(x, y, z) = xyz’
Ada dua macam bentuk kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
BENTUK KANONIK
x
y
z
Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku Lambang
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x’y’z’
x’y’z
x‘y z’
x’y z
x y’z’
x y’z
x y z’
x y z
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x + y + z
x + y + z’
x + y’+z
x + y’+z’
x’+ y + z
x’+ y + z’
x’+ y’+ z
x’+ y’+ z’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Kesimpulan: mj’ = Mj
Contoh: Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam
bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)
(b) POS
f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
Jadi,
f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)
Konversi Antar Bentuk Kanonik
Misalkan: f(x, y, z) = (1, 3, 5, 6)
dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,
f ’(x, y, z) = (0, 2, 4, 7) = m0+ m2 + m4+ m7
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat
memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:
f ’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
= m0’ . m2’ . m3’
= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= (0,2,3)
Jadi, f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7) = (0,2,3).
1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.
Tiga bentuk gerbang paling sederhana:
1. a x b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka x
2. a x y b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka xy
3. a x
c
b y
Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y
Aplikasi Aljabar Boolean
Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:
1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND
Lampu
A B
Sumber tegangan
2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR
A
Lampu
B
Sumber Tegangan
LATIHAN 2
1. 0,827 = (…..)2 dan (……)8 dan 0,1012 = …….. desimal.
2. 10010012 – 11010102 = ……..
3. 101012 – 8B16 = …….. 4. Hitung hasil operasi aritmatika pada bilangan biner berikut :
a) 1010 + 1101 c ) 1101 – 0010
b) 11011 + 01110 d) 11010 – 10010
5. Tentukanlah Komplemen 1 dan Komplemen 2 dari bilangan
desimal berikut :
a. 27 b. 36 c. 71 d. 90
6. Diketahui fungsi Boolean f(x, y, z) = xy’ z, nyatakan h dalam
tabel kebenaran.
7. Selesaikan fungsi f(x, y, z) = x(y’z’ + yz) dengan Teorema De
Morgan.
8. Buktikan distributif: a (b + c) = (a b) + (a c)
melalui tabel kebenaran:
9. Apa yang dimaksud degan bita tanda, MSB, LSB,
Komplemen 1 (K1) dan komplemen 2 (K2)?
a b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
10. Sederhanakan identitas berikut:
a). Y = AC’ + AB’C’ c). Y= (A+B) (A+C)
b). Y=AD’ + A’BD d). Y=(A+B)(A’+B)
11. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk
kanonik SOP dan POS.
x y z f(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
12. Carilah bentuk kanonik
SOP dan POS dari
f(x, y, z) = z’ + yz + xy’z
13. Nyatakan dalam bentuk
kanonik (SOP & POS) f(x, y, z)= (0, 2, 5, 7) dan
g(w, x, y, z) = (1, 2, 4, 8, 15)