regresszió-számítás

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi KarÜzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet

Regresszió-számítás

Dr. Varga Beatrix

egyetemi docens


Korrelációs kapcsolat elemzése esetén a következő kérdésekre keressük a választ

• Van- e valamilyen összefüggés az ismérvek között?

• Milyen irányú az összefüggés• Mennyire szoros a kapcsolat?• Az egyik ismérv változása milyen

hatással van a másik ismérv változására?


Ha a korrelációs kapcsolat mögött egyirányú okozati összefüggés van

akkor:

• az ok szerepét betöltő ismérv a tényezőváltozó, (magyarázóváltozó), jele: x

• az okozat szerepét betöltő ismérv az eredményváltozó, jele: y


Regresszió-számítás célja:

A tényezőváltozónak (x) az eredményváltozóra (y) gyakorolt hatását valamilyen matematikai modell segítségével fejezzük ki.


A leggyakoribb regresszió-függvények

• lineáris regresszió,• hatványkitevős regresszió,• exponenciális regresszió,• parabolikus regresszió,• hiperbolikus regresszió


A kétváltozós lineáris regresszió modellje

Legyen X egy tényezőváltozó és Y egy eredményváltozó. Tételezzük fel, hogy X lineáris törvényszerűség szerint

fejti ki hatását Y-ra, illetve közrejátszik egy véletlen mozzanat is.

A két változó kapcsolatának a formulája:

Y = x +0 1

regressziós együtthatók véletlen változó


Az ε véletlen változóról feltételezzük:

• várható értéke 0

• szórása állandó

• εi változók páronként korrelálatlanok


A becsült regresszió függvény:

Ahol:b0 és b1 a regressziós együtthatók becsült értékei

xbby 10ˆ


Regressziós együtthatók becslése

i10i xbb =y A becsült regressziós együtthatók kiszámításához a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk.


• b0 és b1 paraméterek becslései a legkisebb négyzetek módszerével:

• Szélső értéke adott helyen akkor lehet, ha

xbby 10ˆ

2

11010 ,

n

iii xbbybbf

02

02

101

100

iii

ii

xbbyxb

f

xbbyb

f


Ebből átalakítás után nyert normálegyenletek:

2

10

10

iiii

ii

bXbyx

Xbnby

xbyb 10

21x

yx

d

ddb

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi KarÜzleti Információgazdálkodási és Módszertani IntézetAzonos tevékenységet végző

vállalkozások adatai

Vállalkozás Reklámkiadás

(X) 100eFt Árbevétel

(Y) MFt dxdy

A 8 20 2,5 0,9 2,25 6,25 0,81 B 7 16 1,5 -3,1 -4,65 2,25 9,61 C 4 15 -1,5 -4,1 6,15 2,25 16,81 D 3 14 -2,5 -5,1 12,75 6,25 26,01 E 5 19 -0,5 -0,1 0,05 0,25 0,01 F 4 12,2 -1,5 -6,9 10,35 2,25 47,61 G 5 18 -0,5 -1,1 0,55 0,25 1,21 H 7 24 1,5 4,9 7,35 2,25 24,01 I 3 16 -,25 -3,1 7,75 6,25 9,61 J 5 22 -0,5 2,9 -1,45 0,25 8,41 K 9 28 3,5 8,9 31,15 12,25 79,21 L 6 25 0,5 5,9 2,95 0,25 34,81

Összesen 66 229,2 0 0 75,2 41 258,12


xy 834,1013,9ˆ


Elaszticitási együttható

Y relatív változása hányszorosa az X relatív változásának

Lineáris regresszió esetén az elaszticitási együttható:

Átlagos szinten:

y

x

dx

dy

x

x

y

yE

xxy

:lim

0;

xbb

xbE xy

101;

y

xbE

xy 1;


Reziduális változó

n

iii

n

i

n

iii

iii

iii

iii

yyyyyy

eyyyy

eyy

yye

1

2

1 1

22ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Sy = + Se

A megfigyelt Y értékek eltérés négyzetösszege

A regresszió által magyarázott eltérésnégyzetösszeg

A reziduális eltérés (maradék) eltérésnégyzetösszege

yS ˆ


Reklámk. (X)

100eFt

Árbevétel (Y) MFt

x2 Se

8 20 64 6,25 0,81 21,026 13,582 23,685 7 16 49 2,25 9,61 7,569 34,237 21,851 4 15 16 2,25 16,81 7,569 1,819 16,349 3 14 9 6,25 26,01 21,026 0,265 14,515 5 19 25 0,25 0,01 0,841 0,668 18,183 4 12,2 16 2,25 47,61 7,569 17,212 16,349 5 18 25 0,25 1,21 0,841 0,033 18,183 7 24 49 2,25 24,01 7,569 4,617 21,851 3 16 9 6,25 9,61 21,026 2,206 14,515 5 22 25 0,25 8,41 0,841 14,570 18,183 9 28 81 12,25 79,21 41,210 6,153 25,520 6 25 36 0,25 34,81 0,841 24,830 20,017

66 229,2 404 41 258,12 137,928 120,192 229,2


A fenti összefüggésből a korrelációs hányadoshoz hasonló mérőszám definiálható, amely azonos a determinációs együtthatóval.

Az Y ingadozását teljes mértékben a regresszióval magyarázzuk

Az Y szóródása csak a véletlentől függ

A b1 előjelét rendeljük hozzá.

1r

0r

y

x

y

e

y

y

s

sb

S

S

S

Sr 1

ˆ2 1


A regressziós modell teszteléseH0: β1=0 a lineáris regresszió fennállásának

tagadása

H1: β1≠0

A H0 ellenőrzésére alkalmas próbafüggvény:

(v1=1 és v2=n-2)

Ha F<Fkrit H0-t elfogadjuk

Ha F>Fkrit van szignifikáns kapcsolat

2

ˆ

n

S

SF

e

y


2

ˆ 2

n

yys iie

Variancia-analízis tábla kétváltozós regresszió-számításnál

Összetevő Négyzetösszeg Szabadságfok Szórásnégyzet Regresszió (SSR)

1

Hibatényező (SSE) n-2

Teljes (SST) n-1


)1(2

n

S

yys


1

1

2 2

1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 245,95 248,02 251,14 251,77 252,20 253,04 253,25 254,32 12 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,43 19,45 19,47 19,48 19,48 19,49 19,49 19,50 23 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,70 8,66 8,59 8,58 8,57 8,55 8,55 8,53 34 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,86 5,80 5,72 5,70 5,69 5,66 5,66 5,63 45 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,62 4,56 4,46 4,44 4,43 4,41 4,40 4,37 56 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 3,94 3,87 3,77 3,75 3,74 3,71 3,70 3,67 67 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,51 3,44 3,34 3,32 3,30 3,27 3,27 3,23 78 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,22 3,15 3,04 3,02 3,01 2,97 2,97 2,93 89 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,01 2,94 2,83 2,80 2,79 2,76 2,75 2,71 9

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,85 2,77 2,66 2,64 2,62 2,59 2,58 2,54 1011 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,72 2,65 2,53 2,51 2,49 2,46 2,45 2,40 1112 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,62 2,54 2,43 2,40 2,38 2,35 2,34 2,30 1213 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,53 2,46 2,34 2,31 2,30 2,26 2,25 2,21 1314 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,46 2,39 2,27 2,24 2,22 2,19 2,18 2,13 1415 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,40 2,33 2,20 2,18 2,16 2,12 2,11 2,07 1516 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,35 2,28 2,15 2,12 2,11 2,07 2,06 2,01 1617 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,31 2,23 2,10 2,08 2,06 2,02 2,01 1,96 1718 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,27 2,19 2,06 2,04 2,02 1,98 1,97 1,92 1819 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,23 2,16 2,03 2,00 1,98 1,94 1,93 1,88 1920 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,20 2,12 1,99 1,97 1,95 1,91 1,90 1,84 2021 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,18 2,10 1,96 1,94 1,92 1,88 1,87 1,81 2122 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,15 2,07 1,94 1,91 1,89 1,85 1,84 1,78 2223 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,13 2,05 1,91 1,88 1,86 1,82 1,81 1,76 2324 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,11 2,03 1,89 1,86 1,84 1,80 1,79 1,73 2425 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,09 2,01 1,87 1,84 1,82 1,78 1,77 1,71 2540 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 1,92 1,84 1,69 1,66 1,64 1,59 1,58 1,51 4050 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,87 1,78 1,63 1,60 1,58 1,52 1,51 1,44 5060 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,84 1,75 1,59 1,56 1,53 1,48 1,47 1,39 60

100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,77 1,68 1,52 1,48 1,45 1,39 1,38 1,28 100120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,75 1,66 1,50 1,46 1,43 1,37 1,35 1,25 120 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,67 1,57 1,39 1,35 1,32 1,24 1,22 1,00

40 50 60 10010 15 20 120

Az F-eloszlás táblázata (p=0,95)

1 2 3 4 5 6 7 8 9


A regressziós együttható (β1) tesztelése

H0: β1=0 valójában nincs korreláció

H1: β1≠0

A H0 ellenőrzésére alkalmas próbafüggvény:

Ha |t|<t(1-α/2) H0-t elfogadjuk

Ha |t|>t(1-α/2) H0-t elvetjük, van kapcsolat X és Y között

21

nv

s

bt

b


Student’s t-testDf 0,55 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,9951 0,158 0,325 0,727 1,000 1,376 3,08 6,31 12,71 31,82 63,662 0,142 0,289 0,617 0,816 1,061 1,89 2,92 4,30 6,96 9,923 0,137 0,277 0,584 0,765 0,978 1,64 2,35 3,18 4,54 5,844 0,134 0,271 0,569 0,741 0,941 1,53 2,13 2,78 3,75 4,605 0,132 0,267 0,559 0,727 0,920 1,48 2,02 2,57 3,36 4,036 0,131 0,265 0,553 0,718 0,906 1,44 1,94 2,45 3,14 3,717 0,130 0,263 0,549 0,711 0,896 1,42 1,90 2,36 3,00 3,508 0,130 0,262 0,546 0,706 0,889 1,40 1,86 2,31 2,90 3,369 0,129 0,261 0,543 0,703 0,883 1,38 1,83 2,26 2,82 3,2510 0,129 0,260 0,542 0,700 0,879 1,37 1,81 2,23 2,76 3,1711 0,129 0,260 0,540 0,697 0,876 1,36 1,80 2,20 2,72 3,1112 0,128 0,259 0,539 0,695 0,873 1,36 1,78 2,18 2,68 3,0613 0,128 0,259 0,538 0,694 0,870 1,35 1,77 2,16 2,65 3,0114 0,128 0,258 0,537 0,692 0,868 1,34 1,76 2,14 2,62 2,9815 0,128 0,258 0,536 0,691 0,866 1,34 1,75 2,13 2,60 2,9516 0,128 0,258 0,535 0,690 0,865 1,34 1,75 2,12 2,58 2,9217 0,128 0,257 0,534 0,689 0,863 1,33 1,74 2,11 2,57 2,9018 0,127 0,257 0,534 0,688 0,862 1,33 1,73 2,10 2,55 2,8819 0,127 0,257 0,533 0,688 0,861 1,33 1,73 2,09 2,54 2,8620 0,127 0,257 0,533 0,687 0,860 1,32 1,72 2,09 2,53 2,8421 0,127 0,257 0,532 0,686 0,859 1,32 1,72 2,08 2,52 2,8322 0,127 0,256 0,532 0,686 0,858 1,32 1,72 2,07 2,51 2,8223 0,127 0,256 0,532 0,685 0,858 1,32 1,71 2,07 2,50 2,8124 0,127 0,256 0,531 0,685 0,857 1,32 1,71 2,06 2,49 2,8025 0,127 0,256 0,531 0,684 0,856 1,32 1,71 2,06 2,48 2,7926 0,127 0,256 0,531 0,684 0,856 1,32 1,71 2,06 2,48 2,7827 0,127 0,256 0,531 0,684 0,855 1,31 1,70 2,05 2,47 2,7728 0,127 0,256 0,530 0,683 0,855 1,31 1,70 2,05 2,47 2,7629 0,127 0,256 0,530 0,683 0,854 1,31 1,70 2,04 2,46 2,7630 0,127 0,256 0,530 0,683 0,854 1,31 1,70 2,04 2,46 2,7540 0,126 0,255 0,529 0,681 0,851 1,30 1,68 2,02 2,42 2,7060 0,126 0,254 0,527 0,679 0,848 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66

120 0,126 0,254 0,526 0,677 0,845 1,29 1,66 1,98 2,36 2,62 0,126 0,253 0,524 0,674 0,842 1,28 1,645 1,96 2,33 2,58


Regressziós becslés pontossága


Paraméter Becslő függvény Standard hiba

0 b0 2i

2i

)x(xn

x

es

1 b1 2i )xx (

es

0 0y 2

i

20

)xx

)xx

n

(

(1es

Y0 0y 2

i

20

)x(x

)xx +

n

1

(1es

regresszió-számítás

Documents