8/14/2019 relação entre um quadrilátero inscrito em um hexágono regular

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Considere um hexágono regular ABCDEF e sejam M e N os pontosmédios dos lados BC e CD, respectivamente.?A razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono é? Fonte da pergunta

http://br.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AiOqCgTvWgW.ZdCtOvvMePMS7Qt.;_ylv=3?qid=20091230093229AA87zfR 

ou

http://j.mp/6SCRpb 

Resposta: 

Desenhando a figura apresentada no problema:

Para um hexágono sabemos que a área é dado por

ou

A principal dúvida esta na nova área formada formada pelo quadrilátero.

Depois de achado esta nova área, basta dividir a área do quadrilátero pelo área dohexágono e teremos o resultado procurado, ou seja,razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono

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Primeiramente, dividiremos o hexágono em 6 triângulos equiláteros, de onde poderemostirar algumas informações importantes conforme apresentado na figura abaixo.

Para um quadrilárelo a área é dado por

Nos concentraremos nos dois triângulos formados internamente.

O primeiro triângulo é formado por AOE

O segundo triângulo é formado por MON

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O segmento AO e OE possuem tamanho conforme a primeira fórmula apresentada na

figura do hexágono

Sendo assim, aplicando a lei dos cossenos, temos

Alterando AO e OE por e o ângulo por 120 graus

Agora já temos o tamanho da Base maior do quadrilátero

Aplicaremos a mesmo equação para achar base menor do quadrilátero

Conforme a figura apresentada, o segmento MO e ON possuem tamanho da altura dotriângulo equilátero de lado .

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A altura do triângulo equilátero, é dado por:

Da mesma forma, temos

Alterando AO e OE pelo valor de h e o ângulo por 60 graus

Agora já possuimos os valores da Base maior e base menor 

Faltando agora apenas altura do quadrilátero.

A altura do quadrilátero é que a soma das altura dos triângulos AOE e MON

Para achar as alturas desejadas (h1 e h2), basta achar a projeção dos respectivos lados dostriângulos AOE e MON no eixo PQ

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Assim temos

AO possui tamanho

MO possui tamanho

A altura do quadrilátero PQ será a soma dos segmentos

PO e OQ

Agora de posse de todos os dados do quadrilátero, basta calcular a área desejada

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B = AE

b = MN

A = PQ

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Resultados final desejado é a razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágonoABCDEF 

A razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono ABCDEF é 5/8 

Obs.: Existem várias outras formas de achar esta resposta. Esta foi uma delas.

Resolução do problema apresentado em http://bit.ly/6SCRpb